2018版高中数学第一章导数及其应用课时作业12定积分在几何中的应用新人教A版选修22

课时作业12 定积分在几何中的应用

定积分在物理中的应用

|基础巩固|(25分钟，60分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．已知自由落体运动的速度v ＝gt (g 是常数)，则做自由落体运动的物体从时刻t ＝0到t ＝t 0所走的路程为( )

A.gt 20

B ．gt 2

gt 20

2 D.gt 20

解析：由定积分的物理意义，得所走的路程为

答案：C

2．曲线y ＝x 3

与直线y ＝x 所围成图形的面积等于( )

A. ??-11 (x －x 3)d x B . ??-1

1 (x 3

－x )d x

C ．2??01(x －x 3)d x

D ．2??-1

0 (x －x 3

)d x

解析：由?

????

y ＝x

y ＝x 3

求得直线y ＝x 与曲线y ＝x 3

的交点分别为(－1，－1)，(1,1)，由于

两函数都是奇函数，根据对称性得S ＝2??0

1(x －x 3

)d x .

答案：C

3．如果某物体以初速度v (0)＝1，加速度a (t )＝4t 做直线运动，则质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为( )

A ．5

B ．7

C ．9

D ．13

解析：v (2)－v (0)＝??02a (t )d t ＝??0

24t d t ＝2t 2

| 2

0＝8.∴v (2)＝9.

答案：C

4．如图，两曲线y ＝3－x 2

与y ＝x 2

－2x －1所围成的图形面积是( ) A ．6 B ．9 C ．12 D ．3

解析：由?

????

y ＝3－x

y ＝x 2

－2x －1

解得交点(－1,2)，(2，－1)，

所以S ＝?

?2－1[(3－x 2)－(x 2

－2x －1)]d x

＝?

?2－1(－2x 2

＋2x ＋4)d x

＝? ????－23x 3＋x 2＋4x ???

－1

＝9，故选B.

答案：B

5．一物体在力F (x )＝3x 2

－2x ＋5(力的单位：N ，位移单位：m)的作用下沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 运动到x ＝10 m ，则F (x )做的功为( )

A ．925 J

B ．850 J

C ．825 J

D ．800 J

解析：依题意F (x )做的功是W ＝∫10

5F (x )d x

＝(x 3

－x 2

＋5x )| 105

＝825(J)．答案：C

二、填空题(每小题5分，共15分) 6．若1 N 的力能使弹簧伸长2 cm ，则使弹簧伸长12 cm 时克服弹力所做的功为________．解析：弹簧的伸长与所受到的拉力成正比，设F ＝kx ，求得k ＝50，∴F (x )＝50x .

∴W ＝∫0.12

050x d x ＝25x 2

| 0.12

0＝0.36(J)．答案：0.36 J

7．由曲线y 2＝x ，y ＝x 2

所围图形的面积S ＝________.

解析：由???

y 2

＝x ，y ＝x 2

，

得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.

因此，所求图形的面积为

S ＝S 曲边梯形OABC －S 曲边梯形OABD

＝??01x d x －??0

1x 2

d x

＝23x 32| 10－13x 3| 1

0＝23－13＝13

. 答案：13

8．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则汽车在1分钟内行驶的路程为________．

解析：由速度—时间曲线得

v (t )＝????

3t ，0≤t ≤10，－3

t ＋36，10

∴汽车在1分钟内行驶的路程为

??0

103t d t ＋?

?10

60? ????－35t ＋36d t ＝32t 2| 100＋? ????－310t 2＋36t | 60

10 ＝150＋750＝900 m. 答案：900 m

三、解答题(每小题10分，共20分)

9．计算曲线y ＝x 2

－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围成的平面图形的面积．

解析：由?

????

y ＝x ＋3，

y ＝x 2

－2x ＋3，解得x ＝0或x ＝3.如图．

从而所求图形的面积

S ＝??03(x ＋3)d x －??0

3(x 2－2x ＋3)d x

＝??03[(x ＋3)－(x 2

－2x ＋3)]d x

＝??0

3(－x 2

＋3x )d x

＝? ????－13

x 3＋32x 2| 30＝92.

10．如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2

，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S 1与S 2之和最小．

解析：S 1等于边长分别为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2

与x 轴、直线x ＝t 围成的面积，

即S 1＝t ·t 2－?

?0t x 2

d x ＝23t 3；

S 2等于曲线y ＝x 2

与x 轴、x ＝t 、x ＝1围成的面积去掉一矩形面积，矩形边长分别为t 2

、1－t ，

即S 2＝?

1x 2d x －t 2

(1－t )＝23t 3－t 2＋13.

所以阴影部分面积

S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋1

(0≤t ≤1)．

令S ′(t )＝4t 2

－2t ＝4t ? ??

??t －12＝0，

得t ＝0或t ＝12，易知当t ＝1

2时，S 最小，

所以最小值为S ? ????12＝1

|能力提升|(20分钟，40分)

11．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t s 时刻的速度v ＝40－10t 2

，则此物体达到最高时的高度为( )

A.1603m

B.803m

C.403m

D.203

m 解析：由v ＝40－10t 2＝0，得到物体达到最高时t ＝2，高度h ＝??0

2(40－10t 2

)d t ＝

????40t －103t 3| 20＝1603

(m)．答案：A

12．如图，已知点A ? ??

??0，14，点P (x 0，y 0)(x 0>0)在曲线y ＝x 2上，

若阴影部分面积与△OAP 面积相等，则x 0＝________.

解析：由题意得∫x 00x 2

d x ＝12×14×x 0，即13x 30＝18x 0，

解得x 0＝6

. 答案：

13．过原点的直线l 与抛物线y ＝x 2

－4x 所围成图形的面积为36，求l 的方程．解析：由题意可知直线的斜率存在，故设直线l 的方程为y ＝kx ，

则由?

????

y ＝kx y ＝x 2

－4x ，得?

x ＝0y ＝0或?

x ＝k ＋4

y ＝k k ＋4.

(1)当k ＋4>0，即k >－4时，面积S ＝∫k ＋40(kx －x 2

＋4x )d x

＝? ????12kx 2－13x 3＋2x 2| k ＋4

＝12k (k ＋4)2－13(k ＋4)3＋2(k ＋4)2

＝16

(k ＋4)3

＝36， ∴k ＝2，故直线l 的方程为y ＝2x ； (2)当k ＋4<0，即k <－4时， S ＝?

?0k ＋4(kx －x 2＋4x )d x

＝? ??

??12kx 2－13x 3＋2x 2| 0

k ＋4

＝－????

??1

2k ＋42·k －13k ＋43＋2k ＋42

＝－16

(k ＋4)3

＝36，

∴k ＝－10，故直线l 的方程为y ＝－10x . 综上，直线l 的方程为y ＝2x 或y ＝－10x .

14．如图所示，一物体沿斜面在拉力F 的作用下由A 经B ，C 运动到D ，其中AB ＝50 m ，

BC ＝40 m ，CD ＝30 m ，变力F ＝?????

x ＋50≤x ≤90，2090

(F 的单位：N ，x 的单位：m)，

在AB 段运动时F 与运动方向成30°角，在BC 段运动时F 与运动方向成45°角，在CD 段运

动时F 与运动方向相同，求该物体由A 运动到D 变力F 所做的功．(精确到1 J)

解析：在AB 段运动时F 在运动方向上的分力F 1＝F cos30°，在BC 段运动时F 在运动方向上的分力F 2＝F cos45°.

由变力做功公式，得：

W ＝∫500? ????14x ＋5cos30°d x ＋??50

90? ????14

x ＋5·cos45°d x ＋20×30

＝

38? ????12x 2＋20x | 500＋28? ????12x 2＋20x | 9050

＋600 ＝112543＋4502＋600≈1724(J)．