例说求函数的最大值和最小值的方法

例说求函数的最大值和最小值的方法

例1.设x 是正实数，求函数x

x x y 32+

+=的最小值。 解：先估计y 的下界。 55)1(3)1(5)21(3)12(222≥+-

+-=+-+

++-=x

x x x x x x y 又当x =1时，y =5，所以y 的最小值为5。

说明 本题是利用“配方法”先求出y 的下界，然后再“举例”说明这个下界是可以限到的。“举例”是必不可少的，否则就不一定对了。例如，本题我们也可以这样估计：

77)1(3)1(7)21(3)12(222-≥-+

+-=-++

++-=x

x x x x x x y 但y 是取不到-7的。即-7不能作为y 的最小值。

例2. 求函数1

223222++--=x x x x y 的最大值和最小值。 解 去分母、整理得：(2y -1)x 2+2(y +1)x +(y +3)=0. 当2

1≠y 时，这是一个关于x 的二次方程，因为x 、y 均为实数，所以 ∆=[2(y +1)]2-4(2y -1)(y +3)≥0, y 2+3y --4≤0,

所以 -4≤y ≤1 又当3

1

-=x 时，y =-4;x =-2时，y =1.所以y min =-4，y max =1. 说明 本题求是最值的方法叫做判别式法。

例3.求函数152++-=x x y ，x ∈[0,1]的最大值

解：设]2,1[1∈=+t t x ，则x =t 2-1

y = -2(t 2-1)+5t = -2t 2+5t +1

原函数当t =169,45=x 即时取最大值8

33 例4求函数22

3,5212≤≤+--=x x x x y 的最小值和最大值 解：令x -1=t (

121≤≤t ) 则t t t t y 4142+=+=

y min =5

1,172max =y 例5.已知实数x ,y 满足1≤x 2+y 2≤4,求f (x )=x 2+xy +y 2的最小值和最大值 解：∵)(2

122y x xy +≤ ∴6)(23

),(2222≤+≤++=y x xy y x y x f 又当2==y x 时f (x ,y )=6，故f (x ,y )max =6 又因为)(2

122y x xy +-≥ ∴2

1)(21),(2222≥+≥++=y x xy y x y x f 又当22,22-==y x 时f (x ,y )=21，故f (x ,y )min =2

1

例6.求函数2

224)1(5+++=x x x y 的最大值和最小值 解：原函数即11

1)1(5222++-+=x x y 令1

12+=x t (0

2019，当x =0时，函数取最大值5 例7.求函数|]2

11[1|)(+-=x x x f 的最大值 解：设α=+=+}2

11{,]211[x n x ，则 f (x )=|2

1|1|-=-αn x 由于 0≤α<1,故f (x )≤

21，又当x =122-k (k 为整数)时f (x )= 21, 故f (x )max =2

1 例8.求函数113632424+-++--=x x x x x y 的最大值 解：原函数即222222)1()0()2()3()(-+---+-=

x x x x x f 在直角坐标系中，设点P(x ,x 2),A(3,2),B(0,1)，则

f (x )=|PA|-|PB|≤|AB|=10 又当6

137+-=x 时，f (x )= 10 故f max (x ) =

10

例9.设a 是实数,求二次函数y =x 2-4ax +5a 2-3a 的最小值m ，当0≤a 2-4a -2≤10中变动时，求m 的最大值

解：y =x 2-4ax +5a 2-3a =(x -2a )2+a 2-3a

由0≤a 2-4a -2≤10解得：622-≤≤-a 或62+

≤a ≤6 故当a =6时，m 取最大值18

例10.已知函数f (x )=log 2(x +1)，并且当点(x ,y )在y =f (x )的图象上运动时，点)2,3(y x 在y =g (x )的图象上运动，求函数p (x )=g (x )-f (x )的最大值。

解 因为点(x ,y )在y =f (x )的图象上，所以y =log 2(x +1)。点)2

,3(y

x 在y =g (x )的图象上，所以)3

(2x g y =故 )13(log 2

1)(),1log(21)3(2+=+=x x g x x g 2222)1(13log 21)1(log )13(log 21)()()(++=+-+=

-=x x x x x f x g x p 令2)1(13++=x x u ， 则 8989)4311(21

3)1(2)1(2)1(3222≤+-+-=+++-=+-+=x x x x x u 当4311=+x ，即31=x 时，89=u ，所以8

9max =u 从而 89log 21)(2max =

=x p 。 例11.已知函数2

622+++=x bx ax y 的最小值是2，最大值是6，求实数a 、b 的值。

解：将原函数去分母，并整理得(a -y )x 2+bx +(6-2y )=0.

若y =a ，即y 是常数，就不可能有最小值2和最大值6了，所以y ≠a 。于是

∆=b 2-4(a -y )(6-2y )≥0,所以y 2-(a +3)y +3a -8

2b ≤0. 由题设，y 的最小值为2，最大值为6，所以(y -2)(y -6)≤0, 即 y 2-8y +12≤0.

由(1)、(2)得⎪⎩

⎪⎨⎧=-=+1283832

b a a 解得：62,5±==b a 例12.求函数48148)(22----=x x x x x f 的最小值和最大值。

解 先求定义域。由⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-0

48140822x x x x 最6≤x ≤8. ]8,6[,686)6(8)(∈-+-=---=x x x x

x x x x f

当x ∈[6,8]，且x 增加时，6-+x x 增大，而x -8减小，于是f (x )是随着x 的增加而减小，即f (x )在区间[6，8]上是减函数。所以

f max (x )=f (8)=0, f min (x )=f (6)=032

例13.设x ,y ,z 是3个不全为零的实数，求2

222z y z yz xy +++的最大值 分析：欲求2222z

y z yz xy +++的最大值，只须找一个最小常数k ，使得xy +2yz ≤k (x 2+y 2+z 2) ∵ x 2+αy 2≥2αxy (1-α)y 2+z 2≥2α-1yz