2020年高考文科数学《不等式》题型归纳与训练

合集下载

【高考复习】2020年高考数学(文数)不等式小题练(含答案解析)

11. 答案为： B；解析：∵ 0<x<1，∴ x(3-3x)=3x(1-
x＋ x) ≤３
1－ x
2
3 =
.
当且仅当
1 x=1-x ，即 x= 时等号成立．
2
4
2
12. 答案为： D. 解析：因为
1=2x＋ 2y≥ 2
2x· 2y，所以
2
x＋
y
≤
1 ，即
x＋y≤－ 2，当且仅当
4
x=y 时取等号 .
10. 答案为： B. 设生产甲产品 x 件，生产乙产品 x≥ 0， y≥ 0，
2x＋ 3y ≤ 480 ，
y 件，利润为 z 千元，则
z=2x ＋ y，
6x ＋ y≤ 960，
作出 2x ＋3y≤480，表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线
2x＋ y=0，平移该直线，
6x ＋y≤960 当直线 z=2x ＋ y 经过直线 2x＋ 3y=480 与直线 6x＋ y=960 的交点 (150 ，60) ( 满足 x∈N， y∈ N)时， z 取得最大值，为 360.
17. 已知函数
y=x＋
x
m (x
－2
＞ 2) 的最小值为
6 ，则正数
m的值为 ________ ．
18. 已知实数 x， y 满足 2x﹣ y=4，则 4x +(0.5) y 的最小值为
答案解析
1. 答案为： B；解析：由 (a －b)a 2≥0，解得 a≥b，或 a=0， b∈R，因为 a2≥0，a≥b，所以 (a － b)a 2≥0，故“ (a － b)a 2≥0”是“ a≥b”的必要不充分条件．
2， m＞ 0，∴

2020高考文科数学二轮考前复习方略练习：专题七第2讲不等式选讲 Word版含解析

第2讲不等式选讲[做高考真题·明命题趋向][做真题—高考怎么考]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知f (x )＝|x －a |x ＋|x －2|(x －a )．(1)当a ＝1时，求不等式f (x )＜0的解集；(2)若x ∈(－∞，1)时，f (x )＜0，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|x ＋|x －2|(x －1)．当x <1时，f (x )＝－2(x －1)2<0；当x ≥1时，f (x )≥0.所以，不等式f (x )<0的解集为(－∞，1)．(2)因为f (a )＝0，所以a ≥1.当a ≥1，x ∈(－∞，1)时，f (x )＝(a －x )x ＋(2－x )(x －a )＝2(a －x )(x －1)<0.所以，a 的取值范围是[1，＋∞)．2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1.证明：(1)1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2； (2)(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.证明：(1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，又abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ＝ab ＋bc ＋ca abc ＝1a ＋1b ＋1c.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2. (2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1，故有(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥33（a ＋b ）3（b ＋c ）3（a ＋c ）3＝3(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c )≥3×(2ab )×(2bc )×(2ac )＝24.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.[明考情—备考如何学]1．不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．2．此部分命题形式单一、稳定，难度中等，备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用．[研考点考向·破重点难点]考点1 含绝对值不等式的解法(综合型)[知识整合]|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c 型不等式的解法(1)若c ＞0，则|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ，|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ，然后根据a ，b 的取值求解即可．(2)若c ＜0，则|ax ＋b |≤c 的解集为∅，|ax ＋b |≥c 的解集为R .[典型例题](2019·安徽五校联盟第二次质检)已知f (x )＝|x |＋2|x －1|.(1)解不等式f (x )≥4；(2)若不等式f (x )≤|2a ＋1|有解，求实数a 的取值范围．【解】 (1)不等式f (x )≥4，即|x |＋2|x －1|≥4，等价于⎩⎨⎧x <0，2－3x ≥4或⎩⎨⎧0≤x ≤1，2－x ≥4或⎩⎨⎧x >1，3x －2≥4⇒x ≤－23或无解或x ≥2. 故不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－23∪[2，＋∞)． (2)f (x )≤|2a ＋1|有解等价于f (x )min ≤|2a ＋1|.f (x )＝|x |＋2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2－3x （x <0），2－x （0≤x ≤1），3x －2（x >1），故f (x )的最小值为1，所以1≤|2a ＋1|，得2a ＋1≤－1或2a ＋1≥1，解得a ≤－1或a ≥0，故实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪[0，＋∞)．■ 规律方法(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式(组)；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)图象法求解不等式用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．[对点训练]1．(2019·长春市质量监测(二))设函数f (x )＝|x ＋2|.(1)求不等式f (x )＋f (－x )≥6的解集；(2)若不等式f (x －4)－f (x ＋1)>kx ＋m 的解集为(－∞，＋∞)，求k ＋m 的取值范围．解：(1)f (x )＋f (－x )＝|x ＋2|＋|－x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x （x <－2）4（－2≤x ≤2），2x （x >2）当x <－2时，－2x ≥6，所以x ≤－3；当－2≤x ≤2时，4≥6不成立，所以无解；当x >2时，2x ≥6，所以x ≥3.综上，x ∈(－∞，－3]∪[3，＋∞)．(2)令g (x )＝f (x －4)－f (x ＋1)＝|x －2|－|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧5（x <－3）－2x －1（－3≤x ≤2），－5（x >2）作出g (x )的图象，如图．由f (x －4)－f (x ＋1)>kx ＋m 的解集为(－∞，＋∞)，结合图象可知k ＝0，m <－5，所以k ＋m <－5，即k ＋m 的取值范围是(－∞，－5)．2．已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值．解：(1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎨⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2<x <4，2x －6，x ≥4，当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2<x <4时，由f (x )≥4－|x －4|得无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5，故不等式的解集为{x |x ≤1或x ≥5}．(2)令h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎨⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0<x <a ，2a ，x ≥a ，由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12，又知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，解得a ＝3. 考点2 不等式的证明(综合型)[知识整合]证明不等式的基本方法(1)比较法：作差或作商比较．(2)综合法：根据已知条件、不等式的性质、基本不等式，通过逻辑推理导出结论．(3)分析法：执果索因的证明方法．(4)反证法：反设结论，导出矛盾．(5)放缩法：通过把不等式中的部分值放大或缩小的证明方法．[典型例题](1)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明：①(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4；②a ＋b ≤2.(2)已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，证明：ac ＋bd ≤8.【证明】 (1)①(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.②因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3（a ＋b ）24(a ＋b ) ＝2＋3（a ＋b ）34，所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.(2)由柯西不等式可得：(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)．因为a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，所以(ac ＋bd )2≤64，因此ac ＋bd ≤8.■ 规律方法证明不等式的方法和技巧(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或是否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法．(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的基本思路是化去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据．[对点训练](一题多解)(2019·福州市质量检测)已知不等式|2x ＋1|＋|2x －1|<4的解集为M .(1)求集合M ；(2)设实数a ∈M ，b ∉M ，证明：|ab |＋1≤|a |＋|b |.解：(1)法一：当x <－12时，不等式化为：－2x －1＋1－2x <4，即x >－1，所以－1<x <－12；当－12≤x ≤12时，不等式化为：2x ＋1－2x ＋1<4，即2<4，所以－12≤x ≤12；当x >12时，不等式化为：2x ＋1＋2x －1<4，即x <1，所以12<x <1. 综上可知，M ＝{x |－1<x <1}．法二：设f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －1|，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ，x <－12，2，－12≤x ≤12，4x ，x >12，函数f (x )的图象如图所示，若f (x )<4，由上图可得，－1<x <1.所以M ＝{x |－1<x <1}．(2)证明：法一：因为a ∈M ，b ∉M ，所以|a |<1，|b |≥1.而|ab |＋1－(|a |＋|b |)＝|ab |＋1－|a |－|b |＝(|a |－1)(|b |－1)≤0，所以|ab |＋1≤|a |＋|b |.法二：要证|ab |＋1≤|a |＋|b |，只需证|a ||b |＋1－|a |－|b |≤0，只需证(|a |－1)(|b |－1)≤0，因为a ∈M ，b ∉M ，所以|a |<1，|b |≥1，所以(|a |－1)(|b |－1)≤0成立．所以|ab |＋1≤|a |＋|b |成立．考点3 含绝对值不等式的成立问题(综合型)[知识整合]f (x )＞a 恒成立⇔f (x )min ＞a ；f (x )＜a 恒成立⇔f (x )max ＜a ；f (x )＞a 有解⇔f (x )max ＞a ；f (x )＜a 有解⇔f (x )min ＜a ；f (x )＞a 无解⇔f (x )max ≤a ；f (x )＜a 无解⇔f (x )min ≥a .定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．[典型例题](2019·兰州市诊断考试)已知a >0，b >0，a ＋b ＝4，m ∈R .(1)求1a ＋1b的最小值； (2)若|x ＋m |－|x －2|≤1a ＋1b对任意的实数x 恒成立，求m 的取值范围．【解】 (1)因为a >0，b >0，a ＋b ＝4，所以1a ＋1b ＝14⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝14⎝⎛⎭⎫2＋b a ＋a b ≥1(当且仅当a ＝b ＝2时“＝”成立)，所以1a＋1b的最小值为1. (2)若|x ＋m |－|x －2|≤1a ＋1b对任意的实数x 恒成立，则|x ＋m |－|x －2|≤⎝⎛⎭⎫1a ＋1b min对任意的实数x 恒成立，即|x ＋m |－|x －2|≤1对任意的实数x 恒成立，因为|x ＋m |－|x －2|≤|(x ＋m )－(x －2)|＝|m ＋2|，所以|m ＋2|≤1，所以－3≤m ≤－1，即m 的取值范围为[－3，－1]．■ 规律方法(1)求含绝对值号函数的最值的两种方法①利用|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |求解．②将函数化为分段函数，数形结合求解．(2)恒成立(存在)问题的等价转化[对点训练](2019·洛阳市统考)已知f (x )＝|x ＋1|，g (x )＝2|x |＋a .(1)当a ＝－1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若存在x 0∈R ，使得f (x 0)≥g (x 0)成立，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝－1时，原不等式可化为|x ＋1|－2|x |≥－1，设φ(x )＝|x ＋1|－2|x |，则φ(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤－1，3x ＋1，－1<x <0，－x ＋1，x ≥0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，x －1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <0，3x ＋1≥－1或⎩⎨⎧x ≥0，－x ＋1≥－1，即－23≤x ≤2. 所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－23≤x ≤2. (2)存在x 0∈R 使得f (x 0)≥g (x 0)成立，等价于|x ＋1|≥2|x |＋a 有解，即φ(x )≥a 有解，即a ≤φ(x )max .由(1)可知，φ(x )在(－∞，0)上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减．所以φ(x )max ＝φ(0)＝1，所以a ≤1.[练典型习题·提数学素养]1．(2019·安徽省考试试题)已知f (x )＝|x －2|.(1)解不等式f (x )＋1>f (2x )；(2)若f (m )≤1，f (2n )≤2，求|m －2n －1|的最大值，并求此时实数m ，n 的取值．解：(1)原不等式等价于|x －2|＋1>2|x －1|，所以⎩⎨⎧x <1，2－x ＋1>2－2x 或⎩⎨⎧1≤x ≤2，2－x ＋1>2x －2或⎩⎨⎧x >2，x －2＋1>2x －2，所以－1<x <1或1≤x <53或∅，所以原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－1，53. (2)由题意得f (m )＝|m －2|≤1，f (2n )＝|2n －2|≤2，所以|n －1|≤1，所以|m －2n －1|＝|(m －2)－2(n －1)－1|≤|m －2|＋2|n －1|＋1≤4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝2时，|m －2n －1|取得最大值4. 2．已知不等式|x |＋|x －3|<x ＋6的解集为(m ，n )．(1)求m ，n 的值；(2)若x >0，y >0，nx ＋y ＋m ＝0，求证：x ＋y ≥16xy .解：(1)由|x |＋|x －3|<x ＋6，得⎩⎨⎧x ≥3，x ＋x －3<x ＋6或⎩⎨⎧0<x <3，3<x ＋6或⎩⎨⎧x ≤0，－x ＋3－x <x ＋6，解得－1<x <9，所以m ＝－1，n ＝9.(2)证明：由(1)知9x ＋y ＝1，又x >0，y >0，所以⎝⎛⎭⎫1x ＋1y (9x ＋y )＝10＋y x ＋9x y ≥10＋2y x ×9x y＝16，当且仅当y x ＝9x y ，即x ＝112，y ＝14时取等号，所以1x ＋1y≥16，即x ＋y ≥16xy . 3．(2019·昆明市诊断测试)已知函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|.(1)求不等式f (x )>1的解集；(2)若不等式f (x )<x 2＋x ＋m 的解集为R ，求实数m 的取值范围．解：(1)原不等式等价于|2x ＋1|－|x －1|>1，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12，－x －3>0或⎩⎪⎨⎪⎧－12<x <1，3x －1>0或⎩⎨⎧x ≥1，x ＋1>0，解得x <－3或13<x <1或x ≥1. 所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－3或x >13.(2)由f (x )<x 2＋x ＋m 得m >－x 2－x ＋|2x ＋1|－|x －1|.令g (x )＝－x 2－x ＋|2x ＋1|－|x －1|，则由题意知m >g (x )max .g (x )＝⎩⎨⎧－x 2－2x －2，x <－12，－x 2＋2x ，－12≤x ≤1，－x 2＋2，x >1，作出其图象如图所示，由图象知g (x )max ＝1.所以m >1，即m 的取值范围为(1，＋∞)．4．(2019·高考全国卷Ⅲ)设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝1.(1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值；(2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13成立，证明：a ≤－3或a ≥－1. 解：(1)因为[(x －1)＋(y ＋1)＋(z ＋1)]2＝(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＋2[(x －1)(y ＋1)＋(y ＋1)(z ＋1)＋(z ＋1)(x －1)] ≤3[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2]，故由已知得(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥43，当且仅当x ＝53，y ＝－13，z ＝－13时等号成立．所以(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值为43. (2)证明：因为[(x －2)＋(y －1)＋(z －a )]2＝(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2＋2[(x －2)(y －1)＋(y －1)(z －a )＋(z －a )(x －2)] ≤3[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2]，故由已知得(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥（2＋a ）23，当且仅当x ＝4－a 3，y ＝1－a 3，z ＝2a －23时等号成立．因此(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2的最小值为（2＋a ）23. 由题设知（2＋a ）23≥13，解得a ≤－3或a ≥－1. 5．设函数f (x )＝a (x －1)．(1)当a ＝1时，解不等式|f (x )|＋|f (－x )|≥3x .(2)设|a |≤1，当|x |≤1时，求证：|f (x 2)＋x |≤54. 解：(1)当a ＝1时，不等式 |f (x )|＋|f (－x )|≥3x ，即|x －1|＋|x ＋1|≥3x ，当x ≤－1时，得1－x －x －1≥3x ⇒x ≤0，所以x ≤－1，当－1<x <1时，得1－x ＋x ＋1≥3x ⇒x ≤23，所以－1<x ≤23，当x ≥1时，得x －1＋x ＋1≥3x ⇒x ≤0，与x ≥1矛盾，综上，原不等式的解集为{x |x ≤－1}∪⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－1<x ≤23＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤23. (2)证明：|f (x 2)＋x |＝|a (x 2－1)＋x |≤|a (x 2－1)|＋|x |，因为|a |≤1，|x |≤1，所以|f (x 2)＋x |≤|a |(1－x 2)＋|x |≤1－x 2＋|x |＝－|x |2＋|x |＋1＝－⎝⎛⎭⎫|x |－122＋54≤54. 6．(2019·四省八校双教研联考)已知f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|，g (x )＝|x －a |－|x ＋a ＋1|.(1)解不等式f (x )>4；(2)若∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f (x 2)＝g (x 1)，求实数a 的取值范围．解：(1)f (x )>4，即|2x －1|－|x ＋2|>4，当x <－2时，－(2x －1)＋(x ＋2)>4，得x <－2；当－2≤x ≤12时，－(2x －1)－(x ＋2)>4，得－2≤x <－53；当x >12时，2x －1－(x ＋2)>4，得x >7. 综上，不等式f (x )>4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－53或x >7. (2)因为∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f (x 2)＝g (x 1)，所以g (x )的值域是f (x )的值域的子集，f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|＝⎩⎨⎧－x ＋3，x <－2，－3x －1，－2≤x ≤12，x －3，x >12，所以f (x )的值域为⎣⎡⎭⎫－52，＋∞，g (x )＝|x －a |－|x ＋a ＋1|的值域为[－|2a ＋1|，|2a ＋1|]，所以－|2a ＋1|≥－52，即|2a ＋1|≤52，则－52≤2a ＋1≤52，－74≤a ≤34，即实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－74，34.。

2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义：第41讲不等关系与不等式的性质含答案

1．不等关系了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．2．一元二次不等式(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．(3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．3．二元一次不等式组与简单线性规划问题(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．(2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．4．基本不等式：ab≤a＋b2(a≥0，b≥0)(1)了解基本不等式的证明过程．(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．5．合情推理与演绎推理(1)了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用．(2)了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用它们进行一些简单的推理．(3)了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异．6．直接证明与间接证明(1)了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点．(2)了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点．1．2014～2018年全国卷Ⅰ的考查情况2.2014～2018年全国卷Ⅱ的考查情况2018第14题线性规划，求最大值直接考查不等式的试题，主要是线性规划，2014年至2018年全国卷Ⅰ和卷Ⅱ考查线性规划的试题每年1道，占5分．主要考查线性目标函数的最值或范围，且线性目标函数一般是具体系数的函数，只有2014年全国卷Ⅰ目标函数中含有一个参数，由最值确定其参数值．难度一般是中等难度，2016年全国卷Ⅰ考查了线性规划的实际应用问题．直接考查推理与证明的试题只有2014年全国卷Ⅰ的第14题和2016年全国卷Ⅱ的第16题及2017年全国卷Ⅱ的第9题，都是考查演绎推理，难度中等．1．不等式与高中数学其他内容联系密切，在数学各分支中都有很广泛的应用．从近几年全国全国卷高考试题来看，纯粹考查不等式这一章的试题每年的分值占全卷的比例并不高，但从整套试卷来看，却处处分布着不等式的知识、方法和技巧．因此，在不等式的复习过程中，要重视不等式的“工具”作用，提高应用意识，会用不等式的知识和方法解决有关问题．在不等式这一部分的复习过程中，要注意以下问题：(1)复习不等式的性质时，注意培养严格的逻辑思维，分清一类性质是条件与结论的等价关系，另一类性质仅是由条件推导出结论．(2)对均值不等式常有求最值或证明不等式中结合其他知识进行考查，注意解题过程中对代数式进行适当的变形及化简，以达到利用均值不等式的三个条件即“一正、二定、三相等”．(3)不等式的解法以一元二次不等式的解法作为重点，要求掌握含参数一元二次不等式或可化为含参数的二次不等式的求解问题，同时注意三个二次间的联系．(4)线性规划是高考的热点内容，在高考中频繁出现，对线性规划的考查仍以线性目标函数的最值为重点，还可能以考查线性规划思想方法的形式出现，适当注意利用代数式的几何意义(距离、斜率、面积等)求最值及线性规划的实际应用．(5)应用问题与不等式结合考查，需要根据题意建立不等式，设法求解或利用均值不等式或函数的单调性求最值．(6)重视不等式的应用，注意不等式作为“工具性”知识在其他分支的应用，如求函数定义域、值域、单调性及不等式恒成立或有解等问题．2．在高考中，直接考查推理与证明的试题不多，但推理与证明贯穿于高中数学各章节，因此，本部分内容在高考中单独命题的可能性不大，仍然是以其他知识为载体，作为一种方法和思路考查有关内容．在备考时要注意：(1)高考对推理的考查以考查演绎推理为主，主要是在其他章节中结合具体的知识进行考查，如在立体几何中结合位置关系的证明，在导数中结合单调性的证明等进行考查．归纳、类比不仅是新课标创新要求的体现，同时也是复习的有效方法，如等差数列与等比数列之间的类比，圆锥曲线之间的类比等．(2)在直接证明和间接证明中，其主要有综合法、分析法、反证法等．在应用这些证明方法时，要注意过程的严谨、格式的规范．综合法是高考中考查最多的一种证明方法，它是从已知条件推导出结论，一般按照演绎推理进行，分析法是由结论追溯到条件的证明方法．反证法是从结论的反面成立出发，推出矛盾的一种间接证明方法，单独要求用反证法证明或举反例的题目不会很多，但是反证法作为一种数学思维模式在解决数学问题中却常常见到．第41讲不等关系与不等式的性质1．了解不等式的概念，理解不等式的性质． 2．会比较两个代数式的大小．3．会利用不等式的性质解决有关问题．知识梳理1．不等式的定义用不等号“>、≥、<、≤、≠”将两个数学表达式连接起来，所得的式子叫不等式． 2．两个实数的大小比较(1)作差法．设a ，b ∈R ，则a －b >0⇔a >b ；a －b <0⇔a 0，b >0，则a b >1⇔a >b ；a b ＝1⇔a ＝b ；ab <1⇔a b ⇔b <a ；②传递性：a >b ，b >c ⇔a >c ； ③可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；④不等式加法：a >b ，c >d ⇔a ＋c >b ＋d ；⑤可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ ac <bc ； ⑥不等式乘法：a >b >0，c >d ac >bd ；⑦不等式乘方：a >b >0⇒ a n >b n (n ∈N ，n ≥1)； ⑧不等式开方：a >b >0⇒ na >nb (n ∈N ，n >1)．1．倒数性质 (1)a >b ，ab 1a <1b ； (2)a <0<b1a <1b. 2．分数性质若a >b >0，m >0，则(1)真分数性质：b a b －ma －m (b －m >0)；(2)假分数性质：a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －mb －m (b －m >0)．热身练习1．某地规定本地最低生活保障金不低于300元，若最低保障金用W 表示，则上述关系可以表示为(B)A ．W >300B ．W ≥300C ．W <300D ．W ≤3002．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是(A) A ．f (x )>g (x ) B ．f (x )＝g (x )C ．f (x )<g (x )D ．随x 的值的变化而变化因为f (x )－g (x )＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x －1) ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，所以f (x )>g (x )．3．“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的(A)A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件a >b 且c >d ⇒a ＋c >b ＋d .当取a ＝1，b ＝2，c ＝5，d ＝3时，满足a ＋c >b ＋d ，但不能推出a >b 且c >d ，故选A. 4．若a >b >0，c <d <0，则一定有(D) A.a c >b d B.a c b c D.a d 1－c >0，又a >b >0，所以－a d >－b c ，所以a d <b c.5．(2017·北京卷)能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a ＋b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为－1，－2，－3(答案不唯一) .只要取一组满足条件的整数即可．如－1，－2，－3；－3，－4，－6；－4，－7，－10等．比较大小设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小．因为(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y ) ＝(x －y )[x 2＋y 2－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )，因为x <y <0，所以xy >0，x －y <0，所以－2xy (x －y )>0.所以(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．比较大小的方法有作差法和作商法．①作差法：作差→变形→判断符号→结论．其中关键是变形，变形的方法有分解因式、配方、通分等．②作商法：作商→变形→判断与1的大小关系→结论．1．(2017·全国卷Ⅰ·理)设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则(D) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z令t ＝2x ＝3y ＝5z ，因为x ，y ，z 为正数，所以t ＞1.则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg tlg 5.所以2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t (2lg 3－3lg 2)lg 2×lg 3＝lg t (lg 9－lg 8)lg 2×lg 3＞0，所以2x ＞3y .又因为2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t (2lg 5－5lg 2)lg 2×lg 5＝lg t (lg 25－lg 32)lg 2×lg 5＜0，所以2x ＜5z ，所以3y ＜2x ＜5z .判断或证明大小关系下列命题：①若a >b ，则a 2>b 2； ②若a >b >0，c >d >0，则a d>b c； ③已知a ，b ，m 都是正数，并且a ab；④若a >b ，则a 3>b 3.其中，真命题的序号是__________．对于①，令a ＝1，b ＝－2有a >b ，但a 2>b 2不成立．故①为假命题．对于②，因为c >d >0，1cd >0，所以1d >1c ，又a >b >0，所以a d >bc >0，所以a d>bc.故②为真命题．对于③，因为a ＋m b ＋m －a b ＝m (b －a )(b ＋m )b >0.所以a ＋m b ＋m >a b，即③为真命题．对于④，因为y ＝x 3在(－∞，＋∞)上是增函数，所以当a >b 时，a 3>b 3.所以④为真命题．②③④(1)要判断一个不等式不成立，只需举出一个反例即可．而要判断一个不等式成立，一般需要证明．(2)判断大小关系，常用的方法有： ①利用不等式的性质；②利用比较法(如作差法或作商法)；③利用函数的单调性或借助函数的图象．2．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >cb ；②ac log a (b －c )．其中正确结论的序号是 ①②③ .①(方法一：利用不等式性质) 由a >b >1，1ab >0，得1b >1a，又c <0，所以c a >cb ，故①正确．(方法二：利用作差比较法)因为c a －c b ＝c (b －a )ab >0，所以c a >c b .故①正确．②(方法一：利用作商比较法) 因为a >b >1，所以ab>1，c <0，所以a c b c ＝(a b)c<1，所以a c b >1时，a c b >1，又c <0，所以a －c >b －c ，由对数函数的性质得：log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，故③正确．不等式性质的应用若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ＋y ≤9，6≤x －y ≤9，则z ＝x ＋2y 的最小值为__________．本题一般采用线性规划知识进行求解，也可用不等式的性质求解．因为2x ＋y ，x －y 的范围已经给出，若能将x ＋2y 用2x ＋y ，x －y 表示，则可利用2x ＋y 与x －y 的范围求出x ＋2y 的范围，利用不等式的性质进行求解，可化繁为简，迅速得到结果．因为x ＋2y ＝(2x ＋y )＋y －x ，而3≤2x ＋y ≤9，－9≤y －x ≤－6，所以－6≤x ＋2y ≤3，当⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3，y －x ＝－9，即x ＝4，y ＝－5时取到左边等号，所以z 的最小值为－6.－6(1)不等式的性质中，同向不等式可以作加法运算，正的同向不等式可以作乘法运算．但如果涉及等号，能否取到最值，则要同时满足各个取等号的条件，这一点要特别注意．本题中，2x ＋y 与x －y 中的x ，y 不是独立的，而是相互制约的，因此，可把2x ＋y 与x －y 看作一个整体，把x ＋2y 用2x ＋y ，x －y 表示，再求出x ＋2y 的取值范围．即先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算，求得整体的范围．(2)将x ＋2y 用2x ＋y ，x －y 表示时，若不能直接观察得到，可采用待定系数法，设x ＋2y ＝m (2x ＋y )＋n (x －y )，再比较得到m ＝1，n ＝－1.3．(2016·北京卷)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为(C)A ．0B ．3C ．4D ．52x ＋y ＝13(2x －y )＋43(x ＋y )≤13×0＋43×3＝4.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋y ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2时取等号，满足x ≥0，所以(2x ＋y )max ＝4.1．比较数(式)的大小，常采用：(1)作差法，具体步骤：作差→变形→判断(与0比较)→结论；(2)作商法，具体步骤：作商→变形→判断(与1比较)→结论，必须注意分母的符号．2．运用不等式的基本性质解决不等式问题，要注意不等式成立的条件．有关判断性命题，主要依据是不等式的概念和性质．一般地，要判断一个命题为真命题，必须严格证明，要判断一个命题是假命题，只需举出反例，或者由题设中条件推出与结论相反的结果．3．求范围问题：(1)差的范围转化为和的范围．⎩⎨⎧ a <x <b c <y <d ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <x <b－d <－y <－c ⇒a －d <x －y <b －c . 这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到． (2)商的范围转化为积的范围．(3)由M 1<f 1(x ，y )<N 1，M 2<f 2(x ，y )<N 2，求g (x ，y )的范围．常令g (x ，y )＝mf 1(x ，y )＋nf 2(x ，y )，用恒等关系求出m ，n ，再利用同向不等式相加求得范围．。

2020年高考数学(文科) 历年真题模拟题高分必刷题之不等式的证明

[基础题组练]1．设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，求证：1a ＋1b ≥4.证明：由3是3a 与3b 的等比中项得 3a ·3b ＝3，即a ＋b ＝1，要证原不等式成立，只需证a ＋b a ＋a ＋b b ≥4成立，即证b a ＋a b ≥2成立，因为a ＞0，b ＞0，所以b a ＋ab≥2b a ·ab＝2， (当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，“＝”成立)，所以1a ＋1b≥4.2．求证：112＋122＋132＋…＋1n 2＜2.证明：因为1n 2＜1n （n －1）＝1n －1－1n，所以112＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋11×2＋12×3＋13×4＋…＋1（n －1）×n＝1＋⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝2－1n ＜2.3．(2019·长春市质量检测(二))已知函数f (x )＝|2x －3|＋|3x －6|. (1)求f (x )<2的解集；(2)若f (x )的最小值为T ，正数a ，b 满足a ＋b ＝12，求证：a ＋b ≤T .解：(1)f (x )＝|2x －3|＋|3x －6|＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2x ＋6－3x ⎝⎛⎭⎫x <322x －3＋6－3x ⎝⎛⎭⎫32≤x ≤22x －3＋3x －6（x >2）＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ＋9⎝⎛⎭⎫x <32－x ＋3⎝⎛⎭⎫32≤x ≤25x －9（x >2），其图象如图，由图象可知：f (x )<2的解集为⎝⎛⎭⎫75，115.(2)证明：由图象可知f (x )的最小值为1，由基本不等式可知a ＋b2≤a ＋b2＝14＝12，当且仅当a ＝b 时，“＝”成立，即a ＋b ≤1＝T . 4．设不等式－2＜|x －1|－|x ＋2|＜0的解集为M ，a ，b ∈M . (1)证明：⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ＜14； (2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小．解：(1)证明：记f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2＜x ≤1，－3，x ＞1，由－2＜－2x －1＜0解得－12＜x ＜12，即M ＝⎝⎛⎭⎫－12，12，所以⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |＜13×12＋16×12＝14. (2)由(1)得a 2＜14，b 2＜14，因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2) ＝(4a 2－1)(4b 2－1)＞0，故|1－4ab |2＞4|a －b |2，即|1－4ab |＞2|a －b |.[综合题组练]1．设a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1. (1)求证：2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12；(2)求证：a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a≥2.证明：(1)要证2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12，只需证1≥4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2，即证1－(4ab ＋2bc＋2ca ＋c 2)≥0，而1－(4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2)＝(a ＋b ＋c )2－(4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2)＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0成立，所以2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12.(2)因为a 2＋c 2b ≥2ac b ，b 2＋a 2c ≥2ab c ，c 2＋b 2a ≥2bca，所以a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a ≥⎝⎛⎭⎫ac b ＋ab c ＋⎝⎛⎭⎫ab c ＋bc a ＋⎝⎛⎭⎫ac b ＋bc a ＝a ⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ＋b ⎝⎛⎭⎫a c ＋ca ＋c ⎝⎛⎭⎫ab ＋b a ≥2a ＋2b ＋2c ＝2(当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立)． 2．(2019·新疆自治区适应性检测)设函数f (x )＝|2x ＋1|－|2x －4|，g (x )＝9＋2x －x 2. (1)解不等式f (x )>1；(2)证明：|8x －16|≥g (x )－2f (x )．解：(1)当x ≥2时，f (x )＝2x ＋1－(2x －4)＝5>1恒成立，所以x ≥2.当－12≤x <2时，f (x )＝2x ＋1－(4－2x )＝4x －3>1，得x >1，所以1<x <2.当x <－12时，f (x )＝－2x －1－(4－2x )＝－5>1不成立．综上，原不等式的解集为(1，＋∞)．(2)证明：|8x －16|≥g (x )－2f (x )⇔|8x －16|＋2f (x )≥g (x )，因为2f (x )＋|8x －16|＝|4x ＋2|＋|4x －8|≥|(4x ＋2)－(4x －8)|＝10，当且仅当－12≤x ≤2时等号成立，所以2f (x )＋|8x －16|的最小值是10，又g (x )＝－(x －1)2＋10≤10，所以g (x )的最大值是10，当x ＝1时等号成立．因为1∈⎣⎡⎦⎤－12，2，所以2f (x )＋|8x －16|≥g (x )，所以|8x －16|≥g (x )－2f (x )．3．(2019·四川成都模拟)已知函数f (x )＝m －|x －1|，m ∈R ，且f (x ＋2)＋f (x －2)≥0的解集为[－2，4]．(1)求m 的值；(2)若a ，b ，c 为正数，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥3.解：(1)由f (x ＋2)＋f (x －2)≥0得，|x ＋1|＋|x －3|≤2m ，设g (x )＝|x ＋1|＋|x －3|，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2，x ≤－1，4，－1<x <3，2x －2，x ≥3，数形结合可得g (－2)＝g (4)＝6＝2m ，得m ＝3. (2)证明：由(1)得1a ＋12b ＋13c＝3.由柯西不等式，得(a ＋2b ＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝⎛⎭⎫a ·1a ＋2b ·12b＋3c ·13c 2＝32，所以a ＋2b ＋3c ≥3.4．(2019·高考全国卷Ⅲ)设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝1. (1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值．(2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13成立，证明：a ≤－3或a ≥－1.解：(1)由于[(x －1)＋(y ＋1)＋(z ＋1)]2＝(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＋2[(x －1)(y ＋1)＋(y ＋1)(z ＋1)＋(z ＋1)(x －1)]≤3[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2]，故由已知得(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥43，当且仅当x ＝53，y ＝－13，z ＝－13时等号成立．所以(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值为43.(2)由于[(x －2)＋(y －1)＋(z －a )]2＝(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2＋2[(x －2)(y －1)＋(y －1)(z －a )＋(z －a )(x －2)] ≤3[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2]，故由已知得(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥（2＋a ）23，当且仅当x ＝4－a 3，y ＝1－a 3，z ＝2a －23时等号成立．因此(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2的最小值为（2＋a ）23. 由题设知（2＋a ）23≥13，解得a ≤－3或a ≥－1.。

2020届高三文理科数学一轮复习《基本不等式》专题汇编(学生版)

《基本不等式》专题一、相关知识点1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)； (2)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)．(3)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号且不为零)； (4)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(5)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)．2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R)．(6)a 2＋b 22≥(a ＋b )24≥ab (a ，b ∈R)．(7)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0)．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)5．重要不等式链若a ≥b ＞0，则a ≥a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b≥b . 题型一基本不等式的判断1．若a ，b ∈R ，则下列恒成立的不等式是( )A.|a ＋b |2≥|ab | B ．b a ＋ab ≥2 C.a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 D ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2abC ．1a ＋1b >2abD ．b a ＋ab ≥23．下列命题中正确的是( )A ．函数y ＝x ＋1x 的最小值为2 B ．函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值为2C ．函数y ＝2－3x －4x (x ＞0)的最小值为2－4 3D ．函数y ＝2－3x －4x(x ＞0)的最大值为2－4 34．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，则( )A ．R 0，b >0，且2a ＋b ＝4，则1ab 的最小值为3．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为4．已知x <0，则函数y ＝4x ＋x 的最大值是5．函数f (x )＝xx ＋1的最大值为6．若x ＞1，则x ＋4x －1的最小值为________．7．设0<x <2，则函数y ＝x (4－2x )的最大值为________．8．若x ，y 均为正数，则3x y ＋12yx ＋13的最小值是9．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________．10．已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．11．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为12．已知x ，y 为正实数，则4x x ＋3y ＋3yx的最小值为13．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.14．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是15．已知x ，y 都为正实数，且x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，则x ＋y 的最大值是16．已知a >b >0，则2a ＋4a ＋b ＋1a －b的最小值为17．已知正数a ，b 满足2a 2＋b 2＝3，则a b 2＋1的最大值为________．类型二常数代换法利用基本不等式求最值1．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为________．2．已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b 的最小值为________．3．已知正实数x ，y 满足2x ＋y ＝2，则2x ＋1y 的最小值为________．4．已知正项等比数列{a n }的公比为2，若a m a n ＝4a 22，则2m ＋12n 的最小值为5．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y 的最小值是6．已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为7．若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________．8．已知a >0，b >0，函数f (x )＝a log 2x ＋b 的图像经过点⎝⎛⎭⎫4，12，则1a ＋2b 的最小值为________．9．已知函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋1n 的最小值为10．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是11．已知直线l ：ax ＋by －ab ＝0(a >0，b >0)经过点(2,3)，则a ＋b 的最小值为________．12．已知x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2＝16，则x ＋y 的最小值为13．若a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，则4a ＋1＋1b ＋c 的最小值是14．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝3，则y x ＋1y 的最小值为________．15．设a >0，b >1，若a ＋b ＝2，则3a ＋1b －1的最小值为________．16．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求：(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．类型三通过消元法利用基本(均值)不等式求最值1．若正实数m ，n 满足2m ＋n ＋6＝mn ，则mn 的最小值是________．2．已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋y ＝4，则x ＋y 的最小值为________．3.设x ，y 均为正数，且xy ＋x －y －10＝0，则x ＋y 的最小值是________.4．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________．类型四：利用基本不等式求参数值或取值范围1．若对于任意的x ＞0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为2．已知函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．3．若对x >0，y >0，x ＋2y ＝1，有2x ＋1y ≥m 恒成立，则m 的最大值是________．4．已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b恒成立，则m 的最大值为5．正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是________．6．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为7．已知函数f (x )＝3x 2＋ax ＋26x ＋1，若存在x ∈N ＋使得f (x )≤2成立，则实数a 的取值范围为___题型三基本不等式的综合问题类型一基本不等式的实际应用问题1．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元2．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝__________吨．3．某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2)． (1)求S 关于x 的函数关系式；(2)求S 的最大值．类型二基本不等式与函数的交汇问题1．已知A ，B 是函数y ＝2x 的图象上不同的两点，若点A ，B 到直线y ＝12的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－2)C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－4)类型三基本不等式与数列的交汇问题1．已知a >0，b >0，并且1a ，12，1b 成等差数列，则a ＋9b 的最小值为2．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 8－2S 4＝5，则a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为3．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n (n ∈N ＋)，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n 的最小值是______.类型四基本不等式与解析几何的交汇问题1．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是2．当双曲线M ：x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率最小时，M 的渐近线方程为3．两圆x 2＋y 2－2my ＋m 2－1＝0和x 2＋y 2－4nx ＋4n 2－9＝0恰有一条公切线，若m ∈R ，n4m2＋1n2的最小值为∈R，且mn≠0，则。

2020高考数学专题复习不等式专项训练

不等式专项训练一、不等关系与不等式1.已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( )A ．x 3>y 3B ．sin x >sin yC ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) D.211x +>211y + 【解析】因为0<a <1，a x <a y ，所以x >y .对于选项B ，取x ＝π，y ＝π2，则sin x ＜sin y ，显然B错误．对于选项C ，取x ＝－1，y ＝－2，则ln(x 2＋1)<ln(y 2＋1)，显然C 错误．对于选项D ，取x ＝2，y ＝1，则211x +<211y +，显然D 错误．当x >y 时，一定有x 3>y 3成立，所以选A. 2.若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )A.a d ＞b cB.a d ＜b cC.a c ＞b dD.a c ＜b d【解析】因为c ＜d ＜0，所以1d ＜1c ＜0，即－1d ＞－1c ＞0，与a ＞b ＞0对应相乘得，－a d ＞－b c ＞0，所以a d <b c ，故选B.3.已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( )A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B ．若a c ＞b c ，则a ＞bC ．若a 3＞b 3且ab ＜0，则1a ＞1bD ．若a 2＞b 2且ab ＞0，则1a ＜1b【解析】当c ＝0时，可知A 不正确；当c ＜0时，可知B 不正确；由a 3＞b 3且ab ＜0，知a＞0且b ＜0，所以1a ＞1b成立，C 正确；当a ＜0且b ＜0时，可知D 不正确．答案：C 4.设a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ，则( )A ．ac ＞bc B.1a ＜1bC ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 3【解析】若c ≤0，则A 错；若a ＞0，b ＜0，则B 错；若a ＝0，b ＝－1，则C 错，故选D.二、基本不等式的应用5.已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b 的最小值为( )A.4B.22C.8D.16【解析】由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab 有ab ＝1，则1a ＋2b ≥21a ·1b ＝2 2.答案B6.若直线1(0,0)x y a b a b +=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解析】由已知得，则，因为，所以，故，当，即时取等号． 7.设,0,5a b a b >+=,________.【解析】令t则22t＝1a b +++≤9＋a ＋1＋b ＋3＝18，当且仅当a ＋1＝b ＋3时，即a ＝72，b ＝32时，等号成立．即t 的最大值为3 2. 8.若实数,a b满足12a b+=，则ab 的最小值为() A B 、2C 、D 、4 【解析】12a b +=00a b ∴＞，＞，122b a a b ab ab +=+=≥= ab ∴≥（当且仅当2b a =时取等号），所以ab 的最小值为 C.9.若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( )A ．6＋2 3B ．7＋2 3C ．6＋4 3D ．7＋4 3 111a b+=11=()()a b a b a b +++2+b a a b=+0,0a b >>+b a a b ≥4a b +≥=b a a b2a b ==【解析】由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得12log 2(3a ＋4b )＝12log 2(ab )，所以3a ＋4b ＝ab ，即3b ＋4a ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )34b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝3a b ＋4b a ＋7≥43＋7，当且仅当3a b ＝4b a ，即a ＝23＋4，b ＝3＋23时取等号，故选D.10.若直线ax －by ＝2(a >0，b >0)过圆x 2－4x ＋2y ＋1＝0的圆心，则ab 的最大值为________.【解析】圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0的圆心为(2，－1)，代入直线方程得2a ＋b ＝2，因为2＝2a ＋b ≥22ab ，所以ab ≤12，当且仅当2a ＝b ，即a ＝12，b ＝1时等号成立，所以ab 的最大值为12.11.若对任意x >0，231x x x ++≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．【解析】若对任意x >0，231x x x ++≤a 恒成立，只需求得y ＝231x x x ++的最大值即可．因为x >0，所以y ＝231x x x ++＝113x x ++＝15，当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取值范围是[15，＋∞)．12.已知直线ax ＋by ＝1经过点(1，2)，则2a ＋4b 的最小值为( ) A. 2 B.22 C.4 D.4 2【解析】因为直线ax ＋by ＝1过点(1，2)，所以a ＋2b ＝1，则2a ＋4b ＝2a ＋22b ≥22a ·22b ＝22a ＋2b ＝2 2.答案B13.若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )A.18B.6C.2 3D.【解析】3a ＋3b ≥23a ·3b ＝23a ＋b ＝ 6.14.已知0,0,8,a b ab >>= 则当a 的值为时()22log log 2a b ⋅取得最大值.【解析】()()2222log log 2log log 22a b a b +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭()()222211log 2log 164,44ab ===当2a b =时取等号,结合0,0,8,a b ab >>=可得4, 2.a b == 15.已知函数()4a f x x x=+()00x a >>，在x ＝3时取得最小值，则a ＝________. 【解析】由基本不等式性质，()4a f x x x =+()00x a >>，在4a x x =，即2=4a x 取得最小值，由于00x a ＞，＞，再根据已知可得4a ＝32，故a ＝36. 16设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当z xy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( ) A ．0 B.98 C ．2 D.94 【解析】z xy ＝2234x xy y xy -+43x y y x =+-≥3-＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，因此z ＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2，所以x ＋2y －z ＝4y －2y 2＝－2(y －1)2＋2≤2.17.已知：0,0a b >> ,1a b +=,求2211a b a b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值. 【解析】：原式= 2a +2b +21a +21b +4 =(2a +2b )+(21a +21b)+4 =2[()2]a b ab +-+ [(1a +1b )2-2ab ]+4 =(1-2ab )(1+221a b)+4 由ab ≤(2b a +)2=41 得：1-2ab ≥1-12=12,且221a b ≥16，1+221a b ≥17 ∴原式≥12×17+4=252 (当且仅当a b ==12时，等号成立)∴(a +1a )2+(b +1b )2的最小值是252. 18.已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值是________．【解析】由a ＋b ＋c ＝0，得a ＝－b －c ，则a 2＝(－b －c )2＝b 2＋c 2＋2bc ≤b 2＋c 2＋b 2＋c 2＝2(b 2＋c 2).又a 2＋b 2＋c 2＝1，所以3a 2≤2，解得－63≤a ≤63，所以a max ＝63.三、线性规划19.若,x y 满足约束条件210,210,1,x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩则235z x y =+-的最大值为_____________. 【解析】作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知当目标函数235z x y =+-经过点(1,1)A --时取得最小值，即min 2(1)3(1)510z =⨯-+⨯--=-．20.若x ，y 满足约束条件，则z =x -2y 的最小值为__________. 【解析】由1030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得12x y =⎧⎨-⎩，点A ｛1，2｝，由1030x y x -+=⎧⎨-=⎩得34x y =⎧⎨=⎩，点B(3，4），由3030x x y -=⎧⎨+-=⎩得30x y =⎧⎨=⎩，点C(3,0), 分别将A, B, C 代入2z x y =-得3,5,3A B C z z z =-=-=，所以2z x y =-的最小值为-521.若不等式组 ⎩⎨⎧ x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A.－3B.1C.43D.3 【解析】不等式组表示的区域如图，则图中A 点纵坐标y A ＝1＋m ，B 点纵坐标y B ＝2m ＋23，C 点横坐标x C ＝－2m ，∴S ＝S △ACD －S △BCD ＝12×(2＋2m )×(1＋m )－12×(2＋2m )×2m ＋23＝（m ＋1）23＝43， ∴m ＋1＝2或m ＋1＝－2(舍)，∴m ＝1.103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩。

2020高考文科数学(人教A版)总复习练习：第七章不等式、推理与证明课时规范练32 Word版含解析

课时规范练32基本不等式及其应用基础巩固组1.下列不等式一定成立的是()A.lg x2+>lg x(x>0)B.sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z)C.x2+1≥2|x|(x∈R)D.<1(x∈R)2.若a,b都是正数,则1+1+的最小值为()A.7B.8C.9D.103.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=的最小值是()A. B.4 C. D.54.(2018江西南昌测试三,10)若正数x,y满足x+4y-xy=0,则的最大值为()A. B. C. D.15.(2018江西新余四中适应性考试,9)设正数x,y满足x>y,x+2y=3,则的最小值为()-A. B.3 C. D.6.(2018辽宁辽南协作校一模拟,6)若lg a+lg b=0且a≠b,则的取值范围为()A.[2,+∞)B.(2,+∞)C.[2,3)∪(3,+∞)D.(2,3)∪(3,+∞)的最小值为()7.(2018天津十二中学联考一,12)已知a>b>0,则2a+-A.2+2B.C.2D.8.(2018河北唐山迁安三中期中,9)设x,y均为正实数,且=1,则xy的最小值为()A.4B.4C.9D.169.若对于任意x>0,≤a恒成立,则a的取值范围是.10.已知x,y∈R且满足x2+2xy+4y2=6,则z=x2+4y2的取值范围为.11.(2018河北唐山二模,23)已知a>0,b>0,c>0,d>0,a2+b2=ab+1,cd>1.(1)求证:a+b≤2;(2)判断等式=c+d能否成立,并说明理由.12.已知a>0,b>0,a+b=1,求证:(1)≥8;(2)1+1+≥9.综合提升组13.(2018湖北宜昌一中适应性考试,11)若P是面积为1的△ABC内一点(不含边界),△PAB,△PAC和△PBC的面积分别为x,y,z,则的最小值是()A.3B.C. D.14.(2018广东广州仲元中学期末,11)已知x,y∈R*,且满足x+2y=2xy,则x+4y的最小值为()A.3-B.3+2C.3+D.415.(2018湖南澧县一中一检,14)已知二次函数f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),则的最小值为.创新应用组16.(2018河南信阳二模,11)点M(x,y)在曲线C:x2-4x+y2-21=0上运动,t=x2+y2+12x-12y-150-a,且t的最大值为b,若a>0,b>0,则的最小值为()A.1B.2C.3D.4课时规范练32基本不等式及其应用1.C当x>0时,x2+≥2·x·=x,所以lg x2+≥lg x(x>0),故选项A不正确;运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”,而当x≠kπ,k∈Z时,sin x的正负不定,故选项B不正确;由基本不等式可知,选项C正确;当x=0时,有=1,故选项D不正确.2.C∵a,b都是正数,∴1+1+=5+≥5+2=9,当且仅当b=2a>0时取等号.故选C.3.C依题意,得·(a+b)=5+≥5+2=,当且仅当即a=,b=时取等号,即的最小值是.4.A因为x+4y-xy=0,化简可得x+4y=xy,左右两边同时除以xy,得=1,求的最大值,即求的最小值,所以×1=×=≥2≥3,当且仅当时取等号,所以的最大值为,所以选A.5.A因为x+2y=3,所以2x+4y=6,所以(x-y)+(x+5y)=6,所以--×6=-[(x-y)+(x+5y)]=10+--≥(10+2)=,当且仅当x=2,y=时取最小值.故选A.6.A∵lg a+lg b=0且a≠b,∴lg ab=0,即ab=1.∴·ab=2b+a≥2=2,当且仅当a=2b=时取等号.∴的取值范围为[2,+∞),故选A.7.A∵a>b>0,2a+-=a+b+a-b+-,∴a+b+≥2,当且仅当a+b=时取等号;a-b+-≥2,当且仅当a-b=时取等号.∴联立-解得-∴当-时,a+b+a-b+-≥2+2,即2a+-取得最小值2+2.8.D将等式化简可得xy-8=x+y≥2,解得≥4,所以xy≥16,所以最小值为16.故选D.9.,+∞,因为x>0,所以x+≥2(当且仅当x=1时取等号),则,即的最大值为,故a≥.10.[4,12]∵2xy=6-(x2+4y2),而2xy≤,∴6-(x2+4y2)≤,∴x2+4y2≥4(当且仅当x=2y时取等号).∵(x+2y)2=6+2xy≥0,即2xy≥-6,∴z=x2+4y2=6-2xy≤12(当且仅当x=-2y时取等号).综上可知4≤x2+4y2≤12.11.(1)证明由题意得(a+b)2=3ab+1≤32+1,当且仅当a=b时,取等号.解得(a+b)2≤4,又a>0,b>0,所以a+b≤2.(2)解不能成立.,因为a+b≤2,所以≤1+,因为c>0,d>0,cd>1,所以c+d=+1,故=c+d不能成立.12.证明 (1)∵a+b=1,a>0,b>0,∴=2=2=2+4≥4+4=8(当且仅当a=b=时,等号成立),∴≥8.(2)∵1+1+=+1,由(1)知≥8.∴1+1+≥9.13.A∵x+y+z=1,∴-------+1≥2--+1=3,当且仅当x=时取等号,∴的最小值为3,故选A.14.B由题意可得(2y-1)(x-1)=1,变形为(x-1)(4y-2)=2,所以---,所以x+4y≥2+3,当且仅当x-1=4y-2时,等号成立,即x=+1,y=,选B.15.4由题意知,a>0,Δ=4-4ac=0,∴ac=1,c>0,则=+≥2+2=2+2=4,当且仅当a=c=1时取等号.∴的最小值为4.16.A曲线C:x2-4x+y2-21=0可化为(x-2)2+y2=25,表示圆心为A(2,0),半径为5的圆.t=x2+y2+12x-12y-150-a=(x+6)2+(y-6)2-222-a,(x+6)2+(y-6)2可以看作点M到点N(-6,6)的距离的平方,圆C上一点M到N的距离的最大值为|AN|+5,即点M是直线AN与圆C的离点N最远的交点,所以直线AN的方程为y=-(x-2),由---解得-或-(舍去),∴当-时,t取得最大值,且t max=(6+6)2+(-3-6)2-222-a=b,∴a+b=3,∴(a+1)+b=4,∴[(a+1)+b]=+2≥1,当且仅当,且a+b=3,即a=1,b=2时等号成立.故选A.。

2020届高考数学二轮复习讲义及题型归纳《不等式选讲》(中档)

目录目录 (1)一、考纲解读 (2)二、命题趋势探究 (2)三、知识点精讲 (2)(一).不等式的性质 (2)(二).含绝对值的不等式 (3)(三).基本不等式 (3)(四).不等式的证明 (3)四、解答题题型总结 (4)核心考点:放缩法解不等式 (4)一、考纲解读1.了解绝对值的几何意义，会利用绝对值的定义解不等式，利用绝对值不等式证明不等式和求最值.2.了解柯西不等式及其几何意义，会用它来证明不等式和求最位.3.了解基本不等式，会用它来证明不等式和求最值.4.会用综合法、分析法、反证法及数学归纳法证明不等式. 二、命题趋势探究本节内容为新课标新增内容，是高考选考内容.题型以含绝对值的不等式的解法和证明为重要考点，不等式的应用为次重要考点，不等式证明放在一般位置，难度为中档. 三、知识点精讲 (一).不等式的性质 1.同向合成（1）,a b b c a c >>⇒>；（2）,c a b d a c b d >>⇒+>+；（3）0,c 0a b d ac bd >>>>⇒>. （合成后为必要条件） 2.同解变形（1）a b a c b c >⇔+>+；（2）0,0,a b c ac bc c ac bc >⇔>>⇔<<；（3）11000a b b a>>⇔>>⇔>>.（变形后为充要条件） 3.作差比较法0,0a b a b a b a b >⇔>-><⇔-< (二).含绝对值的不等式（1）0,||a x a a x a ><⇔>-<<；0,||,a x a x a x a >>⇔>><-或（2）22||||a b a b >⇔>（3）||||x a x b c +++<零点分段讨论 (三).基本不等式（1）222a b ab +>（当且仅当等号成立条件为a b =）（2）0,0,2a ba b +>>≥a b =）；0,0,0,3a b c a b c ++>>>≥a b c ==时等号成立）（3）柯西不等式22222()()()a b c d ac bd ++≥+（当且仅当ad bc =时取等号）①几何意义：||ad bc ⋅⇔+≤a b a b ||||||≤②推广：222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++L L L .当且仅当向量12(,,,)n a a a L a =与向量12(,,,)n b b b L b =共线时等号成立.(四).不等式的证明（1）作差比较法、作商比较法.（2）综合法——由因到果. （3）分析法——执果索因. （4）数学归纳法.（5）构造辅助函数利用单调性证明不等式. （6）反证法. （7）放缩法. 四、解答题题型总结核心考点:放缩法解不等式预证A B ≥，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得112,,,K B B B B B A ≤≤≤L 或112,,,K A A A A A B ≥≥≥L ，再利用传递性，达到证明目的，常见的放缩途径有“添舍”放缩、“分母”放缩和“单调”放缩.1.已知正数,,a b c 满足1a b c ++=6<. 分析采用“添项”放缩法解析31a ==+ ①31b <=+ ②31c <=+ ③①+②+3()36a b c <+++=.评注放缩法的主要依据是不等式的传递性，通常，若所证不等式两边形式差异较大，则应考虑用放缩法.本题也可用柯西不等式证明：23(616161)2736a b c ≤+++++=<，6.2.证明：1(1)(2,)n n n n n n -*>+≥∈N .解析因为2121111111n n nn n n n n C C C n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⋯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭= ()()()()()()()2112122121111111...2!3!1!!n n n n n n n n n n n n n n ---------++⋅+++⋅+⋅-L L 111121122112111(1)(1)(1)...(1)(1)...(1)(1)(1)...(1)2!3!(n 1)!n!n n n n n n n n n n n--++-+--++---+---- 111112!3!!n <++++⋯+ 2111111112111331222212n n n ---++++⋯+=+=-<- . 即()13nn n n +<.由2n ≥时,13n +≥,得()()311nn n n n n n <≤++, 故()11n n n n ->+()2,n n N *≥∈.评注这里用111n -<, 1(1)(12)1n n --<,…11(1)(1)...(1)12n n n n----< ① 以及112!2≤,2113!2<,3114!2<, (111)!2n n -< ②3.求证：12(,,,)b c d aa b c d a b c b c d c d a d a b+<+++<∈++++++++R .解析由题意，,,,a b c d +∈R ，则b c d a a b c b c d c d a d a b +++++++++++1a b c da b c d+++>=+++， b c d a a b c b c d c d a d a b +++++++++++2b c d aa b c d c d a b <+++=++++.所以原不等式成立.4.设,,,a b c m +∈R ，且满足m m m a b c =+，问m 取何值时，以,,a b c 为边可构成三角形，并判断该三角形的形状.解析由幂函数性质可知a b >，a c >，要构成三角形，只需b c a +>，故()m m b c a +>，即证明()m m m b c b c +>+，只需证明1()()m mb c b c b c>+++，即()()m m b c b cb c b c b c b c+<+++++. ① 由0m >，且,(0,1)b cb c b c∈++，由指数函数(01)x y a a =<<单调递减可知，要使得式①成立，只需1m >. 因此可知，要b c a +>成立.只需1m >成立. 当2m =时，222a b c =+，三角形为直角三角形；当12m <<时，22222()m m m m m m m m m a a a b c a b a c a ----=⋅=+⋅=⋅+⋅22m m m m b b c c -->⋅+⋅22b c =+即222a b c >+，此时三角形为钝角三角形；当2m >时，22222()m m m m m m m m m a a a b c a b a c a ----=⋅=+⋅=⋅+⋅22m m m m b b c c --<⋅+⋅22b c =+即222a b c <+，此时三角形为锐角三角形. 5.(1)求∑=-nk k 12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k.解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk Λ 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n(3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC T r rr n r(4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n nn Λ(5)nn nn 21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n nn n(8)n n n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-(9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1(10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11) )2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n(12) 111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n(13) 3212132122)12(332)13(2221nn n n n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15))2(1)1(1≥--<+n n n n n(15)111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i j i j i6.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n Λ (2)求证:nn412141361161412-<++++Λ(3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn ΛΛΛ(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn Λ解析:(1)因为⎪⎭⎫⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以)12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni (2))111(41)1211(414136116141222n nn -+<+++=++++ΛΛ (3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ΛΛ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先nn n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+Λ再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n nΛ例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n Λ解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk Λ 另一方面:1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n ΛΛ当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++Λ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++Λ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n Λ7.设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a<<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b-≥.证明:1k a b +>.解析:由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列,故存在正整数k m ≤,使b a m ≥,则b a a k k ≥>+1,否则若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤+)(|ln |11111 8.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+Λ321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1(∑=++++++++--=-++---+--=n k m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1(Λ所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--n k m m m m m m m m m nk m nk m m k k n nnn n k m k k111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([Λ故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m n k m n k m m k k k m k k 1111111])1[()1(])1([,即等价于m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kk m k k m而正是成立的,所以原命题成立. 9.已知n n n a 24-=,nnna a a T +++=Λ212,求证:23321<++++n T T T T Λ. 解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n nn n n n nT-+-=-----=+++-++++=ΛΛ所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n n nn T⎪⎭⎫⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n nn n从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n n T T T T ΛΛ 10.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n xn,求证: *))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+Λ证明:nnn n n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+Λ。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

A．aa>b>0，由不等式性质知：->->0，所以<>-72∵x-x=4a-(-2a)=6a=15，∴a=15622020年高考文科数学《不等式》题型归纳与训练【题型归纳】题型一一元二次不等式解法及其应用例1若a>b>0，c<d<0，则一定有（）b a b a b a b>B．<C．>D．<c d c d d c d c 【答案】D【解析】由c<d<0⇒-11>0，又d ca b a bd c d c例2关于x的不等式x2-2ax-8a2<0（a>0）的解集为(x,x)，且x-x=15，则a=（）1221A．515B．C．D．24152【答案】A【解析】∵由x2-2ax-8a2<0(a>0)，得(x-4a)(x+2a)<0，即-2a<x<4a，∴x=-2a,x=4a.125=．故选A．21例3不等式x2-9x-2>0的解集是___________．【答案】(-3,2)⋃(3,+∞)【解析】不等式可化为(x+3)(x-2)(x-3)>0采用穿针引线法解不等式即可．例4已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是．【答案】(-22,0)【解析】由题意可得f(x)<0对于x∈[m,m+1]上恒成立，⎩f(m+1)=2m2+3m<0，则函数y=4x-2+1的最大值.x<,∴5-4x>0，∴y=4x-2+=- 5-4x+⎪+3≤-2+3=11【解析】因为y=x(8-2x)=1.【答案】9,+∞)⎧f(m)=2m2-1<02即⎨，解得-<m<0．2题型二应用基本不等式求函数最值例1已知x<【答案】1544x-5【解析】因4x-5<0，所以首先要“调整”符号，又(4x-2)14x-5不是常数，所以对4x-2要进行拆、凑项.5⎛1⎫44x-5⎝5-4x⎭当且仅当5-4x=15-4x，即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，y max=1.【易错点】注意x<54,则4x-5为负数，要提“-”使其变“+”.【思维点拨】本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值例2当0<x<4时，则y=x(8-2x)的最大值是.【答案】8.12x+8-2x[2x(8-2x)]≤()2=8222当且仅当2x=8-2x，即x=2时取等号，所以当x=2时，y=x(8-2x)的最大值为8.【思维点拨】由0<x<4知，8-2x>0，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。

注意到2x+(8-2x)=8为定值，故只需将y=x(8-2x)凑上一个系数即可.例3函数y=x2+7x+10x+1(x>-1)的值域为。

[【解析】当x>-1,即x+1>0时,y≥2（x+1)⨯4+5=9（当且仅当x＝1时取“＝”号）.x+12+ = 1 ，则 x + y 的最小值为.= 1 ，∴ x + y = (x + y ) + ⎝ x y ⎭ ⎪ = +当且仅当 y = 时，上式等号成立，又 + = 1 ，可得 x = 4, y = 12 时， (x + y ) ．．x > 0, y > 0 ，且 + = 1 ，∴ x + y = ⎛ 1 + 9 ⎫⎪ (x + y ) ≥ 2 9 2 xy = 12是1.【思维点拨】本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离.例 4已知 x > 0, y > 0 ，且【答案】161 9x y【解析】1 9 x > 0, y > 0, +x y ⎛ 19 ⎫ y 9x x y+ 10 ≥ 6 + 10 = 169 x 1 9 x yx y min= 16 .【易错点】错解：故 (x + y )= 121 9 x y⎝ x y ⎭ xymin错因：解法中两次连用均值不等式，在x + y ≥ 2 xy 等号成立条件是 x = y ，在 1 + 9 ≥ 2 9 等号成立条件 x yxy9= 即 y = 9 x ,取等号的条件的不一致，产生错误。

因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成 x y立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。

【思维点拨】多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错例 5 已知 a ， b 为正实数， 2b + ab + b = 30 ，则函数 y =1【答案】181 ab的最小值是 .【易错点】①本题考查不等式a +b 2≥ ab （a, b ∈ R +）的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式 ab = a + 2b + 30（a, b ∈ R +）出发求得 ab 的范围，关键是寻找到 a + b 与ab 之间的关系，由此想到不等式 a + b2≥ ab （a, b ∈ R +），这样将已知条件转换为含 a b 的不等式，进而解得 ab 的范围.【思维点拨】这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

题型三线性规划例 1 已知 ⎨x + y - 4 ≥ 0 ，则： ⎪2 x - y - 5 ≤ 0 【答案】（1） 21 ；（2） 9 ；（3） ⎢ , ⎦y -- ⎪⎪=7= ，所以 z 的取值范围为 ⎢ ,4 8 ⎣ 4 2 ⎥⎦.（2）根据点线距离求即可；（3）先确定定点 Q - 1, - ⎪ 再利用斜率求.例 2 已知 ⎨ x - y + 1 ≤ 0, 则 x 2 + y 2的最小值是.⎪2 x - y - 2 ≤ 0 ( ⎧x - y + 2 ≥ 0 ⎪⎩(1) z = x + 2 y - 4 的最大值； (2) z = x 2 + y 2 - 10 y + 25 的最小值；(3) z = 2 y + 1 x + 1的取值范围是 .⎡ 3 7 ⎤2⎣ 42 ⎥.【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标 A(1,3)，B(3,1)，C(7,9).(1)易知直线 x + 2 y - 4 = z 过点 C 时，z 最大.所以 x ＝7，y ＝9 时，z 取最大值 21.(2) z = x 2 + (y - 5)2 表示可行域内任一点 (x, y )到定点 M (0,5)的距离的平方，过点 M 作直线 AC 的垂线，易知垂足 N 在线段 AC 上，故 z 的最小值是92.(3) z = 2 ⋅⎛ 1 ⎫ ⎝ 2 ⎭ x - (- 1) 表示可行域内任一点 (x, y )与定点 Q ⎛ - 1, - 1 ⎫ 连线斜率的 2 ⎝ 2 ⎭倍.因为 k， kQB3 ⎡ 3 7 ⎤ .【易错点】作出直线图像后要熟练掌握如何找到满足条件的可行域【思维点拨】(1)把直线直线 x + 2 y - 4 = z 变形为 y = - 1 2x + z + 4 可知在 y 轴上你的截距越大 z 就越大;⎛1 ⎫ ⎝2 ⎭⎧ x ≥ 1,⎪ ⎩【答案】 5【解析】如图，只要画出满足约束条件的可行域，而 x 2 + y 2 表示可行域内一点到原点的距离的平方，由图易知 A 1,2)是满足条件的最优解，x 2 + y 2 的最小值是为 5 .4例1已知a、b、c∈R+，且a+b+c=1。

求证： -1⎪-1⎪-1⎪≥8.【答案】a、b、c∈R+，a+b+c=1∴1同理12ac12ab-1⎪-1⎪≥=8，当且仅当a=b=c=-1⎪⎝a⎭⎝b⎭⎝c a b c”lg a⋅lg b,Q=1【思维点拨】本题属非线性规划最优解问题。

求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。

题型四基本不等式的应用⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎝a⎭⎝b⎭⎝c⎭1-a b+c2bc-1==≥a a a a-1≥，-1≥上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得:b bc c⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫2bc2ac2ab⎭13时取等号.【思维点拨】不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2连乘，又11-a b+c2bc-1==≥a a a a，可由此变形入手.例2若a>b>1,P=a+b(lg a+lg b),R=lg()，则P,Q,R的大小关系是.22【答案】R>Q>P【解析】∵a>b>1∴lg a>0,lg b>0，则Q=1（lg a+lg b)>lg a⋅lg b=p 2R=lg(a+b1)>lg ab=lg ab=Q∴R>Q>P.22【思维点拨】因为lg a>0,lg b>0所以可以利用均值不等式进行判断大小.【巩固训练】题型一一元二次不等式解法及其应用1.不等式x2+x-2<0的解集为___________．【答案】(-2,1)【解析】易得不等式x2+x-2<0的解集为(-2,1).2.已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_________．【答案】(0,8)【解析】因为不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立．∴△=(-a)2-8a<0，解得0<a<8．b + -c = 0 的两根，由韦达定理得 2m + 6 = -a, m (m + 6) = - c, 解得 c = 9 . 4.已知函数 f ( x ) = ⎧⎨ x + 1, x ≥ 0 ,则满足不等式 f (1- x 2) > f (2 x) 的 x 的范围是_____．【解析】 xy = xy 12 = xy + ⎪ = + + 32 ≥ 2 + 32 = 64= = 时，即 x = 4. y = 16 ，上式取“=”，故 (xy )min = 643.已知函数 f (x) = x 2 + ax + b (a ， ∈ R) 的值域为[0 ， ∞) ，若关于 x 的不等式 f ( x ) < c 的解集为 (m ，m + 6) ，则实数 c 的值为．【答案】 c = 9【解析】因为 f ( x ) 的值域为[0,+∞），所以 ∆ = 0, 即 a 2 = 4b ,所以 x 2 + ax +a2 a 2 4 42 ⎩1,x < 0【答案】 (-1, 2 -1)⎧⎪1 - x 2 > 2 x【解析】 ⎨ ⇒ x ∈ (-1, 2 - 1) ．⎪⎩1 - x 2 > 05.已知 f ( x ) 的定义域为 R 的偶函数，当 x ≥ 0 时，f ( x ) = x 2 - 4 x ，那么，不等式 f ( x + 2) < 5 的解集_____．【答案】(－7,3)【解析】当 x ≥0 时，令 x 2 - 4 x < 5 ，解得， 0 ≤ x < 5 ．又因为 f ( x ) 为定义域为 R 的偶函数，则不等式f ( x + 2) < 5 等价于 -5 < x + 2 < 5 ，即－7＜ x ＜3；故解集为(－7,3)．题型二应用基本不等式求函数最值1.已知 x, y , > 0,【答案】 642 8+ = 1 ，则 xy 的最小值是。