(完整版)选修4-5文科数学基本不等式练习题及答案
2016年04月15日基本不等式
一．选择题（共14小题）
1．（2016?济南模拟）已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的最小值为（）A．B．2C．4 D．4
2．（2016?乌鲁木齐模拟）已知x，y都是正数，且xy=1，则的最小值为（）A．6 B．5 C．4 D．3
3．（2016?合肥二模）若a，b都是正数，则的最小值为（）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．（2016?山东模拟）已知不等式2x+m+＞0对一切x∈（1，+∞）恒成立，则实数m
的取值范围是（）
A．m＞﹣10 B．m＜﹣10 C．m＞﹣8 D．m＜﹣8
5．（2016?宜宾模拟）下列关于不等式的结论中正确的是（）
A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2
C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＞
6．（2016?金山区一模）若m、n是任意实数，且m＞n，则（）
A．m2＞n2B．C．lg（m﹣n）＞0 D．
7．（2015?福建）若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2015?红河州一模）若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）
A．6 B．8 C．10 D．12
9．（2015?江西一模）已知不等式的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（）
A．B．8 C．9 D．12
10．（2015?浙江模拟）函数y=a x+1﹣3（a＞0，a≠1）过定点A，若点A在直线mx+ny=﹣2（m＞0，n＞0）上，则+的最小值为（）
A．3 B．2C．D．
11．（2015?南市区校级模拟）若m+n=1（mn＞0），则+的最小值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（2015?湖南模拟）已知x+3y=2，则3x+27y的最小值为（）
A．B．4 C． D．6
13．（2015?衡阳县校级模拟）若x＜0，则x+的最大值是（）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
14．（2015春?哈尔滨校级期中）已知a，b，c，是正实数，且a+b+c=1，则的最小
值为（）
A．3 B．6 C．9 D．12
二．填空题（共9小题）
15．（2016?吉林三模）已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为．16．（2016?青岛一模）若a＞0，b＞0，则的最小值是．17．（2016?抚顺一模）已知a＞0，b＞0，且a+b=2，则的最小值为．18．（2016?丰台区一模）已知x＞1，则函数的最小值为．19．（2016?河西区模拟）函数的最小值为．20．（2016春?临沂校级月考）设2＜x＜5，则函数的最大值
是．
21．（2015?陕西校级二模）函数f（x）=1+log a x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A
在直线mx+ny﹣2=0上，其中mn＞0，则的最小值为．22．（2015?湖北模拟）已知x＞1，则函数y=2x+的最小值为．23．（2015?浙江模拟）已知x+2y=4（x，y∈R+），则的最小值为．
三．解答题（共7小题）
24．（2015?开封模拟）已知a，b都是正实数，且a+b=1
（Ⅰ）求证：≥4；
（Ⅱ）求的最小值．
25．（2015春?长春校级期末）设a＞b，b＞0，且a+b=2．
（1）求a?b的最大值；
（2）求最小值．
26．（2015春?高安市校级期末）已知x＞0，y＞0，且=1，求：
（1）xy的最小值；
（2）x+y的最小值．
27．（2015春?天津期末）已知a＞0，b＞0，且a+b=2．
（1）求+的最小值及其取得最小值时a，b的值；
（2）求证：a2+b2≥2．
28．（2015秋?咸阳校级期中）设0＜x＜，求函数y=4x（3﹣2x）的最大值．29．（2015秋?九江校级期中）（1）已知x＞2，求的最小值；（2）已知，求y=3x（1﹣2x）的最大值．
30．（2015秋?衡阳校级期中）（1）解不等式：x2﹣3x﹣4≤0
（2）当x＞1时，求x+的最小值．
2016年04月15日基本不等式
参考答案
一．选择题（共14小题）
1．B；2．C；3．C；4．A；5．D；6．D；7．C；8．A；9．C；10．C；
11．D； 12．D； 13．B； 14．C；
二．填空题（共9小题）
15．9；16．2+3；17．+； 18．3；19．4；20．；21．2；22．5；
23．2；
三．解答题（共7小题）
24．；25．；26．；27．；28．；
29．；30．；
2019高考试题文科数学汇编：不等式
2019高考试题文科数学汇编：不等式 1.【2018高考山东文6】设变量,x y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +≥?? +≤??-≥-? 那么目标函数3z x y =-的取 值范围是 (A)3[,6]2- (B)3[,1]2-- (C)[1,6]- (D)3 [6,]2 - 【答案】A 2.【2018高考安徽文8】假设x ，y 满足约束条件 02323x x y x y ≥?? +≥??+≤? ，那么y x z -=的最 小值是 〔A 〕-3 〔B 〕0 〔C 〕 3 2 〔D 〕3 【答案】A 3.【2018高考新课标文5】正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，假设点〔x ，y 〕在△ABC 内部，那么z=－x+y 的取值范围是 〔A 〕(1－3，2) 〔B 〕(0，2) 〔C 〕(3－1，2) 〔D 〕(0，1+3) 【答案】A 4.【2018高考重庆文2】不等式 1 02 x x -<+ 的解集是为 〔A 〕(1,)+∞ 〔B 〕 (,2)-∞- 〔C 〕〔-2，1〕〔D 〕(,2)-∞-∪(1,)+∞ 【答案】C 5.【2018高考浙江文9】假设正数x ，y 满足x+3y=5xy ，那么3x+4y 的最小值是 A. 245 B. 285 C.5 D.6 【答案】C 6.【2018高考四川文8】假设变量,x y 满足约束条件3, 212,21200 x y x y x y x y -≥-??+≤?? +≤??≥?≥??，那么34z x y =+的最 大值是〔 〕 A 、12 B 、26 C 、28 D 、33 【答案】C 7.【2018高考天津文科2】设变量x,y 满足约束条件?? ? ??≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ,那么目标函数z=3x-2y 的最小值为
3.均值不等式(全国卷1)
第三节：均值不等式 1.★★若正数a b c ，，满足24288c bc ac ab ＋＋＋＝，则2a b c ＋＋的最小值为 A. 3 B.23C.2 D.2 2 答案：D 2. ★★(2014 河北唐山二模文)若实数a b c ，，满足2228a b c ＋＋＝，则a b c ＋ ＋的最大值为 A.9 B.23 C.3 2 D.2 答案：D 3. ★★(2014 河北衡水四调理)已知,,,ABC A B C ?∠∠∠中的对边分别为,,a b c ,若 1, 2 2a cosC c b =+=,则ABC ?的周长的取值范围是__________. 答案：](32， 4. ★ (2014 河北衡水三调理)已知,,a b c 为互不相等的正数，222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．b a c >> D ．a c b >> 答案：C 5.★★( 2014 河北衡水三调理)已知各项均为正数的等比数列满足, 若存在两项 的最小值为 （ ） A ． B ． C ． D ．9 答案：A 6. ★★(2014 河北衡水三调文)已知0,0,lg 2lg8lg 2x y x y >>+=，则113x y +的最小值是. 答案：4 7. ★★(2014 河北衡水四调文)函数2()2l n f x x x b x a =+-+(0,)b a R >∈在点{}n a 7652a a a =+,m n a a 114 4,a m n =+则3 2 539 4
(),()b f b 处的切线斜率的最小值 是（ ） A.2 1 答案：A 8. ★★(2014 河北冀州中学月考文)若正实数满足 恒成立，则 的最大值为. 答案：1 9. ★★★(2012 山西襄汾中学高考练兵理)设x 、y 满足约束条件，若目 标函数(00)z ax by a b =+>>其中，的最大值为3，则+的最小值为 A ．3 B ．1 C ．2 D ．4 答案：A 10. ★★★(2014 河南郑州2014第一次质量预测理)已知,a b 是两个互相垂直的单位向量，且1c a c b ?=?= ，则对任意的正实数t ，1||c ta b t ++ 的最小值是（ ） A ．2 B ．．4 D ．答案：B 11. ★★(2014 河南中原名校期中联考理)已知00x y ＞，＞，若222y x m m x y 8＋＞＋恒成立，则实数m 的取值范围是 A ．42m m ≥≤或－ B ．24m m ≥≤或－ C ．24m －＜＜ D ．42m －＜＜ 答案：D 12. ★(2013 河南许昌市期中理)若实数x y ，满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是 ． 答案： ,x y 2x y +=M ≥M 23023400x y x y y -+≥?? -+≤??≥? 1a 2 b
2020高考理科数学不等式问题的题型与方法
专题三：高考数学不等式问题的题型与方法（理科） 一、考点回顾 1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰． 4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法6．知识网络
其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式，不做过高要求. 二、 经典例题剖析 1．有关不等式的性质 此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起 例1．（xx 年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1 x 1b D.x <1b －或x >1a 解析：－b <1x 1 a 答案：D 点评：注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.（xx 年北京卷）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ） Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 解析：正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2 ( )2 c d cd +≤，∴ c+d ≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2 答案：A 点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。 例3．(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 (A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 解析：若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，当x ≥0时，x ≥ax ，a ≤1，当x ＜0时，
选修4-5文科数学基本不等式练习题及答案
2016年04月15日基本不等式 一．选择题（共14小题） 1．（2016?济南模拟）已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的最小值为（）A．B．2 C．4 D．4 2．（2016?乌鲁木齐模拟）已知x，y都是正数，且xy=1，则的最小值为（）A．6 B．5 C．4 D．3 3．（2016?合肥二模）若a，b都是正数，则的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．10 4．（2016?山东模拟）已知不等式2x+m+＞0对一切x∈（1，+∞）恒成立，则实 数m的取值范围是（） A．m＞﹣10 B．m＜﹣10 C．m＞﹣8 D．m＜﹣8 5．（2016?宜宾模拟）下列关于不等式的结论中正确的是（） A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＞ 6．（2016?金山区一模）若m、n是任意实数，且m＞n，则（） A．m2＞n2B．C．lg（m﹣n）＞0 D． 7．（2015?福建）若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（2015?红河州一模）若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（） A．6 B．8 C．10 D．12 9．（2015?江西一模）已知不等式的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（） A． B．8 C．9 D．12 10．（2015?浙江模拟）函数y=a x+1﹣3（a＞0，a≠1）过定点A，若点A在直线mx+ny=﹣2（m＞0，n＞0）上，则+的最小值为（） A．3 B．2 C．D． 11．（2015?南市区校级模拟）若m+n=1（mn＞0），则+的最小值为（） A．1 B．2 C．3 D．4
高中数学竞赛均值不等式讲义
均值不等式 1.均值不等式 知识点1: 二元均值不等式可以推广到n 元，即： 设,,, 123 a a a a n 为n 个非负实数，则 12n a a a n ++ + ≥1 23 a a a a n === =）. 如何证明? 知识点2: 设,,, 123 a a a a n 为n 个非负实数 ,n Q , 12n n a a a A n ++ += , n G =, 12 111n n n H a a a = ++,则n n n n Q A G H ≥≥≥(等号成立当且仅当 123a a a a n ====) 更一般的平均值的定义: 设正数(1,2,3...)i a i n =,则α的幂平均值=1 1 ( )n i i a n α α =∑,特 别的,我们有: lim ()n f G αα→=，1 1 ()( )n i i a f n α α α==∑为关于α的增函数. 知识点3:重要结论 (1)2 22,,,.a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (2) ()2 ,,,3().a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (3) 2222,,,3()().a b c R a b c a b c ∈++≥++ (4) 2,,,()3().a b c R ab bc ca abc a b c ∈++≥++ (5) ,,,()()()()().a b c R a b b c a c abc a b c ab cb ac ∈++++=++++ (6) 222;2a a a b b a b b -≥-+≥(a,b,c>0) (7) 2222221 ()()3 a b b c c a a b c a b c ++≤++++(a,b,c>0) (8)正实数(1,2,3...)i a i n =,则 21 1 1 n n i i i i a n a ==?≥∑∑ (当且仅当12...n a a a ===); (9) 222222222222()()()()()a b b c c a ab bc ca a b c a bc b ca c ab ++++=++++ 知识点4:加权平均值不等式 已知 12+...1(0,1,2.,,,) n i w w w w i n +=>=，则对任意正实数 12112212........n w w w n n n w a w a w a a a a +++≥.
2017-18全国卷高考真题 数学 不等式选修专题
2017-2018全国卷I -Ⅲ高考真题 数学 不等式选修专题 1.(2017全国卷I,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集； （2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 【答案解析】 解：（1）当1a =时，()24f x x x =-++，是开口向下，对称轴12 x = 的二次函数． ()211121121x x g x x x x x >??=++-=-??-<-?，，≤x ≤，， 当(1,)x ∈+∞时，令242x x x -++= ，解得x =()g x 在()1+∞， 上单调递增，()f x 在()1+∞，上单调递减 ∴此时()()f x g x ≥ 解集为1? ?? ． 当[]11x ∈-， 时，()2g x =，()()12f x f -=≥． 当()1x ∈-∞-， 时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，且()()112g f -=-=． 综上所述，()()f x g x ≥ 解集1?-??? ． （2）依题意得：242x ax -++≥在[]11-， 恒成立． 即220x ax --≤在[]11-， 恒成立． 则只须()()2211201120 a a ?-?-??----??≤≤，解出：11a -≤≤． 故a 取值范围是[]11-， ．
2.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知0a >，222ba b +==2.证明： （1）()22()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤. 【答案解析】 3.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│. （1）求不等式f （x ）≥1的解集； （2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--??=--<
【高中数学】公式总结(均值不等式)
均值不等式归纳总结 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥ +2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则1 1122-2x x x x x x +≥+ ≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和 为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』
例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5 4 x <，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
高中数学《不等式》选修题型归纳
6.不等式选讲 6.1均值不等式在证明中的应用 1. （1）已知,,,a b R x y R + ∈∈，求证：()2 22x y x y a b a b ++≥+； （2）已知实数,x y 满足：2221x y +=，试利用（1）求 2221 x y +的最小值。 （1）证：()()2222222 222x y bx ay a b x y x y xy x y a b a b ??++=+++≥++=+? ??? ()2 22x y x y a b a b ++≥ +（当且仅当x y a b =时，取等号）； （2）解：()2 22222222212121922x y x y x y ++=+≥=+，当且仅当221 3x y ==时，2221x y +的最小值 是9。 考点：均值不等式在证明中的应用、综合法证明不等式 6.2绝对值不等式 6.2.1单绝对值不等式 2. 已知函数254,0 ()22,0 x x x f x x x ?++≤?=?->??若函数()y f x a x =-恰有4个零点，则实数a 的 取值范围为_______. 答案：(1,2)
解析：分别作出函数()y f x =与||y a x =的图像， 由图知，0a <时，函数()y f x =与||y a x =无交点， 0a =时，函数()y f x =与||y a x =有三个交点， 故0.a > 当0x >，2a ≥时，函数()y f x =与||y a x =有一个交点， 当0x >，02a <<时，函数()y f x =与||y a x =有两个交点， 当0x <时，若y ax =-与254,(41)y x x x =----<<-相切， 则由0?=得：1a =或9a =（舍）， 因此当0x <，1a >时，函数()y f x =与||y a x =有两个交点， 当0x <，1a =时，函数()y f x =与||y a x =有三个交点， 当0x <，01a <<时，函数()y f x =与||y a x =有四个交点， 所以当且仅当12a <<时，函数()y f x =与||y a x =恰有4个交点.
高中文科数学 不等式
第五讲、不等式 十三、 不等式 （一）不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。 （二）一元二次不等式 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、一元二次方程的联系。 3.会解一元二次不等式。 （三）二元一次不等式组与简单线性规划问题 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组。 2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。 3.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。 （四）基本不等式： ,0)2 a b a b +≥> 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。 不等式的概念与性质 1．实数的大小顺序与运算性质之间的关系： 0>-?>b a b a 0<-? ， a b b a >?< （反对称性） （2）c a c b b a >?>>, ，c a c b b a +?>，故b c a c b a ->?>+ （移项法则） 推论：d b c a d c b a +>+?>>, （同向不等式相加） （4）bc ac c b a >?>>0,，bc ac c b a 0, 推论1：bd ac d c b a >?>>>>0,0 推论2：n n b a b a >?>>0 推论3：n n b a b a > ? >>0 算术平均数与几何平均数 1．常用的基本不等式和重要的不等式 （1）0,0,2 ≥≥∈a a R a 当且仅当”取“==,0a （2）ab b a R b a 2,,22≥+∈则 （3）+ ∈R b a ,，则ab b a 2≥+ （4） 2 2 2)2 ( 2 b a b a +≤+
高中数学讲义 均值不等式
微专题45 利用均值不等式求最值 一、基础知识： 1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >=L （1）调和平均数：12111n n n H a a a = +++L （2）几何平均数：12n n n G a a a =L （3）代数平均数：12n n a a a A n +++= L （4）平方平均数：222 12n n a a a Q n +++=L 2、均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===L 特别的，当2n =时，22G A ≤?2 a b ab +≤ 即基本不等式 3、基本不等式的几个变形： （1）)2,0a b ab a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 （2）2 2a b ab +?? ≤ ??? ：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 （3）2 2 2a b ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈ 4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0,x >求 23y x x =+ 的最小值。此时若直接使用均值不等式，则2 324y x x x =+≥右侧依然含有x ，则无法找到最值。 ① 求和的式子→乘积为定值。例如：上式中2 4y x x =+ 为了乘积消掉x ，则要将3 x 拆为两个2x ，则2223 342222334y x x x x x x x x =+=++≥??=
高中数学选修4-5中的著名不等式
选修4-5中的著名不等式 内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹一中熊明军 新课程改革推出了知识模块，把高等数学中一些领域的知识进行了简化，下放到高中。选修4-5中给出了许多著名不等式的特例，下面对课本上的这些不等式及其一般形式做一下介绍。 绝对值的三角不等式（）： 定理：若为实数，则，当且仅当时，等号成立。 绝对值的三角不等式一般形式： ，简记为。 柯西不等式（） 定理：（向量形式）设为平面上的两个向量，则。 当及为非零向量时，等号成立及共线存在实数，使。 当或为零向量时，规定零向量与任何向量平行，即当时，上式依然成立。 定理：（代数形式）设均为实数，则，当且仅当时，等号成立。 柯西不等式的一般形式（） 定理：设为实数，则
，当且仅当时，等号成立（当某时，认为）。 闵可夫斯基不等式（） 定理：设均为实数，则，当且仅当存在非负实数（不同时为0），使时，等号成立。 闵可夫斯基不等式的一般形式： 定理：设是两组正数，，则 或，当且仅当时，等号成立。 排序不等式（） 定理：设为两组实数为 的任一排列，则有。 当且仅当或时，等号成立。 排序原理可简记作：反序和乱序和顺序和。 切比晓夫不等式（）：
定理：设为任意两组实数， ①如果或，则有 ②如果或，则有 ①②两式，当且仅当或时，等号成立。 平均值不等式（） 定理：设为个正数，则，当且仅当 时，等号成立。 当时，，当且仅当时，等号成立。 加权平均不等式（） 定理：设为正数，都是正有理数，并且，那么。 杨格不等式（）：
定理：设为有理数，满足条件（互称为共轭指标），为正数，则。 当时，，此时的杨格不等式就是熟知的基本不等式。 贝努利不等式（）： 定理：设，且，为大于1的自然数，则。 贝努利不等式的一般形式： （1）设，且同号，则； （2）设，则①当时，有；②当或时，有 ，①②当且仅当时等号，成立。
高一数学必修一均值不等式题型归纳
均值不等式题型归纳 一、拼凑求最值 1．函数y ＝x ·(3－2x ) (0≤x ≤1)的最大值为______________． 2．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4 有( ) A ．最大值54 B ．最小值54 C ．最大值1 D ．最小值1 3．当x >1时，不等式x ＋1x －1 ≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，3] 二、“1”的代换 1．若正数x 、y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A ．245 B ．285 C ．5 D ．6 三、实际应用 1．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓 储时间为x 8 天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A ．60件 B ．80件 C ．100件 D ．120件 2．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为__________元． 3．一批救灾物资随17列火车以v km/h 的速度匀速直达400km 以外的灾区，为了安全起见， 两列火车的间距不得小于(v 20 )2km ，则这批物资全部运送到灾区最少需__________h. 4．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求： (1)仓库面积S 的取值范围是多少？ (2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？
高中数学选修-不等式选讲p
(完整版)选修4-5文科数学基本不等式练习题及答案.doc
2016 年 04 月 15 日基本不等式 一．选择题（共 14 小题） 1．（ 2016?济南模拟）已知直线 ax+by=1 经过点（ 1， 2），则 2a +4 b 的最小值为（ ） A ． B ．2 C ． 4 D ． 4 2．（ 2016?乌鲁木齐模拟）已知 x ， y 都是正数，且 xy=1 ，则 的最小值为（ ） A ． 6 B ． 5 C ． 4 D ． 3 3．（ 2016?合肥二模）若 a ， b 都是正数，则 的最小值为（ ） A ． 7 B ． 8 C ． 9 D ． 10 4．（ 2016?山东模拟）已知不等式 2x+m+ ＞ 0 对一切 x ∈（1， +∞）恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ） A ． m ＞﹣ 10 B ．m ＜﹣ 10 C ． m ＞﹣ 8 D ．m ＜﹣ 8 5．（ 2016?宜宾模拟）下列关于不等式的结论中正确的是（ ） A ．若 a ＞ b ，则 ac 2＞bc 2 B ．若 a ＞b ，则 a 2＞ b 2 C ．若 a ＜b ＜ 0，则 a 2＜ ab ＜ b 2 D ．若 a ＜ b ＜0，则 ＞ 6．（ 2016?金山区一模）若 m 、 n 是任意实数，且 m ＞ n ，则（ ） A ． m 2＞ n 2 B ． C ． lg （ m ﹣ n ）＞ 0 D ． 7．（ 2015?福建）若直线 =1（ a ＞ 0， b ＞ 0）过点（ 1， 1），则 a+b 的最小值等于（ ） A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 5 2 2 8．（ 2015?红河州一模）若直线 mx+ny+2=0 （ m ＞ 的 0， n ＞ 0）截得圆（ x+3） +（ y+1 ） =1 弦长为 2，则 + 的最小值为（ ） A ． 6 B ． 8 C ． 10 D ． 12 9．（2015?江西一模）已知不等式 的解集为 {x|a ＜ x ＜b} ，点 A （ a ，b ）在直线 mx+ny+1=0 上，其中 mn ＞0，则 的最小值为（ ） A ． B ．8 C ． 9 D ． 12 10．（ 2015?浙江模拟）函数 y=a x+1 ﹣ 3（a ＞ 0， a ≠1）过定点 A ，若点 A 在直线 mx+ny= ﹣ 2 （m ＞ 0， n ＞ 0）上，则 + 的最小值为（ ） A ． 3 B ． 2 C ． D ． 11．（2015?南市区校级模拟）若 m+n=1 （ mn ＞ 0），则 + 的最小值为（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4
高中数学必修5 均值不等式
均值不等式复习（学案） 基础知识回顾 1．均值不等式：ab ≤ a ＋b 2 (1)均值不等式成立的条件：_______________. (2)等号成立的条件：当且仅当____________时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2 ＋b 2 ≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤? ????a ＋b 22(a ，b ∈R )． (4) a 2＋ b 22≥? ?? ??a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 注意：使用均值不等式求最值，前提是“一正、二定、三相等” 3．算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2 ，几何平均数为ab ，均值不等式可叙述为两个正数的 算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用均值不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1) 如果积xy 是定值p ，那么当且仅当________时，__________有最_____值是_____(简记：积定和 最小) (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当_____时，____有最______值是_______.(简记：和定积最大) 双基自测 1．函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2 ＋1x 2＋1≥1.其中正确的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( )． A.1a ＋1 b 有最大值4 B ．ab 有最小值1 4 C.a ＋b 有最大值 2 D ．a 2 ＋b 2 有最小值 22 4.若实数b a ,满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是( ) A ．18 B. 6 C. 32 D. 432 5.若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 . 6.若+ ∈R y x ,,且12=+y x ，则 y x 1 1+的最小值为 . 典型例题 类型一 利用均值不等式求最值 1．若函数f (x )＝x ＋1 x －2 (x ＞2)的最小值为____________. 2．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________．