点、线、面之间的位置关系知识易错点及例题合集
析高中数学中的易忘点分、易错、易混点分
高中数学中的易忘、易错、易混点梳理高三数学复习的策略非常重要，如果在复习中心浮气躁、东一榔头西一棒，或者不根据自己的实际情况，盲目地随大流，都难以取得良好的复习效果。
为了争取最佳的复习效果，在高三后期及时调整自己的复习方略是非常必要的。
确定复习策略的依据有两条，一是高考的考试大纲（或《考试说明》），二是自己的实际情况。
复习工作的目的，就是努力使自己的数学水平达到考试大纲的要求。
经常梳理自己的知识系统，结合自己的具体情况制定数学复习策略，及时调整数学复习方法，是每一位同学都需要重视的工作。
只有摸清自己的易忘、易错、易混点，才能完善学科知识和能力结构，明确复习重点，做到查漏补缺。
系统地梳理知识，需要用心体会，耐心地将平时含糊不清、似是而非的概念、公式彻底理清。
如：异面直线上两点间的距离公式EF =何确定；给定区间内，求二次函数的最值的讨论依据是什么；sin()y x ωφ=+的图形变换的顺序；应用导数确定函数极值点、单调区间的基本步骤等等，这一些易忘点、易错点、易混点，需要自己及时“回到课本”逐一弄懂，千万不能一带而过，也不要以为记住概念和公式就万事大吉了。
例如，梳理“数列求和”不但要求记住公式，还应该从公式的推导过程中去体会“倒序求和”、“错位相减求和”、“拆项求和”等方法和技巧，进而把握“归纳、递推” 、“化归、转化”等数学思想。
数学思想方法是更高层次的抽象和概括，它能够进行广泛的迁移，形成解决数学问题的通性通法。
又如整理“不等式的解法”时，如果只是机械地分类型罗列几种解法，那么遇到一个陌生的不等式，仍然没有办法。
只有当我们把握了解不等式的思想方法才能变化自如，融会贯通。
梳理知识还应该注意一题多解、一题多变，不断地比较和提炼，使方法最优化。
应《青年导报》栏目编辑的邀请，下面，根据今年高考的考试大纲（或《考试说明》），结合同学们平时数学学习时的易忘、易错、易混点，我和我的同事们一起对高中数学的一些知识点、技能点和一些重要的结论进行了一个比较全面的梳理，供同学们查漏补缺时参考。
立体几何中的典型错误及错因剖析
立体几何中的典型错误及错因剖析作者：殷高荣来源：《中学课程辅导·高考版》2017年第12期立体几何重点培养同学们的空间想象能力，高考中重点考查空间点、线、面的位置关系及空间几何体的表面积和体积.但不少同学常因概念不清晰，平行与垂直关系的判定和性质定理理解出现偏差等等导致概念辨析题出现错误，证明题条件不全面导致格式不规范等.故在高三复习中，要在这些易错点上，强化正误辨析意识，加强训练的针对性，提高复习效率.本文意在从剖析立体几何的常见错误出发，给同学们指引方向，养成良好的解题习惯.易错点一：概念不清导致错解例1给出以下四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面.则以上命题正确的是（填序号）.错解：①②③错因分析：不理解确定一个平面的依据，思考问题时还停留在平面图形中，空间想象能力不够.①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面.这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确.②从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，但是若A，B，C共线，则结论不正确；③不正确；④不正确，因為此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形.故④错误.正解：①例2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，给出以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为（填序号）.错解：①②③④错因分析：没有掌握空间几何体中两条直线位置关系的判断方法.其中异面直线的判定可以通过其判定定理，相交直线必须有一个公共点.A，M，C1三点共面，且在平面AD1C1B 中，但C平面AD1C1B，C1AM，因此直线AM与CC1是异面直线，同理AM与BN也是异面直线，AM与DD1也是异面直线，①②错，④正确；M，B，B1三点共面，且在平面MBB1中，但N平面MBB1，BMB1，因此直线BN与MB1是异面直线，③正确.正解：③④易错点二：定义理解不清导致错解例3若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是.错解：b与α相交或b∥α错因分析：直线与平面的位置关系的定义理解不清，在判断时最易忽视“线在面内”.直线b 与平面α的位置关系还有bα.所以b与α相交或bα或b∥α都可以.正解：b与α相交或bα或b∥α例4已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题：①若α，β垂直于同一平面，则α与β平行；②若m，n平行于同一平面，则m与n平行；③若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线；④若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面.其中正确的是（填序号）.错解：③④错因分析：没有真正理解线面平行、线面垂直的定义、判定定理和性质定理.对于①，α，β可能相交，故错误；对于②，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；对于③，若mα，α∩β=n，m∥n，则m∥β，故错误；对于④，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n与已知m，n不平行矛盾，所以原命题正确，故④正确.正解：④总之，判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理.要善于结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.易错点三：忽视判定定理中的条件导致解题格式不规范例5在四棱锥PABCD中，AD∥BC，AB=BC=12AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点.（1）求证：AP∥平面BEF；（2）求证：GH∥平面PAD.错解：证明：（1）连接EC，∵AD∥BC，BC=12AD，E为AD的中点，∴BC平行且等于AE，∴四边形ABCE是平行四边形，∴O为AC的中点，又∵F是PC的中点，∴FO∥AP，∴AP∥平面BEF.（2）连接FH，OH，∵F，H分别是PC，CD的中点，∴FH∥PD，又∵O是BE的中点，H是CD的中点，∴OH∥AD，又FH∩OH=H，∴平面OHF∥平面PAD.又∵GH平面OHF，∴GH∥平面PAD.错因分析：在第（1）问解题过程中的漏掉“FO平面BEF，AP平面BEF，”，缺一不可，应用判定定理时需把条件罗列完整.在第（2）问解题过程中直接从两相交直线平行证得两平面平行，跳步严重.正解：证明：（1）连接EC，∵AD∥BC，BC=12AD，E为AD的中点，∴BC平行且等于AE，∴四边形ABCE是平行四边形，∴O为AC的中点，又∵F是PC的中点，∴FO∥AP，又FO平面BEF，AP平面BEF，∴AP∥平面BEF.（2）连接FH，OH，∵F，H分别是PC，CD的中点，∴FH∥PD，又PD平面PAD，FH平面PAD，∴FH∥平面PAD.又∵O是BE的中点，H是CD的中点，∴OH∥AD，又∵AD平面PAD，OH平面PAD，∴OH∥平面PAD.又FH∩OH=H，∴平面OHF∥平面PAD.又∵GH平面OHF，∴GH∥平面PAD.总之，判断或证明线面平行的常用方法有：①利用反证法（线面平行的定义）；②利用线面平行的判定定理（aα，bα，a∥ba∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，aαa∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，aβ，a∥αa∥β）.利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.其中需要特别注意的是：在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件.如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交.运用性质定理，要遵从由“高维”到“低维”，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.易错点四：空间几何体中一些结论直接应用导致解题不规范例6如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E.求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1.错解：（1）连接A1B，则点D为A1B的中点，又知AB1的中点为D，故DE∥A1C1；又因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.错因分析：在第（1）问解题过程中直接得到点D为A1B的中点，这是不规范的.要先利用三棱柱的性质证明得到其侧面是平行四边形，再由平行四边形的对角线互相平分得到点D 为A1B的中点.解题时可以避开这个易错点.正解：证明：（1）由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.又因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.（2）因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C平面B1AC，AC∩B1C=C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1平面B1AC，所以BC1⊥AB1.易错点五：盲目地套用性质定理导致错解例7如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点.（1）求证：直线AE⊥直线DA1；（2）在线段AA1上求一点G，使得直线AE⊥平面DFG.错解：在平面ABCD内，过点D在平面ABCD内作平面AEH的垂线DF.错因分析：不能说作平面的垂线，在一个平面内作另一个平面的垂线，若两个平面不垂直，则不能作出，若两个平面垂直，只需作交线的垂线即可.正解：（1）连结AD1，BC1，由正方体的性质可知，DA1⊥AD1，DA1⊥AB，又AB∩AD1=A，∴DA1⊥平面ABC1D1，又AE平面ABC1D1，∴DA1⊥AE.（2）所示G点即为A1点，证明如下：由（1）可知AE⊥DA1，取CD的中点H，连结AH，EH，由DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH=H，可证DF⊥平面AHE，∵AE平面AHE，∴DF⊥AE.又DF∩A1D=D，∴AE⊥平面DFA1，即AE⊥平面DFG.總之，（1）证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传递性（a∥b，a⊥αb⊥α）；③面面平行的性质（a⊥α，α∥βa⊥β）；④面面垂直的性质（α⊥β，α∩β=a，l⊥a，lβl⊥α）.（2）证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.（作者：殷高荣，如皋市教育局教研室）。
【高考数学易错专练】知识点 两条直线位置关系 易错点 2 忽视两条平行线距离公式的成立条件(学生版)
知识点：两条直线位置关系 易错点 2 忽视两条平行线距
离公式的成立条件
【易错诠释】计算两条平行线之间的距离，很多同学喜欢直接利用公式来计算，但往往会忽视直线方程系数的统一，从而导致距离计算出错，你会发生这样的错误吗？.
【典例1】已知直线()1:2230l x a y a +-+=，2:460l ax y ++=，a ∈R .
（1）若1l 恒过定点M ，求点M 的坐标；
（2）当12l l //时，求直线1l 与2l 之间的距离.
【针对练习】
1. 已知两平行直线1l ：220x y --=与2l ：250x ay -+=，直线1l 与圆
()()
()222120x y r r -+-=>相切，则下列说法正确的是（ ）
A. a 的值为4
B.
C. r
D. 直线2l 2. 已知点()1,2M 为圆228x y +=内一点，直线m 是以M 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程为280x y ++=，则（ ）
A. l m ⊥
B. //l m
C. l 与圆相交
D. l 与圆相离 3. 已知直线1l ：10ax y ++=，2l ：10x ay ++=．若12l l ∥，则=
a ___________，此时1l 与2l 之间的距离为___________．。
工程图学基础习题集第五章答案
这道题考查了立体几何中关于点、线、面位置关系的判 断，但题目中没有给出足够的信息来确定点、线、面的 位置关系，因此无法判断答案是否正确。
习题3答案
正确 错误 不适用
这道题考查了工程图学中关于剖面图的概念，根据剖面 图的知识，剖面图可以用来表示物体的内部结构。因此 ，答案正确。
习题1答案
错误
这道题考查了平面几何中关于角度的概念，题目中的角度是锐角，但答案给出的是直角，因此答案错 误。
习题1答案
不适用
这道题考查了立体几何中关于点、线、面位置关系的判断，但题目中没有给出足够的信息来确定点、线、面的位置关系，因 此无法判断答案是否正确。
习题2答案
正确 错误 不适用
这道题考查了立体几何中关于三视图的概念，根据三视 图的知识，主视图、左视图和俯视图可以确定一个物体 的位置和方向。因此，答案正确。
该题考查了平面的投影特性，根据平面的投影特性，当平面垂直于投影面时， 其正面投影和侧面投影均与该平面重合，因此该题答案正确。
解题思路
首先判断平面与投影面的关系，然后根据平面的投影特性进行作答。
03
第五章习题易错点总结
习题1易错点总结
总结词
投影关系混淆
详细描述
部分学生在解答这道题时，容易将物 体的投影关系混淆，导致作答错误。 正确的做法是理解并掌握物体的投影 规律，根据题目给出的视图，正确判 断出物体的形状和尺寸。
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THANKS
这道题考查了工程图学中关于尺寸标注的概念，题目中 的尺寸标注是正确的，但答案给出的标注方式是错误的 ，因此答案错误。
这道题考查了工程图学中关于视图和剖面图的关系，但 题目中没有给出足够的信息来确定视图和剖面图的关系 ，因此无法判断答案是否
点 线 面之间的位置关系知识易错点及例题合集
点、线、面之间的位置关系知识易错点及例题合集最近许多高二的同学问必修二点线面之间的知识点，普遍感觉这块非常难学，小数老师今天整理了易错点和例题给大家，作为参考！[整合·网络构建][警示·易错提醒]1、不要随意推广平面几何中的结论平面几何中有些概念和性质，推广到空间中不一定成立．例如“过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”、“垂直于同一条直线的两条直线平行”等性质在空间中就不成立．2、弄清楚空间点、线、面的位置关系解决这类问题的基本思路有两个：一是逐个寻找反例作出否定的判断或逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如课桌、教室）作出判断，要注意定理应用准确、考虑问题全面细致。
3、不要忽略异面直线所成的角的范围求异面直线所成的角的时候，要注意它的取值范围是（0°，90°]。
两异面直线所成的角转化为一个三角形的内角时，容易忽略这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．4、透彻理解直线与平面的关系直线与平面位置关系的分类要清晰，一种分法是直线在平面内与直线在平面外（包括直线与平面平行和相交）；另一种分法是直线与平面平行（无公共点）和直线与平面不平行（直线在平面内和直线与平面相交）。
5、使用判定定理时不要忽略条件应用直线与平面垂直的判定定理时，要熟记定理的应用条件，不能忽略“两条相交直线”这一关键点。
专题1共点、共线、共面问题（1）、证明共面问题证明共面问题，一般有两种证法：一是先由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是先分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合。
（2）、证明三点共线问题证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是两个平面的公共点，当然必在两个平面的交线上。
（3）、证明三线共点问题证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在直线上的问题。
直线和网的易错点归纳剖析
ʏ湖北省襄阳市第三中学 宋勇林直线与圆的方程是解析几何的基础知识,它不仅涉及几何知识,也涉及广泛的代数知识,综合性较强,对同学们的能力要求较高,在高考题中多以小题的形式呈现,考查也较为全面,除考查直线与圆的位置关系㊁点到直线的距离㊁圆与圆的位置关系等问题外,还注重考查等价转化㊁数形结合㊁分类讨论等常见的数学思想,近几年对直线和圆的考查方式及题目难度变化不大,同学们由于对基本概念㊁思想方法㊁性质的掌握不准确,导致平时解题中经常出现错误,没有达到有效掌握的目的㊂笔者在本文中主要从以下角度对直线和圆的易错点进行剖析总结,供同学们复习时参考㊂一㊁设直线方程时忽略直线方程使用的前提条件致错例1 若过点A (1,4)的直线在两坐标轴上的截距之和为零,则该直线的方程为( )㊂A .x -y +3=0B .x +y -5=0C .4x -y =0或x +y -5=0D .4x -y =0或x -y +3=0错解:设直线的方程为x a +y-a=1(a ʂ0),因为直线过点A (1,4),所以1a -4a=1,解得a =-3,代入直线的方程得x -y +3=0㊂剖析:截距式方程不能表示截距为0和与坐标轴垂直的直线,过点A (1,4)且截距为0的直线符合题意,上述解答没有考虑截距为0的情况导致错误,设截距式方程时一定要单独考虑过原点的情况!正解:当直线过原点时,直线在两坐标轴上的截距均为0,满足题意,此时直线的方程为y =4x ,即4x -y =0;当直线不过原点时,如错解,可得直线的方程为x -y +3=0㊂综上所述,直线的方程为4x -y =0或x -y +3=0㊂故选D ㊂点评:不同形式的方程均有其适用条件,在解题时应注意截距式方程的使用前提是截距不为0㊂二㊁求含参数的直线的平行问题时忽视验证直线重合的情况致错例2 已知直线l 1:x +a y -a =0和直线l 2:a x -(2a -3)y +a -2=0,若l 1ʊl 2,求实数a 的值㊂错解:因为l 1ʊl 2,所以a 2=-2a +3,解得a =-3或1㊂剖析:A 1B 2-A 2B 1=0是直线平行的一个必要不充分条件,所以应用此结论解题时要注意验证充分性,上述错解中没有考虑这一点导致出错㊂正解:前面同错解,得a =-3或1㊂当a =-3时,l 1:x -3y +3=0,l 2:3x -9y +5=0,满足l 1ʊl 2;当a =1时,l 1:x +y -1=0,l 2:x +y -1=0,此时l 1与l 2重合,不合题意,舍去㊂所以a =-3㊂点评:一般地,设直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0(A 1,B 1不同时为0),l 2:A 2x +B 2y +C 2=0(A 2,B 2不同时为0),则l 1ʊl 2⇔A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1ʂ0或A 1C 2-A 2C 1ʂ0;l 1ʅl 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0㊂由平行条件求参数的值时要验证两条直线是否重合㊂三㊁利用数形结合思想化简方程时忽视变量的范围致错例3 若方程1-x 2=k (x -1)+2有两个不等实根,求k 的取值范围㊂错解:方程1-x 2=k (x -1)+2有两72个不等实根,可转化为函数y =1-x 2的图像和直线y =k (x -1)+2有2个交点㊂y =1-x 2可变形为x 2+y 2=1,即以原点为圆心,1为半径的圆,直线y =k (x -1)+2的斜率为k ,且经过点M (1,2),当直线和圆相切时,由|2-k |1+k2=1,求得k =34,由数形结合可得k 的范围为34,+ɕ㊂剖析:做数学题都是在进行一系列的等价转化,直到解出答案㊂上述错解中式子y=1-x 2平方前后不等价,平方之前y 的范围非负,故函数y =1-x 2的图像是以原点为圆心,1为半径的圆的上半圆弧㊂图1正解:如图1,当直线和半圆相切时,由|2-k |1+k2=1,求得k =34;当直线经过点A (-1,0)时,则0=(-1-1)k +2,求得k =1㊂综上可得,k 的取值范围为34,1㊂四㊁求圆的一般方程时忽视圆存在的条件致错例4 若过点(2,1)可以作圆x 2+y 2-x +y +a =0的两条切线,则a 的取值范围为( )㊂A .12,+ɕB .(-4,+ɕ)C .-4,12D .(-ɕ,-4)ɣ12,+ɕ错解:由题意可知,点(2,1)在圆x 2+y 2-x +y +a =0的外部,故22+12-2+1+a >0,得a >-4㊂故选B ㊂剖析:错解中只考虑了点A 在圆的外部,而忽视了方程x 2+y 2-x +y +a =0表示圆的条件,需要求出r 2,由r 2>0得出a 的范围㊂正解:由点(2,1)在圆x 2+y 2-x +y +a =0的外部可求得a >-4,而方程x 2+y 2-x +y +a =0表示圆,则(-1)2+12-4a >0,得a <12,所以a 的取值范围为-4,12㊂故选C ㊂点评:方程x 2+y 2+D x +E y +F =0表示圆的前提条件是D 2+E 2-4F >0㊂五㊁圆与圆相切时忽视内切的情况致错例5 已知圆x 2+y 2=9与圆x 2+(y-6)2=r 2(r >0)相切,求半径r 的值㊂错解:由题意知,两圆的圆心分别为C 1(0,0),C 2(0,6),半径分别为r 1=3,r 2=r ,因为两圆相切,所以|C 1C 2|=6=3+r ,解得r =3㊂剖析:两圆相切时包括内切和外切,上述错解中将两圆相切理解为外切,导致漏解㊂正解:当两圆外切时,|C 1C 2|=6=3+r ,解得r =3;当两圆内切时,|C 1C 2|=6=|3-r |,解得r =9,负值舍去㊂综上所述,r=3或r =9㊂点评:设两圆的圆心分别为C 1,C 2,半径分别为r 1,r 2,若两圆外切,则C 1C 2=r 1+r 2;若两圆内切,则C 1C 2=|r 1-r 2|㊂六㊁求轨迹方程时忽略几何图形的存在性致错图2例6如图2,已知圆M :x 2+y 2-4x +3=0,点P (-1,t )为直线l :x =-1上的一个动点,过点P 引圆M 的两条切线,切点分别为A ,B ,求线段A B 的中点的轨迹方程㊂错解:圆M :x 2+y 2-4x +3=0,即(x -2)2+y 2=1,则圆心M (2,0),半径r =1㊂又P (-1,t ),则|P M |=9+t 2,|A M |=r =1,所以|P A |2=|P M |2-|A M |2=t 2+8,故以P 为圆心,|P A |为半径的圆P 的方程为(x +1)2+(y -t )2=t 2+8,则直线A B 的方程为(x +1)2-(x -2)2+(y -t )2-y 2=t 2+8-1,即3x -t y -5=0,易得直线A B 过定点H53,0㊂设A B 的中点为F ,A B 交x 82轴于点H ,如图2所示,当H ,F 不重合时,则H F 始终垂直于F M ,所以点F 的轨迹是以HM 为直径的圆㊂又H 53,0 ,M (2,0),故该圆的圆心为116,0,半径为12|HM |=2-116=16,故点F 的轨迹方程为x -1162+y 2=136,故线段A B 的中点的轨迹方程为x -1162+y 2=136㊂剖析:上述过程通过弦中点的性质得到垂直条件,然后得出中点F 在以HM 为直径的圆上,当F 与M 重合时,弦A B 就是直径,这是矛盾的,所以应该挖点㊂正解:前面的过程同错解,得点F 的轨迹方程为x -1162+y 2=136㊂当F 与M 重合时,弦A B 就是直径,此时不符合题意,故线段A B 的中点的轨迹方程为x -1162+y2=136(x ʂ2)㊂点评:在求轨迹方程时需要注意挖掘动点满足的隐含条件,比如与斜率有关时注意考虑分母不为零;与双曲线的定义有关时注意条件中有没有隐含绝对值,即双曲线的一支还是两支;遇到与三角形有关问题时注意考虑三角形的存在性,遇到弦的中点的轨迹问题时要考虑中点在曲线的内部等㊂七㊁求直线和圆相交的综合问题时忽略相交条件致错例7 已知圆C :(x -2)2+y 2=4,若过点(0,-3)的直线l 与圆C 交于不同的两点A ,B ,且O A ң㊃O B ң=3,O 为坐标原点,求直线l 的方程㊂错解:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),当直线l 的斜率不存在时,不符合题意,故可设直线l :y =k x -3,联立y =k x -3,(x -2)2+y 2=4,消去y 整理得(k 2+1)x 2-(4+6k )x +9=0,所以x 1x 2=9k 2+1,x 1+x 2=4+6kk 2+1,所以y 1y 2=(k x 1-3)(k x 2-3)=k 2x 1x 2-3k (x 1+x 2)+9=9-12k k 2+1㊂因为O A ң㊃O B ң=3,所以x 1x 2+y 1y 2=9k 2+1+9-12kk 2+1=3,解得k =1或-5,所以直线l 的方程为y =x -3或y =-5x -3㊂剖析:整个解答过程忽略直线和圆相交的条件,要注意验证Δ>0,也可以通过圆心到直线的距离d <r 来验证㊂正解:前面的过程同错解,得k =1或-5㊂因为直线和圆相交,所以Δ=(4+6k )2-36(k 2+1)=48k -20>0,解得k >512,所以k =1,从而直线l 的方程为y =x -3㊂八㊁解题习惯不好致错例8 已知圆C 1:x 2+(y +2)2=4与圆C 2:(x -4)2+y 2=4,是否存在点P ,满足经过点P 有无数对互相垂直的直线l 1和l 2,它们分别与圆C 1和圆C 2相交,并且直线l 1被圆C 1所截得的弦长等于直线l 2被圆C 2所截得的弦长?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由㊂错解:由题意知,圆C 1的圆心(0,-2),半径r 1=2,圆C 2的圆心(4,0),半径r 2=2㊂设P (a ,b ),显然直线l 1,l 2的斜率都存在,且均不为零,设直线l 1的方程为y -b =k (x -a )(k ʂ0),直线l 2的方程为y -b =-1k(x -a )(k ʂ0),因为直线l 1被圆C 1所截得的弦长等于直线l 2被圆C 2所截得的弦长,且r 1=r 2,则|2-a k +b |k 2+1=|4-b k -a |k 2+1,即|2-a k +b |=|4-b k -a |,也即2-a k +b=4-b k -a 对任意k 恒成立,所以2+b =4-a ,-a =-b ,解得a =1,b =1,所以存在点P (1,1)满足题意㊂剖析:本题将两弦长相等转化为对应圆心到直线的距离相等,再通过关于斜率k 的恒等式解出点P 的坐标,但是由于解题习惯不好导致方程|2-a k +b |=|4-b k -a |的根不完整㊂92正解:前面的过程同错解,得|2-a k +b |=|4-b k -a |,即2-a k +b =4-b k -a 或(2-a k +b )+(4-b k -a )=0对任意k 恒成立,所以2+b =4-a ,-a =-b ,或6+b -a =0,a =b ,解得a =1,b =1, 或a =3,b =-3,所以存在点P (1,1)或(3,-3)满足题意㊂(责任编辑 王福华)ʏ湖北省襄阳市第三中学 邹永生圆锥曲线是高中数学的重要内容之一,圆锥曲线的学习是同学们领悟用代数方法解决几何问题的关键过程,圆锥曲线的训练对提高逻辑推理㊁运算求解等能力有重要价值,圆锥曲线的图形优美,概念众多,结论繁杂,运算冗长,使得众多学子在高考中频繁丢分,下面总结一些学习过程中的常见错误,供同学们学习时参考㊂易错点一㊁使用 点差法 时忽视直线与曲线有交点的前提致错例1 已知双曲线2x 2-y 2=2,过点B (1,1)能否作直线l ,使得直线l 与所给双曲线交于点Q 1,Q 2,且B 是弦Q 1Q 2的中点?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由㊂错解:设Q 1(x 1,y 1),Q 2(x 2,y 2)是双曲线上的两点,则x 1ʂx 2,且x 1+x 2=2,y 1+y 2=2,由2x 21-y 21=2,2x 22-y 22=2,两式相减并变形得y 1-y 2x 1-x 2=2,所以直线l 存在,且直线l 的方程为y -1=2(x -1),即2x -y -1=0㊂剖析:通过数形作图(图略),发现直线2x -y -1=0与双曲线没有交点,利用 点差法 解题不能保证方程有解,也就是说无法保证Δȡ0,因此对求得的直线方程的存在性进行验证是必不可少的㊂在解析几何中,凡是直线与圆锥曲线的相交问题,先考虑相交的前提,即先检验判别式Δȡ0是否成立,否则易产生错解㊂凡是在联立方程消元后得到一元二次方程时,都要注意讨论两个问题:一是讨论二次项的系数是否为零;二是讨论判别式Δȡ0是否成立㊂正解:由错解知,可能存在的直线l 的方程为y -1=2(x -1),即2x -y -1=0,与双曲线方程联立2x -y -1=0,2x 2-y 2=2,消去y 整理得2x 2-4x +3=0,而Δ=-8<0,则方程无实根,即直线与双曲线无交点,故不存在满足条件的直线㊂易错点二㊁忽视 焦点弦 的条件,将 焦点弦 与 非焦点弦 混淆致错例2 求顶点在原点,焦点在x 轴上,且截直线2x -y +1=0所得弦长为15的抛物线的方程㊂错解:设所求抛物线的方程为y 2=a x (a ʂ0)①,直线方程变形为y =2x +1②㊂设直线与抛物线交于A ,B 两点,将②代入①化简整理得4x 2+(4-a )x +1=0,因此|A B |=x 1+x 2+p =a -44+a2=15,解得a =4(1+15)3,故所求抛物线的方程为y 2=4(1+15)3x ㊂剖析:题目中没有条件说直线A B 过焦点,只有焦点弦才有|A B |=x 1+x 2+p ,因此不能用此性质㊂那么非焦点弦的弦长问题一般可以用弦长公式来求,所以在求抛物线的弦长时,要先确认直线是否通过焦点,如果过焦点就用焦点弦公式,否则只能用一般弦长公式㊂(1)一般弦长公式:|A B |=1+k 2㊃3。
空间点、直线、平面之间的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系知识梳理1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．作用：可用来证明点、直线在平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．作用：①可用来确定一个平面；②证明点线共面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．作用：①可用来确定两个平面的交线；②判断或证明多点共线；③判断或证明多线共点．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．作用：判断空间两条直线平行的依据．2．空间直线的位置关系(1)位置关系的分类：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩平行共面直线相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角：①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)． ②范围：0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦.(3)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．空间直线与平面，平面与平面之间的位置关系图形语言 符号语言 公共点 直线与平面 相交a ∩α＝A 1个平行a ∥α 0个 在平面内a ⊂α 无数个 平面与平面 平行α∥β 0个 相交α∩β＝l 无数个 易错点：1．异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交．2．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”．[试一试]1．下列说法正确的是()A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面解析：选D由异面直线的定义可知选D.2．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是()A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交或b⊂α或b∥α解析：选D b与α相交或b⊂α或b∥α都可以．3．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()A．异面B．相交C．不可能平行D．不可能相交解析：选C由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b.与a，b是异面直线相矛盾．4．已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是()A．AB∥CD B．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交解析：选D若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线．5．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，求异面直线B1C与EF所成的角的大小．解析：连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C ＝60°.方法归纳：1．求异面直线所成角的方法(1)平移法：即选点平移其中一条或两条直线使其转化为平面角问题，这是求异面直线所成角的常用方法．(2)补形法：即采用补形法作出平面角．2．证明共面问题的两种途径(1)首先由条件中的部分线(或点)确定一个平面，再证其他线(或点)在此平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证明这两个平面重合．3．证明共线问题的两种途径(1)先由两点确定一条直线，再证其他点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上．4．证明共点问题的常用方法先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．[练一练]1．如图是正方体或四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是( )解析：选D A ，B ，C 图中四点一定共面，D 中四点不共面．2.已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1中点，求异面直线BE 与CD 1所成的角的余弦值．解析：如上图连接BA 1 ∵BA 1∥CD 1，∴∠A 1BE 为所求．在△A 1BE 中，设AB ＝1，则AA 1＝2，∴A 1B ＝5，A 1E ＝1，BE ＝ 2.∴cos ∠A 1BE ＝31010考点精讲考点一 平面的基本性质及应用1．在下列命题中，不是．．公理的是( )A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行B ．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线解析：选A 选项A 是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．2．下列命题：①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 对于①，未强调三点不共线，故①错误；②正确；对于③，三条直线两两相交，如空间直角坐标系，能确定三个平面，故③正确；对于④，未强调三点共线，则两平面也可能相交，故④错误．3．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点，F 为A 1A 的中点，求证：CE ，D 1F ，DA 三线共点．解析：∵112EF CD ，∴直线D 1F 和CE 必相交． 设D 1F ∩CE ＝P ，∵P ∈D 1F 且D 1F ⊂平面AA 1D 1D ，∴P ∈平面AA 1D 1D .又P ∈EC 且CE ⊂平面ABCD ，∴P ∈平面ABCD ，即P 是平面ABCD 与平面AA 1D 1D 的公共点．而平面ABCD ∩平面AA 1D 1D ＝AD .∴P ∈AD ，∴CE 、D 1F 、DA 三线共点．变式练习：本例条件不变试证明E ，C ，D 1，F 四点共面．证明：∵E ，F 分别是AB 和AA 1的中点，∴112EF A B ，又A 1D 1∥B 1C 1∥BC . ∴四边形A 1D 1CB 为平行四边形，∴A 1B ∥CD 1，从而EF ∥CD 1.∴EF 与CD 1确定一个平面，∴E ，C 1，F ，D 四点共面．[解题通法]1．证明线共点问题常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上．2．证明点或线共面问题一般有以下两种途径：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余线(或点)均在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合．考点二空间两直线的位置关系[典例]1、已知m，n，l为不同的直线，α，β为不同的平面，有下面四个命题：①m，n为异面直线，过空间任一点P，一定能作一条直线l与m，n都相交．②m，n为异面直线，过空间任一点P，一定存在一个与直线m，n都平行的平面．③α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m，n与l都斜交，则m与n一定不垂直；④m，n是α内两相交直线，则α与β相交的充要条件是m，n至少有一条与β相交．则四个结论中正确的个数为()A．1B．2 C．3 D．4解析：选B①错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内且不在直线m上时，就不满足结论；②错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内时，就不满足结论；③正确，否则，若m⊥n，在直线m上取一点作直线a⊥l，由α⊥β，得a⊥n.从而有n⊥α，则n⊥l；④正确．2、已知空间四边形ABCD中，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边BC，CD的中点．①求证：BC与AD是异面直线；②求证：EG与FH相交．证明：①假设BC与AD共面，不妨设它们所共平面为α，则B，C，A，D∈α.所以四边形ABCD为平面图形，这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾．所以BC与AD是异面直线．②如图，连接AC，BD，则EF∥AC，HG∥AC，因此EF∥HG；同理EH∥FG，则EFGH为平行四边形．又EG，FH是▱EFGH的对角线，所以EG与HF相交．[类题通法]1．异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．2．客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．[针对训练]若直线l 不平行于平面α，且l ⊄α，则( )A ．α内的所有直线与l 异面B ．α内不存在与l 平行的直线C ．α内存在唯一的直线与l 平行D ．α内的直线与l 都相交解析：选B 如图，设l ∩α＝A ，α内直线若经过A 点，则与直线l 相交；若不经过点A ，则与直线l 异面．考点三 异面直线所成的角[典例]1、如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，求异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值．[解析] 连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．连接A 1C 1，设AB ＝1，则AA 1＝2，A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，故cos ∠A 1BC 1＝5＋5－22×5×5＝45. 2、已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，CC 1的中点，那么异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为多少．解：连接DF ，则AE ∥DF ，∴∠D 1FD 即为异面直线AE 与D 1F 所成的角．设正方体棱长为a ，则D 1D ＝a ，DF ＝52a ，D 1F ＝52a ， ∴222155223cos 555222a a a D FD a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠==⋅⋅[类题通法]用平移法求异面直线所成的角的三步法(1)一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．[针对训练]1、如图所示，点A 是平面BCD 外一点，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，且EF ＝2，求异面直线AD 和BC 所成的角．解析：如图，设G 是AC 的中点，连接EG ，FG .因为E ，F 分别是AB ，CD 的中点，故EG ∥BC 且EG ＝12BC ＝1，FG ∥AD ，且FG ＝12AD ＝1.即∠EGF 为所求，又EF ＝2，由勾股定理逆定理可得∠EGF ＝90°.2、如图，三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝60°，PA ＝AB ＝AC ＝2，E 是PC的中点．(1)求异面直线AE 和PB 所成角的余弦值．(2)求三棱锥A －EBC 的体积．解：（1）取BC 中点F ，连接EF 、AF ，则EF ∥PB ，所以∠AEF 或其补角就是异面直线AE和PB 所成的角。
2016届高考数学文命题猜想专题13点、线、面之间的位置关系(学生版)
【命题热点突破一】点、线、面位置关系的判断例1、(1)[2015·浙江卷] 设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β()A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m (2)如图13-7所示，在直三棱柱ABC - A1B1C1中，BC＝AC，AC1⊥A1B，M，N分别为A1B1，AB的中点．给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB1；②A1B⊥AM；③平面AMC1∥平面CNB1.其中正确结论的个数为()图13-7A．0 B．1C．2 D．3【特别提醒】判断空间点、线、面的位置关系，主要依据四个公理、平行关系和垂直关系的定义及有关定理．解决具体问题时可以构建长方体或三棱锥等模型，把要考查的点、线、面融入模型中，判断会简洁明了．如要否定一个结论，只需找到一个反例即可．【变式探究】(1)如图13-8所示，在正方体ABCD - A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()图13-8A．不存在B．有1条C．有2条D．有无数条(2)已知直线l，m，平面α，β，且满足l⊥α，m⊂β，则“l⊥m”是“α∥β”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【命题热点突破二】线、面位置关系例2、如图所示，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直，且AB＝2，AD＝EF＝1.(1)设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF；(2)求证：AF⊥平面CBF.【特别提醒】(1)要证线面平行，主要有两个途径：一是证已知直线与平面内的某直线平行；二是证过已知直线的平面与已知平面平行．转化思想在证明平行关系上起着重要的作用，在寻求平行关系时，利用中位线、平行四边形等是常见的方法．(2)要证线面垂直，关键是在这个平面内能找出两条相交直线和已知直线垂直，即线线垂直⇒线面垂直．结合图形还要注意一些隐含的垂直关系，如等腰三角形的三线合一、菱形的对角线以及经计算得出的垂直关系等．【变式探究】在三棱柱ABC - A1B1C1中，AA1⊥BC，A1B⊥AC，D，E分别是BB1，A1C1的中点．(1)求证：DE∥平面A1BC；(2)若AB⊥BC，求证：A1B⊥平面ABC；(3)在(2)的条件下，若AB＝BC＝1，BB1＝2，求三棱锥A1BCC1的体积．【命题热点突破三】面面位置关系例3、[2015·湖南卷] 如图13-11，直三棱柱ABC - A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F 分别是BC，CC1的中点．(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F - AEC的体积．【特别提醒】面面存在两种特殊的位置关系：平行与垂直．要证面面垂直，需利用面面垂直的判断定理，转化为证线面垂直；要证面面平行，需在其中一个平面内找到两条相交直线都平行于另一个平面．【变式探究】如图所示，在正四棱台ABCD - A1B1C1D1中，A1B1＝a，AB＝2a，AA1＝2a，E，F分别是AD，AB的中点．(1)求证：平面EFB1D1∥平面BDC1；(2)求证：平面AA1C⊥平面BDC1.【命题热点突破四】空间中位置关系的证明与体积、距离问题例4、[2015·广东卷] 如图所示，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD ＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.(1)证明：BC∥平面PDA；(2)证明：BC⊥PD；(3)求点C到平面PDA的距离．【易错提醒】(1)不能将点C到平面PDA的距离转化为某几何体的高；(2)期望通过直接作出点到面的距离求解；(3)不熟悉等积等价转化方法，将三棱锥C -PDA的体积转化为三棱锥P -ACD 的体积；(4)位置关系证明不到位影响点到面距离的计算．【变式探究】如图所示，在等腰梯形PDCB中，DC∥PB，PB＝3DC＝3，PD＝2，DA⊥PB，垂足为A.将△PAD沿AD折起，使得PA⊥AB，得到四棱锥P -ABCD.(1)证明：平面PAD⊥平面PCD；(2)点M在棱PB上，平面AMC把四棱锥P -ABCD分成两个几何体，当这两个几何体体积的比值V多面体PMACDV三棱锥M -ABC＝2时，求点B到平面AMC的距离．【高考真题解读】1.(2015·广东，6)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()A.l与l1，l2都不相交B.l与l1，l2都相交C.l至多与l1，l2中的一条相交D.l至少与l1，l2中的一条相交2.(2015·湖北，5)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则()A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件3.(2015·浙江，4)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β()A.若l⊥β，则α⊥βB.若α⊥β，则l⊥mC.若l∥β，则α∥βD.若α∥β，则l∥m4.(2015·四川，18)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系.并证明你的结论.(3)证明：直线DF⊥平面BEG.5.(2014·陕西，17)四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.(1)求四面体ABCD的体积；(2)证明：四边形EFGH是矩形.6.(2014·新课标全国Ⅱ，18)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E 为PD的中点.(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设AP＝1，AD＝3，三棱锥PABD的体积V＝34，求A到平面PBC的距离.7.(2015·新课标全国Ⅰ，18)如图，四边形ABCD为菱形，G是AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.(1)证明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥EACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积.8.(2015·安徽，19)如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.(1)求三棱锥P-ABC的体积；(2)证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求PMMC的值.9.(2015·湖北，20)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马PABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，点E是PC的中点，连接DE、BD 、BE .(1)证明：DE ⊥平面PBC .试判断四面体EBCD 是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由；(2)记阳马PABCD 的体积为V 1，四面体EBCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值. 10.(2015·浙江，18)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为B 1C 1的中点.(1)证明：A 1D ⊥平面A 1BC ；(2)求直线A 1B 和平面BB 1C 1C 所成的角的正弦值.11.(2015·天津，17)如图，已知AA 1⊥平面ABC ，BB 1∥AA 1，AB ＝AC ＝3，BC ＝25，AA 1＝7，BB 1＝27，点E 和F 分别为BC 和A 1C 的中点.(1)求证：EF ∥平面A 1B 1BA ； (2)求证：平面AEA 1⊥平面BCB 1；(3)求直线A 1B 1与平面BCB 1所成角的大小.。
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点、线、面之间的位置关系知识易错点及例题合集最近许多高二的同学问必修二点线面之间的知识点，普遍感觉这块非常难学，小数老师今天整理了易错点和例题给大家，作为参考！[整合·网络构建][警示·易错提醒]1、不要随意推广平面几何中的结论平面几何中有些概念和性质，推广到空间中不一定成立．例如“过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”、“垂直于同一条直线的两条直线平行”等性质在空间中就不成立．2、弄清楚空间点、线、面的位置关系解决这类问题的基本思路有两个：一是逐个寻找反例作出否定的判断或逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如课桌、教室）作出判断，要注意定理应用准确、考虑问题全面细致。
3、不要忽略异面直线所成的角的范围求异面直线所成的角的时候，要注意它的取值范围是（0°，90°]。
两异面直线所成的角转化为一个三角形的内角时，容易忽略这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．4、透彻理解直线与平面的关系直线与平面位置关系的分类要清晰，一种分法是直线在平面内与直线在平面外（包括直线与平面平行和相交）；另一种分法是直线与平面平行（无公共点）和直线与平面不平行（直线在平面内和直线与平面相交）。
5、使用判定定理时不要忽略条件应用直线与平面垂直的判定定理时，要熟记定理的应用条件，不能忽略“两条相交直线”这一关键点。
专题1共点、共线、共面问题（1）、证明共面问题证明共面问题，一般有两种证法：一是先由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是先分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合。
（2）、证明三点共线问题证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是两个平面的公共点，当然必在两个平面的交线上。
（3）、证明三线共点问题证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在直线上的问题。
[例1]如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD 的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，求证：（1）、E，F，G，H四点共面；（2）、EG与HF的交点在直线AC上。
证明：（1）、因为BG∶GC＝DH∶HC，所以GH∥BD。
又因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD，所以EF∥GH，所以E，F，G，H四点共面。
（2）、因为G，H不是BC，CD的中点，所以EF∥GH，且EF≠GH，所以EG 与FH必相交。
设交点为M，而EG⊂平面ABC，HF⊂平面ACD，所以M∈平面ABC，且M ∈平面ACD。
因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以M∈AC，即EG与HF的交点在直线AC 上。
归纳升华：证明共点、共线、共面问题的关键是合理地利用三个公理，做到合理、恰当地转化。
[变式训练]三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行，求证：a，b，c三条直线必相交于同一点。
证明：如图所示，因为α∩γ＝b，β∩γ＝a，所以a⊂γ，b⊂γ。
因为直线a和b不平行，所以a，b必相交。
设α∩b＝P，则P ∈a，P ∈b，因为a ⊂β，b⊂α，所以P ∈β，P ∈α。
又α∩β＝c，所以P ∈c，所以a，b，c三条直线必相交于同一点。
专题2空间中的位置关系（1）、空间中两直线的位置关系：相交、平行、异面；（2）、空间中直线与平面的位置关系：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交；（3）、两个平面的位置关系：平行、相交。
[例2]已知m，n表示两条不同直线，α表示平面。
下列说法正确的是（）A、若m∥α，n∥α，则m∥nB、若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC、若m⊥α，m⊥n，则n∥αD、若m∥α，m⊥n，则n⊥α解析：若m∥α，n∥α，则m，n可能平行、相交或异面，A错；若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，C错；若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也可能n⊂α，D错．答案：B归纳升华：若要否定一个结论，则只要举出一个反例即可；若要肯定一个结论，则需要进行严密的逻辑推理．[变式训练]下列命题正确的有（）①若一直线a与平面α内一直线b平行，则a∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④垂直于同一条直线的两个平面平行．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：由a∥b，b⊂α，可得出a⊂α，或a∥α，①不正确．a⊄α有两种情况，即a∥α和a与α相交，②不正确．垂直于同一条直线的两条直线可能相交、平行或异面，③不正确．④正确．故选B。
答案：B专题3平行问题和垂直问题线线、线面、面面的平行与垂直是本章的重点，它包含了相关平行与垂直的证明，利用平行与垂直解决线、面等问题．其判定与性质之间并非孤立的，而是存在线线、线面、面面间平行与垂直关系的相互转化。
在高考中，常以解答题形式出现，其中线面平行和垂直是重中之重。
[例3]如图所示，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：（1）、PA⊥底面ABCD；（2）、BE∥平面PAD；（3）、平面BEF⊥平面PCD。
证明：（1）、因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD。
（2）、因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE。
所以四边形ABED为平行四边形，所以BE∥AD。
又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD。
（3）、因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD ⊥CD。
由（1），知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，所以CD⊥平面PAD，所以CD ⊥PD。
因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF。
又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF，所以平面BEF⊥平面PCD。
归纳升华1、平行关系的转化．面面平行的性质是线线平行的判定要判定某一平行的过程就是从一平行出发不断转化的过程，在解题时把握这一点，灵活确定转化的思想和方向2、垂直关系的转化．面面垂直的性质是线线垂直的判定在证明两平面垂直时一般从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线不存在，则可通过作辅助线来解决．当有面面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，进一步转化为线线垂直．[变式训练]如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E。
求证：（1）、DE∥平面AA1C（2）、BC1⊥AB1证明：（1）、由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC。
因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C。
（2）、因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，所以AC⊥CC1。
又AC⊥BC，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.。
因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C。
因为AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC。
又AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1。
专题4空间角的求解空间角一般指两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面所成的角．[例4]如图所示，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：（1）、AO与A′C′所成角的度数；（2）、AO与平面ABCD所成角的正切值；（3）、平面AOB与平面AOC所成角的度数。
解：（1）、因为A′C′∥AC，所以AO与A′C′所成的角就是∠OAC.因为OC⊥OB，AB⊥平面BC′，所以OC⊥AB且AB∩BO＝B.所以OC⊥平面ABO.又OA⊂平面ABO，所以OC⊥OA.在Rt△AOC中，OC＝，AC＝，sin∠OAC＝ACOC＝21，所以∠OAC＝30°，即AO与A′C′所成角的度数为30°。
（2）、如图所示，作OE⊥BC于点E，连接AE，因为平面BC′⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD，∠OAE为OA与平面ABCD所成的角。
在Rt△OAE中，OE＝21，（3）、因为OC⊥OA，OC⊥OB，所以OC⊥平面AOB。
又因为OC⊂平面AOC，所以平面AOB⊥平面AOC，即平面AOB与平面AOC 所成角的度数为90°。
归纳升华：求空间角的问题，无论哪种情况，最终都归结到两条相交直线所成的角的问题．求空间角的解题步骤：①找出这个角；②说明该角符合题意；③构造出含这个角的三角形，解三角形，求出角。
[变式训练]如图1所示，平面角为锐角的二面角αEFβ，A∈EF，AG⊂α，∠GAE＝45°，若AG与β所成角为30°，求二面角αEFβ的大小。
解：作GH⊥β于H，作HB⊥EF于B，连接GB，如图2.则GB⊥EF，∠GBH是二面角的平面角，又∠GAH是AG与β所成的角，专题5转化与化归思想在立体几何中的应用立体几何中最重要、最常用的思想就是转化与化归思想．（1）、线线、线面、面面的位置关系，通过转化，使它们建立联系，如面面平行、线面平行、线线平行、面面垂直、线面垂直、线线垂直等，有关线面位置关系的论证往往就是通过这种联系和转化得到解决的。
（2）、通过平移，将一些线面关系转化为平面内的线线关系，通过线面平行，将空间角最终转化为平面角，并构造三角形，借助于三角形的知识解决问题。
（3）、通过添加辅助线，将立体问题转化为平面问题。
[例5]如图1所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由。
解：当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD.证明如下：如图2，连接BD和AC交于点O，连接FO，那么PF＝21PB。
因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是BD的中点，所以OF∥PD。
又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD，所以OF∥平面PMD。
又AM綊21PB，所以PF綊MA，所以四边形AFPM是平行四边形，所以AF ∥PM。
又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD，所以AF∥平面PMD。
又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC，所以平面AFC∥平面PMD.归纳升华：证明垂直关系时，注意面面垂直、线面垂直与线线垂直的相互转化．一般地，面面垂直问题可转化为线面垂直问题，线面垂直问题可转化为线线垂直问题．[变式训练]在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过E作EF⊥PB于点F。