高考文科数学一轮复习资料第七章基本不等式

第三讲基本不等式1.[2020河南驻马店模拟]设0<a<b,则下列不等式正确的是()A.a<b<√ab<a+b2B.a<√ab<a+b2<bC.a<√ab<b<a+b2D.√ab<a<a+b2<b2.[改编题]下列结论正确的个数为()①函数y=x+1x的最小值是2;②函数f (x)=cos x+4cosx ,x∈(0,π2)的最小值为4;③“x>0且y>0”是“xy +yx≥2”的充要条件;④若a>0,则a3+1a2的最小值为2√a;⑤不等式a2+b2≥2ab与a+b2≥√ab有相同的成立条件.A.0B.1C.2D.33.[2019天津,13,5分][文]设x>0,y>0,x+2y=4,则(x+1)(2y+1)xy的最小值为.4.[2017 江苏,10,5分]某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.5.[2015山东,14,5分][文]定义运算“⊕”:x⊕y=x2- y2xy(x,y∈R,xy≠0).当x>0,y>0时,x⊕y+(2y)⊕x的最小值为.考法1 用利基本不等式求最值命题角度1利用拼凑法求最值1[2019辽宁两校联考]已知a>b>0,则a+4a+b +1a - b的最小值为A.3√102B.4C.2√3D.3√2观察式子的结构特征→将a用后面两个式子的分母表示,凑出积为定值的形式→利用基本不等式求最值因为a=12[(a+b)+(a - b)],所以a +4a+b +1a - b =12(a +b )+4a+b +12(a - b )+1a -b . ........................................................ (变形凑成积为定值) 因为a >b >0,所以a +b >0,a - b >0.由基本不等式可得12(a +b )+4a+b ≥2√12(a +b)×4a+b =2√2 ①,当且仅当12(a +b )=4a+b ,即a +b =2√2时,等号成立;12(a - b )+1a - b ≥2√12(a - b)×1a -b =√2 ②, 当且仅当12(a - b )=1a -b ,即a - b =√2时,等号成立.由{a +b =2√2,a - b =√2,解得{a =3√22,b =√22. .......................................................................... (检验等号成立的条件)所以当{a =3√22,b =√22时,①②中的等号同时成立.故a +4a+b +1a - b 的最小值为2√2+√2=3√2.D命题角度2 利用常数代换法求最值2若直线2mx - ny - 2=0(m >0,n >0)过点(1, - 2),则1m+2n的最小值为A.2 B .6 C .12 D .3+2√2把点的坐标代入直线的方程得m 与n 的关系式→进行“1”的代换→利用基本不等式求最值因为直线2mx - ny - 2=0(m >0,n >0)过点(1, - 2), 所以2m +2n - 2=0,即m +n =1, 所以1m +2n =(1m +2n )(m +n )=3+nm +2m n≥3+2√2, ........................................................... (运用“1”的代换求解)当且仅当nm =2m n,即n =√2m 时取等号,所以1m +2n 的最小值为3+2√2.D命题角度3 利用消元法求最值3[2019辽宁五校联考]已知正实数a ,b 满足ab - b +1=0,则1a +4b 的最小值是 .先将已知等式变形,可得a =b - 1b,然后对1a +4b =bb - 1+4b 进行合理拼凑,再利用基本不等式求出最值即可.由ab - b +1=0可得a =b - 1b,由a =b - 1b>0且b >0得b >1,所以1a +4b =bb - 1+4b =1b - 1+4(b - 1)+5.易知1b - 1+4(b - 1)≥4,所以1a +4b ≥9,当且仅当1b - 1=4(b - 1),即b =32,a =13时等号成立,故1a +4b 的最小值是9.1.(1)[2018天津,13,5分][文]已知a ,b ∈R ,且a - 3b +6=0,则2a +18b 的最小值为 .(2)[2017 山东,12,5分][文]若直线xa +yb =1(a >0,b >0)过点(1,2),则2a +b 的最小值为 .考法2 利用基本不等式解决实际问题4经调查测算,某产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x =3 - km+1(k 为常数),若不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.已知2019年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品生产包括固定投入和再投入两部分资金). (1)将2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数; (2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?题中信息 对接方法 年销售量、年促销费用 由题中信息确定k 值,进而明确两者关系.销售价格、成本 销售价格、成本用年销售量x 与年促销费用m 表示,构建关于m 的关系式. 利润最大 利用基本不等式求解.(1)由题意可知,当m =0时,x =1,∴1=3 - k ,解得k =2,即x =3 - 2m+1,...................................................................................... (代值定参数) 每1万件产品的销售价格为1.5×8+16x x(万元),∴2019年的利润y =x (1.5×8+16x x) - (8+16x +m ) ........................................... (建模,利润=总收入 - 总投入)=4+8x - m =4+8(3 - 2m+1) - m =28 - 16m+1 - m (m ≥0).∴y 与m 之间的函数关系式是y =28 - 16m+1 - m (m ≥0). (2)由(1)知y = - [16m+1+(m +1)]+29(m ≥0).∵当m ≥0时,16m+1+(m +1)≥2√16m+1·(m +1)=8, ................................................ (利用基本不等式求最值) 当且仅当16m+1=m +1,即m =3时取等号,∴y ≤ - 8+29=21,即当m =3时,y 取得最大值,为21.∴当该厂家2019年的促销费用投入3万元时,厂家获得的利润最大,为21万元.2.[2019江苏南京三模]某工厂有100名工人接受了生产1 000台某产品的任务,每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成,每名工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置.现将工人分成两组,分别加工甲型和乙型装置,设加工甲型装置的工人有x 名,他们加工完甲型装置所需时间为t 1时,其余工人加工完乙型装置所需时间为t 2时,设f (x )=t 1+t 2.(1)求f (x )的解析式,并写出其定义域; (2)当x 等于多少时, f (x )取得最小值?易错 连续运用基本不等式求最值时忽略等号的验证而出错5[2017天津,13,5分][文]若a ,b ∈R ,ab >0,则a 4+4b 4+1ab的最小值为 .因为ab >0, 所以a 4+4b 4+1ab≥2√4a 4b 4+1ab=4a 2b 2+1ab=4ab +1ab ≥2√4ab ·1ab =4,当且仅当{a 2=2b 2,ab =12时等号成立,(连续使用两次基本不等式,两个等号成立的条件要一致)故a 4+4b 4+1ab的最小值是4.易错警示当多次使用基本不等式时,一定要注意等号成立的条件的一致性,否则容易出错.因此利用基本不等式处理问题时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而且是检验转换结果是否有误的一种方法.3.[2019安徽合肥二模]若a +b ≠0,则a 2+b 2+1(a+b)2的最小值为 .1.B因为0<a<b,所以a- √ab=√a(√a − √b)<0,故a<√ab;因为b- a+b2=b - a2>0,所以b>a+b2;由基本不等式知a+b2>√ab.综上所述,a<√ab<a+b2<b,故选B.2.A当x<0时,y≤ - 2,故①错误;易知当且仅当cos x=2时f(x)取最小值,但cos x不可能为2,所以等号不可能成立,故②错误;当x<0且y<0时,不等式xy +yx≥2也成立,故③错误;2√a不是定值,故④错误;a2+b2≥2ab对于a,b∈R都成立,而a+b2≥√ab只有当a>0,b>0时才成立,故⑤错误.选A.3.92解法一由题意知x=4 - 2y,则(x+1)(2y+1)xy=(4 - 2y+1)(2y+1)(4 - 2y)y=- 4y2+8y+5 - 2y2+4y =2+5- 2y2+4y=2+5- 2(y - 1)2+2≥2+52=92,当y=1时,“=”成立.解法二由题意知(x+1)(2y+1)xy =2xy+x+2y+1xy=2xy+5xy=2+5xy,因为x >0,y >0,所以4=x+2y≥2√2xy,即xy≤2,当且仅当x=2y=2时取“=”,所以(x+1)(2y+1)xy ≥2+52=92.4.30一年购买600x 次,则总运费与总存储费用之和为600x×6+4x=4(900x+x)≥8√900x·x=240,当且仅当x=30时取等号,故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.5.√2因为x>0,y>0,所以x⊗y+(2y)⊗x=x2- y2xy +4y2- x22xy=x2+2y22xy=12(xy+2yx)≥√2,当且仅当xy=2yx,即x=√2y时取等号.故x⊗y+(2y)⊗x的最小值为√2.1.(1)14 由a - 3b +6=0,得a =3b - 6,则2a +18b =23b - 6+123b ≥2√23b - 6×123b =2×2 - 3=14,当且仅当23b - 6=123b ,即b =1时等号成立,故2a +18b 的最小值为14.(2)8 ∵直线x a +y b =1(a >0,b >0)过点(1,2),∴1a+2b =1.∵a >0,b >0,∴2a +b =(2a +b )(1a +2b )=4+ba +4a b≥4+2√ba·4a b=8,当且仅当ba=4a b和1a+2b=1同时成立,即a =2,b =4时等号成立,∴2a +b 的最小值为8. 2.(1)易知t 1=9 000x,t 2= 3 0003(100 - x)= 1 000100 - x ,则f (x )=t 1+t 2=9 000x + 1 000100 - x ,定义域为{x |1≤x ≤99,x ∈N *}.(2)f (x )=9 000x+1 000100 - x=1 000(9x +1100 - x)=10[x +(100 - x )](9x+1100 - x )=10[10+9(100 - x)x+x 100 - x].因为f (x )的定义域为{x |1≤x ≤99,x ∈N *},所以9(100 - x)x>0,x100 - x>0,故9(100 - x)x+x100 - x≥2√9=6,当且仅当9(100 - x)x=x100 - x ,即x =75时取等号.故当x =75时, f (x )取得最小值.3.√2 解法一 因为2ab ≤a 2+b 2,所以(a +b )2≤2(a 2+b 2). 由a +b ≠0,知a 2+b 2+1(a+b)2≥a 2+b 2+12(a 2+b 2)≥2√12=√2, 当且仅当a =b 且a 2+b 2=12(a 2+b ),即a =b =±√184时两个等号同时成立.故a 2+b 2+1(a+b)2的最小值为√2.解法二 因为a 2+b 2≥2ab ,所以2(a 2+b 2)≥(a +b )2, 所以a 2+b 2≥(a+b)22,所以a 2+b 2+1(a+b)≥(a+b)22+1(a+b)≥2√12=√2,当且仅当a =b 且(a+b)22=1(a+b)2,即a =b =±√184时两个等号同时成立.故a 2+b 2+1(a+b)2的最小值为√2.。