高考文科数学一轮复习资料第七章基本不等式

第三讲基本不等式

1.[2020河南驻马店模拟]设0

A.a

2B.a<√ab

2

C.a<√ab

2D.√ab

2

2.[改编题]下列结论正确的个数为()

①函数y=x+1

x

的最小值是2;

②函数f (x)=cos x+4

cosx ,x∈(0,π

2

)的最小值为4;

③“x>0且y>0”是“x

y +y

x

≥2”的充要条件;

④若a>0,则a3+1

a2

的最小值为2√a;

⑤不等式a2+b2≥2ab与a+b

2

≥√ab有相同的成立条件.

A.0

B.1

C.2

D.3

3.[2019天津,13,5分][文]设x>0,y>0,x+2y=4,则(x+1)(2y+1)

xy

的最小值为.

4.[2017 江苏,10,5分]某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.

5.[2015山东,14,5分][文]定义运算“⊕”:x⊕y=x2- y2

xy

(x,y∈R,xy≠0).当x>0,y>0时,x⊕y+(2y)⊕x的最小值为.

考法1 用利基本不等式求最值

命题角度1利用拼凑法求最值

1[2019辽宁两校联考]已知a>b>0,则a+4

a+b +1

a - b

的最小值为

A.3√10

2

B.4

C.2√3

D.3√2

观察式子的结构特征→将a用后面两个式子的分母表示,凑出积为定值的形式→利用基本不等式求最值因为a=1

2

[(a+b)+(a - b)],

所以a +4a+b +1a - b =12(a +b )+4a+b +12(a - b )+1

a -

b . ........................................................ (变形凑成积为定值) 因为a >b >0,

所以a +b >0,a - b >0.

由基本不等式可得1

2(a +b )+4

a+b ≥2√1

2(a +b)×4

a+b =2√2 ①,当且仅当1

2(a +b )=4

a+b ,即a +b =2√2时,等号成立;

1

2

(a - b )+1a - b ≥2√12(a - b)×1

a -

b =√2 ②, 当且仅当1

2(a - b )=1

a -

b ,即a - b =√2时,等号成立.

由{a +b =2√2,a - b =√2,解得{a =3√2

2,b =√22. .......................................................................... (检验等号成立的条件)

所以当{a =3√2

2

,

b =√22时,①②中的等号同时成立.

故a +4

a+b +1a - b 的最小值为2√2+√2=3√2.

D

命题角度2 利用常数代换法求最值

2若直线2mx - ny - 2=0(m >0,n >0)过点(1, - 2),则1

m

+2

n

的最小值为

A.2 B .6 C .12 D .3+2√2

把点的坐标代入直线的方程得m 与n 的关系式→进行“1”的代换→利用基本不等式求最值

因为直线2mx - ny - 2=0(m >0,n >0)过点(1, - 2), 所以2m +2n - 2=0,即m +n =1, 所以1

m +2

n =(1

m +2

n )(m +n )=3+n

m +2m n

≥3+2√2, ........................................................... (运用“1”的代换求解)

当且仅当n

m =

2m n

,即n =√2m 时取等号,

所以1

m +2n 的最小值为3+2√2.

D

命题角度3 利用消元法求最值

3[2019辽宁五校联考]已知正实数a ,b 满足ab - b +1=0,则1

a +4

b 的最小值是 .

先将已知等式变形,可得a =

b - 1b

,然后对1a +4b =b

b - 1+4b 进行合理拼凑,再利用基本不等式

求出最值即可.

由ab - b +1=0可得a =b - 1b

,由a =

b - 1b

>0且b >0得b >1,

所以1

a +4

b =

b

b - 1

+4b =

1

b - 1

+4(b - 1)+5.

易知1b - 1+4(b - 1)≥4,所以1

a +4

b ≥9,当且仅当1

b - 1=4(b - 1),即b =3

2,a =1

3时等号成立,故1

a +4

b 的最小值是9.

1.(1)[2018天津,13,5分][文]已知a ,b ∈R ,且a - 3b +6=0,则2a +1

8b 的最小值

为 .

(2)[2017 山东,12,5分][文]若直线x

a +y

b =1(a >0,b >0)过点(1,2),则2a +b 的最小值为 .

考法2 利用基本不等式解决实际问题

4经调查测算,某产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满

足x =3 - k

m+1(k 为常数),若不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.已知2019年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品生产包括固定投入和再投入两部分资金). (1)将2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数; (2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?

题中信息 对接方法 年销售量、

年促销费用 由题中信息确定k 值,进而明确两者关系.

销售价格、成本 销售价格、成本用年销售量x 与年促销费用m 表示,构建关于m 的关系式. 利润最大 利用基本不等式求解.

(1)由题意可知,当m =0时,x =1,

∴1=3 - k ,解得k =2,即x =3 - 2

m+1,...................................................................................... (代值定参数) 每1万件产品的销售价格为1.5×8+16x x

(万元),

∴2019年的利润y =x (1.5×8+16x x

) - (8+16x +m ) ........................................... (建模,利润=总收入 - 总投入)

=4+8x - m =4+8(3 - 2

m+1) - m =28 - 16

m+1 - m (m ≥0).

∴y 与m 之间的函数关系式是y =28 - 16

m+1 - m (m ≥0). (2)由(1)知y = - [16

m+1+(m +1)]+29(m ≥0).

∵当m ≥0时,16

m+1+(m +1)≥2√16

m+1·(m +1)=8, ................................................ (利用基本不等式求最值) 当且仅当16

m+1=m +1,即m =3时取等号,∴y ≤ - 8+29=21,

即当m =3时,y 取得最大值,为21.

∴当该厂家2019年的促销费用投入3万元时,厂家获得的利润最大,为21万元.

2.[2019江苏南京三模]某工厂有100名工人接受了生产1 000台某产品的任务,

每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成,每名工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置.现将工人分成两组,分别加工甲型和乙型装置,设加工甲型装置的工人有x 名,他们加工完甲型装置所需时间为t 1时,其余工人加工完乙型装置所需时间为t 2时,设f (x )=t 1+t 2.

(1)求f (x )的解析式,并写出其定义域; (2)当x 等于多少时, f (x )取得最小值?

易错 连续运用基本不等式求最值时忽略等号的验证而出错

5[2017天津,13,5分][文]若a ,b ∈R ,ab >0,则a 4+4b 4+1

ab

的最小值为 .

因为ab >0, 所以

a 4+4

b 4+1ab

≥

2√4a 4b 4+1

ab

=

4a 2b 2+1ab

=4ab +1

ab ≥2√4ab ·1

ab =4,当且仅当{a 2=2b 2,

ab =1

2

时等号成立,(连续使用两次基本不等式,两个等号成立的条件要一致)

故

a 4+4

b 4+1

ab

的最小值是4.

易错警示

当多次使用基本不等式时,一定要注意等号成立的条件的一致性,否则容易出错.因此利用基本不等式处理问题时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而且是检验转换结果是否有误的一种方法.

3.[2019安徽合肥二模]若a +b ≠0,则a 2+b 2+

1(a+b)2

的最小值为 .

1.B因为0

2=b - a

2

>0,所以b>a+b

2

;

由基本不等式知a+b

2>√ab.综上所述,a<√ab

2

2.A当x<0时,y≤ - 2,故①错误;易知当且仅当cos x=2时f(x)取最小值,但cos x不可能为2,所

以等号不可能成立,故②错误;当x<0且y<0时,不等式x

y +y

x

≥2也成立,故③错误;2√a不是定值,

故④错误;a2+b2≥2ab对于a,b∈R都成立,而a+b

2

≥√ab只有当a>0,b>0时才成立,故⑤错误.选A.

3.9

2解法一由题意知x=4 - 2y,则(x+1)(2y+1)

xy

=(4 - 2y+1)(2y+1)

(4 - 2y)y

=

- 4y2+8y+5 - 2y2+4y =2+5

- 2y2+4y

=2+5

- 2(y - 1)2+2

≥2+5

2

=9

2

,当y=1时,“=”成立.

解法二由题意知(x+1)(2y+1)

xy =2xy+x+2y+1

xy

=2xy+5

xy

=2+5

xy

,因为x >0,y >0,所以4=x+2y≥2√2xy,即

xy≤2,当且仅当x=2y=2时取“=”,所以(x+1)(2y+1)

xy ≥2+5

2

=9

2

.

4.30一年购买600

x 次,则总运费与总存储费用之和为600

x

×6+4x=4(900

x

+x)≥8√900

x

·x=240,当且

仅当x=30时取等号,故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.

5.√2因为x>0,y>0,所以x?y+(2y)?x=x2- y2

xy +4y2- x2

2xy

=x2+2y2

2xy

=1

2

(x

y

+2y

x

)≥√2,当且仅当x

y

=2y

x

,即

x=√2y时取等号.故x?y+(2y)?x的最小值为√2.

1.(1)1

4 由a - 3b +6=0,得a =3b - 6,则2a +1

8b =23b - 6+1

23b ≥2√23b - 6×1

23b =2×2 - 3=1

4,当且仅当23b - 6=1

23b ,即b =1时等号成立,故2a +1

8

b 的最小值为1

4

.

(2)8 ∵直线x a +y b =1(a >0,b >0)过点(1,2),∴

1

a

+2b =1.∵a >0,b >0,∴2a +b =(2a +b )(1a +2b )=4+b

a +4a b

≥4+2√b

a

·4a b

=8,当且仅当b

a

=4a b

和1

a

+2b

=1同时成立,即a =2,b =4时等号成立,∴2a +b 的最小值

为8. 2.(1)易知t 1=9 000x

,t 2= 3 0003(100 - x)= 1 000100 - x ,则f (x )=t 1+t 2=9 000x + 1 000

100 - x ,定义域为{x |1≤x ≤99,x ∈N *}.

(2)f (x )=

9 000x

+

1 000

100 - x

=1 000(9

x +

1100 - x

)=10[x +(100 - x )](9x

+

1100 - x )=10[10+

9(100 - x)

x

+

x 100 - x

].

因为f (x )的定义域为{x |1≤x ≤99,x ∈N *},所以

9(100 - x)

x

>0,

x

100 - x

>0,故

9(100 - x)

x

+

x

100 - x

≥2√9=6,当且仅当

9(100 - x)

x

=x

100 - x ,即x =75时取等号.

故当x =75时, f (x )取得最小值.

3.√2 解法一 因为2ab ≤a 2+b 2,所以(a +b )2≤2(a 2+b 2). 由a +b ≠0,知a 2+b 2+1(a+b)2≥a 2+b 2+12(a 2+b 2)≥2√1

2=√2, 当且仅当a =b 且a 2+b 2=1

2(a 2+b )

,即a =b =±√1

8

4时两个等号同时成立.

故a 2+b 2+

1(a+b)2

的最小值为√2.

解法二 因为a 2+b 2≥2ab ,所以2(a 2+b 2)≥(a +b )2, 所以a 2+b 2≥(a+b)2

2,

所以a 2+b 2+

1

(a+b)

≥

(a+b)2

2

+

1(a+b)≥2√1

2

=√2,

当且仅当a =b 且(a+b)2

2

=

1

(a+b)

2,即a =b =±√1

8

4时两个等号同时成立.

故a 2+b 2+

1(a+b)2

的最小值为√2.