最新北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明1.4角平分线第2课时PPT课件
离相等). ∵AC＝BC，∴ ∠B＝∠BAC， (等边对等角). ∵ ∠C＝90°，
1 ∴ B＝ 90＝45 . ∴∠BDE＝90°－45°＝45° . 2
∴ BE＝DE(等角对等边).
在等腰直角三角形BDE中，
BD＝ 2 DE 2 4 2 cm (勾股定理). ∴ AC＝BC＝CD＋BD＝ 4+4 2 cm.
是( B )
A．P为∠A与∠B的平分线的交点 B．P为∠A的平分线与AB的垂直平分线的交点 C．P为AC，AB两边上的高的交点 D．P为AC，AB两边的垂直平分线的交点
2
如图，李明计划在张村、李村之间建一家超
市．张、李两村坐落在两相交公路内．超市的位 置应满足下列条件： (1)使其到两公路的距离相等； (2)为了方便群众，超市到两村的距离之和最短， 请你通过作图确定要建超市的位置．
2 在△ABC内到三条边距离相等的点是△ABC的 ( B ) A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．以上均不对
3 到三角形三边距离相等的点的个数是( D ) A．1 C．3 B．2 D．4
4 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线
相交于点O，下面结论正确的是( B ) A．∠1>∠2 B．∠1＝∠2 C．∠1<∠2 D．不能确定
解： 如图，连接 EF ，作∠ ACB 的 平 分线交 EF 于 点 O ， 则
点O就是所要建超市的位
置．
课堂小结
1
知识小结
三角形三条内角平分线的交点到三边的距离相等
是三角形的一个重要特征，该交点与三角形三个顶点 的连线形成三个等高的小三角形，利用三个小三角形 的面积之和等于原三角形的面积，求角平分线交点到 三边距离或者求三角形的面积，体现等面积法的运用.
感悟新知
知识点
1
三角形的角平分线
例2
求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并 且这一点到三条边的距 离相等.
已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分
线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC，的
垂线，垂足分别为D，E，F. 求证：∠A的平分线经过点P，且PD＝PE＝PF.
证明：∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，且 PD丄AB，PE丄BC，垂足分别为D，E， ∴PD＝PE (角平分线上的点到这个角的两边的
解：连接BF，由题意易知BF即 为∠ABC的平分线，则FM＝FN， 在Rt△ABC中，∵∠B＝60°， 1 ∴∠BAC＝30°. ∴∠DAB＝ ∠BAC＝15°. 2
∴∠FDN＝∠DAB＋∠B＝75°， ∠FEM＝∠BAC＋∠ACE 1 ＝30°＋ ∠ACB＝30°＋45°＝75°. 2 ∴∠FEM＝∠FDN. FEM＝FDN， 在△FEM与△FDN中， EMF＝DNF， FM＝FN， ∴△FEM≌△FDN. ∴FE＝FD.
由(1)的求解过程易知， (2) 证明：
Rt △ACD≌Rt△AED(HL).
∴ AC＝AE(全等三角形的对应边相等) ∵ BE＝DE＝CD， ∴ AB＝AE＋BE＝AC＋CD.
随堂练习
1 已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距 离相等，且 PA ＝ PB. 下列确定 P 点的方法正确的
课后作业
完成配套习题课件典例导学、反馈检测板块！
∴∠ABO＝∠CBO.
∵DE∥BC，∴∠CBO＝∠DOB. ∴∠ABO＝∠DOB.∴BD＝OD. 同理可证OE＝CE， ∴DE＝OD＋OE＝BD＋CE.
随堂练习
1
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∠B＝60°，AD，CE是角平分线，AD与CE相交 于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为 M，N. 求证：FE＝FD.
又∵BO，CO分别平分
∠ABC，∠ACB， ∴∠OBC＋∠OCB＝40°. ∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB) ＝180°－40°＝140°.
典例 如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相 交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB，AC于 点D，E. 求证：DE＝BD＋CE.
∵BO平分∠ABC， 证明：
八年级数学·下
新课标 [北师]
第一章 三角形的证明
学习新知
检测反馈
学习目标
1
课堂讲解
三角形的角平分线 角平分线性质的应用
2
课时流程
逐点 导讲练 课堂 小结 作业 提升
知识回顾
角平分线的性质与判定的内容是什么？ 定理 定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点 在这个角的平分线上.
距离相等).
同理，PE＝PF． ∴PD＝PE＝PF. ∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部，到 角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)，
即 ∠A的平分线经过点P.
典例 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， ∠ A ＝ 100° ， 若 ∠ ABC 和
140° ． ∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC＝________ 导引： 在△ABC中，∵∠A＝100°， ∴∠ABC＋∠ACB＝80°.
例3 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是 △ABC的角平分线，DEC的长；
(2) 求证：AB＝AC＋CD.
(1) 解： ∵AD是△ABC的角平分线，DC丄AC，DE丄AB垂 足为E，
∴ DE＝CD＝4 cm (角平分线上的点到这个角的两边的距
5
如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为 40，50，60，其三条角平分线交于点O，则 4:5:6 S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝_______.
知识点
2 角平分线性质的应用
角平分线的性质是证明边相等的重要依据，常
与直角三角形的性质、勾股定理其逆定理等综合应
用，在应用中常用到“构造法”和“转化思想”.
1 ∴ B＝ 90＝45 . ∴∠BDE＝90°－45°＝45° . 2
∴ BE＝DE(等角对等边).
在等腰直角三角形BDE中，
BD＝ 2 DE 2 4 2 cm (勾股定理). ∴ AC＝BC＝CD＋BD＝ 4+4 2 cm.
是( B )
A．P为∠A与∠B的平分线的交点 B．P为∠A的平分线与AB的垂直平分线的交点 C．P为AC，AB两边上的高的交点 D．P为AC，AB两边的垂直平分线的交点
2
如图，李明计划在张村、李村之间建一家超
市．张、李两村坐落在两相交公路内．超市的位 置应满足下列条件： (1)使其到两公路的距离相等； (2)为了方便群众，超市到两村的距离之和最短， 请你通过作图确定要建超市的位置．
2 在△ABC内到三条边距离相等的点是△ABC的 ( B ) A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．以上均不对
3 到三角形三边距离相等的点的个数是( D ) A．1 C．3 B．2 D．4
4 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线
相交于点O，下面结论正确的是( B ) A．∠1>∠2 B．∠1＝∠2 C．∠1<∠2 D．不能确定
解： 如图，连接 EF ，作∠ ACB 的 平 分线交 EF 于 点 O ， 则
点O就是所要建超市的位
置．
课堂小结
1
知识小结
三角形三条内角平分线的交点到三边的距离相等
是三角形的一个重要特征，该交点与三角形三个顶点 的连线形成三个等高的小三角形，利用三个小三角形 的面积之和等于原三角形的面积，求角平分线交点到 三边距离或者求三角形的面积，体现等面积法的运用.
感悟新知
知识点
1
三角形的角平分线
例2
求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并 且这一点到三条边的距 离相等.
已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分
线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC，的
垂线，垂足分别为D，E，F. 求证：∠A的平分线经过点P，且PD＝PE＝PF.
证明：∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，且 PD丄AB，PE丄BC，垂足分别为D，E， ∴PD＝PE (角平分线上的点到这个角的两边的
解：连接BF，由题意易知BF即 为∠ABC的平分线，则FM＝FN， 在Rt△ABC中，∵∠B＝60°， 1 ∴∠BAC＝30°. ∴∠DAB＝ ∠BAC＝15°. 2
∴∠FDN＝∠DAB＋∠B＝75°， ∠FEM＝∠BAC＋∠ACE 1 ＝30°＋ ∠ACB＝30°＋45°＝75°. 2 ∴∠FEM＝∠FDN. FEM＝FDN， 在△FEM与△FDN中， EMF＝DNF， FM＝FN， ∴△FEM≌△FDN. ∴FE＝FD.
由(1)的求解过程易知， (2) 证明：
Rt △ACD≌Rt△AED(HL).
∴ AC＝AE(全等三角形的对应边相等) ∵ BE＝DE＝CD， ∴ AB＝AE＋BE＝AC＋CD.
随堂练习
1 已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距 离相等，且 PA ＝ PB. 下列确定 P 点的方法正确的
课后作业
完成配套习题课件典例导学、反馈检测板块！
∴∠ABO＝∠CBO.
∵DE∥BC，∴∠CBO＝∠DOB. ∴∠ABO＝∠DOB.∴BD＝OD. 同理可证OE＝CE， ∴DE＝OD＋OE＝BD＋CE.
随堂练习
1
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∠B＝60°，AD，CE是角平分线，AD与CE相交 于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为 M，N. 求证：FE＝FD.
又∵BO，CO分别平分
∠ABC，∠ACB， ∴∠OBC＋∠OCB＝40°. ∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB) ＝180°－40°＝140°.
典例 如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相 交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB，AC于 点D，E. 求证：DE＝BD＋CE.
∵BO平分∠ABC， 证明：
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第一章 三角形的证明
学习新知
检测反馈
学习目标
1
课堂讲解
三角形的角平分线 角平分线性质的应用
2
课时流程
逐点 导讲练 课堂 小结 作业 提升
知识回顾
角平分线的性质与判定的内容是什么？ 定理 定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点 在这个角的平分线上.
距离相等).
同理，PE＝PF． ∴PD＝PE＝PF. ∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部，到 角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)，
即 ∠A的平分线经过点P.
典例 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， ∠ A ＝ 100° ， 若 ∠ ABC 和
140° ． ∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC＝________ 导引： 在△ABC中，∵∠A＝100°， ∴∠ABC＋∠ACB＝80°.
例3 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是 △ABC的角平分线，DEC的长；
(2) 求证：AB＝AC＋CD.
(1) 解： ∵AD是△ABC的角平分线，DC丄AC，DE丄AB垂 足为E，
∴ DE＝CD＝4 cm (角平分线上的点到这个角的两边的距
5
如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为 40，50，60，其三条角平分线交于点O，则 4:5:6 S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝_______.
知识点
2 角平分线性质的应用
角平分线的性质是证明边相等的重要依据，常
与直角三角形的性质、勾股定理其逆定理等综合应
用，在应用中常用到“构造法”和“转化思想”.
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八年级数学下册1.4.2角平分线课件新版北师大版
度数，可以求此角的度数。
3
应用三 解决实际问题
可以运用角平分线及其性质来解决直角 三角形、等腰三角形等问题。
角平分线的练习
练习一 画出角的平分线
练习用尺规等工具作出各种角的 平分线。
练习二 用角平分线定理 求角度
练习应用角平分线定理来求出角 的度数。
练习三 解决实际问题
练习将角平分线应用于解决不同 的实际问题。
总结
1 角平分线的重要性
角平分线是许多的几何问题的基础课件的学习，你是否已经对角平分线有了更好的理解？
3 知识点回顾
通过课件中的练习，你是否已经掌握了角平分线的基本定义、性质、作用、应用及求解 方法？
可用尺规作图法作出一条角的平 分线。
角平分线的作用
寻找角平分线
可以用尺规作图法求角平分线。
确定长度
若一个角的一条平分线已知其长度，则可以求出与此平分线相应两边的长度。
证明定理
可以用角平分线定理来证明一些定理。
角平分线的应用
1
应用一 求角平分线
通过尺规作图等方法求角平分线。
应用二 求角度大小
2
已知一个角的一条平分线与相应两边的
角平分线课件：北师大版 八年级数学下册1.4.2
本课件将深入讲解角平分线的定义、性质、作用、应用和练习，助你更好地 掌握这一知识点。
角平分线的定义
什么是角平分线
角平分线是指可以将一个角平分 成两个相等的角的线段。
角平分线的性质
作图
1.角平分线可以互相平分。
2.如果一个角的两条平分线相交， 则它们所截的弧上的点都在相同 的直线上。
北师版初中数学八年级下册精品教学课件 第一章 三角形的证明 3线段的垂直平分线 第2课时
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4.已知点O是等边三角形ABC内的一点,且OA=OB=OC,则∠BOC的度数
是
.
答案:120°
解析:∵OA=OB=OC, ∴点O是等边三角形ABC三边垂直平分线的交点. 由三线合一知点O也是每个角的平分线的交点,
∴∠BOC=180°-30°-30°=120°.
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5.如图,已知O为△ABC三边垂直平分线的交点,点O到顶点A的距离平面上不共线三点A,B,C的距离相等的点( ). A.没有 B.只有一个 C.有两个 D.有三个或三个以上 答案:B
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2.已知△ABC(AC<AB<BC),用尺规在线段BC上确定一点P,使得 PA+PC=BC,则符合要求的作图痕迹是( ).
答案:D
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3.等腰三角形的顶角为100°,两腰的垂直平分线交于点P,则( ). A.点P在三角形内 B.点P在三角形底边上 C.点P在三角形外 D.点P的位置与三角形的边长有关 答案:C
三角形的证明
3 线段的垂直平分线 第2课时
快乐预习·感知
1.三角形三条边的垂直平分线相交于 一 点,并且这一点到三个顶点的距 离 相等 . 2.作三角形三边垂直平分线的交点,至少需要作 两 条边的垂直平分线. 3.已知三角形的一边及这边上的高,能画出 无数 个三角形. 4.已知等腰三角形的底边及底边上的高,能画出 1 个三角形.
则AO+BO+CO=
cm.
答案:9
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本课结束
4.已知点O是等边三角形ABC内的一点,且OA=OB=OC,则∠BOC的度数
是
.
答案:120°
解析:∵OA=OB=OC, ∴点O是等边三角形ABC三边垂直平分线的交点. 由三线合一知点O也是每个角的平分线的交点,
∴∠BOC=180°-30°-30°=120°.
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5.如图,已知O为△ABC三边垂直平分线的交点,点O到顶点A的距离平面上不共线三点A,B,C的距离相等的点( ). A.没有 B.只有一个 C.有两个 D.有三个或三个以上 答案:B
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2.已知△ABC(AC<AB<BC),用尺规在线段BC上确定一点P,使得 PA+PC=BC,则符合要求的作图痕迹是( ).
答案:D
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3.等腰三角形的顶角为100°,两腰的垂直平分线交于点P,则( ). A.点P在三角形内 B.点P在三角形底边上 C.点P在三角形外 D.点P的位置与三角形的边长有关 答案:C
三角形的证明
3 线段的垂直平分线 第2课时
快乐预习·感知
1.三角形三条边的垂直平分线相交于 一 点,并且这一点到三个顶点的距 离 相等 . 2.作三角形三边垂直平分线的交点,至少需要作 两 条边的垂直平分线. 3.已知三角形的一边及这边上的高,能画出 无数 个三角形. 4.已知等腰三角形的底边及底边上的高,能画出 1 个三角形.
则AO+BO+CO=
cm.
答案:9
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本课结束
北师大初二数学8年级下册 第1章(三角形的证明)1.4.1角平分线 课件(18张)
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．
求证：PD=PE．
主要证明△PDO≌△PEO
证明： ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠PEO=90° ∵∠1=∠2，OP=OP ∴△PDO≌△PEO（AAS） ∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
D
B
3.如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平分线 和外角平分线,它们有什么关系?
4.如图,在△ABC中,∠C=90° AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF. 求证:CF=EB;
5.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC, 垂足分别是E,F，BE=CF. 求证:AD是△ABC的角平分线.
解： ∵DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，DE=DF，
∴AD平分∠BAC
又∵ ∠BAC=60°，
∴ ∠BAD=30°.
在Rt △ADE中， ∠AED=90°，AD=10，
1
1
∴DE= 2 AD= 2 ×10=5
（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它
所对的直角边等于斜边的一半）.
三、巩固练习
角平分线的符号语言： ∵OC是∠AOB的平分线,（角平分线）
三个条件 缺一不可
P是OC上任意一点， （角平分线上的点）
PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.（垂直距离）
∴PD=PE
应用:常用来证明两条线段相等
定理 角平分你线能写上出的这点个到定这理个的角逆命的题两吗边?它距是离真相命等题吗?
D
O
P
E B
分析：要证明点P在∠AOB的平分线上,可先作过点 P的射线OC,然后证明∠POD=∠POE
八年级数学下册第一章角平分线第2课时三角形的角平分线作业pptx课件新版北师大版
两条直角边分别与OA，OB相交于点E，F.
（2）把三角尺绕点P旋转（如图②），小明
发现PE与PF仍然相等；
1
2
3
4
5
6
7
8
证明：（2）当PE⊥OA时，如图①，
∵∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，∴∠POE＝∠POF＝45°，
∵∠PEO＝∠EPF＝∠EOF＝90°，
且∠PEO＋∠EPF＋∠EOF＋∠PFO＝360°，
1
2
3
4
5
6
7
8
7.【2023·北京海淀区期中】如图，在Rt△ABC中，∠C＝
90°，AD平分∠BAC交BC于点D.
（1）若BC＝8，BD＝5，求点D到AB的距离.
解：（1）如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵BC＝8，BD＝5，
∴CD＝BC－BD＝8－5＝3，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
B.S1＋S2＜S3
C.S1＋S2＞S3
D.无法确定
1
2
3
4
5
6
7
8
点拨：过点I分别向边AB，BC，AC作垂线，垂足分别为
D，E，F，如图，
根据角平分线的性质，得ID＝IE＝IF，
设ID＝IE＝IF＝h，则S1＝
h，
S2＝ h，S3＝ h，
∵AC＋AB＞BC，∴S1＋S2＞S3.
∵∠AOB＝50°，∠EPF＝130°，且∠AOB＋
∠EPF＋∠PFG＋∠OEP＝360°，∴∠PFG＋
∠OEP＝180°，∴∠PGF＝∠PFG，∴PG＝
PF，∴PE＝PF.
1
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（2）把三角尺绕点P旋转（如图②），小明
发现PE与PF仍然相等；
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证明：（2）当PE⊥OA时，如图①，
∵∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，∴∠POE＝∠POF＝45°，
∵∠PEO＝∠EPF＝∠EOF＝90°，
且∠PEO＋∠EPF＋∠EOF＋∠PFO＝360°，
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7.【2023·北京海淀区期中】如图，在Rt△ABC中，∠C＝
90°，AD平分∠BAC交BC于点D.
（1）若BC＝8，BD＝5，求点D到AB的距离.
解：（1）如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵BC＝8，BD＝5，
∴CD＝BC－BD＝8－5＝3，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
B.S1＋S2＜S3
C.S1＋S2＞S3
D.无法确定
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8
点拨：过点I分别向边AB，BC，AC作垂线，垂足分别为
D，E，F，如图，
根据角平分线的性质，得ID＝IE＝IF，
设ID＝IE＝IF＝h，则S1＝
h，
S2＝ h，S3＝ h，
∵AC＋AB＞BC，∴S1＋S2＞S3.
∵∠AOB＝50°，∠EPF＝130°，且∠AOB＋
∠EPF＋∠PFG＋∠OEP＝360°，∴∠PFG＋
∠OEP＝180°，∴∠PGF＝∠PFG，∴PG＝
PF，∴PE＝PF.
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新北师大版初中数学八年级下册第1章 三角形的证明《第4课 角平分线》教学PPT
3.已知:如图,P是∠AOB
平分线上的一个点，并且
PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是
C,D.
求证:
O
(1)OC=OD;
(2)OP是CD的垂直平分线.
A C
P D
B
证明(1) ∵P为P是∠AOB平分线上的一个点 PC⊥OA,PD⊥OB
∴PC=PD Rt△POC和 Rt△POD ∵ OP=OP Rt△POC ≌ Rt△POD ∴OC=OD (2) 由PC=PD得P在CD的垂直平分线上 由OC=OD得O在CD的垂直平分线上 ∴OP是CD的垂直平分线.
拓展探索：如图,已知△ABC,作△ABC一个内
角和与它不相邻的两个外角的平分线,看它们是否 交于一点?这样的点有几个?如果以这个点为圆心, 这一点到三角形一边的距离为半径作圆,你能作出 这个图形吗?
A
B
C
四 回顾与小结
定理:三角形的三条角平分线相交于 一点,并且这一点到三边的距离相等(这 个交点叫做三角形的内心).
又∵ ∠BAC=60°， ∴ ∠BAD=30°
B
C
D
在Rt △ADE中， ∠AED=90°，AD=10， ∴ 如果DE一= 个12 锐AD角= 等12 于×3100°=5，（那在么直它角所三对角的形直中角，
边等于斜边的一半）.
二 挑战自我
1.如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平 分线和外角平分线,它们有什么关系?
练一练
[例3]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是 △ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
(1)已知CD=4 cm，求AC的长；
A
(2)求证：AB=AC+CD．
(2)证明：由(1)的求解过程可知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL)
最新北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明回顾与思考PPT课件
八年级数学·下
新课标 [北师]
第一章 三角形的证明
考点解析
典型例题
考点解析
三角形的证明是中考的必考点，考查方式以填
空题、选择题和中档解答题为主．主要考查等腰三 角形、直角三角形中角度、边长的计算或证明角、 线段相等或推导角之间的关系及线段之间的关系， 利用线段的垂直平分线、角的平分线的性质作图也 是常见的题型．本章考点可概括为：三个概念，六 个性质，四个判定，四个技巧，一个应用．
∵∠DAC＝10°，∴∠BAD＝60°.
∵∠D＝∠B，∠FMD＝∠AMB， ∴∠DFB＝∠BAD＝60°.
性质2
等腰三角形的性质
7．在△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一点，E 为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α， ∠CDE＝β.
(1)如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．
①如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α＝ 20° ，β＝________. 10° ________ ②求α，β之间的关系式． (2)是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？ 若存在，求出这个关系式(求出一个即可)；若不 存在，请说明理由．
考点
概念1
1
三个概念
反证法
1．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少 有一个锐角不大于45°”时，应先假设( D ) A．有一个锐角小于45°
B．每一个锐角都小于45°
C．有一个锐角大于45° D．每一个锐角都大于45°
2．求证：在一个三角形中，如果两个角不相等，
那么它们所对的边也不相等．
证明：假设两个不相等的角所对的边相等，则根 据等腰三角形的性质定理“等边对等角”， 知它们所对的角也相等，这与题设两个角
解：(1)由于③的题设是a＋b>0，而⑤的结论是 ab>0，故⑤不是由③交换命题的题设和结 论得到的，所以③和⑤不是互逆命题． (2)③的逆命题是如果a>0，b>0，那么a＋b>0.
新课标 [北师]
第一章 三角形的证明
考点解析
典型例题
考点解析
三角形的证明是中考的必考点，考查方式以填
空题、选择题和中档解答题为主．主要考查等腰三 角形、直角三角形中角度、边长的计算或证明角、 线段相等或推导角之间的关系及线段之间的关系， 利用线段的垂直平分线、角的平分线的性质作图也 是常见的题型．本章考点可概括为：三个概念，六 个性质，四个判定，四个技巧，一个应用．
∵∠DAC＝10°，∴∠BAD＝60°.
∵∠D＝∠B，∠FMD＝∠AMB， ∴∠DFB＝∠BAD＝60°.
性质2
等腰三角形的性质
7．在△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一点，E 为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α， ∠CDE＝β.
(1)如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．
①如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α＝ 20° ，β＝________. 10° ________ ②求α，β之间的关系式． (2)是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？ 若存在，求出这个关系式(求出一个即可)；若不 存在，请说明理由．
考点
概念1
1
三个概念
反证法
1．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少 有一个锐角不大于45°”时，应先假设( D ) A．有一个锐角小于45°
B．每一个锐角都小于45°
C．有一个锐角大于45° D．每一个锐角都大于45°
2．求证：在一个三角形中，如果两个角不相等，
那么它们所对的边也不相等．
证明：假设两个不相等的角所对的边相等，则根 据等腰三角形的性质定理“等边对等角”， 知它们所对的角也相等，这与题设两个角
解：(1)由于③的题设是a＋b>0，而⑤的结论是 ab>0，故⑤不是由③交换命题的题设和结 论得到的，所以③和⑤不是互逆命题． (2)③的逆命题是如果a>0，b>0，那么a＋b>0.
最新北师大版初二数学下册第一章 三角形的证明 全单元课件
2、想一想：
（1）把剪出的等腰△ABC沿折痕对折，除两腰重合外 还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？ （2）由这些重合的部分，你能发现等腰三角形的性 质吗？说一说你的猜想。
你发现了什么？
结论：等腰三角形的两底角相等
性质1、等腰三角形的两个底角相等。
（等边对等角）
已知： △ABC 中，AB＝AC
A
性
质
两腰相等
C
B
等边对等角 三线合一
轴对称图形
情景导入
一.情景导入，初步认知
问题：在等腰三角形中作出一些线段(如角
平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等
的线段吗？
获取新知
二.思考探究，获取新知
探究 1.在等腰三角形中自主作出一些线段(如
角平分线、中线、高等)，观察其中有哪些相等的
线段，并尝试给出证明.
求证：∠B=∠C。 证明：作底边BC边上的中线AD。
A
在△ABD与△ACD中：
B
AB＝AC（已知） BD＝DC（作图） AD＝AD（公共边）
∴△ABD≌△ACD（SSS）
D
C
∴∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）
方法二：作顶角∠BAC的平分线AD。 ∵AD平分∠BAC ∴∠1＝∠2 在△ABD与△ACD中 12
A
2.△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，
DF⊥AC于F DE ⊥ AB 于E .求证：DE＝DF。
证明： ∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴∠BED＝∠CFD
B
E
D
F
C
在△DBE与△DCF中
∠DEB＝∠DFC（已证）
∠B＝∠C（已证）
又∵D是BC中点（已知）
北师大版八年级数学下册1.4角平分线角平分线的性质与判定课件
= ，
∴△ADB≌△ADC(SAS)．
∴BD＝CD.
复习训练
1．如图，视察尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ C ）
A．OE是∠AOB的平分线
B．OC＝OD
C．点C，D到OE的距离不相等
D．∠AOE＝∠BOE
2．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点D，E，且PD＝PE，若
∠BAP＝20°，则∠BAC＝（ D ）
5.如图，DA⊥AC于点A，DE⊥BC于点E.若AD＝5，DE＝5，∠ACD
＝30°，则∠DCE＝（ A ）
A.30°
B．40°
C．50°
D．60°
例2
如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂
足分别是点E，F，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵点D是BC的中点，∴DB＝DC.
D，DE⊥BC于点E，若AD＝3，DC＝5，则DE＝ 3 ，CE＝ 4 ．
例1
如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.求证：EB＝FC.
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°.
= ，
解：如图，连接BD.
∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴BD平分∠ABC.
∴∠ABD＝ ∠ABC＝ ×60°＝30°.
在Rt△BDE中，DE＝ ，∠DBE＝30°，
∴BD＝2DE＝2 .∴BE＝ − ＝3.
基础巩固
1．如图，DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分别为点B，C，AD平分
∠BAC，BD＝2，∠BAC＝80°，则DC＝ 2 ，∠ADC＝ 50 °.
∴△ADB≌△ADC(SAS)．
∴BD＝CD.
复习训练
1．如图，视察尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ C ）
A．OE是∠AOB的平分线
B．OC＝OD
C．点C，D到OE的距离不相等
D．∠AOE＝∠BOE
2．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点D，E，且PD＝PE，若
∠BAP＝20°，则∠BAC＝（ D ）
5.如图，DA⊥AC于点A，DE⊥BC于点E.若AD＝5，DE＝5，∠ACD
＝30°，则∠DCE＝（ A ）
A.30°
B．40°
C．50°
D．60°
例2
如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂
足分别是点E，F，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵点D是BC的中点，∴DB＝DC.
D，DE⊥BC于点E，若AD＝3，DC＝5，则DE＝ 3 ，CE＝ 4 ．
例1
如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.求证：EB＝FC.
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°.
= ，
解：如图，连接BD.
∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴BD平分∠ABC.
∴∠ABD＝ ∠ABC＝ ×60°＝30°.
在Rt△BDE中，DE＝ ，∠DBE＝30°，
∴BD＝2DE＝2 .∴BE＝ − ＝3.
基础巩固
1．如图，DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分别为点B，C，AD平分
∠BAC，BD＝2，∠BAC＝80°，则DC＝ 2 ，∠ADC＝ 50 °.
北师大版八年级数学下册《线段的垂直平分线》三角形的证明PPT课件(第2课时)
实践探究，交流新知
解：(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，能作出三角形，并且能作出无 数多个，如图所示． (2)已知等腰三角形的底边，用尺规作出等腰三角形，这样的等腰三角形也有 无数多个． (3)如果等腰三角形的底边和底边上的高都一定，这样的等腰三角形应该只有 两个，它们是全等的，且分别位于已知底边的两侧，如图所示．
北师大版 八年级下册 第一章 三角形的证明
线段的垂直平分线（第2课时 ）
前言
学习目标
1.会证明三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等，并 解决相关的问题． 2.会用尺规作已知线段的垂直平分线，培养尺规作图的技能．
学习重点
掌握三角形三条边的垂直平分线的性质，能利用尺规作出符合条件的三角形.
(1)教材第26页随堂练习． (2)教材第26页习题1.8第1，2题.
同学们， 下课！
． 39°
3．如图，在△ABC中，∠BAC是钝角． (1)画出边BC上的中线AD； (2)画出边BC上的高AH.
第1题
第2题
第3题
课堂小结，整体感知
1.课堂小结：请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？ （1）三角形三条边的垂直平分线的性质 （2）尺规作线段的垂直平分线、等腰三角形
2.布置作业：
学习难点
三角形三条边的垂直平分线性质的证明及应用.
创设情境，导入新课
1.问题提出： 利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，当作图完成后你发现了什么？ 2.问题探究： ①三角形三边的垂直平分线交于一点； ②这一点到三角形三个顶点的距离相等．
创设情境，导入新课
3.问题解决： 如图，剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这 三条垂直平分线，上述结论是否成立？ 4.问题思考： 以上结论都是通过眼睛观察得到的，那么该结论一定成立吗？我们还需 运用已学过的公理和定理进行推理证明，这样，此发现才更有意义．
北师大版八年级数学下册1.4角平分线课件
只需作出两个角的平分线,第三个角的平分线必过这两
条角平分线的交点.
3.利用面积法求距离的方法:三角形角平分线交点与三
个顶点的连线,把原三角形分割成了三个小三角形,利用
小三角形的面积之和等于原三角形的面积,是求角平分
线交点到三边距离的常用方法.
课外作业
1.如图,在△ABC中,∠B的平分线与∠C的外角的
∴点F在∠DAE的平分线上.
3.证明(1)∵P是∠AOB平分线上的一
点,PC⊥OA,PD⊥OB,∴PC=PD.
又∵OP=OP,∴Rt△OCP≌Rt△ODP.
∴OC=OD.
(2)∵OC=OD,∠COP=∠DOP,
∴OP是CD的垂直平分线.
4.解(1)如图,作∠BAC的角平分线AF或作∠BAC的外角
∠CAE的外角平分线AN,则直线AF或直线AN上任意一点
的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上,BD=DF.
求证：CF=EB.
证明：∵AD平分∠CAB,
A
DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,
∴
CD＝DE (角平分线的性质).
在Rt△CDF和Rt△EDB中,
CD=ED（已证）,
DF=DB （已知）,
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL).
F
C
∴ CF=EB（全等三角形的对应边相等）.
∴ QD＝QE
课外作业
1.如图,在△ABC中,∠C=90° AD是∠BAC
的平分线,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF.
求证:(1)CF=EB;
(2)AB=AF+2EB.
证明:(1)∵AD是∠BAC的平分线
,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴DE=DC.
∵在Rt△DCF和Rt△DEB中,
条角平分线的交点.
3.利用面积法求距离的方法:三角形角平分线交点与三
个顶点的连线,把原三角形分割成了三个小三角形,利用
小三角形的面积之和等于原三角形的面积,是求角平分
线交点到三边距离的常用方法.
课外作业
1.如图,在△ABC中,∠B的平分线与∠C的外角的
∴点F在∠DAE的平分线上.
3.证明(1)∵P是∠AOB平分线上的一
点,PC⊥OA,PD⊥OB,∴PC=PD.
又∵OP=OP,∴Rt△OCP≌Rt△ODP.
∴OC=OD.
(2)∵OC=OD,∠COP=∠DOP,
∴OP是CD的垂直平分线.
4.解(1)如图,作∠BAC的角平分线AF或作∠BAC的外角
∠CAE的外角平分线AN,则直线AF或直线AN上任意一点
的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上,BD=DF.
求证：CF=EB.
证明：∵AD平分∠CAB,
A
DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,
∴
CD＝DE (角平分线的性质).
在Rt△CDF和Rt△EDB中,
CD=ED（已证）,
DF=DB （已知）,
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL).
F
C
∴ CF=EB（全等三角形的对应边相等）.
∴ QD＝QE
课外作业
1.如图,在△ABC中,∠C=90° AD是∠BAC
的平分线,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF.
求证:(1)CF=EB;
(2)AB=AF+2EB.
证明:(1)∵AD是∠BAC的平分线
,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴DE=DC.
∵在Rt△DCF和Rt△DEB中,