第二轮弹簧和传送带问题专题复习

第二轮专题：弹簧和传送带问题

第一部分 弹簧问题

有关弹簧的题目在高考中几乎年年出现，由于弹簧弹力是变力，学生往往对弹力大小和方向的变化过程缺乏清晰的认识，不能建立与之相关的物理模型并进行分类，导致解题思路不清、效率低下、错误率较高．

与弹簧相关的有两类问题：一类是静平衡问题，一类是动态问题。静平衡模型主要是弄清弹簧形变是拉伸还是压缩，从而正确画出弹力的方向，利用平衡条件求解；动态模型除了弄清弹簧形变是拉伸还是压缩，从而正确画出弹力的方向外，还应弄清弹力对物体的做功情形，物体动能的变化；对于水平面上被轻弹簧连接的两个物体所组成的合外力为零的系统，当伸长量最大时和压缩量最大时均为“二者同速”。

在中学阶段，凡涉及的弹簧都不考虑其质量，称之为“轻弹簧”，是一种常见的理想化物理模型．轻弹簧中各部分间的张力处处相等，两端弹力的大小相等、方向相反。以轻质弹簧为载体，设置复杂的物理情景，考查力的概念，物体的平衡，牛顿定律的应用及能的转化与守恒，是高考命题的重点。 注：有关弹簧的串、并联和弹性势能的公式，高考中不作定量要求。 一、平衡、牛顿定律的应用 例1．（06年北京）木块A 、B 分别重50 N 和60 N ，它们与水平地面之间的动摩擦因数均为0.25；夹在A 、B 之间的轻弹簧被压缩了2cm ，弹簧的劲度系数为400N ／m ，系统置于水平地面上静止不动。现用F=1 N 的水平拉力作用在木块B 上.A 、B 均静止不动.则力F 作用后

A.木块A 所受摩擦力大小是12.5 N

B.木块A 所受摩擦力大小是11.5 N

C.木块B 所受摩擦力大小是9 N

D.木块B 所受摩擦力大小是7 N

例2．实验室常用的弹簧测力计如图甲所示，连接有挂钩的拉杆与弹簧相连，并固定在外壳一端，外壳上固定一个圆环，可以认为弹簧测力计的总质量主要集中在外壳(重量为G)上，弹簧和拉杆的质量忽略不计．再将该弹簧测力计以两种方式固定于地面上，如图乙、丙所示，分别用恒力F 0竖直向上拉弹簧测力计，静止时弹簧测力计的读数为

A ．乙图读数F 0-G ，丙图读数F 0+G

B ．乙图读数F 0+G ，丙图读数F 0-G

C ．乙图读数F 0，丙图读数F 0-G

D ．乙图读数F 0-G ，丙图读数F 0

例3．如图所示，一个弹簧秤放在光滑的水平面上，外壳质量m 不能忽略，弹簧及挂钩质量不计，施加水平方向的力F 1、F 2，且F 1＞F 2，则弹簧秤沿水平方向的加速度为 ，弹簧秤的读数为 ．

例4．如图所示，质量为m 的物体A 放置在质量为M 的物体B 上，B 与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上作简谐振动，振动过程中A 、B 之间无相对运动。设弹簧的劲度系数为k ，当物体离开平衡的位移为x 时，A 、B 间摩擦力的大小等于

A. 0

B.kx

C. kx M

m D.

kx m

M m

例5．如图所示，在光滑水平面上有两个质量分别为m 1和m 2的物体A 、B ，m 1>m 2，A 、B 间水平连接着一轻质弹簧测力计．若用大小为F 的水平力向右拉B ，稳定后B 的加速度大小为a 1，弹簧测力计示数为F 1；如果改用大小为F 的水平力向左拉A ，稳定后A 的加速度大小为a 2，弹簧测力计示数为F 2．则以下关系式正确的是

A ．a 1= a 2， F 1> F 2

B ．a 1= a 2， F 1< F 2

C ．a 1< a 2， F 1= F 2

D ．a 1> a 2， F 1> F 2 二、弹簧弹力瞬时问题

因弹簧形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变．因此，分析瞬时变化时，可以认为弹力大小和方向不变，即弹簧的弹力瞬间不突变．

例6．如图所示，木块A 与B 用一轻弹簧相连，竖直放在木块C 上，三者静置于地面，A 、B 、C 的质量之比是1：2：3．设所有接触面都光滑，当沿水平方向迅速抽出木块C 的瞬时，木块A 和B 的加速度分别是A a ＝ ，B a ＝ ．

例7．如图所示，竖直放置在水平面上的轻弹簧上叠放着两个物块A 、B ，它们的质量都是2kg ，都处于静止状态．若突然将一个大小为10N 的竖直向下的压力加在A 上，在此瞬间，A 对B 的压力大小为

A ．35N

B ．25N

C ．15N

D ．5N

三、弹簧长度的变化问题

例8．如图所示，四根相同的轻质弹簧连着相同的物体，在外力作用下做不同的运动：

①在光滑水平面上做加速度大小为g 的匀加速直线运动；

②在光滑斜面上作向上的匀速直线运动

③做竖直向下的匀速直线运动； ④做竖直向上的加速度大小为g 的匀加速直线运动.

设四根弹簧伸长量分别为△l 1、△l 2、△l 3、△l 4，不计空气阻力，g 为重力加速度，则

A ．△l 1＞△l 2

B ．△l 3＜△l 4

C ．△l 1＞△l 4

D ．△l 2＞△l 3 例9．（06年四川）质量不计的弹簧下端固定一小球。现手持弹簧上端使小球随手在竖直方向上以同样大小的加速度a (a

为x 1、x 2;若空气阻力不能忽略且大小恒定，弹簧的伸长分别为x ／

1、x ′2。则 A. x ／

1+x 1=x 2+x ′2 B. x ′1+x 1

C. x ′1+ x ′2= x 1+x 2

D. x ′1+ x ′2< x 1+x 2

例10．如图所示，劲度系数为

1k 的轻质弹簧两端分别与质量为1m 、2m 的物块1、2拴接，劲度系数为2k 的轻质弹簧上端与物块2拴接，下端压在桌面上(不拴接)，整个系统处于平衡状态．现将物块1缓慢地竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面．在此过程中，物块2的重力势能增加了 ，物块1的重力势能增加

了 ．

小结：设劲度系数为k 的弹簧受到压力大小为F 1时压缩量为1x ，弹簧受到拉力大小为F 2时伸长量为2x 。若弹簧受力由压力F 1变为拉力F 2，弹簧长度将由压缩量1x 变为伸长量2x ，则长度增加量为21x x +。)(2121x x k F F +=+ 即 x k F ?=?。

弹簧受力的变化与弹簧长度的变化也同样遵循胡克定律，此时x ?表示的物理意义是弹簧长度的改变量，并不是形变量． 四、弹力变化的运动过程分析

弹簧的弹力是一种由形变决定大小和方向的力，注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应．一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置、现长位置及临界位置，找出形变量x 与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，以此来分析计算物体运动状态的可能变化．

例11．(01年上海)一升降机在箱底装有若干个弹簧，设在某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦力，则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程中

A.升降机的速度不断减小

B.升降机的加速度不断变大

C.先是弹力做的负功小于重力做的正功，然后是弹力做的负功大于重力做的正功

D.到最低点时，升降机加速度的值一定大于重力加速度的值。

例12．如图所示，质量相同的木块A ，B 用轻质弹簧连接静止在光滑的水平面上，弹簧处于自然状态。现用水平恒力F 推A ，则从开始到弹簧第一次被压缩到最短的过程中 A ．两木块速度相同时，加速度a A =a B B ．两木块速度相同时，加速度a A

C ．两木块加速度相同时，速度v A

D ．两木块加速度相同时，速度v A >v B 五、与弹簧相关的临界问题

通过弹簧相联系的物体，在运动过程中经常涉及临界极值问题：如物体速度达到最大；弹簧形变量达到最大时两物体速度相同；使物体恰好要离开地面；相互接触的物体恰好要脱离等。此类题的解题关键是利用好临界条件，得到解题有用的物理和结论。

例13．(05年四川)如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连的物块A 、B ，它们的质量分别为m A 、m B ，弹簧的劲度系数为k ，C 为一固定挡板。系统处于静止状态。现开始用一恒力F 沿斜面方向拉物块A 使之向上运动，求物块B 刚要离开C 时物块A 的加速度a 和从开始到此时物块A 的位移d 。重力加速度g 。

例14．如图所示，A 、B 两木块叠放在竖直轻弹簧上，已知木块A 、B 质量分别为0.42kg 和0.40kg ，

弹簧的劲度系数m N k /100=，若在木块A 上作用一个竖直向上的力F ，使A 由静止开始以0.5m/s 2

的

加速度竖直向上做匀加速运动（g=10m/s 2

）。求

(1)使木块A 竖直做匀加速运动的过程中，力F 的最大值；

(2)若木块由静止开始做匀加速运动，直到A 、B 分离的过程中，弹簧的弹性势能减

少了0.248J ，求这一过程中F 对木块做的功．

例15．如图所示，质量为m 的物体A 用一轻弹簧与下方地面上质量也为m 的物体B 相连，开始时A 和B 均处于静止状态，此时弹簧压缩量为0x ，一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连接物体A 、另一端C 握在手中，各段绳均刚好处于伸直状态，物体A 上方的一段绳子沿竖直方向且足够长．现在C 端施加水平恒力F 使物体A 从静止开始向上运动．(整个过程弹簧始终处在弹性限度以内)． (1)如果在C 端所施加的恒力大小为mg 3，则在物体B 刚要离开地面时物体A 的速度为多大? (2)若将物体B 的质量增加到m 2，为了保证运动中物体B 始终不离开地面，则F 最大不超过多少?

小结：结合弹簧振子的简谐运动，分析涉及弹簧物体的变加速度运动，往往能达到事半功倍的效果．此时要先确定物体运动的平衡位置，区别物体的原长位置，进一步确定物体运动为简谐运动．结合与平衡位置对应的回复力、加速度、速度的变化规律，很容易分析物体的运动过程． 六、弹力做功与弹性势能的变化问题 弹簧弹力做功等于弹性势能的减少量．

弹簧的弹力做功是变力做功，一般可以用以下四种方法求解：(1)因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计算；(2)根据动能定理、能量转化和守恒定律求解．(3)利用F-x 图线所包围的面积大小求解；(4)用微元法计算每一小段位移做功，再累加求和；

由于弹性势能仅与弹簧形变量有关，弹性势能的公式高考中不作定量要求，因此，在求弹力做功或弹性势能的改变时，一般从能量的转化与守恒的角度来求解．特别是涉及两个物理过程中的弹簧形变量相等时，往往弹性势能的改变可以抵消或替代求解．

例16．（2005年全国II ）如图，质量为1m 的物体A 经一轻质弹簧与下方地面上

的质量为2m 的物体B 相连，弹簧的劲度系数为k ，A 、B 都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A ，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，A 上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上升一质量为3m 的物体C 并从静止状态释放，已知它恰好能使B 离开地面但不继续上升。若将C 换成另一个质量为)(31m m 的

物体D ，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B 刚离地时D 的速度的大小是多少？已知重力加速度为g 。

例17． 如图所示，挡板P 固定在足够高的水平桌面上，物块A 和B 大小可忽略，它们分别带有+QA 和+QB 的电荷量，质量分别为A m 和B m ．两物块由绝缘的轻弹簧相连，一个不可伸长的轻绳跨过滑轮，一端与B 连接，另一端连接轻质小钩．整个装置处于场强为E 、方向水平向左的匀强电场中，A 、B 开始时静止，已知弹簧的劲度系数为k ，不计一切摩擦及A 、B 间的库仑力，A 、B 所带电荷量保持不变，B 不会碰到滑轮．

(1)若在小钩上挂质量为M 的物块C 并由静止释放，可使物块A 对挡板P 的压力恰为零，但不会离开P ，求物块C 下降的最大距离h ;

(2)若C 的质量为2M ，则当A 刚离开挡板P 时，B 的速度多大?

例18．如图所示，将质量均为m 厚度不计的两物块A 、B 用轻质弹簧相连接．第一次只用手托着B 物块于H 高处，A 在弹簧弹力的作用下处于静止，现将弹簧锁定，此时弹簧的弹性势能为E p ，现由静止释放A 、B ，B 物块着地后速度立即变为0，同时弹簧锁定解除，在随后的过程中B 物块恰能离开地面但不继续上升．第二次用手拿着A 、B 两物块，使得弹簧竖直并处于原长状态，此时物块B 离地面的距离也为H ，然后由静止同时释放A 、B ，B 物块着地后速度同样立即变为0．求： (1)第二次释放A 、B 后，A 上升至弹簧恢复原长时的速度1v

(2)第二次释放A 、B 后，B 刚要离地时A 的速度2v

例19．如图所示,固定的水平光滑金属导轨,间距为L,左端接有阻值为R 的电阻,处在方向竖直、磁感应强度为B 的匀强磁场中，质量为m 电阻为2R 的导体棒与固定弹簧相连，放在导轨上，导轨的电阻可忽略.初始时刻,弹簧恰处于自然长度,导体棒具有水平向左的初速度v 0.在沿导轨往复运动的过程中,导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触. (1)求初始时刻导体棒受到安培力.

(2)若导体棒从初始时刻到速度第一次为零时,弹簧的弹性势能为E p ,则这一过程中安培力所做的功W 1和电阻R 上产生的焦耳热Q 1分别为多少?

(3)导体棒往复运动,最终将静止于何处?从导体棒开始运动直到最终静止的过程中,电阻R 上产生的焦耳热Q 为多少?

综上举例，从中看出弹簧试题的确是培养、训练学生物理思维和反映、开发学生的学习潜能的优秀试题。弹簧与相连物体构成的系统所表现出来的运动状态的变化，是学生充分运用物理概念和规律（牛顿第二定律、动能定理、机械能守恒定律、能量守恒定律）巧妙解决物理问题、施展自身才华的广阔空间，当然也是区分学生能力强弱、拉大差距、选拔人才的一种常规题型。因此，弹簧试题也就成为高考物理的一种重要题型。而且，弹簧试题也就成为高考物理题中一类独具特色的考题。

第二部分 传送带问题

物体在传送带上运动按传送带放置方式分：水平、倾斜两种；按传送带转向分顺时针、逆时针转两种；

分析思路：

1．受力和运动分析的关键：摩擦力突变（大小、方向）―――发生在V 物与V 带相同的时刻 (1)物体与传送带同向运动 (2)物体与传送带反向运动 2．功能分析

（1）功能关系：W F =△E K +△E P +Q

（2）对W 、Q 的正确理解

①传送带做的功：W F =F·S 带 ②产生的内能：Q=f·S 相对

③△E K 、△E P 为传送带上物体的动能、重力势能的变化。

④如物体无初速，放在水平传送带上，则物体获得的动能E k ，因摩擦而产生的热量Q 有如下关系22

1mv Q E k

==

水平放置运行的传送带：处理水平放置的传送带问题，首先是要对放在传送带上的物体进行受力分析，通过比较物体初速度与传送带速度的关系，分清物体所受摩擦力是阻力还是动力；其二是对物体进行运动状态分析，即对静态→动态→终态进行分析和判断，对其全过程作出合理分析、推论，进而采用有关物理规律求解。

倾斜放置运行的传送带：这种传送带是指两皮带轮等大、轴心共面但不在同一水平线上（不等高），传送带是将物体在斜面上传送的装置。处理这类问题，同样是先对物体进行受力分析，再判断摩擦力的大小与方向。这类问题特别要注意，若传送带匀速运行，则不管物体的运动状态如何，物体与传送带间的摩擦力都不会消失。

例1．(05年上海)对如图所示的皮带传动装置，下列说法中正确的是

A ．A 轮带动

B 轮沿逆时针方向旋转． B ．B 轮带动A 轮沿逆时针方向旋转．

C ．C 轮带动

D 轮沿顺时针方向旋转． D ．D 轮带动C 轮沿顺时针方向旋转．

例2．如图所示，一水平方向足够长的传送带以恒定的速度1v 沿顺时针方向运动，传送带右端有一与传送带等高的光滑水平面，物体以恒定的速率2v 沿直线向左滑上传送带后，经过一段时间又返回光滑水平面上，这时速率为'2v ，则下列说法正确的是

A ．若

12v v <，则'21v v = B ．若12v v >，则'22v v = C ．不管2v 多大，总有'22v v =

D ．只有12v v =时，才有'21v v =

例3．传送机的皮带与水平方向的夹角为α，如图所示，将质量为m 的物体放在皮带传送机上，随皮带一起向下以加速度a (a >g sin α)匀加速直线运动，则

A ．小物体受到的支持力与静摩擦力的合力等于mg

B ．小物体受到的静摩擦力的方向一定沿皮带向下，大小是ma

C ．小物块受到的静摩擦力的大小可能等于mg sin α

D ．小物块受到的重力和静摩擦力的合力的方向一定沿皮带方向向下 例4．(06年全国)一水平的浅色长传送带上放置一煤块（可视为质点），煤块与传送带之间的动摩擦因数为μ。初始时，传送带与煤块都是静止的。现让传送带以恒定的加速度a 0开始运动，当其速度达到v 0后，便以此速度做匀速运动。经过一段时间，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后，煤块相对于传送带不再滑动。求此黑色痕迹的长度。

例5．如图所示，倾角为30°的皮带运输机的皮带始终绷紧，且以恒定速度

v ＝2.5m/s 运动，两轮相距L AB ＝5m ，将质量m ＝1kg 的物体无初速地轻轻放在A

处，若物体与皮带间的动摩擦因数μ＝ 2/3．(取g ＝10m/s 2

）

① 物体从A 运动到B 共需多少时间?

② 物体从A 运动到Ｂ,皮带对物体所做的功是多少? ③ 在这段时间内电动机对运输机所做的功是多少?

例6．一传送带装置示意如图，其中传送带经过AB 区域时是水平的，经过BC 区域时变为圆弧形（圆弧由光滑模板形成，未画出），经过CD 区域时是倾斜的，AB 和CD 都与BC 相切.现将大量的质量均为m 的小货箱一个一个在A 处放到传送带上,放置时初速为零，经传送带运送到D 处，D 和A 的高度差为h 。稳定工作时传送带速度不变，CD 段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L 。每个箱子在Ａ处投放后,在到达B 之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经BC 段时的微小滑动）.已知在一段相当长的时间T 内，共运送小货箱的数目为Ｎ.这装置由电动机带动,传送带与轮子间无相对滑动,不计轮轴处的摩擦.求电动机的平均输出功率。

例7．如图，已知传送带两轮的半径r=1m ，传动中传送带不打滑，质量为1kg 的物体从光滑轨道A 点无初速下滑（A 点比B 点高h=5m ），物体与传送带之间的动摩擦因数2.0=μ，当传送带静止时，物体恰能在C 点离开传送带，则 （1）BC 两点间距离为多少？

（2）若要使物体从A 点无初速释放后能以最短时间到达C 点，轮子转动的角速度大小应满足什么条件？

（3）当传送带两轮以12rad/s 的角速度顺时针转动时，物体仍从A 点无初速释放，在整个过程中物体与皮带系统增加的内能为多少？

例8．(04年全国)一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。桌布的一边与桌的AB 边重合，如图。已知盘与桌布间的动摩擦因数为μ1，盘与桌面间的动摩擦因数为μ2。现突然以恒定加速度a 将桌布抽离桌面，加速度方向是水平的且垂直于AB 边。若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度a 满足的条件是什么？(以g 表示重力加速度)

例9．如图所示，电动传动轮上边的传送带离地高H ＝1.05m ，左右两端距离L ＝2m ，物体与传送带间动摩擦因数μ＝0．3，当传送带以不变速率V=2m ／s 逆时针转动时，质量m=lkg 的物体以水平初速V 0=3m ／s 从左端滑上传送带，求物体落地时的速率及产生的内能和消耗的电能．(g 取l0m/s 2)

第二轮专题：弹簧和传送带问题 例题答案

第一部分 弹簧问题

例1 C 例2 D 例3 m

F F a 21-= ， 1F 例4 D 例5 A

例6 0=A a ，g a B 5.1= 例7 B 例8 AB 例9 C

例10 ()22122

1g m m m k + ，()22112111g

m m m k k +???

? ??+ 例11 CD 例12 BD 例13 设x 1表示未加F 时弹簧的压缩量，由胡克定律和牛顿定律可知

kx g m A =θsin ①

令x 2表示B 刚要离开C 时弹簧的伸长量， a 表示此时A 的加速度，由胡克定律和牛顿定律可知：

k x 2=m B gsin θ ②

F －m A gsin θ－k x 2=m A a ③ 由②③式可得A

B A m g m m F a θsin )(+-= ④

由题意 d=x 1+x 2 ⑤

由①②⑤式可得k

g m m d B A θsin )(+= ⑥

例14 （1）不加F 时，木块A 、B 平衡时 ()g m m kx B A += 则 ()k

g m m x B A +=

对A 施加F 后，由受力分析得，

对A ：a m g m N F A A =-+ 对B ：a m g m N x k B B =--'

当0≠N 时，A 、B 加速度相同，对A 随N 减小F 增大。当0=N 时，F 取得最大值 ()N a g m F A m 41.4=+=

（2）当N ＝0时，A 、B 开始分离，此时弹簧压缩量 ()k

g a m x B +='

A 、

B 此时获得的共同速度 ()x x a v '-=22

设力F 做的功为F W ，对这一过程由功能原理得：

()()()P B A B A F E x x g m m v m m W -'-+++=

22

1

解得：J W F 21064.9-?= 例15 （1）开始A 、B 均静止时，弹簧压缩量k

mg x =0

物体B 刚要离开地面时弹簧的伸长量也为k

mg x =0

若F ＝3mg ，B 刚要离开地面时，弹簧伸长到0x ，此时弹簧弹性势能与施力前相等，由功

能原理得： 20

02

122mv x mg x F +?=? 解得：022gx v =

（2）设施加恒力0F 时，B 恰好不离开地面，此时类比竖直弹簧振子，物体A 在竖直方

向上除受变化的弹力外，还受恒定的重力和拉力。物体A 做简谐运动。设最低点和最高点加速度大小

分别为1a 、2a ，则21a a =

在最低点：100ma kx mg F =+- 在最高点：()2002ma F mg x k =-+

解得：mg F 2

30= （也可利用简谐运动平衡位置求解）

例16 开始时，A 、B 静止，设弹簧压缩量为x 1，有 k x 1=m 1g ① 挂C 并释放后，设B 刚要离地时弹簧伸长量为x 2，有 k x 2=m 2g ② B 不再上升，表示此时A 和C 的速度为零，C 已降到其最低点。

由机械能守恒，与初始状态相比，弹簧性势能的增加量为 △E P =m 3g(x 1+x 2)－m 1g(x 1+x 2) ③ C 换成D 后，当B 刚离地时弹簧势能的增量与前一次相同，由能量关系得

P E x x g m x x g m m v m v m m ?-+-++=++)()()(2

1

)(21211211321213 ④

由③④式得 )()2(2

1211231x x g m v m m +=+ ⑤

由①②⑤式得k

m m g m m m v )2()(2312

211++=

例17 （1）设开始时弹簧压缩量为1x ，对B 由平衡条件得：B EQ kx =1 即 k

EQ x B =1

设当A 刚离开挡板时弹簧伸长量为2x ，由A EQ kx =2 得

k

EQ x A =

2

故C 下降的最大距离为 21x x h += 解得：()A B Q Q k

E h +=

（2）由能量守恒可知，物体C 下落过程中，C 重力势能的减少量等于物块B 电势能的增量和弹簧弹性势能的增量以及系统动能的增量之和。 当C 的质量为M 时

弹E h E Q Mgh B ?+?=

当C 的质量为2M 时，设A 刚离开挡板时B 的速度为v ，则有 ()222

12v m M E Eh Q Mgh B B ++?+=弹 解得： ()()

B B A m M k Q

Q MgE v ++=22

例18 （1）第一次释放A 、B 后，均做自由落体运动。B 着地后，A 与弹簧相互作用至A 上升到弹簧恢复原长过程，弹簧对A 做功为零。从A 开始下落至恢复原长过程，由机械能守恒得： 21

2

1mv mgH = 解得：gH v 21=

（2）第一次释放 A 静止时 k

mg x =1

，B 刚要离地时 k

mg x =2

第二次释放 B 刚要离地时 k

mg x =3

可知 321x x x == 这三个状态弹性势能均为P E 第一次释放，A 与弹簧组成的系统，由能量关系得： ()()P P E x L mg E x L H mg ++=+-+21 第二次释放，由能量关系得：

()()2232

1mv E x L mg L H mg P +++=+ 解得：m

E gH v P 22

-=

例19 （1）初始时刻棒中产生的感应电动势 0E Lv B = ① 棒中产生的感应电流3E I R

= ②

作用于棒上的安培力F=ILB ③

联立①②③，得 22

03L v B F R

=

安培力方向：水平向右 ④

（2）由功和能的关系，得安培力做功 2

1012

p W E mv =- 电阻R 上产生的焦耳热 2210

01111()2

3

6

3

p p

Q mv E mv E =-=- （3）由能量转化及平衡条件可判断棒最终静止于初始位置 20

16

Q mv = 第二部分 传送带问题

例1 BD 例2 AB 例3 CD

例4 根据“传送带上有黑色痕迹”可知，煤块与传送带之间发生了相对滑动，煤块的加速度a 小于传送带的加速度a 0。根据牛顿定律，可得a=μg

设经历时间t ，传送带由静止开始加速到速度等于v 0，煤块则由静止加速到v ，

v 0=a 0t v=at

由于a

此后，煤块与传送带运动速度相同，相对于传送带不再滑动，不再产生新的痕迹。

设在煤块的速度从0增加到v 0的整个过程中，传送带和煤块移动的距离分别为s 0和s ，有

s 0=12 a 0t 2

+v 0t' s=v 02

2a

传送带上留下的黑色痕迹的长度 l =s 0－s 由以上各式得l =v 02

(a 0－μg)

2μa 0g

例5 （1）物体从A 先匀加速 ma mg mg =-θθμsin cos 得：2/5.2s m a =加速时间 s a

v t 11

==

当物体达到传送带速度后，与传送带一起匀速运动，至B 处所需时间 s v

s L t AB 5.11

2=-=

所以，从A 到B 共需时间 s t t t 5.221=+=

（2）A 到B 过程，皮带对物体做功 J mgh mv W 125.282

121=+=

（3）加速过程，物体位移 m a

v s 25.122

1==，传送带位移 m vt s 5.212==

相对位移 m s s s 25.112=-=相对

摩擦产生内能 J s mg Q 375.9cos =?=相对θμ 电动机对运输机做功 J Q W W 5.3712=+=

例6 由能量守恒定律得：()Q E E N T P P K ++=?

物块与传送带相对运动过程， 对物块 t v s 2

01

= 2012

1mv fs E K == m g h E P = 对传送带 t v s 02= 对系统，相对位移 12s s s -=相对 K E fs Q ==相对

全程由运动学公式有 T v NL 0= 解得：?

??

? ??+=gh T

L N T Nm P 222 例7 （1）设物体质量为m ，在C 点时运动速度为C v ，BC 间距离为s 。因物体恰在c 点离开传送

则r

v m mg C 2

=， 由动能定理，得 22

1C

mv mgs mgh =-μ，

联立得，10=C v m/s ，5.22=s m

（2）物体以最短时间到达C 点，因此BC 段物体以最大加速度做匀加速运动，设加速度为a

物体在B 、C 两点的速度分别为B v 、'C v ，则 2/2102.0s m g a =?==μ

22

1B mv mgh =

， as v v B C 222=-'，

联立解得，8.13='C v m/s ，轮子转动的角速度s rad r

v C /8.13='

>ω

（3）物体在BC 段加速运动的时间为12

1012=-=?=a

v t s ，

物体与皮带间相对位移为m t v s 12

=?=?， J s mg s f fs Q 2=?=?==μ

例8 设圆盘的质量为m ，桌长为l ，

在桌布从圆盘上抽出的过程中，盘的加速度为1a ，有 11`ma mg =μ ①

桌布抽出后，盘在桌面上作匀减速运动，以a 2表示加速度的大小，有 22`ma mg =μ ② 设盘刚离开桌布时的速度为v 1，移动的距离为x 1，

离开桌布后在桌面上再运动距离x 2后便停下，有 11212x a v = ③ 22212x a v = ④ 盘没有从桌面上掉下的条件是 122

1x l x -≤ ⑤

设桌布从盘下抽出所经历时间为t ，在这段时间内桌布移动的距离为x ，

at x 2

1= ⑥ 21

12

1t a x = ⑦

而 12

1x l x += ⑧ 由以上各式解得 g a 1

2

212μμμμ+≥

例9 物体运动过程：先向右匀减速，后反向向左匀加速，直至与传送带共速，最后从左侧平抛落地。 减速过程：2012

10mv mgs -=-μ

向左加速至共速过程：2222

1mv mgs =μ s m v v /22==

解得：m s 5.11= m s 3

22= s g v t 101==μ s g v t 3

222

==μ

平抛过程： 22232

12

1mv mv mgH -= 解得：s m v /53=

向右减速过程：m s vt s s s 5.311111=+=+'=? 向左加速过程：m s vt s s s 3

222222=-=-'=?

内能的产生是物体在传送带上滑动造成，来源于动能的减少和电能的转化 则 内能()J s s mg mgs Q 5.1221=?+?==μμ

又因为 ??

? ??-+=22202

12

1mv mv E Q 得到： J E 10=