2018高考文科数学不等式专项100题(WORD版含答案)
(完整word版)均值不等式专题20道-带答案
均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若则的最小值是__________．2．若,且则的最大值为______________.3．已知，且，则的最小值为______．4．已知正数满足，则的最小值是_______.5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．6．设正实数满足，则的最小值为________7．已知，且，则的最小值是________8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______9．已知，函数的值域为，则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________．11．若正数x，y满足，则的最小值是______．12．已知正实数x，y满足，则的最小值为______．13．若，，，则的最小值为______．14．若，则的最小值为________.15．已知a，b都是正数，满足，则的最小值为______．16．已知，且，则的最小值为______．17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为，则的最小值为____．19．已知正实数，满足，则的最大值为______.20．已知，，则的最小值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果. 【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.2．【解析】【分析】先平方，再消元，最后利用基本不等式求最值.【详解】当时，，，所以最大值为1，当时，因为，当且仅当时取等号，所以，即最大值为，综上的最大值为【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.3．4.【解析】【分析】直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果．【详解】∵，∴，∴，当且仅当，时取等号，故答案为：4.【点睛】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4．【解析】【分析】由题得，所以，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】正数，满足，则，则，当且仅当时，即，时取等号，故答案为：．【点睛】本题考查了条件等式下利用基本不等式求最值，考查了变形的能力，考查了计算能力，属于中档题．5．4【解析】【分析】由题意可得经过圆心，可得，再+利用基本不等式求得它的最小值．【详解】圆，即，表示以为圆心、半径等于2的圆．再根据弦长为4，可得经过圆心，故有，求得，则，当且仅当时，取等号，故则的最小值为4，故答案为：4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．6．8【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】令，则当且仅当时取等号.即的最小值为8.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7．【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】因为,当且仅当时取等号，所以的最小值是【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.8．【解析】【分析】由已知分离，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．【详解】正实数x，y满足，则当且仅当且即，时取得最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9．【解析】【分析】由函数的值域为，可得，化为，利用基本不等式可得结果.【详解】的值域为，，，，，当，即是等号成立，所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.10．【解析】【分析】由已知将化为一次式，运用“1”的变换，再利用基本不等式可得.【详解】因为，所以，=（当且仅当，即，时取等号），所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题考查基本不等式及利用基本不等式求最值,将所求式运用“1”的变换，化为积为常数的形式是关键，属于中档题.11．【解析】【分析】利用乘“1”法，借助基本不等式即可求出．【详解】正数x，y满足，则，，当且仅当时取等号，故的最小值是12，故答案为：12【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题．12．2【解析】【分析】利用“1”的代换，求得最值，再对直接利用基本不等式求得最值，再结合题意求解即可【详解】正实数x，y满足，，，当且仅当，即，时，取等号，的最小值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式的应用，熟记不等式应用条件，多次运用基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题13．9【解析】【分析】由条件可得，即有，由基本不等式可得所求最小值．【详解】若，，，即，则，当且仅当取得最小值9，故答案为：9．【点睛】本题考查基本不等式的运用，注意运用“1”的代换，考查化简运算能力，属于基础题．14．【解析】【分析】由基本不等式，可得到，然后利用，可得到最小值，要注意等号取得的条件。
2018年高考真题——文科数学(上海卷)+word版含答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数 学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.行列式4125的值为 。
2.双曲线2214x y -=的渐近线方程为 。
3.在（1+x ）7的二项展开式中，x ²项的系数为 。
（结果用数值表示）4.设常数a R ∈，函数f x x a =+（）㏒₂（），若f x （）的反函数的图像经过点31（，），则a= 。
5.已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣= 。
6.记等差数列{} n a 的前几项和为S n ，若87014a a a =+=₃，，则S 7= 。
7.已知21123α∈---｛，，，，，，｝，若幂函数()n f x x =为奇函数，且在0+∞（，）上速减，则α=_____8.在平面直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0），E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF |=2，则AE ·BF 的最小值为______ 9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______（结果用最简分数表示） 10.设等比数列{}的通项公式为a n =q ⁿ+1（n ∈N*），前n 项和为S n 。
若1Sn 1lim 2n n a →∞+=，则q=____________ 11.已知常数a >0，函数222()(2)f x ax =+的图像经过点65p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，、15Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，若236p q pq +=，则a =__________ 12.已知实数x ₁、x ₂、y ₁、y ₂满足：²²1x y +=₁₁，²²1x y +=₂₂，212x x y y +=₁₂₁，的最大值为__________ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13.设P 是椭圆 ²5x + ²3y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） （A ）2 （B ）2此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号（C）2（D）414.已知a R∈，则“1a﹥”是“1a1﹤”的（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件15.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA₁是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA₁为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）（A）4（B）8（C）12（D）16定16.设D是含数1的有限实数集，f x（）是义在D上的函数，若f x（）的图像绕原点逆时针旋转π6后与原图像重合，则在以下各项中，1f（）的可能取值只能是（）（A（B（C（D）0三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图，求异面直线PM与OB所成的角的大小.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设常数a R∈，函数f x（）22?asin x cos x=+（1）若f x（）为偶函数，求a的值；（2）若4fπ〔〕1=，求方程1f x=（）ππ-［，］上的解。
2018年高考真题——数学(江苏卷)+Word版含解析
2018年高考真题——数学(江苏卷)+Word版含解析【答案】[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.6. 某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．【答案】【解析】分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.7. 已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．【答案】【解析】分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果.详解：由题意可得，所以，因为，所以点睛：函数（A>0,ω>0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间;由求减区间.8. 在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．【答案】2【解析】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a.9. 函数满足，且在区间上，则的值为________．【答案】【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.详解：由得函数的周期为4，所以因此点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.10. 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．【答案】【解析】分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．11. 若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．【答案】–3【解析】分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.详解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．12. 在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l 交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．【答案】3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果. 详解：设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点D的横坐标所以.所以，由得或，因为，所以点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.13. 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.14. 已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．【答案】27【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.详解：设，则由得所以只需研究是否有满足条件的解，此时，，为等差数列项数，且.由得满足条件的最小值为.点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在平行六面体中，．求证：（1）；（2）．【答案】答案见解析【解析】分析：（1）先根据平行六面体得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论；（2）先根据条件得菱形ABB1A1，再根据菱形对角线相互垂直，以及已知垂直条件，利用线面垂直判定定理得线面垂直，最后根据面面垂直判定定理得结论.详解：证明：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．点睛：本题可能会出现对常见几何体的结构不熟悉导致几何体中的位置关系无法得到运用或者运用错误，如柱体的概念中包含“两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形”，再如菱形对角线互相垂直的条件，这些条件在解题中都是已知条件，缺少对这些条件的应用可导致无法证明.16. 已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.详解：解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.17. 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【答案】（1）矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．（2）当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大【解析】分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.详解：解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），△CDP的面积为×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．令∠GOK=θ0，则sinθ0=，θ0∈（0，）．当θ∈[θ0，）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范围是[，1）．答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）．设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，），则．令，得θ=，当θ∈（θ0，）时，，所以f（θ）为增函数；当θ∈（，）时，，所以f（θ）为减函数，因此，当θ=时，f（θ）取到最大值．答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题.18. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．【答案】（1）椭圆C的方程为；圆O的方程为（2）①点P的坐标为；②直线l的方程为【解析】分析：（1）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得a,b，即得椭圆方程；（2）第一问先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标.第二问先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程.详解：解：（1）因为椭圆C的焦点为，可设椭圆C的方程为．又点在椭圆C上，所以，解得因此，椭圆C的方程为．因为圆O的直径为，所以其方程为．（2）①设直线l与圆O相切于，则，所以直线l的方程为，即．由，消去y，得．（*）因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以．因为，所以．因此，点P的坐标为．②因为三角形OAB的面积为，所以，从而．设，由（*）得，所以．因为，所以，即，解得舍去），则，因此P的坐标为．综上，直线l的方程为．点睛：直线与椭圆的交点问题的处理一般有两种处理方法：一是设出点的坐标，运用“设而不求”思想求解；二是设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出交点坐标，适用于已知直线与椭圆的一个交点的情况.19. 记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”．（1）证明：函数与不存在“S点”；（2）若函数与存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）a的值为（3）对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．【解析】分析：（1）根据题中“S点”的定义列两个方程，根据方程组无解证得结论；（2）同（1）根据“S点”的定义列两个方程，解方程组可得a的值；（3）通过构造函数以及结合“S点”的定义列两个方程，再判断方程组是否有解即可证得结论.详解：解：（1）函数f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则f′（x）=1，g′（x）=2x+2．由f（x）=g（x）且f′（x）= g′（x），得，此方程组无解，因此，f（x）与g（x）不存在“S”点．（2）函数，，则．设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）与g（x0）且f′（x0）与g′（x0），得，即，（*）得，即，则．当时，满足方程组（*），即为f（x）与g（x）的“S”点．因此，a的值为．（3）对任意a>0，设．因为，且h（x）的图象是不间断的，所以存在∈（0，1），使得，令，则b>0．函数，则．由f（x）与g（x）且f′（x）与g′（x），得，即（**）此时，满足方程组（**），即是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”．因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.20. 设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．（1）设，若对均成立，求d的取值范围；（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．【答案】（1）d的取值范围为．（2）d的取值范围为，证明见解析。
第54题+不等式的概念与性质-2018精品之高中数学(理)黄金100题系列+Word版含解析
第54题 不等式的概念与性质I ．题源探究·黄金母题【例1】已知0,0,a b c >><求证：c c a d>． 【证明】10,0,0a b ab ab>>∴>>．于是11,a b ab ab ⋅>⋅即11,b a >由0c <，得c c a d>． 精彩解读【试题来源】人教版A 版必修5P 74例1．【母题评析】本题考查了不等式的重要性质．作为基础题，不等式性质的应用，是历年来高考的一个常考点． 【思路方法】熟记不等式性质，应用不等式的性质解题．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2017高考山东理7】若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是 （ ） A ．()21log 2a b a a b b +<<+ B ．()21log 2a b a b a b<+<+ C ．()21log 2a ba ab b +<+< D ．()21log 2a b a b a b +<+<【答案】B【解析】因为0a b >>，且1ab =，所以221,01,1,log ()log 1,2aba b a b ><<∴<+>= 12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+，所以选B ． 【例3】【2016高考新课标I 】若101a b c >><<，，则 （ ） A ．cca b < B ．ccab ba < C ．log log b a a c b c < D ．log log a b c c < 【答案】C【命题意图】这类题主要考查不等式的性质、指数函数、对数函数、幂函数的性质．本题能较好的考查考生分析问题、解决问题的能力等． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易，考查基础知识的识记与理解．【难点中心】比较指数式或对数式的大小，若幂的底数相同或对数的底数相同或幂的指数相同，通常利用指数函数或对数函数或幂函数的单调性进行比较；若底数不同，可考虑利用中间量进行【解析】用特殊值法．令3a =，2b =，12c =，得112232>，选项A错误；11223223⨯>⨯，选项B 错误；2313log 2log 22<，选项C 正确；3211log log 22>，选项D 错误，故选C ． 【例4】【2017高考北京理13】能够说明“设,,a b c 是任意实数．若a b c >>，则a b c +>”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为______________________________． 【答案】1,2,3---．【解析】()123,1233->->--+-=->-相矛盾，∴验证是假命题． 【例5】【2017高考北京文14】某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： （1）男学生人数多于女学生人数； （2）女学生人数多于教师人数； （3）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________． ②该小组人数的最小值为__________． 【答案】6，12【解析】设男生数，女生数，教师数为,,a b c ，则2,,,c a b c a b c >>>∈N第一小问：max 846a b b >>>⇒=；第二小问：min 3,635,412.c a b a b a b c =>>>⇒==⇒++=比较．也可以利用特殊值法．III ．理论基础·解题原理1．比较法原理：0,0,0.a b a b a b a b a b a b ->⇔>-<⇔<-=⇔= 2．a b b a >⇔<（反对称性）； 3．若,,a b b c >>则a c >（传递性）4．若a b >，则a c b c +>+；5．若,0a b c >>，则ac bc >；若,0a b c ><，则ac bc <； 6．若,a b c d >>，则a c b d +>+； 7．若0,0a b c d >>>>，则ac bd >；9．若0a b >>，则(),2n n a b n N n >∈≥；IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小，往往考查对基础知识的识记与理解． 【技能方法】解决此类问题的关键是在不等式的求解证明中，必须在不等式的常见性质体系下进行分析．（1）用作差比较法比较数式的大小关键是变形，常将两个代数式作差后变形为常数或平方和的形式或几个因式积的形式等，常有的变形技巧有因式分解、配方、通分、分母（分子）有理化等．作差比较法的一般步骤：作差——变形——与0比较大小——下结论．（2）当用作差法难以比较数式的大小时，可以试用作商比较法（前提是两个代数式同号）．作商比较法的一般步骤：作商——变形——与1比较大小——下结论．（3）在运用不等式的性质时，一定要掌握它们成立的条件．如两边同乘以（或除以）一个正数，不等号的方向不变，若同乘以（或除以）一个负数，则不等号的方向改变．因此在分式不等式中，若不能肯定分母是正数还是负数，则不要轻易去分母．又如，同向不等式相乘、不等式两边同时乘方或（或开方）时，要求不等式两边都是正数．（4）应用不等式的性质解题的常见类型及方法：①注意观察从已知不等式到目标不等式的变化，它是如何变形的，这些变形是否符合不等式的性质及性质的条件；②若比较大小的两式是指数或对数模型，注意联想单调性；③恰当运用赋值法和淘汰法探究解答选择题、填空题． 【易错指导】（1）比较大小时，要把各种可能的情况都考虑进去，对不确定的因素进行分类讨论，每一步运算都要准确，每一步推理都要有充分的依据．（2）不等式性质的等价性：在不等式的基本性质中，对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”是单向还是双向，也就是说每条性质是否具有可逆性．（3）由于同向不等式相加或相乘会使范围变大，所以在求有关不等式取值范围的问题时，尽量少用不等式相加或相乘，次数越少越好，最好“一次性”不等关系的运算求得待求整体的范围，这是避免出错的一条捷径．V ．举一反三·触类旁通考向1 利用不等式的性质判定大小【例1】【2018河南焦作高三第四次模拟】已知0a b >>，则下列不等式中成立的是（ ）A ．11a b >B ．22log log a b <C ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1122a b -->【答案】C【例2】【2018河北衡水中学高三十五模】已知330c c a b<<，则下列选项中错误的是（ ） A ．b a > B ．ac bc > C ．0a b c -> D ．ln 0ab> 【答案】D【解析】330c c a b <<，当0c <时，110a b >>，即b 0a >>，∴b a >，ac bc >，0a bc->成立，此时01a b <<，∴ln 0ab<，故选D ． 【例3】【2018江西吉安一中、九江一中等八所重点中学高三4月联考】若1a >，01c b <<<，则下列不等式不正确的是（ ）A ．log 2018log 2018a b >B ．log log b c a a<C ．()()aac b c c b b ->- D ．()()cba c a a c a ->- 【答案】D【解析】根据对数函数的单调性可得log 20180log 2018a b >>，log log b c a a <，故A 、B 正确．∵1a >，01c b <<<，∴0a a c b <<，0c b -<，0c b a a <<，0a c ->， ∴()()aac b c c b b ->-，()()cba c a a c a -<-，则C 正确，D 错误．故选D ．【名师点睛】函数单调性的判断：(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法． (2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数； (3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性． 【跟踪练习】1．【2018北京丰台区高三一模】已知0a b <<，则下列不等式中恒成立的是A ．11a b> B < C ．22a b > D ．33a b > 【答案】A2．【2018北京十一学校高三3月模拟】设 4.20.60.60.6,7,log 7a b c ===，则,,a b c 的大小关系是A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a b c << 【答案】B【解析】0< 4.20.6<1，0.67>1，0.6log 7<0，所以b>a>c ，选B ．3．【2018四川成都第七中学高三上学期模拟】设12523log 2,log 2,a b c e ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c b a << 【答案】B【解析】因为()12523log 20,1,log 20,1a b c e=∈==，所以b a c <<，选B ．考向2 求范围的问题【例4】【2018黑龙江双鸭山市一中高二4月月考】已知15,13a b a b ≤+≤-≤-≤，则32a b -的取值范围是 ( )A ．[]6,14-B ．[]2,14-C ．[]2,10-D ．[]6,10- 【答案】C【解析】设()()32x y a b a b a b -=++-，易得：1x 2=，5y 2=， ∴()()[]15322,1022a b a b a b -=++-∈-，故选C ． 【名师点睛】根据不等式组确定二元目标式范围的方程有二，其一：利用待定系数法表示目标，直接加减一次即可；其二：利用线性规划的方法处理．【例5】三个正数a ，b ，c 满足a ≤b ＋c ≤2a ，b ≤a ＋c ≤2b ，则ba的取值范围是________． 【答案】23,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【例6】【2018辽宁大连渤海高级中学高二上学期期中考试】设()2f x ax bx =+，且()112f -≤-≤，()214f ≤≤，求()2f -的取值范围．【答案】()1210f -≤-≤【解析】试题分析：由()2f x ax bx =+ 得()242f a b -=-．已知()()1,1f f - 的范围，用()()1,1f f -表示,a b ，再把()242f a b -=-化简，然后根据不等式的性质可得所求范围．试题解析：由已知得()()1{ 1f a b f a b-=-=+，∴()()()()112{112f f a f f b +-=--=，∴()()()()()11112424222f f f f f a b +----=-=⨯-⨯()()131f f =+-，∵()()112,3316f f -≤-≤∴-≤-≤，∵()214f ≤≤，∴()()113110,f f -≤+-≤∴()1210f -≤-≤．【名师点睛】利用不等式的性质可以求参数或某些代数式的取值范围，但在变换过程中要注意掌握、准确使用不等式的性质．求含有字母的代数式的取值范围时，要注意题设中的条件．如本例若忽视αβ<，则会导致取值范围变大． 【跟踪练习】1．【2018广西防城港市高中毕业班1月模拟】已知0,0,22a b a b >>+=，若24a b m +>恒成立，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】4m <2．【2018江苏邗江中学高二下学期期中考试】若不等式（﹣1）n •a ＜3对任意的正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是_____． 【答案】【解析】分析：将不等式进行参数分离，求函数的最值即可得到结论． 详解：当为奇数时，不等式可化为，即，要使得不等式对任意自然数恒成立，则，当为偶数时，不等式可化为，要使得不等式对任意自然数恒成立，则，即，综上，．【名师点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，将不等式的恒成立转化为求式子的最值问题解决恒成立问题是解答恒成立问题的基本方法，着重考查分析问题和解答问题的能力．3．【2018北京市海淀区育英学校高一下期期中考试】若实数a ，b 满足02a <<，01b <<，则a b -的取值范围是__________． 【答案】()1,2-【解析】01,10b b <<∴-<-<，02,12a a b <<∴-<-<，故答案为()1,2-．4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1≤a 5≤4，2≤a 6≤3，则S 6的取值范围是________． 【答案】[－12，42]【名师点睛】本题是一道易错题，如果根据1≤a 5≤4，2≤a 6≤3分别求出1,a d 的范围，再求S 6＝6a 1＋15d 的范围，实际上是错误的．这里涉及到不等式取等的问题，可以利用线性规划的知识，也可以利用解答中的整体代入的方法．考向3 不等式的性质与充要条件【例7】【2018广东省中山市高二上学期期末复习】若,a b 为实数，则22a b >是0a b >>的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不也不必要条件 【答案】B【解析】当0a b >>时，22a b >成立，当3,1a b =-=-时，满足22a b >，但0a b >>不成立，即“22a b >”是“0a b >>”的必要不充分条件，故选B ．【例8】【2018广东中山市高二上学期理科数学期末考试】条件甲：24{03x y xy <+<<<；条件乙：01{23x y <<<<，则甲是乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不也不必要条件 【答案】B 【解析】由01{23x y <<<<，根据不等式的性质可得24{ 03x y xy <+<<<；由01{23y x <<<<，而15,22x y ==时，24{03x y xy <+<<<成立，01{ 23y x <<<<不成立，所以甲是乙的必要不充分条件，故选B ．【例9】下列四个不等式：①a ＜0＜b ；②b ＜a ＜0；③b ＜0＜a ；④0＜b ＜a ，其中能使11a b<成立的充分条件有________． 【答案】①②④【解析】①a ＜0＜b ⇒1a ＜0，1b ＞0⇒1a ＜1b ；②b ＜a ＜0⇒1a ＜1b ；③b ＜0＜a ⇒1a ＞1b；④0＜b ＜a ⇒1a ＜1b．故答案为：①②④． 【跟踪练习】1．【2018天津蓟州区第一中学高二第一学期第二次月考】①一个命题的逆命题为真，它的否命题一定也为真： ②在中，“”是“三个角成等差数列”的充要条件；③是的充要条件； ④“”是“”的充分必要条件；以上说法中，判断错误的有_______________． 【答案】③④有，又由，则，故在中，“”是“三个角成等差数列”的充要条件，②正确；对于③，当，则满足，而不满足，则是的不必要条件，③错误；对于④，若，当时，有，则“”是“”的不必要条件，④错误，故答案为③④．2．【2018衡水金卷（四）】设p ：3402x xx-≤，q ：()22210x m x m m -+++≤，若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（ ）A ．[]2,1-B ．[]3,1-C ．[)(]2,00,1-⋃D ．[)(]2,10,1--⋃ 【答案】D【解析】设p ：3402x xx-≤的解集为A ，所以A={x|-2≤x ＜0或0＜x≤2}，设q ：()22210x m x m m -+++≤的解集为B ，所以B={x|m≤x≤m+1}，由题知p 是q 的必要不充分条件，即得B 是A 的真子集，所以有010{01{ 2 1.122m m m m m m >+<⇒<≤⇒-≤<-+≤≥-或综合得m ∈[)(]2,10,1--⋃，故选D ．3．设,x y R ∈，则4()0x y x -<是x y <的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A。
2018年全国卷1文科数学高考卷word版(含答案)(优选.)
三产业收例 其它收入 种植收入 比例 养植收入2018年全国卷1文科数学高考试卷一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
1.已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A ∩B=（ ）A.{0,2} B={1,2} C ={0} D={-2,-1,0,1,2}2.设Z=11ii-++2i ，则z =（ ） A .0B . 12C .1 D.3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为了更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则如下结论不正确的是（ ） A.新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其它收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养植收入增加了一倍D. 新农村建设后，养植收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半.4.已知椭圆C: 22214x y a +=的一个焦点为（2，0），则C 的离心率为（ ）A. 13B. 12C. D.5.已知圆柱的上下底面的中心分别为O 1,O 2,过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）A.B. 12πC.D. 10π 6.设函数()()321f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则()y f x =在点（0，0）处的切线方程为（ ）A . 2y x =- B. y x =- C. 2y x = D. y x = 7.在⊿ABC 中，AD 为BC 边上中线。
E 为AD 的中点，则EB =( )A.3144AB AC - B. 1344AB AC - C. 3144AB AC + D. 1344AB AC +8.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A. ()f x 的最小正周期为π，最大值为3B. ()f x 的最小正周期为π，最大值为4C.DB()f x 的最小正周期为2π，最大值为3 D. ()f x 的最小正周期为2π，最大值为49.某圆柱的高为2,底面周长为16，其三视图如右图。
E：不等式(文科2012年) Word版含答案
E 不等式E1 不等式的概念与性质10．B11、B12、E1 设a >0，b >0，e 是自然对数的底数( ) A ．若e a＋2a ＝e b＋3b ，则a >b B ．若e a＋2a ＝e b＋3b ，则a <b C ．若e a－2a ＝e b－3b ，则a >b D ．若e a－2a ＝e b－3b ，则a <b10．A 本题考查构造函数、利用函数性质来实现判断逻辑推理的正确与否，考查观察、构想、推理的能力．由e a＋2a ＝e b＋3b ，有e a＋3a >e b＋3b ，令函数f (x )＝e x＋3x ，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∵f (a )>f (b )，∴a >b ，A 正确，B 错误；由e a－2a ＝e b－3b ，有e a－2a <e b－2b ，令函数f (x )＝e x－2x ，则f ′(x )＝e x－2，函数f (x )＝e x －2x 在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，＋∞)上单调递增，当a ，b ∈(0，ln2)时，由f (a )<f (b )，得a >b ，当a ，b ∈(ln2，＋∞)时，由f (a )<f (b )得a <b ，故C 、D 错误．7．E1、B6、B7 设a ＞b ＞1，c ＜0，给出下列三个结论： ①c a ＞cb；②a c ＜b c；③log b (a －c )＞log a (b －c )． 其中所有的正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③7．D 本题考查不等式性质、指数式和对数式的大小比较，意在考查考生对不等式性质、幂函数和对数函数的性质的运用能力；解题思路：转化为幂函数比较大小，利用换底公式比较对数式的大小．由不等式的基本性质可知①对；幂函数y ＝x c(c <0)在(0，＋∞)上单调递减，又a ＞b ＞1，所以②对；由对数函数的单调性可得log b (a －c )＞log b (b －c )，又由对数的换底公式可知log b (b －c ) ＞log a (b －c )，所以log b (a －c )＞log a (b －c )，故选项D 正确．本题易错一：不等式基本性质不了解，以为①错；易错二：指数式大小比较，利用指数函数的性质比较，容易出错；易错三：对换底公式不了解，无法比较，错以为③错．1．E1、E3 已知集合A ＝{x ∈R |3x ＋2>0}，B ＝{x ∈R |(x ＋1)(x －3)>0}，则A ∩B ＝( ) A ．(－∞，－1) B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，3 D ．(3，＋∞)1．D 本题考查集合的表示、集合交集运算和一元一次、一元二次不等式求解．因为A ＝{x |3x ＋2>0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，＋∞，B ＝{x |x <－1或x >3}＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，所以A ∩B ＝(3，＋∞)，答案为D.6．D3、E1 已知{a n }为等比数列，下面结论中正确的是( ) A ．a 1＋a 3≥2a 2 B ．a 21＋a 23≥2a 22C ．若a 1＝a 3，则a 1＝a 2D ．若a 3>a 1，则a 4>a 26．B 本题考查等比数列通项、简单不等式性质与均值不等式．对于A 选项，当数列{a n }首项为负值，公比为负值时明显不成立，比如a n ＝(－1)n，a 1＋a 3＝－2<2a 2＝2，故A 错误；对于B 选项，a 21 ＋ a 23 ≥2|a 1 a 3 | ＝ 2a 22 ，明显成立，故B 正确；对于C 选项，由a 1＝a 3＝a 1q 2只能得出等比数列公比q 2＝1，q ＝±1，当q ＝－1时，a 1≠a 2，故C 错误；对于选项D ，由a 3>a 1可得a 1(q 2－1)>0，而a 4－a 2＝a 2(q 2－1)＝a 1q (q 2－1)的符号还受到q 符号的影响，不一定为正，也就得不出a 4>a 2，故D 错误．E2 绝对值不等式的解法9．E2 集合A ＝{ x ∈R ||x －2|≤5}中的最小整数为________．9．－3 将|x －2|≤5去绝对值得－5≤x －2≤5，解之得－3≤x ≤7，∴x 的最小整数为－3.E3 一元二次不等式的解法13．E3 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为 本题考查二次函数的解析式以及性质和一元二次不等式的解法．解题突破口为二次函数的性质及三个“二次”之间的关系．由条件得a 2－4b ＝0，从而f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22，不等式f (x )<c 解集为－a 2－c <x <－a2＋c ，故⎩⎪⎨⎪⎧－a2－c ＝m ，－a2＋c ＝m ＋6，两式相减得c ＝3，c ＝9.12．E3 不等式x 2－5x ＋6≤0的解集为________．12．{x |2≤x ≤3} 本题考查解一元二次不等式，意在考查考生解一元二次不等式． 解不等式得 (x －2)(x －3)≤0，即2≤x ≤3，所以不等式的解集是{x |2≤x ≤3}． 本题易错一：把不等式解集的界点忘记，没包括2或者3，错解为{x |2<x <3}；易错二：没把解集写成集合或区间的形式，导致无分．14．A2、A3、B3、E3 已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x－2，若∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0，则m 的取值范围是________．14．(－4,0) 本题考查函数图像与性质、不等式求解、逻辑、二次函数与指数函数等基础知识和基本技能，考查分类讨论的数学思想、分析问题和解决问题以及综合运用知识的能力．由已知g (x )＝2x－2<0，可得x <1，要使∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0，必须使x ≥1时，f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)<0恒成立，当m ＝0时，f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)＝0不满足条件，所以二次函数f (x )必须开口向下，也就是m <0，要满足条件，必须使方程f (x )＝0的两根2m ，－m －3都小于1，即⎩⎪⎨⎪⎧2m <1，－m －3<1， 可得m ∈(－4,0)．1．E1、E3 已知集合A ＝{x ∈R |3x ＋2>0}，B ＝{x ∈R |(x ＋1)(x －3)>0}，则A ∩B ＝( ) A ．(－∞，－1) B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，3 D ．(3，＋∞)1．D 本题考查集合的表示、集合交集运算和一元一次、一元二次不等式求解．因为A ＝{x |3x ＋2>0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，＋∞，B ＝{x |x <－1或x >3}＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，所以A ∩B ＝(3，＋∞)，21．B12、E3 设0<a <1，集合A ＝{x ∈R |x >0}，B ＝{x ∈R |2x 2－3(1＋a )x ＋6a >0}，D ＝A ∩B .(1)求集合D (用区间表示)；(2)求函数f (x )＝2x 3－3(1＋a )x 2＋6ax 在D 内的极值点．21．解：(1)x ∈D ⇔x >0且2x 2－3(1＋a )x ＋6a >0. 令h (x )＝2x 2－3(1＋a )x ＋6a ，Δ＝9(1＋a )2－48a ＝3(3a －1)(a －3)． ①当13<a <1时，Δ<0，∴∀x ∈R ，h (x )>0，∴B ＝R . 于是D ＝A ∩B ＝A ＝(0，＋∞)．②当a ＝13时，Δ＝0，此时方程h (x )＝0有唯一解x 1＝x 2＝＋a 4＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋134＝1， ∴B ＝(－∞，1)∪(1，＋∞)． 于是D ＝A ∩B ＝(0,1)∪(1，＋∞)．③当0<a <13时，Δ>0，此时方程h (x )＝0有两个不同的解x 1＝3＋3a －a －a －4，x 2＝3＋3a ＋a －a －4.∵x 1<x 2且x 2>0，∴B ＝(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)． 又∵x 1>0⇔a >0，∴D ＝A ∩B ＝(0，x 1)∪(x 2，＋∞)．(2)f ′(x )＝6x 2－6(1＋a )x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )． 当0<a <1时，f (x )在(0，＋∞)上的单调性如下：①当3<a <1时，D ＝(0，＋∞)．由表可得，x ＝a 为f (x )在D 内的极大值点，x ＝1为f (x )在D 内的极小值点．②当a ＝13时，D ＝(0,1)∪(1，＋∞)．由表可得，x ＝13为f (x )在D 内的极大值点．③当0<a <13时，D ＝(0，x 1)∪(x 2，＋∞)．∵x1＝3＋3a －a －a －4＝3＋3a －3－5a 2－16a24≥14＝2a >a 且x 1<3＋3a 4<1，x 2＝3＋3a ＋33a －1a －34＝3＋3a ＋1－3a2＋8－24a4>3＋3a ＋1－3a4＝1，∴a ∈D,1∉D .由表可得，x ＝a 为f (x )在D 内的极大值点．答案为D.2．E3 不等式x －1x ＋2<0的解集为( ) A ．(1，＋∞) B ．(－∞，－2) C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)2．C 原不等式等价于(x －1)(x ＋2)＜0，解得－2＜x ＜1，选C. 分式不等式通常转化为整式不等式来解，其主要转化途径：(1)f xg x>0⇔f (x )g (x )>0；(2)f xg x<0⇔f (x )g (x )<0.10．A1、E3、B6 设函数f (x )＝x 2－4x ＋3，g (x )＝3x－2，集合M ＝{x ∈R |f (g (x ))>0|，则N ＝{x ∈R |g (x )<2}，则M ∩N 为( )A ．(1，＋∞) B．(0,1) C ．(－1,1) D ．(－∞，1)10．D 因为f (g (x ))＝2－4g (x )＋3，所以解关于g (x )不等式2－4g (x )＋3＞0，得g (x )＜1或g (x )＞3，即3x－2＜1或3x －2＞3，解得x ＜1或x ＞log 35，所以M ＝(－∞，1)∪(log 35，＋∞)，又由g (x )＜2，即3x－2＜2,3x＜4，解得x ＜log 34，所以N ＝(－∞，log 34)，故M ∩N ＝(－∞，1)，选D.E4 简单的一元高次不等式的解法11．E4 不等式x 2－9x －2>0的解集是________．11．{x |－3<x <2或x >3} 原不等式可化为(x ＋3)(x －3)(x －2)>0，利用穿针引线法可得{x |－3<x <2或x >3}．17．B12、E4 已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极值c －16. (1)求a ，b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在上的最小值．17．解：因f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2＋b . 由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16.故有⎩⎪⎨⎪⎧f ＝0，f ＝c －16，即⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16，化简得⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，解得a ＝1，b ＝－12.(2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ；f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)．令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，－2)上为增函数； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，故f (x )在(－2,2)上为减函数； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(2，＋∞)上为增函数．由此可知f (x )在x 1＝－2处取得极大值f (－2)＝16＋c ，f (x )在x 2＝2处取得极小值f (2)＝c －16.由题设条件知16＋c ＝28，得c ＝12.此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3，f (2)＝－16＋c ＝－4， 因此f (x )在上的最小值为f (2)＝－4.E5 简单的线性规划问题2．E5 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，x －1≤0，则目标函数z ＝3x －2y 的最小值为( )A ．－5B ．－4C ．－2D ．32．B 概括题意画出可行域如图．当目标函数线过可行域内点A (0,2)时，目标函数有最小值z ＝0×3－2×2＝－4.8．E5 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－3，x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，则z ＝3x ＋4y 的最大值是( )A ．12B ．26C ．28D ．338．C 由已知，画出可行域如图，可知当x ＝4，y ＝4时，z ＝3x ＋4y 取得最大值， 最大值为28.10．E5 满足约束条件|x |＋2|y |≤2的目标函数z ＝y －x 的最小值是________．10．－2 考查简单的线性规划问题，此题的难点是如何正确画出可行域．画图可知，约束条件表示的区域是一个平行四边形区域，四个顶点分别是(0,1)，(2,0)(0，－1)(－2,0)．通过平移参照直线y －x ＝0，可知在(2,0)处取得最小值，z min ＝0－2＝－2.9．E5 设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．559．D 本小题主要考查线性规划．解题的突破口为作出可行域，借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．不等式组表示的区域如图1－1所示，令z ＝2x ＋3y ，目标函数变为y ＝－23x ＋z3，故而当截距越大，z 的取值越大，故当直线z ＝2x ＋3y 经过点A 时，z 最大，由于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝20，y ＝15⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝15，故而A 的坐标为(5,15)，代人z ＝2x ＋3y ，得到z max ＝55，即2x ＋3y 的最大值为55.5．E5 已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是( )A ．(1－3，2)B ．(0,2)C ．(3－1,2)D ．(0,1＋3)5．A 由正三角形的性质可求得点C ()1＋3，2，作出△ABC 表示的可行域(如下图所示不含△ABC 的三边)．可知当直线z ＝－x ＋y 经过点C (1＋3，2)时，z ＝－x ＋y 取得最小值，且z min ＝1－3；当直线z ＝－x ＋y 经过点B (1,3)时，z ＝－x ＋y 取得最大值，且z max ＝2.因为可行域不含△ABC 的三边，故z ＝－x ＋y 的取值范围是()1－3，2.故选A.5．E5 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ＋1≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．3B ．1C ．－5D ．－65．C 作出可行域，如图所示．目标函数变形为：y ＝－12x ＋12z ，平移目标函数线，显然当直线经过图中A 点时，z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，x －y ＝1 得A (－1，－2)，所以z min ＝－1－4＝－5.所以选择C.10．E5 若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A ．－1B ．1 C.32 D ．210．B 根据约束条件画出可行域如下图所示，根据题意，显然当直线y ＝2x 与直线y ＝－x ＋3相交，交点的横坐标即为m 的最大值，解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝－x ＋3，解得x ＝1.所以当m ≤1时，直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件，所以m 的最大值为1.14．E5 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，x ＋3y －3≥0，则z ＝3x －y 的最小值为________．14．－1 本小题主要考查线性规划最优解的应用，解题的突破口是正确作出可行域和平移目标函数曲线．利用不等式组，作出可行域，则目标函数直线过(0,1)时，z 取最小值－1.8．E5 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－3B ．0 C.32 D ．38．A 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3表示的可行域(如图所示的△ABC 的边界及内部)．平移直线z ＝x －y ，易知当直线z ＝x －y 经过点C (0,3)时，目标函数z ＝x －y 取得最小值，即z min ＝－3.14．E5 设z ＝x ＋2y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －2≤0，x ≥0，y ≥0，则z 的取值范围是________．14． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，72约束条件得到的可行域为下图中的四边形ABCO 及其内部，由目标函数z ＝x ＋2y 可得y ＝－12x ＋z 2，直线x ＋2y －z ＝0平移通过可行域时，截距z2在B 点取得最大值，在O 点取得最小值，B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32， 故z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，72.21．B9、B12、E5 设函数f (x )＝x n＋bx ＋c (n ∈N ＋，b ，c ∈R )．(1)设n ≥2，b ＝1，c ＝－1，证明：f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内存在唯一零点；(2)设n 为偶数，|f (－1)|≤1，|f (1)|≤1，求b ＋3c 的最小值和最大值； (3)设n ＝2，若对任意x 1，x 2∈有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求b 的取值范围． 21．解：(1)当b ＝1，c ＝－1，n ≥2时，f (x )＝x n＋x －1.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12f (1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －12×1＜0. ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内存在零点．又当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，f ′(x )＝nx n －1＋1＞0，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是单调递增的， ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内存在唯一零点．(2)解法一：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－1≤f－，－1≤f ，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤b －c ≤2，－2≤b ＋c ≤0.由图像知，b ＋3c 在点(0，－2)取到最小值－6， 在点(0,0)取到最大值0，∴b ＋3c 的最小值为－6，最大值为0.解法二：由题意知－1≤f (1)＝1＋b ＋c ≤1，即－2≤b ＋c ≤0，① －1≤f (－1)＝1－b ＋c ≤1，即－2≤－b ＋c ≤0，② ①×2＋②得－6≤2(b ＋c )＋(－b ＋c )＝b ＋3c ≤0，当b ＝0，c ＝－2时，b ＋3c ＝－6；当b ＝c ＝0时，b ＋3c ＝0， 所以b ＋3c 的最小值为－6，最大值为0. 解法三：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f －＝1－b ＋c ，f＝1＋b ＋c ，解得b ＝f－f －2，c ＝f＋f －－22，∴b ＋3c ＝2f (1)＋f (－1)－3. 又∵－1≤f (－1)≤1，－1≤f (1)≤1， ∴－6≤b ＋3c ≤0，所以b ＋3c 的最小值为－6，最大值为0. (3)当n ＝2时，f (x )＝x 2＋bx ＋c .对任意x 1，x 2∈都有|f (x 1)－f (x 2)|≤4等价于f (x )在上的最大值与最小值之差M ≤4.据此分类讨论如下：①当⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2＞1，即|b |＞2时，M ＝|f (1)－f (－1)|＝2|b |＞4，与题设矛盾．②当－1≤－b2＜0，即0＜b ≤2时，M ＝f (1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋12≤4恒成立．③当0≤－b2≤1，即－2≤b ≤0时， M ＝f (－1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－12≤4恒成立．综上可知，－2≤b ≤2. 注：②，③也可合并证明如下： 用max{a ，b }表示a ，b 中的较大者． 当－1≤－b2≤1，即－2≤b ≤2时， M ＝max{f (1)，f (－1)}－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2＝f －＋f 2＋|f －－f 2－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2 ＝1＋c ＋|b |－⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 24＋c ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋|b |22≤4恒成立．3．E5、K3 设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4B.π－22 C.π6 D.4－π43．D 本题考查了线性规划、圆的概念、圆的面积公式以及几何概型公式等基础知识． 如图所示，P ＝S 2S ＝S －S 1S ＝4－π4.14．E5 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值是________．14． 2作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3所表示的可行域，如下图阴影部分所示(含边界)．可知当直线z ＝2x ＋3y 经过直线x ＋y ＝1与直线3x －y ＝3的交点M (1,0)时，z ＝2x ＋3y 取得最小值，且z min ＝2.6．E5 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1C ． D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，326．A 本题考查简单的线性规划问题，考查数据处理能力，容易题． 可行域为如图所示阴影部分．当目标函数线l 移至可行域中的A 点(2,0)时，目标函数有最大值z ＝3×2－0＝6；当目标函数线l 移至可行域中的B 点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，目标函数有最小值z ＝3×12－3＝－32.E6 2a b+≤9．E6 若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285C ．5D ．69．C 本题考查利用基本不等式求最值，考查学生观察、变形判断的能力． 由x >0，y >0，x ＋3y ＝5xy 得15y ＋35x ＝1，则3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x≥135＋23x 5y ·12y 5x ＝5，当且仅当3x 5y ＝12y 5x 即x ＝1，y ＝12时等号成立． 10．E6、E8 小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a ＜v ＜abB ．v ＝ab C.ab ＜v ＜a ＋b2D ．v ＝a ＋b210．A 由小王从甲地往返到乙地的时速为a 和b ，则全程的平均时速为v ＝2s⎝ ⎛⎭⎪⎫s a ＋s b ＝2ab a ＋b ，又∵a <b ，∴2a 22a <2ab a ＋b <2ab2ab＝ab ，∴a <v <ab ，A 成立． E7 不等式的证明方法21．B12、E7 设f (x )＝ln x ＋x －1，证明： (1)当x >1时，f (x )<32(x －1)；(2)当1<x <3时，f (x )<x －x ＋5.21．解：(1)(证法一)记g (x )＝ln x ＋x －1－32(x －1)．则当x >1时，g ′(x )＝1x ＋12x －32<0，g (x )在(1，＋∞)上单调递减．又g (1)＝0，有g (x )<0，即f (x )<32(x －1)．(证法二)由均值不等式，当x >1时，2x <x ＋1，故x <x 2＋12.①令k (x )＝ln x －x ＋1，则k (1)＝0，k ′(x )＝1x－1<0，故k (x )<0，即 ln x <x －1.②由①②得，当x >1时，f (x )<32(x －1)．(2)(证法一) 记h (x )＝f (x )－x －x ＋5，由(1)得h ′(x )＝1x ＋12x －54x ＋2＝2＋x 2x －54x ＋2<x ＋54x －54x ＋2＝x ＋3－216x4x x ＋2令g (x )＝(x ＋5)3－216x ，则当1<x <3时，g ′(x )＝3(x ＋5)2－216<0. 因此g (x )在(1,3)内是递减函数，又由g (1)＝0，得g (x )<0，所以h ′(x )<0. 因此h (x )在(1,3)内是递减函数，又h (1)＝0，得h (x )<0.于是当1<x <3时，f (x )<x －x ＋5.(证法二)记h (x )＝(x ＋5)f (x )－9(x －1)， 则当1<x <3时，由(1)得h ′(x )＝f (x )＋(x ＋5)f ′(x )－9<32(x －1)＋(x ＋5)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋12x －9 ＝12x <12x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x x －＋x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2＋12－18x ＝14x (7x 2－32x ＋25) <0.因此h (x )在(1,3)内单调递减，又h (1)＝0，所以h (x )<0，即f (x )<x －x ＋5.E8 不等式的综合应用14．E8 已知正数a ，b ，c 满足：5c －3a ≤b ≤4c －a ，c ln b ≥a ＋c ln c ，则b a的取值范围是________．14． 本题考查多元问题的求解以及线性规划思想的运用．解题突破口为将所给不等式条件同时除以c ，三元换成两元．题设条件可转化为⎩⎪⎨⎪⎧3a c ＋bc ≥5，a c ＋bc ≤4，b c ≥e a c ，记x ＝a c ，y ＝bc ，则⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≥5，x ＋y ≤4，y ≥e x，x ，y >0，且目标函数为z ＝yx，上述区域表示第一象限内两直线与指数函数的图象围成如图所示的曲边形．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝5，x ＋y ＝4，得交点坐标为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，72，此时z max ＝7.又过原点作曲线y ＝e x的切线，切点为(x 0，y 0)，因y ′＝e x，故切线斜率k ＝e x 0，切线方程为y ＝e x 0x ，而y 0＝e x 0且y 0＝e x 0x 0，解之得x 0＝1，故切线方程为y ＝e x ，从而z min ＝e ，所求取值范围为．15．E8 已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a ＞0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．15．(0,8) 不等式在R 上恒成立，则满足Δ＝a 2－4×2a <0，解得0<a <8.10．E6、E8 小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a ＜v ＜abB ．v ＝ab C.ab ＜v ＜a ＋b2D ．v ＝a ＋b210．A 由小王从甲地往返到乙地的时速为a 和b ，则全程的平均时速为v ＝2s⎝ ⎛⎭⎪⎫s a ＋s b ＝2ab a ＋b ，又∵a <b ，∴2a 22a <2ab a ＋b <2ab2ab＝ab ，∴a <v <ab ，A 成立． 21．B12、E8 设函数f (x )＝e x－ax －2. (1)求f (x )的单调区间；(2)若a ＝1，k 为整数，且当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0，求k 的最大值． 21．解：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x－a . 若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递增． 若a >0，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以，f (x )在(－∞，ln a )单调递减，在(ln a ，＋∞)单调递增． (2)由于a ＝1，所以(x －k )f ′(x )＋x ＋1＝(x －k )(e x－1)＋x ＋1. 故当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0等价于k <x ＋1e x－1＋x (x >0)． ① 令g (x )＝x ＋1e x －1＋x ，则g ′(x )＝－x e x－1x －2＋1＝exx －x －x－2. 由(1)知，函数h (x )＝e x－x －2在(0，＋∞)单调递增．而h (1)<0，h (2)>0，所以h (x )在(0，＋∞)存在唯一的零点．故g ′(x )在(0，＋∞)存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈(1,2)．当x ∈(0，α)时，g ′(x )<0；当x ∈(α，＋∞)时，g ′(x )>0.所以g (x )在(0，＋∞)的最小值为g (α)．又由g ′(α)＝0，可得e α＝α＋2，所以g (α)＝α＋1∈(2,3)． 由于①式等价于k <g (α)，故整数k 的最大值为2.22．B12、E8 设函数f (x )＝ax n(1－x )＋b (x ＞0)，n 为整数，a ，b 为常数．曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x ＋y ＝1.(1)求a ，b 的值； (2)求函数f (x )的最大值； (3)证明：f (x )＜1n e.22．解：(1)因为f (1)＝b ，由点(1，b )在x ＋y ＝1上，可得1＋b ＝1，即b ＝0. 因为f ′(x )＝anxn －1－a (n ＋1)x n，所以f ′(1)＝－a ，又因为切线x ＋y ＝1的斜率为－1，所以－a ＝－1，即a ＝1.故a ＝1，b ＝0. (2)由(1)知，f (x )＝x n(1－x )＝x n－x n ＋1，f ′(x )＝(n ＋1)xn －1⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1－x . 令f ′(x )＝0，解得x ＝nn ＋1，即f ′(x )在(0，＋∞)上有唯一零点x 0＝nn ＋1.在⎝⎛⎭⎪⎫0，n n ＋1上，f ′(x )>0，f (x )单调递增；而在⎝⎛⎭⎪⎫n n ＋1，＋∞上，f ′(x )<0，f (x )单调递减．故f (x )在(0，＋∞)上的最大值为f ⎝⎛⎭⎪⎫n n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n n ＋1＝n nn ＋n ＋1.(3)证明：令φ(t )＝ln t －1＋1t (t ＞0)，则φ′(t )＝1t －1t 2＝t －1t2(t ＞0)．在(0,1)上，φ′(t )＜0，故φ(t )单调递减； 而在(1，＋∞)上，φ′(t )＞0，φ(t )单调递增．故φ(t )在(0，＋∞)上的最小值为φ(1)＝0.所以φ(t )＞0(t ＞1)， 即ln t ＞1－1t(t ＞1)．令t ＝1＋1n ，得ln n ＋1n ＞1n ＋1，即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n n ＋1＞lne ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n n ＋1＞e ，即n nn ＋n ＋1＜1n e. 由(2)知，f (x )≤n n n ＋n ＋1＜1n e，故所证不等式成立．9．A2、E8 设a ，b ，c ∈R ＋，则“abc ＝1”是“1a＋1b＋1c≤a ＋b ＋c ”的( )A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要的条件 9．A先考察充分性： 当abc ＝1时，1a ＋1b ＋1c＝abc a ＋abc b ＋abc c＝ab ＋bc ＋ca ， 又因为2(a ＋b ＋c )＝(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )≥2ab ＋2bc ＋2ca (当且仅当a ＝b ＝c ＝1时取等号)，即1a＋1b＋1c＝ab ＋bc ＋ca ≤a ＋b ＋c ，故充分性成立；再考察必要性： 取a ＝b ＝c ＝3，显然有1a＋1b＋1c≤a ＋b ＋c ，但abc ≠1，故必要性不成立．应选A.E9 单元综合17．E9 如图1－5，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1 km ，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km ，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．图1－517．解：(1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x >0，k >0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10 km. (2)因为a >0，所以炮弹可击中目标⇔存在k >0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔a ≤6.所以当a 不超过6 km 时，可击中目标． 16．E9 设a ，b 为正实数，现有下列命题： ①若a 2－b 2＝1，则a －b <1； ②若1b －1a＝1，则a －b <1；③若|a －b |＝1，则|a －b |<1； ④若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1. 其中的真命题有________． (写出所有真命题的编号)16．①④ 由a 2－b 2＝1，所以a 2＝1＋b 2＞1，又a 是正实数，故a ＞1，进而a ＋b ＞1，分解因式得(a ＋b )(a －b )＝1， ∴a －b ＝1a ＋b＜1.①正确． 由1b －1a ＝1且a 、b 是正实数，可得a －b ＝ab ，不能保证小于1，如b ＝23，a ＝2， 此时a －b ＝ab ＝43＞1.②错误．由|a －b |＝1，取a ＝4，b ＝1可知|a －b |＝3＞1，故③错误．由|a 3－b 3|＝1，不妨设a ＞b ，即a 3－b 3＝1，于是a 3＝1＋b 3，因为a 、b 都是正实数， 故a 3＝1＋b 3＞1⇒a ＞1，于是(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝1⇒a －b ＝1a 2＋ab ＋b 2＜1，从而④正确．21．H10、E9 如图1－6，动点M 与两定点A (－1,0)、B (1,0)构成△MAB ，且直线MA 、MB 的斜率之积为4.设动点M 的轨迹为C .图1－6(1)求轨迹C 的方程；(2)设直线y ＝x ＋m (m >0)与y 轴相交于点P ，与轨迹C 相交于点Q 、R ，且|PQ |<|PR |，求|PR ||PQ |的取值范围． 21．解：(1)设M 的坐标为(x ，y )，当x ＝－1时，直线MA 的斜率不存在；当x ＝1时，直线MB 的斜率不存在．于是x ≠1且x ≠－1，此时，MA 的斜率为y x ＋1，MB 的斜率为yx －1， 由题意，有y x ＋1·yx －1＝4， 化简可得，4x 2－y 2－4＝0.故动点M 的轨迹C 的方程为4x 2－y 2－4＝0(x ≠1且x ≠－1)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，4x 2－y 2－4＝0消去y ，可得3x 2－2mx －m 2－4＝0.(*)对于方程(*)，其判别式Δ＝(－2m )2－4×3(－m 2－4)＝16m 2＋48>0，而当1或－1为方程(*)的根时，m 的值为－1或1，结合题设(m >0)可知，m >0，且m ≠1.设Q 、R 的坐标分别为(x Q ，y Q )，(x R ，y R )，则x Q ，x R 为方程(*)的两根．因为|PQ |<|PR |，所以|x Q |<|x R |，x Q ＝m －2m 2＋33，x R ＝m ＋2m 2＋33.所以|PR ||PQ |＝|x R ||x Q |＝21＋3m2＋121＋3m2－1＝ 1＋221＋3m2－1.此时1＋3m2>1，且1＋3m2≠2.所以1<1＋221＋3m2－1<3，且1＋221＋3m2－1≠53， 所以1<|PR ||PQ |＝|x R ||x Q |<3，且|PR ||PQ |＝|x R ||x Q |≠53.综上所述，|PR ||PQ |的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，3.22．B14、E9、J3、D5 已知a 为正实数，n 为自然数，抛物线y ＝－x 2＋a n2与x 轴正半轴相交于点A .设f (n )为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距．(1)用a 和n 表示f (n )； (2)求对所有n 都有f n －1f n ＋1≥nn ＋1成立的a 的最小值；(3)当0<a <1时，比较1f－f＋1f－f＋…＋1f n －fn与6·f －f n ＋f－f的大小，并说明理由．22．解：(1)由已知得，交点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫a n2，0，对y ＝－x 2＋12a n 求导得y ′＝－2x ，则拋物线在点A 处的切线方程为y ＝－2a n⎝⎛⎭⎪⎫x －a n 2，即y ＝－2a n x ＋a n .则f (n )＝a n. (2)由(1)知f (n )＝a n，则f n －1f n ＋1≥n n ＋1成立的充要条件是a n≥2n ＋1.即知，a n≥2n ＋1对所有n 成立．特别地，取n ＝1得到a ≥3. 当a ＝3，n ≥1时，a n＝3n＝(1＋2)n＝1＋C 1n ·2＋…≥2n ＋1. 当n ＝0时，a n＝2n ＋1.故a ＝3时，f n －1f n ＋1≥nn ＋1对所有自然数n 均成立．所以满足条件的a 的最小值为3. (3)由(1)知f (k )＝a k. 下面证明：1f－f ＋1f－f＋…＋1f n －fn>6·f －f n ＋f －f .首先证明：当0<x <1时，1x －x 2>6x . 设函数g (x )＝6x (x 2－x )＋1,0<x <1.则g ′(x )＝18x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23. 当0<x <23时，g ′(x )<0；当23<x <1时，g ′(x )>0.故g (x )在区间(0,1)上的最小值g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝19>0.所以，当0<x <1时，g (x )>0，即得1x －x 2>6x . 由0<a <1知0<a k<1(k ∈N *)，因此1a k－a2k >6a k，从而 1f－f＋1f－f＋…＋1fn －fn＝1a －a 2＋1a 2－a 4＋…＋1a n －a2n >6(a ＋a 2＋…＋a n) ＝6·a －a n ＋11－a＝6·f －f n ＋f －f.。
2018年高考真题——文科数学(全国卷)+Word版含答案
甘肃、青海、西藏、黑龙江、吉林、辽宁、宁夏、新疆、内蒙古、陕西、重庆绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．()i 23i += A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+2．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则AB =A ．{}3B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,73．函数()2e e x xf x x--=的图像大致为4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4B ．3C ．2D ．05．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.36．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>3A ．2y x =±B ．3y x =±C ．2y x =D ．3y =7．在ABC △中，cos 2C 1BC =，5AC =，则AB = A．BCD．8．为计算11111123499100S =-+-++-，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为 A B C D 10．若()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数，则a 的最大值是A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π11．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为 A ．1-B ．2-CD 1-12．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(f ff++(50)f ++=A ．50-B ．0C ．2D ．50二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022年高考数学(文)一轮复习文档：第六章 不等式 第3讲基本不等式 Word版含答案
第3讲 基本不等式,)1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0． (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)假如积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p ．(简记：积定和最小) (2)假如和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24．(简记：和定积最大)1．辨明两个易误点(1)使用基本不等式求最值，“一正，二定，三相等”三个条件缺一不行； (2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件全都． 2．活用几个重要的不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；b a ＋ab≥2(a ，b 同号且都不为0)；ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )． 3．巧用“拆”“拼”“凑”在运用基本不等式时，要特殊留意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．1.教材习题改编 将正数m 分成两个正数a 与b 之和，则ab 的范围为( )A ．(0，m 22]B ．(0，m 24]C ．[m 22，＋∞)D ．[m 24，＋∞)B a ＋b ＝m ≥2ab ， 所以ab ≤m 24，故选B.2.教材习题改编 函数f (x )＝x ＋1x的值域为( )A ．B ．∪ 当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2.当x <0时，－x >0. －x ＋1－x≥2（－x ）·1（－x ）＝2.所以x ＋1x≤－2.所以f (x )＝x ＋1x的值域为(－∞，－2]∪ 设折成的矩形的两边分别为x ，y (x >0，y >0)．则x ＋y ＝a2.由于x ＋y ≥2xy ， 所以xy ≤14(x ＋y )2＝a 216，即S 矩形≤a 216. 当且仅当x ＝y ＝a 4时，(S 矩形)max ＝a 216.故选D.4．若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________． x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5. 当且仅当x －1＝4x －1， 即x ＝3时等号成立． 55．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为______．由于xy ＝1，所以y ＝1x，所以x 2＋2y 2＝x 2＋2x2≥2x 2·2x2＝2 2.即x 2＋2y 2的最小值为2 2. 2 2利用基本不等式求最值(高频考点)利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题． 高考对利用基本不等式求最值的考查主要有以下三个命题角度： (1)知和求积的最值； (2)知积求和的最值； (3)求参数的值或范围．(1)(2021·安徽合肥二模)若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10(2)(2021·安徽安庆二模)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b的最小值为( )A ．4B ．2 2C ．8D ．16【解析】 (1)由于a ，b 都是正数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b＝5＋b a ＋4a b≥5＋2b a ·4ab＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号．故选C.(2)由a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab ，得ab ＝1，则1a ＋2b≥21a ·2b ＝2 2.当且仅当1a ＝2b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立．故选B.【答案】 (1)C (2)B角度一 知和求积的最值1．若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A ． 2B ．2C ．2 2D ．4C 由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab，即ab ≥22， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”， 所以ab 的最小值为2 2. 角度二 知积求和的最值 2．已知函数y ＝ax ＋3－2(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋y n＝－1上，且m ，n >0，则3m＋n 的最小值为________．易知函数y ＝ax ＋3－2(a >0，a ≠1)恒过定点(－3，－1)，所以A (－3，－1)．又由于点A 在直线x m ＋yn＝－1上，所以3m ＋1n＝1.所以3m ＋n ＝(3m ＋n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋1n＝10＋3m n ＋3n m≥10＋23m n ·3nm＝16，当且仅当m ＝n 时，等号成立， 所以3m ＋n 的最小值为16. 16角度三 求参数的值或范围 3．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x＋ax y≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2(x ，y ，a >0)，当且仅当y ＝ax 时取等号， 所以(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2，于是(a ＋1)2≥9恒成立． 所以a ≥4. 4利用基本不等式解决实际问题小王高校毕业后，打算利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流淌成本为W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝13x2＋x (万元)．在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流淌成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【解】 (1)由于每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元， 依题意得，当0<x <8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3；当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x .所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0<x <8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x ≥8.(2)当0<x <8时，L (x )＝－13(x －6)2＋9.此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值L (6)＝9万元，当x ≥8时，L (x )＝35－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x＝35－20＝15，此时，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时，L (x )取得最大值15万元．由于9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域． (2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．(1)由题意得y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x . 由于售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0，得x ≤2.所以y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为．(2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.,)——忽视最值取得的条件致误(1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y＝1，则x ＋y 的最小值是________．(2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的最小值为________．【解析】 (1)由于x >0，y >0，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y＝3＋y x＋2xy≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号)，所以当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2. (2)由于x <0，所以y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋(－3x)≥1＋2（－2x ）·3－x＝1＋26，当且仅当x ＝－62时取等号，故y 的最小值为1＋2 6. 【答案】 (1)3＋2 2 (2)1＋2 6(1)利用基本不等式求最值，肯定要留意应用条件，如本例(2)易忽视条件x <0而误用基本不等式得2x ＋3x≥2 6.(2)尽量避开多次使用基本不等式，若必需多次使用，肯定要保证等号成立的条件全都．当3＜x ＜12时，函数y ＝（x －3）（12－x ）x的最大值为________．y ＝（x －3）（12－x ）x＝－x 2＋15x －36x＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋36x ＋15≤－2x ·36x＋15＝3.当且仅当x ＝36x， 即x ＝6时，y max ＝3. 3,)1．(2021·海口调研)已知a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＝1，则ab 的最大值为( ) A ．1B ．14C ．12D ．22B 由于a ，b ∈(0，＋∞)， 所以1＝a ＋b ≥2ab ， 所以ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．2．已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4C 由于x <0，所以f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋1（－x ）－2≤－2－2＝－4， 当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时取等号．3．(2021·安徽省六校联考)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy≥M 恒成立，则M 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4A 由于正实数x ，y 满足x ＋y ＝2， 所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy ≥1；又1xy≥M 恒成立，所以M ≤1，即M 的最大值为1.4．已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x >－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b 等于( ) A ．－3 B ．2 C ．3D ．8C y ＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5， 由于x >－1，所以x ＋1>0，9x ＋1>0. 所以由基本不等式， 得y ＝x ＋1＋9x ＋1－5≥2（x ＋1）·9x ＋1－5＝1， 当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即(x ＋1)2＝9，即x ＋1＝3，x ＝2时取等号， 所以a ＝2，b ＝1，a ＋b ＝3.5．已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8C 由已知得x ＋3y ＝9－xy ， 又由于x >0，y >0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时，即x ＝3，y ＝1时取等号，(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6即x ＋3y ≥6.6．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产预备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产预备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件B 若每批生产x 件产品，则每件产品的生产预备费用是800x 元，仓储费用是x 8元，总的费用是800x ＋x8≥2800x ·x8＝20， 当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时取等号．7．(2021·郑州检测)已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b的最小值为________．由a ＋2b ＝3得13a ＋23b ＝1，所以2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋23b ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b＝43＋a 3b ＋4b 3a ≥43＋2a 3b ·4b 3a ＝83. 当且仅当a ＝2b ＝32时取等号．838．已知函数f (x )＝4x ＋a x(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________． f (x )＝4x ＋a x≥24x ·a x ＝4a ，当且仅当4x ＝a x，即a ＝4x 2时取等号，则由题意知a ＝4×32＝36.369．正实数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则3x ＋9y的最小值是______． 利用基本不等式可得3x ＋9y ＝3x ＋32y ≥23x ·32y ＝23x ＋2y.由于x ＋2y ＝2， 所以3x ＋9y ≥232＝6，当且仅当3x ＝32y，即x ＝1，y ＝12时取等号．610．不等式x 2＋x <a b ＋b a对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是________．依据题意，由于不等式x 2＋x <a b ＋b a对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则x 2＋x <⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a min，由于a b ＋ba ≥2a b ·b a＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以x 2＋x <2，求解此一元二次不等式可知－2<x <1，所以x 的取值范围是(－2，1)．(－2，1)11．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． (1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2y＝1，又x >0，y >0，则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y＝8xy.得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎪⎫8x ＋2y·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18.当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.12．(2021·东北育才学校模拟)设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b ，0)(a >0，b >0，O 为坐标原点)，若A ，B ，C 三点共线，则2a ＋1b的最小值是( )A ．4B ．92C ．8D ．9D 由于AB →＝OB →－OA →＝(a －1，1)， AC →＝OC →－OA →＝(－b －1，2)，若A ，B ，C 三点共线， 则有AB →∥AC →，所以(a －1)×2－1×(－b －1)＝0，所以2a ＋b ＝1， 又a >0，b >0，所以2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝5＋2b a＋2ab≥5＋22b a ·2ab＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝2a b ，2a ＋b ＝1，即a ＝b ＝13时等号成立．13．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. 求：(1)u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)1x ＋1y的最小值．(1)由于x >0，y >0，所以由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . 由于2x ＋5y ＝20，所以210xy ≤20，xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.所以u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.所以当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)由于x >0，y >0，所以1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎪⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020. 当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.所以1x ＋1y 的最小值为7＋21020.14．(2021·常州期末调研)某学校为了支持生物课程基地争辩植物生长，方案利用学校空地建筑一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2)．(1)求S 关于x 的函数关系式； (2)求S 的最大值． (1)由题设，得S ＝(x －8)⎝ ⎛⎭⎪⎫900x －2＝－2x －7 200x ＋916，x ∈(8，450)．(2)由于8<x <450， 所以2x ＋7 200x≥22x ×7 200x＝240.当且仅当x ＝60时等号成立，从而S ≤676.故当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m 2.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2018高考文科数学不等式专项100题（WORD 版含答案）一、选择题（本题共64道小题）1.设变量x ，y满足约束条件，则目标函数z=y ﹣2x 的最小值为（ ）A ．﹣7B ．﹣4C ．1D ．2 2.设集合A={x|x ＜0}，B={x|x 2﹣x ≥0}，则A ∩B=（ ） A ．（0，1） B ．（﹣∞，0）C ．[1，+∞）D ．[0，1）3.若x ，y 满足约束条件120(21)(1)0x y x y x x -≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，则242x y x --+的最大值为A. 3B. 7C. 9D. 104.设0a >，0b >3a 与3b 的等比中项，则11a b +的最小值为（ ）．A ．8B ．14C ．1D ．45.若实数x 、y 满足000x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤≤≥，则2z x y =+的最大值为（ ）．A ．0B ．1C ．32D ．26.实数x ，y 满足101020x x y x y +⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≥≤，则4y x -的取值范围是（ ）．A ．(],4-∞B ．(],7-∞C ．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,72⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7.已知非零实数a ，b 满足a b <，则下列不等式中一定成立的是（ ）． A ．0a b +>B ．11a b> C ．2ab b <D ．330a b -<8.若a ＜b ＜0，则下列不等式成立的是（ ） A．B ．ab ＜1C．D．9.已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥+-1x 01y 3x 01y x ，则z=3x ﹣y 的最大值为（ ）A ．﹣5B ．1C ．3D ．410. 若集合A={x|02x 5x ≤-+}，B={x||x|＜3}，则集合 A ∪B 为（ ） A ．{x|﹣5＜x ＜3} B ．{x|﹣3＜x ＜2}C ．{x|﹣5≤x ＜3}D ．{x|﹣3＜x≤2}11.若x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-0x 1y x 0y x ，则z=x+2y 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．23D ．2 12.设x ，y满足约束条件，则z=3x ﹣2y 的最大值为（ ）A ．1B ．4C ．8D ．11 13.若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤1y 1y x x y ，则z=2x ﹣y 的最大值为（ ）A ．5B ．3C ．﹣1D ．2114.设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2﹣x﹣2＜0}，则M∩N等于（）A．{0} B．{0，1} C．{﹣1，0} D．{﹣1，0，1}15.已知全集U=R，集合M={x|x2+2x﹣3≥0}，N={x|log2x≤1}，则（∁U M）∪N=（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1≤x≤3}C．{x|﹣3＜x≤2}D．{x|0＜x＜1} 16.设D为不等式组表示的平面区域，圆C：（x﹣5）2+y2=1上的点与区域D上的点之间的距离的取值范围是（）A．[﹣1，）B．[，] C．[，]D．[﹣1，﹣1]17.若实数x，y满足，且M（x，﹣2），N（1，y），则•的最大值等于（）A．2 B．3 C．4 D．518.已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域，上的一个动点，则•的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[0，1] C．[0，2] D．[﹣1，2]19.若不等式同时成立，则（）A．m＞0＞n B．0＞m＞nC．m＞n＞0 D．m，n与0的大小关系不确定20.已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＜0 C．cb2＜ab2D．ac（a﹣c）＞021.在平面直角坐标系xOy中，不等式组表示的平面区域的面积为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 22.下列各函数中，最小值为2的是（ ） A ．y=x+B ．y=sinx+，x ∈（0，）C ．y= D ．y=2x+23.设全集U=R ，集合A={x|1og 2x ≤2}，B={x|（x ﹣3）（x+1）≥0}，则（∁U B ）∩A=（ ） A ．（﹣∞，﹣1] B ．（﹣∞，﹣1]∪（0，3） C ．[0，3）D ．（0，3）24. 若x ，y满足，则的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣4]∪[3，+∞）B ．（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，+∞）C ．[﹣2，﹣1]D ．[﹣4，3]25.设集合A={x|x 2﹣4x ＜0}，B={x|log 2x ＞1}，则A ∩B=（ ） A ．（2，4） B ．（0，2） C ．（1，4） D ．（0，4） 26.若变量x ，y满足条则z=x 2+y 2的最小值是（ ）A ．0 B． C ．2 D ．1 27.设,x y 满足约束条件33y x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ． 6B ． 7 C. 8 D ．9 28.在平面直角坐标系中，若不等式组表示的平面区域的面积为4，则实数t的值为（）A．1 B．2 C．3 D．429.已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，则A∩B=（）A．（1，3）B．（1，3] C．[﹣1，2）D．（﹣1，2）30.若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（）A．4 B．9 C．10 D．1231.已知集合M={x|x2﹣4x＜0}，N={x||x|≤2}，则M∪N=（）A．（﹣2，4）B．[﹣2，4）C．（0，2）D．（0，2]32.已知△ABC的面积为l，内切圆半径也为l，若△ABC的三边长分别为a，b，c，则的最小值为（）A．2 B．C．4 D．33.变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3|x|+|y﹣2|的取值范围是（）A．[1，8] B．[3，8] C．[1，3] D．[1，6]34.已知实数x，y满足x2﹣xy+y2=1，则x+y的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．435.已知实数x，y满足条件，则z=x+2y的最小值为（）A．B．4 C．2 D．336.设集合A={x|﹣2≤x≤2}，集合B={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则A∪B=（）A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．（﹣1，2] C．（﹣∞，2]∪（3，+∞）D．[﹣2，﹣1）37.若直线y=k（x+2）上存在点（x，y）满足，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．38.已知集合A={x|x2﹣x＜0}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，1）C．[1，+∞）D．（1，+∞）39.x，y满足线性约束条件，若z=y+ax取得最大值的最优解不唯一，则a （）A．﹣2或1 B．﹣2或﹣C．﹣或﹣1 D．﹣或140.设集合U={0，1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，则∁U（A∪B）=（）A．{0，1，2，3} B．{5} C．{1，2，4} D．{0，4，5}41.已知关于x的函数f（x）=x2﹣2，若点（a，b）是区域内的随机点，则函数f（x）在R上有零点的概率为（）A．B． C．D．42.设集合A={x|x2﹣4x+3≥0}，B={x|2x﹣3≤0}，则A∪B=（）A．（﹣∞，1]∪[3，+∞）B．[1，3] C．D．43.已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|（x+2）（x﹣1）＞0}，则A∩B等于（）A ．（0，3）B ．（1，3）C ．（2，3）D ．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） 44.某企业生产A 、B 、C 三种家电，经市场调查决定调整生产方案，计划本季度（按不超过480个工时计算）生产A 、B 、C 三种家电共120台，其中A 家电至少生产20台，已知生产A 、B 、C 三种家电每台所需的工时分别为3、4、6个工时，每台的产值分别为20、30、40千元，则按此方案生产，此季度最高产值为（ ）千元． A ．3600 B ．350 C ．4800D ．48045.已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥+2y 2y x 3y x ，那么z=2x+y 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．546.已知点M 的坐标（x ，y ）满足不等式组，N 为直线y=﹣2x+3上任一点，则|MN|的最小值是（ ） A ． B ． C ．1 D ．47.若变量x ，y满足，则x 2+y 2的最大值是（ ）A ．4B ．9C ．10D ．12 48.若直线=1（a ＞0，b ＞0）过点（1，1），则a+b 的最小值等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 49.已知实数x ，y满足，则目标函数z=2x ﹣y 的最大值为（ ）A ．﹣3 B． C ．5 D ．6 50.已知圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2=1，平面区域Ω：，若圆心C ∈Ω，且圆C与x 轴相切，则a 2+b 2的最大值为（ ） A ．5 B ．29 C ．37 D ．49 51.设集合A={y|y=2x，x ∈R}，B={x|x 2﹣1＜0}，则A ∪B=（ ） A ．（﹣1，1） B ．（0，1） C ．（﹣1，+∞） D ．（0，+∞）52.若实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥--3y 03y x 09y x 3，则使得z=y ﹣2x 取得最大值的最优解为（ ）A ．（3，0）B ．（3，3）C ．（4，3）D ．（6，3） 53.集合A={1，2，3，4，5}，B={x|x 2﹣3x ＜0}，则A∩B=（ ）A ．{1，2}B ．{2，3}C ．{3，4}D ．{4，5}54.关于x 的不等式x 2﹣4ax+3a 2＜0（a ＞0）的解集为（x 1，x 2），则的最小值是（ ） A． B．C．D．55. 设集合A={x|＜0}，B={x|0＜x ＜3}，则A∩B=（ ）A ．{x|1＜x ＜3}B ．{x|0＜x3}C ．{x|0＜x ＜1}D ．∅56.若实数x ，y满足不等式组且x +y 的最大值为9，则实数m=（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．257.设全集U=R，集合，则集合A∩（∁U B ）=（ ）A ．{x|x ＞0}B ．{x|x ＜﹣3}C ．{x|﹣3＜x ≤﹣1}D ．{x|﹣1＜x ＜0} 58.若实数x，y满足时，z=x+y的最小值为（）A．4 B．3 C．2 D．无法确定59.已知集合，则A∩B=（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0]∪（1，+∞）D．[0，1]60.已知变量x，y满足，则的取值范围为（）A．[0，] B．[0，+∞）C．（﹣∞，] D．[﹣，0]61.集合A={0，1，2，3，4}，B={x|（x+2）（x﹣1）≤0}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3，4} B．{0，1，2，3} C．{0，1，2} D．{0，1}62.设集合A={x|（x﹣2）（x+1）≤0}，B={x|x＜0}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣8，﹣1）C．[﹣1，0）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）63.已知实数x，y满足，若z=2x﹣2y﹣1，则z的取值范围为（）A．（﹣，5）B．（﹣，0）C．[0，5] D．[﹣，5]64.已知集合A={x|x+2＞0}，B={x|x2+2x﹣3≤0}，则A∩B=（）A．[﹣3，﹣2）B．[﹣3，﹣1] C．（﹣2，1] D．[﹣2，1]二、填空题（本题共25道小题）65.设实数x，y满足约束条件，则 z=y﹣x的最大值等于．66.若实数x，y满足不等式组，若z=2x+y的最小值为8，则y﹣x的取值范围为．67.若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值等于．68.希腊、罗马的政治机构中，有公民大会、五百人议事会、元老院、执政官，而我国西周出现了宗法制和分封制，就其实质而言A.地域决定政治B.都维护奴隶主贵族统治C.统治阶级维护其统治的方式不同而已D.经济模式决定政治手段69.若实数x，y满足约束条件，则z=4x+8y的最小值为．70.已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则+的最小值是．71.已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜3}，则关于x的不等式cx2+bx+a＜0的解集为．72.已知正数x，y满足2x+y＜4，则的取值范围是．73.已知正数x ，y 满足，则2x+3y 的最小值为 ． 74. 已知函数2y x x =+，1(,)2x ∈+∞，则y 的最小值是 ． 75. 已知点()P x,y 位于y 轴，y x =，y 2x =-三条直线所围成的封闭区域内(包括边界)，则2x y +的最大值为 ．76.已知a ＞b ＞0，那么a 2+)b a (b 1-的最小值为 ． 77.已知实数x ，y 满足条件，则z=y ﹣2x 的最小值为 ． 78.已知，若f （a ）+f （b ）=0，则的最小值是 ． 79.已知不等式组则z=的最大值为 ． 80.已知P （x ，y ）为区域内的任意一点，当该区域的面积为2时，z=x+2y 的最大值是 ．81.设实数x ，y 满足约束条件，则 z=y ﹣x 的最大值等于 ． 82. 已知（a ＞0，b ＞0），且A ，B ，C 三点在同一条直线上，则的最小值为 ．83.已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤--02y 03x 01y x ，则4x 2y --的最大值为 ． 84.已知函数f （x ）=⎩⎨⎧<-≥+1x ,1e 1x ),2x (log x 3，若m ＞0，n ＞0，且m+n=f[f （ln2）]，则n 2m 1+的最小值为 ．85.已知不等式5﹣x ＞7|x+1|与不等式ax 2+bx ﹣2＞0的解集相同，则a= ；b= ．86. 设x ，y满足约束条件，若目标函数z=x+y （m ＞0）的最大值为2， 则y=sin （mx+）的图象向右平移后的表达式为 ．87. 已知实数a ，b 满足ab=1，且a ＞b≥，则的最大值为 ．88. 已知x ，y ∈R ，满足x 2+2xy+4y 2=6，则z=x 2+4y 2的最小值为 ．89. 在条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+-≥-+03y x 203y 2x 03y x 下，目标函数z=x+2y 的最小值为 ．三、解答题（本题共11道小题,） 90.解关于x 的不等式ax 2﹣（a+1）x+1＜0．91.设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=2，a n+1=2S n +2（n ∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =n 1n n a )2a ()2a (+⋅++，数列{n b 1}的前n 项和为T n ，试证明：T n ＜81． 92.“地沟油”严重危害了人民群众的身体健康，某企业在政府部门的支持下，进行技术攻关，新上了一种从“食品残渣”中提炼出生物柴油的项目．经测算，该项目处理成本y （元）与月处理量x（吨）之间的函数可以近似的表示为：，且每处理一吨“食品残渣”，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将补贴．（1）当x ∈[200，300）时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获得，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损；（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？93.设24＜a ≤25，5＜b ≤12．求a+b ，a ﹣b ，ab，的取值范围．94.（13分）某单位生产A 、B 两种产品，需要资金和场地，生产每吨A 种产品和生产每吨B 种产品所需资金和场地的数据如表所示：资源产品资金（万元） 场地（平方米）A2 100 B 35 50 现有资金12万元，场地400平方米，生产每吨A 种产品可获利润3万元；生产每吨B 种产品可获利润2万元，分别用x ，y 表示计划生产A 、B 两种产品的吨数．（1）用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问A 、B 两种产品应各生产多少吨，才能产生最大的利润？并求出此最大利润． 95.已知函数f （x ）=a （x ﹣1）2+lnx+1．（I ）若函数f （x ）在区间[2，4]上是减函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当x ∈[1，+∞）时，函数y=f （x）图象上的点都在所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围．96.设实数a 、b 、c 成等比数列，非零实数x 、y 分别为a 与b ，b 与c的等差中项，求证：．97.经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y （升）与速度x （千米/每小时）（50≤x≤120）的关系可近似表示为：（Ⅰ）该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？（Ⅱ）已知A，B两地相距120公里，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？98.北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．99.某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x（x≥12）层，则每平方米的平均建筑费用为Q（x）=3000+50x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费最小值是多少？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）100.已知lgx+lg（2y）=lg（x+4y+a）（1）当a=6时求xy的最小值；（2）当a=0时，求x+y+的最小值．试卷答案1.A【考点】简单线性规划．【分析】先根据条件画出可行域，设z=y﹣2x，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y 轴上的截距最小，只需求出直线z=y﹣2x，过可行域内的点B（5，3）时的最小值，从而得到z最小值即可．【解答】解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域三角形，平移直线y﹣2x=0经过点A（5，3）时，y﹣2x最小，最小值为：﹣7，则目标函数z=y﹣2x的最小值为﹣7．故选A．2.B【考点】交集及其运算．【分析】化简集合B，根据交集的定义写出A∩B即可．【解答】解：集合A={x|x＜0}，B={x|x2﹣x≥0}={x|x≤0或x≥1}，则A∩B={x|x＜0}=（﹣∞，0）．故选：B．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．3.C根据题意画出可行域如图所示（图中阴影部分），由可行域可知112x -≤≤，322y -≤≤，所以240x y --<， 所以|24|224224x y x x y x x y --+=-+++=++，设24z x y =++， 当直线11222y x z =-+-过点A(1, 2)时，z 取得最大值，为9，故选C.4.D由题知33a b +=，∴1a b +=， ∴1111()a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 11b a a b=+++2+≥ 4=． 当且仅当b a a b=时等号成立． 故选D ．5.D解：根据题意，作出可行域如图所示：目标函数z 表示斜率为12-的直线1122y x z =-+的纵截距的2倍，由图可知，当2z x y =+，过点(0,1)时，z 取得最大值，将(0,1)点代入2z x y =+，得max 2z =．故选D ．6.D如图阴影部分，设4z y x =-，设阴影部分交点为A ，B ，C ，设(1,3)A -，13,22B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,0)C -， 在A 处，z 取得最大值，max 34(1)7z =-⨯-=，在B 处，z 取得最小值，min 3114222z =-⨯=-， ∴1,72z ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦． 故选D ．7.DA 项错，如取2a =-，1b =-，0a b +<，B 项错，11b a a b ab--=， a ，b 正负无法判断， 故1a 与1b大小无法判断， C 项错，2()ab b b a b -=-，无法判断正负，D 项对，3322()()a b a b a b ab -=-++恒为正．故选D ．8.D【考点】不等关系与不等式．【分析】不妨令a=﹣2，b=﹣1，检验可得A 、B 、C 不正确，利用不等式的基本性质可得D 正确．【解答】解：不妨令a=﹣2，b=﹣1，∴，，故A 不正确． ∴ab=2，故B 不正确．∴，故C 不正确．由a ＜b ＜0可得﹣a ＞﹣b ＞0， =＞1，故D 正确． 故选D ．9.C【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z 的几何意义，利用数形结合即可得到z 的最大值．【解答】解：不等式组，对应的平面区域如图：由z=3x ﹣y 得y=3x ﹣z ，平移直线y=3x ﹣z ，则由图象可知当直线y=3x ﹣z 经过点A 时直线y=3x ﹣z 的截距最小， 此时z 最大，为3x ﹣y=3．，解得，即A（1，0），此时点A在z=3x﹣y，解得z=3，故选：C．10.C【考点】并集及其运算．【分析】分别化简集合A，B，再由并集的含义即可得到．【解答】解：集合={x|﹣5≤x＜2}，B={x||x|＜3}={x|﹣3＜x＜3}，则A∪B={x|﹣5≤x＜3}．故选：C．11.D【考点】简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，即可求出z取得最大值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值=0+2×1=2．故选：D．12.D【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设利用数形结合即可的得到结论．【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：z=3x﹣2y得y=x﹣，平移y=x﹣，当y=x﹣经过可行域的A时，z取得最大值，由，解得A（5，2）．此时z的最大值为：3×5﹣2×2=11．故选：D．13.A【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件不等式组，作出可行域如图，化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过C（2，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小，z最大．∴z=2×2+1=5．故选：A．14.B【考点】交集及其运算．【分析】求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可．【解答】解：∵M={﹣1，0，1}，N={x|x2﹣x﹣2＜0}={x|﹣1＜x＜2}，∴M∩N={0，1}，故选：B．15.C【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：M={x|x2+2x﹣3≥0}={x|x≥1或x≤﹣3}，N={x|log2x≤1}={x|0＜x≤2}，则∁U M={x|﹣3＜x＜1}，则（∁U M）∪N={x|﹣3＜x≤2}，故选：C16.B【考点】简单线性规划．【分析】首先求解平面区域的顶点，确定各顶点到圆心的距离，最后求出最小距离减半径和最大距离加半径，即为所求范围．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，O（0，0），B（0，3），联立，解得A（1，1），OC=5，AC=，BC=．∴圆C：（x﹣5）2+y2=1上的点与区域D上的点之间的距离的最小值为，最大值为，∴所求范围[，]．故选：B．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题型．17.B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量积关系结合线性规划的内容进行求解即可．【解答】解：∵M（x，﹣2），N（1，y），则•=x﹣2y，设z=x﹣2y，则y=x﹣z，平移直线y=x﹣z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A（1，﹣1）时，直线y=x﹣z的截距最小，此时z最大．代入目标函数z=x﹣2y得z=1+2=3．即•的最大值为3．故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用平面向量的数量积结合数形结合是解决本题的关键．综合性较强．18.C【考点】简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．【分析】先画出满足约束条件的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入•分析比较后，即可得到•的取值范围．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式当x=1，y=1时，•=﹣1×1+1×1=0当x=1，y=2时，•=﹣1×1+1×2=1当x=0，y=2时，•=﹣1×0+1×2=2故•和取值范围为[0，2]解法二：z=•=﹣x+y，即y=x+z当经过P点（0，2）时在y轴上的截距最大，从而z最大，为2．当经过S点（1，1）时在y轴上的截距最小，从而z最小，为0．故•和取值范围为[0，2]故选：C【点评】本题考查的知识点是线性规划的简单应用，其中画出满足条件的平面区域，并将三个角点的坐标分别代入平面向量数量积公式，进而判断出结果是解答本题的关键．19.A【考点】不等式的基本性质．【分析】由，可得＜0，由不等式同时成立，利用不等式的基本性质即可判断出结论．【解答】解：由，可得＜0，∵不等式同时成立，∴mn＜0，因此m＞0＞n．故选：A．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．20.A【考点】不等关系与不等式．【分析】先研究a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0结构，再由不等式的运算性质结合题设中的条件对四个选项逐一验证得出正确选项即可【解答】解：∵a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，∴c＜0＜a由此知A选项ab＞ac正确，由于c（b﹣a）＞0知B选项不正确，由于b2可能为0，故C选项不正确，由于ac＜0，a﹣c＞0，故ac（a﹣c）＜0，所以D不正确故选A【点评】本题考查不等式与不等关系，主要考查了不等式的性质及运算，解决本题的关键就是熟练掌握不等式的性质与运算，对基本概念及运算的灵活运用是快捷解题的保证．21.B【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用可行域求解三角形的面积即可．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图：阴影部分是三角形，A（﹣1，2），B（﹣1，﹣2），C（1，0），阴影部分的面积为：×4×2=4．故选：B．22.D【考点】基本不等式．【分析】根据基本不等式的性质即可得到答案．【解答】解：对于A，因为x≠0，y≠0，故无最值，对于B，y=sinx+≥2，当且仅当x=取等号，而x∈（0，），故无最小值，对于C，y==+≥2，当且仅当x2+2=1取等号，此时x无解，对于D．y=2x+≥2，当且仅当x=0取等号，故最小值为2，故选：D．23.D【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据题意，先求出集合A，B，进而求出B的补集，进而根据交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|1og2x≤2}=（0，4]，B={x|（x﹣3）（x+1）≥0}=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∴C U B=（﹣1，3），∴（C U B）∩A=（0，3），故选：D24.A【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义结合直线的斜率公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，的几何意义是区域内的点到定点（3，4）的斜率由图象知z大于等于PA的斜率，z小于等于PB的斜率，∵A（2，1），B（4，0），∴=≥3；则=≤﹣4，即，（﹣∞，﹣4]∪[3，+∞）．故选：A．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的几何意义以及数形结合是解决本题的关键．25.A【考点】1E：交集及其运算．【专题】37 ：集合思想；4O：定义法；5J ：集合．【分析】化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|x2﹣4x＜0}={x|0＜x＜4}，B={x|log2x＞1}={x|x＞2}，则A∩B={x|2＜x＜4}=（2，4）．故选：A．26.B【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由z=x2+y2的几何意义，即可行域内的点与原点距离的平方求得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由z=x2+y2的几何意义，即可行域内的点与原点距离的平方，可得z=x 2+y 2的最小值是．故选：B ．27.D画出满足条件的平面区域，如图示：，由z =2x +y 得，y =－2x +z ，显然将直线y =－2x +z 平移到C 处时，z 的值最大，由⎩⎨⎧==3x x y 得：C (3，3)，∴z 最大值=2×3+3=9，故选D.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.28.B【考点】简单线性规划的应用．【分析】确定不等式对应的可行域，分析满足条件的图形的形状，结合三角形面积的求法，即可求实数t 的值．【解答】解：由已知易得满足约束条件的可行域即为△ABC ，此时t＞0又∵S△ABC==4，∴t=2故选B．29.C【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A、B，求出A∩B即可．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}=[﹣1，3]，B={x|y=ln（2﹣x）}={x|2﹣x＞0}={x|x＜2}=（﹣∞，2）；∴A∩B=[﹣1，2）．故选：C．30.C【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，然后结合x2+y2的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求得x2+y2的最大值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，∵A（0，﹣3），C（0，2），∴|OA|＞|OC|，联立，解得B（3，﹣1）．∵，∴x2+y2的最大值是10．故选：C．31.B【考点】1D：并集及其运算．【分析】先求出集合M，N，再根据并集的定义求出即可．【解答】解：集合M={x|x2﹣4x＜0}=（0，4），N={x||x|≤2}=[﹣2.2]．∴M∪N=[﹣2，4），故选：B32.D【考点】6D：利用导数研究函数的极值；%H：三角形的面积公式．【分析】先根据三角形的面积和内切圆半径也为l，得到a+b+c=2，则根据导数的和函数的最值的关系即可求出最值．【解答】解：∵△ABC的面积为l，内切圆半径也为l，△ABC的三边长分别为a，b，c，∴（a+b+c）×1=1，即a+b+c=2，即a+b=2﹣c，∴0＜c＜2∴=+=+﹣1，设f（x）=+﹣1，0＜x＜2，∴f′（x）=﹣=，令f′（x）=0，解得x=﹣2+2，当x∈（0，﹣2+2）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（﹣2+2，2）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴f（x）min=f（﹣2+2）=2+2，故的最小值为2+2，故选：D．33.A【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：变量x，y满足约束条件，对应的平面区域如图：∴x≥0，y≤2，∴z=3|x|+|y﹣2|=3x﹣y+2，由z=3x﹣y+2得y=3x﹣z+2，平移直线y=3x﹣z+2，由图象可知当直线y=3x﹣z+3经过点A时，直线y=3x﹣z+3的截距最大，此时z最小，由，解得A（0，1），此时z min=3×0﹣1+2=1，当直线y=3x﹣z+2经过点B（2，0）时，直线y=3x﹣z+2的截距最小，此时z最大，此时z max=3×2﹣0+2=8，故1≤z≤8，故选：A．34.B【考点】7F：基本不等式．【分析】实数x，y满足x2﹣xy+y2=1，可得1+≥1+xy=x2+y2≥，即可得出．【解答】解：∵实数x，y满足x2﹣xy+y2=1，∴1+≥1+xy=x2+y2≥，当且仅当x=y=时取等号（﹣舍去）．化为：（x+y）2≤4，则x+y的最大值为2．故选：B．35.C【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件写出可行域如图，化z=x+2y为y=，由图可知，当直线y=过A（2，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于z=2+2×0=2．故选：C．36.C【考点】1D：并集及其运算．【分析】求解一元二次不等式化简集合B，然后直接利用并集运算得答案．【解答】解：由x2﹣2x﹣3＞0，解得x＜﹣1或x＞3．∴B={x|x＜﹣1或x＞3}=（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）又集合A={x|﹣2≤x≤2}=[﹣2，2]，∴A∪B=（﹣∞，2]∪（3，+∞）故选：C37.B【考点】7C：简单线性规划．【分析】做出不等式组对应的可行域，由于直线y=k（x+2）过点P（﹣2，0），斜率为k 的直线l的斜率，由图结合两点求斜率公式求得PA、PB的斜率得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，直线y=k（x+2）过定点P（﹣2，0），实数k的值是直线l的斜率，A（﹣1，﹣1），B（）．∵k PA=﹣1，．∴实数k的取值范围是[﹣1，]．故选：B．38.C【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【分析】由x2﹣x＜0，可得A=（0，1）．由A∩B=A，可得A⊆B．即可得出．【解答】解：由x2﹣x＜0，解得0＜x＜1，可得A=（0，1）．∵A∩B=A，∴A⊆B．∴1≤a．∴实数a的取值范围是[1，+∞）．故选：C．39.A【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=2ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=y+ax得y=﹣ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若﹣a＞0，即a＜0，目标函数y=﹣ax+z的斜率k=﹣a＞0，要使z=y+ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=﹣ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=﹣2，若﹣a＜0，即a＞0，目标函数y=﹣ax+z的斜率k=﹣a＜0，要使z=y+ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=﹣ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时﹣a=﹣1，解得a=1，综上a=1或a=﹣2，故选：A．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论．40.D【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合B中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出B，求出A与B的并集，找出全集中不属于并集的元素，即可求出所求．【解答】解：集合B中的不等式x2﹣5x+4＜0，变形得：（x﹣1）（x﹣4）＜0，解得：1＜x＜4，∴B={2，3}，∵A={1，2}，∴A∪B={1，2，3}，∵集合U={0，1，2，3，4，5}，∴∁∪（A∪B）={0，4，5}．故选D．41.B【考点】几何概型．【分析】根据条件求出函数有零点的取值范围，利用几何概型的概率公式，求出相应的面积即可得到结论．【解答】解：若函数f（x）在R上有零点，则满足判别式△=4b﹣4a2≥0，即b＞a2区域的面积S==18，由，解得x=2，y=4，即（2，4），则函数f（x）在R上有零点，区域的面积S===，∴根据几何概型的概率公式可知函数f（x）在R上有零点的概率为，故选：B．42.D【考点】并集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3≥0}={x|x≤1或x≥3}，B={x|2x﹣3≤0}={x|x≤}，∴A∪B={x|x或x≥3}=（﹣∞，]∪[3，+∞）．故选：D．43.B【考点】交集及其运算．【分析】化简集合B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|0＜x＜3}，B={x|（x+2）（x﹣1）＞0}={x|x＜﹣2或x＞1}，所以A∩B={x|1＜x＜3}=（1，3）．故选：B．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．44.A【考点】简单线性规划的应用；简单线性规划．【分析】设本季度生产A家电x台、B家电y台，则生产家电C：120﹣x﹣y台，总产值为z千元，由题意列出关于x，y的不等式组，再求出线性目标函数z=20x+30y+40（120﹣x﹣y）=4800﹣20x﹣10，由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：设本季度生产A家电x台、B家电y台，则生产家电C：120﹣x﹣y台，总产值为z千元，家电名称 A B C工时 3 4 6产值（千元）20 30 40则依题意得z=20x+30y+40（120﹣x﹣y）=4800﹣20x﹣10y，由题意得x，y满足，即，画出可行域如图所示．解方程组，得，即a（80，0）．做出直线l0：2x+y=0，平移l0过点A（80，0）时，目标函数有最大值，z max=4800﹣20×80﹣10×0=3600（千元）．答：本季度生产A：80台，B：0台，C：40台，才能使产值最高，最高产值是3600千元．故选：A．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了简单的数学建模思想方法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．45.C【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（1，2），此时z=1×2+2=4，故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的计算，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．46.A【分析】画出约束条件的可行域，利用已知条件，转化求解距离的最小值即可．【解答】解：点M的坐标（x，y）满足不等式组的可行域如图，N为直线y=﹣2x+3上任一点，则|MN|的最小值，就是两条平行线y=﹣2x+3与2x+y﹣4=0之间的距离：d==．故选：A【点评】本题考查线性规划的应用，平行线之间的距离的求法，考查转化思想以及计算能力．47.C【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，然后结合x2+y2的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求得x2+y2的最大值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，∵A（0，﹣3），C（0，2），∴|OA|＞|OC|，联立，解得B（3，﹣1）．∵，∴x2+y2的最大值是10．故选：C．48.C【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】将（1，1）代入直线得： +=1，从而a+b=（+）（a+b），利用基本不等式求出即可．【解答】解：∵直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），∴+=1（a＞0，b＞0），所以a+b=（+）（a+b）=2++≥2+2=4，当且仅当=即a=b=2时取等号，∴a+b最小值是4，故选：C．49.C【考点】简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=2x﹣y对应的直线进行平移，可得当x=2，y=﹣1时，z取得最大值5．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，﹣1），B（2，﹣1），C（0.5，0.5）设z=F（x，y）=2x﹣y，将直线l：z=2x﹣y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（2，﹣1）=5故选：C【点评】题给出二元一次不等式组，求目标函数z=2x﹣y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．50.C【考点】简单线性规划．【分析】画出不等式组对应的平面区域，利用圆C与x轴相切，得到b=1为定值，此时利用数形结合确定a的取值即可得到结果．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：圆心为（a，b），半径为1．∵圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，∴b=1，则a2+b2=a2+1，∴要使a2+b2的取得最大值，则只需a最大即可，由图象可知当圆心C位于B点时，a取值最大，由，解得，即B（6，1），∴当a=6，b=1时，a2+b2=36+1=37，即最大值为37，。