高考文科数学基本不等式
(23)2022年高考真题——文科数学(全国乙卷) 答案(1)
所以 ；
【小问2详解】
，则 ，
当 时， ，所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
所以 ，此时函数无零点，不合题意；
当 时， ，在 上， ， 单调递增；
在 上， ， 单调递减；
又 ，当x趋近正无穷大时， 趋近于正无穷大，
所以 仅在 有唯一零点，符合题意；
当 时， ，所以 单调递增，又 ，
【分析】根据古典概型计算即可
【详解】从5名同学中随机选3名的方法数为
甲、乙都入选的方法数为 ，所以甲、乙都入选的概率
故答案为：
15.过四点 中的三点的一个圆的方程为____________．
【答案】 或 或 或 ；
【解析】
【分析】设圆的方程为 ，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【详解】解：依题意设圆的方程为 ，
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 ．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数 ．
【答案】（1） ；
（2）
在区间 上 ，即 单调递减，
又 ， ， ，
所以 在区间 上的最小值为 ，最大值为 .
故选：D
12.已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先证明当四棱锥 顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为 ，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.
文科数学学霸笔记26 基本不等式
3. 检 验 等 号 是 否 成 立 ， 完 成 后 续 问 题 .
例 3 ： 已 知 等 差 数 列 {an} 中 ， a3 ＝ 7 ， a9 ＝ 19 ， Sn 为 数 列 {an}
考 点 26 基 本 不 等 式 一、基本不等式
1. 基 本 不 等 式 ：
ab
a＋b ≤
2
(1) 基 本 不 等 式 成 立 的 条 件 ： a ≥ 0 ， b ≥ 0. (2) 等 号 成 立 的 条 件 ： 当 且 仅 当 a ＝ b 时 取 等 号 .
a＋b (3) 其 中
称为正数 a ， b 的算术平均数，
ab
称为正数
2
a ， b 的几何平均数 . 2. 两 个 重 要 的 不 等 式 (1)a2 ＋ b2 ≥ 2ab(a ， b ∈ R) ， 当 且 仅 当 a ＝ b 时 取 等 号 .
a＋b 2
(2)ab ≤ 2
(a ， b ∈ R) ， 当 且 仅 当 a ＝ b 时 取 等 号 .
3. 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 已知 x ≥ 0 ， y ≥ 0 ，则 (1) 如 果 积 xy 是 定 值 p ， 那 么 当 且 仅 当 x ＝ y 时 ， x ＋ y 有 最 小 值 是 2 p ( 简 记 ： 积 定 和 最 小 ). (2) 如 果 和 x ＋ y 是 定 值 s ， 那 么 当 且 仅 当 x ＝ y 时 ， xy 有
使积式中的各项之和为定值 . （ 3 ）若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用 基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致 . 注： 若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单 调性求解 .
例 1 ： 设 0<x< 3 ， 则 函 数 y ＝ 4x(3 － 2x) 的 最 大 值 为 ________. 2
2020届高三文理科数学一轮复习《基本不等式》专题汇编(学生版)
《基本不等式》专题一、相关知识点1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)； (2)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)．(3)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号且不为零)； (4)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(5)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)．2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R)．(6)a 2＋b 22≥(a ＋b )24≥ab (a ，b ∈R)．(7)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0)． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)5．重要不等式链 若a ≥b ＞0，则a ≥a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b≥b . 题型一 基本不等式的判断1．若a ，b ∈R ，则下列恒成立的不等式是( )A.|a ＋b |2≥|ab | B ．b a ＋ab ≥2 C.a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 D ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2abC ．1a ＋1b >2abD ．b a ＋ab ≥23．下列命题中正确的是( )A ．函数y ＝x ＋1x 的最小值为2 B ．函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值为2C ．函数y ＝2－3x －4x (x ＞0)的最小值为2－4 3D ．函数y ＝2－3x －4x(x ＞0)的最大值为2－4 34．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，则( )A ．R <P <QB ．Q <P <RC ．P <Q <RD ．P <R <Q题型二 利用基本不等式求最值类型一 直接法或配凑法利用基本不等式求最值1．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________．2．已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝4，则1ab 的最小值为3．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为4．已知x <0，则函数y ＝4x ＋x 的最大值是5．函数f (x )＝xx ＋1的最大值为6．若x ＞1，则x ＋4x －1的最小值为________．7．设0<x <2，则函数y ＝x (4－2x )的最大值为________．8．若x ，y 均为正数，则3x y ＋12yx ＋13的最小值是9．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________．10．已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．11．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为12．已知x ，y 为正实数，则4x x ＋3y ＋3yx的最小值为13．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.14．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是15．已知x ，y 都为正实数，且x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，则x ＋y 的最大值是16．已知a >b >0，则2a ＋4a ＋b ＋1a －b的最小值为17．已知正数a ，b 满足2a 2＋b 2＝3，则a b 2＋1的最大值为________．类型二 常数代换法利用基本不等式求最值1．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为________．2．已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b 的最小值为________．3．已知正实数x ，y 满足2x ＋y ＝2，则2x ＋1y 的最小值为________．4．已知正项等比数列{a n }的公比为2，若a m a n ＝4a 22，则2m ＋12n 的最小值为5．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y 的最小值是6．已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为7．若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________．8．已知a >0，b >0，函数f (x )＝a log 2x ＋b 的图像经过点⎝⎛⎭⎫4，12，则1a ＋2b 的最小值为________．9．已知函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋1n 的最小值为10．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是11．已知直线l ：ax ＋by －ab ＝0(a >0，b >0)经过点(2,3)，则a ＋b 的最小值为________．12．已知x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2＝16，则x ＋y 的最小值为13．若a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，则4a ＋1＋1b ＋c 的最小值是14．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝3，则y x ＋1y 的最小值为________．15．设a >0，b >1，若a ＋b ＝2，则3a ＋1b －1的最小值为________．16．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求：(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．类型三 通过消元法利用基本(均值)不等式求最值1．若正实数m ，n 满足2m ＋n ＋6＝mn ，则mn 的最小值是________．2．已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋y ＝4，则x ＋y 的最小值为________．3.设x ，y 均为正数，且xy ＋x －y －10＝0，则x ＋y 的最小值是________.4．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________．类型四：利用基本不等式求参数值或取值范围1．若对于任意的x ＞0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为2．已知函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．3．若对x >0，y >0，x ＋2y ＝1，有2x ＋1y ≥m 恒成立，则m 的最大值是________．4．已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b恒成立，则m 的最大值为5．正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是________．6．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为7．已知函数f (x )＝3x 2＋ax ＋26x ＋1，若存在x ∈N ＋使得f (x )≤2成立，则实数a 的取值范围为___题型三 基本不等式的综合问题类型一 基本不等式的实际应用问题1．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元2．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝__________吨．3．某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2)． (1)求S 关于x 的函数关系式；(2)求S 的最大值．类型二 基本不等式与函数的交汇问题1．已知A ，B 是函数y ＝2x 的图象上不同的两点，若点A ，B 到直线y ＝12的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－2)C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－4)类型三 基本不等式与数列的交汇问题1．已知a >0，b >0，并且1a ，12，1b 成等差数列，则a ＋9b 的最小值为2．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 8－2S 4＝5，则a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为3．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n (n ∈N ＋)，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n 的最小值是______.类型四 基本不等式与解析几何的交汇问题1． 已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是2．当双曲线M ：x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率最小时，M 的渐近线方程为3．两圆x 2＋y 2－2my ＋m 2－1＝0和x 2＋y 2－4nx ＋4n 2－9＝0恰有一条公切线，若m ∈R ，n4m2＋1n2的最小值为∈R，且mn≠0，则。
2016版《一点一练》高考数学(文科)专题演练：第六章 不等式(含两年高考一年模拟)
14．(2015·厦门市质检)点P(x，y)在直线y＝kx＋2上，记T＝|x|＋|y|，若使T取得最小值的点P有无数个，则实数k的取值是________．
15．(2015·赤峰市测试)已知O(x，y)为区域内的任意一点，当该区域面积为4时，z＝2x－y的最大值为________．
16．(2015·吉林市高三摸底)已知正项等比数列{an}的公比q＝2，若存在两项am，an，使得＝4a1，则＋的最小值为________．
考点20二元一次不等式(组)与简单的线性规划
两年高考真题演练
1．(2015·天津)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋y的最大值为()
A．7B．8C．9D．14
6．(2015·贵州七校一联)一个平行四边形的三个顶点的坐标为(－1，2)，(3，4)，(4，－2)，点(x，y)在这个平行四边形的内部或边上，则z＝2x－5y的最大值是()
A．16B．18C．20D．36
7．(2015·云南师大附中适应性考试)设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为4，则a＋b的值为()
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8
A.12万元B．16万元
C．17万元D．18万元
5．(2015·四川)设实数x，y满足则xy的最大值为()
A.B.C．12D．14
6．(2015·重庆)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为()
A．－3B．1C.D．3
7．(2015·福建)变量x，y满足约束条件若z＝2x－y的最大值为2，则实数m等于()
高考数学复习备战：最新真题解析—不等式选讲
（3）算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广):对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即 ，当且仅当a1=a2=…=an时，等号成立.
（2）法一：利用基本不等式得到 ，再利用不等式的基本性质证明；法二：利用Cauchy不等式证明.
(1)∵ ， ， 都为正整数，且 ．
∴ ，
当且仅当 时“=”成立．
(2)法一：由题意得
①+②+③，得 ，
当且仅当 时“=”成立．
法二：由Cauchy不等式，得 ．
令 ，
则 ．
令 ，则 在 上单调递增．
∴ ，即 ．
(1)当 时， 等价于 ，
该不等式恒成立，所以 ；
当 时， 等价于 ，
解得 ，此时不等式无解；
当 时， 等价于 ，解得 ，所以 ．
综上所述，不等式的解为 ．
(2)由 ，得 ，
当 时， 恒成立，所以 ；
当 时， 恒成立，
因为 ，
当且仅当 时取等号，所以 ．综上所述， 的取值范围是 ．
2．（2022·青海·模拟预测（理））已知函数 ．
当 时， ，解得 ，
故不等式 的解集为 或 ；
(2)由（1）可知：
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
故 的最小值为3，即 ，则 ，即
则 ，
当且仅当 时取等号，
故 的最小值为 .
3．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知函数 .
(1)求不等式 的解集；
(2)设 时， 的最小值为M.若正实数a，b，满足 ，求 的最小值.
2015届高考二轮数学文科金版学案专题复习课件4.2线性规划、基本不等式与不等式的证明
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2
4b 3a a · b ＝7＋4 3，
4b 3a 当且仅当 a ＝ b 时，等号成立．故选 D.
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高考 热点 突破
突破点1
不等式正、误的辨别与大小比较问题
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主干 考点 梳理
考点1
线性规划问题
1．设出变量 x，y，列出变量x ， y函数值为0的直线l.
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3．利用直线l确定最优解对应的点，从而求
出最优解．
主干 考点 梳理
考点2
基本不等式的应用问题
ab.
a＋b 1．基本不等式： ≥ 2
B )
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主干 考点 梳理
解析： 画出不等式表示的平面区域，如图， 由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，画出y＝
－x的图象，当它的平行线经过A(2，0)时，z 取得最小值，最小值为z＝2，无最大值．故 选B.
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主干 考点 梳理
2 2 2 ． 2．若 x＞0，则 x＋x的最小值为________
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主干 考点 梳理
x＋2y≤8， 解析： 作出不等式组 0≤x≤4， 所表示的可行域 0≤y≤3， 如下图所示．
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主干 考点 梳理
直线x＝4交直线x＋2y＝8于点A(4，2)，作
直线l：z＝2x＋y，则z为直线l在y轴上的截 距，当直线经过可行域上的点A时，直线l 在y轴上的截距最大，此时z取最大值，即 zmax＝2×4＋2＝10.故选C.
解析：
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2 2 ∵x＞0⇒x＋ ≥2 2，当且仅当 x＝ ⇒x＝ 2时取等号． x x
不等式性质与基本不等式(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(全国通用)(学生版)
考向22 不等式性质与基本不等式1.（2022年甲卷理科第12题）12．已知3132a =，1cos 4b =，14sin 4c =，则 A ．c b a >> B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】A【解析】构造函数21()1cos 2h x x x =--，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()sin g x h x x x '==-+，()1cos 0g x x '=-+所以()(0)0g x g =，因此，()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，所以1()(0)04h a b h =-<=，即a b <． 另一方面，114sintan 4411cos 44c b ==，显然0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan x x >， 所以114sintan 44111cos 44c b ==>，即b c <．因此c b a >>． 2.（2022年甲卷文科第12题）12．已知910m =，1011m a =-，89m b =-，则 ( )A ．0a b >>B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a >> 【答案】A【解析】由910m =，可得9log 10(11.5)m =∈ ,．根据a ，b 的形式构造函数()1m f x x x =-- (1x >)， 则1()1m f x mx -'=-，令()0f x '=，解得110mx m -=，由9log 10(11.5)m =∈ ,知0(0)x ∈ 1,． ()f x 在(1) +∞,上单调递增，所以(10)(8)f f >，即a b >，又因为9log 10(9)9100f =-=，所以0a b >>，答案选A ．3．（2022年新高考1卷第7题）设0.10.1e =a ，19b =，ln0.9c =-，则A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【答案】C【解析】令e =x a x ，1xb x=-，ln(1)c x =--， ① ln ln ln [ln ln(1)]-=+---a b x x x x ， ln(1),(0.0.1]y x x x =+-∈；1'1011x y x x-=-=<--， 所以0y ，所以ln ln 0-a b ，所以b a > ②e ln(1),(0,0.1]-=+-∈x a c x x x ，1(1)(1)e 1'e e 11+--=+-=--x xxx x y x x x， 令()(1)(1)1x k x x x e =+--，所以2'()(12)e 0=-->x k x x x ， 所以()(0)0k x k >>，所以'0y >，所以0a c ->，所以a c >．4．（2022年新高考2卷第12题）对任意22,,1x y x y xy +-=，则A ．1x y +≤B ．2x y +≥-C ．222x y +≤ D ．221x y +≥【答案】BC【解析】由221x y xy +-=得2212y x y ⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭令cos sin cos 23sin ??23y x x y y θθθθθ⎧⎧-==+⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎪==⎪⎪⎩⎩故[]cos 2sin 2,26x y πθθθ⎛⎫+=+=+∈- ⎪⎝⎭，故A 错，B 对；2222cos sin 33x y θθθ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()14242 2cos 2sin 2,2,333333θθθϕ⎡⎤=-+=-+∈⎢⎥⎣⎦(其中tan 3ϕ=)， 故C 对，D 错.5. （2022年北京卷第11题）函数1()f x x =+_________．【答案】()(],00,1-∞⋃ 【解析】因为()1f x x =100x x -≥⎧⎨≠⎩，解得1x ≤且0x ≠， 故函数的定义域为()(],00,1-∞⋃；故答案为：()(],00,1-∞⋃6.（2022年乙卷理科第14题）已知1x x =和2x x =分别是函数)10(2)(2≠>-=a a ex a x f x 且的极小值点和极大值点，若21x x <，则a 的取值范围是___________ 【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0【解析】()()ex a a x f x-=ln 2'至少要有两个零点1x x =和2x x =，我们对其求导，()()e a a x f x 2ln 22''-=，（1）若1>a ，则()x f''在R 上单调递增，此时若()00''=x f ，则()x f '在()0,x ∞-上单调递减，在()+∞,0x 上单调递增，此时若有1x x =和2x x =分别是函数)10(2)(2≠>-=a a ex a x f x 且的极小值点和极大值点，则21x x >，不符合题意。
高考数学最新真题专题解析—等式与不等式
高考数学最新真题专题解析—等式与不等式考向一 基本不等式的应用【母题来源】2022年新高考全国II 卷【母题题文】若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（ ）A. 1x y +≤B. 2x y +≥-C. 222x y +≤D. 221x y +≥ 【答案】BC【试题解析】因为22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤⎪⎝⎭（,a b R ），由221+-=x y xy 可变形为，()221332x y x y xy +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，解得22x y -≤+≤，当且仅当1x y ==-时，2x y +=-，当且仅当1x y ==时，2x y +=，所以A 错误，B 正确；由221+-=x y xy 可变形为()222212x y x y xy ++-=≤，解得222x y +≤，当且仅当1x y ==±时取等号，所以C 正确；因为221+-=x y xy 变形可得223124y x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，设3cos sin 2y x y θθ-==，所以cos ,33x y θθθ=+=，因此2222511cos sin cos 12cos 233333x y θθθθ=θ-θ+=+++42π2sin 2,23363θ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当3333x y ==-时满足等式，但是221x y +≥不成立，所以D 错误．故选：BC ．【命题意图】本题考查基本不等式及其应用，属于中高档题目．【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度有易有难，是历年高考的热点，考查学生的基本运算能力．常见的命题角度有：（1）利用不等式比较大小；（2）利用不等式求最值；（3）基本不等式成立的条件 【得分要点】（1）对原不等式进行化简、变形；（2）符合基本不等式的条件“一正、二定、三相等”，用基本不等式求解； （3）判断等号成立的条件； （4）利用“1”的合理变换是解题.考向二 线性规划【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）【母题题文】若x ，y 满足约束条件2,24,0,x y x y y +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最大值是（ ）A. 2-B. 4C. 8D. 12【答案】C【试题解析】由题意作出可行域，如图阴影部分所示， 转化目标函数2z x y =-为2y x z =-，上下平移直线2y x z =-，可得当直线过点()4,0时，直线截距最小，z 最大，所以max 2408z =⨯-=.故选：C.【命题意图】本题考查线性规划及其应用，属于比较容易题目．【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度较小，是历年高考的热点，考查学生的基本作图能力和运算能力． 常见的命题角度有：（1）线性规划求最值；（2）利用线性规划求参数的值；【得分要点】1.正确画出可行域；2.确定目标函数平移的方向决定取得最大值或最小值。
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且仅当m＝2＋1 2，n＝ 21＋1时等号成立，所以m1 ＋n1 的最小
值为3＋2 2，故选C.
答案：C
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2. [考法二·考向二] 已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m
＝b＋1a，n＝a＋1b，则m＋n的最小值是
()
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：由题意知ab＝1，∴m＝b＋1a＝2b，n＝a＋1b＝2a，
1 4
，解得x1＋x2<－2(因为x1≠x2，等号取不
到)，故选B.
[答案] B
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考向二 基本不等式与数列的交汇问题
[例3]
(2019·济宁期末)已知a>0，b>0，并且
1 a
，
1 2
，
1 b
成
等差数列，则a＋9b的最小值为
()
A．16
B．9
C．5
D．4
[解析] ∵1a，12，1b成等差数列，∴1a＋1b＝1，∴a＋9b＝
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() () () ()
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二、填空题
1．当x>0时，函数f(x)＝x22＋x 1的最大值为________． 答案：1
2．已知a，b∈(0，＋∞)，若ab＝1，则a＋b的最小值为 ________；若a＋b＝1，则ab的最大值为________．
解析：由基本不等式得a＋b≥2 ab ＝2，当且仅当a＝b＝
(2)∵x>2，m>0，∴y＝x－2＋
m x－2
＋2≥2
x－2·x－m 2
＋2＝2 m ＋2，当且仅当x＝2＋ m 时取等号，又函数y＝x＋
x－m 2(x>2)的最小值为6，∴2 m＋2＝6，解得m＝4.
[答案] (1)B (2)4
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[方法技巧]
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数 是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以 及等式中常数的调整，做到等价变形； (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
解析：因为a>0，b>0，
1 a
＋
9 b
＝1.所以a＋b＝(a＋b)·1a＋9b
＝
10＋
b a
＋
9a b
≥10＋2
9 ＝16.由题意．得16≥－x2＋4x＋18－
m，即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，又x2－4x－2＝
(x－2)2－6的最小值为－6，所以－6≥－m，即m≥6.
答案：[6，＋∞)
∴2x＋1y的最小值为8，又2x＋1y≥m恒成立，∴m≤8，即m的最
大值为8.
[答案] (1)C (2)8
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[方法技巧]
通过常数代换法利用基本不等式求最值的步骤 常数代换法适用于求解条件最值问题．通过此种方法利 用基本不等式求最值的基本步骤为： (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进 而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值．
∴m＋n＝2(a＋b)≥4 ab＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号．
答案：B
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3. [考法二·考向三] 两圆x2＋y2－2my＋m2－1＝0和x2＋y2－
4nx＋4n2－9＝0恰有一条公切线，若m∈R，n∈R，且
mn≠0，则m42＋n12的最小值为
()
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由题意可知两圆内切，x2＋y2－2my＋m2－1＝0化为
(a＋9b)1a＋1b＝10＋ab＋9ab≥10＋2 ab·9ab＝16，当且仅当ab＝
9ab且1a＋1b＝1，即a＝4，b＝43时等号成立，故选A. [答案] A
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考向三 基本不等式与解析几何的交汇问题
[例4]
(2019·邢台月考)当双曲线M：
x2 m
－
y2 m2＋4
＝1的离
心率最小时，M的渐近线方程为
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突破点二 基本不等式的综合问题
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关于基本不等式的考题，涉及的知识点较多，常融合于 函数、数列、立体几何、解析几何及实际问题中，此类问题 一般难度较大，需要较强的分析问题、解决问题的能力．
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[全析考法]
考法一 基本不等式的实际应用问题 [例1] 如图，一个铝合金窗分为上、
下两栏，四周框架和中间隔挡的材料为铝 合金，宽均为6 cm，上栏与下栏的框内高 度(不含铝合金部分)的比为1∶2，此铝合 金窗占用的墙面面积为28 800 cm2，设该 铝合金窗的宽和高分别为a cm，b cm，铝合金窗的透光部分 的面积为S cm2.
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2．几个重要的不等式
1a2＋b2≥_2_a_b__，a，b∈R；
2ba＋ab≥2，ab>0； 3ab≤a＋2 b2，a，b∈R； 4a2＋2 b2≥a＋2 b2，a，b∈R
当且仅当a＝b时 等号成立.
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3．算术平均数与几何平均数
a＋b
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为___2___，几何平均
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[集训冲关]
1.[考法一]已知x<0，则函数y＝4x＋x的最大值是
()
A．－18
B．18
C．16
D．－4
解析：∵x<0，∴y＝－ －4x＋－x ≤－4，当且仅当x＝
－2时取等号．
答案：D
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2.
[考法二]
正数a，b满足
1 a
＋
9 b
＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋
18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是_______．
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[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，不妨设x1<x2.函数y＝ 2x为单调增函数，若点A，B到直线y＝12的距离相等，则
1 2
－y1＝y2－
1 2
，即y1＋y2＝1，即2x1＋2x2＝1.由基本不等式
得1＝2x1＋2x2≥2 2x1·2x2 ，当且仅当x1＝x2＝－1时取等
号，则2x1＋x2≤
基本不等式
[考纲要求] 1.了解基本不等式的证明过程． 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
Contents
1
突破点一 利用基本不等式求最值
2 突破点二 基本不等式的综合问题
3
课时跟踪检测
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突破点一 利用基本不等式求最值
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抓牢双基·自学回扣
[基本知识]
1．基本不等式： ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件： a>0，b>0 . (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号．
x2＋(y－m)2＝1，x2＋y2－4nx＋4n2－9＝0化为(x－2n)2＋y2
＝9，故 4n2＋m2＝3－1＝2，即4n2＋m2＝4，m42＋n12＝
()
A．y＝±2x
B．y＝±2 2x
C．y＝± 2x
D．y＝±12x
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[解析] 由题意得m>0，e＝ 1＋m2m＋4 ＝ 1＋m＋m4
≥
1＋2
4 m·m
＝
5
，当且仅当m＝
4 m
，即m＝2时等号
成立，所以双曲线的方程为
x2 2
－
y2 8
＝1，所以渐近线方程为y
＝±2x，故选A.
[答案] A
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[方法技巧]
b－18 3
＝(a－16)(b－18)＝ab－2(9a＋8b)＋288＝28
800－
2(9a＋8b)＋288＝29 088－2(9a＋8b)．
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(2)∵9a＋8b≥2 9a·8b＝2 9×8×28 800＝2 880，当且 仅当9a＝8b时等号成立，此时b＝98a，代入①式得a＝160，从 而b＝180，即当a＝160，b＝180时，S取得最大值．
数为__a_b_，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不
小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则： (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y有最
小值是_2__p_.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当 x＝y 时，xy有最 p2
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考法二 通过常数代换法利用基本不等式求最值
[例2] (1)(2019·青岛模拟)已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝
lg 2，则1x＋31y的最小值是
()
A．2
B．2 2
C．4
D．2 3
(2)(2019·齐齐哈尔八校联考)若对x>0，y>0，x＋2y＝1，
有2x＋1y≥m恒成立，则m的最大值是________．
∴铝合金窗的宽为160 cm，高为180 cm时，可使透光部 分的面积最大．
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[方法技巧]
利用基本不等式求解实际应用题的方法 (1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提 炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解． (2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不 在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变 量的范围用对应函数的单调性求解．
大值是__4__.(简记：和定积最大)
[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)函数y＝x＋1x的最小值是2. (2)函数f(x)＝cos x＋co4s x，x∈0，π2的最小值为4. (3)x>0，y>0是xy＋xy≥2的充要条件． (4)若a>0，则a3＋a12的最小值为2 a. 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×