2.1《空间点、直线、平面之间的位置关系》练习题
空间点、直线、平面之间的位置关系练习题(基础、经典、好用)
空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1．以下四个命题中①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．32．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定()A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行3．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是()图7－3－74．(2013·揭阳模拟)如图7－3－7，正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是()A.55B.255C.12D．25．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是()A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC二、填空题图7－3－86．(2013·深圳质检)如图7－3－8是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．7．(2013·韶关模拟)设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中正确的命题是________(只填序号)．图7－3－98．如图7－3－9所示，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝2∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．三、解答题图7－3－109．如图7－3－10所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为CC1，AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线．图7－3－1110．如图7－3－11所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为A1A，C1C的中点，求证：四边形EBFD1是菱形．图7－3－1211．如图7－3－12，三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．(1)求异面直线AE和PB所成角的余弦值；(2)求三棱锥A—EBC的体积．解析及答案一、选择题1．【解析】①中显然是正确的；②中若A、B、C三点共线则A、B、C、D、E五点不一定共面．③构造长方体或正方体，如图显然b、c异面故不正确．④中空间四边形中四条线段不共面，故只有①正确．【答案】B2．【解析】若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，则a∥b与a，b异面相矛盾．【答案】C3．【解析】在A图中分别连接PS，QR，易证PS∥QR，∴P，Q，R，S共面；在C图中分别连接PQ，RS，易证PQ∥RS，∴P，Q，R，S共面．在B图中过P，Q，R，S可作一正六边形，故四点共面；D图中PS与QR为异面直线，∴四点不共面，故选D.【答案】D4．【解析】如图，取AC中点G，连FG、EG，则FG∥C1C，FG＝C1C；EG∥BC，EG＝12BC，故∠EFG即为EF与C1C所成的角，在Rt△EFG中，cos∠EFG＝FGFE＝25＝255.【答案】B5．【解析】由公理1知，命题A正确．对于B，假设AD与BC共面，由A正确得AC与BD共面，这与题设矛盾，故假设不成立，从而结论B正确．对于C，如图，当AB＝AC，DB＝DC，使二面角A—BC—D的大小变化时，AD与BC不一定相等，故不正确．对于D，如图，取BC的中点E，连接AE，DE，则由题设得BC⊥AE，BC⊥DE.根据线面垂直的判定定理得BC⊥平面ADE，从而AD⊥BC.故D正确．【答案】C二、填空题6．【解析】还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.【答案】②③④7．【解析】由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行，或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．【答案】①8．【解析】取A1C1的中点D1，连接B1D1，因为D是AC的中点，所以B1D1∥BD，所以∠AB1D1即为异面直线AB1与BD所成的角．连接AD1，设AB＝a，则AA1＝2a，所以AB1＝3a，B1D1＝32a，AD1＝14a2＋2a2＝32a.所以cos∠AB1D1＝3a2＋34a2－94a22×3a×32a＝12，所以∠AB1D1＝60°.【答案】60°三、解答题9．【解】在平面AA1D1D内，延长D1F，∵D1F与DA不平行，∴D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈D1F，P∈DA.又∵D1F⊂平面BED1F，AD⊂平面ABCD，∴P∈平面BED1F，P∈平面ABCD.又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，连接PB，∴PB即为平面BED1F与平面ABCD 的交线．如图所示．10．【证明】如图所示，取B1B的中点G，连接GC1，EG，∵GB∥C1F，且GB＝C1F，∴四边形C1FBG是平行四边形，∴FB∥C1G，且FB＝C1G，∵D1C1∥EG，且D1C1＝EG，∴四边形D1C1GE为平行四边形．∴GC1∥D1E，且GC1＝D1E，∴FB∥D1E，且FB＝D1E，∴四边形EBFD1为平行四边形．又∵FB＝FD1，∴四边形EBFD1是菱形．11．【解】(1)取BC的中点F，连结EF，AF，则EF∥PB.所以∠AEF就是异面直线AE和PB所成的角或其补角．∵∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，∴AF＝3，AE＝2，EF＝2，cos∠AEF＝2＋2－32×2×2＝14.(2)因为E是PC中点，所以E到平面ABC的距离为12PA＝1，V A—EBC＝V E—ABC＝13×34×4×1＝33.。
《 空间点、直线、平面之间的位置关系》试题(新人教必修2).
第1题. 下列命题正确的是（ ） Ａ．经过三点确定一个平面Ｂ．经过一条直线和一个点确定一个平面 Ｃ．四边形确定一个平面Ｄ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面答案：Ｄ．第2题. 如图，空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别 是AB ，BC ，CD ，DA 的中点． 求证：四边形EFGH 是平行四边形．答案：证明：连接BD ．因为EH 是ABD △的中位线，所以EH BD ∥，且． 同理，FG BD ∥，且BD ．因为EH FG ∥，且EH FG =． 所以四边形EFGH 为平行四边形．试题号：4658 知识点：空间平行线的传递性——公理4。
试题类型：解答题 试题难度：容易 考查目标：基础知识 录入时间：2006-1-6第3题. 如图，已知长方体ABCD A BC D ''''-中，AB =AD =2AA '=． （１）BC 和A C ''所成的角是多少度？ （２）AA '和BC '所成的角是多少度？AE BHGCFD答案：（１）45þ；（２）60þ．第4题. 下列命题中正确的个数是（）①若直线l上有无数个点不在平面α内，则lα∥．②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行．③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．A．0Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3答案：Ｂ．⊄，则下列结论成立的是（）第5题. 若直线a不平行于平面α，且aαＡ．α内的所有直线与a异面Ｂ．α内不存在与a平行的直线Ｃ．α内存在唯一的直线与a平行Ｄ．α内的直线与a都相交答案：Ｂ．∥，且a与c的夹角为θ，那么b与c夹角第6题. 已知a，b，c是三条直线，角a b为．答案：θ．第7题. 如图，AA'是长方体的一条棱，这个长方体中与AA'垂直的棱共条．答案：8条．第8题. 如果a，b是异面直线，直线c与a，b都相交，那么这三条直线中的两条所确定的平面共有个．答案：2个．∥则b与α的位置关系是．第9题. 已知两条相交直线a，b，aα平面∥，或b与a相交．答案：b a第10题. 如图，三条直线两两平行且不共面，每两条确定一个平面，一共可以确定几个平面？如果三条直线相交于一点，它们最多可以确定几个平面？答案：3个，3个．第11题. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM与ED平行．②CN与BE是异面直线．③CN 与BM 成60˚角． ④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（ ） Ａ．①，②，③Ｂ．②，④ Ｃ．③，④Ｄ．②，③，④答案：Ｃ．第12题. 下列命题中，正确的个数为（ ）①两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行；②平行移动两条异面直线中的任何一条，它们所成的角不变；③过空间四边形ABCD 的顶点A 引CD 的平行线段AE ，则BAE ∠是异面直线AB 与CD 所成的角；④四边相等，且四个角也相等的四边形是正方形 Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 答案：Ｂ．第13题. 在空间四边形ABCD 中，N ，M 分别是BC ，AD 的中点，则2MN 与AB CD +的大小关系是 ． 答案：2MN AB CD <+．第14题. 已知a b ，是一对异面直线，且a b ，成70角，P 为空间一定点，则在过P 点的直线中与a b ，所成的角都为70的直线有 条．答案：4．第15题. 已知平面αβ//，P 是平面αβ，外的一点，过点P 的直线m 与平面αβ，分别交于A C ，两点，过点P 的直线n 与平面αβ，分别交于B D ，两点，若698PA AC PD ===，，， 则BD 的长为 ．答案：24245或．第16题. 空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若AC BD a ==，且AC 与BD 所成的角为90，则四边形EFGH 的面积是 ． 答案：214a ．第17题. 已知正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11D C ，11C B 的中点，AC BD P = ，11AC EF Q = ．求证：（１）D ，B ，F ，E 四点共面；（２）若1AC 交平面DBFE 于R 点，则P ，Q ，R 三点共线． 答案：证明：如图．（１）EF 是111D B C △的中位线，11EF B D ∴∥． 在正方体1AC 中，11B D BD ∥，∴EF BD ∥．EF ∴确定一个平面，即D ，B ，F ，E 四点共面．（２）正方体1AC 中，设11A ACC 确定的平面为α，又设平面BDEF 为β．11Q AC ∈ ，Q α∴∈．又Q EF ∈，Q β∴∈．则Q 是α与β的公共点，PQ αβ∴= ． 又1AC R β= ，1R AC ∴∈． R α∴∈，R β∈且，则R PQ ∈．故P ，Q ，R 三点共线．第18题. 已知下列四个命题： ① 很平的桌面是一个平面； ② 一个平面的面积可以是4m 2； ③ 平面是矩形或平行四边形；④ 两个平面叠在一起比一个平面厚． 其中正确的命题有（ ） Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．3个 答案：Ａ．第19题. 给出下列命题：和直线a 都相交的两条直线在同一个平面内； 三条两两相交的直线在同一平面内； 有三个不同公共点的两个平面重合； 两两平行的三条直线确定三个平面． 其中正确命题的个数是（ ） Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 答案：Ａ．第20题. 直线12l l ∥，在1l 上取3点，2l 上取2点，由这5点能确定的平面有（ ）Ａ．9个 Ｂ．6个 Ｃ．3个 Ｄ．1个 答案：Ｄ．第21题. 三条直线相交于一点，可能确定的平面有（ ） Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．1个或3个 答案：Ｄ．第22题. 下列命题中，不正确的是（ ）①一条直线和两条平行直线都相交，那么这三条直线共面； ②每两条都相交但不共点的四条直线一定共面； ③两条相交直线上的三个点确定一个平面； ④两条互相垂直的直线共面． Ａ．①与② Ｂ．③与④ Ｃ．①与③ Ｄ．②与④ 答案：Ｂ．第23题. 分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（ ） Ａ．异面直线 Ｂ．相交直线 Ｃ．不相交直线 Ｄ．不平行直线答案：Ｄ．第24题. 在长方体1111ABCD A B C D 中，点O ，1O 分别是四边形ABCD ，1111A B C D 的对角线的交点，点E ，F 分别是四边形11AA D D ，11BB C C 的对角线的交点，点G ，H 分别是四边形11A ABB ，11C CDD 的对角线的交点． 求证：1OEG O FH △≌△．答案：证明：如图，连结1AD ，AC ，1CD ，11C A ，1C B ，1BA由三角形中位线定理可知OE ∥ 112CD ，1O F ∥112BA ． 又1BA ∥1CD ，OE ∴ ∥1O F ．同理可证EG ∥FH ． 由等角定理可得1OEG O FH ∠=∠．∴1OEG O FH △≌△．第25题. 若a ，b 是异面直线，b ，c 也是异面直线，则a 与c 的位置关系是（ ） Ａ．异面 Ｂ．相交或平行 Ｃ．平行或异面 Ｄ．相交或平行或异面 答案：Ｄ．第26题. a ，b 是异面直线，A ，B 是a 上两点，C ，D 是b 上的两点，M ，N 分别是线段AC 和BD 的中点，则MN 和a 的位置关系是（ ） Ａ．异面直线 Ｂ．平行直线 Ｃ．相交直线 Ｄ．平行、相交或异面 答案：Ａ．第27题. 如下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中 ①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60þ角；④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）Ａ．①②③ Ｂ．②④ Ｃ．③④ Ｄ．②③④答案：Ｃ．第28题. 直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的（ ） Ａ．一条直线不相交Ｂ．两条直线不相交Ｃ．任意一条直线不相交Ｄ．无数条直线不相交答案：Ｃ．第29题. 如果直线a平行于平面α，则（）Ａ．平面α内有且只有一直线与a平行Ｂ．平面α内有无数条直线与a平行Ｃ．平面α内不存在与a平行的直线Ｄ．平面α内的任意直线与直线a都平行答案：Ｂ．第30题. 已知直线的倾斜角为α，若3sin5α=，则此直线的斜率为（）Ｃ．34±Ｄ．43±。
空间点,直线,平面的位置关系试题(含答案)2
空间角和距离一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线m 与平面α间距离为d ，那么到m 与α距离都等于2d 的点的集合是（ ）A ．一个平面B ．一条直线C ．两条直线D ．空集 2．异面直线a 、b 所成的角为θ，a 、b 与平面α都平行，b ⊥平面β，则直线a与平面β所成的角（ ）A ．与θ相等B ．与θ互余C ．与θ互补 D ．与θ不能相等．3．在正方体ABCD —A 'B 'C 'D '中，BC '与截面BB 'D 'D 所成的角为（ ） A ．3πB ．4π C ．6πD ．arctan24．在正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2及G 2G 3的中点，D是EF 的中点，现在沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1，G 2，G 3三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S －EFG中必有（ ）A ．SG ⊥△EFG 所在平面B ．SD ⊥△EFG 所在平面C ．GF ⊥△SEF 所在平面D ．GD ⊥△SEF 所在平面 5．有一山坡，它的倾斜角为30°，山坡上有一条小路与斜坡底线成45°角，某人沿这条小路向上走了200米，则他升高了（ ）A ．1002米 B ．502米 C ．256米D ．506米6．已知三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小为 （ ）A ．arccos33 B ．arccos 31 C ．2π D ．32π7．正四面体A —BCD 中E 、F 分别是棱BC 和AD 之中点，则EF 和AB 所成的角 （ ） A ．45︒ B ．60︒ C．90︒D ．30︒8．把∠A =60°，边长为a 的菱形ABCD 沿对角线BD 折成60°的二面角，则AC 与BD 的距离为（ ）A ．43aB ．43 a C ．23 aD ．46 a9．若正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成的角为α，则下列各等式中成立的是（ ）A ．0＜α＜6πB ．6π＜α＜4πC ．4π＜α＜3πD ．3π＜α＜2π10．已知A （1，1，1），B （－1，0 ，4），C （2 ，－2，3），则〈AB ，CA〉的大小为（ ）A ．6πB ．65π C ．3πD ．32π二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．从平面α外一点P 引斜线段PA 和PB ，它们与α分别成45︒和30︒角，则∠APB 的最大值是______最小值是_______12．∆ABC 中∠ACB=90︒，PA ⊥平面ABC ，PA=2，AC=2 3 ，则平面PBC 与平面PAC ，平面ABC 所成的二角的大小分别是______、_________．13．在三棱锥Ｐ－ＡＢＣ中，90=∠ABC，30=∠BAC，ＢＣ＝５，又ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ＝ＡＣ，则点Ｐ到平面ＡＢＣ的距离是 ．14．球的半径为8，经过球面上一点作一个平面，使它与经过这点的半径成45°角，则这个平面截球的截面面积为 ． 三、解答题（共计76分）15．（本小题满分12分）已知SA ⊥平面ABC ，SA=AB ，AB ⊥BC ，SB=BC ，E 是SC 的中点，DE ⊥SC 交AC 于D ． （1） 求证：SC ⊥面BDE ；（2）求二面角E —BD —C 的大小．16．（本小题满分12分）如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM⊥交1AA 于点M，1BB PN ⊥交1CC 于点N．(1) 求证：MN CC ⊥1； (2) 在任意DEF ∆中有余弦定理：DFEEF DF EFDFDE∠⋅-+=cos 2222．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．17．（本小题满分12分）如图，四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=3．（1）求证BC SC；（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；（3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小．18．（本小题满分12分）在直角梯形ABCD中，∠D=∠BAD=90︒,AD=DC=1AB=a,(如图一)将△ADC 沿AC折起，使2D到D'．记面AC D'为α,面ABC为β．面BC D'为γ．（1）若二面角α-AC-β为直二面角（如图二），求二面角β-BC-γ的大小;（2）若二面角α-AC-β为60︒（如图三），求三棱锥D'-ABC的体积．19．（本小题满分14分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点．（1）求证AM//平面BDE；（2）求二面角A-DF-B的大小；（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60︒．20．（本题满分14分）如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若a=)BNCM=<a．20(<（1）求MN的长；（2）当a为何值时，MN的长最小；（3）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角α的大小．参考答案一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．750 ,150 12．900 ,300 13．35 14．π32三、解答题（本大题共6题，共76分）15．(12分) （1）证明：（1）∵SB=BC E 是SC 的中点 ∴BE ⊥SC ∵DE ⊥SC ∴SC ⊥面BDE（2）解：由（1）SC ⊥BD ∵SA ⊥面ABC ∴SA ⊥BD ∴BD ⊥面SAC ∴∠EDC 为二面角E-BD-C 的平面角设SA=AB=a,则SB=BC=a2．,2,a SC SBC Rt =∆∴中在,30,0=∠∆∴DCESAC Rt 中在60,=∠∆∴EDC DEC Rt 中在．16．(12分) (1) 证：MNCC PMN CC PN CC PM CC BB CC ⊥⇒⊥∴⊥⊥⇒111111,,//平面 ； (2)解：在斜三棱柱111C B A ABC -中，有αcos 21111111111222A ACCB BCCA ACCB BCCA ABBS S S S S ⋅-+=，其中α为 平面B B CC 11与平面A A CC 11所组成的二面角．∴⊥,1PMN CC 平面 上述的二面角为MNP ∠,在PMN ∆中，cos 2222⇒∠⋅-+=MNP MN PN MNPNPMMNPCC MN CC PN CCMN CC PN CCPM ∠⋅⋅⋅-+=cos )()(211111222222， 由于111111111,,BB PM S CCMN S CCPN S A ABBA ACCB BCC⋅=⋅=⋅=，∴有αcos 21111111111222A ACCB BCCA ACCB BCCA ABBS S S S S ⋅-+=．17．(12分) （1）证法一：如，∵底面ABCD 是正方形， ∴BC ⊥DC ．∵SD ⊥底面ABCD ，∴DC 是SC 在平面ABCD 上的射影， 由三垂线定理得BC ⊥SC ．证法二：如图1，∵底面ABCD 是正方形， ∴BC ⊥DC ．∵SD ⊥底面ABCD ，∴SD ⊥BC ，又DC ∩SD=D ，∴BC ⊥平面SDC ，∴BC ⊥SC ．（2）解：如图2，过点S 作直线,//AD l l ∴在面ASD 上，∵底面ABCD 为正方形，l BC AD l ∴∴,////在面BSC 上，l ∴为面ASD 与面BSC 的交线．l ∴,,,,SC l SD l SC BC AD SD ⊥⊥∴⊥⊥∴∠CSD 为面ASD 与面BSC 所成二面角的平面角．（以下同解法一） （3）解1：如图2，∵SD=AD=1，∠SDA=90°， ∴△SDA 是等腰直角三角形．又M 是斜边SA 的中点，∴DM ⊥SA ．∵BA ⊥AD ，BA ⊥SD ，AD ∩SD=D ，∴BA ⊥面ASD ，SA 是SB 在面ASD 上的射影．由三垂线定理得DM ⊥SB ．∴异面直线DM 与SB 所成的角为90°．图1图2解2：如图3，取AB 中点P ，连结MP ，DP ．在△ABS 中，由中位线定理得 MP//SB ，DMP ∠∴是异面直线DM 与SB 所成的角．2321==SB MP，又,25)21(1,222=+==DP DM∴在△DMP 中，有DP 2=MP 2+DM 2，︒=∠∴90DMP∴异面直线DM 与SB 所成的角为90°．18．(12分) 解：（1）在直角梯形ABCD 中， 由已知∆DAC 为等腰直角三角形， ∴45,2=∠=CAB a AC , 过C 作CH ⊥AB ，由AB=2a ，可推得 AC=BC=.2a∴ AC ⊥BC ．取 AC 的中点E ，连结ED '，则 ED '⊥AC 又 ∵ 二面角β--AC a 为直二面角，∴ED '⊥β 又 ∵ ⊂BC 平面β ∴ BC ⊥E D ' ∴ BC ⊥a ，而a C D ⊂'，∴ BC ⊥C D ' ∴ CAD '∠为二面角γβ--BC 的平面角．由于45='∠CAD ， ∴二面角γβ--BC 为 45．（2）取AC 的中点E ，连结E D '，再过D '作β⊥'O D ，垂足为O ，连结OE ．∵ AC ⊥E D '， ∴ AC ⊥OE ∴ EOD '∠为二面角β--ACa 的平面角， ∴ EO D '∠60=． 在OE D Rt '∆中，aACE D 2221=='，∴O D S V ABC ABC D '⋅=∆-'31O D BC AC '⋅⋅⨯=2131a a a 462261⨯⨯⨯=.1263a =19．（14分）解法一: (1)记AC 与BD 的交点为O,连接OE, ∵O 、M 分别是AC 、EF 的中点，图3ACEF 是矩形，∴四边形AOEM 是平行四边形， ∴AM ∥OE ．∵⊂OE平面BDE ，⊄AM 平面BDE ，∴AM ∥平面BDE ．(2)在平面AFD 中过A 作AS ⊥DF 于S ，连结BS ，∵AB ⊥AF ， AB ⊥AD ， ,A AF AD = ∴AB ⊥平面ADF ，∴AS 是BS 在平面ADF 上的射影，由三垂线定理得BS ⊥DF ．∴∠BSA 是二面角A —DF —B 的平面角． 在RtΔASB 中，,2,36==AB AS∴,60,3tan ︒=∠=∠ASB ASB∴二面角A —DF —B 的大小为60º．（3）设CP=t （0≤t≤2）,作PQ ⊥AB 于Q ，则PQ ∥AD ， ∵PQ ⊥AB ，PQ ⊥AF ，A AFAB = ，∴PQ ⊥平面ABF ，⊂QE平面ABF ，∴PQ ⊥QF ．在RtΔPQF 中，∠FPQ=60º，PF=2PQ ． ∵ΔPAQ 为等腰直角三角形，∴).2(22t PQ -=又∵ΔPAF 为直角三角形，∴1)2(2+-=t PF，∴).2(2221)2(2t t -⋅=+-所以t=1或t=3(舍去),即点P是AC 的中点．解法二： （1）建立如图所示的空间直角坐标系． 设NBD AC = ，连接NE ， 则点N 、E 的坐标分别是（)0,22,22、（0,0,1）,∴)1,22,22(--=NE, 又点A 、M 的坐标分别是)0,2,2(,（)1,22,22∴AM =（)1,22,22--∴AMNE =且NE与AM 不共线，∴NE ∥AM ．又∵⊂NE 平面BDE ， ⊄AM 平面BDE ，∴AM ∥平面BDF ．（2）∵AF ⊥AB ，AB ⊥AD ，AF ,A AD = ∴AB ⊥平面ADF ．∴AB)0,0,2(-=为平面DAF 的法向量．∵DBNE ⋅=（)1,22,22--·)0,2,2(-=0， ∴NFNE⋅=（)1,22,22--·)0,2,2(=0得DBNE ⊥，NFNE⋅，∴NE 为平面BDF 的法向量．∴cos<>⋅NE AB =21∴AB 与NE 的夹角是60º．即所求二面角A —DF —B的大小是60º． （3）设P(t,t,0)(0≤t≤2)得PF),1,2,2(t t --=∴BC =（2，0，0）又∵PF 和BC 所成的角是60º．∴21)2()2(2)2(60cos 22⋅+-+-⋅-=︒t t t解得22=t 或223=t （舍去），即点P 是AC 的中点．20．(14分) 解：（1）作MP ∥AB 交BC 于点P NQ∥AB 交BE 于点Q ，连结PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且MP =NQ，即MNQP 是平行四边形∴MN =PQ由已知a BN CM ==，1===BE AB CB∴2==BF AC 又21a CP =，21a BQ =，即2a BQ CP ==∴MN=PQ =22)1(BQCP +-=22)2()21(a a +-=21)22(2+-a )20(<<a（2）由（Ⅰ），MN=21)22(2+-a ,所以，当22=a 时，MN=22即M 、N 分别移动到AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为22．（3）取MN 的中点G ，连结AG 、BG ，∵ANAM =，BNBM=，G 为MN的中点 ∴AG⊥MN，BG ⊥MN，∠A G B即为二面角α的平面角,又AG =BG 46=，所以，由余弦定理有314646214646cos 22-=⋅⋅-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α, 故所求二面角⎪⎭⎫⎝⎛-=31arccos α。
点直线平面之间的位置关系练习题
第二章 《点、直线、平面之间的位置关系》一、选择题1． 给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题： ①若不共面与则点m l m A A l m ,,,∉=⋂⊂αα；②若m 、l 是异面直线，ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//； ③若m l m l //,//,//,//则βαβα；④若.//,//,//,,,βαββαα则点m l A m l m l =⋂⊂⊂ 其中为假命题的是A ．①B ．②C ．③D ．④2.设γβα,,为两两不重合的平面，n m l ,,为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若γα⊥，γβ⊥，则βα||；②若α⊂m ，α⊂n ，β||m ，β||n ，则βα||； ③若βα||，α⊂l ，则β||l ；④若l =βαI ，m =γβI ，n =αγI ，γ||l ，则m ||其中真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．43．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若βαβα//,,则⊥⊥m m ；②若βααβγα//,,则⊥⊥； ③若βαβα//,//,,则n m n m ⊂⊂；④若m 、n 是异面直线，βααββα//,//,,//,则n n m m ⊂⊂。
其中真命题是A ．①和②B ．①和③C ．③和④D ．①和④4．已知直线n m l 、、及平面α，下列命题中的假命题是A ．若//l m ，//m n ，则//l n .B ．若l α⊥，//n α，则l n ⊥.C ．若l m ⊥，//m n ，则l n ⊥.D ．若//l α，//n α，则//l n .5．在正四面体P —ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立的是A ．BC ∥平面PDFB ．DF ⊥平面PAEC ．平面PDF ⊥平面ABCD ．平面PAE ⊥平面ABC 6．有如下三个命题：①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线； ②垂直于同一个平面的两条直线是平行直线；③过平面α的一条斜线有一个平面与平面α垂直． 其中正确命题的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 7．下列命题中，正确的是 A ．经过不同的三点有且只有一个平面 B ．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 C ．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线 D ．垂直于同一个平面的两个平面平行 8．已知直线m 、n 与平面βα,，给出下列三个命题：①若;//,//,//n m n m 则αα ②若;,,//m n n m ⊥⊥则αα ③若.,//,βαβα⊥⊥则m m其中真命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 9．已知a 、b 、c 是直线，β是平面，给出下列命题： ①若c a c b b a //,,则⊥⊥； ②若c a c b b a ⊥⊥则,,//； ③若b a b a //,,//则ββ⊂；④若a 与b 异面，且ββ与则b a ,//相交；⑤若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直. 其中真命题的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有A ．18对B ．24对C ．30对D ．36对 11．正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、11B C的中点．那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形 12．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有A ．3个B ．4个C ．6个D ．7个 13．设γβα、、为平面，l n m 、、为直线，则β⊥m 的一个充分条件是A ．l m l ⊥=⋂⊥,,βαβαB ．γβγαγα⊥⊥=⋂,,mC ． αγβγα⊥⊥⊥m ,,D ．αβα⊥⊥⊥m n n ,,14．设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么 A ．①是真命题，②是假命题 B ． ①是假命题，②是真命题 C ． ①②都是真命题 D ．①②都是假命题 15．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件： ①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ； ②存在平面γ，使得α、β都平行于γ； ③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l 、m ，使得l //α，l //β，m //α，m //β， 其中，可以判定α与β平行的条件有 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题1．已知平面βα,和直线m ，给出条件：①α//m ；②α⊥m ；③α⊂m ；④βα⊥；⑤βα//.（i ）当满足条件 时，有β//m ；（ii ）当满足条件 时，有β⊥m （填所选条件的序号）2．在正方形''''D C B A ABCD -中，过对角线'BD 的一个平面交'AA 于E ，交'CC 于F ，则① 四边形E BFD '一定是平行四边形 ② 四边形E BFD '有可能是正方形③ 四边形E BFD '在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形E BFD '有可能垂直于平面D BB '以上结论正确的为 （写出所有正确结论的编号） 3．下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥． ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． 其中，真命题的编号是____________．（写出所有真命题的编号）4．已知m 、n 是不同的直线，,αβ是不重合的平面，给出下列命题：①若//,,,m n αβαβ⊂⊂则//m n②若,,//,//,m n m n αββ⊂则//αβ③若,,//m n m n αβ⊥⊥,则//αβ④m 、n 是两条异面直线，若//,//,//,//,m m n n αβαβ则//αβ上面命题中，真命题的序号是____________(写出所有真命题的序号)5． 已知m 、n 是不同的直线，,αβ是不重合的平面，给出下列命题：① 若//m α，则m 平行于平面α内的任意一条直线② 若//,,,m n αβαβ⊂⊂则//m n ③若,,//m n m n αβ⊥⊥,则//αβ④若//,m αβα⊂,则//m β上面命题中，真命题的序号是____________(写出所有真命题的序号)6．连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 （填写所有正确选项的序号） ①菱形 ②有3条边相等的四边形 ③梯形 ④平行四边形 ⑤有一组对角相等的四边形三、计算题1． 如图1所示，在四面体P —ABC 中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=342.F 是线段PB 上一点，341715=CF ，点E 在线段AB 上，且EF ⊥PB.（Ⅰ）证明：PB ⊥平面CEF ； （Ⅱ）求二面角B —CE —F 的大小.[解]（I ）证明： ∵2221006436PC AC PA ==+=+∴△PAC 是以∠PAC 为直角的直角三角形，同理可证△PAB 是以∠PAB 为直角的直角三角形，△PCB 是以∠PCB 为直角的直角三角形 故PA ⊥平面ABC又∵11||||1063022PBC S PC BC ∆==⨯⨯= 而PBC S CF PB ∆==⨯⨯=3017341534221||||21故CF ⊥PB,又已知EF ⊥PB ∴PB ⊥平面CEF（II ）由（I ）知PB ⊥CE, PA ⊥平面ABC ∴AB 是PB 在平面ABC 上的射影，故AB ⊥CE在平面PAB 内，过F 作FF 1垂直AB 交AB 于F 1，则FF 1⊥平面ABC ， EF 1是EF 在平面ABC 上的射影，∴EF ⊥EC故∠FEB 是二面角B —CE —F 的平面角35610cot ===∠=∠AP AB PBA FEB 二面角B —CE —F 的大小为35arctan2．如图，在五棱锥S —ABCDE 中，SA ⊥底面ABCDE ，SA=AB=AE=2，3==DE BC ，=∠=∠=∠120CDE BCD BAE⑴ 求异面直线CD 与SB 所成的角（用反三角函数值表示）； ⑵ 证明：BC ⊥平面SAB ；⑶ 用反三角函数值表示二面角B —SC —D 的大小（本小问不必写出解答过程）[解]（Ⅰ）连结BE ，延长BC 、ED 交于点F ，则∠DCF=∠CDF=600，∴△CDF 为正三角形，∴CF=DF又BC=DE ，∴BF=EF 因此，△BFE 为正三角形， ∴∠FBE=∠FCD=600，∴BE//CD所以∠SBE （或其补角）就是异面直线CD 与SB 所成的角 ∵SA ⊥底面ABCDE ，SA=AB=AE=2，∴SB=22，同理SE=22，又∠BAE=1200，所以BE=32，从而，cos ∠SBE=46，∴∠46 所以异面直线CD 与SB 所成的角是46 (Ⅱ) 由题意，△ABE 为等腰三角形，∠BAE=1200，∴∠ABE=300，又∠FBE =600， ∴∠ABC=900，∴BC ⊥BA∵SA ⊥底面ABCDE ，BC ⊂底面ABCDE ，∴SA ⊥BC ，又SA I BA=A ， ∴BC ⊥平面SAB（Ⅲ）二面角B-SC-D 的大小8282-π3． 已知三棱锥P —ABC 中，E 、F 分别是AC 、AB 的中点,△ABC ，△PEF 都是正三角形，PF ⊥AB.（Ⅰ）证明PC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求二面角P —AB —C 的平面角的余弦值； （Ⅲ）若点P 、A 、B 、C 在一个表面积为12π的 球面上，求△ABC 的边长.[解] 本小题主要考查空间中的线面关系，三棱锥、球的有关概念及解三角形等基础知识，考查空间想象能力及运用方程解未知量的基本方法。
限时集训(四十二) 空间点、直线、平面之间的位置关系
限时集训(四十二) 空间点、直线、平面之间的位置关系(限时：45分钟 满分：81分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．给出下列四个命题：①没有公共点的两条直线平行；②互相垂直的两条直线是相交直线；③既不平行也不相交的直线是异面直线；④不同在任一平面内的两条直线是异面直线．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．42．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，既与AB 共面又与CC 1共面的棱的条数为( )A ．3B ．4C ．5D ．63．若直线l 不平行于平面α，且l ⊄α，则( )A ．α内的所有直线与l 异面B ．α内不存在与l 平行的直线C ．α内存在唯一的直线与l 平行D ．α内的直线与l 都相交4．(2013·福州模拟)如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15B.25C.35D.455．(2013·聊城模拟)对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l ( )A ．平行B ．相交C ．垂直D ．互为异面直线6．(2012·重庆高考)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是( )A ．(0, 2)B ．(0, 3)C ．(1, 2)D ．(1, 3)二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB ⊥EF ；②AB 与CM 所成的角为60°；③EF 与MN 是异面直线；④MN ∥CD .以上四个命题中，正确命题的序号是________．8．(2012·大纲全国卷)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、CC 1的中点，那么异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为________．9．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于________．三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为CC 1，AA 1的中点，画出平面BED 1F 与平面ABCD 的交线．11．如图所示，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝60°，P A ＝AB ＝AC ＝2，E 是PC 的中点．(1)求证AE 与PB 是异面直线；(2)求异面直线AE 和PB 所成角的余弦值．12．(2012·上海高考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD是矩形，P A ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．已知AB ＝2，AD ＝22，P A ＝2.求：(1)三角形PCD 的面积；(2)异面直线BC 与AE 所成的角的大小．限时集训(四十二) 空间点、直线、平面之间的位置关系答 案1．B 2.C 3.B 4.D 5.C 6.A7．①③ 8.359.60° 10．解：如图所示．PB 即为平面BED 1F 与平面ABCD 的交线．11．解：(1)证明：假设AE 与PB 共面，设平面为α，∵A ∈α，B ∈α，E ∈α，∴平面α即为平面ABE ，∴P ∈平面ABE ，这与P ∉平面ABE 矛盾，所以AE 与PB 是异面直线．(2)取BC 的中点F ，连接EF 、AF ，则EF ∥PB ，所以∠AEF 或其补角就是异面直线AE 和PB 所成角，∵∠BAC ＝60°，P A ＝AB ＝AC ＝2，P A ⊥平面ABC ，∴AF ＝3，AE ＝2，EF ＝2；cos ∠AEF ＝2＋2－32×2×2＝14， 所以异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为14. 12．解：(1)因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD ，又AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面P AD ， 从而CD ⊥PD .因为PD ＝22＋(22)2＝23，CD ＝2，所以三角形PCD 的面积为12×2×23＝2 3. (2)取PB 的中点F ，连接EF 、AF ，则EF ∥BC ，从而∠AEF (或其补角)是异面直线BC 与AE 所成的角．在△AEF 中，由EF ＝2、AF ＝2、AE ＝2知△AEF 是等腰直角三角形，所以∠AEF ＝π4. 因此，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π4.。
2016届瑞安五中高二导学案《空间点、直线、平面之间的位置关系》(练习)
§2.1《空间点、直线、平面之间的位置关系》（练习）一、储备（一）学习目标1. 理解和掌握平面的性质定理，能合理运用；2. 掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；3. 会判断异面直线，掌握异面直线的求法；4. 会用图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系. （二）自学导航（阅读：教材P40~ P50，找出疑惑之处） 复习1：概念与性质⑴平面的特征和平面的性质(三个公理)；⑵平行公理、等角定理；复习2：异面直线夹角的求法：平移线段作角，解三角形求角.复习3：图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系 ⑴直线与直线的位置关系； ⑵直线与平面的位置关系； ⑶平面与平面的位置关系.二、导学※ 典型例题例1 如图,ABC ∆在平面α外，AB P α=，BC Q α=，AC R α=，求证：P ,Q ,R 三点共线.例2 如图,空间四边形ABCD中，E,F分别是AB和CB上的点，G,H分别是CD和AD上的点，且EH FG与相交于点K.求证：EH,BD,FG三条直线相交于同一点.例3空间四边形ABCD中，AB=CD,AB与CD成30°角，E,F分别为BC,AD的中点，求EF和AB所成的角。
例4 如图,如果两条异面直线称作“一对”，那么在正方体的12条棱中，共有异面直线多少对?※随堂练习：练1. 如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中：①BM与ED平行②CN与BE是异面直线③CN与BM成60°角④DM与BN是异面直线其中正确命题的序号是（）A.①②③B.②④C.③④D.②③④练2. 如图，在正方体中，E,F分别为AB、AA'的中点，求证：CE,DF',DA三线交于一点.练3. 由一条直线和这条直线外不共线的三点,能确定平面的个数为多少?三、追踪1. 直线1l ∥2l ,在1l 上取3个点，在2l 上取2个点，由这5个点确定的平面个数为（ ）. A.1个 B.3个 C.6个 D.9个2. 下列推理错误的是（ ）. A.A l ∈,A α∈,B l ∈,B α∈l α⇒⊂ B.A α∈,A β∈,B α∈,B β∈AB αβ⇒=C.l α⊄,A l A α∈⇒∉D.A ,B ,C α∈, A ,B ,C β∈,且A ,B ,C 不共线αβ⇒与重合 3. a ,b 是异面直线,b ,c 是异面直线，则a ,c 的位置关系是（ ）.A.相交、平行或异面B.相交或平行C.异面D.平行或异面 4. 若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则它与另一平面____________. 5. 垂直于同一条直线的两条直线位置关系是__________________； 两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，则另一条和这条直线______.6.若两个平面互相平行，则分别在这两个平面内的直线位置关系是7. 如图,在正方体中M ,N 分别是AB 和DD '的中点，求异面直线B M '与CN 所成的角.B C8.如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD的中点，G、H分别在BC、CD 上，且BG:GC=DH:HC=1:2求证：（1）E,F,G,H四点共面（2）EG与HF的交点在直线AC上9. 如图,已知不共面的直线a,b,c相交于O点，M,P点是直线 上两点，N,Q分别是直线b,c上一点.求证：MN和PQ是异面直线.用反证法。
空间点、直线、平面之间的位置关系测试题(含答案)
空间点、直线、平面之间的位置关系测试题(含答案)空间点、直线、平面之间的位置关系测试题1.已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么正确的选项是（）A。
α∥βB。
α与β相交C。
α与β重合D。
α∥β或α与β相交2.两条直线a，b满足a∥b，b⊥平面α，则a与平面α的关系是()A。
a∥αB。
a与α相交C。
a与α不相交D。
a⊥α3.对于命题：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③垂直于同一直线的两直线平行；④垂直于同一平面的两直线平行。
其中正确的个数有(。
)A。
1个B。
2个C。
3个D。
4个4.经过平面外两点与这个平面平行的平面（）A。
只有一个B。
至少有一个C。
可能没有D。
有无数个5.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有（）A。
3条B。
4条C。
5条D。
6条6.a，b是两条异面直线，下列结论正确的是（）A。
过不在a，b上的任一点P，可作一个平面与a，b平行B。
过不在a，b上的任一点P，可作一条直线与a，b相交C。
过不在a，b上的任一点P，可作一条直线与a，b都平行D。
过a可以并且只可以作一平面与b平行7.m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A。
若m‖α，n‖α，则m‖nB。
若α⊥γ，β⊥γ，则α‖βC。
若m‖α，m‖β，则α‖βD。
XXX⊥α，n⊥α，则m‖n8.如图1，正四面体ABCD的棱长均为a，且AD⊥平面α于A，点B，C，D均在平面α外，且在平面α同一侧，则点B到平面α的距离是（）A。
a/2B。
a/3C。
a/23D。
2a/39.如图2，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列结论正确的是A。
PB⊥ADB。
平面PAB⊥平面PBCC。
直线BC∥平面PAED。
直线PD与平面ABC所成的角为45°10.点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为（）A。
高中数学立体几何空间点线面的位置关系讲义及练习
课 题： 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系一、内容讲解知识点1 平面的概念: 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性 常见的桌面，黑板面都是平面的局部形象 指出: 平面的两个特征：①_薄厚一致___ ②_无限延伸_。
平面的表示：__1.在每个顶点处写大写字母____2.小写的希腊字母,,αβχ______________。
点的表示：大写字母 点A 点B线的表示：小写英文字母 线l,线a 线b平面的画法：在立体几何中，通常画成水平放置的平行四边形来表示平面;锐角画成45ο, 2倍长。
两个相交平面：画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画。
图形 符号语言 文字语言（读法）A a A ∈a 点A 在直线a 上A aA ∉a 点A 在直线a 外 Aα A ∈α 点A 在平面α上（内） A αA ∉α 点A 在平面α外 b a A a b A =I直线a,b 交于点A a αa α⊂线a 在面α内 aα a α⊄ 线a 在面α外a Aα a A α=I 直线a 交α于点Al αβ=I平面α交β于线l与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言。
知识点2 公理1 ：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内指出：（1）符号语言：____________________________________．（2）应用：这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面。
知识点3 公理2 ：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线指出：（1）符号语言：____________________________________（2）应用：确定两相交平面的交线位置；判定点在直线上 知识点4 公理3 ：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 指出：（1）符号语言：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.指出：推论1的符号语言：_____________________________-推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面指出：推论2的符号语言：____________________________________推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面指出：推论3的符号语言：________________________________三、典例解析例1 用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.例2 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C∩平面BDC 1=O ，AC 、BC 交于点M ，求证：点C 1、O 、M 共线．五、备选习题1. 画图表示下列由集合符号给出的关系：(1) A ∈α,B ∉α,A ∈l ,B ∈l ; (2) a ⊂α,b ⊂β,a ∥c ,b ∩c =P ,α∩β=c .2. 根据下列条件，画出图形.（1）平面α∩平面β=l ，直线AB ⊂α，AB ∥l ，E ∈AB ，直线EF∩β=F ，F ∉l ;（2）平面α∩平面β=a ，△ABC 的三个顶点满足条件:A ∈a ，B ∈α，B ∉a ，C ∈β，C ∉a .3. 画一个正方体ABCD —A′B′C′D′，再画出平面ACD′与平面BDC′的交线，并且说明理由.4. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为8 cm ，M 、N 、P 分别是AB 、A 1D 1、BB 1的中点，(1) 画出过M 、N 、P 三点的平面与平面A 1B 1C 1D 1的交线，以及与平面BB 1C 1C 的交线.(2) 设过M 、N 、P 三点的平面与B 1C 1交于点Q ，求PQ 的长.5.已知△ABC 三边所在直线分别与平面α交于P 、Q 、R 三点，求证：P 、Q 、R 三点共线.6. 点A ∉平面BCD ，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点，若EH 与FG 交于P （这样的四边形ABCD 就叫做空间四边形）求证：P 在直线BD 上G H AC D E P空间点、线、面位置关系练习题1、下列命题：其中正确的个数为（ ）①若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥α；②若直线a 在平面α外，则a ∥α； ③若a ∥b ，α⊂b ，那么直线a 平行于平面α内的无数条直线；A ．1B ．2C ．3D ．02、若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线（ ）A ．平行B ．异面C ．相交D ．平行或异面3、如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中判断下列位置关系：（1）AD 1所在直线与平面BCC 1的位置关系是 ；（2）平面A 1BC 1与平面ABCD 的位置关系是 ；4、如果直线l 在平面α外，那么直线l 与平面α（ ）A ．没有公共点B ．至多有一个公共点C ．至少有一个公共点D ．有且只有一个公共点5、以下四个命题：其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①③ ①三个平面最多可以把空间分成八部分；②若直线⊂a 平面α，直线⊂b 平面β，则“a 与b 相交”等价于“α与β相交”；③若l =⋂βα，直线⊂a 平面α，直线⊂b 平面β，且P b a =⋂，则l P ∈；④若n 条直线中任意两条共面，则它们共面，6、若一条直线上有两点到一个平面的距离相等，那么这条直线和这个平面的位置关系是（ ）A ．在平面内B ．相交C ．平行D ．以上均有可能7、若直线m 不平行于平面α，且α⊄m ，则下列结论中正确的是（ ）A ．α内的所有直线与m 异面B ．α内不存在与m 平行的直线C ．α内存在唯一一条直线与m 平行D ．α内的直线与m 都相交8、在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的六个表面与六个对角面（面AA 1C 1C ，面BB 1D 1D ，面ABC 1D 1，面ADC 1B 1，面A 1BCD 1及面A 1B 1CD ）所在平面中，与棱AA 1平行的平面共有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个9、两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上均有可能10、下列命题：其中正确的个数是（ ）A ．0 B ．1 C ．2 D ．3①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线异面；③过平面外一点有且只有一条直线与平面平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面，11、下列命题中正确的个数是（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．4①四边相等的四边形是菱形；②若四边形有两个对角都是直角，则这个四边形是圆内接四边形； ③“直线不在平面内”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”；④若两平面有一条公共直线，则这两个平面的所有公共点都在这条公共直线上；12、若P 是两条异面直线l 、m 外的任意一点，则（ ）A ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都平行B ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都垂直C ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都相交D ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都异面13、与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是14、经过平面外两点可作这个平面的平行平面的个数是15、设有不同的直线a ，b 和不同的平面γβα,,，给出下列三个命题：其中正确命题的序号是 ①若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；②若a ∥α，a ∥β，则α∥β；③若α∥β，β∥γ，则α∥γ。
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2.1空间点、直线、平面之间的位置关系练习题
一、 选择题:
1．下面推理过程，错误的是（ ）
（A ） αα∉⇒∈A l A l ,//
（B ） ααα⊂⇒∈∈∈l B A l A ,,
（C ） AB B B A A =⋂⇒∈∈∈∈βαβαβα,,,
（D ） βαβα=⇒∈∈不共线并且C B A C B A C B A ,,,,,,,,
2．一条直线和这条直线之外不共线的三点所能确定的平面的个数是（ ）
（A ） 1个或3个 （B ） 1个或4个
（C ） 3个或4个 （D ） 1个、3个或4个
3．以下命题正确的有（ ）
（1）若a ∥b ，b ∥c ，则直线a ，b ，c 共面；
（2）若a ∥α，则a 平行于平面α内的所有直线；
（3）若平面α内的无数条直线都与β平行，则α∥β；
（4）分别和两条异面直线都相交的两条直线必定异面。
（A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个
4．正方体的一条体对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是（ ）
（A ） 2 （B ） 3 （C ） 6 （D ） 12
5．以下命题中为真命题的个数是（ ）
（1）若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则直线l ∥α；
（2）若直线a 在平面α外，则a ∥α；
（3）若直线a ∥b ，α⊂b ，则a ∥α；
（4）若直线a ∥b ，α⊂b ，则a 平行于平面α内的无数条直线。
（A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个
6．若三个平面两两相交，则它们的交线条数是（ ）
（A ） 1条 （B ） 2条 （C ） 3条 （D ）1条或3条
7． 下列命题正确的是（ ）
Ａ．经过三点确定一个平面 Ｂ．经过一条直线和一个点确定一个平面
Ｃ．四边形确定一个平面 Ｄ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
8． 下列命题中正确的个数是（ ）
①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l α∥．
②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行．
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．
④若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点．
9． 若直线a 不平行于平面α，且a α⊄，则下列结论成立的是（ ）
Ａ．α内的所有直线与a 异面 Ｂ．α内不存在与a 平行的直线 Ｃ．α内存在唯一的直线与a 平行 Ｄ．α内的直线与a 都相交
10． 三条直线相交于一点，可能确定的平面有（ ）
Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．1个或3个
11．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（ ）
Ａ．异面直线 Ｂ．相交直线 Ｃ．不相交直线 Ｄ．不平行直线
二、 填空题：
12．若直线l 与平面α相交于点O ，l B A ∈,，α∈D C ,，且BD AC //，则O,C,D 三点的位置关系是 。
13．在空间中，
① 若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线。
② 若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线。
以上两个命题中为真命题的是 （把符合要求的命题序号填上）
14．已知，a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是
① 两条平行直线
② 两条互相垂直的直线
③ 同一条直线
④ 一条直线及其外一点
在上面结论中，正确结论的编号为 （写出所有正确结论的编号）。
15． 已知a ，b ，c 是三条直线，角a b ∥，且a 与c 的夹角为θ，那么b 与c 夹角为 ．
16． 已知两条相交直线a ，b ，a α平面∥则b 与α的位置关系是 ．
17．在空间四边形ABCD 中，N ，M 分别是BC ，AD 的中点，则2MN 与AB CD +的大小关系是 ．
18． 如图，三条直线两两平行且不共面，每两条确定一个平面，一共可以确定几个平面？如果三条直线相交于一点，它们最多可以确定几个平面？
三、 解答题：
19．已知长方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别是1BB
和BC 的中点，AB=4，AD=2，1521=BB ，求异面直线D
B 1与MN 所成角的余弦值。
20．如图，空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别
是AB ，BC ，CD ，DA 的中点．
求证：四边形EFGH 是平行四边形．
( 知识点：空间平行线的传递性 ;)
21． 如图，已知长方体ABCD A B C D ''''-中，23AB =，23AD =，2AA '=． （１）BC 和A C ''所成的角是多少度？
AA BC
A D B
C
D ' C '
B '
A '。