标志变异指标
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标志变异指标的概念与作用 -回复
标志变异指标的概念与作用1. 概念标志变异指标是指可以用来衡量和评价标志变异程度的指标。
在统计学和质量管理中，标志变异常常用于评估某一过程或产品的变异程度，从而帮助人们更好地理解并控制所研究对象的变异情况。
标志变异指标通常可以通过一些数学模型或图表来进行计算和展示，例如方差、标准偏差、极差等。
2. 作用标志变异指标在实际生活和工作中具有重要的作用。
它可以帮助我们了解和评价某一过程或产品的稳定性和一致性，从而指导我们进行进一步的改进和优化工作。
标志变异指标还可以帮助我们预测和控制未来的变异情况，为我们的决策提供科学的依据。
通过对标志变异指标的监控和分析，我们还可以及时发现并解决潜在的问题，防患于未然。
3. 个人观点和理解我认为标志变异指标在现代社会中具有非常重要的意义。
在竞争激烈的市场环境中，企业需要不断提高自己的产品和服务质量，以满足客户的需求。
而标志变异指标可以为企业提供客观的数据支持，帮助其了解和改进生产过程中的变异情况，从而提高产品的质量和一致性。
对于个人而言，了解标志变异指标也有助于我们更好地管理和控制自己的生活和工作，更好地适应和应对变化。
总结标志变异指标是用于衡量和评价标志变异程度的指标，它在实际生活和工作中具有重要的作用，可以帮助我们了解和改进生产过程中的变异情况，预测和控制未来的变异情况，并及时发现并解决潜在的问题。
通过对标志变异指标的监控和分析，我们可以更好地管理和控制自己的生活和工作，更好地适应和应对变化。
在本文中，我简要地介绍了标志变异指标的概念和作用，并共享了个人的观点和理解。
希望这些内容可以帮助您更全面、深刻和灵活地理解标志变异指标，从而更好地应用到您的生活和工作中。
标志变异指标在质量管理中扮演着至关重要的角色，通过对这些指标的监控和分析，企业可以更好地了解其产品或服务的变异情况，并采取相应的措施来提高质量和满足客户需求。
在现代经济中，竞争激烈，客户要求高质量的产品和服务，因此企业需要不断改进和优化其生产过程，以达到更高的一致性和稳定性。
统计学平均指标与标志变异指标
下限公式： Mo LMo
1 1 2
d Mo
上限公式：
Mo
U Mo
2 1 2
d Mo
第23页/共51页
（二）中位数（Me） ※ 中位数是将数列中的标志值按大小顺序
排列，处于中间位置的那个标志值。 ※ 中位数把全部标志值分成两个部分，即两端
的标志值个数相等 ※ 中位数不受极端值的影响 ※ 当数列中出现极大标志值或极小标志值时，
极差是总体各单位标志值中最大值与最小 值 之差，也称全距，用来表示标志值的变动范围。
其计算公式为： R＝最大值－最小值
第31页/共51页
（二）分位差 分位差是对极差指标的一种改进，就是从
变量数列中剔除了一部分极端值之后重新计算 的类似于极差的指标。
常用的分位差有： 四分位差、十分位差、百分位差等。
bx a
22 x
即有：
3、如果两xy个变量x2 和独y2 立，它x2们y的代x2数和 y2的标准
差 就等于两个变量方差之和的方根，它们代数
第38页/共51页
4、在总体分组的条件下，变量的总方差可以分解为 组内方差平均数与组间方差两部分，即有：
2 2 2
组内方差——反映组内部标志值对组平均数的方 差 组间方差——反映组平均数对总平均数的方差 总方差——表示总体第各39页标/共志51页值对总平均数的方差
（三）标准差和方差的数学性质
1、标准差和方差具有“平移不变”的特性。
若a 为任意常数，则变y量 x a
的
标准
差和
方差与原
xa
变量相x，同，x2即a有:
2 x
第37页/共51页
2、将原变量x乘以一个任意常数b，则新变量y bx
的标准差和方差分别为原来的 b
1 1 2
d Mo
上限公式：
Mo
U Mo
2 1 2
d Mo
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（二）中位数（Me） ※ 中位数是将数列中的标志值按大小顺序
排列，处于中间位置的那个标志值。 ※ 中位数把全部标志值分成两个部分，即两端
的标志值个数相等 ※ 中位数不受极端值的影响 ※ 当数列中出现极大标志值或极小标志值时，
极差是总体各单位标志值中最大值与最小 值 之差，也称全距，用来表示标志值的变动范围。
其计算公式为： R＝最大值－最小值
第31页/共51页
（二）分位差 分位差是对极差指标的一种改进，就是从
变量数列中剔除了一部分极端值之后重新计算 的类似于极差的指标。
常用的分位差有： 四分位差、十分位差、百分位差等。
bx a
22 x
即有：
3、如果两xy个变量x2 和独y2 立，它x2们y的代x2数和 y2的标准
差 就等于两个变量方差之和的方根，它们代数
第38页/共51页
4、在总体分组的条件下，变量的总方差可以分解为 组内方差平均数与组间方差两部分，即有：
2 2 2
组内方差——反映组内部标志值对组平均数的方 差 组间方差——反映组平均数对总平均数的方差 总方差——表示总体第各39页标/共志51页值对总平均数的方差
（三）标准差和方差的数学性质
1、标准差和方差具有“平移不变”的特性。
若a 为任意常数，则变y量 x a
的
标准
差和
方差与原
xa
变量相x，同，x2即a有:
2 x
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2、将原变量x乘以一个任意常数b，则新变量y bx
的标准差和方差分别为原来的 b
有几种常用的标志变异指标
有几种常用的标志变异指标标志变异指标是用于衡量统计数据中差异程度的一种方法，常用于经济学、数学、社会学等领域。
下面将介绍几种常用的标志变异指标。
1. 方差（Variance）：方差是最常见的一个标志变异指标，用来衡量一组数据的离散程度。
方差越大，数据间的差异越大。
方差计算公式为：方差 = 平均值 - 每个数据点的平方的平均值。
通过计算方差，我们可以了解一组数据的分布情况以及异常值的存在。
例如，我们在研究某个城市居民的收入水平时，可以计算收入数据的方差，来评估收入的差异程度。
如果方差较大，说明这个城市的收入分布较为不均衡，反之则说明收入分布比较均衡。
2. 标准差（Standard Deviation）：标准差是方差的平方根，用于衡量一组数据的离散程度。
标准差越大，数据间的差异越大。
与方差类似，标准差也可以用来评估数据的分布是否均衡。
在研究某个产品的质量时，标准差较大可能意味着产品的质量差异较大，反之则说明产品质量相对稳定。
3. 变异系数（Coefficient of Variation）：变异系数是标准差与平均值的比值，用来衡量数据的相对离散程度。
变异系数越大，说明数据的离散程度越高。
变异系数常用于比较两组或多组数据的离散程度。
例如，我们可以比较不同地区的体育锻炼频率的变异系数，以了解不同地区的健康状况差异。
4. 四分位数（Quartiles）：四分位数将一组数据分成四个等分，分别是最小值、第一四分位数、中位数和第三四分位数。
四分位数常用于描述数据的集中程度和异常值的存在。
通过计算四分位数，我们可以了解数据的分布情况以及异常值的出现频率。
例如，在研究股票收益率时，我们可以使用四分位数来观察数据的分布情况。
总结起来，常用的标志变异指标包括方差、标准差、变异系数和四分位数。
通过对这些指标的计算和分析，我们可以更全面、准确地了解数据的分布情况、集中程度和异常值的存在。
这有助于我们在各个领域做出科学决策，比如经济政策的制定、市场调研、产品质量控制等。
统计学中标志变异指标分析
σ乙 (22 12 12 22 )/5 1.414(件)
结果表明：乙组工人日产零件平均数 的代表性比甲组高。
【例】
某班统计学考试分数资料如下
按成绩 组中 分组 值x 60以下 55
60-70 65
70-80 75
80-90 85 90以上 95 合 计 —
人数 f(人)
总成 绩xf
(xx)2f
• 缺点：容易受两极端值影响，带有较大 的偶然性，而对于两个极端值之间标志 值的分散状况没有反映，因而不能准确 描述出数据的分散程度，只是测定标志 变异指标的粗略方法，不能全面反映总 体各单位标志的变异程度。
补充：四分位差
• 把一个变量数列分成四等份，形成三 个分割点Q1 、 Q2 、 Q3，这三个分割 点的数值就称为四分位数，Q2 也是中 位数，四分位差为： Q.D.= Q3 － Q1
• 数四分位差Q.D.数值越大，说明中位 数Me的代表性愈差，反之，则说明中 位数Me的代表性愈好。
（二） 平均差（Ａ·Ｄ）
平均差：是总体中各单位标志值与 其算术平均数之间绝对离差的算术 平均数。它能综合反映总体标志值 的变异程度。
A
D
Σ|x x| n
AD
Σ|xx|f
Σf
【例】：
有两个生产小组，每组都是5名工人， 某天日产量的件数如下：
离中趋势：指远离中心值的程度。
变异指标反映离中趋势：
离散程度不同就意味着变量在平均数 周围分布的密集程度不同，从而同样的平 均数对于两个总体具有不同的代表性。
【例】 A组：65、68、72、75分
B组：34、51、95、100分 A组的总成绩：280分，平均成绩70分 B组的总成绩：280分，平均成绩70分
结果表明：乙组工人日产零件平均数 的代表性比甲组高。
【例】
某班统计学考试分数资料如下
按成绩 组中 分组 值x 60以下 55
60-70 65
70-80 75
80-90 85 90以上 95 合 计 —
人数 f(人)
总成 绩xf
(xx)2f
• 缺点：容易受两极端值影响，带有较大 的偶然性，而对于两个极端值之间标志 值的分散状况没有反映，因而不能准确 描述出数据的分散程度，只是测定标志 变异指标的粗略方法，不能全面反映总 体各单位标志的变异程度。
补充：四分位差
• 把一个变量数列分成四等份，形成三 个分割点Q1 、 Q2 、 Q3，这三个分割 点的数值就称为四分位数，Q2 也是中 位数，四分位差为： Q.D.= Q3 － Q1
• 数四分位差Q.D.数值越大，说明中位 数Me的代表性愈差，反之，则说明中 位数Me的代表性愈好。
（二） 平均差（Ａ·Ｄ）
平均差：是总体中各单位标志值与 其算术平均数之间绝对离差的算术 平均数。它能综合反映总体标志值 的变异程度。
A
D
Σ|x x| n
AD
Σ|xx|f
Σf
【例】：
有两个生产小组，每组都是5名工人， 某天日产量的件数如下：
离中趋势：指远离中心值的程度。
变异指标反映离中趋势：
离散程度不同就意味着变量在平均数 周围分布的密集程度不同，从而同样的平 均数对于两个总体具有不同的代表性。
【例】 A组：65、68、72、75分
B组：34、51、95、100分 A组的总成绩：280分，平均成绩70分 B组的总成绩：280分，平均成绩70分
标志变异指标
12
解：两个小组工人的平均日产量都为=70 件 根据简单平均式计算出两组工人日产量的平均差：
第一组的平均差 第二组的平均差
A• D1
x x
n
180 25.7 7
件
x x
A• D2 n
12 1.7 7
件
计算结果表明，第一组的平均差大于第二组，因此第一组的平均数的代表 性比第二组小。 简单平均差也可借助于Excel中的“AVEDEV”函数来计算。
标准差系数：ຫໍສະໝຸດ 例14：有两个工厂的工人的劳动生产率资料如下表，试比较两厂工人劳 动生产率的代表性。
厂名
甲 乙
平均劳动生产率（元/人） 标准差σ（元）
16000
600
8000
400
离散系数V(%)
3.75 5.0
解：甲厂标准差大于乙厂，但不能由此判定甲厂工人平均劳动生产率 的代表性比乙厂小。因为两厂的劳动生产率水平相差很大。要对比就必 须用标准差系数指标，以消除两厂劳动生产率不同的影响。甲厂离散系 数小于乙厂，说明甲厂标志变动程度小于乙厂，因而甲厂工人劳动生产 率要均匀一些，平均劳动生产率的代表性高于乙厂。
标准差（standard deviation）
标准差：各数据与其平均数离差平方的算术平均数的平方根 。 标准差的计算： 1.未分组数据，采用简单平均式来计算标准差。
2.数据已经整理成频数分布，采用加权平均式来计算标准差。
前面例子中，两组工人日产量的标准差分别为：
第一组
日产量/件
标志值与 平均数的离差
135000
离差
xi x
-35 -25 -15 -5
5 15 25
—
离差平方 离差平方×权数
标志变异指标
（四）是非标志的标准差 1.定义： 是非标志又称交替标志，它实际上就是品质标志。
标志表现 是 非 合计
X
标志值X 1 0 －
单位数f N1 N0 N
所占比重 p q 1
xf f
f x (1 p ) (0 q ) p f
(x X )2 f
2
n
x x f
2
f
3.评价方法： 均方差愈大，标志变动程度愈大，均方差愈小，标 志变动程度愈小。
4.应用： （1）包括总体中各单位标志值全部的差异程度。 （2）有利于数学计算。 （3）离差平方和为最小值，符合标准差计算原则 。 例1：现以甲乙两组工人日产量标准差资料为例，计算分 析如下：
109100
xf x f
29300 293 100
x x f
2
f
109100 33.03（件） 100
甲 x x n228 2 （件） 7
乙
x x
n
2
290 6.44 （件） 7
这就是说，在甲乙两组工人平均产量相等的条 件下，每个工人的产量与其平均产量的标准离差， 甲组为2件，乙组为6.44件。甲组的标准差小，即 标志变动度小，因而其平均数的代表性大；乙组的 标准差比甲组大，因而其平均数的代表性比甲组小。
9 4 1 0 1 4 9 28
100 36 9 0 9 36 100 290
例2：某村劳动力全年劳动情况
全年劳动 天数（天） 240以下 240-260 260-280 280-300 300-320 320-340 340以上
组中值 劳力数（人）
统计学变异指标ppt课件
乙 丙 丁戊 520 600 700 850 平均奖金
标志值（变量值） = 626（元）
平均指标说明总体各单位变量值分布的集中趋势； 变异指标说明总体各单位变量值分布的离中趋势或分散程度。
离中趋势的概念： 指总体中各单位标志值背离分布中心（平均数）的
程度，也就是总体各单位标志值之间差异程度，用标志 变异指标反映其大小。
数据1： 1、 2、 3、 4、 5 数据2： 10、20、 30、40、50
显然,这两组数据的差别程度相同，而它们水平不同或平 均数不同，这时就不能用绝对指标（标准差）比 较它们的差异程度大小。
这时就要计算离散系数指标来比较它们之间的差别程度 大小。
变异系数
如果两个数列平均水平不同，或两个数列标志值 的计量单位不同时，要比较其数列的变动度（即比较 其数列平均数的代表性大小），怎么办？
V
X
100﹪
在实际工作中运用最为广泛的是标准差系数指标。
注意：标准差与标准差系数的不同应用条件：
在比较两个不同数列（总体）标志变异程度大小 （或说明其平均数代表性大小）时，当其平均水平相 同时，可直接计算标准差进行比较；当其平均水平不 相同（或其计量单位不同）时，需消除平均水平不同 或计量单位不同的影响，计算标准差系数进行比较。
—
-39
X 85 2 X 85 2 f 10 10
9
90
4
76
1
50
0
0
1
27
4
56
9
72
—
371
σ
X A d
2
f
f
X A d
f 2 d
f
371 39 2 d 14.85(公斤) 165 164
标志变异指标课件
详细描述
变异系数的计算公式为变异系数=标准差/平均值×100%。变异系数能够消除平均水平对离散程度的影响，使得 不同水平的变量之间的离散程度具有可比性。在比较不同总体或不同单位的数据时，变异系数是一个非常有用的 工具。
04
标志变异指标的应用
在统计分析中的应用
01 02
描述数据的离散程度
标志变异指标可以用来描述数据分布的离散程度，即数据之间的差异程 度。例如，标准差和方差是常用的标志变异指标，可以反映数值型数据 的离散程度。
评估市场细分的效果 通过比较不同市场细分之间的标志变异指标，可以评估市 场细分的效果，即细分市场的差异程度。
监测市场趋势的变化 标志变异指标可以用来监测市场趋势的变化，例如，通过 分析不同时间段的销售数据离散程度的变化，可以判断市 场趋势的变化。
在医学研究中的应用
评估治疗效果的差异
标志变异指标可以用来评估不同治疗 方法之间的效果差异，例如，比较不 同药物治疗方案对肿瘤大小的缩小程 度。
检验数据是否符合特定分布
通过比较标志变异指标与理论分布的期望值，可以检验数据是否符合特 定的分布，如正态分布。
03
判断数据是否存在异常值
标志变异指标可以帮助识别数据中的异常值，因为异常值通常会导致数
据分布的离散程度增加。
在市场研究中的应用
分析消费者需求的差异 标志变异指标可以用来分析消费者需求的差异，例如，通 过分析不同消费者群体对产品价格的敏感程度，帮助企业 制定更精准的价格策略。
总结词
选择合适的标志变异指标对于数据分析至关 重要，不同的指标适用于不同的情况，应根 据数据的特性和分析目的进行选择。
详细描述
在选择标志变异指标时，应考虑数据的分布 特性、数据的量级和单位以及分析的具体目 的。对于偏态分布的数据，应选择偏态相关 的标志变异指标；对于极度离群的数据，应 考虑使用稳健的标志变异指标。此外，还应 根据数据量的大小选择合适的标志变异指标，
变异系数的计算公式为变异系数=标准差/平均值×100%。变异系数能够消除平均水平对离散程度的影响，使得 不同水平的变量之间的离散程度具有可比性。在比较不同总体或不同单位的数据时，变异系数是一个非常有用的 工具。
04
标志变异指标的应用
在统计分析中的应用
01 02
描述数据的离散程度
标志变异指标可以用来描述数据分布的离散程度，即数据之间的差异程 度。例如，标准差和方差是常用的标志变异指标，可以反映数值型数据 的离散程度。
评估市场细分的效果 通过比较不同市场细分之间的标志变异指标，可以评估市 场细分的效果，即细分市场的差异程度。
监测市场趋势的变化 标志变异指标可以用来监测市场趋势的变化，例如，通过 分析不同时间段的销售数据离散程度的变化，可以判断市 场趋势的变化。
在医学研究中的应用
评估治疗效果的差异
标志变异指标可以用来评估不同治疗 方法之间的效果差异，例如，比较不 同药物治疗方案对肿瘤大小的缩小程 度。
检验数据是否符合特定分布
通过比较标志变异指标与理论分布的期望值，可以检验数据是否符合特 定的分布，如正态分布。
03
判断数据是否存在异常值
标志变异指标可以帮助识别数据中的异常值，因为异常值通常会导致数
据分布的离散程度增加。
在市场研究中的应用
分析消费者需求的差异 标志变异指标可以用来分析消费者需求的差异，例如，通 过分析不同消费者群体对产品价格的敏感程度，帮助企业 制定更精准的价格策略。
总结词
选择合适的标志变异指标对于数据分析至关 重要，不同的指标适用于不同的情况，应根 据数据的特性和分析目的进行选择。
详细描述
在选择标志变异指标时，应考虑数据的分布 特性、数据的量级和单位以及分析的具体目 的。对于偏态分布的数据，应选择偏态相关 的标志变异指标；对于极度离群的数据，应 考虑使用稳健的标志变异指标。此外，还应 根据数据量的大小选择合适的标志变异指标，
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N
K
(Mi )2 fi
i1
N
2013年9月30
刘廷兰-统计学原理与实务
样本方差和标准差
(sample variance and standard deviation)
方差的计算公式 注意：
标准差的计算公式
未分组数据
• 未分组数据
样本方差用自
n
(xi x)2
s 2 i1 n 1
R 最大标志值-最小标志值
最高组上限 最低组下限 【例】五名学生的月生活费分别为520元、600元、 480元、750元、440元。
R 最大标志值-最小标志值=750-440=310(元）
【例】工人按月收入分组资料如下，计算月收入 的全距。
最低组 下限
月收入（件）
900-1000 1000-1100 1100-1200
离散系数是级差、平均差和标准差与其算 术平均数的比值。
方差
2 PQ P1 P
当P
Q
0.5时，有
2 max
0.25
标准差系数
V
P
XP
P1 P
P
1 P P
Q P
是非标志总体的指标
【例】某厂某月份生产了400件产品，其中合格品 380件，不合格品20件。求产品质量分布的集中趋 势与离中趋势。
解：己知N 400件，N1 380件，N0 20件，
用
（2）反映社会经济活动过程的均衡性和稳定性。
（3）数据的离散程度
离散程度
• 反映各变量值远离其中心值的程度（离散 程度），从另一个侧面说明了集中趋势测 度值的代表程度。
• 不同类型的数据有不同的 离散程度测度指标。
• 常用指标： – 全距（极差） – 四分位距 – 方差和标准差 – 离散系数
例：A组：65、68、72、75分 B组：34、51、95、100分
大象 500kg x大象 3500kg
可比
免子 0.5kg
x免子 2.5kg
变异系数指标
4.4.2标志变异指标的计算-4.离散系数
十棵树木的高度（米）：
两组变量值
29.5 29.6 29.8 29.9 29.9 30 的绝对水平
30.2 30.2 30.4 30.5
x 30米 0.31(米)
合计
人数（人）
10 20 15 5
50
2013年9月30
刘廷兰-统计学原理与实务
成绩 （分）
人数 组中值 每组总成 （人） （分） 绩（分）
离差的 平方
离差的平方 乘以次数
60-70 10 70-80 20 80-90 15 90以上 5
合计
50
x xf 3900 78(分) (x x)2 f 4050 9(分)
2013年9月30
刘廷兰-统计学原理与实务
练习：计算月产量的标准差。
月产量（件）
人数 （人）
900以下
20
900-1000
50
1000-1100
80
1100-1200
30
1200以上
20
合计
200
xf x
20800
1040(件)
f 200
2013年9月30
(x x)2 f
产量
一月 二月
25
35
33
35
三月
40 32
甲乙车间的月平均产量相同，但是实际情况是有差别的
变异指标能说明总体中各单位标志值之间的差异程度或标志 值分布的变异情况，它是说明总体的另一个重要指标。
2.标志变异指标的作用
（1）衡量平均指标代表性的大小。
标志变异愈大，平均数的代表性愈小；
作
标志变异愈小，平均数的代表性大。
由度n-1去除!
n
(xi x)2
s i1 n 1
组距k分组数据
(Mi x)2 fi
s2 i1 n 1
组距分组数据
k
(Mi x)2 fi
s i1 n 1
2013年9月30
刘廷兰-统计学原理与实务
方差的计算公式
总体方差
样本方差
未分组 数据
N
(Xi X )2
第四节 标志变异指标
一、标志变异指标的概念与作用 1.标志变异指标的概念
谚语说，张家有财 千 百万，九个邻居穷光蛋。平 均起来算资产，家家都是张 百万。
平均指标将总体各单位标志值之间的差异抽象化。
概念
变异指标又称标志变动度，综合反映各个单位标 志值差异的程度
车间
甲车间 乙车间
第一季度
100 100
2 i1
N
n
(xi x)2
s2 i1
样本方差用（n-1）去除，从数学角度看是
n 1
因为它是总体方差σ2的无偏估计量。
K
(Xi X )2 fi
k
(xi x)2 fi
2 i1 K
分组数据
fi
s 2 i1
k
fi 1
i 1
i 1
2013年9月30
合计
人数（人）
10 20 15 5
50
2013年9月30
刘廷兰-统计学原理与实务
标志变异指标的测定
（2）加权平均法
(x x)2 f
f
式中： x 表示各组的变量值或各组的
组中值；
f 表示各组的次数。
（2）加权平均法
例 计算成绩的标准差。
成绩（分）
60-70 70-80 80-90 90以上
甲企业平均使用时数=5000（小时） 乙企业平均使用时数=5000（小时）
二、标志变异指标的计算方法
级差 （全距）
标志变异指 标的种类
平均差 标准差
测定标志变异 指标的绝对数
（有名数）
离散系数
测定标志变动度 的相对数
（无名数）
（一）级差
1.概念 是总体中各总体单位最大标志值与最小
标志值之差，又称全距。用 R 表示。
n
5
A.D x x 50 70 60 70 70 70 80 70 90 70) 60 12（分）
n
5
5
(2)加权平均法
不加权
xx f A.D
f
加权：
X
X---表示各组的变量值或各组的组中值； F---表示各组的次数; X ---表示平均数
成绩
离差
离差的平方
x
xx
(x x)2
50
-20
400
60
-10
100
70
0
0
80
10
100
90
20
400
合计
0
1000
x x 350 70(分) n5
(x x)2
1000 14.14(分)
n
5
（2）加权平均法
成绩（分）
60-70 70-80 80-90 90以上
合计
人数 （人）
50 80 30
160
R 最高组的上限-最低组的下限 =1200-900=300（元）
最高组 的上限
2、评价方法： 全距值越小，标志值越集中，标志变动越小，
平均数的代表性越高； 全距值越大，标志值越分散，标志变动越大，
平均数的代表性越低。
3、级差的特点： 优点:计算方法简单、易懂； 缺点:易受极端数值的影响，不能全面反
不同，不能
用 A.、D 比
较平均数的
代表性和变
十棵向日葵的高度（米）
量值的差异
0.8 0.9 1.1 1.2
程度
1.2 1.3 1.5 1.5 1.7
1.8
x 1.3米
0.31(米)
0.31米 30米
1.03%
、0.31米 1.3米
23.8%
4.4.2标志变异指标的计算-4.离散系数 离散系数
f 刘廷兰2-统3计2800学00原00理与 实务11900 =109.1(件)
是非标志总体
是非标志
指总体中全部单位只具有“是”或
“否”、“有”或“无”两种表现形
式的标志，又叫交替标志
性别：男、女（非男）产品质量：合格、不合格
10
1
0
为研究是非标志总体的数量特征，令
分组
单位数 变量值
具有某一属性 不具有某一属性
方差和标准差
(variance and standard deviation)
1. 数据离散程度的最常用测度值
2. 反映各变量值与均值的平均差异
3. 根据总体数据计算的，称为总体方差(标准差)， 记为2()；根据样本数据计算的，称为样本方 差(标准差)，记为s2(s)
2013年9月30
刘廷兰-统计学原理与实务
A组的总成绩：280分，平均成绩70分 B组的总成绩：280分，平均成绩70分
平均分还能 说明问题吗？
衡量平均指标代表性的大小。
你会选择哪个 品牌的泡呢
两个品牌的节能 灯泡各抽出5只进行使用时数 测定资料如下：
使用时数（小时）： 甲品牌： 3000、4000、5000、6000、7000 乙品牌： 4998、4999、5000、5001、5002
50
A.D
x x f 380 7.6(分)
f
50
2.特点 优点:能综合反映全部单位标志值的实际差 异程度；
K
(Mi )2 fi
i1
N
2013年9月30
刘廷兰-统计学原理与实务
样本方差和标准差
(sample variance and standard deviation)
方差的计算公式 注意：
标准差的计算公式
未分组数据
• 未分组数据
样本方差用自
n
(xi x)2
s 2 i1 n 1
R 最大标志值-最小标志值
最高组上限 最低组下限 【例】五名学生的月生活费分别为520元、600元、 480元、750元、440元。
R 最大标志值-最小标志值=750-440=310(元）
【例】工人按月收入分组资料如下，计算月收入 的全距。
最低组 下限
月收入（件）
900-1000 1000-1100 1100-1200
离散系数是级差、平均差和标准差与其算 术平均数的比值。
方差
2 PQ P1 P
当P
Q
0.5时，有
2 max
0.25
标准差系数
V
P
XP
P1 P
P
1 P P
Q P
是非标志总体的指标
【例】某厂某月份生产了400件产品，其中合格品 380件，不合格品20件。求产品质量分布的集中趋 势与离中趋势。
解：己知N 400件，N1 380件，N0 20件，
用
（2）反映社会经济活动过程的均衡性和稳定性。
（3）数据的离散程度
离散程度
• 反映各变量值远离其中心值的程度（离散 程度），从另一个侧面说明了集中趋势测 度值的代表程度。
• 不同类型的数据有不同的 离散程度测度指标。
• 常用指标： – 全距（极差） – 四分位距 – 方差和标准差 – 离散系数
例：A组：65、68、72、75分 B组：34、51、95、100分
大象 500kg x大象 3500kg
可比
免子 0.5kg
x免子 2.5kg
变异系数指标
4.4.2标志变异指标的计算-4.离散系数
十棵树木的高度（米）：
两组变量值
29.5 29.6 29.8 29.9 29.9 30 的绝对水平
30.2 30.2 30.4 30.5
x 30米 0.31(米)
合计
人数（人）
10 20 15 5
50
2013年9月30
刘廷兰-统计学原理与实务
成绩 （分）
人数 组中值 每组总成 （人） （分） 绩（分）
离差的 平方
离差的平方 乘以次数
60-70 10 70-80 20 80-90 15 90以上 5
合计
50
x xf 3900 78(分) (x x)2 f 4050 9(分)
2013年9月30
刘廷兰-统计学原理与实务
练习：计算月产量的标准差。
月产量（件）
人数 （人）
900以下
20
900-1000
50
1000-1100
80
1100-1200
30
1200以上
20
合计
200
xf x
20800
1040(件)
f 200
2013年9月30
(x x)2 f
产量
一月 二月
25
35
33
35
三月
40 32
甲乙车间的月平均产量相同，但是实际情况是有差别的
变异指标能说明总体中各单位标志值之间的差异程度或标志 值分布的变异情况，它是说明总体的另一个重要指标。
2.标志变异指标的作用
（1）衡量平均指标代表性的大小。
标志变异愈大，平均数的代表性愈小；
作
标志变异愈小，平均数的代表性大。
由度n-1去除!
n
(xi x)2
s i1 n 1
组距k分组数据
(Mi x)2 fi
s2 i1 n 1
组距分组数据
k
(Mi x)2 fi
s i1 n 1
2013年9月30
刘廷兰-统计学原理与实务
方差的计算公式
总体方差
样本方差
未分组 数据
N
(Xi X )2
第四节 标志变异指标
一、标志变异指标的概念与作用 1.标志变异指标的概念
谚语说，张家有财 千 百万，九个邻居穷光蛋。平 均起来算资产，家家都是张 百万。
平均指标将总体各单位标志值之间的差异抽象化。
概念
变异指标又称标志变动度，综合反映各个单位标 志值差异的程度
车间
甲车间 乙车间
第一季度
100 100
2 i1
N
n
(xi x)2
s2 i1
样本方差用（n-1）去除，从数学角度看是
n 1
因为它是总体方差σ2的无偏估计量。
K
(Xi X )2 fi
k
(xi x)2 fi
2 i1 K
分组数据
fi
s 2 i1
k
fi 1
i 1
i 1
2013年9月30
合计
人数（人）
10 20 15 5
50
2013年9月30
刘廷兰-统计学原理与实务
标志变异指标的测定
（2）加权平均法
(x x)2 f
f
式中： x 表示各组的变量值或各组的
组中值；
f 表示各组的次数。
（2）加权平均法
例 计算成绩的标准差。
成绩（分）
60-70 70-80 80-90 90以上
甲企业平均使用时数=5000（小时） 乙企业平均使用时数=5000（小时）
二、标志变异指标的计算方法
级差 （全距）
标志变异指 标的种类
平均差 标准差
测定标志变异 指标的绝对数
（有名数）
离散系数
测定标志变动度 的相对数
（无名数）
（一）级差
1.概念 是总体中各总体单位最大标志值与最小
标志值之差，又称全距。用 R 表示。
n
5
A.D x x 50 70 60 70 70 70 80 70 90 70) 60 12（分）
n
5
5
(2)加权平均法
不加权
xx f A.D
f
加权：
X
X---表示各组的变量值或各组的组中值； F---表示各组的次数; X ---表示平均数
成绩
离差
离差的平方
x
xx
(x x)2
50
-20
400
60
-10
100
70
0
0
80
10
100
90
20
400
合计
0
1000
x x 350 70(分) n5
(x x)2
1000 14.14(分)
n
5
（2）加权平均法
成绩（分）
60-70 70-80 80-90 90以上
合计
人数 （人）
50 80 30
160
R 最高组的上限-最低组的下限 =1200-900=300（元）
最高组 的上限
2、评价方法： 全距值越小，标志值越集中，标志变动越小，
平均数的代表性越高； 全距值越大，标志值越分散，标志变动越大，
平均数的代表性越低。
3、级差的特点： 优点:计算方法简单、易懂； 缺点:易受极端数值的影响，不能全面反
不同，不能
用 A.、D 比
较平均数的
代表性和变
十棵向日葵的高度（米）
量值的差异
0.8 0.9 1.1 1.2
程度
1.2 1.3 1.5 1.5 1.7
1.8
x 1.3米
0.31(米)
0.31米 30米
1.03%
、0.31米 1.3米
23.8%
4.4.2标志变异指标的计算-4.离散系数 离散系数
f 刘廷兰2-统3计2800学00原00理与 实务11900 =109.1(件)
是非标志总体
是非标志
指总体中全部单位只具有“是”或
“否”、“有”或“无”两种表现形
式的标志，又叫交替标志
性别：男、女（非男）产品质量：合格、不合格
10
1
0
为研究是非标志总体的数量特征，令
分组
单位数 变量值
具有某一属性 不具有某一属性
方差和标准差
(variance and standard deviation)
1. 数据离散程度的最常用测度值
2. 反映各变量值与均值的平均差异
3. 根据总体数据计算的，称为总体方差(标准差)， 记为2()；根据样本数据计算的，称为样本方 差(标准差)，记为s2(s)
2013年9月30
刘廷兰-统计学原理与实务
A组的总成绩：280分，平均成绩70分 B组的总成绩：280分，平均成绩70分
平均分还能 说明问题吗？
衡量平均指标代表性的大小。
你会选择哪个 品牌的泡呢
两个品牌的节能 灯泡各抽出5只进行使用时数 测定资料如下：
使用时数（小时）： 甲品牌： 3000、4000、5000、6000、7000 乙品牌： 4998、4999、5000、5001、5002
50
A.D
x x f 380 7.6(分)
f
50
2.特点 优点:能综合反映全部单位标志值的实际差 异程度；