高三 解三角形教案 导学案
教学过程
知识导入（进入美妙的世界啦~）
（一）解三角
知识梳理
1、内角和定理：在ABC ?中，0180A B C ++=。
（1）sin()sin A B C +=；cos()cos A B C +=-。 （2）cos
sin 22
A B C
+=。
2、正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等。
（1）R C c
B b A a 2sin sin sin ===；
（2）边角互化：A R a sin 2=、B R b sin 2=、C R c sin 2=。
3、余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
（1）bc
a c
b A 2cos 2
22-+=；cos B =_______________；cos C =_______________。
（2）
2222cos a b c bc A =+-，2b =_________________；2c =_________________。
3、三角形的面积公式：1
sin 2
ABC S ab C ?=
=___________=____________。 5、余弦定理与三角形面积公式的应用：
1
sin 2
ABC S ab C ?=
2222222222()2cos 222a b c a b ab c ab a b c ab
C ab ab ab
+-+±-±-===m m
即cos ABC S ab a b C ???±?
6、恒等变换在三角形中的应用：
注意：在解决三角形的综合题目中，我们重点关注的是边与角之间的关系，至于题目中出现的是哪
个三角函数名并不重要（例如：4π=B 与3
1
sin =B 其实效果是一样的），因此，找准边角关系是关
键。
例题精讲
【题型一、正弦定理】
【例1】 在ABC ?中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，已知sinA = 2sinBcosC ，证明ABC
?是等腰直角三角形。
【变式1】 在ABC ?中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，已知b B c C b 2cos cos =+，则
=b
a
.
【方法技巧】在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形有时出现一解、两解，所以要进行分类讨论(此类类型也可利用余弦定理求解)．
【题型二、余弦定理】
【例2】 在?ABC 中，若 13a =4c =，60A =o
，则b =______。
【变式2】在ABC ?中，a ，b ，c 分别是A ∠，B ∠，C ∠的对边，222
3b c bc a ++=，则A ∠=_____。
【题型三、正弦定理与余弦定理综合使用】
【例3】在ABC ?中, ,2,3,4
AB BC ABC π
∠==
=则sin BAC ∠ = （ ）
(A) 10 10 (C) 3105
【变式3】在ABC ?中，如果sin :sin :sin 5:6:8A B C =，那么此三角形最大角的余弦值是_______。 【方法技巧】(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓
住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．
【题型四、边角互化模型】
【例4】在ABC ?中，a ，b ，c 分别是A ∠，B ∠，
C ∠的对边，若2
2
2
sin sin sin sin --=C A B A B ，则C ∠=_______。
【变式4】在ABC ?中，A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，
已知b a c B C A -=-3cos cos 3cos 。则a
c
=_____。
【题型五、判断三角形形状】
【例5】在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，如果（a 2 + b 2）sin(A-B) = (a 2 - b 2）sin(A+B)，
求该三角形的形状
【变式5】：在ABC ?中，B ＝?
60，ac b =2
，则ABC ?一定是（ ）三角形
A 、锐角
B 、钝角
C 、等腰
D 、等边
【题型六、角度拼凑在三角形中的应用】
【例6】已知45A =o
，4cos 5
B =.则sin
C =______。
【变式6】例9：ABC ?中,090=∠C ,M 是BC 的中点,若3
1
sin =
∠BAM ,则=∠BAC sin ________. 【题型七、面积与边角的转化】
【例7】在C B A c b a ABC ,,,,是角中，?所对的边，且b
c
B A 2tan tan 1=+
一、求角A ；
二、已知ABC a ?=,2
7
的面积233=S ，求b c +的值
【变式7】在ABC ?中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若,3
,6)(2
2π
=
+-=C b a c 则ABC ?的面积
（ ） A.3 B.
239 C.2
3
3 D.33
【题型八、角度的互换】
【例8】设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=.
(1)求B ； (2)若31
sin sin 4
A C -=
,求C .
【变式8】在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bsinA=3acosB 。
（1）求角B 的大小；
（2）若b=3，sinC=2sinA ，求a ，c 的值.
【题型九、求边（角）的取值范围】
【例9】2.已知c b a ,,分别为ABC ?三个内角C B A ,,的对边，2=a ，且()C b c B A b sin )()sin (sin 2-=-+，
则ABC ?面积的最大值为
【变式9】△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+.
(1)求B ;
(2)若2b =,求△ABC 面积的最大值.
【题型十、三角形与三角函数结合】
【例10】已知函数f(x)=sin(2x+Φ),(0<Φ<π)的图像经过点（
12
π
，1）。 （1）求Φ的值。
（2）在ABC ?中，角A 、B 、C 所对应的边为a 、b 、c ，若ab c b a =-+222， 且2
2
√)12π2(=+A f ， 求sinB.
【变式10】设函数()22cos 2cos ,32
x
f x x x R π?
?=+
+∈ ???。 （1）求()f x 的值域；
（2）记ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若()f B =1，a 的值。
1 在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ）
A 1
B 1-
C 32
D 32-
2 若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A A sin B A cos
C A tan
D A
tan 1
3 在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >
则△ABC 的形状是（ ）
A 直角三角形
B 锐角三角形
C 钝角三角形
D 等腰三角形
4 等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，
则底边长为（ ） A 2 B
2
3
C 3
D 32 5 在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）
A 006030或
B 006045或
C 0060120或
D 0015030或
6 边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A 090
B 0120
C 0135
D 0150
7、在ABC ?中，若=++=A c bc b a 则,222_________。
8、在ABC ?中，若====a C B b 则,135,30,200_________。
9、在ABC ?中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于_________。
10、在ABC ?中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________。
11、在ABC ?中，若14
13
cos ,8,7===C b a ，则最大角的余弦是_________。
12、在ABC ?中，若)())((c b b c
a c a +=-+，则A ∠=_________。
13、在ABC ?中，a ，b ，c 分别是A ∠，B ∠，C ∠的对边，若2sin =a c A ，则C ∠=_______。
14、ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos()cos 1,2A C B a c -+==，则C =___。
15、ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，
已知b a c B C A -=
-2cos cos 2cos ，则A
C
sin sin =_______。
16、设锐角ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，2sin a b A =。
（Ⅰ）求B 的大小；
（Ⅱ）若33a =，5c =，求b 。
（
一日悟一理，日久而成学）
一、方法小结:
二、本节课我做的比较好的地方是：
三、我需要努力的地方是：
课后作业
回顾小结
【基础巩固】
一、选择题
1 A 为△ABC 的内角，则A A cos sin +的取值范围是（ ）
A )2,2(
B )2,2(-
C ]2,1(-
D ]2,2[-
2 在△ABC 中，若8,3,7===c b a ，则其面积等于（ ）
A 12 B
2
21
C 28