分数指数幂公开课教案

《分数指数幂》教学设计

陈炜明(2013/3/5公开课)

一、教学目标：

知识与技能：理解分数指数幂的含义，了解分数指数幂的运算性质，掌握根式与分数指数幂的互化。通过具体实例了解实数指数幂的意义。

过程与方法：回顾整数指数幂的定义过程，学生通过观察，模仿，并进行合作交流，对整数指数幂进行推广，寻求分数指数幂最合理自然的规定方式。

情感、态度与价值观：通过对指数的推广，感受从特殊到一般的思想方法，提高数学的基本运算能力，体会数学的理性精神以及数学的美学意义。

二、教学重点：分数指数幂的意义和运算性质

三、教学难点：分数指数幂的概念

四、教学过程：

【问题情境】

里氏震级是目前国际通用的地震震级标准。它是根据离震中一定距离所观测到的地震波幅度和周期，并且考虑从震源到观测点的地震波衰减，经过一定公式，计算出来的震源处地震的大小。

假设第0级地震所释放的能量为1，且在估算能量的时候，里氏震级每增加1级，释放的能量大约增加31.6227倍，则

（1）第3级地震所释放的能量为多少？

31.6227

答：3

（2）第x级地震所释放的能量为多少？

y

答：31.6227x

（3）上一问中的x会出现为分数的情况吗？

教师举例

引导学生提出问题：当指数为分数时，应该如何定义？又该如何计算？

（此时教师在黑板上画出函数2,x y x Z =∈的图像辅助说明该问题的提出）

【温故知新】

问题一：m a 表示什么含义（当m 为正整数的时候）？当指数为正整数时候，指数的运

算都有哪些运算性质？

答：m 个a 相乘。

,

,(,0)(),

()m n m n m

m n n m n mn m m m

a a a a a m n a a

a a a

b a b +-==>≠== （此处板书） 在这里,m n 均为正整数。

问题二：若在计算m n a -时，遇到m n =时，有无意义？怎样计算？得出什么结果？

若m n <呢？

答：当扩展到整数指数幂时候，若要求维持原来的运算性质，可以得到

01a =(0)a ≠。同理，可以对负分数指数幂进行规定。

小结：负整指数幂的实质是分式（或分数）形式。在将正整数指数幂推广到整数指数幂时，保持了原有的运算性质不变。（对刚刚运算性质的板书修改）。

问题三：为什么对于熟悉的分式还需要用负指数幂来表示呢？

答：引入负指数幂可以使我们对许多数学问题书写方便，计算简单。（可口头举几个简单的例子）

【意义建构】

问题四：类似上面的推广，当把整数指数幂推广到分数指数幂的时候，你想保留什么性质不变？用具体的例子试一试。 1

11112222a a a a a +⨯===

a =

12a =

1

111111333333a

a a a a a ++⨯⨯===

a =

1

3a =一般地，1

_____n a =（形式上的认为）

同理

2

222222333333a a a a

a ++⨯⨯== 2

323()a a =

2

3a = 一般地，______m

n a =（形式上的认为）

【数学理论】

假设指数运算律“()(,)k n kn

a a k n Z =∈”对分数指数幂运算也适用。 令m k n =，*()n N ∈，那么()()m m

n k n n m n n a a a a ===，由n 次方根的定义，就可以把m n a 看成m a 的n

次方根，即m n a

=一般地，我们规定

m

n a =0,,a m n >均为正整数）

仿照负整数指数幂的意义，我们规定

1

m

n m

n a a -=（0,,a m n >均为正整数）

问题五：分数指数幂的意义中，为什么规定0a >，去掉这个规定会产生什么后果？ （可先举具体的例子让学生感知）

答：根式与分数指数幂既有联系，又有区别。分数指数幂的实质是根式。只要根式有意义，不论a 为何值，都可以写成分数指数幂的形式。但是要注意的此时指数m n

是一种记法形式，不具有数的性质，不是真正意义的分数，不能参与约分，通分等运算。

当0a >时，对指数

m n

进行约分，通分等运算的结果和把分数指数幂化成根式后进行运算的结果一致。此时m n 与传统意义上的分数作用效果是相同的。这时把指数m n 看作普通分数是合理的。

注：绝大部分根式计算，尤其是只有乘除，乘方，开放的根式运算，化为分数指数幂按幂的运算法则去计算要简便的多。

有了分数指数幂的意义以后，指数幂的概念就从整数指数推广到有理数指数，对有理数指数幂，原整数指数幂的运算性质保持不变。

【数学运用】

例1求下列各式的值

（1）

1

2

100（2）

2

3

8（3）

3

2

9-（4）

3

4

1

()

81

-

例2用分数指数幂的形式表示下列各式（0

a>）

（1）a（2

【反思与提升】

1．分数指数幂是根式的另一种写法。

2．熟练掌握有理数指数幂的运算法则，它是化简的基础。

3．含有根式的式子化简，一般要先把根式转化为分数指数幂后再计算。4．分数指数幂和整数指数幂的运算性质是一致的。

5．继续推广到实数指数幂（P61）。

【练习与作业】

课本P62 2,3,4,5

创新课时训练P35-36 数学之友P29-30