2020届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考(四)数学(理)试题(解析版)
2020届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考（四）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2230A x x x =-->，集合(){}lg 3B x y x ==+，则A B =I （）A ．{}31x x -<<- B ．{}3x x >C ．{}313x x x -<-或 D ．{}13x x -<<【答案】C【解析】根据一元二次不等式以及对数函数的定义域化简集合A 、B ，根据交集的定义写出A B I 即可. 【详解】2{|230}{|3A x x x x x =-->=>或1}x <-，{|lg(3)}{|3}B x y x x x ==+=>-，A B =I {|31x x -<<-或3}x >，故选C .【点睛】本题主要考查了集合的化简与运算问题，属于基础题．2．设复数z 满足(2)1z i i -=+(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数的虚部为 A ．35B ．35-C ．35iD ．35i -【答案】B【解析】把已知等式变形,根据复数的除法运算求得复数z ，再得复数z 的共轭复数，得解. 【详解】因为(2)1z i i -=+，1(1)(2)1332(21)(2)555i i i i z i i i i ++++∴====+--+, 所以复数z 的共轭复数为1355i -，所以复数z 的共轭复数的虚部为35-，故选B. 【点睛】本题考查复数的除法运算、共轭复数和复数虚部的概念,属于基础题.3．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化、相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被3sin6y x π=的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．136B ．118C ．112D ．19【答案】B【解析】设大圆的半径为R ，则：126226T R ππ==⨯=， 则大圆面积为：2136S R ππ==，小圆面积为：22122S ππ=⨯⨯=，则满足题意的概率值为：213618p ππ==. 本题选择B 选项.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.4．函数()21sin 1xx e f x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象大致形状为（ ） A ． B ．C ．D ．【解析】根据函数解析式得函数为偶函数，计算()221s 202in 1e ef -=⋅<+即可得出选项. 【详解】()211sin sin 11x x xe xf x x e e -⎛⎫=-=⋅ ⎪++⎝⎭， ()()()()11sin sin sin 1111x x xx x xe e e x x xf x f x e e e----=⋅-=⋅---=++⋅=+， 所以()f x 为偶函数，排除CD ；()221s 202in 1e ef -=⋅<+，排除B ， 故选：A 【点睛】此题考查根据函数解析式选择函数图象，涉及奇偶性与特殊值的辨析，此类图象问题常用排除法求解.5．2019年4月，北京世界园艺博览会开幕，为了保障园艺博览会安全顺利地进行，某部门将5个安保小组全部安排到指定的三个不同区域内值勤，则每个区域至少有一个安保小组的排法有（ ） A ．150种 B ．240种 C ．300种 D ．360种【答案】A【解析】根据题意，需要将5个安保小组分成三组，分析可得有2种分组方法：按照1、1、3分组或按照1、2、2分组，求出每一种情况的分组方法数目，由加法计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，三个区域至少有一个安保小组， 所以可以把5个安保小组分成三组，有两种分法： 按照1、1、3分组或按照1、2、2分组；若按照1、1、3分组,共有113354332260C C C A A ⨯=种分组方法； 若按照1、2、2分组,共有122354232290C C C A A ⨯=种分组方法， 根据分类计数原理知共有60+90=150种分组方法.【点睛】本题考查排列、组合及简单计数问题，本题属于分组再分配问题，根据题意分析可分组方法进行分组再分配，按照分类计数原理相加即可，属于简单题.6．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入，若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：lg1.120.05=，lg1.30.11=，lg 20.30=）A ．2018年B ．2019年C ．2020年D ．2021年【答案】B【解析】试题分析：设从2015年开始第n 年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得()11200130112%200, 1.12130n n --⨯+≥∴≥， 两边取常用对数得200(1)lg1.12lg,130n -≥lg 2lg1.30.30.111 3.8,5lg1.120.05n n --∴-≥==∴≥，故从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，故选B. 【考点】增长率问题，常用对数的应用【名师点睛】本题考查等比数列的实际应用．在实际问题中平均增长率问题可以看作等比数列的应用，解题时要注意把哪个数作为数列的首项，然后根据等比数列的通项公式写出通项，列出不等式或方程就可求解．7．已知两点()2,0M -，()2,0N ，若直线()3y k x =-上存在四个点()1,2,3,4P i =，使得MNP ∆是直角三角形，则实数k 的取值范围是（ ） A ．44,55⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．44,00,55⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭UC ．⎛ ⎝⎭D ．⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭U【答案】D【解析】根据△MNP 是直角三角形，转化为以MN 为直径的圆和直线y =k （x -3）相交，且k ≠0，然后利用直线和圆相交的等价条件进行求解即可． 【详解】当P 1M ⊥x ，P 4M ⊥x 时，此时存在两个直角三角形，当MN 为直角三角形的斜边时，△MNP 是直角三角形， 要使直线y =k （x -3）上存在四个点P （i =1，2，3，4），使得△MNP 是直角三角形，等价为以MN 为直径的圆和直线y =k （x -3）相交，且k ≠0， 圆心O 到直线kx -y -3k =0的距离2321k d k-=<+，平方得9k 2<4（1+k 2）=4+4k 2， 即5k 2<4，即k 2<45，得2525k <<， 又k ≠0，∴实数k 的取值范围是5250055⎛⎫⎛-⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，，故选：D ． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想和圆的性质的应用，属于中等题. 8．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( ) A ．乙 B ．甲 C ．丁 D ．丙 【答案】A【解析】由题意，这个问题的关键是四人中有两人说真话，另外两人说了假话，通过这一突破口，进行分析，推理即可得到结论. 【详解】在甲、乙、丙、丁四人的供词中，可以得出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙丁两人的供词应该是同真同假（即都是真话或都是假话，不会出现一真一假的情况）； 假设乙、丁两人所得都是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话可推出丙是犯罪的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是犯罪的结论；显然这两人是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙的供词可以断定乙是犯罪的，乙、丙、丁中有一人是犯罪的， 由丁说假话，丙说真话推出乙是犯罪的，综上可得乙是犯罪的，故选A. 【点睛】本题主要考查了推理问题的实际应用，其中解答中结合题意，进行分析，找出解决问题的突破口，然后进行推理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力. 9．将函数()()sin f x x ϕ=+图象上所有点的横坐标变为原来的()11ωω>（纵坐标不变），得函数()g x 的图象.若16g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，203g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且函数()g x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上具有单调性，则ω的值为（ ） A ．2 B ．3C ．5D ．7【答案】B【解析】先由题意得到()()sin g x x ωϕ=+，根据16g π⎛⎫=⎪⎝⎭，203g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，得到()*21n n N ω=-∈，再根据函数()g x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上具有单调性，即可列出不等式组，结合条件即可求出结果. 【详解】由题意得，()()sin g x x ωϕ=+，最小正周期2T πω=.若16g π⎛⎫=⎪⎝⎭，203g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()*221=364n T n N ππ-∴-∈，()*21n n N ω∴=-∈.Q 函数()g x 在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上具有单调性，26223642T T πππωπππω⎧-≤=⎪⎪∴⎨⎪-≤=⎪⎩，解得13ω∴≤≤，又1ω>，()*21n n N ω=-∈，3ω∴=.故选B .【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换问题，熟记三角函数的性质即可求解，属于常考题型. 10．定义域为R 的函数()f x 满足()()221f x f x +=-，当(]0,2x ∈时，()()[]2,0,11,1,2x x x f x x x⎧-∈⎪=⎨∈⎪⎩.若(]0,4x ∈时，()2732t t f x t -≤≤-恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．[]1,2 B ．51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】由f （x +2）=2f （x ）-1，求出x ∈（2，3），以及x ∈[3，4]的函数的解析式，分别求出（0，4]内的四段的最小值和最大值，注意运用二次函数的最值和函数的单调性，再由()2732tt f x t -≤≤-恒成立即为()2min 72t t f x -≤，()max 3f x t ≤-，解不等式即可得到所求范围 【详解】当x ∈(2,3),则x −2∈(0,1)，则f (x )=2f (x −2)−1=2(x −2)2−2(x −2)−1， 即为f (x )=2x 2−10x +11， 当x ∈[3，4]，则x −2∈[1，2]，则f (x )=2f (x −2)−1=212x --. 当x ∈(0,1)时,当x =12时,f (x )取得最小值,且为−14；当x ∈[1,2]时,当x =2时,f (x )取得最小值,且为12；当x ∈(2,3)时,当x =52时,f (x )取得最小值,且为−32；当x ∈[3,4]时,当x =4时,f (x )取得最小值，且为0. 综上可得,f (x )在(0,4]的最小值为−32. 若x ∈(0,4]时, ()2min 72tt f x -≤恒成立， 则有27232t t -≤-. 解得132t ≤≤. 当x ∈(0,2)时,f (x )的最大值为1,当x ∈(2,3)时,f (x )∈[−32,−1)， 当x ∈[3,4]时,f (x )∈[0,1]， 即有在(0,4]上f (x )的最大值为1.由()max 3f x t ≤-，即为13t ≤-，解得2t ≤， 综上，即有实数t 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：C . 【点睛】本题主要考查函数最值的求解以及函数恒成立问题的求解，根据函数性质和函数解析式可求得函数最值，再把恒成立问题转化为不等式组求解是关键，着重考查转化能力以及分析解答能力，属于中档题.11．已知椭圆Γ：()222210x y a b a b+=>>，直线1x y +=与椭圆Γ交于M ，N 两点，以线段MN 为直径的圆经过原点.若椭圆Γ的离心率不大于2，则a 的取值范围为（ ）A ．(B ．2⎛ ⎝C ．⎛ ⎝⎦D ．⎛ ⎝⎦【答案】D【解析】由题意可得a >1，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，直径所对的圆周角为直角，化为12120x x y y +=，化简整理，结合离心率公式和不等式的解法，可得a 的范围． 【详解】椭圆Γ：()222210x y a b a b+=>>，直线1x y +=与椭圆Γ交于M ，N 两点，可得a >1，由1x y +=联立椭圆方程可得()222222220a bxa x a ab +-+-=，设()()1122,,,M x y N x y ,可得2222121222222,a a a b x x x x a b a b-+==++， 线段MN 为直径的圆经过原点，可得OM ⊥ON ，即有12120x x y y +=，可得()()1212110x x x x +--=， 化为()1212210x x x x +-+=，则222222222210a a b a a b a b -⋅+-=++，化为22222a b a b +=，由2e ≤,可得22314b a -≤，即2214b a ≥,可得22212a a a ≥-，即有2214a -≤,解得a ≤，可得12a <≤ 故选：D . 【点睛】本题主要考查直线与椭圆位置关系问题，根据题目条件列出不等式，重点在于联立方程利用韦达定理代入，化简不等关系可解，属于综合题.12．在ABC ∆中，已知9AB AC ⋅=uu u r uuu r，sin cos sin B A C =⋅，6ABC S ∆=，P 为线段AB上的一点，且CA CB CP x y CACB=⋅+⋅u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ，则11x y +的最小值为（ ）A ．712+ B ．712+ C ．712+D ．712+ 【答案】D【解析】由sinB =cosA •sinC 化简可求 cosC =0 即C =90°，再由9AB AC ⋅=uu u r uuu r，S △ABC =6可得bccosA =9，1sin 62bc A =可求得c =5，b =3，a =4，考虑建立直角坐标系，由P 为线段AB 上的一点，则存在实数λ使得(1)(3,44)(01)CP CA CB λλλλλ=+-=-≤≤u u u r u u u r u u u r ,由1CA e CA=uu u r r uu u r ，2CB e CB=u u u rr u u u r 为单位向量，可得1(1,0)e =u r ，2(0,1)e =u u r ，可得(,)CP x y =u u u r,可得3x λ=，44y λ=-则由4312x y +=，利用基本不等式求解最小值． 【详解】ABC V 中设AB c =，BC a =，AC b =sin cos sin B A C =⋅Q ，sin()sin cos A C C A ∴+=，即sin cos sin cos sin cos A C C A C A +=，sin cos 0A C ∴=，sin 0A ≠Q ，cos 090C C ︒∴==，，9AB AC ⋅=u u u r u u u rQ ，6ABC S =V ，cos 9bc A ∴=，1sin 62bc A =，4tan 3A ∴=，根据直角三角形可得4sin 5A =，3cos 5A =，15bc =5c ∴=，3b =，4a =，以AC 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴建立直角坐标系可得(0,0)C ，(3,0)A ，(0,4)B ，P 为直线AB 上的一点，则存在实数λ使得(1)(3,44)(01)CP CA CB λλλλλ=+-=-≤≤u u u r u u u r u u u r,设1CA e CA=uu u r r uu u r ，2CB e CB=u u u rru u u r ，则12||||1e e ==u r u u r ，1(1,0)e =u r ，2(0,1)e =u u r ,(,0)(0,)(,)||||CA CBCP x y x y x y CA CB ∴=+=+=u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r , 3x λ∴=，44y λ=-则4312x y +=,111111347+43(43)7121212y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故所求的最小值为74312+, 故选：D . 【点睛】本题为平面向量的综合题，考查解三角形、平面向量数量积、平面向量共线定理、基本不等式的应用，属于综合题，解题关键在于将三角形中数量关系利用向量坐标运算进行转换，属于较难题.二、填空题13．设向量(4,)a m =v ，(1,2)b =-v ，且a b ⊥v v ，则2a b +=vv __________.【答案】【解析】a b ⊥r r Q ，41(2)0,2a b m m ∴⋅=⨯+⨯-==v v ，(4,2),(1,2)a b ==-v v，2(6,2)a b +=-vv，2a b +==v v 14．已知0sin a xdx π=⎰，则5a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中1x -项的系数为______.【答案】-80【解析】利用定积分可求a =2，则二项式为52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，展开式的通项：()5525152=2rr r r r r r C x C x T x --+⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭．令5-2r =-1，解得r =3．继而求出系数即可．【详解】∵()0sin a xdx cosx ππ==-⎰=2，则二项式52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项： ()5525152=2rr rrr r r C xC x T x --+⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭， 令5-2r =-1，解得r =3．∴展开式中x -1的系数为()335280C -=-.故答案为：-80． 【点睛】本题考查二项式定理通项的应用，根据通项公式展开即可，属于基础题.15．在区域()0,11x x y x y x y ⎧⎫≥⎧⎪⎪⎪Ω=+≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≤⎩⎩⎭中，若满足0ax y +≥的区域面积占Ω面积的13，则实数a 的值为______.【解析】画出区域Ω，满足ax +y ≥0的区域为直线ax +y =0上方的部分，所以直线ax +y =0分区域Ω为1：2的两部分，根据面积公式求a 即可． 【详解】根据题意,区域Ω为如图所示的三角形ABC , 则三角形ABC 为等腰直角三角形,所以∠BAC =45°，因为直线ax +y =0过(0,0),结合图形可知a <0时,才能满足0ax y +≥的区域面积占Ω面积的13, 所以满足0ax y +≥的区域为图中阴影AOD , 设D 点坐标为(x ,1−x )，，满足0ax y +≥的区域面积占Ω面积的13, 即三角形AOD 的面积为三角形ABC 面积的13， 可得1112145322AO AD sin ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯︒， 即()2211211132x x =⨯+-- 解得x =23， 又D 点在直线ax +y =0上，所以21033a ⨯+=， 解得a =12-，【点睛】本题考查二元一次不等式（组）与平面区域的综合应用，此类问题一般用数形结合思想加以分析即可找出解题突破口，属于中等题.16．已知六棱锥P ABCDEF -，底面ABCDEF 为正六边形，点P 在底面的射影为其中心.将该六棱锥沿六条侧棱剪开，使六个侧面和底面展开在同一平面上，若展开后点P 在该平面上对应的六个点全部落在一个半径为5的圆上，则当正六边形ABCDEF 的边长变化时，所得六棱锥体积的最大值为__________． 【答案】815【解析】设六边形的边长为()0x x >，根据题意可将正六棱锥的高表示为2553x -，进而可将体积表示为关于自变量x 的函数，利用导数判断函数的单调性得其最大值即可. 【详解】如图所示，设六边形的边长为()0x x >，故3OG x =， 又∵展开后点P 在该平面上对应的六个点全部落在一个半径为5的圆上，∴352PG x =-，故22335255322PO x x x ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴六棱锥的体积2451131562553533222V x x x x =⨯⨯⨯-=- 令()()455530f x x xx =->，∴()()3432053543f x x x xx -='=，当x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，故当x =()f x 取得最大值，即体积最大，. 【点睛】本题考查六棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．三、解答题17．已知ABC ∆三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点D 为BC 边的中点，()cos 2cos a B b c A =-+，1AD =.（1）求A ；（2）求ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）23A π=（2【解析】（1）利用正弦定理化简边角关系式求得1cos 2A =-，根据()0,A π∈可求得结果；（2）根据平面向量基本定理可知()12AD AB AC =+u u u v u u u v u u u v，平方可得22242cos 3c bc b π=++，利用基本不等式可求得4bc ≤，代入三角形面积公式可求得所求最大值. 【详解】（1）由正弦定理得：()sin cos sin 2sin cos A B B C A =-+ 即：()sin cos cos sin sin sin 2sin cos A B A B A B C C A +=+==-()0,C π∈Q sin 0C ∴≠ 1cos 2A ∴=-()0,A π∈Q 23A π∴=（2）D Q 为BC 边的中点 ()12AD AB AC ∴=+u u u v u u u v u u u v()222242AD AB AC AB AB AC AC ∴=+=+⋅+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，又1AD =2222242cos23c bc b b c bc bc bc π∴=++=+-≥-，即4bc ≤ 当且仅当b c =时取等号113sin 43222ABC S bc A ∆∴=≤⨯⨯=（当且仅当b c =时取等号）ABC ∆∴面积的最大值为3【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理、余弦定理、平面向量基本定理、基本不等式、三角形面积公式的应用.求解最值的关键是能够构造出符合基本不等式的形式，从而求得积的最大值.18．如图，在几何体ABCDEF 中，160AB CD AD DC CB ABC ∠︒P ，＝＝＝，＝，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF ＝.(1)求证：平面FBC ⊥平面ACFE ；(2)点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角的平面角为()90θθ≤︒，试求cos θ的取值范围．【答案】（1）证明见解析 （2）712⎤⎥⎦⎣ 【解析】（1）根据余弦定理求得AC ，根据勾股定理证得BC AC ⊥，结合面面垂直的性质定理，证得BC ⊥平面ACFE ，由此证得面FBC ⊥平面ACFE .（2）以,,CA CB CF 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设出M 点坐标，计算平面MAB 和平面FCB 的法向量，通过两个法向量计算cos θ的表达式，进而求得cos θ的取值范围. 【详解】(1)证明：在四边形ABCD 中，∵160AB CD AD DC CB ABC ∠︒P ，＝＝＝，＝，∴2AB ＝.∴2222603AC AB BC AB BC cos =+-⋅⋅o ＝，∴222AB AC BC BC AC ∴⊥＝＋，. ∵平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ⋂平面ABCD AC ＝，BC ⊂平面ABCD ，BC ∴⊥平面ACFE .又因为BC ⊂平面FBC ，所以平面FBC ⊥平面ACFE .(2)由(1)知可建立分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系C xyz －，令03()FM λλ≤≤＝．则()()(3,)0,0,00,00,1,0,0,1()C A B M λ，，，． ∴(3),(0,,)11AB BM λ-=u u u r u u u u r＝，．设1(,,)n x y z =u r为平面MAB 的法向量，由1100n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u vu v u u u u v 得300x y x y z λ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩取1x =，则1(13,3)n λ=u r ． 2=(1,0,0)n u u rQ 是平面FCB 的一个法向量，∴()12212cos 34n n n n θλ⋅==⋅-+u r u u r u r u u r 03λ≤≤Q ∴当0λ＝时，cos θ有最小值77，当3λ=cos θ有最大值12.所以cos θ的取值范围是712⎤⎥⎦⎣. 【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查利用空间向量法求二面角余弦值的取值范围，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，且12342,32,a a a a ==（1）数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足3121...1(*)13521n n b b b b a n N n +++++=-∈-，求该数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）12n n a -=；（2）()2323nn T n =-+【解析】【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知得212512{32a q a q ==，，又∵10a >，0q >，解得11{2a q ==，，∴12n n a -=；（2）由题意可得3122113521n n b b b b n ++++=--L ， ， （）两式相减得1221n nb n -=-， ∴，（）当1n =时，11b =，符合上式， ∴()1212n n b n -=-⋅，（*n ∈N ）设()12113252212n n T n L -=+⋅+⋅++-⋅，()()2312123252232212n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅L ， 两式相减得()()()21122222122323n n n n T n n L --=++++--⋅=--⋅-，∴()2323nn T n =-+．20．在国家积极推动美丽乡村建设的政策背景下，各地根据当地生态资源打造了众多特色纷呈的乡村旅游胜地.某人意图将自己位于乡村旅游胜地的房子改造成民宿用于出租，在旅游淡季随机选取100天，对当地已有的六间不同价位的民宿进行跟踪，统计其出租率y （100100天中出租的天数），设民宿租金为x （单位：元/日），得到如图所示的数据散点图.（1）若用“出租率”近似估计旅游淡季民宿每天租出去的概率，求租金为388元的那间民宿在淡季内的三天中至少有2天闲置的概率.（2）①根据散点图判断，y bx a =+与ln y c x d =+哪个更适合于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？根据判断结果求回归方程；②若该地一年中旅游淡季约为280天，在此期间无论民宿是否出租，每天都要付出9.9%x 的固定成本，若民宿出租，则每天需要再付出10%x 的日常支出成本.试用①中模型进行分析，旅游淡季民宿租金约定为多少元时，该民宿在这280天的收益W 达到最大？附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为µ()()()121nii i nii uu v vu u β==--=-∑∑；µµv u αβ=-. 参考数据：记ln i i z x =，261.3x ≈，0.47y =， 5.4z =，()()1221n iii x x y y =-⋅-≈-∑，()21121333.3nii x x =-≈∑，()()10.99i i i nz z y y =-⋅-≈-∑，()212.2ni i z z=-≈∑，5.1164e ≈， 5.2181e ≈.【答案】（1）0.896（2）①ln y c x d =+更适合，0.45ln 2.9y x =-+②181元 【解析】（1）三天中至少有2天闲置的即为3天中有两天闲置或者3天都闲置，又每天的出租率为0.2，根据二项分布的相关知识即可求出概率；（2）①根据散点图的分布情况，各散点连线更贴近ln y c x d =+的图象，故ln y c x d =+的拟合效果更好，代入公式求出回归方程即可；②将收益表示为租金的函数，用函数单调性处理即可． 【详解】（1）三天中至少有2天闲置的反面为3天中最多有一天能够租出， 又每天的出租率为0.2，所以3天中至少有2天闲置的概率：()()232310.20.210.20.896P C =-⨯+-=.（2）①根据散点图的分布情况，各散点连线更贴近ln y c x d =+的图象， 故ln y c x d =+的拟合效果更好，依题意，()()10.99i i i nz z y y =-⋅-≈-∑，()212.2ni i z z=-≈∑，所以()()()1210.990.452.2niii nii z z y y c z z ==---===--∑∑， 所以0.470.45 5.4 2.9d y cz =-=+⨯=， 所以回归方程为0.45ln 2.9y x =-+.②设旅游淡季民宿租金为x ，则淡季该民宿的出租率0.45ln 2.9y x =-+， 所以该民宿在这280天的收益：2802800.12800.099W yx y x x=-⨯-⨯()()2520.45ln 2.927.72113.4ln 703.080x x x x x x x =-+-=-⋅+>，所以589.681134'.ln W x =-，令'0W =得，ln 5.2x =，所以 5.2181x e =≈，且当()0,181x ∈时'0W >，()181,x ∈+∞时，'0W <， 所以()W x 在()0,181上单调递增，在()181,+∞上单调递减， 所以当181x =时，W 存在最大值， 所以旅游淡季民宿租金约定为181元时， 该民宿在这280天的收益W 达到最大. 【点睛】本题考查线性回归方程，二项分布及其概率计算公式，考查分析求解及转化能力，属于中等题.21．已知函数f（x）=ax2+lnx，g（x）=-bx，其中a，b∈R，设h（x）=f（x）-g（x），（1）若f（x）在x=处取得极值，且f′（1）=g（-1）-2．求函数h（x）的单调区间；（2）若a=0时，函数h（x）有两个不同的零点x1，x2①求b的取值范围；②求证：＞1．【答案】（1）在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+）上单调减.（2）①（，0）②详见解析【解析】试题分析：（1）先确定参数：由可得a=b-3. 由函数极值定义知所以a=" -2,b=1" .再根据导函数求单调区间（2）①当时，，原题转化为函数与直线有两个交点，先研究函数图像，再确定b的取值范围是（，0）.②，由题意得,所以，因此须证，构造函数，即可证明试题解析：（1）因为，所以,由可得a=b-3.又因为在处取得极值，所以，所以a=" -2,b=1" .所以，其定义域为（0，+）令得，当（0,1）时，，当（1,+），所以函数h（x）在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+）上单调减.（2）当时，，其定义域为（0，+）.①由得，记，则, 所以在单调减，在单调增， 所以当时取得最小值. 又，所以时，而时,所以b 的取值范围是（，0）. ②由题意得, 所以, 所以，不妨设x1<x2, 要证, 只需要证. 即证，设, 则, 所以, 所以函数在（1，+）上单调增，而， 所以即, 所以. 【考点】函数极值，构造函数利用导数证明不等式22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为244x k y k⎧=⎨=⎩ （k 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求直线l 和曲线C 的普通方程；（2）已知点(2,0)P ，且直线l 和曲线C 交于A B ，两点，求||||||PA PB - 的值【答案】（1）24y x =，320x y --=；（2）83【解析】（1）消去曲线C 中的参数可得C 的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l 的普通方程.（2）由直线的普通方程可知直线l 过P ，写出直线l 的参数方程，与曲线C 的普通方程联立，利用直线参数的几何意义及韦达定理可得结果.【详解】（1）因为曲线C 的参数方程为244x k y k⎧=⎨=⎩ （k 为参数），所以消去参数k ， 得曲线C 的普通方程为24y x =因为直线l 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，即cos 3sin 2ρθρθ-= ， 所以直线l 的普通方程为320x y --=（2）因为直线l 经过点20P （，），所以得到直线l 的参数方程为32212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）设112231312,,2,22A t t B t t ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 把直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，得283320t t --=，则121283,320t t t t +=⋅=-<，故1212||||||||||||83PA PB t t t t -=-=+=【点睛】本题考查了直角坐标方程与极坐标方程及参数方程的互化，考查了直线参数方程及参数的几何意义，属于中档题.23．已知关于x 的不等式2211log x x a +--≤（其中0a >）．（1）当a=4时，求不等式的解集；（2）若不等式有解，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【详解】本试题主要是考查了绝对值不等式的求解，以及分段函数的表示，和图像以及最值的求解综合运用．（1）利用已知条件，先分析2211log x x a +--≤的解集就是绝对值不等式的求解，利用三段论法得到．（2）不等式有解，的最小值为，则，从而得到实数a的取值范围．（Ⅰ）当时，，时，，得时，，得时，，此时不存在∴不等式的解集为（Ⅱ）∵设故，即的最小值为所以有解，则解得，即的取值范围是。
湖南省长沙市长郡中学2020届高三下学期第四次适应性考试数学(理)试题 Word版含解析
长郡中学2020届高三适应性考试（四）数学（理科）试卷本试题卷共8页，23题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5、考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|20A x x x =-≤，{}|1381xB x =<<，{}|2,C x x n n N ==∈，则()A B C ⋃⋂=（ ）A. {}2B. {}0,2C. {}0,2,4D. {}2,4【答案】B 【解析】∵集合{}2|20A x x x =-≤ ∴{}02A x x =≤≤ ∵集合{}|1381xB x =<< ∴{}04A x x =<< ∴{}04A B x x ⋃=≤< ∵集合{}|2,C x x n n N ==∈∴{}()0,2A B C ⋃⋂= 故选B.2.要完成下列三项调查：①某商城从10台同款平板电脑中抽取4台作为商城促销的奖品；②某酒厂从某白酒生产线上抽取40瓶进行塑化剂检测：③某市从老、中、青三代市民中抽取100人调查他们网络购物的情况.适合采用的抽样方法依次为（ ） A. ①用简单随机抽样：②③均用系统抽样 B. ①用抽签法；②③均用系统抽样C. ①用抽签法：②用分层抽样：③用系统抽样D. ①用随机数表法；②用系统抽样；③用分层抽样 【答案】D 【解析】 【分析】根据系统抽样､分层抽样､抽签法和随机数表法的各自特点,分析各项调查的具体情况,即可得出对应的抽样方法.【详解】对于①,所收集的数据没有明显差异,且数量较少,应用抽签法; 对于②,所收集的数据没有明显差异,且数量较多,应用系统抽样; 对于③,所收集的数据差异明显,应用分层抽样; 故选:D.【点睛】本题考查抽样方法的判断与应用问题,属于基础题.3.已知i 是虚数单位，复数122,2z i z i =+=-，给出下列命题：21121:p z z z ⋅=；122:z p z 的虚部为45i ；132:z p z 在复平面内对应的点位于第四象限；1423:5z p z -是纯虚数.其中是假命题的为（ ） A. 24,p p B. 123,,p p pC. 34,p pD. 23,p p【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的运算法则计算出12z z ⋅和12z z ,再根据复数的基本概念判断四个命题的真假.【详解】复数122,2z i z i =+=-,则命题1p 中,12(2)(2)5z z i i ⋅=+-=,215z =,故1p 是真命题;命题2p 中,()()()212223434222555i z i i i z i i i +++====+--+,则12z z 的虚部为45,故2p 是假命题;命题3p 中,123455z i z =+在复平面内对应的点为34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,其位于第一象限,故3p 是假命题;命题4p 中,123455z i z -=是纯虚数,故4p 是真命题; 因此,上述命题是假命题的为23,p p , 故选:D.【点睛】本题主要考查复数的基本概念及其运算,难度不大,属于基础题.4.皮埃尔·德·费马，法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，对数学界做出了重大贡献，其中在1636年发现了：若p 是质数，且,a p 互质，那么a 的(1)p -次方除以p 的余数恒等于1，后来人们称该定理为费马小定理.依此定理若在数集{}2,3,4,5,6中任取两个数，其中一个作为p ，另一个作为a ，则所取两个数不符合费马小定理的概率为（ ） A.1120B.35C.920D.25【答案】A 【解析】 【分析】根据题意将符合费马小定理的基本事件列举出来,再计算出总的基本事件,最后利用古典概型概率计算公式计算即可.【详解】所取两个数符合费马小定理时, 因为p 是质数,所以p 可能为:2,3,5; 又,a p 互质,所以,p a 可能的情况共9种,列举如下:()()()()()()()()()2,3,2,5,3,2,3,4,3,5,5,2,5,3,5,4,5,6;在数集{}2,3,4,5,6中任取两个数,共有2520A =种情况,因此,所取两个数不符合费马小定理的概率为209112020P -==, 故选:A.【点睛】本题主要考查古典概型概率的计算,考查学生的分析理解能力,难度不大.5.已知某几何体的正视图和侧视图如图①所示，其俯视图水平放置的直观图如图②中粗线部分所示，其中其中四边形A B C D ''''为平行四边形，244B C A B O A ''''''===，则该几何体的体积为（ ）A. 168+πB. 816π+C. 1616π+D. 88π+【答案】A 【解析】 【分析】先利用直观图还原俯视图,再结合正视图和侧视图还原几何体,最后利用体积计算公式计算几何体体积.【详解】根据直观图还原可知,俯视图是边长为4的正方形,结合正视图和侧视图可知,该几何体后半部分为长方体,前半部分为半个圆柱, 长方体的边长分别为2,2,4,则其体积为22416⨯⨯=, 半个圆柱的底面半径为2,高为4,则其体积为14482ππ⋅⋅⋅=, 因此,该几何体的体积为:168+π, 故选:A.【点睛】本题主要考查由三视图求几何体的体积,考查直观图的还原,需要学生具备一定的空间想象及思维能力.6.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”.如：已知A ，B ，C 三人分配奖金的衰分比为20%，若A 分得奖金1000元，则B ，C 所分得奖金分别为800元和640元.某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金36200元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为( ) A. 20%，14580元 B. 10%，14580元 C. 20%，10800元D. 10%，10800元【答案】B 【解析】 【分析】设“衰分比”为q ，甲获得的奖金为1a ，联立方程解得10.1,20000q a ==，得到答案. 【详解】设“衰分比”为q，甲获得的奖金为1a ，则()()()23111111168780a a q a q a q +-+-+-=.()211136200a a q +-=，解得10.1,20000q a ==，故()31114580a q -=.故选：B .【点睛】本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力. 7.在二项式8(ax 的展开式中，所有项的系数之和记为S ，第r 项的系数记为r P ，若893S P =，则a b 的值为（ ） A. 2 B. 4-C. 2或2-D. 2或4-【答案】D 【解析】在8ax ⎛+ ⎝中，令x=1,所以8(),S a b =+又其通项公式为818(),r r r r T C ax -+=即 388218,r r r r r T C a b x--+=所以8888898,P C a b b -==因此依题有8888()(1)3,a b a b b+=+= 13,2-4.a ab b∴+=±∴=或故选D. 8.已知()cos()0,||,2f x x x πωϕωϕ⎛⎫=+><∈ ⎪⎝⎭R 两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于2π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，将()f x 的图象向左平移m 个单位得到一个奇函数，则m 的最小正值是（ ） A .12πB.2π C.3π D.512π 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知22T π=,从而求出,T ω,再将最小值代入解析式求出ϕ,从而得到()f x ,进而根据平移变换得到平移后的解析式,再利用奇偶性求出m ,即可得出结论. 【详解】因为()cos()f x x =+ωϕ两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于2π, 所以22T T ππ=⇒=, 所以22Tπω==,即()cos(2)f x x ϕ=+ 又当23x π=时,函数()f x 取得最小值, 所以24()cos()133f ππϕ=+=-, 则42()2()33k k Z k k Z ππϕππϕπ+=+∈⇒=-+∈, 又||2ϕπ<,所以3πϕ=-,所以()cos(2)3f x x π=-,设将()f x 的图象向左平移m 个单位得到()g x ,则()cos(22)3g x x m π=+-,因为()g x 是一个奇函数, 所以2(21)()32m k k Z ππ-=-∈,即()212k m k Z ππ=-∈, 所以当1k =时,m 的最小正值是512π, 故选:D.【点睛】本题综合考查了三角函数的图象性质及平移变换,需要学生对基础知识掌握牢固且灵活运用,属于中档题.9.设函数()y f x =和()y f x =-，若两函数在区间[,]m n 上的单调性相同，则把区间[,]m n 叫做()y f x =的“稳定区间”.已知区间[1,2019]为函数12xy a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的“稳定区间”，则实数a 的取值范围是（ ）A. [2,1]--B. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D. [1,2]【答案】C【分析】分析题意可知,函数12xy a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与函数2xy a =+在区间[1,2019]上同增或者同减,则根据同增和同减两种情况对函数进行分情况讨论即可.【详解】函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减,函数2xy =在R 上单调递增,若区间[1,2019]为函数12xy a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的“稳定区间”,则函数12xy a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与函数2xy a =+在区间[1,2019]上同增或者同减,①若两函数在区间[1,2019]上单调递增,则10220x x a a ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+≥⎩在区间[1,2019]上恒成立,即11122a a ⎧⎛⎫≤-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪≥-⎩, 所以122a -≤≤-; ②若两函数区间[1,2019]上单调递减,则10220x x a a ⎧⎛⎫+≥⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+≤⎩在区间[1,2019]上恒成立,即20192019122a a ⎧⎛⎫≥-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪≤-⎩,不等式无解;综上所述:12,2a ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦,故选:C.【点睛】本题主要考查指数函数单调性的综合应用,考查学生的分析理解能力,属于中档题.10.已知双曲线2221(0)x y a a -=>，抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线的右焦点F 重合，其准线与双曲线交于点(),0,2M M N y MF FQ >=，点R 在x 轴上.若||||RN RQ -最大，则点R 的坐标为（ ）A. (6,0)B. (8,0)C. (9,0)D. (10,0)【解析】【分析】先利用22231caa c⎧=⎪⎨⎪+=⎩求出,a c,从而得到双曲线与抛物线方程,再联立双曲线与抛物线准线方程求出,M N点的坐标,进而求出点Q,而三点共线时||||RN RQ-最大,据此即可求出答案. 【详解】因为双曲线2221(0)xy aa-=>的离心率为23,即23ca=,又221a c+=,所以3,2a c==,即(20)F，,因此抛物线的准线方程为2x=-,联立22133(2,),(2,)32xyM Nx⎧-=⎪⇒---⎨⎪=-⎩,设(,)Q x y,由2MF FQ=可得()()2(2)223(4,)36020xQy⎧--=-⎪⇒-⎨-=-⎪⎩,结合下图可知,当R点运动到R',即,,N Q R三点共线时,||||RN RQ-最大,设此时(,0)R r',则有//NQ QR',即33363610424rr-+=⇒=+-,因此(10,0)R,故选:D.【点睛】本题综合考查了双曲线与抛物线的性质应用,结合了向量､共线等相关知识,对学生综合运用知识能力要求较高.11.若01x <<，则22ln3111,,3x x x x e e+++的大小关系是（ ） A.221ln 3113x xx x ee +++>>B.2211ln 313x xx x e e +++>> C. 22ln 31113x x x x e e+++>> D. 22ln 31113x x x x e e+++>> 【答案】B 【解析】 【分析】 构造函数1()xx f x e+=,则原题可变为比较()()()2ln3,,f f x f x 的大小关系,然后对()f x 求导,利用导数研究其单调性,再利用单调性比较函数值的大小关系即可. 【详解】设1()xx f x e +=,则()x xf x e -'=,令()00f x x '>⇒<,令()00f x x '<⇒>, 则()f x 在(,0)-∞上单调递增,在(0,)+∞上单调递减, 若01x <<,则201ln3x x <<<<, 因此()()()2ln3f x f x f >>,即2211ln 313x xx x e e +++>>, 故选:B.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性,再利用单调性比较函数值的大小,解题关键是依据题中条件,构造对应的函数.12.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为,,a E F 分别是棱1AA ，1CC 的中点，过点,E F 的平面分别与棱1BB ，1DD 交于点,G H ，设,[0,]BG x x a =∈.给出以下四个命题： ①平面EGFH 与平面ABCD 所成角的最大值为45°； ②四边形EGFH 的面积的最小值为2a ；③四棱锥1C EGFH -的体积为36a ；④点1B 到平面EGFH 的距离的最大值为3. 其中命题正确的序号为（ ）A. ②③④B. ②③C. ①②④D. ③④【答案】A 【解析】 【分析】由两平面所成角的余弦公式即面积射影公式,计算可得所求最大值,可判断①;由四边形EGFH 为菱形,计算面积,考虑GH 的最小值,可判断②;由棱锥的等体积法,计算可判断③;由等体积法和函数的性质可判断④.【详解】对于①,由面面平行的性质定理可得//EG FH ,//EH GF , 可得四边形EGFH 为平行四边形,又直角梯形CBGF 和直角梯形ABGE 全等,可得EG FG =, 即有四边形EGFH 为菱形,且GH EF ⊥, 平面EGFH 在底面上的射影为四边形ABCD , 设平面EGFH 与平面ABCD 所成角为θ, 由面积射影公式可得22cos 122ABCD EGFH Sa a S a GHθ===,23a GHa ,6cos 1θ,可得平面EGFH 与平面ABCD 所成角的最大值不为45︒,故①错误; 23a GH a ,可得菱形EGFH 的面积的最小值为21222a a a =,故②正确;对于③,因为四棱锥1C EGFH -的体积为11311112223226C EGF E GFC V V V a a a a --===⋅⋅⋅⋅⋅=,故③正确;对于④,1111()32B EFG E B FG V V a a x a --==⋅-⋅,(0)x a ,设1B 到平面EGFH 的距离为d ,可得11132B EFG V d -=⋅所以d =(其中)t a x =-, 当0x =即t a =时,d取得最大值3,故④正确. 故选:C.【点睛】本题考查空间立体几何中的面面位置关系以及空间几何体的体积公式,题目将立体几何问题和函数进行结合,综合性较强,对学生分析和解题能力要求较高. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量(1,2)a =，(,1)b k =，且2a b +与向量a 的夹角为90°，则向量a 在向量b 方向上的投影为________.【解析】 【分析】由题可知()20a b a +⋅=,依据数量积的坐标公式可求出k ,即求出向量b ,从而得到向量a 在向量b 方向上的投影为cos ,a b a a b b⋅⋅<>=.【详解】因为向量(1,2)a =,(,1)b k =, 则2(2,5)a b k +=+,又2a b +与向量a 的夹角为90°, 所以()20a b a +⋅=,即2100k ++=, 解得12k =-,即(12,1)b =-,因此向量a 在向量b方向上的投影为cos ,145a ba ab b⋅⋅<>===,故答案为. 【点睛】本题综合考查了数量积的坐标运算及投影的求法,难度不大.14.设222:(,,0)p x y r x y r+≤∈>R；1:40(,)xq x y x yx y≥⎧⎪+-≤∈⎨⎪-≤⎩R，若p是q的必要不充分条件，则r的取值范围为________.【答案】[10,)+∞【解析】【分析】设p表示的是集合A,q表示的是集合B,则依据题意有B A,再在坐标中作出对应图象,结合图象即可得出结论.【详解】设p表示的是集合A,q表示的是集合B,若p是q的必要不充分条件,则B A,在坐标轴中作出满足q的可行域,如下图阴影部分所示:由1(1,3)40xAx y=⎧⇒⎨+-=⎩,则结合上图可知,点A应在圆222(0)x y r r+=>内部或者圆上,即210r≥,解得10r≥,故答案为:10,)+∞.【点睛】本题综合考查了充分必要条件的基本应用,结合了圆,可行域等相关知识,考查了学生数形结合方法的运用,属于中档题.15.正整数数列{}n a满足11,231,n nnn na aaa a+⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数是奇数，已知64a=，{}n a的前6项和的最大值为S ，把1a 的所有可能取值从小到大排成一个新数列{}n b ，{}n b 所有项和为T ，则S T -=________.【答案】62 【解析】 【分析】根据分段数列和64a =,倒过来依次分析{}n a 的前5项,即可求出S 和T ,从而求出答案.【详解】正整数数列{}n a 满足11,231,n n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数是奇数,且64a =,所以54a =或1, 再依次分析4321,,,a a a a , 则可得{}n a 的前6项分别为: 128,64,32,16,8,4; 或21,64,32,16,8,4; 或20,10,5,16,8,4; 或3,10,5,16,8,4; 或16,8,4,2,1,4; 或2,1,4,2,1,4;因此12864321684252S =+++++=,23162021128190T =+++++=,62S T -=,故答案为:62【点睛】本题考查分段数列的运用,考查学生的计算推理能力,有一定难度.16.母线长为的圆锥内有一球O ，与圆锥的侧面、底面都相切，现放入一些小球，小球与圆锥底面、侧面、球O 都相切，这样的小球最多可放入__________个． 【答案】10 【解析】由题意可知圆锥轴截面为正三角形，高为3，如图所示：设球O 半径为R ，由∠OCB=30°，可得OC=2R ，故OA=OC=2R ，所以R+2R=3∴R=1，OC=2，故得EC=1.设小球半径为r ，同理可得2O C r '=,故31r =，所以小球半径为13r =，且'43OO =.这时O '到直线AO 的距离为423sin603︒=．这些小球相邻相切，排在一起，则球心在一个半径为233的圆M 上，如图所示：H 为相邻两球切点，12M M ，分别为相邻两球球心，设∠1H θM M =，则13sin θ6r M M ==， tan θ11=，由三角函数的性质可知sin θθtan θ<<， 3θ11<<32θ11<<211π232ππθ<<211π1110π=>， 2231211ππ，故可得能放入小球个数最多为10故答案为10点睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般内切球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于内切球的性质，球心到各面距离相等计算即可，当球心位置不好确定时，可以用等体积法求球半径.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，3116a =，1218a a -=，数列{}n b 满足13b =-，且11n b ++与1n b -的等差中项是n a . （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若(1)n n n c b =-，{}n c 的前n 项和为n S ，求2n S .【答案】（1）1122n n b n -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（2）2211234nnS n ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】(1)设数列{}n a 的公比为(0)q q >,利用3116a =和1218a a -=列式解出1,a q ,从而得到112n n a +⎛⎫= ⎪⎝⎭,再利用11n b ++与1n b -的等差中项是n a ,列式化简得到1n b +n b -122n⎛⎫=- ⎪⎝⎭,最后利用累加法即可得出答案;(2)结合(1)中结论可知,n 为奇数时有1122nn n c c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,据此列式求和即可求出2n S . 【详解】(1)数列{}n a 是各项均为正数的等比数列,设其公比为(0)q q >, 因为3116a =,1218a a -=,所以21111111641182a q a a a q q ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-==⎪⎪⎩⎩,因此112n n a +⎛⎫= ⎪⎝⎭,又数列{}n b 满足13b =-,且11n b ++与1n b -的等差中项是n a ,所以11n b ++1n b +-1122n +⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭,即1n b +n b -122n⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 所以:11122n n n b b --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,212122n n n b b ---⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,……232122b b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,21122b b -=-, 上述累加可得22111111112(1)3222222n n n n b b n n ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=++++--=--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦,所以1122n n b n -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭;(2)(1)n n n c b =-,若n 为奇数,则11111(1)(1)22nnn n n n n n n c c b b b b ++++⎛⎫+=-+-=-=- ⎪⎝⎭,所以21234212n n n S c c c c c c -=++++++()()()1234212n n c c c c c c -=++++++13211112+2+2222n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 1321111++2222n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦111242114nn ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=--211234nn ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦即2211234nnS n ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题综合考查等差､等比数列的性质应用,考查数列求和,属于中档题.18.以昆明、玉溪为中心的滇中地区，冬无严寒、夏无酷暑，世界上主要的鲜切花品种在这里都能实现周年规模化生产.某鲜花批发店每天早晨以每支2元的价格从鲜切花生产基地购入某种玫瑰，经过保鲜加工后全部装箱（每箱500支，平均每支玫瑰的保鲜加工成本为1元），然后以每箱2000元的价格整箱出售.由于鲜花的保鲜特点，制定了如下促销策略：若每天下午3点以前所购进的玫瑰没有售完，则对未售出的玫瑰以每箱1200元的价格降价处理.根据经验，降价后能够把剩余玫瑰全部处理完毕，且当天不再购进该种玫瑰，由于库房限制每天最多加工6箱.（1）若某天该鲜花批发店购入并加工了6箱该种玫瑰，在下午3点以前售出4箱，且被6位不同的顾客购买.现从这6位顾客中随机选取2人赠送优惠卡，则恰好一位是以2000元价格购买的顾客，另一位是以1200元价格购买的顾客的概率是多少？（2）该鲜花批发店统计了100天内该种玫瑰在每天下午3点以前的销售量t （单位：箱），统计结果如下表所示（视频率为概率）：①估计接下来的一个月（30天）内该种玫瑰每天下午3点以前的销售量不少于5箱的天数是多少？②若批发店每天在购进5箱数量的玫瑰时所获得的平均利润最大（不考虑其他成本），求x 的取值范围. 【答案】（1）815；（2）①21天：②x 的取值范围为*[33,70],x ∈N . 【解析】 【分析】(1)利用列举法列举出基本事件和满足条件的基本事件,再根据古典概型概率公式计算即可得结论;(2)①由70x y +=可得满足题意的天数为:703021100⨯=天;②根据购进5箱的平均利润>购进6箱的平均利润,列出不等式求解即可.【详解】(1)设这6位顾客是A ,B ,C ,D ,E ,F ,其中3点以前购买的顾客是A ,B ,C ,D ,3点以后购买的顾客是E ,F , 从这6位顾客中任选2位有15种选法:(,)A B ,(A,C),(,)A D ,(,)A E ,(,)A F ,(,)B C ,(,)B D ,(,)B E ,(,)B F ,(,)C D ,(,)C E ,(,)C F ,(,)D E ,(,)D F ,(,)E F ,其中恰好一位是以2000元价格购买的顾客,另一位是以1200元价格购买的顾客的有8种:(,)A E ,(,)A F ,(,)B E ,(,)B F ,(C ,)E ,(,)C F ,(,)D E ,(D ,)F ,根据古典概型的概率公式可得815P =; (2)①依题意有30100x y ++=,70x y ∴+=,所以估计接下来的一个月(30天)内该种玫瑰每天下午3点以前的销售量不少于5箱的天数是703021100⨯=天; ②批发店毎天在购进4箱数量的玫瑰时所获得的平均利润为:42000450032000⨯-⨯⨯=元; 批发店毎天在购进5箱数量的玫瑰时所获得的平均利润为:3070(420001120055003)(5200055003)2260100100⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=元; 批发店毎天在购进6箱数量的玫瑰时所获得的平均利润为:3070(420002120065003)(520001120065003)(6200065003)100100100x x -⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯ 4202230(70)25208x x x =++-=-;若批发店每天在购进5箱数量的玫瑰时所获得的平均利润最大, 则226025208x >-,解得32.5x >, 所以x 的取值范围范围为*[33,70],x ∈N .【点睛】本题考查了古典概型及其概率计算公式的应用,考查了平均值的计算,属中档题. 19.如图1所示，在矩形ABCD中，AB =2BC =，M 为CD 中点，将DAM △沿AM 折起，使点D 到点P 处，且平面PAM ⊥平面ABCM ，如图2所示.（1）求证：PB AM ⊥：（2）在棱PB 上取点N ，使平面AMN ⊥平面PAB ，求平面CMN 与AMN 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）余弦值为3485. 【解析】 【分析】(1)在矩形ABCD 中,连接BD 交AM于点Q ,则由tan tan DBA MAD ∠=∠可推出DBA MAD ∠=∠,因此有2DAQ π∠=,故在翻折后的四棱锥中,有,PQ AM BQ AM ⊥⊥,据此推出AM ⊥平面PBQ ,从而有PB AM ⊥;(2)以点Q 为原点,,,QA QB QP 方向为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系,再过点M 作MH AN ⊥于点H ,由平面AMN ⊥平面PAB 可推出MH ⊥平面PAB ,即有MH PB ⊥,结合PB AM ⊥,可知PB ⊥平面AMN ,即PB AN ⊥,设(01)PN PB λλ=≤≤,再结合0PB AN ⋅=可求出4383(0,,)N ,最后再利用空间向量法求二面角的余弦值即可. 【详解】(1)在矩形ABCD 中,连接BD 交AM 于点Q ,由题知22AB =2AD =,2DM =所以2tan tan DBA MAD ∠=∠=,即DBA MAD ∠=∠, 又2DBA BDA π∠+∠=,所以2MAD BDA π∠+∠=,所以2DAQ π∠=,即,DQ AM BQ AM ⊥⊥,故在翻折后的四棱锥中,有,PQ AM BQ AM ⊥⊥, 又PQBQ Q =,所以AM ⊥平面PBQ ,又PB ⊂平面PBQ ,所以PB AM ⊥;(2)如图所示,以点Q 为原点,,,QA QB QP 方向为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系,在矩ABCD 中,经计算可得264323AQ BQ DQ ===, 因此26432623236(((A B C P M , 过点M 作MH AN ⊥于点H , 因为平面AMN ⊥平面PAB ,平面AMN 平面PAB AN =,所以MH ⊥平面PAB ,所以MH PB ⊥, 又由(1)知PB AM ⊥,且MH AM M ⊥=, 所以PB ⊥平面AMN ,所以PB AN ⊥,即有0PB AN ⋅=,因为点N 在PB 上,设(01)PN PB λλ=≤≤,则4323(1)N λ⎛- ⎝⎭,由0PB AN ⋅=解得15λ=,即N , 设平面CMN 的一个法向量为(,,)n x y z =,62326(,,0),(CM CN =-=, 由00CM n CN n⎧⋅=⎨⋅=⎩0y x y z ⎧=⎪⎪⇒-=,令712,4y x z =⇒==-,即7(2,1,)4n =-,又平面AMN的一个法向量为PB =,所以4cos ,97PB n +<>==,所以平面CMN 与AMN . 【点睛】本题主要考查空间中的线线､线面及面面垂直关系,考查空间向量法求二面角的余弦值,需要学生具备一定的空间思维及计算能力,有一定难度.20.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点()1,0F ，A ，B ，C 是椭圆上任意三点，A ，B 关于原点对称且满足12AC BC k k ⋅=-. （1）求椭圆E 的方程.（2）若斜率为k 的直线与圆：221x y +=相切，与椭圆E 相交于不同的两点P 、Q ，求PQ ≥时，求k 的取值范围. 【答案】（1）2212x y +=； （2）(),2,⎡-∞+∞⎣.【解析】 【分析】（1）由题意设出A ，B ，C 的坐标，代入椭圆方程作差可得a 与b 的关系，结合右焦点坐标解得a ，b 即可.（2）设出直线方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式及根与系数的关系将PQ 用k 与m 表示，再利用直线与圆相切得到k ，m 的关系，代入表达式，得到关于k 的不等式，解得k 的范围即可．【详解】（1）由题可设(),A A A x y ，(),A A B x y --，(),C C C x y ，所以2222222211A AC C x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得()()()()220A C A C A C A C x x x x y y y y a b -+-++=，()()()()22A C A C A C A C y y y y b x x x x a -+⇒⋅=--+.即()()()()2212A C A C AC BC A C A C y y y y b k k x x x x a-+⋅=⋅=-=--+，所以222a b =，又1c =，222a b c =+，所以22a =，21b =，所以椭圆E 的标准方程为2212x y +=.（2）设直线方程为y kx m =+，交椭圆于点()11,P x y ，()22,Q x y .联立方程()22222,12422012y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩ ()228210k m ∆=+->，得2221k m +>， 122412km x x k +=+，21222212m x x k-=+. 所以PQ ====，因为直线y kx m =+与圆221x y +=相切，所以1d m ==⇒=，即221m k =+，代入2221k m +>，得0k ≠.所以PQ ===因为PQ ≥，所以5≥， 化简得()()42222603202k k k k k+-≥⇔+-≥⇒≥，或23k ≤-（舍）.所以k ≥k ≤故k的取值范围为(),-∞⋃+∞.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，弦长公式，涉及直线与圆相切的充要条件、一元二次方程的根与系数的关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 21.已知函数()ln f x x x =.（1）若函数2()'()(2)(0)g x f x ax a x a =+-+>，试研究函数()g x 的极值情况；（2）记函数()()x xF x f x e =-在区间(1,2)内的零点为0x ，记()min (),x x m x f x e ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，若()()m x n n R =∈在区间(1,)+∞内有两个不等实根1212,()x x x x <，证明：1202x x x +>.【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】试题分析：（1）由()()22ln 1g x ax a x x =-+++求出()'g x ，分三种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0g x >求得x 的范围，可得函数()g x 增区间，()'0g x <求得x 的范围，可得函数()g x 的减区间，根据单调性可得函数()g x 的极值情况；（2）先证明()'0F x >，即()F x 在区间()1,2内单调递增，根据零点存在性定理， 存在()01,2x ∈，使得()()00000x x F x f x e =-=，可得以()00,1,x xlnx x x m x x x x e <≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，要证1202x x x +>，只需证()()1012m x m x x <-，即01011122ln x x x x x x e --<，记()00022ln ,1x xx xh x x x x x e--=-<<，其中()00h x =，利用导数可证明()h x 单调递增，故当01x x <<时，()()00h x h x <=，即可得01011122ln x x x xx x e --<，进而可得结果.试题解析：（1）由题意，得()'ln 1f x x =+， 故()()22ln 1g x ax a x x =-+++，故()()()()2111'22x ax g x ax a x x--=-++=， 0,0x a >>.令()'0g x =，得1211,2x x a == ①当02a <<时，112a >，()1'002g x x >⇐<<或1x a>；()11'02g x x a<⇐<<,所以()g x 在12x =处取极大值1ln224a g ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，在1x a =处取极小值11ln g a a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.②当2a =时，112a =，()'0g x ≥恒成立，所以不存在极值； ③当2a >时，112a <，()1'00g x x a >⇐<<或12x >；()11'02g x x a <⇐<<,所以()g x 在1x a =处取极大值11ln g a a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，在12x =处取极小值1ln224a g ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.综上，当02a <<时，()g x 在12x =处取极大值ln24a --，在1x a =处取极小值1ln a a--；当2a =时，不存在极值；2a >时，()g x 在1x a =处取极大值1ln a a --，在12x =处取极小值ln24a--.（2）()ln x xF x x x e =-，定义域为()0,x ∈+∞，()1'1ln x x F x x e-=++，而()1,2x ∈，故()'0F x >，即()F x 在区间()1,2内单调递增 又()110F e =-<，()2222ln20F e=->， 且()F x 在区间()1,2内的图象连续不断，故根据零点存在性定理，有()F x 在区间()1,2内有且仅有唯一零点. 所以存在()01,2x ∈，使得()()0000x x F x f x e=-=， 且当01x x <<时，()xx f x e <； 当0x x >时，()xx f x e >， 所以()00,1,xxlnx x x m x x x x e <≤⎧⎪=⎨>⎪⎩当01x x <<时，()ln m x x x =， 由()'1ln 0m x x =+>得()m x 单调递增； 当当0x x >时，()xxm x e =， 由()1'0xxm x e -=<得()m x 单调递减； 若()m x n =在区间()1,+∞内有两个不等实根12,x x （12x x <）则()()10201,,,x x x x ∈∈+∞. 要证1202x x x +>，即证2012x x x >-又0102x x x ->，而()m x 在区间()0,x +∞内单调递减， 故可证()()2012m x m x x <-， 又由()()12m x m x =， 即证()()1012m x m x x <-，即01011122ln x x x x x x e --<记()00022ln ,1x x x xh x x x x x e --=-<<，其中()00h x =记()t t t e φ=，则()1't tt eφ-=，当()0,1t ∈时，()'0t φ>； 当()1,t ∈+∞时，()'0t φ<， 故()max 1t eφ=而()0t φ>，故()10t eφ<<， 而021x x ->，所以002210x x x x e e---<-<， 因此()00022211'1ln 10x x x x x x h x x e e e---=++->->，即()h x 单调递增，故当01x x <<时，()()00h x h x <=， 即01011122ln x x x x x x e--<，故1202x x x +>，得证. 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题号涂黑.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），将直线621=0x y --上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的13倍得到直线l '.（1）求直线l '的普通方程；（2）设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l '的距离的最小值及此时点P 的坐标. 【答案】（1）直线l '的普通方程为7x y -=； （2）点P 到直线l '的距离的最小值为2，此时点P 的坐标为(3,1)-. 【解析】 【分析】(1)设直线l '上的点为(,)x y '',再将123x x y y ''⎧=⎪⎨⎪=⎩代入方程621=0x y --即可得到直线l '的方程;(2)利用点到直线的距离公式,结合三角函数即可求出距离的最小值,进而得出点P 的坐标. 【详解】(1)设直线l '上的点为(,)x y '',由题可知212133x x x x y y y y =⎧⎧=⎪⎪⇒⎨''⎨='⎪=⎩'⎪⎩, 又621=0x y --,所以33210x y ''--=,即70x y ''--=, 因此直线l '的普通方程为:70x y --=;(2)点,2sin )P αα到直线l '的距离d ==, 所以当2()6k k Z παπ=-+∈时,min 2d ==,此时(3,1)P -. 【点睛】本题主要考查伸缩变换以及参数方程的应用,考查学生的运算及思维转换能力,难度不大.23.已知函数()|21||5|f x x x =-++. （1）求不等式()7f x >的解集； （2）若函数()f x 的最小值为32m，求证：,(0,)p q ∀∈+∞，11m p q p q +≥+恒成立.【答案】（1）{|1x x <-或1}x >：（2）证明见解析 【解析】【分析】(1)对x 的取值范围进行分情况讨论,再求解不等式即可;(2)根据解析式求出()f x 的最小值,从而得到m ,再利用分析法证明不等式即可.【详解】(1)()|21||5|f x x x =-++=34,516,52134,2x x x x x x ⎧⎪--<-⎪⎪-+-≤<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，若()7f x >,则有5347x x <-⎧⎨-->⎩或15267x x ⎧-≤<⎪⎨⎪-+>⎩或12347x x ⎧≥⎪⎨⎪+>⎩,解得5x <-或51x -≤<-或1x >,因此不等式()7f x >的解集为{|1x x <-或1}x >;(2)由函数()f x 的解析式可知,()f x 在1(,)2-∞上单调递减,在1(,)2+∞上单调递增, 因此min 1113()()4222f x f m m ===+⇒=, 因此要求证:,(0,)p q ∀∈+∞,114p q p q+≥+恒成立, 即证4p q pq p q+≥+恒成立, 即证()24p q pq +≥恒成立, 即证2220p q pq +-≥恒成立,而对,(0,)p q ∀∈+∞,222p q pq +-=2()0p q -≥恒成立,因此,原不等式得证.【点睛】本题主要考查解绝对值不等式,考查不等式的证明,难度不大.。
2020届湖南省长沙市长郡高三上学期月考（四）数学（理）试题
算可得答案．
【详解】
根据题意，三个区域至少有一个安保小组，
所以可以把 5 个安保小组分成三组，有两种分法：
按照 1、1、3 分组或按照 1、2、2 分组；
若按照
1、1、3
分组,共有
C51C41C33 A22
A33
60
种分组方法；
若按照
1、2、2
分组,共有
C51C42C22 A22
A33
90
种分组方法，
7．已知两点 M 2,0 ，N 2,0 ，若直线 y k x 3 上存在四个点 Pi 1, 2,3, 4 ，
使得 MNP 是直角三角形，则实数 k 的取值范围是（
）
,
0
0,
4 5
C．
2
5 5
,
2
5
5
D．
2
5 5
,
0
0,
2
5 5
【答案】D
【解析】根据△ MNP 是直角三角形，转化为以 MN 为直径的圆和直线 y=k（x-3）相交，
f
x
2 1 ex
1 sin
x 的图象大致形状为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据函数解析式得函数为偶函数，计算
f
2
1 e2 1 e2
sin
2
0 即可得出选项.
【详解】
f
x
2 1 ex
1 sin
x
1 ex 1 ex
sin
x
，
f
x
1 1
e e
x x
sin x
ex ex
1 1
sin
2020届长郡中学高三第1次月考试卷-理数答案
理科数学试题参考答案!长郡版"!!%
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湖南省长沙市长郡中学高三数学上学期第四次月考试卷 理 新人教A版
长郡中学高三数学备课组组稿 （考试范围：高考全部内容）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页，时量120分钟．满分150分，一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}2|05,,|4M x x x N N x x =<<∈==，下列结论成立的是 A.N M ⊆ B.M N M = C.M N N = D.{}2MN =2．下列命题中，真命题是 A ．00,0x x R e∃∈≤B. 3,3xx R x ∀∈>C ．“0a b -=”的充分不必要条件是“1ab=” D ．“22x a b >+”是“2x ab >”的必要不充分条件 3．已知非零向量a ，b 满足a+b 与a-b 的夹角是2π，那么下列结论中一定成立的是 A.a b = B.a=b C.a b ⊥ D.a ∥b 4．设以13434(),(),log 43xx a b c x -===，若x>l ，则a ，b ，c 的大小关系是A ．a<b<c ．B ．c<a<bC ．b<a<cD ．b<c<a 5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是A. 3B. 5C. 7D. 96．双曲线的中心在坐标原点O ，A 、C 分别为双曲线虚轴的上、下顶点，B 是双曲线的左顶点，F 是双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于D ，若双曲线离心率为2，则BDF ∠的余弦值为A．77 B ．277 C ．714D ．57147．如图，已知圆22:(4)(4)4M x y -+-=，四 边形ABCD 为圆M 的内接正方形，E 、F分别为边AB ，AD 的中点，当正方形AB CD 绕圆心M 转动时，ME OF ⋅的取值范 围是A ．82,82⎡⎤-⎣⎦B ．[]8,8-C ．42,42⎡⎤-⎣⎦D ．[]4,4-8．已知(0,)2x π∈，且函数212sin ()sin 2xf x x +=的最小值为b ，若函数()g x =21(),42864(0),4x x bx x πππ⎧-<<⎪⎪⎨⎪-+<≤⎪⎩，则不等式()1g x ≤的解集为A ．2,22π⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭B ．3,42π⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．2,66π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,66π⎡⎤⎢⎥⎣⎦选择题答题卡二、填空题：本大题共8个小题，考生做答7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前2题给分） 9．在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为：22cos 0ρρθ+=，点P 的极坐标为(2,)2π，过点P 作圆C 的切线，则两条切线夹角的正切值是________.10．已知a ，b ，c ∈R ，且228a b c ++=，则222(1)(2)(3)a b c -+++-的最小值是_______. 11.如图，AB 是半圆O 的直径，C 在半圆上，CD ⊥AB 于 点D ，且AD=3DB ，AE= EO ，设CED θ∠=，则tan 2θ= ___________.（二）必做题（12至16题）12．在281()x x-的展开式中x 的系数是__________.（用数字作答） 13.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为___________． 14.设区域{}(,)|02,02,,A a c a c a c R =<<<<∈，若任 取点(,)a c A ∈，则关于x 的方程220ax x c ++=有实 根的概率为____________．15.已知函数()3xf x x e =+-的定义域为R ． (l)则函数()f x 的零点个数为___________； (2)对于给定的实数k ，已知函数()k f x = (),(),,()f x f x k k f x k≤⎧⎨>⎩,若对任意x ∈R ，恒有()()k f x f x =，则k 的最小值为__________．16.在数1和2之间插入n 个正数，使得这n+2个数构成递增等比数列，将这n+2个数的乘积记为n A ，令2log ,n n a A n N *=∈．(1)数列{}n a 的通项公式为n a =____________；(2)2446222tan tan tan tan tan tan n n n T a a a a a a +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=___________． 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）已知三角形的三内角A 、B 、C 的对边为a ，b ，c ，且△ABC 的面积为S=3cos 2ab C (1)若a=l ，b=2，求c 的值． (2)若1a =，且43A ππ≤≤，求b 的取值范围．18.（本小题满分12分）为了解某班学生关注NBA 是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到如下的列联表：已知在全班48人中随机抽取一人，抽到关注NBA 的学生的概率为23． (l)请将上面的列表补充完整（不用写计算过程），并判断是否有95%的把握认为关注NBA 与性别有关？说明你的理由．(2)现从女生中抽取2人进行进一步调查，设其中关注NBA 的人数为X ，求X 的分布列与数学期望． 下面的临界值表仅供参考：19.（本小题满分12分）如图，△BCD 是等边三角形，AB=AD ，90BAD ∠=，将△BCD 沿BD 折叠到△'BC D 的位置，使得'AD C B ⊥.(l)求证：'AD AC ⊥；(2)若M 、N 分别为BD ，'C B 的中点，求二面角N-AM-B 的正弦值． 20.（本小题满分13分）如图所示，有一具开口向上的截面为抛物线 型模具，上口AB 宽2m ，纵深OC 为1.5 m. (l)当浇铸零件时，钢水面EF 距AB 0．5m ， 求截面图中EF 的宽度；(2)现将此模具运往某地，考虑到运输中的各种因素，必须把它安置于一圆台型包装箱内，求使包装箱的体积最小时的圆台的上、下底面的半径.221212121(),,3V h r r rr r r π=++圆台为上、下底面的半径，h 为高，参考数据4433≈ 21.（本小题满分13分）在直角坐标系xOy 中，已知椭圆22122:1x y C a b +=的一个顶点坐标为(2,0)A ，且抛物线214y x =的焦点是椭圆1C 的另一个顶点． (l)求椭圆1C 的方程；(2)①若直线:l y kx m =+同时与椭圆1C 和曲线2224:3C x y +=相切，求直线l 的方程． ②若直线:l y kx m =+与椭圆1C 交于M ，N ，且直线OM 的斜率是OM k 与直线ON 的斜率ON k 满足4(0)OM ON k k k k +=≠,求证：2m 为定值．22.（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足111,21()n n S S S n N *+=-+=-∈，数列{}n b 的通项公式为34()n b n n N *=-∈(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)是否存在圆心在x 轴上的圆C 及互不相等的正整数n 、m 、k ，使得三(,),(,),(,)n n n m m m k k k A b a A b a A b a 落在圆C 上？请说明理由．。
湖南省长沙市长郡中学高三数学上学期第四次月考试卷 文 新人教A版
长郡中学高三数学备课组组稿 （考试范围：高考全部内容）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={1，2，3，4，5），集合{}{}3,4,1,2,3A B ==，则等于A ．{}3B ．{}1,2C ．{}1,3D ．{}1,2,3 2．在极坐标系中，曲线4cos ρθ=围成的图形面积为A ．πB ．4C ．4πD ．16 3．已知a R ∈，则“a>2”是“22a a <”成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的x 。
值为5，则输出的y 值为A ．-2B ．-1C ．2D ．125.点(,)P x y 满足10,10,,x y x y x a +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，若目标函数2z x y =-的最大值为1，则实数a 的值是 A ．-3 B ．3 C ．-1 D ．16．若单位向量a ，b 满足a b a b -=+，则a 与a-b 的夹角大小为A ．4π B ．3π C ．34π D ．23π7．某四面体三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是A ．2B ．4C ．25+D ．425+8．抛物线24y x =的焦点为F ，点P(x ，y)为该抛物线上的动点，O 为坐标原点，则PF PO的最小值是A ．22 B ．32 C ．52D ．2 9．定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足(2)2()f x f x =，且当(]1,2x ∈时，()2f x x =-，若12,x x 是方程()(01)f x a a =<≤的两个实数根，则12x x -不可能是A. 30B. 56 C ．80 D ．112选择题答题卡二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上． 10．若复数2a ii+的实部与虚部相等，则实数a=__________. 11．等差数列{}n a 中，34259,18a a a a +==，则16a a =_________.12.设P 在[0，5]上随机地取值，则关于x 的方程210x px ++=有实数根的概率为_________. 13.如图所示，M ，N 是函数2sin()(0)y x ωϕω=+>图 象与x 轴的交点，点P 在M ，N 之间的图象上运 动，当△MPN 面积最大时0PM PN ⋅=，则ω= _________14.设点A ，B 是圆224x y +=上的两点，点(1,0)C ，如果90ACB ∠=，则线段AB 长度的最大值为_________．15.对于各数互不相等的正整数数组123(,,,)n i i i i ⋅⋅⋅（n 是不小于3的正整数），若对任意的p ，q ∈{}1,2,3,,n ⋅⋅⋅，当p<q 时有p q i i >，则称,p q i i 是该数组的一个“逆序”．一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，如数组(2，3，1)的逆序数等于2．则数组(4，2，3，1)的逆序数等于__________；若数组123(,,,)n i i i i ⋅⋅⋅的逆序数为n ，则数组11(,,,)n n i i i -⋅⋅⋅的逆序数为_________． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 1 6．（本小题满分12分） 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c,已知a=2c ，且2A C π-=．(1)求cos C 的值；(2)当b=l 时，求△ABC 的面积S 的值． 1 7．（本小题满分12分）某市政府为了了解居民的生活用电情 况，以使全市在用电高峰月份的居民 生活不受影响，决定制定一个合理的 月均用电标准．为了确定一个较为合 理的标准，必须先了解全市居民日常用电量的分布情况．现采用抽样调查的方式，获得了n 位居民在2012年的月均用电量（单位：度）数据，其样本统计结果如下图表：(1)分别求出n ，a 的值；(2)若月用电紧张指数y 与月均用电量x （单位：度）满足如下关系式：10.3100y x =+，将频率视为概率，求用电紧张指数不小于70%的概率． 18.（本小题满分12分）如图，在矩形ABCD 中，AB=2BC ，点M 在边CD 上，点F 在边AB 上，且DF AM ⊥，垂足为E ，若将△ADM 沿AM 折起，使点D 位于'D 位置，连接','D B D C 得四棱锥'D ABCM -. (1)求证：平面'D EF ⊥平面AMCB; (2)若'3D EF π∠=，直线'D F 与平面ABCM 所成角的大小为3π，求直线AD'与平面ABCM 所成角的正弦值．19.（本小题满分13分）已知数列{}n a 中，14,0n a a =>，前n 项和为n S，若n a =+(,2)n N n *∈≥.(l)求数列{}n a 的通项公式； (2)若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T ,求证132020nT ≤≤． 20.（本小题满分13分）已知圆222:((0)M x y r r -+=>．若椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点为圆M 的同心，离心率为2． (1)求椭圆C 的方程；(2)若存在直线:l y kx =，使得直线l 与椭圆C 分别交于A ，B 两点，与圆M 分别交于G ，H 两点，点G 在线段AB 上，且AG BH =，求圆M 半径r 的取值范围． 21.（本小题满分13分）已知函数2()(2)ln 22f x x a x a x a =-++++，其中a ≤2． (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 在（0,2]上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围．。
【附加15套高考模拟试卷】湖南省长郡中学2020届高三5月(第四次)月考数学(理)试题含答案
湖南省长郡中学2020届高三5月（第四次）月考数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()2xf x e ax =-，对任意10x <，20x <，都有()()()()21210x x f x f x --<，则实数a的取值范围是( )A ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ C ．0,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．,02e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．若sin sin 0αβ>>，则下列不等式中一定成立的( ) A ．sin2sin2αβ>B ．sin2sin2αβ<C ．cos2cos2αβ>D ．cos2cos2αβ<3．已知圆O 的半径为1，在圆O 内随机取一点M ，则过点M 的所有弦的长度都大于3的概率为（ ）A ．12B ．34C ．1π D ．144．如图，二面角BC αβ--的大小为6π，AB α⊂，CD β⊂，且2AB =，2BC CD ==，43ABC BCD ，ππ∠=∠=，则AD 与β所成角的大小为（ ）A ．4πB ．3πC ．6πD ．12π5．设函数()()0,1x f x a a a =>≠，()1y fx -=表示()y f x =的反函数，定义如框图表示的运算，若输入2x =-，输出14y =；当输出3y =-时，则输入x 为（ ）A．18B．6 C．16D．86．已知函数()ln(1)f x x=-，若f（a）＝f（b），则a+2b的取值范围为（）A．（4，+∞）B．[322)++∞，C．[6，+∞） D．(4,322]+7．已知函数()[]01x xf xxx⎧≥⎪=⎨⎪⎩，，＜（[]x表示不超过x的最大整数），若()0f x ax-=有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（）A．12,23⎛⎤⎥⎝⎦B．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．23,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭D．23,34⎛⎤⎥⎝⎦8．一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，最大面积是（）A．2 B．2C．23．49．设函数()3xf xmπ=．若存在()f x的极值点x满足()22200x f x m⎡⎤+<⎣⎦，则m的取值范围是（）A．()(),66,-∞-⋃∞B．()(),44,-∞-⋃∞C．()(),22,-∞-⋃∞D．()(),11,-∞-⋃∞10．如图，四棱锥P ABCD-的底面为矩形，矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，且球的表面积为16π，点P在球面上，则四棱锥P ABCD-体积的最大值为（）A ．8B ．83C ．16D ．16311．某快递公司的四个快递点,,,A B C D 呈环形分布（如图所示），每个快递点均已配备快递车辆10辆．因业务发展需要，需将,,,A B C D 四个快递点的快递车辆分别调整为5,7,14,14辆，要求调整只能在相邻的两个快递点间进行，且每次只能调整1辆快递车辆，则A ．最少需要8次调整，相应的可行方案有1种B ．最少需要8次调整，相应的可行方案有2种C ．最少需要9次调整，相应的可行方案有1种D ．最少需要9次调整，相应的可行方案有2种12．已知抛物线C ：26y x =，直线l 过点(2,2)P ，且与抛物线C 交于M ，N 两点，若线段MN 的中点恰好为点P ，则直线l 的斜率为（ ）A ．13B ．54 C ．32 D ．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省长沙市长郡中学2020届高三上学期月考(四)数学(理)试题
长郡中学2020届高三月考试卷（四）数学（理科）得分：____________本试卷共8页.时量120分钟.满分150分.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2|230A x x x =-->，(){}|lg 3B x y x ==+，则A B =I （ ） A. {}|31x x -<<-B. {}|3x x >C. {}|313x x x -<<->或D. {}|13x x -<<2. 设复数z 满足：()21z i i -=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数的虚部为（ ） A.35B. 35-C.35i D. 35i -3. 太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被3sin6y x π=的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A.136B.118C.112D.194. 函数()21sin 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A. B. C. D.5. 2019年4月，北京世界园艺博览会开幕，为了保障园艺博览会安全顺利地进行，某部门将5个安保小组全部安排到指定的三个不同区域内值勤，则每个区域至少有一个安保小组的排法有（ ） A. 150种B. 240种C. 300种D. 360种★6. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：lg1.120.05=，lg1.30.11=，lg 20.30=） A. 2021年B. 2020年C. 2019年D. 2018年7. 已知两点()2,0M -，()2,0N ，若直线()3y k x =-上存在四个点()1,2,3,4P i =，使得MNP ∆是直角三角形，则实数k 的取值范围是（ ） A. 44,55⎛⎫-⎪⎝⎭B. 44,00,55⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭UC. ⎛ ⎝⎭D. ⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭U ★8. 一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ） A. 丁B. 丙C. 乙D. 甲9. 将函数()()sin f x x ϕ=+图象上所有点的横坐标变为原来的()11ωω>（纵坐标不变），得函数()g x 的图象.若16g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，203g π⎛⎫=⎪⎝⎭，且函数()g x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上具有单调性，则ω的值为（ ） A. 2B. 3C. 5D. 710. 定义域为R 的函数()f x 满足()()221f x f x +=-，当(]0,2x ∈时，()()[]2,0,11,1,2x x x f x x x⎧-∈⎪=⎨∈⎪⎩.若(]0,4x ∈时，()2732tt f x t -≤≤-恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A. []1,2B. 51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦11. 已知椭圆Γ：()222210x y a b a b+=>>，直线1x y +=与椭圆Γ交于M ，N 两点，以线段MN 为直径的圆经过原点.若椭圆Γ的离心率不大于2，则a 的取值范围为（ ）A. (B. 2⎛⎝C. 2⎛ ⎝⎦D. 1,2⎛⎝⎦ ★12. 在ABC ∆中，已知9AB AC ⋅=u u u r u u u r，sin cos sin B A C =⋅，6ABC S ∆=，P 为线段AB 上的一点，且CA CB CP x y CA CB=⋅+⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ，则11x y +的最小值为（ ）A.712+B.712+C.712+D.712+ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设向量()4,a m =r ，()1,2b =-r，且a b ⊥r r ，则2a b +=r r ______.14. 已知0sin a xdx π=⎰，则5a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中1x -项的系数为______.15. 在区域()0,11x x y x y x y ⎧⎫≥⎧⎪⎪⎪Ω=+≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≤⎩⎩⎭中，若满足0ax y +≥的区域面积占Ω面积的13，则实数a 的值为______.16. 已知六棱锥P ABCDEF -，底面ABCDEF 为正六边形，点P 在底面的射影为其中心，将该六棱锥沿六条侧棱剪开，使六个侧面和底面展开在同一平面上，若展开后点P 在该平面上对应的六个点全部落在一个半径为5的圆上，则当正六边形ABCDEF 的边长变化时，所得六棱锥体积的最大值为______. 三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 已知ABC ∆三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点D 为BC 边的中点，()cos 2cos a B b c A =-+，1AD =.（1）求A ；（2）求ABC ∆面积的最大值.★18. 如图，在几何体ABCDEF 中，//AB CD ，1AD DC CB ===，60ABC ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =.（1）求证：平面FBC ⊥平面ACFE ；（2）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角的平面角为()90θθ≤︒，试求cos θ的取值范围.19. 已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且122a a ⋅=，3432a a ⋅=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足()*12111321n n b b b a n N n +++⋅⋅⋅+=-∈-，求数列{}n b 的前n 项和. 20. 在国家积极推动美丽乡村建设的政策背景下，各地根据当地生态资源打造了众多特色纷呈的乡村旅游胜地.某人意图将自己位于乡村旅游胜地的房子改造成民宿用于出租，在旅游淡季随机选取100天，对当地已有的六间不同价位的民宿进行跟踪，统计其出租率y （100100天中出租的天数），设民宿租金为x （单位：元/日），得到如图所示的数据散点图.（1）若用“出租率”近似估计旅游淡季民宿每天租出去的概率，求租金为388元的那间民宿在淡季内的三天中至少有2天闲置的概率.（2）①根据散点图判断，y bx a =+与ln y c x d =+哪个更适合于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？根据判断结果求回归方程；②若该地一年中旅游淡季约为280天，在此期间无论民宿是否出租，每天都要付出9.9%x 的固定成本，若民宿出租，则每天需要再付出10%x 的日常支出成本.试用①中模型进行分析，旅游淡季民宿租金约定为多少元时，该民宿在这280天的收益W 达到最大？附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为µ()()()121nii i nii uu v vu u β==--=-∑∑；µµv u αβ=-. 参考数据：记ln i i z x =，261.3x ≈，0.47y =， 5.4z =，()()1221ni i i x x y y =-⋅-≈-∑，()21121333.3ni i x x=-≈∑，()()10.99ii i nzz y y =-⋅-≈-∑，()212.2ni i z z=-≈∑，5.1164e ≈， 5.2181e ≈.21. 已知函数()21ln 2f x ax x =+，()g x bx =-，其中,a b R ∈，设()()()h x f x g x =-. （1）若()f x在x =处取得极值，且()()'112f g =--，求函数()h x 的单调区间； （2）若0a =时，函数()h x 有两个不同的零点1x ，2x ， ①求b 的取值范围； ②求证：1221x x e >. （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中曲线C 的参数方程为244x k y k⎧=⎨=⎩（k 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.直线l 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求直线l 和曲线C 的普通方程；（2）已知点()2,0P ，且直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，求PA PB -的值. 23. 选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式2211log x x a +--≤（其中0a >）. （1）当4a =时，求不等式的解集； （2）若不等式有解，求实数a 的取值范围.数学（理科）参考答案一、选择题 1-5：CBBCA6-10：BDCBC11-12：DD1. C 【解析】∵集合{}{}2|230|31A x x x x x x =-->=><-或，(){}{}|lg 3|3B x y x x x ==+=>-，∴{}|313A B x x x =-<<->I 或，故选C.2. B 【解析】复数z 满足()21z i i -=+（i 为虚数单位），∴()()()()2212z i i i i -+=++，∴513z i =+，1355z i =+，则z 的共轭复数的虚部为35-.故选B. 3. B 【解析】根据题意，大圆的直径为3sin 6y x π=的周期，且2126T ππ==，面积为212362S ππ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，一个小圆的面积为2'1S ππ=⋅=，在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为：2'213618S P S ππ===.故选B. 4. C 【解析】()211sin sin 11x xx e x f x x e e -⎛⎫=-=⋅ ⎪++⎝⎭， 则()()()11sin sin 11x x x x e e f x x x e e -----=⋅-=⋅-++()1sin 1x xe xf x e-=⋅=+， 则()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B ，D ， 当1x =时，()11sin101ef e-=⋅<+，排除A.故选C. 5. A 【解析】根据题意，三个区域至少有一个安保小组，所以可以把5个安保小组分成三组，有两种分法：按照1、1、3分组或按照1、2、2分组；若按照1、1、3分组，共有113354332260C C C A A ⨯=种分组方法； 若按照1、2、2分组，共有122354232290C C C A A ⨯=种分组方法，根据分类计数原理知共有6090150+=种分组方法，故选A.6. B 【解析】设第n 年开始超过200万元，则()2016130112%200n -⨯+>，化为()2016lg1.12lg2lg1.3n ->-，0.300.112016 3.80.05n -->=，取2020n =，因此开始超过200万元的年份是2020年.7. D 【解析】当1PM x ⊥，4P N x ⊥时，此时存在两个直角三角形， 当MN 为直角三角形的斜边时，MNP ∆是直角三角形，要使直线()3y k x =-上存在四个点()1,2,3,4P i =，使得MNP ∆是直角三角形，等价为以MN 为直径的圆和直线()3y k x =-相交，且0k ≠，圆心O 到直线30kx y k --=的距离2d =<，平方得()22294144k k k <+=+，即254k <，即245k <，即k <<，又0k ≠， ∴实数k的取值范围是⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭U ，故选D.8. C 【解析】由四名嫌疑人所说，得上面的表，由于是两对两错，如乙说的是对的，则甲也对丁也对，不符.所以乙说假话，小偷不是丙.同时丁说的也是假话.即甲、丙说的是真话，小偷是乙. 9. B 【解析】函数()()sin f x x ϕ=+的图象上所有点的横坐标变为原来的()11ωω>（纵坐标不变）， 得函数()g x 的图象，可得()()sin g x x ωϕ=+，由于16g π⎛⎫=⎪⎝⎭，203g π⎛⎫=⎪⎝⎭，可得()23642T nT n Z ππ-=+∈，即12242n ππω⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，()n Z ∈， 所以()12n n Z ω=+∈， 因为函数()g x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上具有单调性，所以226T ππ≥-，可得223T ππω=≥，可得3ω≤，所以3ω=. 故选B.10. C 【解析】当()2,3x ∈时，()()20,1x -∈，则()()()()222122221f x f x x x =--=----221011x x =-+； 当[]3,4x ∈时，()[]21,2x -∈，则()()222112f x f x x =--=--； 则当()0,1x ∈时，()21,04f x x x ⎡⎫=-∈-⎪⎢⎣⎭； 当[]1,2x ∈时，()11,12f x x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦； 当()2,3x ∈时，()2321011,12f x x x ⎡⎫=-+∈--⎪⎢⎣⎭； 当[]3,4x ∈时，()[]210,12f x x =-∈-； 所以(]0,4x ∈时，()31,1,124f x ⎡⎫⎡⎤∈---⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦U ， 所以()min 32f x =-，()max 1f x =， “若(]0,4x ∈时，()2732t t f x t -≤≤-恒成立”等价于27322t t --…且13t ≤-，解得122t ≤≤，故选C.11. D 【解析】椭圆Γ：()222210x y a b a b+=>>，直线1x y +=与椭圆Γ交于M ，N 两点，且以线段MN为直径的圆经过原点，可得1a >，由1x y +=联立椭圆方程可得()222222220a b x a x a a b +-+-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，可得212222a x x a b +=+，2221222a ab x x a b -=+，线段MN 为直径的圆经过原点，可得OM ON ⊥，即有12120x x y y +=，可得()()1212110x x x x +--=，化为()1212210x x x x +-+=，则222222222210a a b a a b a b -⋅+-=++，化为22222a b a b +=，由2e ≤，可得22314b a -≤，即2214b a ≥，可得2221214a a a ≥-， 即有2214a -≤，解得2a ≤，可得12a <≤ D. 12. D 【解析】ABC ∆中，设AB c =，BC a =，ACb =， ∵sin cos sin B A C =⋅，∴()sin sin cos A C C A +=， 即sin cos sin cos sin cos A C C A C A +=，∴sin cos 0A C =，∵sin 0A ≠，∴cos 0C =，90C =︒，∵9AB AC ⋅=u u u r u u u r，6ABC S ∆=，∴cos 9bc A =，1sin 62bc A =， ∴4tan 3A =，根据直角三角形可得4sin 5A =，3cos 5A =，15bc =， ∴5c =，3b =，4a =，以C 为坐标原点，AC 所在的直线为x 轴，BC 所在的直线为y 轴建立直角标系可得()0,0C ，()3,0A ，()0,4B ，P 为AB 线段上的一点，则存在实数λ使得()()()13,4401CP CA CB λλλλλ=+-=-≤≤u u u r u u u r u u u r， 设1CA e CA =u u u r u r u u u r ，2CB e CB=u u u ruu r u u u r ，则121e e ==u r u u r ，()11,0e =u r ，()20,1e =u u r ， ∴()()(),00,,CA CB CP x y x y x y CA CB=⋅+⋅=+=u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ，∴3x λ=，44y λ=-，则4312x y +=，()111114312x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭143771212x y y x ⎛⎫+=++≥⎪⎝⎭. 当且仅当431243x y x y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，即12x =-12y =时，min 11x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.二、填空题13. 14. -80 15. 12-16. 313. 【解析】∵a b ⊥r r ，∴420a b m ⋅=-=r r，解得2m =.∴()()()24,221,26,2a b +=+-=-r r .∴2a b +==r r14. -80 【解析】()00sin d cos |2a x x x ππ==-=⎰，二项式552a x x x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的展开式的通项：()552515522rrr r r r r T C x x x C ---+-⎛⎫==- ⎪⎝⎭.令251r -=-，解得2r =.∴展开式中1x -项的系数()325280C =-⨯=-.故答案为-80. 15. 12-【解析】根据题意，区域Ω为如图所示的三角形ABC ， 则三角形ABC 为等腰直角三角形，所以45BAC ∠=︒，因为直线0ax y +=过()0,0，结合图形可知0a <时，才能满足0ax y +≥的区域面积占Ω面积的13，所以满足0ax y +≥的区域为图中阴影AOD ，设D 点坐标为(),1x x -. 满足0ax y +≥的区域面积占Ω面积的13，即三角形AOD 的面积为三角形ABC 面积的13，11121sin 45322AO AD ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯︒，即111322=⨯， 解得23x =，又D 点在直线0ax y +=上， 所以21033a ⨯+=，解得12a =-.16. 3 【解析】如图所示，设六边形的边长为()0x x >，则2OG x =， ∵展开后点P 在该平面上对应的六个点全部落在一个半径为5的圆上，∴5PG x =，∴PO ==∴六棱锥的体积211632V x =⨯⨯⨯=令()()4550f x x x =>，∴()()343'2054f x x x =-=-，当x ⎛∈ ⎝⎭时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，∴当x =()f x . 三、解答题17.【解析】（1）由()cos 2cos a B b c A =-+以及正弦定理可得()sin cos sin 2sin cos A B B C A =-+，得sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=-，得sin 2sin cos C C A =-，∵0C π<<，∴sin 0C ≠， ∴1cos 2A =-，又0A π<<，∴23A π=. （2）∵点D 为BC 边的中点，∴2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ， ∴()222242AD AC AB AC AB AB AC =+=++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又1AD =， ∴2222242cos3b c bc b c bc bc π=++=+-≥，∴4bc ≤，当且仅当b c =时等号成立.∴1sin 24ABC S bc A ∆==≤b c =时等号成立，∴ABC ∆18.【解析】（1）在四边形ABCD 中，∵//AB CD ，1AD DC CB ===，60ABC ∠=︒，∴2AB =，∴2222cos603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒=，∴222AB AC BC =+，∴BC AC ⊥.∵平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE I 平面ABCD AC =，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面ACFE .又因为BC ⊂平面FBC ，所以平面FBC ⊥平面ACFE .（2）由（1）知可建立分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系C xyz -，令(0FM λλ=≤≤，则()0,0,0C，)A ，()0,1,0B ，(),0,1M λ，∴()AB =u u u r ，(),1,1BM λ=-u u u u r . 设()1,,n x y z =u r 为平面MAB 的法向量，由1100n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u u r，得00y x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩， 取1x =，则()1n λ=u r . ∵()21,0,0n =u u r 是平面FCB 的一个法向量， ∴1212cos n n n n θ⋅==⋅u r u u r u r u u r=. ∵0λ≤≤0λ=时，cos θ. 当λ=cos θ有最大值12，∴1cos 72θ⎤∈⎥⎣⎦.19.【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知得21251232a q a q ⎧=⎨=⎩，又∵10a >，0q >，∴112a q =⎧⎨=⎩，∴12n n a -=.（2）由题意可得2n ≥时：3122113521n n b b b b n +++⋅⋅⋅+=--， ∴()12121221n n n b n n --+=-≥-，1221n n b n -=-，∴()()12122n n n b n -=-⋅≥， 当1n =时，11b =，符合上式，∴()()1*212n n b n n N -=-⋅∈.设数列{}n b 的前n 项和为()12113252212n n T n -=+⨯+⨯++-⋅L ，则()()2312123252232212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅L ，两式相减得()()2112222212n n n T n --=++++--⋅L ()2323n n =--⋅-，∴()2323n n T n =-⋅+. 20.【解析】（1）三天中至少有2天闲置的反面为3天中多有一天能够租出，又每天的出租率为0.2，所以3天中至少有2天闲置的概率()()232310.20.210.20.896P C =-⨯+-=. （2）①根据散点图的分布情况，各散点连线更贴近ln y c x d =+的图象，故ln y c x d =+的拟合效果更好， 依题意，()()10.99i i i n z z y y =-⋅-≈-∑，()21 2.2n i i z z =-≈∑， 所以()()()1210.990.452.2ni ii n i i z z y y c z z ==---===--∑∑， 所以0.470.45 5.4 2.9d y cz =-=+⨯=，所以回归方程为0.45ln 2.9y x =-+.②设旅游淡季民宿租金为x ，则淡季该民宿的出租率0.45ln 2.9y x =-+，所以该民宿在这280天的收益2802800.12800.099W yx y x x=-⨯-⨯()()2520.45ln 2.927.72113.4ln 703.080x x x x x x x =-+-=-⋅+>，所以589.681134'.ln W x =-，令'0W =得，ln 5.2x =，所以 5.2181x e ==，且当()0,181x ∈时'0W >，()181,x ∈+∞时，'0W <，所以()W x 在()0,181上单调递增，在()181,+∞上单调递减，所以当181x =时，W 存在最大值，所以旅游淡季民宿租金约定为181元时，该民宿在这280天的收益W 达到最大.21.【解析】（1）由已知得()()1'0f x ax x x =+>，所以'022f a ⎛=+= ⎝⎭，所以2a =-. 由()()'112fg =--，得12a b +=-，所以1b =.所以()()2ln 0h x x x x x =-++>. 则()()()112210'21h x x x x x x x⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-++=>-，由()'0h x >得01x <<；由()'0h x <得1x >. 所以()h x 的减区间为()1,+∞，增区间为()0,1.（2）①由已知()()ln 0h x x bx x =+>，所以()()1'0h x b x x=+>， 当0b ≥时，显然()'0h x >恒成立，此时函数()h x 在定义域内递增，()h x 至多有一个零点，不合题意. 当0b <时，令()'0h x =得10x b =->，令()'0h x >得10x b <<-； 令()'0h x <得1x b >-. 故()()1ln 10h x h b b ⎛⎫=-=---> ⎪⎝⎭极大，解得10b e -<<. 且0x →时，()ln h x x bx =+→-∞，x →+∞时，()ln h x x bx =+→-∞， 所以当1,0b e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()h x 有两个零点.②由题意得11ln 0x bx +=，22ln 0x bx +=，∴()1212ln 0x x b x x ++=，()2121ln ln 0x x b x x -+-=，∴12122121ln ln ln x x x x x x x x +=--，不妨设12x x <， 要证212x x e >，只需要证()12122121ln ln ln 2x x x x x x x x +=->-， 即证()2121212ln ln x x x x x x -->+，设21x t x =，1t >， 构造()()214ln ln 211t t t t t F t -=-=+-++，∴()()()()222114011'F t t t t t t -=-=>++，∴函数()F t 在()1,+∞上单调递增，而()10F =，∴()0F t >，即()21ln 1t t t ->+， ∴212x x e >，∴1221x x e>. 22.【解析】（1）∵曲线C 的参数方程为244x k y k⎧=⎨=⎩（k 为参数），消去参数k ，得曲线C 的普通方程为24y x =；∵直线l 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即cos sin 2ρθθ=， ∴直线l的直角坐标方程为20x -=；（2）∵直线l 经过点()2,0P ，∴可得直线l的参数方程为2212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），设1112,22A t ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，2212,22B t ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭， 把直线l 的参数方程代入曲线C的普通方程，得2320t --=.则12t t +=12320t t =-<.故1212t t t PA P t B =-=+=-23.【解析】（1）当4a =时，不等式即2112x x +--≤， 当12x <-时，不等式为22x --≤，解得142x -≤<-. 当112x -≤≤时，不等式为32x ≤，解得1223x -≤≤. 当1x >时，不等式为22x +≤，此时x 不存在. 综上，不等式的解集为243x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.（2）设()12,213,1222,111f x x x x x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪-≤=+≤--=⎨⎪+>⎪⎪⎩， 故()3,2f x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，即()f x 的最小值为32-. 所以，当()2log f x a ≤有解，则有23log 2a ≥-，解得4a ≥，即a的取值范围是4⎫+∞⎪⎪⎣⎭.。
2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高三(上)月考数学试卷(理科)试题及答案
2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）月考数学试卷（理科）（二）（10月份）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（2017秋•商丘期末）设{||2|1}A x x =-…，{|(32)1}B x ln x =-<，则(A B = )A ．3(,)2-∞B ．3[1,)2C ．3(1,)2D ．3(,3]22．（5分）（2018春•张家口期末）若复数z 满足(2)1811z i i -=+，则|4|(z i -= )A B C ．13D ．153．（5分）（2019秋•天心区校级月考）我国古代数学著作（九章算术》中记述道：今有良马与弩马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；弩马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎弩马，二马相逢．问：几日相逢？结合二马相逢的问题设计了一个程序框图如图所示．已知a 为良马第n 天行驶的路程上为弩马第n 天行驶的路程，S 为良马、鸳马n 天行驶的路程和，若执行该程序框图后输出的结果为9n =，则实数m 的取值范围为( )A ．[2250，5125)2B ．[2250，5125]2C ．(1950，2250]D ．[950，2250]4．（5分）（2016•山东）已知函数()f x 的定义域为R ．当0x <时，3()1f x x =-；当11x -剟时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-．则f （6）(= ) A ．2-B ．1C ．0D ．25．（5分）（2017秋•洛阳期末）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知261116203a a a a a ---+=，则21S 的值为( ) A ．63B ．21-C ．63-D ．216．（5分）（2016•天津）设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．（5分）（2017秋•太原期末）已知命题“[1x ∀∈，2]，2210x ax -+>”是真命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．5(,)4-∞B ．5(4，)+∞C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞8．（5分）（2017秋•平谷区期末）将函数()cos(2)6f x x π=-的图象向左平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，那么下列说法正确的是( ) A ．函数()g x 的最小正周期为2π B ．函数()g x 是奇函数C ．函数()g x 的图象关于点(12π，0)对称D ．函数()g x 的图象关于直线3x π=对称9．（5分）（2014•山东）已知x ，y 满足约束条件10230x y x y --⎧⎨--⎩……，当目标函数(0,0)z a x b y a b =+>>在该约束条件下取到最小值22a b +的最小值为( )A ．5B ．4CD ．210．（5分）（2019秋•天心区校级月考）已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且满足(2)(2)f x f x -=+，当(0,2)x ∈时，2()(1)f x ln x x =-+，则方程()0f x =在区间[0，8]上的解的个数是( ) A ．3B ．5C ．7D ．911．（5分）（2018•浙江）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -+=，则||a b -的最小值是( )A 1B 1C ．2D ．212．（5分）（2018•泸州模拟）已知函数2,0(),0x x x f x e x >⎧=⎨⎩…，()(x g x e e =是自然对数的底数），若关于x 的方程(())0g f x m -=恰有两个不等实根1x 、2x ，且12x x <，则21x x -的最小值为( )A ．1(12)2ln -B ．122ln +C ．12ln -D ．1(12)2ln +二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）（2019秋•天心区校级月考）已知向量,a b 的夹角为120︒，且||2a =，|2|27a b -=，则||b =14．（5分）（2019秋•天心区校级月考）正项等比数列{}n a 中，存在两项m a ，*(,)n a m n N ∈使得m a ，2116n a a =，且7652a a a =+，则125m n+的最小值为 15．（5分）（2018春•皇姑区校级期中）在研究函数1()2(0)xf x x =≠的单调区间时，有如下解法： 设2()()ln g x lnf x x==，()g x 在区间(,0)-∞和区间(0,)+∞上是减函数，因为()g x 与()f x 有相同的单调区间，所以()f x 在区间(,0)-∞和区间(0,)+∞上是减函数． 类比上述作法，研究函数(0)x y x x =>的单调区间，其单调增区间为 ．16．（5分）（2018•上饶三模）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，1sin cos()sin 2B BC C =+，当角B 取最大值时，ABC ∆的周长为3，则a = ． 二、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题；共60分.17．（12分）（2015春•桂林期末）已知(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，函数()f x a b =． （1）求()f x 的对称轴方程； （2）若对任意实数[6x π∈，]3π，不等式()2f x m -<恒成立，求实数m 的取值范围．18．（12分）（2018秋•泉州期中）如图，在ABC ∆中，点P 在BC 边上，60PAC ∠=︒，2PC =，4AP AC +=．（Ⅰ）求边AC 的长；（Ⅱ）若APB ∆的面积是sin BAP ∠的值．19．（12分）（2012春•鲤城区校级期末）已知定义域为R 的单调函数()f x 是奇函数，当0x >时，()23x xf x =-． （1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围．20．（2015秋•溧阳市期末）已知数列{}n a 的首项135a =，1321n n n a a a +=+，1n =，2，⋯．（1）求证：数列1{1}na -为等比数列； （2）记12111n nS a a a =++⋯+，若100n S <，求最大的正整数n ．（3）是否存在互不相等的正整数m ，s ，n ，使m ，s ，n 成等差数列且1m a -，1s a -，1n a -成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．21．（12分）（2018春•烟台期末）已知函数()()af x lnx x a R x=++∈．（1）若函数()f x 在[1，)+∞上为增函数，求a 的取值范围；（2）若函数2()()(1)g x xf x a x x =-+-有两个不同的极值点，记作1x ，2x ，且12x x <，证明：2312(x x e e >为自然对数的底数）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•阳东县校级模拟）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为23(24x tt y t =-⎧⎨=-+⎩为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos tan ρθθ=．（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若1C 与2C 交于A ，B 两点，点P 的极坐标为)4π-，求11||||PA PB +的值．2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）月考数学试卷（理科）（二）（10月份）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2017秋•商丘期末）设{||2|1}A x x =-…，{|(32)1}B x ln x =-<，则(AB =)A ．3(,)2-∞B ．3[1,)2C ．3(1,)2D ．3(,3]2【解答】解：{||2|1}{|13}A x x x x =-=剟?，33{|(32)1}{}22e B x ln x x -=-<=<<，3{|1}[12AB x x ∴=<=…，3)2．故选：B ．2．（5分）（2018春•张家口期末）若复数z 满足(2)1811z i i -=+，则|4|(z i -= )A B C ．13D ．15【解答】解：由(2)1811z i i -=+， 得1811(1811)(2)582(2)(2)i i i z i i i i +++===+--+， ∴4512z i i -=-，则|4|13z i -=． 故选：C ．3．（5分）（2019秋•天心区校级月考）我国古代数学著作（九章算术》中记述道：今有良马与弩马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；弩马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎弩马，二马相逢．问：几日相逢？结合二马相逢的问题设计了一个程序框图如图所示．已知a 为良马第n 天行驶的路程上为弩马第n 天行驶的路程，S 为良马、鸳马n 天行驶的路程和，若执行该程序框图后输出的结果为9n =，则实数m 的取值范围为( ) A ．[2250，5125)2B ．[2250，5125]2C ．(1950，2250]D ．[950，2250]【解答】解：根据题意，良马走的路程可以看成是首项为103，公差为13的等差数列，则10313(1)1390a n n =+-=+，记其前n 天路程和为1S ，则113(1)1032n n S n -=+； 驽马走的路程可以看成是首相为97，公差为0.5-的等差数列，则97.50.5b n =-，记其前n 天路程和为2S ，20.5(1)972n n S n -=-， 所以1225200(1)4S S S n n n =+=+-． 由题输出时9n =，所以当8n =时，1950S m =<；9n =时，2250S m =…． 所以19502250m <…． 故选：C ．4．（5分）（2016•山东）已知函数()f x 的定义域为R ．当0x <时，3()1f x x =-；当11x -剟时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-．则f （6）(= ) A ．2-B ．1C ．0D ．2【解答】解：当12x >时，11()()22f x f x +=-， ∴当12x >时，(1)()f x f x +=，即周期为1． f ∴（6）f =（1），当11x -剟时，()()f x f x -=-， f ∴（1）(1)f =--，当0x <时，3()1f x x =-， (1)2f ∴-=-，f ∴（1）(1)2f =--=， f ∴（6）2=．故选：D ．5．（5分）（2017秋•洛阳期末）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知261116203a a a a a ---+=，则21S 的值为( ) A ．63B ．21-C ．63-D ．21【解答】解261116203a a a a a ---+=， 22061611()()3a a a a a ∴+-+-=， 113a ∴=-， 21112163S a ∴==-，故选：C ．6．（5分）（2016•天津）设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，若“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”不一定成立， 例如：当首项为2，12q =-时，各项为2，1-，12，14-，⋯，此时2(1)10+-=>，111()0244+-=>； 而“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”，前提是“0q <”，则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”的必要而不充分条件， 故选：C ．7．（5分）（2017秋•太原期末）已知命题“[1x ∀∈，2]，2210x ax -+>”是真命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．5(,)4-∞B ．5(4，)+∞C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞【解答】解：若命题“[1x ∀∈，2]，2210x ax -+>”是真命题，则“[1x ∀∈，2]，212x ax +>，即2111()22x a x x x+<=+恒成立，11()12x x x x+=， 1a ∴<，即实数a 的取值范围是(,1)-∞，故选：C ．8．（5分）（2017秋•平谷区期末）将函数()cos(2)6f x x π=-的图象向左平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，那么下列说法正确的是( ) A ．函数()g x 的最小正周期为2π B ．函数()g x 是奇函数C ．函数()g x 的图象关于点(12π，0)对称D ．函数()g x 的图象关于直线3x π=对称【解答】解：将函数()cos(2)6f x x π=-的图象向左平移3π个单位，得到函数2()cos(2)sin 236y g x x x ππ==+-=-的图象， 故()g x 为奇函数，且最小正周期为22ππ=，故A 错误，B 正确； 当12x π=时，1sin62y π=-=-，故C 错误；当3x π=时，2sin3y π=-=D 错误， 故选：B ．9．（5分）（2014•山东）已知x ，y 满足约束条件10230x y x y --⎧⎨--⎩……，当目标函数(0,0)z a x b y a b =+>>在该约束条件下取到最小值22a b +的最小值为( )A ．5B ．4CD ．2【解答】解：由约束条件10230x y x y --⎧⎨--⎩……作可行域如图，联立10230x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得：(2,1)A ．化目标函数为直线方程得：(0)a zy x b b b=-+>．由图可知，当直线a zy x b b =-+过A 点时，直线在y 轴上的截距最小，z 最小．2a b ∴+=即20a b +-=．则22a b +的最小值为24=．故选：B ．10．（5分）（2019秋•天心区校级月考）已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且满足(2)(2)f x f x -=+，当(0,2)x ∈时，2()(1)f x ln x x =-+，则方程()0f x =在区间[0，8]上的解的个数是( ) A ．3B ．5C ．7D ．9【解答】解：由(2)(2)f x f x -=+得，()(4)f x f x =+，()f x ∴的周期为4， (0,2)x ∈时，2()(1)f x ln x x =-+，()f x 为奇函数，当0x =时，(0)0f =，当20x -<<时，2()(1)f x ln x x =-++， ∴当22x -<<时，22(1),02()(1),20ln x x x f x ln x x x ⎧-+<<=⎨-++-<⎩…， 当22x -<<时，令()0f x =，则0x =，或1x =±， 由于()f x 的周期为4，∴当[0x ∈，8]时，()f x 的零点为：0，1，3，4，5，7，8共7个．故选：C ．11．（5分）（2018•浙江）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -+=，则||a b -的最小值是( )A 1B 1C ．2D ．2【解答】解：由2430b e b -+=，得()(3)0b e b e --=，()(3)b e b e ∴-⊥-， 如图，不妨设(1,0)e =，则b 的终点在以(2,0)为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量a 与e 的夹角为3π，则a 的终点在不含端点O 的两条射线(0)y x =>上．不妨以y =为例，则||a b -的最小值是(2,0)0y -=的距离减1．11-=．故选：A ．12．（5分）（2018•泸州模拟）已知函数2,0(),0x x x f x e x >⎧=⎨⎩…，()(x g x e e =是自然对数的底数），若关于x 的方程(())0g f x m -=恰有两个不等实根1x 、2x ，且12x x <，则21x x -的最小值为( ) A ．1(12)2ln -B ．122ln +C ．12ln -D ．1(12)2ln +【解答】解：2,0(),0x x x f x e x >⎧=⎨⎩…，()0f x ∴>恒成立；()[()]f x g f x e m ∴==，()f x lnm ∴=； 作函数()f x ，y lnm =的图象如下，结合图象可知，存在实数(01)m m <…，使122x x e m ==故1212x x m lnm -=-，令1()2g m m lnm =-，则1()12g m m'=-，故()g m 在(0，1]2递减，在1(2，1)递增，111()()2222g m g ln ∴=+…，故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）（2019秋•天心区校级月考）已知向量,a b 的夹角为120︒，且||2a =，|2|27a b -=，则||b = 2【解答】解：||||cos120||a b a b b =︒=-，||2a =，|2|27a b -=，∴2222(2)4444||4||28a b a a b b b b -=-+=++=，解得||2b =或||3b =-（舍去）． 故答案为：2．14．（5分）（2019秋•天心区校级月考）正项等比数列{}n a 中，存在两项m a ，*(,)n a m n N ∈使得m a ，2116n a a =，且7652a a a =+，则125m n+的最小值为 6 【解答】解：正项等比数列{}n a 中，存在两项m a ，*(,)n a m n N ∈使得21121116m n m n a a a q q a --==，2216m nm n q qq++-∴==，即422m n q q +=．且7652a a a =+，6541112a q a q a q ∴=+，即 22q q =+，∴正整数2q =，6m n +=． ∴12512512526125261()(125)()106666666m n m n m n m n m n n m n m ++=+=+++=+++=…， 当且仅当25m nn m=时，等号成立，故125m n+的最小值为6， 故答案为：6．15．（5分）（2018春•皇姑区校级期中）在研究函数1()2(0)xf x x =≠的单调区间时，有如下解法： 设2()()ln g x lnf x x==，()g x 在区间(,0)-∞和区间(0,)+∞上是减函数，因为()g x 与()f x 有相同的单调区间，所以()f x 在区间(,0)-∞和区间(0,)+∞上是减函数．类比上述作法，研究函数(0)x y x x =>的单调区间，其单调增区间为 1(,)e+∞ ．【解答】解：设()()g x lnf x xlnx ==， 则()1g x lnx '=+， 令()0g x '>， 则1x e>，即()g x 在1(,)e +∞上为增函数，又由复合函数单调性同增异减的原则， (0)x y x x =>的单调增区间为1(,)e +∞，故答案为：1(,)e+∞．16．（5分）（2018•上饶三模）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，1sin cos()sin 2B BC C =+，当角B 取最大值时，ABC ∆的周长为3，则a = 3 ． 【解答】解：ABC ∆中，1sin cos()sin 2B BC C =+，∴1cos()2b B C c =+，即cos 02bA c=-<， A ∴为钝角，cos cos 0A C ∴≠；由sin sin()sin cos cos sin 2cos sin B A C A C A C A C =+=+=-， 可得tan 3tan A C =-，且tan 0C >，2tan tan 2tan 2tan tan()11tan tan 133tan tan A C CB AC A C tan CC C+∴=-+=-===-++…，当且仅当tan C =时取等号；B ∴取得最大值时，1c b ==，6C B π==． 23A π∴=，由2222cos a b c bc A =+-，可得：a =，三角形的周长为3a b c b b ++=++=．解得：b =，可得：3a =．故答案为：3．二、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题；共60分.17．（12分）（2015春•桂林期末）已知(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，函数()f x a b =． （1）求()f x 的对称轴方程； （2）若对任意实数[6x π∈，]3π，不等式()2f x m -<恒成立，求实数m 的取值范围． 【解答】（本小题满分14分）解：（1）由()f x a b =及(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，可得2()s i n s i n c o s f x x x x =+⋯（2分） 1cos21sin 222x x -=+ ⋯（3分）1)242x π=-+ ⋯（4分） 令2242x k πππ-=+，k Z ∈，解得328k x ππ=+，k Z ∈．⋯（5分） 所以，()f x 的对称轴方程为328k x ππ=+，k Z ∈．⋯（6分） （2）[6x π∈，]3π，∴5212412x πππ-剟．⋯（7分） 又sin y x =在[0,]2π上是增函数，5sinsin(2)sin12412x πππ∴-剟．⋯（8分） 又5222sin sin()sin cos cos sin 12343434πππππππ=-=-12==，⋯（9分）()f x ∴在[6x π∈，]3π，时的最大值是1()2max f x =+=．⋯（11分）不等式()2f x m -<恒成立，即()2f x m -<恒成立，⋯（12分）∴2m -<，即m >所以，实数m 的取值范围是)+∞．⋯（14分） 18．（12分）（2018秋•泉州期中）如图，在ABC ∆中，点P 在BC 边上，60PAC ∠=︒，2PC =，4AP AC +=．（Ⅰ）求边AC 的长；（Ⅱ）若APB ∆的面积是sin BAP ∠的值．【解答】解：（Ⅰ）在ABC ∆中，点P 在BC 边上，60PAC ∠=︒，2PC =，4AP AC +=． 则：设AC x =，利用余弦定理得：2222cos PC AP AC AP AC PAC =+-∠， 则：2214(4)2(4)2x x x x =+---， 整理得：2312120x x -+=， 解得：2x = 故：2AC =．（Ⅱ）由于2AC =，4AP AC +=， 所以：2AP =，所以APC ∆为等边三角形．由于：APB ∆的面积是则：1sin 2AP BP BPA ∠= 解得：4BP =． 在APB ∆中，利用余弦定理：2222cos AB BP AP BP AP BPA =+-∠，解得：AB = 在APB ∆中，利用正弦定理得：sin sin BP ABBAP BPA=∠∠，所以：4sin BAP =∠解得：sin BAP ∠=19．（12分）（2012春•鲤城区校级期末）已知定义域为R 的单调函数()f x 是奇函数，当0x >时，()23x xf x =-． （1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围． 【解答】解：（1）定义域为R 的函数()f x 是奇函数， (0)0f ∴=，当0x <时，0x ->， ()23x xf x ---=-， 又函数()f x 是奇函数， ()()f x f x ∴-=-，∴()23x xf x -=+， 综上所述2(0)3()0(0)2(0)3x x x x f x x xx -⎧->⎪⎪==⎨⎪⎪+<⎩．（2）5(1)(0)03f f =-<=，且()f x 在R 上单调， ()f x ∴在R 上单调递减，由22(2)(2)0f t t f t k -+-<， 得22(2)(2)f t t f t k -<--， ()f x 是奇函数，22(2)(2)f t t f k t ∴-<-， 又()f x 是减函数，2222t t k t ∴->-即2320t t k -->对任意t R ∈恒成立，∴△4120k =+<得13k <-即为所求．20．（12分）（2015秋•溧阳市期末）已知数列{}n a 的首项135a =，1321n n n a a a +=+，1n =，2，⋯． （1）求证：数列1{1}na -为等比数列； （2）记12111n nS a a a =++⋯+，若100n S <，求最大的正整数n ．（3）是否存在互不相等的正整数m ，s ，n ，使m ，s ，n 成等差数列且1m a -，1s a -，1n a -成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）112133n n a a +=+，∴1111133n n a a +-=-，（2分）1110a -≠，∴*110()nn N a -≠∈，（3分） ∴11211()33n n a --=⨯， ∴数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列．（4分）（2）由（1）可求得11211()33n n a --=⨯，∴112()13n n a =⨯+．（5分） 1212111111111332()211333313n n n n n S n n n a a a +-=+++=++++=+=+--，（7分）若100n S <，则111003nn +-<，99max n ∴=．（9分） （3）假设存在，则2m n s +=，2(1)(1)(1)m n s a a a --=-，（10分）332n n na =+，∴2333(1)(1)(1)323232n m sn m s --=-+++．（12分） 化简得：3323m n s +=，（13分）233323s m n m n +=+…，当且仅当m n =时等号成立．（15分）又m ，n ，s 互不相等，∴不存在．（16分）21．（12分）（2018春•烟台期末）已知函数()()af x lnx x a R x=++∈．（1）若函数()f x 在[1，)+∞上为增函数，求a 的取值范围；（2）若函数2()()(1)g x xf x a x x =-+-有两个不同的极值点，记作1x ，2x ，且12x x <，证明：2312(x x e e >为自然对数的底数）．【解答】解：（1）由题可知，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，22()x x af x x +-'=， 因为函数()f x 在区间[1，)+∞上为增函数， 所以()0f x '…在区间[1，)+∞上恒成立， 等价于2()min a x x +…，即2a …，所以a 的取值范围是(-∞，2]．（4分） （2）由题得，2()g x xlnx ax a x =-+-， 则()2g x lnx ax '=-，因为()g x 有两个极值点1x ，2x ， 所以112lnx ax =，222lnx ax =，欲证2312x x e >等价于证2312()3ln x x lne >=， 即1223lnx lnx +>， 所以12322ax ax +>， 因为120x x <<，所以原不等式等价于12324a x x >+，由112lnx ax =，222lnx ax =，可得22112()x ln a x x x =-，则21212()x lnx a x x =-，由可知，原不等式等价于21211232x lnx x x x x >-+， 即22211211213(1)3()221x x x x x ln x x x x x -->=++， 设21x t x =，则1t >，则上式等价于3(1)(1)12t lnt t t->>+，令3(1)()(1)12t h t lnt t t -=->+， 则2(1)(41)()(12)t t h t t t --'=+，因为1t >，所以()0h t '>，所以()h t 在区间(1,)+∞上单调递增， 所以当1t >时，()h t h >（1）0+，即3(1)12t lnt t->+， 所以原不等式成立，即2312x x e >．（12分） [选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•阳东县校级模拟）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为23(24x tt y t =-⎧⎨=-+⎩为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos tan ρθθ=．（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若1C 与2C 交于A ，B 两点，点P的极坐标为)4π-，求11||||PA PB +的值． 【解答】解：()I 曲线1C 的参数方程为23(24x tt y t =-⎧⎨=-+⎩为参数）．消去参数t 可得普通方程：4320x y +-=．曲线2C 的极坐标方程为cos tan ρθθ=，可得22cos sin ρθρθ=，可得直角坐标方程：2x y =． ()II 点P的极坐标为)4π-，可得直角坐标(2,2)P -．直线1C 的参数方程化为标准方程：325(425x t t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数）． 代入方程：2x y =．可得：29801500t t -+=， 12809t t ∴+=，121509t t =． ∴12121280111189150||||||||159t t PA PB t t t t ++=+===．。
2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高三(上)月考数学试卷(理科)
()
A． 1 (1 ln2) 2
B． 1 ln2 2
C．1 ln2
D． 1 (1 ln2) 2
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．（5
分） （2019
秋•天心区校级月考）已知向量
a,
b
的夹角为120
，且
|
a
|
2
，| a
2b
|
2
7，
)
A． (, 3) 2
B．[1, 3) 2
C． (1, 3) 2
D． ( 3 ,3] 2
2．（5 分）（2018 春•张家口期末）若复数 z 满足 z(2 i) 18 11i ，则 | z 4i | ( )
A． 13
B． 15
C．13
D．15
3．（5 分）（2019 秋•天心区校级月考）我国古代数学著作（九章算术》中记述道：今有良 马与弩马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；
D． 2 3
12．（5
分）（2018•泸州模拟）已知函数
f
(x)
x, x 0 e2x , x0
， g(x)
ex (e
是自然对数的底数），
若关于 x 的方程 g( f (x)) m 0 恰有两个不等实根 x1 、 x2 ，且 x1 x2 ，则 x2 x1 的最小值为
B．函数 g(x) 是奇函数
C．函数 g(x) 的图象关于点 ( ， 0) 对称 12
D．函数 g(x) 的图象关于直线 x 对称 3
x y 10
9．（5
分 ） （ 2014 • 山 东 ） 已 知