人教新课标版数学高二数学选修1-1第一章《常用逻辑用语》章末检测(A)
第一章 章末检测(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．下列语句中是命题的是( )
A ．梯形是四边形
B ．作直线AB
C ．x 是整数
D ．今天会下雪吗？
2．设原命题：若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )
A ．原命题真，逆命题假
B ．原命题假，逆命题真
C ．原命题与逆命题均为真命题
D ．原命题与逆命题均为假命题
3．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
4．设集合M ＝{x |x >2}，P ＝{x |x <3}，那么“x ∈M ，或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
5．有下列命题：①2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形；④方程x 2＝1的解x ＝±1.其中使用逻辑联结词的命题有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 6．在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >1
2”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．若p ：a ∈R ，|a |<1，q ：x 的二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一根小于零，则p 是q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 8．已知条件p ：|x ＋1|>2，条件q ：5x －6>x 2，则綈p 是綈q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
9．已知实数a >1，命题p ：函数y ＝log 1
2(x 2＋2x ＋a )的定义域为R ，命题q ：|x |<1是x 的充分不必要条件，则( ) A ．“p 或q ”为真命题 B ．“p 且q ”为假命题 C ．“綈p 且q ”为真命题 D ．“綈p 或綈q ”为真命题 10．“a 和b 都不是偶数”的否定形式是( ) A ．a 和b 至少有一个是偶数 B ．a 和b 至多有一个是偶数 C ．a 是偶数，b 不是偶数 D ．a 和b 都是偶数 11．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对于x ∈R 恒成立，那么a 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．(－2,2] C ．(－∞，2] D ．(－∞，－2) 12．已知命题p ：存在x ∈R ，使tan x ＝ 2 2 ，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1 A ．②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．①②③④ 二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分) 11．已知α、β是不同的两个平面，直线a ?α，直线b ?β，命题p ：a 与b 无公共点；命题q ：α∥β，则p 是q 的__________条件． 12．命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是__________． 13．若p ：“平行四边形一定是菱形”，则“非p ”为 ______________________________________________________________________. 14．下列四个命题中 ①“k ＝1”是“函数y ＝cos 2kx －sin 2kx 的最小正周期为π”的充要条件； ②“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7相互垂直”的充要条件； ③函数y ＝ x 2＋4 x 2＋3 的最小值为2. 其中是假命题的为________(将你认为是假命题的序号都填上) 三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假． (1)正方形是矩形又是菱形； (2)同弧所对的圆周角不相等； (3)方程x 2－x ＋1＝0有两个实根． 18．(12分)判断命题“已知a 、x 为实数，如果关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，则a ≥1”的逆否命题的真假． 19．(12分)已知p ：???? 1－x －13≤2；q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0 (m >0)，若綈p 是綈q 的必要 非充分条件，求实数m 的取值范围． 20．(12分)已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件． 21.(12分)p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根；如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围． 22．(12分)已知下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围． 单元检测卷答案解析单元检测卷答案解析 第一章 常用逻辑用语(A) 答案 1．A 2．A [因为原命题“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆否命题为，“若a ，b 都小于1，则a ＋b <2”显然为真，所以原命题为真；原命题“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题为：“若a ，b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2”，是假命题，反例为a ＝1.2，b ＝0.3.] 3．C 4．A [“x ∈M ，或x ∈P ”不能推出“x ∈M ∩P ”，反之可以．] 5．C [①中有“且”；②中没有；③中有“非”；④中有“或”．] 6．B [当A ＝170°时，sin 170°＝sin 10°<12，所以“过不去”；但是在△ABC 中，sin A > 1 2?30°30°，即“回得来”．] 7．A [a ∈R ，|a |<1?a －2<0，充分成立，反之不成立．] 8．A [綈p ：|x ＋1|≤2，－3≤x ≤1，綈q ：5x －6≤x 2， 即x 2－5x ＋6≥0，解得x ≥3，或x ≤2. ∴綈p ?綈q ，但綈q 綈p ，故綈p 是綈q 的充分不必要条件．] 9．A [命题p ：当a >1时，Δ＝4－4a <0，即x 2＋2x ＋a >0恒成立，故函数y ＝log 1 2(x 2 ＋2x ＋a )的定义域为R ，即命题p 是真命题；命题q ：当a >1时，由|x |<1，得－1 10．A [对“a 和b 都不是偶数”的否定为“a 和b 不都不是偶数”，等价于“a 和b 中至少 有一个是偶数”．] 11．B [注意二次项系数为零也可以．] 12．D [∵p 、q 都是真命题，∴①②③④均正确．] 13．必要不充分 解析 q ?p ，p ?q . 14．[－3,0] 解析 ax 2－2ax －3≤0恒成立， 当a ＝0时，－3≤0成立； 当a ≠0时，由? ?? a <0 Δ＝4a 2＋12a ≤0得－3≤a <0； ∴－3≤a ≤0. 15．平行四边形不一定是菱形；或至少有一个平行四边形不是菱形 解析 本题考查复合命题“非p ”的形式，p ：“平行四边形一定是菱形”是假命题，这里“一定是”的否定是用“一定不是”还是“不一定是”？若为“平行四边形一定不是菱形”仍为假命题，与真值表相违，故原命题的“非p ”为“平行四边形不一定是菱形”，是一个真命题． 第二种说法是命题是全称命题的简写形式，应用规则变化即可． 16．①②③ 解析 ①“k ＝1”可以推出“函数y ＝cos 2kx －sin 2kx 的最小正周期为π”，但是函数y ＝cos 2kx －sin 2kx 的最小正周期为π， 即y ＝cos 2kx ，T ＝2π |2k | ＝π，k ＝±1. ②“a ＝3”不能推出“直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7相互垂直”，反之垂直推出a ＝2 5 ； ③函数y ＝ x 2＋4 x 2＋3＝x 2＋3＋1x 2＋3 ＝x 2＋3＋ 1 x 2 ＋3，令 x 2＋3＝t ，t ≥3， y min ＝3＋ 13 ＝433. 17．解 (1)若一个四边形是正方形，则它既是矩形，又是菱形，为真命题． (2)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等，为假命题． (3)如果一个方程为x 2－x ＋1＝0，则这个方程有两个实数根，为假命题． 18．解 方法一 (直接法) 逆否命题：已知a 、x 为实数，如果a <1，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集． 判断如下： 二次函数y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2图象的开口向上，判别式Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2) ＝4a －7. ∵a <1，∴4a －7<0. 即二次函数y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2与x 轴无交点， ∴关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真． 方法二 (先判断原命题的真假) ∵a 、x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空， ∴Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0， 即4a －7≥0，解得a ≥7 4， ∵a ≥7 4 >1，∴原命题为真． 又∵原命题与其逆否命题等价，∴逆否命题为真． 方法三 (利用集合的包含关系求解) 命题p ：关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0有非空解集． 命题q ：a ≥1. ∴p ：A ＝{a |关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0有实数解}＝{a |(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0}＝? ?? ? ??a |a ≥74， q ：B ＝{a |a ≥1}． ∵A ?B ，∴“若p ，则q ”为真， ∴“若p ，则q ”的逆否命题“若綈q ，则綈p ”为真． 即原命题的逆否命题为真． 19．解 綈p ：? ????? 1－x －13>2，解得x <－2，或x >10， A ＝{x |x <－2，或x >10}． 綈q ：x 2－2x ＋1－m 2>0， 解得x <1－m ，或x >1＋m ， B ＝{x |x <1－m ，或x >1＋m }． ∵綈p 是綈q 的必要非充分条件，∴B A ， 即{ 1－m ≤－21＋m ≥10且等号不能同时成立，?m ≥9， ∴m ≥9. 20．解 令f (x )＝x 2＋(2k －1)x ＋k 2，方程有两个大于1的实数根? Δ＝(2k －1)2－4k 2≥0 － 21 12 k -> f (1)>0) 即k <－2. 所以其充要条件为k <－2. 21．解 对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立?a ＝0或?? ? a >0 Δ<0 ?0≤a <4； 关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根?1－4a ≥0?a ≤1 4；如果p 真，且q 假，有0≤a <4， 且a >14 ，