必修二第2章点线面的位置关系归纳整合

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(2)证明线线垂直的方法 ①线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角，在研究异面直 线所成的角时，要通过平移把异面直线转化为相交直线； ②线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b； ③线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.
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2．线面关系 直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、相交、平行三 种 . (1)证明直线与平面平行的方法 ①线面平行的定义； ②判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α； ③平面与平面平行的性质：α∥β，a⊂α⇒a∥β.
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3．三线共点问题 证明三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直 线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题．
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【例 1】 如图所示，空间四边形 ABCD 中 E，F 分别为 AB， AD 的中点，G，H 分别在 BC，CD 上，且 BG∶GC＝DH∶HC ＝1∶2.求证：
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(2)证明面面垂直的方法 ①面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角； ②面面垂直的判定定理：a⊥β，a⊂α⇒α⊥β.
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4．证明空间线面平行或垂直需注意的三点 (1)由已知想性质，由求证想判定． (2)适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一． (3)用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论． 5．“升降维”思想 用降维的方法把空间问题转化为平面或直线问题，可以使问题得 到解决．用升维的方法把平面或直线中的概念、定义或方法向空 间推广，可以从已知探索未知，是“学会学习”的重要方法． 平面图形的翻折问题的分析与解决，就是升维与降维思想方法的 不断转化运用的过程．
(1)E，F，G，H 四点共面； (2)EG 与 HF 的交点在直线 AC 上．
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证明 (1)∵BG∶GC＝DH∶HC， ∴GH∥BD. 又 EF∥BD，∴EF∥GH，∴E，F，G，H 四点共面． (2)∵G，H 不是 BC，CD 的中点， ∴EF∥GH，且 EF≠GH，∴EG 与 FH 必相交， 设交点为 M，而 EG⊂平面 ABC，HF⊂平面 ACD， ∴M∈平面 ABC，且 M∈平面 ACD， ∴M∈平面 ABC∩平面 ACD， ∴M∈AC，即 GE 与 HF 的交点在直线 AC 上．
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(2)证明直线与平面垂直的方法 ①线面垂直的定义； m，n⊂α，m∩n＝A ⇒l⊥α； ②判定定理 1： l⊥m，l⊥n ③判定定理 2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α； ④面面平行的性质定理：α∥β，a⊥α⇒a⊥β； ⑤面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.
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专题一 共点、共线、共面问题 1．三点共线问题 证明空间三点共线问题， 通常证明这些点都在两个面的交线上， 即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证第三点是两个 平面的公共点，则此点必在两个平面的交线上 . 2．共面问题 证明共面问题，一般有两种证法：一是由某些元素确定一个平 面，然后证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素确 定若干个平面，然后证明这些平面重合．
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(2)线面平行的判定方法： ①线面平行的定义(无公共点)； ②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)； ③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)； ④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
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(3)面面平行的判定方法： ①平面平行的定义(无公共点)； ②面面平行的判定定理(a∥β，b∥β，a，b⊂α，且 a∩b＝A⇒α ∥β)； ③面面平行的判定定理的推论(若 a∥a′，b∥b′，a⊂α，b⊂ α 且 a∩b＝A，a′⊂β，b′⊂β，且 a′∩b′＝A′，则 α∥β)； ④线面垂直的性质(a⊥α，a⊥β⇒α∥β)； ⑤平面平行的性质(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)；
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专题二 平行问题 1．空间平行关系的判定方法 (1)线线平行的判定方法： ①利用线线平行的定义证共面而且无公共点； ②利用平行公理 4； ③利用线面平行的性质定理； ④利用线面垂直的性质定理(a⊥α，b⊥α⇒a∥b)； ⑤利用面面平行的性质定理(α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b)； ⑥利用平行四边形的性质、三角形、梯形中位线、线段对应成 比例等．
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2．平行关系的转化
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【例 2】 如图，S 为矩形 ABCD 所在平面外一点，E，F 分别 是 SD，BC 上的点，且 SE∶ED＝BF∶FC. 求证：EF∥平面 SAB.
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证明
法一 转化为证面面平行．
过 F 作 FG∥AB，交 AD 于 G，连接 EG.∵FG∥AB， ∴AG∶GD＝BF∶FC， ∴AG∶GD＝SE∶ED，故 EG∥SA. ∴EG∥平面 SAB， 又∵FG∥AB，∴FG∥平面 SAB，EG∩FG＝G， ∴平面 SAB∥平面 EFG， 因此，EF∥平面 SAB.
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3．面面关系 两个平面之间的位置关系有且只有平行、相交两种． (1)证明面面平行的方法 ①面面平行的定义； ②面面平行的判定定理：a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，a∩b＝A ⇒α∥β； ③线面垂直的性质定理：垂直于同一条直线的两个平面平行， 即 a⊥α，a⊥β⇒α∥β； ④公理 4 的推广：平行于同一平面的两个平面平行，即 α∥γ， β∥γ⇒α∥β.
本 章 归 纳 整 合
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要点归纳 1．线线关系 空间两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种．两 直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况． (1)证明线线平行的方法 ①线线平行的定义； ②公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行； ③线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b； ④线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b； ⑤面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.