反比例函数与一次函数综合运用
1 答案 （1）一次函数为y＝ x＋5. 2
A B y
D
变式：在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小， 求满足条件的P点的坐标及△PAB的面积.
C
P A’
O
x
3.（2015·泸州）如图，一次函数y=kx+b（k<0）的图像 经过C（3,0），且与两坐标轴围成的三角形的面积为 3. （1）求该一次函数的解析式； m （2）若反比例函数y= x 的图像与该一次函数的图像交于 二、四象限内的A、B两点，且AC=2BC,求m的值.
y
k x 的图像经过A（-
E
C
Q
E
综上，当b= - 2 ，S△ODQ=S△OCD.
一次函数与反比例函数的综合运用
——专题复习
考情分析
一次函数与反比例函数的综合运用往往以选择、填空、解 答题的形式出现，这类综合题考查的知识点多，其中求解 析式、交点、函数值的大小比较、几何面积、动点探究等 是考查的热点。 历年中考中所占分值
分值 年份
题型
2012 8分
2013 9分
2014 8分
2015 9分
1 答案 （1）一次函数为y＝ x＋5. 2
【思路点拨】 (2)联立两函数解析式，得一元二 B 次方程，有一个公共解则Δ=0，即可求出m的值.
(2)向下平移m个单位长度后，直线为y=
1 x+5-m， 2
A
8 y ， x 1 2 整理得 x +(5-m)x+8=0， 由题意，得 1 【方法归纳】解决一次函数与反比例函数或者是一次函 2 y x 5 m. 2 数与二次函数的交点问题时，通常将两个函数联立成方
在每一个象限内y随 x的增大而增大
1.一次函数 y kx k (k 0) 和反比例函数 y (k 0) x 在同一直角坐标系中的图象大致是( D )
k
点评：本题考查的是一次函数与反比例函数图象的特点， 熟知一次函数与反比例函数的性质是解答此题的关键．
2 2.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 y1 x 的图象
O
x
∵平移后直线与双曲线有且只有一个公共点， 程组，转化为一元二次方程解决 .若两函数图象有两个 1 2 ∴Δ=(5-m) -4× ×8＝0， 解得m＝1或9. 交点，则Δ>0;若两函数图象有一个交点，则Δ=0;若两 2 函数图象没有交点，则Δ<0.
（2014·成都）如图，一次函数 y kx 5（K为常数且K≠0)的图 8 y 像与反比例函数 的图像交于A(-2，b),B两点。 x
2 1）y x 2 答案 （ 3
(2) 【思路点拨】过A、B两点分别向 x轴作垂线，垂足分别为D、E ,可得 △ACD∽△BCE，∴AD=2BE，设B点的 纵坐标为-n，则A点的纵坐标为2n， 根据A、B两点既在一次函数图像上， 又在反比例函数图像上，可以建立关 于n的方程，从而求得n.
与一次函数 y2 kx b 的图象交于A、B两点．若y1＜y2， 则x的取值范围是（ B ） A．1＜x＜3 B．x＜0或1＜x＜3 C．0＜x＜1 D．x＞3或0＜x＜1
3.在平面直角坐标系xOy中，直线y=x向上平移 1 个单位长 k y 度得到直线l．直线l与反比例函数 x 的图象的一个交 点为A（a，3），则k的值等于 ． 6
m x
E D 3
2 1）y x 2 答案 （ 3 (2)过A、B两点分别向x轴作垂线，垂足分别为D、E
可得△ACD∽△BCE
AD AC 2 BE BC
m x
∴AD=2BE 设B点的纵坐标为-n，则A点的纵坐标为2n 上， 3n ∴A(3-3n，2n），B（ 3 ,-n) 2 m 又∵A、B在反比例函数 y 上， 3n x ∵A、B在直线
【思路点拨】 （2）设Q（a,4/a）， 分两种情况考虑：当△CHQ∽△AOB时； 当△QHC∽△AOB时,由相似得比例式， 求出a的值，即可求得Q点的坐标。
y kx 5 （K为常数且K≠0) 2.（2014·成都）如图，一次函数 8 的图像与反比例函数 y 的图像交于A(-2，b),B两点. x （1）求一次函数的表达式； （2）若将直线AB向下平移m (m>0) 个单位长度后与反比 例函数的图像有且只有一个公共点，求m的值。 y
解答题
一、一次函数与反比例函数的图像与性质
函数 解析式 图象形状 一次函数 反比例函数
y=kx+b( >0 b<0
y=
k ( k是常数,k≠0 ) x
双曲线
k>0
y随x的增大而增大
在每一个象限内y随x 的增大而减小
k<0
位 置
增 减 性
b>0
b<0
y随x的增大而减小
3.
第 4 题图
5.（2015﹒黄冈）如图，反比例函数 1,4），直线y=-x+b（b≠0）与双曲线在第二、四象限分别相交 于P、Q两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点.
（1）求k的值； （2）当b=-2时，求△OCD的面积； （3）连接OQ，是否存在实数b，使得 S△ODQ=S△OCD?若存在，请求出b的值，若 不存在，请说明理由.
D 3
E
（3 - 3n） 2n （3
解得n1=2，n2=0（不符合题意舍去）
∴m=(3-3n) ×2n=-3 ×4=-12 ∴ m的值为-12.
2
）（ - n）
k1 １. 反比例函数 y1 和正比例函数y2=k2x 的图象交于 A x
（-1，-3）、B两点，若y1＞y2，则x的取值范围是（ C ） A.-1＜x＜0 C.x＜-1或0＜x＜1 B.-1＜x＜1 D.-1＜x＜0或x＞1
4.
1.（2015·资阳）如图，直线 y=ax+1与x轴、y轴分别相交于A、B两 k 点，与双曲线 y x（x>0）相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC=2，点 A的坐标为（-2,0）. （1）求双曲线的解析式； （2）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当以点Q、 C、H为顶点的三角形与ΔAOB相似时，求点Q的坐标.
反比例函数与一次函数的综合应用 参考答案与试题解析
反比例函数与一次函数的综合应用1．已知一次函数y1＝kx﹣b与反比例函数y2＝，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则当kx＜+b时，x的取值范围是（）A．x＜﹣1或0＜x＜3B．﹣1＜x＜0或x＞3C．﹣3＜x＜0或x＞1D．x＞32．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象分别交于C，D两点，若点C坐标是（3，6），且AB＝BC．（1）求一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的解析式；（2）求△COD的面积；（3）直接写出当x取何值时，k1x+b＜．3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数相交于A（2，m）和B（6，2）．（1）求直线AB的表达式；（2）△AOB的面积是；（3）点A到OB的距离AH的长度是．4．如图，一次函数y1＝﹣2x+b的图象分别交x轴，y轴于D，C两点，交反比例函数y2＝图象于A（﹣1，6），B（m，﹣2）两点．（1）求k，b的值；（2）点E是y轴上点C下方一点，若S＝，求E点的坐标；△AEB（3）当y1＞y2时，x的取值范围是．5．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（1，2）、B（﹣2，n）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）根据图象，直接写出满足k1x+b＞的x的取值范围；（3）若点P在线段AB上，且S：S△BOP＝1：4，求点P的坐标．△AOP参考答案与试题解析1．已知一次函数y1＝kx﹣b与反比例函数y2＝，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则当kx＜+b时，x的取值范围是（）A．x＜﹣1或0＜x＜3B．﹣1＜x＜0或x＞3C．﹣3＜x＜0或x＞1D．x＞3【解答】解：根据题意得：当y1＜y2时，x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞3，∴当kx＜+b时，x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞3．故选：B．2．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象分别交于C，D两点，若点C坐标是（3，6），且AB＝BC．（1）求一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的解析式；（2）求△COD的面积；（3）直接写出当x取何值时，k1x+b＜．【解答】解：（1）∵点C（3，6）在反比例函数y＝的图象上，∴k2＝3×6＝18，∴反比例函数的解析式为y＝；如图，作CE⊥x轴于E，∵C（3，6），AB＝BC，∴B（0，3），∵B、C在y＝k1x+b的图象上，∴，解得，∴一次函数的解析式为y＝x+3；（2）由，解得或，∴D（﹣6，﹣3），＝S△BOC+S△BOD＝×3×3+×3×6＝；∴S△COD（3）由图象可得，当0＜x＜3或x＜﹣6时，k1x+b＜．3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数相交于A（2，m）和B（6，2）．（1）求直线AB的表达式；（2）△AOB的面积是16；（3）点A到OB的距离AH的长度是．【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y＝，由题意可知：k＝6×2＝12，∴y＝，∵A（2，m）在反比例函数y＝的图象上，∴m＝＝6，∴A（2，6），∵A（2，6）、B（6，2）在一次函数y＝ax+b的图象上，∴，解得，∴直线AB的表达式为y＝﹣x+8；（2）设直线AB与x轴的交点为C，令y＝0，则﹣x+8＝0，解得x＝8，∴C（8，0），＝S△AOC﹣S△BOC＝﹣＝16，∴S△AOB故答案为：16；（3）∵B（6，2），∴OB＝＝2，∵S＝OB•AH＝16，△AOB∴AH＝＝，故答案为：．4．如图，一次函数y1＝﹣2x+b的图象分别交x轴，y轴于D，C两点，交反比例函数y2＝图象于A（﹣1，6），B（m，﹣2）两点．（1）求k，b的值；＝，求E点的坐标；（2）点E是y轴上点C下方一点，若S△AEB（3）当y1＞y2时，x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜3．【解答】解：（1）将A（﹣1，6）代入一次函数y＝﹣2x+b，得b＝4；将A（﹣1，6）代入，得k＝﹣6．（2）设E（a，0），将B（m，﹣2）代入，得m＝3，∴B（3，﹣2）∴）＝2CE＝2（4﹣a）＝，∴E（0，）；（3）观察图象，当y1＞y2时，x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜3，故答案为：x＜﹣1或0＜x＜3．5．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（1，2）、B（﹣2，n）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）根据图象，直接写出满足k1x+b＞的x的取值范围；：S△BOP＝1：4，求点P的坐标．（3）若点P在线段AB上，且S△AOP【解答】解：（1）∵反比例函数y＝经过A（1，2），∴k2＝1×2＝2，∴反比例函数解析式为y＝，∵B（﹣2，n）在比例函数y＝的图象上，∴n＝＝﹣1，∴B（﹣2，﹣1），∵直线y＝k1x+b经过A（1，2），B（﹣2，﹣1），∴，解得，∴一次函数的解析式为y＝x+1；（2）观察图象，k1x+b＞的x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞1；（3）设P（x，x+1），：S△BOP＝1：4，∵S△AOP∴AP：PB＝1：4，即PB＝4PA，∴（x+2）2+（x+1+1）2＝16[（x﹣1）2+（x+1﹣2）2]，解得x1＝，x2＝2（舍去），∴P点坐标为（，）．。
一次函数与反比例函数的综合运用
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反 比例 函数 的解析式为 （
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Ｄ． ： 一 ｙ
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＼ １Βιβλιοθήκη Ｃ Ｄ 解析 ： 是～ 道多 图象在 同一 坐标系 中的 这 一 判定 的问题 ． 注意到 “” 应 的符号必须 相同 ， 解
阁 １
冒０ 。 留
答时可用 排除法 ． ｋ 时 ，反 比例 函数 ｙ 当 ＞０ ＝
解析 ： 设点 ４的坐标为 （ ， ， 一１ｍ） 南点 在
ｙ ＝一 － Ｘ（ ） ， 的图象应位于第～ 、 象限 ，一次函数 ｙ ： 直线 ｌ 上 可得 ｍ＝－２ －１ ＝２所 以
（） ３ 由题 意 知 ＝（５ ＋ｌ （ｏ 一 １一ｍ ８３０
间成反 比例关 系． － 如图 ３ ，已知该材料 在操作加工前 的温度
点评： 通过 此例 的解答 ． 同学们 要学会 这 为 ｌ℃， ５ 加热 ５ 分钟后温度达到 ６ ℃． ０ 类 由点 的坐标求 函数关系式 ， 、由函数关 系式 （） １分别求 出将材料加热和停止加热进行 求点 的坐标的解法． 操作时 Ｙ与 之间的函数关系式 ； 例 ３ 如图 ２ ，点 Ｐ为反 比例 函数 ＝三 （） ２ 根据工艺要求 ， 当材料的温度低于１￣ ５Ｃ
反比例函数与一次函数的综合应用
反比例函数与一次函数的综合应用
反比例函数与一次函数可以综合应用在多种场景中，如物品价格根
据数量的变化而做出不同的变动，比如有折扣优惠时，可以利用反比
例函数表达，但是来看待折扣的优惠能力，可以利用一次函数表达，
即根据购买数量来折扣价格，数量增加，折扣价格也加大。
另一个例
子是根据对应物品质量的价格，反比例函数可以表达更高质量的物品
价格较较低质量的物品价格昂贵，但是相同质量的物品的价格的变化，不同厂家的不同，可以利用一次函数来表达价格与质量的综合数据关系。
一次函数与反比例函数综合应用教案
一次函数与反比例函数综合应用教案一、教学目标1. 让学生掌握一次函数和反比例函数的基本概念和性质。
2. 培养学生运用一次函数和反比例函数解决实际问题的能力。
3. 引导学生通过合作交流，提高解决问题的策略和思维能力。
二、教学内容1. 一次函数的基本概念和性质。
2. 反比例函数的基本概念和性质。
3. 一次函数和反比例函数的综合应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：一次函数和反比例函数的基本概念、性质和综合应用。
2. 教学难点：一次函数和反比例函数的综合应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究一次函数和反比例函数的性质。
2. 利用案例分析法，让学生通过实际问题体会一次函数和反比例函数的应用价值。
3. 采用合作交流法，培养学生团队协作和沟通能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过生活实例引入一次函数和反比例函数的概念。
2. 自主学习：让学生自主探究一次函数和反比例函数的性质。
3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用一次函数和反比例函数解决问题。
4. 合作交流：分组讨论，让学生分享解题策略和心得。
5. 总结提升：总结一次函数和反比例函数的性质及应用，提高学生解决问题的能力。
6. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学活动设计1. 活动一：引入概念通过展示实际生活中的线性关系图片，如直线轨道上列车的运动，引导学生思考线性关系的表现形式。
引导学生提出一次函数的表达式，并解释其含义。
2. 活动二：探索性质学生通过绘制一次函数图像，观察并总结其在坐标系中的性质。
通过实际例子，让学生理解一次函数的斜率和截距对图像的影响。
3. 活动三：反比例函数的引入引导学生从比例关系出发，思考反比例函数的概念。
通过实际问题，如在固定面积内，距离与面积的关系，引入反比例函数。
七、教学评价设计1. 评价目标：学生能理解并应用一次函数和反比例函数解决实际问题。
通过设计具有挑战性的问题，如购物预算问题，让学生应用所学的函数知识。
一次函数和反比例函数的综合运用
一次函数和反比例函数的综合运用1. 一次函数y=x+2与反比例函数y=k都过点A(2,a)。
x(1)求k值．(2)若函数y=mx+b(m>0)也过点A，且与x轴交于B点，且SΔAOB>8，求b的取值范围．2. 如图，已知直线y1=x+m与x轴，y轴分别交于点A，B，与双曲线y2=k分别交于点C，xD，且点C坐标为(−1,2)．(1)分别求直线AB与双曲线的解析式；(2)求点D的坐标；(3)连接OC，OD，求△COD的面积．3. 如图，反比例函数y1=k(k≠0)的图象与矩形OABC的边AB，BC分别交于点E，D，点E与x点G关于原点成中心对称，过点D，G的直线y2=mx+n交x轴于点F，S▵CDF=3．(1)求反比例函数的表达式；(2)若BD=2CD=2，当y1>y2时，直接写出x的取值范围；(3)连接DE，AC，求证：DE//AC．4. 如图，直线y=−1x+m与x轴，y轴分别交于点B、A两点，与双曲线相交于C、D两点，3过C作CE⊥x轴于点E，已知OB=3，OE=1．(1)求直线AB和双曲线的表达式；(2)设点F是x轴上一点，使得S△CEF=2S△COB，求点F的坐标．5. 已知：一次函数y1=−x−1与反比例函数y2=−2相交于A、B两点，求A、B两点的坐标；x6. 如图，点A(m,m+1)，B(m+3,m−1)是反比例函数y=k(x>0)与一次函数y=ax+bx的交点，求：(1)一次函数的解析式；(2)根据图象直接写出不等式k>ax+b的解集．x7. 如图，直线y=x2与双曲线y=mx(m>0)交于A，B两点，且点A的横坐标是2，点C是y轴上一点．(1)求点A、B的坐标及m的值；(2)联结BC、AC，如果△ABC是直角三角形，且∠C=90°，那么求点C的坐标．(3)联结AC，如果线段AC的垂直平分线恰好经过点B，那么求点C的坐标．8. 如图，正比例函数y1=2x与反比例函数y2=kx的图象交于A，B两点，点A的横坐标为2．(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；(2)点P是x轴上一点，连接PA，PB，若S△PAB=20，求点P的坐标；(3)请根据图象直接写出不等式2x≥kx的解集．9. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A(2,5)在反比例函数y=k的图象x上，过点A的直线y=x+b交x轴于点B．(1)求k和b的值．(2)求△OAB的面积．10. 如图，一次函数y=x+1与反比例函数y=k的图象相交于点A(2,3)和点B．x(1)求反比例函数的解析式；(2)过点B作BC⊥x轴于C，求S△ABC；(3)是否在y轴上存在一点D，使得BD+CD的值最小，并求出D坐标．(x>0)的图象11. 如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y=kx+b与函数y=nx交于点A(1,5)和点B(m,1)．(1)求m，n的值．(2)根据图象判断，当不等式kx+b≥n成立时，x的取值x范围是什么?(3)连结OA，OB，求△OAB的面积．12. 如图，已知一次函数y=x+k的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数y=mx 的图象交于点C，D，已知S▵BOD=S▵AOB=S▵AOC=2．(1)求k和m的值；(2)直接写出x+k>m时，x的取值范围．x13. 如图，直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于点B、C，与反比例函数y=m交于点A、D，x过D作DE⊥x轴于E.连接OA，OD，若A(−2,n)，S△OAB：S△ODE=1：2．(1)求点B的坐标，并求出反比例函数的表达式；(2)求点D的坐标；>kx+3的解．(3)直接写出关于x不等式：mx14. 如图，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=k2的图象相交于点A(3,1)，B(−1,n)x两点．(1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式；(2)根据图象，直接写出满足k1x+b≥k2的x的取值范围；x(3)连接BO并延长交双曲线于点C，连接AC，求△ABC的面积．15.如图，反比例函数y=k的图象与一次函数y=mx+n的图象相交于A(a,−1)，B(−1,3)两x点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)设直线AB交y轴于点C，点N(t,0)是x轴正半轴上的一个动点，过点N作NM⊥x轴交反比例的图象于点M，连接CN，OM.若S四边形COMN>3，求t的取值范围．函数y=kx16. 如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=m的图像交于A(1,6)，B(3,n)两点．x(1)求反比例函数和一次函数的表达式；>0的解集；(2)根据图像写出不等式kx+b−mx(3)若点M在x轴上、点N在y轴上，且以M、N、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求出点M、N的坐标．17. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=m的图象经过点xA(2,2)．(1)分别求这两个函数的表达式；(2)将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于B，与反比例函数图象在第一象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积．18. 如图，反比例函数y1=kx(k≠0)的图象与矩形OABC的边AB，BC分别交于点E，D，点E 与点G关于原点成中心对称，过点D，G的直线y2=mx+n交x轴于点F，S△CDF=3．(1)求反比例函数的表达式；(2)若BD=2CD=2，当y1>y2时，直接写出x的取值范围；(3)连接DE，AC，求证：DE//AC．19. 如图，一次函数y=12x+1的图象与反比例函数y=kx的图象相交于A(2,m)和B两点．(1)求反比例函数的解析式；(2)求点B的坐标．20. 如图，在平面直角坐标系中，直线y1=ax+b与双曲线y2=kx,(k≠0)分别相交于第二、四象限内的A(m，4)，B(6,n)两点，直线AB与x轴交于点C.已知OC=3，tan∠ACO=23．(1)求直线y1，双曲线y2对应的函数解析式；(2)求△AOB的面积；(3)直接写出ax+b≥kx的解集．21. 如图所示，已知直线y=√33x与双曲线y=kx交于A、B两点，且点A的横坐标为√3．(1)求k的值；(2)若双曲线y=kx上点C的纵坐标为3，求△AOC的面积；(3)在y轴上有一点M，在直线AB上有一点P，在双曲线y=kx上有一点N，若以O、M、P、N为顶点的四边形是有一组对角为60°的菱形，请写出所有满足条件的点P的坐标．22. 如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=6(x>0)的图象，交于A、B两点xA(m,6)，B(3,n)．(1)求一次函数的解析式;(2)求△OAB的面积;(3)根据图象直接写出不等式kx+b<6的解集．x23. 如图，直线y1=−x+4与双曲线y=k(k≠0)交于A、B两点，点A的坐标为(1,m)，经x过点A直线y2=x+b与x轴交于点C．(1)求反比例函数的表达式以及点C的坐标；(2)点P是x轴上一动点，连接AP，若△ACP是△AOB的面积的一半，求此时点P的坐标．24. 如图，一次函数y=kx+2的图象与x轴交于点A，与反比例函数y=mx的图象交于点B(2,3)和点C．(1)分别求出反比例函数和一次函数的解析式；(2)过点B作BD⊥x轴，垂足为D，求△BCD的面积；(3)观察图象，当kx+2>mx时，直接写出x的取值范围．25. 如图，反比例函数y=kx (k>0)的图象与正比例函数y=34x的图象交于A、B两点(点A在第一象限)．(1)当点A的横坐标为2时，求k的值；(2)若k=12，点C为y轴正半轴上一点，∠ACB=90∘，①求点C的坐标及ΔACB的面积；②以A、B、C、D为顶点作平行四边形，请求出第四个顶点D的坐标．答案1.【答案】解：(1)把点A ( 2,a )代入y =x +2得，a =2+2=4，∴点A 的坐标为( 2,4 )，把点A( 2,4 )代入y =k x 得，k2=4，解得k =8．(2)如图所示：当S ΔAOB =8时，12·OB ·4=8，解得OB =4，∴点B 的坐标为(−4,0)，把点B(−4,0)，点A(2,4)代入y =mx +b 得，{−4m +b =02m +b =4 ， 解得{m =23b =83， ∵S ΔAOB >8，∴b >83 ，当b =4时，直线y =mx +b 与x 轴平行，与x 轴没有交点，不符合题意，当b >4时，m <0，不符合题意，∴83<b <4．2.【答案】解：(1)∵y1=x+m与y2=kx过点C(−1,2)，∴m=2−(−1)=3，k=−1×2=−2．∴直线AB及双曲线的解析式分别为y1=x+3，y2=−2x．(2)联立方程组得{y=x+3,y=−2x.解得{x=−1,y=2,或{x=−2,y=1.∴点D的坐标为(−2,1)．(3)如图所示：∵y1=x+3与x轴、y轴分别交于点A，B，∴当x=0时，y1=3；当y1=0时，x=−3．∴A(−3,0)，B(0,3)．∴S△COD=S△AOB−S△AOD−S△BOC==12×3×3−12×3×1−12×3×1=32．3.【答案】解：(1)∵四边形OABC是矩形，∴BC//AO，．∵点D在反比例函数y1=kx(k≠0)的图象上，∴设D(a,ka)，∴DC=a，CO=ka，∴S△DCO=12DC·CO=12a·ka=k2，∴k2=3，∴k=6．∴反比例函数的表达式为y1=6．x(2)如图：由BD=2CD=2，可得BD=2，CD=1，∴BC=BD+CD=2+1=3，∴点B的横坐标为3，∴点E的横坐标为3，中，得y1=2，把x=3代入到y1=6x∴点E的坐标为(3,2)，∵CD=1，∴点D的横坐标为1，中，得y1=6，把x=1代入到y1=6x∴点D的坐标为(1,6)，∵点E与G关于原点成中心对称，∴点G的坐标为(−3,−2)，∴当y1>y2时，结合图象，直接写出x的取值范围是x<−3或0<x<1；(3)如图：∵点D，点E在反比例函数y1=kx(k≠0)的图象上，∴设D(m,6m )，E(n,6n)，n>m>0，∴B(n,6m)，A(n,0)，∴CD=m，BD=n−m，BE=6m −6n=6(n−m)mn，AE=6n，∴BD CD =n−mm，BEAE=6(n−m)mn6n=n−mm，∴BD CD =BEAE，∵∠B=∠B=90∘，∴△ABC∽△EBD，∴∠BAC=∠BED，∴DE//AC．4.【答案】解：(1)∵OB=3，OE=1，∴B(3,0)，C点的横坐标为−1，∵直线y=−13x+m经过点B，∴0=−13×3+m，解得m=1，∴直线为：y=−13x+1，把x=−1代入y=−13x+1得，y=−13×(−1)+1=43，∴C(−1,43)，∵点C在双曲线y=kx(k≠0)上，∴k=−1×43=−43，∴双曲线的表达式为：y=−43x；(2)∵B(3,0)，C(−1,43)，∴OB=3，CE=43，∴S△COB=12×3×43=2，∵S△CEF=2S△COB，∴S△CEF=12×EF×43=4，∴EF=6，∵E(−1,0)，∴F(−7,0)或(5,0)．5.【答案】解：依题意，联立{y=−x−1 y=−2x,消去y得：x2+x−2=0，解得：x1=1，x2=−2，故当x=1时，y=−2；当x=−2时，y=1，故A(1,−2)，B(−2,1)或A(−2,1)，B(1,−2)6.【答案】解：(1)由题意可知，m(m+1)=(m+3)(m−1)．解，得m=3.(2分)∴A(3,4)，B(6,2)；∴k=4×3=12，∴y=12x．∵A点坐标为(3,4)，B点坐标为(6,2)，∴{3a+b=46a+b=2，∴{a=−2 3b=6，∴y=−23x+6．(2)根据图象得x的取值范围：0<x<3或x>6．7.【答案】解：(1)把x=2代入函数解析式y=x2，得y=1，∴A(2,1)，由对称性可得B(−2,−1)，把x=2，y=1代入函数解析式y=mx，得m=2．(2)∵A(2,1)，B(−2,−1)，∴AB=√(2+2)2+(1+1)2=2√5，在Rt△ACB中，∠ACB=90∘，∵点O是AB的中点，∴OC=12AB=√5，∴C(0,√5)或(0,−√5).(3)∵点B在线段AC的垂直平分线上，∴AB=BC=2√5，设点C(0,y)，得(0+2)2+(y+1)2=(2√5)2，解得y1=3，y2=−5，∴C(0,3)或(0,−5)．8.【答案】解：(1)由题意得y1=2×2=4，即A(2,4)，∴4=k2，即k=8，∴y2=8x．∵正比例函数y1=2x与反比例函数y2=kx的图象交于A，B两点，∴A与B关于原点对称，即B(−2,−4)；(2)点P是x轴上一点，设P(m,0)，∵A (2,4)，B (−2,−4)，∴S ▵PAB =S ▵PAO +S ▵PBO =|m |×42+|m |×42=20，解得m =±5，∴P (5,0)或(−5,0) ；(3)由函数图象分析可知，不等式2x ≥k x 的解集为：x ≥2或−2≤x <0． 9.【答案】解：(1)把A(2,5)分别代入y =k x 和y =x +b ，得{5=k2,5=2+b. 解得k =10，b =3． (2)由(1)得直线AB 的解析式为y =x +3，∴B 点坐标为(−3,0)，∴OB =3．过点A 作AC ⊥x 轴于点C ．∵点A 的坐标为(2,5)，∴AC =5．∴S △OAB =12OB ·AC =12×3×5=152． 10.【答案】解：(1)∵反比例函数y =kx 过点A(2,3)，∴k =2×3=6，∴反比例函数的解析式为y =6x； (2)方程组{y =x +1y =6x 的解为{x 1=−3y 1=−2，{x 2=2y 2=3， 又∵A(2,3)，∴B(−3,−2)，又∵BC ⊥x 轴，∴C(−3,0)，BC =2，∴S △ABC =12×2×(2+3)=5；(3)存在，理由为：作点C 关于y 轴的对称点C′，连接BC′交y 轴于点D ，连接CD ，此时BD +CD 的值最小，∵C(−3,0)，∴C′(3,0)，设直线BC′的关系式为y =mx +n(m ≠0)，将B(−3,−2)，C′(3,0)代入得，{−3m +n =−23m +n =0， 解得m =13，n =−1，∴直线BC′的关系式为y =13x −1， 当x =0时，y =−1，∴D(0,−1)． 11.【答案】略12.【答案】解：(1)∵直线y=x+k可以由直线y=x平移得到的，且直线y=x与x，y轴的夹角为45∘，∴直线AB与x，y轴的夹角为45∘，∴△AOB是等腰直角三角形．又∵S△AOB=2，∴OA=OB=2，则点A(2,0)，点B(0,−2)，∴k=−2．∵S△BOC=4，S△AOC=2，∴点C到y轴的距离为4，点C到x轴的距离为2，即点C(4,2)，∴m=xy=4×2=8．(2)同理可得点D的坐标为(−2,−4)，由函数图象可知当−2<x<0或x>4时，直线位于曲线的上方，即x+k>mx．13.【答案】解：(1)把x=0代入y=kx+3得，y=3，∴B(0，3)，∵A(−2，n)，∴△OAB的面积=12×2×3=3，∵S△OAB：S△ODE=1：2，∴S△ODE=6，∵DE⊥x轴，点D在反比例函数y=mx的图象上，∴12|m|=6，∴m=±12，∵m<0，∴m=−12，∴反比例函数关系式为：y=−12x；(2)把A(−2，n)代入y=−12x得：n =−12−2=6， ∴A(−2，6)，把A(−2，6)代入y =kx +3得：6=−2k +3，∴k =−32，∴一次函数关系式为：y =−32x +3，∵一次函数和反比例函数相交，∴−32x +3=−12x ， ∴x1=4，x2=−2，∴y1=−3，y2=6，∴一次函数和反比例函数的交点A(−2，6)，D(4，−3)；(3)∵一次函数和反比例函数的交点A(−2，6)，D(4，−3)，由图可知−12x >−32x +3时，0>x >−2或x >4． 14.【答案】解：(1)∵把A(3,1)代入y =k 2x ，得：k 2=3×1=3，∴反比例函数的解析式是y =3x， ∵B(−1,n)代入反比例函数y =3x 得：n =−3，∴B 的坐标是(−1,−3)，把A 、B 的坐标代入一次函数y =k 1x +b ，得：{3k 1+b =1−k 1+b =−3， 解得：k 1=1，b =−2，∴一次函数的解析式是y =x −2；(2)从图象可知：k 1x +b ≥k 2x 的x 的取值范围是当−1≤x <0或x ≥3．(3)过C 点作CD//y 轴，交直线AB 于D ，∵B(−1,−3)，B 、C 关于原点对称，∴C(1,3)，把x =1代入y =x −2得，y =−1，∴D(1,−1)，∴CD =4，∴S △ABC =S △ACD +S △BCD =12×4×(3+1)=8． 15.【答案】解：(1)∵反比例函数y =k x 的图象与一次函数y =mx +n 的图象相交于A(a,−1)，B(−1,3)两点，∴k =−1×3=a ×(−1)，∴k =−3，a =3，∴点A(3,−1)，反比例函数的解析式为y =−3 x ， 由题意可得：{3=−m +n −1=3m +n ，解得：{ m =−1n =2， ∴一次函数解析式为y =−x +2；(2)∵直线AB 交y 轴于点C ，∴点C(0,2)，∴S 四边形COMN =S △OMN +S △OCN =32+12×2×t ，∵S 四边形COMN >3，∴32+12×2×t >3，∴t >32． 16.【答案】解：(1)反比例函数y =m x 的图像过A(1,6)，∴m =1×6=6，∴反比例函数表达式为y =6x ．把x =3代入可得n =2，∴B(3,2)，设直线AB 的表达式为y =kx +b ，把A 、B 坐标代入可得{k +b =63k +b =2， 解得{k =−2b =8， ∴一次函数表达式为y =−2x +8．(2)不等式kx +b −m x >0可化为不等式kx +b >mx ．即直线在反比例函数图像上方时所对应的自变量x 的取值范围．∵A(1,6)，B(3,2)，∴不等式kx +b −m x >0的解集为1<x <3或x <0． (3)当AB 为平行四边形的边时，①当M 在x 轴正半轴，N 在y 轴正半轴时，如图，过A 作AC//y 轴，过B 作BC//x 轴．∵A(1,6)，B(3,2)，∴BC =3−1=2，AC =6−2=4．∵MN//AB ，且MN =AB ，∴∠ONM =∠CAB ．在△NOM 和△ACB 中，{∠MON =∠ACB∠ONM =∠CAB MN =AB∴△NOM≌△ACB(AAS)，∴OM =BC =2，ON =AC =4，∴M(2,0)，N(0,4)．②当M 在x 轴的负半轴，N 在y 轴的负半轴时，同理可求得M(−2,0)，N(0,−4)．当AB 为对角线时，设M(x,0)，N(0,y)，∵A(1,6)，B(3,2)，∴平行四边形的对称中心为(2,4)，∴x +0=4，y +0=8，解得x =4，y =8，此时M(4,0)，N(0,8)，在y=−2x+8中，令y=0可得x=4，令x=0可得y=8，∴A、B、M、N四点共线，不合题意，舍去．综上可知，以M、N、A、B为顶点的四边形是平行四边形时，M(−2,0)，N(0,−4)或M(2,0)，N(0,4)．17.【答案】.解：(1)将A(2,2)代入y=kx，∴2k=2，∴k=1，∴正比例函数的解析式为：y=x将A(2,2)代入y=mx，∴m=2×2=4，∴反比例函数的解析式为：y=4x(2)连接OC，∵直线BC由直线OA向上平移3个单位所得，∴B(0,3)∴直线BC的解析式为：y=x+3，联立{y=x+3y=4x解得：{x=1y=4或{x=−4y=−1，∵点C在第一象限，∴点C的坐标为(1,4)∵OA//BC，∴S△ABC=S△BOC=12×3×1=32．18.【答案】解：(1)如图，连接OD，∵四边形OABC是矩形，∴BC//AO，．∵点D在反比例函数y1=kx(k≠0)的图象上，∴设D(a,ka)，∴DC=a，CO=ka，∴S△DCO=12DC·CO=12a·ka=k2，∴k2=3，∴k=6．∴反比例函数的表达式为y1=6x．(2)如图：由BD=2CD=2，可得BD=2，CD=1，∴BC=BD+CD=2+1=3，∴点B的横坐标为3，∴点E的横坐标为3，把x=3代入到y1=6x中，得y1=2，∴点E的坐标为(3,2)，∵CD=1，∴点D的横坐标为1，把x=1代入到y1=6x中，得y1=6，∴点D的坐标为(1,6)，∵点E与G关于原点成中心对称，∴点G的坐标为(−3,−2)，∴当y1>y2时，结合图象，直接写出x的取值范围是x<−3或0<x<1；(3)如图：∵点D，点E在反比例函数y1=kx(k≠0)的图象上，∴设D(m,6m )，E(n,6n)，n>m>0，∴B(n,6m)，A(n,0)，∴CD=m，BD=n−m，BE=6m −6n=6(n−m)mn，AE=6n，∴BD CD =n−mm，BEAE=6(n−m)mn6n=n−mm，∴BD CD =BEAE，∵∠B=∠B=90∘，∴△ABC∽△EBD ，∴∠BAC =∠BED ，∴DE//AC ．19.【答案】解：(1)∵一次函数y =12x +1的图象过点A(2,m)， ∴m =12×2+1=2，∴点A(2,2)，∵反比例函数y =kx 的图象经过点A(2,2)，∴k =2×2=4，∴反比例函数的解析式为：y =4x ；(2)联立方程组可得：{y =12x +1y =4x，解得：{x1=−4y 1=−1或{x2=2y 2=2，∵B 点在第三象限，∴点B(−4,−1)．20.【答案】解：(1)设直线y 1=ax +b 与y 轴交于点D ，在Rt △OCD 中，OC =3，tan ∠ACO =23．∴OD =2，即点D(0,2)，把点D(0,2)，C(3,0)代入直线y 1=ax +b 得，b =2，3a +b =0，解得，a =−23，∴直线的关系式为y 1=−23x +2；把A(m,4)，B(6,n)代入y 1=−23x +2得，m =−3，n =−2，∴A(−3,4)，B(6,−2)，∴k =−3×4=−12，∴反比例函数的关系式为y 2=−12x ，因此y 1=−23x +2，y 2=−12x； (2)由S △AOB =S △AOC +S △BOC ，=12×3×4+12×3×2，=9．(3)由图象可知，不等式ax +b >k x 的解集为x ≤−3或0<x ≤6． 21.【答案】解：(1)把点A 的横坐标为√3代入y =√33x ， ∴其纵坐标为1，把点(√3,1)代入y =k x，解得：k =√3．(2)∵双曲线y =√3x 上点C 的纵坐标为3， ∴横坐标为√33， ∴过A ，C 两点的直线方程为：y =kx +b ，把点(√3,1)，(√33,3)， 代入得：{1 =√3k +b3=√33k +b ，解得：{k =−√3b =4， ∴y =−√3x +4，设y =−√3x +4与x 轴交点为D ，则D 点坐标为(4√33,0)， ∴△AOC 的面积=S △COD −S △AOD =12×4√33×3−12×4√33×1=4√33．(3)设P 点坐标(a,√33a)，由直线AB 解析式可知，直线AB 与y 轴正半轴夹角为60°， ∵以O 、M 、P 、N 为顶点的四边形是有一组对角为60°的菱形，P 在直线y =√33x 上， 当点M 在y 轴上时，∴N 点的横坐标为a ，代入y =√3x ，解得纵坐标为：√3a， 根据OP =NP ，即得：|2√33a|=|√3a −√33a|，解得：a =±1．故P 点坐标为：(1,√33)或(−1,−√33). 22.【答案】解：(1)∵点A(m,6)，B(3,n)两点在反比例函数y =6x (x >0)的图象上， ∴m =1，n =2，即A(1,6)，B(3,2)．又∵点A(m,6)，B(3,n)两点在一次函数y =kx +b 的图象上，∴{6=k +b 2=3k +b ． 解得{k =−2b =8， 则该一次函数的解析式为：y =−2x +8；(2)分别过点A 、B 作AE ⊥x 轴，BC ⊥x 轴，垂足分别是E 、C 点．直线AB 交x 轴于D 点．令−2x +8=0，得x =4，即D(4,0)．∵A(1,6)，B(3,2)，∴AE =6，BC =2，∴S △AOB =S △AOD −S △BOD=12×4×6−12×4×2 =8；(3)根据图象可知使kx +b <6x成立的x 的取值范围是0<x <1或x >3． 23.【答案】解：(1)把A(1,m)代入y 1=−x +4得，m =−1+4=3，∴A(1,3)，∵点A 在双曲线y =k x (k ≠0)上， ∴k =1×3=3，∴反比例函数的表达式为y =3x ，∵直线y 2=x +b 经过点A ，∴b =2，∴直线y 2=x +2，令y 2=0，求得x =−2，∴C(−2,0)；(2)连接OA 、OB ，分别作AM ⊥x 轴于M ，BN ⊥x 轴于N ，由题意得{y =−x +4y =3x ， 解得{x =1y =3或{x =3y =1， ∴A(1,3)，B(3,1)，∴AM =3，BN =1，MN =2，∴S △AOB =S △AOM +S 梯形AMNB −S △BON =S 梯形AMNB =(3+1)×22=4， 设P(x,0)，∴CP =|x +2|，∴S △ACP =|x+2|×32=12S △AOB ， ∴|x +2|=43，则x =±43−2，∴x =−23或−103 ∴P 点为(−23,0)或(−103,0)． 24.【答案】解：(1)将B(2,3)代入y =kx +2， 3=2k +2，解得：k =12， ∴一次函数解析式为y =12x +2； 将B(2,3)代入y =m x ，3=m 2，解得：m =6， ∴反比例函数解析式为y =6x ．(2)联立两函数解析式成方程组，{y =12x +2y =6x，解得：{x 1=−6y 1=−1，{x 2=2y 2=3， ∴点C 的坐标为(−6,−1)，∴S △BCD =12BD ⋅(x B −x C )=12×3×[2−(−6)]=12．(3)当kx +2>m x 时，x 的取值范围：−6<x <0或x >2． 25.【答案】解：(1)当x =2时，y =34×2=32， ∴点A 坐标为(2,32)， ∵点A 在反比例函数y =k x (k >0)的图象上， ∴k =2×32=3；(2)①∵k =12，∴反比例函数解析式为y =12x， 联立方程组可得：{y =12x y =34x ， 解得：{x 1=4y 1=3或{x 2=−4y 2=−3， ∴点A(4,3)，点B(−4,−3)，∴AO =BO =5，又∵∠ACB =90°，∴CO =AO =BO =5，∴点C(0,5)，∴△ACB 的面积=12×5×4+12×5×4=20; ②设点D 坐标为(x,y)，若AB 为对角线，则四边形ACBD 是平行四边形， ∴AB 与CD 互相平分，∴5+y2=−3+32，−4+42=x+02，∴x=0，y=−5，∴点D(0,−5)；若AC为对角线，则四边形ABCD是平行四边形，∴AC与BD互相平分，∴4+02=−4+x2，5+32=−3+y2，∴x=8，y=11，∴点D(8,11)；若BC为对角线，则四边形ACDB是平行四边形，∴BC与AD互相平分，∴−4+02=x+42，−3+52=3+y2，∴x=−8，y=−1，∴点D(−8,−1)，综上所述：点D坐标为(0,−5)或(8,11)或(−8,−1)．。
反比例函数与一次函数的综合运用(优质课教案)
反比例函数与一次函数的综合运用蒲岐中学章青海一、教学目标、重点、难点的确定结合本节课的教学内容和学生现有的学习水平，我确定本节课的教学目标如下：1．知识与技能：通过本节学习，巩固反比例函数和一次函数的图像和性质，并能用它解决相关问题．2．过程与方法：通过观察简单图象入手，步步引入，逐渐掌握解决本节例题的方法，通过动手操作，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想．3．情感、态度与价值观：通过学生之间的讨论、交流和探索，建立合作意识，提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望，体会数学在生活中广泛的应用价值．教学重点：利用反比例函数和一次函数的图像和性质解决有关问题教学难点：1、综合运用反比例函数和一次函数的图像和性质知识解决创新型问题2、对数形结合思想的理解与深入应用二、教学流程(一) 简单图象导入，温故知新教师：同学们好，请同学们看屏幕．如图，问题1.如图在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=2、BC=1，你可以得出哪些结论？设计意图：让学生复习解直角三角形的知识及一般情况三角形会求哪些结论？引出面积为反比例函数的引入作铺垫。
问(2)将Rt△ABC如图放入直角坐标系中；还可以得出什么结论？设计意图：让学生体会当直角坐标系与简单几何图形结合，点线都可以用代数知识来表示，充分理解直角坐标系是数形结合很好的工具。
．借助哪个函数工具可以画出和它面积一样的直角三角形？设计意图：引入反比例函数，复习反比例函数解析式的求法，充分理解掌握k=xy 面积不变性，认识应用的基本图形，为等积法解决原题作铺垫。
问(3) .在平面直角坐标系中找到点D,使得以A 、B 、C 、 D 为顶点的四边形是平行四边形。
设计意图：比较自然的引出（0，-1）；（4，1）又可以得出直线y=21x －1,从数学思想看也复习了分类讨论思想。
问（4）.如图反比例函数y=x 4 与一次函数y=21x －1交于C,D 两点 你能提出一个新问题吗?并尝试解决.设计意图：预设3副图解决三类常见问题求交点，求三角形面积及大小比较 让学生总结方法技巧问（5）. 直线y=21x-1与x 轴交于点B,过点B 作x 轴的垂线交反比例函数y=x4于点C,连接AC 你能判断三角形ABC 的形状吗?（创新型综合问题）设计意图：还是让学生观察图形特征，总结点规律，为解决原题作基础。
中考数学复习 查补重难点 反比例函数与一次函数的综合运用(原卷版)
查补重难点03反比例函数与一次函数的综合运用考点一：反比例函数与一次函数综合反比例函数与一次函数进行综合考查的题型是江苏历年中考数学对于函数考查的重点内容，那么关于反比例函数与一次函数的综合专题当中，我们主要涉及到函数共存问题，交点和不等式（比大小）问题、最值问题以及与几何综合压轴类的题型。
无论是哪一类型的题型，在综合的考察过程当中都是对于反比例函数与一次函数的图像和性质有充分的了解，借助数形结合思想、方程思想、化归思想等。
通过函数的图像来得到我们所需要的求解问题。
在这过程当中，如果对于这两类函数没有全面的了解，那么在解题过程当中就要花费大家很多的时间而导致其解题效率的降低，那么在解决这三大类型的提醒过程当中，该如何利用这些函数的性质来进行解题，该专题可供大家在备考阶段能够进行专项的突破。
题型1.反比例函数和一次函数图像共存问题函数图象共存问题是一次函数和反比例函数当中含有共同的参数，根据分类讨论的形式，由函数的图像特点来判定符合两个函数参数的图形。
解决这类型的题不仅是反比例函数和一次函数进行综合考查，连同二次函数在内的题型进行考查也是比较常见的，所以解决这类型的问题时，我们先要根据一次函数或反比例函数中参数的共性，通过分别进行讨论的形式逐一进行排除，最终确定满足要求的函数图像。
．B ．．．变式1.（2023年湖北省襄阳市中考数学真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数y kx =k x的图象可能是（）．B ．C ．D ．变式2.（2022·广西·中考真题）已知反比例函数(0)b y b x=≠的图象如图所示，则一次函数()0y cx a c =-≠和二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．题型2.反比例函数和一次函数的交点问题一次函数图像与反比例函数相关问题，牵扯到的知识点比较多，如求它们的函数解析式，或是通过两者的图像相交，需要考生结合两个函数解析式转化成一元二次方程，从而求得交点坐标等。
反比例函数与一次函数综合
反比例函数与一次函数综合1．如图，一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数的图象交于A （﹣2，1），B （1，n ）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）求△AOB 的面积；（3）直接写出0-≥+xm b kx 时x 的取值范围．2．如图，直线y ＝kx +b 与双曲线y ＝相交于A （1，2），B 两点，与x 轴相交于点 C （4，0）．（1）分别求直线AC 和双曲线对应的函数表达式；（2）连接OA ，OB ，求△AOB 的面积；（3）直接写出当x ＞0时，关于x 的不等式kx +b ＞的解集．3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y ＝的图象交于A （2，3）、B （﹣3，n ）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出不等式＞kx +b 的解集；（3）若P 是y 轴上一点，且满足△P AB 的面积是5，求点P 的坐标．4．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A、B，与x轴交于点C（5，0），若OC＝AC，且S△OAC＝10．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）请直接写出不等式ax+b＞的解集．5．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于第一象限C（1，4），D（4，m）两点，与坐标轴交于A、B两点，连接OC，OD（O是坐标原点）．（1）求一次函数与反比例函数的解析式．（2）当ax+b＜时，直接写出x的取值范围．（3）将直线AB向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？6.如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．7．如图，过原点O的直线与反比例函数（k≠0）的图象交于A（1，2），B两点，一次函数y2＝mx+b（m≠0）的图象过点A与反比例函数交于另一点C（2，n）．（1）求反比例函数的解析式；（2）当y1＞y2时，根据图象直接写出x的取值范围；（3）在y轴上是否存在点M，使得△COM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，4），B（a，﹣1）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）点P（n，0）在x轴负半轴上，连接AP，过点B作BQ∥AP，交y＝的图象于点Q，连接PQ．当BQ＝AP时，若四边形APQB的面积为36，求n的值．9．柚子含有极为丰富的维生素，胡萝卜素，钙、钾、铁等微量元素，可以预防血栓、糖尿病．某超市从果农处进购柚子的成本价为3元/千克，在销售过程中发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．（1）求y与x的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，该超市每天的销售利润最大？最大利润是多少元？10、在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（m，n），求直线MN的表达式（用含m、n的代数式表示）；（3）在抛物线y=x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y=﹣的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式．。
专题02 反比例函数与一次函数综合(解析版)
专题02 反比例函数与一次函数综合类型一、解不等式例．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形DOBC 是矩形，且D （0，4），B （6，0），若反比例函数y =1k x（x ＞0）的图象经过线段OC 的中点A ，交DC 于点E ，交BC 于点F ．设直线EF 的解析式为y =k 2x +b ．(1)求反比例函数和直线EF 的解析式；(2)求△OEF 的面积；(3)请直接写出不等式k 2x +b ﹣1k x＜0的解集．【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，点B 在y 轴正半轴上，点C 在x 轴负半轴上，且点C 的坐标为(2,0)-，30CBO Ð=°，将BCO D 沿着BC 翻折得到BCA D ，点O 的对应点A 恰好落在反比例函数m y x=的图象上，一次函数y kx b =+的图象经过点A ，C ．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)直接写出当0x >时，不等式0m kx b x+->的解集．【变式训练2】如图，一次函数()1y kx b k 0=+¹与反比例函数()2m y m 0x=¹的图像交于点()1,2A 和(),1B a -，与y 轴交于点M ．(1)求一次函数和反比例函数的解析式．(2)在x 轴上求一点N ，当ABN V 的面积为3时，则点N 的坐标为______．(3)将直线1y 向下平移2个单位后得到直线3y ，当函数值123y y y >>时，求x 的取值范围．类型二、交点问题例1．已知：如图1，点(4,)A n 是反比例函数8(0)y x x=>图象上的一点．(1)求n 的值和直线OA 的解析式；(2)如图2，将反比例函数8(0)y x x=>的图象绕原点O 逆时针旋转45°后，与y 轴交于点M ，求线段OM 的长度；(3)如图3，将直线OA 绕原点O 逆时针旋转45°，与反比例函数8(0)y x x =>的图象交于点B ，求点B 的坐标．例2．如图，矩形ABCD 的顶点A 在x 轴负半轴，B 在x 轴正半轴，D 在第二象限，C 在第一象限，CD 交y 轴于点M ．△ABD 沿直线BD 翻转，A 点恰好落在y 轴的点E 处，BE 交CD 于点F ．EM ＝3，DM ＝4．双曲线过点C ．(1)分别求出直线BE 和双曲线的解析式；(2)把直线BE 向上平移n 个单位长度，平移后的直线与双曲线只有一个交点，求n 的值．∴CD y ^轴，∴在Rt DME V 中，2232345DE EM DM =+=+=．由折叠的性质可得5AD DE ==，BE =∵在矩形ABCD 中，BAD ABC Ð=Ð=Ð例3.在平面直角坐标系中，直线l：y＝32x与反比例函数y＝kx（x＞0）的图象交于点A（2，a）．(1)a＝，k＝；(2)横，纵坐标都是整数的点叫做整点．点P（m，n）为射线OA上一点，过点P作x轴，y轴的垂线，分别交函数y＝kx（x＞0）的图象于点B，C．由线段PB，PC和函数y＝kx（x＞0）的图象在点B，C之间的部分所围成的区域（不含边界）记为W．利用函数图象解决下列问题：①若PA＝OA，则区域W内有个整点；②若区域W内恰有5个整点，求m的取值范围．结合函数图象可知，区域W内有5个整点，故答案为：5；②当点P在点A下方时，如图，结合函数图象可知，当23≤m ＜1时，区域当点P 在点A 上方时，如图，结合函数图象可知，当103＜m ≤4时，区域综上所述：当103＜m ≤4或23≤m ＜1，区域【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，直线l 与反比例函数(0)ky x x =>的图像交于点A （a ，4－a ）点B（b ，4－b ），其中a b <，与坐标轴的交点分别是C 、D ．(1)求a b +的值；(2)求直线l 的函数表达式(3)若1a =，过点(0,)(0)P t t >作平行于x 轴的直线与直线AB 和反比例函数k y x =的图象分别交于点E 、F ．①当1EF £时，求t 的取值范围．②若线段EF 上横坐标为整数的点只有1个（不包括端点），直接写出t 的取值范围．类型三、定值、最值问题例1．如图1，在平面直角坐标系中，点()1,2A -绕原点顺时针旋转90°至点B ，恰好落在反比例函数k y x=的图像上，连接OA ，OB ，过点B 作BC x ^轴交于点C ，点(),P m n 是第一象限内双曲线上一动点．(1)求反比例函数的解析式；(2)若4POC PBC S S =△△，求P 的坐标；(3)如图2，连接PO 并延长交双曲线于(),C m n --，平面内有一点()1,2Q m n -+，PQ 与GA 的延长线交于点H ；①若2m =，求点H 的坐标；②当1m ¹时，记H 的坐标为(),a b ，试判断()()24a b +-是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，说明理由．则∠AHO =90°，∴∠HAO +∠AOH =90°∵BC ⊥x 轴，∴∠BCO =90°，例2．如图，一次函数(0)y kx b k =+>的图像与反比例函数8(0)y x x=>的图像交于点A ，与x 轴交于点B，与y 轴交于点C ，AD x ^轴于点D ，CB CD =，点C 关于直线AD 的对称点为点E ．(1)点E 是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由；(2)连接AE 、DE ，若四边形ACDE 为正方形．①求k 、b 的值；②若点P 在y 轴上，当PE PB -最大时，求点P 的坐标．【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，有函数13y x=（0x >），2k y x =（0k <，0x >），36y kx =+．(1)若2y 与3y 相交于点()2A m ，①求k 与m 的值；②结合图像，直接写出23y y <时x 的取值范围；(2)在x 轴上有一点(),0P a 且0a >，过点P 作y 轴平行线，分别交1y 、2y 、3y 于点B 、C 、D ，经计算发现，不论k 取何值，BC BD -的值均为定值，请求出此定值和点B 的坐标．【答案】(1)①m 的值为-2，k 的值为-4．②0＜x ＜2．(2)BC BD -=6，点B 的坐标为（1，3）【变式训练2】将直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形（也V为此一次称为直线的坐标三角形）．如图，一次函数y=kx-7的图像与x、y轴分别交于点A、B，那么ABO函数的坐标三角形（也称为直线AB的坐标三角形）．(1)如果点C 在x 轴上，将ABC V 沿着直线AB 翻折，使点C 落在点()0,18D 上，求直线BC 的坐标三角形的面积；(2)如果一次函数y =kx -7的坐标三角形的周长是21，求k 值；(3)在（1）（2）条件下，如果点E 的坐标是()0,8，直线AB 上有一点P ，使得PDE △周长最小，且点P 正好落在某一个反比例函数的图像上，求这个反比例函数的解析式．。
一次函数和反比例函数综合教学设计
一次函数和反比例函数综合应用教学设计教学过程教学环节教学活动设计意图情境引入1.复习二元一次方程与一次函数关系。
（1）已知二元一次方程组的解求相应函数图象交点坐标；（2）已知函数图象交点坐标求相应二元一次方程组的解；（3）在同一平面直角坐标系中,若一次函数y=-x+3与y=3x-5的图象交于点M,则点M的坐标为。
2.提出问题：一次函数的交点可以通过把一次函数相应的方程联立成方程组，方程组的解就是就是直线的交点。
那么一次函数和反比例函数的交点又怎么求？1.复习二元一次方程组的解和一次函数图象交点的坐标关系，回顾所学知识，感悟数形结合思想。
2.求一次函数图象交点的坐标，复习求一次函数交点坐标的过程，为教学求一次函数和反比例函数交点坐标作铺垫。
新知探究1.探究一次函数和反比例函数图象交点求法（1）多媒体展示题目；求反比例函数y=x2与一次函数y=x-1的图象的交点坐标。
（2）学生独立思考教师巡视指导；（3）同学间合作交流；（4）指名板演展示，教师适时点评。
（5）反思、总结求一次函数和反比例函数图象交点的方法，教师提炼板书：联立、转化、求解、写坐标。
2.求一次函数和反比例函数交点坐标例题（1）多媒体展示题目，指导学生读题；【例题1】如图，直线y＝x＋1与双曲线y＝kx的交点为A(1，m)和B.(1)求m的值；(2)求双曲线的解析式；(3)求点B的坐标．（2）学生独立思考；（3）同学间合作交流；1.学生在复习求一次函数交点坐标的基础上，利用类比的方法学习一次函数和反比例函数的交点，总结求一次函数和反比例函数的交点的步骤。
2.通过求一次函数和反比例函数的交点的例题，进一步巩固求一次函数和反比例函数的交点知识。
3.学生通过独立思考，学生间的合作交流，探究利用数形结合的方法确定自变量的取值范围，感受数形结合解决问题的好处，发展学生几何直观。
（4）多媒体展示学生完成的练习，学生互评，教师适时点评。
3.利用数形结合确定自变量的取值范围 （1）多媒体展示题目，学生读题理解题意； 【例题2】如图所示，反比例函数的图象y 1=xk 1与正比例函数y₂=k 2x 的图象交于点(2,1),则使y 1>y 2的x 的取值范围是( ) A ．0＜x ＜2B ．x ＞2C ．x ＞2或－2＜x ＜0D ．x ＜－2或0＜x ＜2（2）学生独立思考； （3）学生合作探究；（4）学生说解题思路，教师适时点评；（5）反思、总结根据一次函数和反比例函数图象交点确定自变量的取值范围的“三步法”：找交点写坐标，作垂线分区域，定区域写范围。