文科数学学霸笔记26 基本不等式

3. 检 验 等 号 是 否 成 立 ， 完 成 后 续 问 题 .
例 3 ： 已 知 等 差 数 列 {an} 中 ， a3 ＝ 7 ， a9 ＝ 19 ， Sn 为 数 列 {an}
考 点 26 基 本 不 等 式 一、基本不等式
1. 基 本 不 等 式 ：
ab
a＋b ≤
2
(1) 基 本 不 等 式 成 立 的 条 件 ： a ≥ 0 ， b ≥ 0. (2) 等 号 成 立 的 条 件 ： 当 且 仅 当 a ＝ b 时 取 等 号 .
a＋b (3) 其 中
称为正数 a ， b 的算术平均数，
ab
称为正数
2
a ， b 的几何平均数 . 2. 两 个 重 要 的 不 等 式 (1)a2 ＋ b2 ≥ 2ab(a ， b ∈ R) ， 当 且 仅 当 a ＝ b 时 取 等 号 .
a＋b 2
(2)ab ≤ 2
(a ， b ∈ R) ， 当 且 仅 当 a ＝ b 时 取 等 号 .
3. 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 已知 x ≥ 0 ， y ≥ 0 ，则 (1) 如 果 积 xy 是 定 值 p ， 那 么 当 且 仅 当 x ＝ y 时 ， x ＋ y 有 最 小 值 是 2 p ( 简 记 ： 积 定 和 最 小 ). (2) 如 果 和 x ＋ y 是 定 值 s ， 那 么 当 且 仅 当 x ＝ y 时 ， xy 有
使积式中的各项之和为定值 . （ 3 ）若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用 基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致 . 注： 若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单 调性求解 .
例 1 ： 设 0<x< 3 ， 则 函 数 y ＝ 4x(3 － 2x) 的 最 大 值 为 ________. 2
2. 根 据 实 际 问 题 抽 象 出 函 数 的 解 析 式 后 ， 只 需 利 用 基 本 不
等式求得函数的最值 .
3. 在 求 函 数 的 最 值 时 ， 一 定 要 在 定 义 域 ( 使 实 际 问 题 有 意
义的自变量的取值范围 ) 内求解 .
四、基本不等式的综合应用
基本不等式的应用非常广泛，它可以和数学的其他知识交
（ 4 ）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到， 可利用函数的单调性求解 . 例 2 ： 运 货 卡 车 以 每 小 时 x 千 米 的 速 度 匀 速 行 驶 130 千 米 ， 按 交 通 法 规 限 制 50 ≤ x ≤ 100( 单 位 ： 千 米 / 时 ). 假 设 汽 油
x2 2＋ 的 价 格 是 每 升 2 元 ， 而 汽 车 每 小 时 耗 油 360 升 ， 司 机 的
当且仅当
＝
x
，
x
360
即 x ＝ 18 10 时 等 号 成 立 .
故 当 x ＝ 18 10 千 米 / 时 ， 这 次 行 车 的 总 费 用 最 低 ， 最 低
费 用 的 值 为 26 10 元 .
规律方法：
1. 设 变 量 时 一 般 要 把 求 最 大 值 或 最 小 值 的 变 量 定 义 为 函 数 .
二、利用基本不等式求最值 利用基本不等式求最值的常用技巧： （ 1 ）若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等 式． （ 2 ）若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对 式子进行恒等变形，如构造“ 1 ”的代换等．常见的变形 手段有拆、并、配 . ①拆——裂项拆项 对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分 离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对 整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件． ②并——分组并项 目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先 由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得 出最值． ③配——配式配系数 有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题 设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相 乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，
工 资 是 每 小 时 14 元 . (1) 求 这 次 行 车 总 费 用 y 关 于 x 的 表 达 式 ； (2) 当 x 为 何 值 时 ， 这 次 行 车 的 总 费 用 最 低 ， 并 求 出 最 低 费 用的值 .
解：Βιβλιοθήκη (1)设所用时间为
t
130 ＝
(h) ，
x
x2
y
130 ＝
×
2
×
2＋ 360
汇考查，解决这类问题的策略是：
1. 先 根 据 所 交 汇 的 知 识 进 行 变 形 ， 通 过 换 元 、 配 凑 、 巧 换
“ 1 ”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解，这是
难点 .
2. 要 有 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 的 意 识 ， 善 于 把 条 件 转 化 为
能利用基本不等式的形式 .
解 析 ： y ＝ 4x(3 － 2x) ＝ 2[2x(3 － 2x)]
2x＋（3－2x） 2
≤2
2
9 ＝，
2
当 且 仅 当 2x ＝
3
－ 2x ， 即
x
3 ＝
时，等号成立 .
4
3 ∵
3 0， ∈ 2，∴
函数
y
＝
4x(3
0＜x＜3
－ 2x)
2
9 的最大值为
.
4
2
9 答案：
2
三、基本不等式的实际应用 有关函数最值的实际问题的解题技巧： （ 1 ）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不 等式求得函数的最值． （ 2 ）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为 函数． （ 3 ）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值 范围．
x
＋
14
130 ×，
x
∈ [50 ，
100].
x
所以，这次行车总费用
y
关于
x
的表达式是
y
130×18
＝
＋
x
2×130 x ， x ∈ [50 ， 100] 360
(
或
y
2 340 ＝
13 ＋
x ， x ∈ [50 ， 100]).
x
18
(2)y
130×18 2×130
＝
＋
x
≥ 26
10
，
x
360
130×18 2×130
s2 最大值是
4
( 简 记 ： 和 定 积 最 大 ).
4 ．常用结论
b （1）
a ＋
≥ 2(a ， b 同 号 ) ， 当 且 仅 当 a ＝ b 时 取 等 号 .
ab
a＋b 2
（ 2 ） ab ≤ 2
a2＋b2
≤
.
2
2 （ 3 ）1 1
＋
≤
ab
≤ a＋b 2
≤
ab
a2＋b2 2
(a>0 ， b>0).