二次函数的应用(经典)

灵活方便：交点式
已知二次函数的图象与x轴交于（－2，0）和 （1，0）两点，又通过点（3，－5）， 求这个二次函数的解析式。 当x为何值时，函数有最值？最值是多少？
已知二次函数的图象与x轴交于A（－2，0）， B（3，0）两点，且函数有最大值2。 求二次函数的解析式； 设此二次函所 需人数
商品
每1万元营业额 所得利润
百货类
5
百货类
0.3万元
服装类
4
家电类
2
服装类 家电类
0.5万元 0.2万元
求y关于x的函数关系式，并注明x的取值范围。
将上面所求出的函数配方成顶点式，写出顶点坐标。 并指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？
某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一 点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的 一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）。在跳某个规 定动作时，正常情况下，该运动 员在空中的最高处距水面32/3米， 入水处距池边的距离为4米，同 时，运动员在距水面高度为5米 以前，必须完成规定的翻腾动作， 并调整好入水姿势，否则就会出 现失误。（1）求这条抛物线的解 析式；（2）在某次试跳中，测 得运动员在空中的运动路线是（1） 中的抛物线，且运动员在空中调 整好入水姿势时，距池边的水平 距离为18/5米，问此次跳水会不 会失误？并通过计算说明理由。
设运动开始后第t秒时， 五边形APQCD的面积为Scm2，
Q
写出S与t的函数关系式，
并指出自变量t的取值范围；
t为何值时S最小？求出S的最小值。A P B
最值应用题——运动观点
在△ABC中，BC＝2，BC边上的高AD＝1， P是BC上任一点，PE∥AB交AC于E， PF∥AC交AB于F。
设BP＝x，将S△PEF用x表示； 当P在BC边上什么位置时，S值最大。
思维小憩：
用待定系数法求二次函数的解析式，什么 时候使用顶点式y=a(x-m)2+n比较方便？
知道顶点坐标或函数的最值时
比较顶点式和一般式的优劣
一般式：通用，但计算量大 顶点式：简单，但有条件限制
使用顶点式需要多少个条件？
顶点坐标再加上一个其它点的坐标； 对称轴再加上两个其它点的坐标； 其实，顶点式同样需要三个条件才能求。
A
F
E
B
PD
C
在取值范围内的函数最值
设0 x 3，讨论函数y x2 4x 5 的最大值和最小值。
设1 x 3，讨论函数y 1 x2 4x 4 2
的最大值和最小值。
二次函数的应用
专题四： 二次函数综合应用题
如图所示，公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂 直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心， OA=1.25米。由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流 在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状 较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处达到 距水面最大高度2.25米。 (1)如果不计其他因素，那 么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致 落到池外？(2)若水流喷出的抛物线形状与（1）相同， 水池的半径为3.5米，要使水流不落到池外，此时水 流的最大高度应达到多少米？（精确到0.1米）
出经过这三点的二次函数解析式； 在同一坐标系内画出这三个二次函数图象； 分析这三条抛物线的对称关系，并观察它们
的表达式的区别与联系，你发现了什么？
思维小憩：
用待定系数法求二次函数的解析式，设出 一般式y=ax2+bx+c是绝对通用的办法。
因为有三个待定系数，所以要求有三个已 知点坐标。
一般地，函数y=f(x)的图象关于x轴对称 的图象的解析式是y=-f(x)
商品
每1万元营业额所 需人数
商品
每1万元营业额 所得利润
百货类
5
百货类
0.3万元
服装类
4
家电类
2
服装类 家电类
0.5万元 0.2万元
某新建商场设有百货部、服装部和家电部三个经营部，共 有190名售货员，计划全商场日营业额(指每天卖出商品所收 到的总金额)为60万元，由于营业性质不同，分配到三个部 的售货员的人数也就不等，根据经验，各类商品每1万元营 业额所需售货员人数如表（1），每1万元营业额所得利润情 况如表（2）。商场将计划日营业额分配给三个经营部，设 分配给百货部，服装部和家电部的营业额分别为x，y和z （单位：万元，x、y、z都是整数）。（1）请用含x的代数 式分别表示y和z；（2）若商场预计每日的总利润为C（万 元），且C满足19≤C≤19.7。问商场应如何分配营业额给三 个经营部？各应分别安排多少名售货员？
解函数应用题的步骤:
设未知数(确定自变量和函数); 找等量关系,列出函数关系式; 化简,整理成标准形式(一次函数、二次函数等); 求自变量取值范围； 利用函数知识，求解（通常是最值问题）； 写出结论。
某新建商场设有百货部、服装部和家电部三个经营部，共 有190名售货员，计划全商场日营业额(指每天卖出商品所收 到的总金额)为60万元，由于营业性质不同，分配到三个部 的售货员的人数也就不等，根据经验，各类商品每1万元营 业额所需售货员人数如表（1），每1万元营业额所得利润情 况如表（2）。商场将计划日营业额分配给三个经营部，设 分配给百货部，服装部和家电部的营业额分别为x，y和z （单位：万元，x、y、z都是整数）。（1）请用含x的代数 式分别表示y和z；（2）若商场预计每日的总利润为C（万 元），且C满足19≤C≤19.7。问商场应如何分配营业额给三 个经营部？各应分别安排多少名售货员？
思维小憩：
用待定系数法求二次函数的解析式，什么时 候使用顶点式y=a(x-x1) (x-x2)比较方便？
知道二次函数图象和x轴的两个交点的坐标时
使用交点式需要多少个条件？
两个交点坐标再加上一个其它条件 其实，交点式同样需要三个条件才能求
求函数最值点和最值的若干方法：
直接代入顶点坐标公式 配方成顶点式 借助图象的顶点在对称轴上这一特性，结合和x
二次函数的三种式
一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x-m)2+n 交点式：y=a(x-x1) (x-x2)
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴的一个交点坐标是（8,0），顶点是 （6,-12），求这个二次函数的解析式。 （分别用三种办法来求）
二次函数的应用
专题二： 数形结合法
二次函数的应用
专题三： 二次函数的最值应用题
二次函数最值的理论
你能说明为什么当x b 时，函数的最值是 2a
y 4ac b2 呢？此时是最大值还是最小值呢？ 4a
求函数y=(m+1)x2-2(m+1)x-m的最值。 其中m为常数且m≠－1。
最值应用题——面积最大
某工厂为了存放材料，需要围一个周长 160米的矩形场地，问矩形的长和宽各取 多少米，才能使存放场地的面积最大。
最值应用题——运动观点
在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点
A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，
点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动。
如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回
答下列问题：
运动开始后第几秒时，
D
C
△PBQ的面积等于8cm2
快艇和轮船分别从A地和C地同时出发，各沿 着所指方向航行（如图所示），快艇和轮船 的速度分别是每小时40km和每小时16km。 已知AC＝145km，经过多少时间，快艇和 轮船之间的距离最短？（图中AC⊥CD）
145km
C
A
D
最值应用题——销售问题
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加 盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的 降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降 价1元，商场平均每天可多售出2件。
A
O
某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千 克，购进价格为每千克30元。物价部门规定其销售单 价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调查 发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降 低1元，日均多售出2千克。在销售过程中，每天还要 支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计 算）。设销售单价为x元，日均获利为y元。
简单的应用（学会画图）
已知二次函数的图象与x轴交于A（－2，0），B（3， 0）两点，且函数有最大值2。 求二次函数的解析式； 设此二次函数图象顶点为P，求△ABP的面积
在直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的 负半轴上，点C在x轴的正半轴上，AC＝5，BC＝4， cos∠ACB＝3/5。 求A、B、C三点坐标； 若二次函数图象经过A、B、C三点，求其解析式； 求二次函数的对称轴和顶点坐标
二次函数的应用
驻马店八中 张新宁
专题一： 待定系数法确定二次函数
无坚不摧：一般式
已知二次函数的图象经过A（－1，6）， B（1，2），C（2，3）三点，
求这个二次函数的解析式； 求出A、B、C关于x轴对称的点的坐标并求
出经过这三点的二次函数解析式； 求出A、B、C关于y轴对称的点的坐标并求
窗的形状是矩形上面加一个半圆。窗的 周长等于6cm，要使窗能透过最多的光 线，它的尺寸应该如何设计？
A
O
D
B
C
最值应用题——面积最大
• 用一块宽为1.2m的长方形铁板弯起两边
做一个水槽，水槽的横断面为底角120º的
等腰梯形。要使水槽的横断面积最大，它
的侧面AB应该是多长？
D
A
B
C
最值应用题——路程问题
一般地，函数y=f(x)的图象关于y轴对称 的图象的解析式是y=f(-x)
显而易见：顶点式
已知函数y=ax2+bx+c的图象是以点（2，3） 为顶点的抛物线，并且这个图象通过点（3， 1），求这个函数的解析式。（要求分别用一 般式和顶点式去完成，对比两种方法）