一类数项级数和的表示
数项级数的基本概念及性质
称为级数的部分和.
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5
则称无穷级数收敛，
并称 S 为级数的和， 记作：S un
n 1
则称无穷级数发散。
即：常数项级数收敛(发散) lim S n 存在(不存在)
n
当级数收敛时, 称差值
为级数的余项. 显然
即
Sn S
误差为 Rn
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设三角形 周长为 P1 3 , 3 面积为 A1 ; 4
第一次分叉：
4 周长为 P2 P1 , 3 1 面积为 A2 A1 3 A1 ; 9
播放
依次类推
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9
结束
第 n 次分叉：
4 n 1 周长为: Pn ( ) P1 3 n 1, 2,
n n n
a lim s n n 1 q
收敛
lim q n lim sn 当 q 1时 , n
机动
发散
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17
结束
当 q 1时 ,
sn na
发散
发散
aq 3 aq
2
当 q 1 时 , 级数变为 a a a a
a 1 q , n 综上所述 aq n 0 发散 ,
q 1 q 1
a aq
aq 2
右图给出了几何级数的一个 几何解释:
S a 由三角形的相似 a a aq a S 1 q
a
aq
aq
S
a
a
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18
结束
例 4： 以德国数学家 Cantor 命名的 Cantor 集是这样
项级数的概念
项级数的概念项级数是数学中的一个概念，指的是一个无穷序列的和。
在项级数中，每一项都是具有固定模式的数列中的某一项，而项级数的和就是这些数列中所有的项的总和。
项级数可以表示为：S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...其中，a1, a2, a3, ... 是一个数列的项，n 是一项的位置。
举个例子，如果项级数为：1 + 2 + 3 + 4 + ... ，那么a1 = 1，a2 = 2，a3 = 3，... ，n 表示数列中项的编号。
项级数可以分为两类：收敛项级数和发散项级数。
当项级数的和存在且有限时，我们称其为收敛项级数；当项级数的和不存在或为无穷大时，我们称其为发散项级数。
对于收敛项级数，我们常常使用极限的概念来表示。
如果项级数S具有有限的和S，则对于任意的正数ε，存在一个正整数N，使得当n>N时，Sn - S < ε。
其中，Sn 表示项级数的前n项和。
为了更好地理解项级数的概念，我们可以看一些经典的例子。
1. 等差数列：1, 2, 3, 4, ...这是一个常见的等差数列，每一项与前一项之差都相等。
项级数可以表示为：1 + 2 + 3 + 4 + ... ，它是一个发散项级数，和无穷大。
2. 等比数列：1, 1/2, 1/4, 1/8, ...这是一个等比数列，每一项都是前一项的1/2倍。
项级数可以表示为：1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... ，它是一个收敛项级数，和为2。
3. 调和级数：1, 1/2, 1/3, 1/4, ...这是一个调和级数，每一项是倒数数列。
项级数可以表示为：1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... ，它是一个发散项级数，和无穷大。
4. 幂级数：1, 1/2, 1/4, 1/8, ...这是一个幂级数，每一项都是前一项的1/2倍。
项级数可以表示为：1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... ，它是一个收敛项级数，和为2。
级数和的定义
级数和的定义级数是数学中重要的概念，它描述了无限个数的和。
在实际问题中，级数经常用于物理、工程、经济等领域的建模和计算。
本文将介绍级数和的定义以及与之相关的概念和定理。
首先，我们来定义级数。
级数是由无穷个数的和所组成的表达式，通常表示为∑(n=1 to ∞) a_n ，其中a_n是数列的第n个元素。
例如，∑(n=1 to ∞) 1/n 就是一个级数，每一项都是数列1/1, 1/2, 1/3, ...中的元素。
接下来，我们将介绍级数和的计算方法。
对于某个级数∑(n=1 to ∞) a_n，存在以下三种情况：1. 收敛：如果级数的和存在有限的极限L，则称该级数收敛，记为∑(n=1 to ∞) a_n = L。
在计算级数和时，我们通常使用部分和的概念。
级数的第n个部分和记为S_n，它表示级数前n 个数的和。
当n趋向于无穷大时，如果S_n趋向于一个有限的值L，则级数收敛，并且∑(n=1 to ∞) a_n = L。
2. 发散：如果级数的和不存在有限的极限，则称该级数发散。
这意味着无论我们取的n多大，级数的部分和都没有一个有限的极限值。
3. 不收敛也不发散：有些级数既不收敛也不发散。
这些级数没有定义一个有限的极限值，同时也没有无限地趋向于正无穷或负无穷。
这种情况下，级数的和是没有定义的。
在计算级数和时，有一些常用的方法和技巧，例如：1. 等比级数求和公式：对于等比数列 a, ar, ar^2, ar^3, ... ，如果0 < r < 1，则等比级数∑(n=0 to ∞) ar^n = a / (1 - r)。
例如，∑(n=0 to ∞) (1/2)^n = 1 / (1 - 1/2) = 2。
2. 绝对收敛与条件收敛：对于级数来说，我们可以讨论其所有项的绝对值之和，即∑(n=1 to ∞) |a_n|。
如果这个绝对值级数收敛，则称原级数绝对收敛。
如果绝对值级数发散，但原级数收敛，则称原级数条件收敛。
数项级数的定义
数项级数的定义一、数项级数的概念数项级数是指由一系列数项按照一定规律相加而得到的一种数列。
数项级数一般表示为 S =a 1+a 2+a 3+...+a n +...，其中 a n 是数项。
二、数项级数的和数项级数的和指的是将数项按照一定次序相加的结果。
如果数项级数的和存在有限值，我们称该数项级数是收敛的，收敛的和就是该级数的和；如果数项级数的和不存在有限值，我们称该数项级数是发散的。
三、数项级数的收敛条件数项级数的收敛与数项的值有关，有以下几种常见的收敛条件：1. 绝对收敛如果数项级数的各个数项 a n （n ≥1）的绝对值组成的级数 ∑|a n |∞n=1 收敛，则称原数项级数 ∑a n ∞n=1 是绝对收敛的。
2. 条件收敛如果数项级数 ∑a n ∞n=1 收敛，但 ∑|a n |∞n=1 发散，则称原数项级数是条件收敛的。
3. 收敛性与发散性对于一般的数项级数，没有绝对收敛或条件收敛的情况，称该数项级数是发散的。
四、数项级数的性质数项级数具有以下一些基本的性质：若级数 ∑a n ∞n=1 和 ∑b n ∞n=1 都收敛，则级数 ∑(a n +b n )∞n=1 也收敛，并且有∑(a n +b n )∞n=1=∑a n ∞n=1+∑b n ∞n=1。
2. 常数倍数性若级数 ∑a n ∞n=1 收敛，则级数 ∑(ka n )∞n=1 也收敛，并且有 ∑(ka n )∞n=1=k ∑a n ∞n=1（k 为常数）。
3. 递推式若级数 ∑a n ∞n=1 的部分和数列 {S n } 满足递推式 S n =S n−1+a n （n ≥2）并且lim n→∞S n 存在，则级数 ∑a n ∞n=1 收敛且 lim n→∞S n =∑a n ∞n=1。
4. 比较性若级数 ∑a n ∞n=1 和 ∑b n ∞n=1 满足 |a n |≤|b n |（n ≥1），且 ∑b n ∞n=1 收敛，则∑a n ∞n=1 绝对收敛。
一类数项级数的多种求和方法解析
2.2 代数方程法[4]
∞
移 通过积化和差公式建立幂级数 (qx)nsinna 的代数方 n=1
程袁进而求得其和.
∞
移 令 s(x)= (qx)nsinna袁 n=1
∞
移 则 cosa窑s(x)= (qx)nsinna窑cosa n=1
∞
移 = 1 (qx)n[sin(n+1)a+sin(n- 1)a] 2 n=1
第 31 卷 第 8 期渊 下冤 2015 年 8 月
赤 峰 学 院 学 报渊 自 然 科 学 版 冤 Journal of Chifeng University渊 Natural Science Edition冤
Vol. 31 No.8 Aug. 2015
一类数项级数的多种求和方法解析
苏涵
渊安徽财经大学 统计与应用数学学院袁 安徽 蚌埠 233030冤
∞
∞
则移rn=移qncosna+i移qnsinna
n=1 n=1
n=1
=
qcosa- q2 1+q2- 2qcosa
+i
qsina 1+q2- 2qcosa
袁因而有
∞
移qncosna=
n=1
qcosa- q2 1+q2- 2qcosa
袁
∞
移qnsinna=
n=1
qsina 1+q2- 2qcosa
.
2 n=1
2 n=2
∞
移 = 1 (n- 1)(qx)nsin(n+1)a+ 1 qx2s'(x)曰
2 n=1
2
∞
移 cosa[xs'(x)- s(x)]+ 1 2(qx)nsin(n+1)a 2 n=1
数学分析数项级数
傅里叶级数在信号处理、图像处理、通信等领域有着广泛的应用。通过傅里叶变换，可 以将信号从时域转换到频域，从而更好地理解和处理信号。
泰勒级数
01
泰勒级数的定义
泰勒级数是无穷级数，用于逼近一个 函数。泰勒级数展开式由多项式和无 穷小量组成，可以用来近似表示任意 函数。
02
泰勒级数的性质
数学分析数项级数
目录
• 数项级数的基本概念 • 数项级数的性质 • 数项级数的求和法 • 数项级数的应用 • 数项级数的扩展
01
数项级数的基本概念
级数的定义
定义
级数是无穷数列的和，表示为Σ，其 中每一项都是正项或负项。
特点
级数中的每一项都是无穷小量，但整 个级数的和可能是有限的或无限的。
级数的分类
泰勒级数具有收敛性、唯一性和可微 性等重要性质。这些性质使得泰勒级 数成为分析函数的有力工具。
03
泰勒级数的应用
泰勒级数在数学分析、物理和工程等 领域有着广泛的应用。通过泰勒展开 ，可以更好地理解和分析函数的性质 ，如求函数的极限、证明不等式等。
感谢您的观看
THANKS
有穷级数
所有项的和是有限的，例如1+2+3+...+100。
无穷级数
所有项的和是无限的，例如1+1/2+1/3+...。
级数的收敛与发散
收敛
级数的和是有限的，即级数 收敛。
发散
级数的和是无限的，即级数 发散。
判定方法
通过比较测试、柯西收敛准 则等判定级数的收敛与发散 。
02
数项级数的性质
收敛级数的性质
数项级数的扩展
幂级数
一类特殊级数的和函数
一
记 （ 一 ０ １ … ， 一 １ ，， ｋ ）为 ｋ次单 位根 ， 则
寻
证 明
一ｉ １
ｋ １ －
（ １ 一 ）
Ｈ ０ — ． Ｔ ） １， ：
一
２ ｋ Ｚ ！ ｏ时 ， 理 １即 为引理 ２ ： 定 ．
摘 要 用 次 位 及 正 性 到 数互 １：和 数它 利 微 方 理 来 级 的 利 单 根 其 交 得 级 薹＼ 函 ．与 用 分 程 论 求 数 和 ｎ ●的 ｕ 。 ，
有 很 大 区别 ． 为 应 用 ． 到 了一 些 特 殊 级 数 的 和 ． 作 得 关 键 词 单 位 根 ｝ 交 性 ； 分 方 程 正 微 中 图分 类 号 ０１３ ７
１ｋＩ ｒ － ｒ
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薹赢 一 。 ÷ｅ 叫ｅｔ２ｚ （＋１ －－ ） －ｅ 一 ｏＪ ￣
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定 理 １ 设 ｋ∈ ｚ ，ｌ ｚ， ∈ ０≤ Ｚ ｋ一 １ ≤ ，并
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一
３ 应 用
例１求 数霎 级 。
ｏ（ ｎ）１ ２
一
及 。 的 ． 蠢 和
Ｙ（） 一 Ｙ．
则
＝
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一 一
， 一 二 ｏ “ 蔷 一・ ｝
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ｌ － － １
注 引理 １ 的结 论实 质上 是 Ａｂ ｌ 特 征的正交 ｅ群
一 ’
∑ （ ｋ
０ ｎ）！
＝ ∑Ｃ ｅ ， ｊ
性 的特 例
．
其 中 （ 一 ０ １ … ， １ ， ， ｋ一 ）为 ｋ次单 位根 引 ．
级数和的定义
级数和的定义级数是数学中一个重要的概念，是由一系列数通过相继相加而得到的结果。
级数和的定义可以通过以下参考内容来解释。
1. 级数的符号表示：级数可以用符号∑来表示，例如∑aₙ，其中aₙ表示级数的每一项，n表示从1开始的自然数。
2. 级数的部分和：级数的部分和是指从第一项开始相加到第n项的和，可以表示为Sₙ= a₁+ a₂+ ... + aₙ，其中n是自然数。
3. 部分和的性质：部分和具有可加性和可乘性的性质。
对于级数∑aₙ，它的部分和满足以下性质：Sₙ + Sₙ = Sₙ₊ₙ，其中n和m都是自然数。
这意味着级数的部分和具有可加性。
此外，如果级数的部分和满足limₙ→∞Sₙ存在，则称级数收敛，否则称级数发散。
4. Cauchy收敛准则：Cauchy收敛准则是判断级数是否收敛的重要方法之一。
根据该准则，对于给定的任意正数ε，如果存在一个正整数N，使得对于所有n>N和m>N，都有|Sₙ -Sₙ|<ε，那么级数收敛。
5. 绝对收敛和条件收敛：当级数∑|aₙ|收敛时，称级数∑aₙ绝对收敛。
当级数∑aₙ收敛而∑|aₙ|发散时，称级数∑aₙ条件收敛。
6. 级数和的计算方法：常见的计算级数和的方法包括等差数列求和公式、等比数列求和公式、幂级数求和等。
此外，还可以使用求和运算的性质，如可交换性、可分解性、区间延拓等，来计算级数和。
7. 收敛级数的性质：对于收敛级数∑aₙ和∑bₙ，它们的常见性质包括有限项相互抵消后的级数仍然收敛、级数每一项小于等于对应部分和、级数的部分和有界等。
这些性质对于分析级数的收敛性和计算级数和都具有重要意义。
8. 应用领域：级数的概念和性质在数学中有广泛的应用，包括在数学分析、微积分、数论、概率论、物理学等领域。
级数的研究不仅有助于深化数学理论，也有助于解决实际问题。
9. 级数的发散性：与收敛级数相对应的是发散级数，即级数的部分和无限增加或无法找到一个极限值。
常见的发散级数包括调和级数、几何级数等，在研究级数的收敛性时需要特别注意发散级数的性质。
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高 等教 学研 究
２１ ０ １年 ５月
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收 稿 日期 ｔ０ ９ ０ ２ ｌ 改 日期 ｌ０ １— ０ ０ — ７— ６ 修 ２ １ ２ ４— ０ ． ７ 作 者 简 介 ： 乐 （ ９２－）男 ． 徽 砀 山 人 ． 学 专 业 ２ ０ 李 １９ － ． 安 数 ０ ８级 本 科 在
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第１ ４卷 第 ３ 期
２ｌ ０ １年 ５月
高 等 数 学 研 究
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Ｍａ ｖ。２Ｏ１ ｌ
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类 数 项 级数 和 的表 示
李 乐
（ 安 电子 科 技 大 学 应用 数 学 系 ．陕 西 西 安 ７ ０ ２ ） 西 １ １ ６
摘 要 求 Ｈ 函 数 ， ）＝ 的 Ｆ ｕｉ 系 数 并 将 其 代 人 Ｐ ｒｅａ等 式 ， 而 利 用 第 二 数 学 归 纳 法 可 证 明 ： ｉ ， （ ｏｒ ｒ ｅ ａｓｖｌ 继
数 项 级 数 Ｉ ７ｋ ￣ ２ 的 形 式 ， 中对 于 任 意 确 定 的 值 ， 为 一 常 数 ． 明 过 程 同 时 给 出 了 求 其 以 证
表 达式 的存在 性． 引理 ｌ Ｆ ｕｉｒ （ ｏ ｒ 级数 收敛 定理 ）２ ｅ Ｌ 若 以 ２ 为 ７ ｒ
扎一 ｄ 已一 死 ｚ ７ ｎ ， Ｊ 弋
６ 一 ０．
周期 的 函数 ，（ ）在［ ， ］上按 段 光滑 ， 在每一 ｚ 一丌 ７ ｒ 则 点 ∈ ［ ，］ 函数 ， ） Ｆ ｕ ｉｒ 数收 敛 于函 一丌 丌 ， （ 的 ｏｒ 级 ｅ 数在点 ｚ的左 、 右极 限的算 术平 均值 ， 即
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解 ｄ ｋ的 方 法 ．
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关键 词 一 致 收 敛 性 ； ａｓｖ ｌ 式 ；ｏ ｒ ｒ Ｐ ｒｅａ 等 Ｆ ｕｉ 系数 ｅ
中 圈 分类 号 Ｏ１ ３ ７ 文 献 标 识 码 Ａ 文 章 编 号 １ ０ — ３ ９ ２ １ ） ３０ ４ — ２ ０ ８ １ ９ （ ０ １ ０ — ０ ７０