新课标中考数学总复习圆的有关性质课件含试题
在 Rt△ODC 中，由勾股定理，得 OC2＝OD2＋DC2， 即 x2＝(48－x)2＋242，解得 x＝30.
第22讲┃ 圆的有关性质
[中考点金 ] 利用垂径定理解题时，作过圆心的直线或线段构
造直角三角形是解题的关键．
第22讲┃ 圆的有关性质
变式题 [2013·丽水] 一条水管的截面如图 22－10
第22讲┃ 圆的有关性质
2．如图 22－7，AB 是⊙O 的直径，若∠BAC＝35°，
则∠ADC＝
( B)
A．35° B．55° C．70° D．110°
第22讲┃ 圆的有关性质
[归纳总结]
1. 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周
角___相__等___，都等于这条弧所对的圆心角的 _一___半____． 2．推论： (1)在同圆或等圆中，如果两个圆周角 __相___等___，
角，“由角找弧”，看它们各对应哪段弧，再“由弧找 角”，找到这两段弧所对的圆心角或其他圆周角，看 这些角有什么关系．这种“由角找弧”“由弧找角” 的方法是圆中求角相等或弧相等的常用方法．
第22讲┃ 圆的有关性质
变式题 如图 22－12，在⊙ O 中，AB 是直径， CD 是 弦， AB⊥ CD.
(1) 已知 P 是C︵AD上一点(不与 C，D 重合)，求证：∠CPD ＝∠ COB.
所示，已知排水管的半径 OB＝10，水面宽 AB＝16，则
截面圆心 O 到水面的距离 OC 是
( C)
A．4
B．5
C．6
D．8
第22讲┃ 圆的有关性质
探究二 圆心角和圆周角的综合计算 例 2 [2013·黔西南州] 如图 22－11 所示，在⊙ O 中，
已知∠BAC＝∠ CDA＝20°，则∠ABO 的度数为 ___5_0_°___．
第22讲┃ 圆的有关性质
[归纳总结] 在同圆或等圆中，圆心角相等 弧__相__等____ 弦
相等 弦心距___相__等___．
第22讲┃ 圆的有关性质
考点3 圆周角定理
1．如图 22－6，点 A，B，C 在⊙O 上，∠BOC＝140°，则
∠BAC 等于
( B)
A．60° B．70° C．120° D．140°
第22讲┃ 圆的有关性质
┃考题自主训练与名师预测┃
1. 如图 22－13，C，D 为半圆的三等分点，则下列说法正
确的有
( A)
①A︵D＝C︵D＝B︵C；②∠ AOD＝∠DOC＝∠ BOC；③AD
＝CD＝OC；④△AOD 沿 OD 翻折与△COD 重合．
数学
新课标（RJ）
第22讲 圆的有关性质 第23讲 与圆有关的位置关系 第24讲 与圆有关的计算
第22讲 圆的有关性质
┃考点自主梳理与热身反馈 ┃
考点1 圆的有关性质
1. 如图 22－1，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，则下列结论：① CE ＝DE ；② BE ＝OE ；③C︵B＝ B︵D；
第22讲┃ 圆的有关性质
考点2 等腰圆的有关性质的性质和判定 1．如图 22－4，已知：AB 是⊙O 的直径，C，D 是弧 BE
上的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE 是 ( C) A．40° B．60° C．80° D．120°
第22讲┃ 圆的有关性质
2．如图 22－5，已知在⊙O 中，A︵B＝B︵C，且A︵B∶A︵MC ＝3∶4，则∠AOC＝___1_4_4_°__．
它们所对的弧一定相等； (2)半圆(或直径 )所对的圆周角
是___直__角___，90°的圆周角所对的弦是 ___直__径___．
第22讲┃ 圆的有关性质
┃考向互动探究与方法归纳┃ 探究一 利用垂径定理计算
例 1 某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架 (如图 22－8)，若不计木条的厚度，其俯视图如图 22－9 所 示，已知 AD垂直平分 BC，AD＝BC＝48 cm，则圆柱形饮 水桶的底面半径的最大值是_____3_0__ cm.
④A︵C＝A︵D.其中一定正确的有 ( B )
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
第22讲┃ 圆的有关性质
2．[2013·温州] 如图 22－2，在⊙O 中，OC⊥弦 AB 于
点 C，AB＝4，OC＝1，则 OB 的长是
(B )
A. 3
B. 5
C. 15
D. 17
第22讲┃ 圆的有关性质
3．绍兴是著名的桥乡，如图 22－3，石拱桥的桥顶到水面
第22讲┃ 圆的有关性质
[解析] 连接 OA，由题意得， ∠ AOB＝ 2(∠ ADC＋∠ BAC)＝ 80° . ∵OA＝OB(都是半径 )， ∴∠ ABO＝∠ OAB＝ (180°－∠ AOB)÷2＝ 50°. 故答案为： 50°.
第22讲┃ 圆的有关性质
[中考点金 ] 在探索两角的关系时，从图形上看，它们是圆周
第22讲┃ 圆的有关性质
[解析] 先构造出使圆柱形饮水桶的底面半径取最大值时 的圆即⊙O，再连接 OC，从而构造出 Rt△OCD，再应用勾 股定理列方程求解．
如图，过 A，B，C 三点的⊙O 就是圆 柱形饮水桶的底面半径取最大值时的情况， 则圆心 O 在 AD 上．
设⊙O 的半径为 x，则 OC＝x，OD＝AD －OA＝48－x，DC＝12BC＝24.
(2) 点 P′在劣弧 CD 上(不与 C，D 重合)时，∠ CP′D 与∠COB 有什么数量关系？请证明你的结论．
图 22－12 第22讲┃ 圆的有关性质
解：(1)证明：连接 OD. ∵AB 是直径，AB⊥CD， ∴B︵C＝B︵D，∴∠ COB＝∠DOB＝12∠COD. 又∵∠CPD ＝12∠COD，∴∠ CPD＝∠COB. (2)∠CP′D 与∠COB 的数量关系是∠CP′D＋∠COB＝180°. 证明过程如下： ∵∠CPD＋CP′D＝180°，∠COB＝∠CPD， ∴∠CP′D＋∠COB＝180°.
的距离 CD 为 8 m，桥拱半径 OC 为 5 m，则水面宽 AB
为
(D )
A．4 m
B．5 m
C．6 m
D．8 m
第22讲┃ 圆的有关性质
[归纳总结] 圆是 ___轴_____ 对称图形，在圆中：①过圆心；
②___平__分___弦；③ ___垂__直___于弦；④平分弦所对的
劣弧；⑤平分弦所对的优弧，若一条直线具备这五 项中的任意两项，则必得出另外三项．
第22讲┃ 圆的有关性质
[中考点金 ] 利用垂径定理解题时，作过圆心的直线或线段构
造直角三角形是解题的关键．
第22讲┃ 圆的有关性质
变式题 [2013·丽水] 一条水管的截面如图 22－10
第22讲┃ 圆的有关性质
2．如图 22－7，AB 是⊙O 的直径，若∠BAC＝35°，
则∠ADC＝
( B)
A．35° B．55° C．70° D．110°
第22讲┃ 圆的有关性质
[归纳总结]
1. 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周
角___相__等___，都等于这条弧所对的圆心角的 _一___半____． 2．推论： (1)在同圆或等圆中，如果两个圆周角 __相___等___，
角，“由角找弧”，看它们各对应哪段弧，再“由弧找 角”，找到这两段弧所对的圆心角或其他圆周角，看 这些角有什么关系．这种“由角找弧”“由弧找角” 的方法是圆中求角相等或弧相等的常用方法．
第22讲┃ 圆的有关性质
变式题 如图 22－12，在⊙ O 中，AB 是直径， CD 是 弦， AB⊥ CD.
(1) 已知 P 是C︵AD上一点(不与 C，D 重合)，求证：∠CPD ＝∠ COB.
所示，已知排水管的半径 OB＝10，水面宽 AB＝16，则
截面圆心 O 到水面的距离 OC 是
( C)
A．4
B．5
C．6
D．8
第22讲┃ 圆的有关性质
探究二 圆心角和圆周角的综合计算 例 2 [2013·黔西南州] 如图 22－11 所示，在⊙ O 中，
已知∠BAC＝∠ CDA＝20°，则∠ABO 的度数为 ___5_0_°___．
第22讲┃ 圆的有关性质
[归纳总结] 在同圆或等圆中，圆心角相等 弧__相__等____ 弦
相等 弦心距___相__等___．
第22讲┃ 圆的有关性质
考点3 圆周角定理
1．如图 22－6，点 A，B，C 在⊙O 上，∠BOC＝140°，则
∠BAC 等于
( B)
A．60° B．70° C．120° D．140°
第22讲┃ 圆的有关性质
┃考题自主训练与名师预测┃
1. 如图 22－13，C，D 为半圆的三等分点，则下列说法正
确的有
( A)
①A︵D＝C︵D＝B︵C；②∠ AOD＝∠DOC＝∠ BOC；③AD
＝CD＝OC；④△AOD 沿 OD 翻折与△COD 重合．
数学
新课标（RJ）
第22讲 圆的有关性质 第23讲 与圆有关的位置关系 第24讲 与圆有关的计算
第22讲 圆的有关性质
┃考点自主梳理与热身反馈 ┃
考点1 圆的有关性质
1. 如图 22－1，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，则下列结论：① CE ＝DE ；② BE ＝OE ；③C︵B＝ B︵D；
第22讲┃ 圆的有关性质
考点2 等腰圆的有关性质的性质和判定 1．如图 22－4，已知：AB 是⊙O 的直径，C，D 是弧 BE
上的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE 是 ( C) A．40° B．60° C．80° D．120°
第22讲┃ 圆的有关性质
2．如图 22－5，已知在⊙O 中，A︵B＝B︵C，且A︵B∶A︵MC ＝3∶4，则∠AOC＝___1_4_4_°__．
它们所对的弧一定相等； (2)半圆(或直径 )所对的圆周角
是___直__角___，90°的圆周角所对的弦是 ___直__径___．
第22讲┃ 圆的有关性质
┃考向互动探究与方法归纳┃ 探究一 利用垂径定理计算
例 1 某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架 (如图 22－8)，若不计木条的厚度，其俯视图如图 22－9 所 示，已知 AD垂直平分 BC，AD＝BC＝48 cm，则圆柱形饮 水桶的底面半径的最大值是_____3_0__ cm.
④A︵C＝A︵D.其中一定正确的有 ( B )
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
第22讲┃ 圆的有关性质
2．[2013·温州] 如图 22－2，在⊙O 中，OC⊥弦 AB 于
点 C，AB＝4，OC＝1，则 OB 的长是
(B )
A. 3
B. 5
C. 15
D. 17
第22讲┃ 圆的有关性质
3．绍兴是著名的桥乡，如图 22－3，石拱桥的桥顶到水面
第22讲┃ 圆的有关性质
[解析] 连接 OA，由题意得， ∠ AOB＝ 2(∠ ADC＋∠ BAC)＝ 80° . ∵OA＝OB(都是半径 )， ∴∠ ABO＝∠ OAB＝ (180°－∠ AOB)÷2＝ 50°. 故答案为： 50°.
第22讲┃ 圆的有关性质
[中考点金 ] 在探索两角的关系时，从图形上看，它们是圆周
第22讲┃ 圆的有关性质
[解析] 先构造出使圆柱形饮水桶的底面半径取最大值时 的圆即⊙O，再连接 OC，从而构造出 Rt△OCD，再应用勾 股定理列方程求解．
如图，过 A，B，C 三点的⊙O 就是圆 柱形饮水桶的底面半径取最大值时的情况， 则圆心 O 在 AD 上．
设⊙O 的半径为 x，则 OC＝x，OD＝AD －OA＝48－x，DC＝12BC＝24.
(2) 点 P′在劣弧 CD 上(不与 C，D 重合)时，∠ CP′D 与∠COB 有什么数量关系？请证明你的结论．
图 22－12 第22讲┃ 圆的有关性质
解：(1)证明：连接 OD. ∵AB 是直径，AB⊥CD， ∴B︵C＝B︵D，∴∠ COB＝∠DOB＝12∠COD. 又∵∠CPD ＝12∠COD，∴∠ CPD＝∠COB. (2)∠CP′D 与∠COB 的数量关系是∠CP′D＋∠COB＝180°. 证明过程如下： ∵∠CPD＋CP′D＝180°，∠COB＝∠CPD， ∴∠CP′D＋∠COB＝180°.
的距离 CD 为 8 m，桥拱半径 OC 为 5 m，则水面宽 AB
为
(D )
A．4 m
B．5 m
C．6 m
D．8 m
第22讲┃ 圆的有关性质
[归纳总结] 圆是 ___轴_____ 对称图形，在圆中：①过圆心；
②___平__分___弦；③ ___垂__直___于弦；④平分弦所对的
劣弧；⑤平分弦所对的优弧，若一条直线具备这五 项中的任意两项，则必得出另外三项．
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2025年九年级中考数学一轮复习课件：第20讲圆的有关性质
所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补.
④了解三角形的外心.
核心知识梳理
串联体系，厘清脉络
. 定义：经过三角形三个顶点的圆
三
角
形
外
接圆ຫໍສະໝຸດ 垂直平分线 的交点). 圆心 ：外心(三角形三条边的㉓ ___________
. 性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等
BD.若∠BOC＝2∠COD，则∠CBD＝(
A.25°
B.30°
A)
C.35°
D.40°
三角形的内心与外心
15.(2023·内蒙古)如图，☉O是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB，OE⊥BC，
OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，连接DE，EF，FD.若DE＋DF＝6.5，△ABC的周
长为21，则EF的长为(B
☉O于点F，连接AF，则∠BAF等于( B )
A.12.5°
B.15°
C.20°
D.22.5°
18.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，☉O是△ABC的外接圆，
点A，B，O在网格线的交点上，则sin∠ACB的值是
.
考查角度2：跨学科整合
19.(2024·凉山州)数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，
OB，OC.若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为
100° .
垂径定理及其应用
3.(2024·北京)如图，☉O的直径AB平分弦CD(不是直径).若∠D＝35°，则∠C＝
55
°.
4.(2024·长沙)如图，在☉O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则☉O的半
径长为( B )
A.4
B.4
④了解三角形的外心.
核心知识梳理
串联体系，厘清脉络
. 定义：经过三角形三个顶点的圆
三
角
形
外
接圆ຫໍສະໝຸດ 垂直平分线 的交点). 圆心 ：外心(三角形三条边的㉓ ___________
. 性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等
BD.若∠BOC＝2∠COD，则∠CBD＝(
A.25°
B.30°
A)
C.35°
D.40°
三角形的内心与外心
15.(2023·内蒙古)如图，☉O是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB，OE⊥BC，
OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，连接DE，EF，FD.若DE＋DF＝6.5，△ABC的周
长为21，则EF的长为(B
☉O于点F，连接AF，则∠BAF等于( B )
A.12.5°
B.15°
C.20°
D.22.5°
18.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，☉O是△ABC的外接圆，
点A，B，O在网格线的交点上，则sin∠ACB的值是
.
考查角度2：跨学科整合
19.(2024·凉山州)数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，
OB，OC.若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为
100° .
垂径定理及其应用
3.(2024·北京)如图，☉O的直径AB平分弦CD(不是直径).若∠D＝35°，则∠C＝
55
°.
4.(2024·长沙)如图，在☉O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则☉O的半
径长为( B )
A.4
B.4
中考数学总复习 基础知识梳理 第7单元 圆 7.1 圆的有关性质课件
要点梳理
（1）垂径定理(dìnglǐ)：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条
弧.
（2）推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧.
12/10/2021
第六页，共十三页。
7.1.3 圆心角、弧、弦之间的关系(guān xì)
要点梳理
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相
第七单元 圆。系、直径所对圆周角的特征,圆内接四边形的对角互补.。近几年江西中考都考查了垂径定理或圆周角定理，预测2018江 西中。弧、弦的定义——圆的旋转不变性。要点梳理。②圆是到定点的距离等于定长的点的集合(jíhé).。（4）弧：圆上任意两点间的部分 叫做弧.。（5）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条。（6）优弧：大于半圆的弧叫做优弧.。（9）弓形：由弦及 所对的弧组成的图形叫做弓形.
等，那么它们所对应的其余各组量都分别(fēnbié)相等.
12/10/2021
第七页，共十三页。
7.1.4 圆周角定理(dìnglǐ)及推论
要点梳理
（1）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相
等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.
（2）推论(tuīlùn)：半圆（直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦 是直径.
对的优弧(yōu hú)上，如果∠AOB=64°，那么∠ACB的度数是( )
A.26°
B.30°
C.32°
D.64°
【解析】解：∵∠ACB=∠AOB.而∠AOB=64°，
∴∠ACB=×64°=32°.即∠ACB的度数是32°.
【答案】 C
12/10/2021
第十二页，共十三页。
2024年中考数学一轮复习考点精讲课件—圆的相关概念及性质
3）圆周角定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所
对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.
考点二 圆的性质
题型01 由垂径定理及推论判断正误
【例1】（2023·浙江·模拟预测）如图，是⊙ 是直径，是弦且不是直径， ⊥ ，则下列结论不一定正
【详解】解：如图，连接，
∵线段是⊙ 的直径， ⊥ 于点E， = 16，
1
1
∴ = = 2 = 2 × 16 = 8，
∴在Rt △ 中，可有 = 2 + 2 = 62 + 82 = 10，
∴⊙ 半径是10．
故选：D．
考点二 圆的性质
题型03 根据垂径定理与全等三角形综合求解
直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简
称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理.
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt △，用勾股，求长度；
2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.
考点二 圆的性质
3. 弧、弦、圆心角的关系
即的最小值是8．故选：C．
考点二 圆的性质
1. 圆的对称性
内容
补充
圆的轴对称 经过圆心任意画一条直线，并沿此直线圆对折,直线两旁的部分能够 ①圆的旋转不变性是其他中心对称图形所
性
完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的 没有的性质.
对称轴，圆有无数条对称轴.
圆的中心对 将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它
①圆心，它确定圆的位置.
②半径，它确定圆的大小.
的点组成的图形.
对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.
考点二 圆的性质
题型01 由垂径定理及推论判断正误
【例1】（2023·浙江·模拟预测）如图，是⊙ 是直径，是弦且不是直径， ⊥ ，则下列结论不一定正
【详解】解：如图，连接，
∵线段是⊙ 的直径， ⊥ 于点E， = 16，
1
1
∴ = = 2 = 2 × 16 = 8，
∴在Rt △ 中，可有 = 2 + 2 = 62 + 82 = 10，
∴⊙ 半径是10．
故选：D．
考点二 圆的性质
题型03 根据垂径定理与全等三角形综合求解
直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简
称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理.
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt △，用勾股，求长度；
2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.
考点二 圆的性质
3. 弧、弦、圆心角的关系
即的最小值是8．故选：C．
考点二 圆的性质
1. 圆的对称性
内容
补充
圆的轴对称 经过圆心任意画一条直线，并沿此直线圆对折,直线两旁的部分能够 ①圆的旋转不变性是其他中心对称图形所
性
完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的 没有的性质.
对称轴，圆有无数条对称轴.
圆的中心对 将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它
①圆心，它确定圆的位置.
②半径，它确定圆的大小.
的点组成的图形.
九年级数学总复习第六章圆第26课时与圆有关的概念及性质PPT课件
B.∠ABD C.∠BAC D.∠BAD
思路
由AB为直径,得∠ADB=90°,从而可得图中互余的两角.再根据“同弧所对圆周角 相等”可知与∠ACD相等的角是∠B,从而确定一定与∠ACD互余的角.
-
14
命题点二 圆周角定理及其推论——
命题角度2 运用直径所对圆周角是直角来求角的度数
典例5
变式训练3
解题方法
-
16
命题点二 圆周角定理及其推论——命题角度3 在直径条件下的综合题
典例6
变式训练4
典例6 (2016厦门,26)已知AB是☉O的直径,点C在☉O上,点D在半径OA上(不与 点O,A重合). (1)如图(1),若∠COA=60°,∠CDO=70°,求∠ACD的度数; (2)如图(2),点E在线段OD上(不与点O,D重合),CD,CE的延长线分别交☉O于点 F,G,连接BF,BG,点P是CO的延长线与BF的交点,若 CD=1,BG=2,∠OCD=∠OBG,∠CFP=∠CPF,求CG的长.
考点点拨 在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.
-
5
考点四 与圆有关的多边形
1.圆内接多边形:如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做这个 圆的内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆. 2.圆内接四边形性质:圆内接四边形对角 互补 ,每个外角等于与它相邻的内角的 对角,简称:外角等于它的内对角.
-
6
命题点一 垂径定理及其运用——命题角度1 求弦长
典例1
(2016莆田,15改编)如图,CD为☉O的弦,直径AB为4,AB⊥CD于点E,∠A=30°, 则CD的长为 .
思路
解题方法
圆中“铁三角”
在圆中,弦的一半、过该弦端点的半径和圆心到该弦的垂线段可谓是圆中的
2024年中考数学一轮复习课件--圆的性质
成立，则其余对应的两项也成立.如图，①∠AOB＝∠COD，
②弧AB＝弧CD，③AB＝CD，“知一推二”.
注意点
①进一步拓展，在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、弦心距
这四个量中，有一个量相等，则其余三个量都相等.
②一条弦所对的圆心角只有一个，而所对的弧有两条.
圆周角的概念与性质
1.圆周角
顶点在
圆周 上，角的两边都与圆 相交
可以A为圆心，AB长为半
径作圆
图形
模型
特征
①共斜边的两个直角三角形的四
个顶点共圆，圆心为斜边中点，
四点 如图
共圆
②共边三角形且边所对角相等的
四个顶点共圆，如图
图形
模型
特征
四点 ③对角互补四边形的四个顶
共圆 点共圆，如图
图形
特征
模型
在☉O中，AB的长度为定值（即定
弦），C为动点，且∠C为定值，根
圆心
，并且平
分弦所对的两条弧；
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦
所对的另一条弧；
（3）圆的两条平行弦所夹的弧 相等 .
注意点
（1）根据圆的对称性，在以下5个结论中：①过圆心；②垂直
于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.
如果满足其中的2个结论，那么可推出其余3个结论，注意解题
径，点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），连接CP.若
∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是（ D ）
第8题图
A.70°
B.105°
C.125°
D.155°
9.（2023·泰安模拟）如图，AB是☉O的直径，∠ACD＝∠CAB，
②弧AB＝弧CD，③AB＝CD，“知一推二”.
注意点
①进一步拓展，在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、弦心距
这四个量中，有一个量相等，则其余三个量都相等.
②一条弦所对的圆心角只有一个，而所对的弧有两条.
圆周角的概念与性质
1.圆周角
顶点在
圆周 上，角的两边都与圆 相交
可以A为圆心，AB长为半
径作圆
图形
模型
特征
①共斜边的两个直角三角形的四
个顶点共圆，圆心为斜边中点，
四点 如图
共圆
②共边三角形且边所对角相等的
四个顶点共圆，如图
图形
模型
特征
四点 ③对角互补四边形的四个顶
共圆 点共圆，如图
图形
特征
模型
在☉O中，AB的长度为定值（即定
弦），C为动点，且∠C为定值，根
圆心
，并且平
分弦所对的两条弧；
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦
所对的另一条弧；
（3）圆的两条平行弦所夹的弧 相等 .
注意点
（1）根据圆的对称性，在以下5个结论中：①过圆心；②垂直
于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.
如果满足其中的2个结论，那么可推出其余3个结论，注意解题
径，点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），连接CP.若
∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是（ D ）
第8题图
A.70°
B.105°
C.125°
D.155°
9.（2023·泰安模拟）如图，AB是☉O的直径，∠ACD＝∠CAB，
第26讲 圆的基本性质 2025年中考一轮数学专题复习课件(湖南)(共22张PPT)
定义 以点 O 为圆心的圆记作☉ O ，
线段 OA 叫作半径
(1)圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它
的对称轴；
对称
(2)圆是中心对称图形， 圆心
是它的对称中心；
性 (3)圆具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意角度都与
自身重合
考点清单
考点 ❷
垂径定理及其推论【省卷T26，长沙T9】
垂径定理 【2022课标要求变化：选学内容变为必学内容】
弦 AC 的长为4 3 ，则∠ COB ＝ 60
☉ O 的半径 r ＝ 4
∠ BD A＝ 90°
°，
.
∠ B A C＝ 30°
由 垂 径 定 理 得 CD ＝ 2 3
∠ COB ＝ 60°
r＝
sin60°
＝4
考点清单
考点 ❶
圆的定义及对称性
圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合，
其中定点称为 圆心 ，定长称为半径，
若四边形 OABC 是菱形，则∠ D ＝ 60
°.
∠ ABC ＝∠ AOC
∠ ABC ＋∠ D ＝180°
∠ AOC ＝2∠ D
3∠ D ＝180°
∠ D ＝60°
例4题 图
对点演练
5. (2024·广元)如下图，已知四边形 ABCD 是☉ O 的内接四边
形，点 E 为 AD 延长线上一点，∠ AOC ＝128°，则∠ CDE ＝
03
重难精讲
变式探究
第六单元 第26讲
重点精讲·变式探究
例1 (2023·永州改编)如下图，☉ O 是一个盛有水的容器的横
截面，☉ O 的半径为 10 cm，水面的宽 CD ＝12 cm，往容器中
线段 OA 叫作半径
(1)圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它
的对称轴；
对称
(2)圆是中心对称图形， 圆心
是它的对称中心；
性 (3)圆具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意角度都与
自身重合
考点清单
考点 ❷
垂径定理及其推论【省卷T26，长沙T9】
垂径定理 【2022课标要求变化：选学内容变为必学内容】
弦 AC 的长为4 3 ，则∠ COB ＝ 60
☉ O 的半径 r ＝ 4
∠ BD A＝ 90°
°，
.
∠ B A C＝ 30°
由 垂 径 定 理 得 CD ＝ 2 3
∠ COB ＝ 60°
r＝
sin60°
＝4
考点清单
考点 ❶
圆的定义及对称性
圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合，
其中定点称为 圆心 ，定长称为半径，
若四边形 OABC 是菱形，则∠ D ＝ 60
°.
∠ ABC ＝∠ AOC
∠ ABC ＋∠ D ＝180°
∠ AOC ＝2∠ D
3∠ D ＝180°
∠ D ＝60°
例4题 图
对点演练
5. (2024·广元)如下图，已知四边形 ABCD 是☉ O 的内接四边
形，点 E 为 AD 延长线上一点，∠ AOC ＝128°，则∠ CDE ＝
03
重难精讲
变式探究
第六单元 第26讲
重点精讲·变式探究
例1 (2023·永州改编)如下图，☉ O 是一个盛有水的容器的横
截面，☉ O 的半径为 10 cm，水面的宽 CD ＝12 cm，往容器中
中考数学专题复习之圆的基本性质 课件
(4)圆周角定理及推论： 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的__一__半___． 圆周角定理的推论： ①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的 弧__相__等___． ②半圆(或直径)所对的圆周角是__直__角___；90°的圆周角所对的弦是 __直__径___．
[对应训练] 1．(1)(2014·南宁)在直径为200 cm的圆柱形油槽内装入一些油以后， 截面如图．若油面的宽AB＝160 cm，则油的最大深度为( A ) A．40 cm B．60 cm C．80 cm D．100 cm
(2)(2016·安顺)如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，若 AB ＝8，CD＝6，则 BE＝__4_－____7___．
[对应训练] 3．(1)(2015·河池)如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，∠BOD ＝48°，则∠BAC的大小是( D ) A．60° B．48° C．30° D．24°
(2)(2015·梧州)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，分别连
接AC，BC，CD，OD.若∠DOB＝140°，则∠ACD＝( A )
【例3】 (2016·南宁)如图，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA， CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE＝40°，则∠P的度数为( B )
A．140° B．70° C．60° D．40°
【点评】 当图中出现同弧或等弧时，常常考虑到弧所对的圆周角或 圆心角，一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半，通过相等 的弧把角联系起来．
A．20°
B．30°
C．40°
D．70°
(3)(2016·河池)如图，AB是⊙O的直径，点C，D都在⊙O上，∠ABC＝ 50°，则∠BDC的大小是____4_0_°_．
中考数学基础复习第25课圆的基本性质课件
第25课 圆的基本性质
【知识清单】 一、点与圆的位置关系 1.设圆O的半径为r,点P到圆心的距离为OP=d.则: 点P在圆外⇔___d_>_r___;点P在圆上⇔___d_=_r___;点P在圆内⇔___d_<_r___. 2.确定圆的条件:不在同一直线上的三个点确定___一__个____圆. 3.三角形的外心:三角形外接圆的圆心,三角形三边的___垂__直__平__分__线____的交 点.
∴OB=OC= 5 2 ，OA 5 2 ,OF BF 5 ,
2
2
2
∴D⊥AE,OF⊥BC,AD⊥BC,∴四边形OGDF为矩形,∴OG=3D, F=
2
GD5=, OF=
2
在Rt△AGO中,AG= OA2 OG2 41 ,
2
∴AD=AG+GD4=1 5 ,
2
∵AD×DE=BD×CD,
【考点4】 圆相关性质的应用 例4.如图,在▱OABC中,以O为圆心,OA为半径的圆与BC相切于点B,与OC相交于点 D. (1)求 BD 的度数; (2)如图,点E在☉O上,连接CE与☉O交于点F.若EF=AB,求∠OCE的度数.
【解析】(1)连接OB,∵BC是☉O的切线,
∴OB⊥BC.∵四边形OABC是平行四边形, ∴OA∥BC,∴OB⊥OA.∴△AOB是等腰直角三角 形.∴∠ABO=45°.∵OC∥AB,∴∠BOC=∠ABO=45°,∴
A.99°
B.108°
C.110°
D.117°
变式2.(202X·泰安)如图,△ABC是☉O的内接三角形,AB=BC,∠BAC=30°,AD是 直径,AD=8,则AC的长为 ( B )
A.4 B.4 3 C.8 3
3 D.2 3
【知识清单】 一、点与圆的位置关系 1.设圆O的半径为r,点P到圆心的距离为OP=d.则: 点P在圆外⇔___d_>_r___;点P在圆上⇔___d_=_r___;点P在圆内⇔___d_<_r___. 2.确定圆的条件:不在同一直线上的三个点确定___一__个____圆. 3.三角形的外心:三角形外接圆的圆心,三角形三边的___垂__直__平__分__线____的交 点.
∴OB=OC= 5 2 ，OA 5 2 ,OF BF 5 ,
2
2
2
∴D⊥AE,OF⊥BC,AD⊥BC,∴四边形OGDF为矩形,∴OG=3D, F=
2
GD5=, OF=
2
在Rt△AGO中,AG= OA2 OG2 41 ,
2
∴AD=AG+GD4=1 5 ,
2
∵AD×DE=BD×CD,
【考点4】 圆相关性质的应用 例4.如图,在▱OABC中,以O为圆心,OA为半径的圆与BC相切于点B,与OC相交于点 D. (1)求 BD 的度数; (2)如图,点E在☉O上,连接CE与☉O交于点F.若EF=AB,求∠OCE的度数.
【解析】(1)连接OB,∵BC是☉O的切线,
∴OB⊥BC.∵四边形OABC是平行四边形, ∴OA∥BC,∴OB⊥OA.∴△AOB是等腰直角三角 形.∴∠ABO=45°.∵OC∥AB,∴∠BOC=∠ABO=45°,∴
A.99°
B.108°
C.110°
D.117°
变式2.(202X·泰安)如图,△ABC是☉O的内接三角形,AB=BC,∠BAC=30°,AD是 直径,AD=8,则AC的长为 ( B )
A.4 B.4 3 C.8 3
3 D.2 3
2023年九年级中考一轮复习数学课件圆的基本性质
例 4 如图，正方形 ABCD 内接于⊙O，E 为 AB 的中点，连结 CE 交 BD 于点 F，延长 CE 交⊙O 于点 G，连结 BG.
(1)求证：FB2＝FE·FG； (2)若 AB＝6，求 FB 和 EG 的长．
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD＝BC，
∴A︵D＝B︵C.
(2)如图，连结 OC，CD，OD，OD 交 BC 于点 F. ∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD， ∴BD＝DC． ∵OB＝OC，∴OD 垂直平分 BC． ∵△BDE 是等腰直角三角形，BE＝2 10，∴BD＝2 5. ∵AB＝10，∴OB＝OD＝5. 设 OF＝t，则 DF＝5－t. 在 Rt△BOF 和 Rt△BDF 中，52－t2＝(2 5)2－(5－t)2，解得 t＝3， ∴BF＝4.∴BC＝8.
理
相等的圆周角所对的弧相等..
推 1、半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. 论 2、圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角等于它的内对角.
常 见 图 形
圆中常用辅助线：
遇到 弦时
有作垂直于弦的 半径(或直径)或再连接过弦的端点
的半径.
常连弦心距
【解】如图 1，当 PA，PB 不在同一个半圆时，过点 P 作直径 PQ，连结
AQ，BQ.
∵PQ 是⊙O 的直径，
∴∠PAQ＝∠PBQ＝90°.
∵⊙O 的半径 r＝1，
∴PQ＝2r＝2.
图1
∵PA＝ 3，PB＝ 2，
∴cos∠APQ＝PPAQ＝ 23，
cos∠BPQ＝PPQB＝
2 2.
∴∠APQ＝30°，∠BPQ＝45°.
∴∠APB＝∠APQ＋∠BPQ＝75°.
2020年九年级数学中考总复习 第22讲 圆的性质课件(23张ppt)
总复习第二十二讲 圆的性质
目录
考点一 圆的有关概念及性质 考点二 与圆有关 的定理及推论 考点三 多边形与圆 考点四 与圆的位置关系 考点五 三角形与圆
考点一 圆的有关概念及性质
圆的有关概念 1.圆： (1) 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点
O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的 图形叫圆，固定的端点O叫圆心，线段OA叫半径。 (2) 圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点 组成的图形,这个定点叫做_圆__心__,_定长叫做_半__径___; 2.弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦，如AC.
【1】如左图,BC是☉O的直径,点A在圆上,连接 AO, AC, ∠AOB=64°,则∠ACB=___3_2_°____.
【2】如右图,AB为☉O的直径,C,D为☉O上两点,
若∠BCD=40°,则∠ABD的大小为 ( B )
A.60° B.50° C.40° D.20°
3.如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，
的度数的一半. 1
如∠DAB=___2__∠DOB
推论: （1）同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角_相__等__;
如∠DAB=_∠__D_C_B_(同弧) , ∠DAB=_∠__C_D__B(等弧 ) （2）半圆(或直径)所对的圆周角是_直__角______,
90°的圆周角所对的弦是直径. 如∠ADB=_9_0_°_____.
(3)性质：三角形的内心到三角形__三__条__边____的距
离相等.
1
(4)角度关系： ∠BOC = 90°+ 2∠A
练习题 1.如左图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且
OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E， 满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝_2_0_°_．
目录
考点一 圆的有关概念及性质 考点二 与圆有关 的定理及推论 考点三 多边形与圆 考点四 与圆的位置关系 考点五 三角形与圆
考点一 圆的有关概念及性质
圆的有关概念 1.圆： (1) 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点
O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的 图形叫圆，固定的端点O叫圆心，线段OA叫半径。 (2) 圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点 组成的图形,这个定点叫做_圆__心__,_定长叫做_半__径___; 2.弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦，如AC.
【1】如左图,BC是☉O的直径,点A在圆上,连接 AO, AC, ∠AOB=64°,则∠ACB=___3_2_°____.
【2】如右图,AB为☉O的直径,C,D为☉O上两点,
若∠BCD=40°,则∠ABD的大小为 ( B )
A.60° B.50° C.40° D.20°
3.如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，
的度数的一半. 1
如∠DAB=___2__∠DOB
推论: （1）同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角_相__等__;
如∠DAB=_∠__D_C_B_(同弧) , ∠DAB=_∠__C_D__B(等弧 ) （2）半圆(或直径)所对的圆周角是_直__角______,
90°的圆周角所对的弦是直径. 如∠ADB=_9_0_°_____.
(3)性质：三角形的内心到三角形__三__条__边____的距
离相等.
1
(4)角度关系： ∠BOC = 90°+ 2∠A
练习题 1.如左图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且
OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E， 满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝_2_0_°_．