第六章扩散
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第六章-扩散与固态相变全文编辑修改
关系式便可进行一些
扩散问题的计算。
间隙扩散 ：当一个间隙 原子从一个间隙位置迁 移到另一个空的间隙位 置的过程，称为间隙扩
散，如图5-5所示。
在金属合金中，由于间隙 原子的半径较小，因此可 移动性强，间隙扩散比空 位扩散快得多。而且空的 间隙位置比空位数目多很 多，因此间隙原子移动的
可能性也比空位扩散大。
个微分方程式。
（1） 一维扩散
如图3所示，在扩散方向上取体积元 Ax, 和J x J分xx别表
示流入体积元及从体积元流出的扩散通量，则在Δt时间内， 体积元中扩散物质的积累量为
m (J x A J xx A)t
m
J x J xx
xAt
x
C J
t
x
C (D C ) t x x
如果扩散系数与浓度无关，则上式可写成
对于半无限固体其表面 浓度保持不变，例如对 于气体扩散问题，其表 面分压保持一定的情况 下，进行如下假设：
1)扩散前任何扩散 原子在体内的分布是均 匀的,此时的浓度设为C0
2)在表面的值设为 零且向固体内部为正方 向；
3)在扩散开始之前 的时刻确定为时间为零
Cx C0 1 erf x
Cs C0
图5-5 间隙扩散示意图
扩散前间隙原子 的位置
扩散后间隙原子 的位置
扩散系数
扩散系数是计算扩散问题的重要参数 ，目前普遍采用下式来求扩散系数，
即：D D0eQ / RT （5-5）
式中D0为扩散常数。Q为扩散激活能。对于 间隙扩散，Q表示每mol间隙原子跳跃时需越
过的势垒，Q表示NA个空位形成能加上每 1mol原子向空位跳动时需越过的势垒。
克肯达尔效应的实际意义续
Ni-Cu扩散偶经扩散后，在 原始分界面附近铜的横截面 由于丧失原子而缩小，在表 面形成凹陷，而镍的横截面 由于得到原子而膨胀，在表 面形成凸起。
第六章 固体中的扩散.
2021/5/30
13
Ｂ、固体中的质点扩散往往具有各向异性和 扩散速率低的特点。
原因：固体中原子或离子迁移的方向和自由 行程受到结构中质点排列方式的限制，依一定方 式所堆积成的结构将以一定的对称性和周期性 限 制着质点每一步迁移的方向和自由行程。
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14
如右图所示，处于平 面点阵内间隙位的原子， 只存在四个等同的迁移方 向，每一迁移的发生均需 获取高于能垒△G的能量， 迁移自由程则相当于晶格 常数大小。
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7
三、固体中扩散的研究内容
1、是对扩散表象学的认识，即对扩散的宏观 现象的研究，如对物质的流动和浓度的变化进行 实验的测定和理论分析，利用所得到的物质输运 过程的经验和表象的规律，定量地讨论固相反应 的过程；
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2、是对扩散的微观机理的认识，把扩散与 晶体内原子和缺陷运动联系起来，建立某些 扩散机理的模型。
它可以直接用于求解扩散质点浓度分布不随时 间变化的稳定扩散问题。
对于一般固体，20～1500℃时，D对应10-2 ～ 10-4 cm2/s，D 大， 扩散速度快；
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2. 菲克第二定律
扩散第一定律适用于稳态扩散！当扩散处 于非稳态，即各点的浓度随时间而改变时， 应用扩散第一定律就很不方便，这时要考 虑扩散第二定律。
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间隙原子的势垒
33
从实验可推知，势垒 相当于几个ev的大小， 然而，即使温度达1000 oC，原子的振动能也只有 0.1 eV。
因此，在获得大于势垒 的能量时，间隙原 子的跳跃符合偶然性的统计。
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分析表明，获得大于的能量的涨落几
第六章 扩散
dx
J2 =
∂J dx + J 1 ∂x
J1
J2
物质在微小体积内的积存速率=
J1 A − J 2 A = −
∂J Adx ∂x
也可用体积浓度的变化率来表示，在微小体积Adx内的物质积存速率 为：
∂( CAdx ) ∂C = Adx ∂t ∂t
代入前式，约去Adx，有： 将扩散第一定律代入，有：
∂C ∂J =− ∂t ∂x
第六章 扩散 Diffusion
在固体中，原子或分子的迁移只能靠扩散 来进行，因而研究扩散特别重要。物质内 部的原子依靠热运动使其中能量高的部分 脱离束缚跳迁至新的位置，发生原子迁移。 大量的原子迁移造成物质的宏观流动称做 扩散。扩散是物质中原子（或分子）的迁 移现象，是物质传输的一种形式。
第一节 扩散第一定律 Fick’s First Law
N1-2=n1Pvdt
1
N2-1= n2Pvdt
2
设n1>n2，则及2净增加的溶质原子摩尔数为 Jdt=（n1－n2）Pvdt 所以：J=（n1－n2）Pv 选用体积浓度C=溶质摩尔数/体积，所以，1面和2面上的溶质原子体 C2=n2/a 积浓度分别为：C1=n1/a； 而从连续分布来看，2面上的溶质体积浓度又可表示为：
一、扩散现象 两块不同浓度的金属焊在一起，在高温下保温，过一段时间， 发现浓度分布发生变化。
C=C2 C2>C1 C=C1
浓度
x
C2
原始状态 C1 距离x
二、菲克第一定律（Fick –1855） 菲克第一定律 菲克（A. Fick）于1855年通过实验得出了关于稳定态扩散的 第一定律，即在扩散过程中，在单位时间内通过垂直于扩散方向 的单位截面积的扩散流量J与浓度梯度dC/dx成正比。其数学表达 式为：
J2 =
∂J dx + J 1 ∂x
J1
J2
物质在微小体积内的积存速率=
J1 A − J 2 A = −
∂J Adx ∂x
也可用体积浓度的变化率来表示，在微小体积Adx内的物质积存速率 为：
∂( CAdx ) ∂C = Adx ∂t ∂t
代入前式，约去Adx，有： 将扩散第一定律代入，有：
∂C ∂J =− ∂t ∂x
第六章 扩散 Diffusion
在固体中，原子或分子的迁移只能靠扩散 来进行，因而研究扩散特别重要。物质内 部的原子依靠热运动使其中能量高的部分 脱离束缚跳迁至新的位置，发生原子迁移。 大量的原子迁移造成物质的宏观流动称做 扩散。扩散是物质中原子（或分子）的迁 移现象，是物质传输的一种形式。
第一节 扩散第一定律 Fick’s First Law
N1-2=n1Pvdt
1
N2-1= n2Pvdt
2
设n1>n2，则及2净增加的溶质原子摩尔数为 Jdt=（n1－n2）Pvdt 所以：J=（n1－n2）Pv 选用体积浓度C=溶质摩尔数/体积，所以，1面和2面上的溶质原子体 C2=n2/a 积浓度分别为：C1=n1/a； 而从连续分布来看，2面上的溶质体积浓度又可表示为：
一、扩散现象 两块不同浓度的金属焊在一起，在高温下保温，过一段时间， 发现浓度分布发生变化。
C=C2 C2>C1 C=C1
浓度
x
C2
原始状态 C1 距离x
二、菲克第一定律（Fick –1855） 菲克第一定律 菲克（A. Fick）于1855年通过实验得出了关于稳定态扩散的 第一定律，即在扩散过程中，在单位时间内通过垂直于扩散方向 的单位截面积的扩散流量J与浓度梯度dC/dx成正比。其数学表达 式为：
第六章 扩散
177第六章 扩 散扩散是指一个系统由非均化不平衡状态向均化平衡状态转化而引起粒子迁移的现象。
固体中的扩散是物质输运的基础，材料的制备和应用中的很多物理化学过程都与扩散有着密切的联系，如固相反应、烧结、析晶、分相以及相变等等。
因此，无论在理论或应用上，扩散对材料生产、研究和使用都非常重要。
6.1 固体中扩散的基本特点物质在流体（气体或液体）中的传递过程是一个早为人们所认识的自然现象。
对于流体由于质点间相互作用比较弱，且无一定的结构，故质点的迁移可如图6-1中所描述的那样，完全随机地朝三维空间地任意方向发生。
其每一步迁移的自由行程（与其它质点发生碰撞之前所行走的路程）也随机地决定于该方向上最邻近质点的距离。
质点密度越低（如在气体中），质点迁移的自由程也就越大。
因此在流体中发生的扩散传质往往总是具有很大的速率和完全的各向同性。
与流体中的不同，质点在固体介质中的扩散远不如在流体中那样显著。
固体中的扩散则有其自身的特点：（1） 构成固体的所有质点均束缚在三维周期性势阱中，质点与质点的相互作用强。
故质点的每一步迁移必须从热涨落中获取足够的能量以克服势阱的能量。
因此固体中明显的质点扩散常开始于较高的温度，但实际上又往往低于固体的熔点。
（2） 晶体中原子或离子依一定方式所堆积成的结构将以一定的对称性和周期性限制着质点每一步迁移的方向和自由行程。
例如图6-2中所示处于平面点阵内间隙位的原子，只存在四个等同的迁移方向，每一迁移的发生均需获取高于能垒G 的能量，迁移自由程则相当于晶格常数大小。
所以晶体中的质点扩散往往具有各向异性，其扩散速率也远低于流体中的情况。
6.2 菲克定律1858年，Fick A 参照了Fourier 于1822年建立的导热方程，获得了描述物质从高浓度区向低浓度区迁移的定量公式，分别提出了Fick 第一和第二定律。
Fick 第一定律认为：在扩散体系中，参与扩散质点的浓度因位置而异，且可随时间而变化，图6-1 扩散质点的无规行走轨迹图6-2 间隙原子扩散势场示意图178即浓度c 是位置坐标x 、y 、z 和时间t 的函数。
第六章扩散(2)(课件20)
扩散的交换机制
2.间隙机制
固溶体中的间隙型溶 质原子(例如 例如C， ， 质原子 例如 ，N， O，H等)可以由一个 ， 等 可以由一个 间隙位置跳到另一个 间隙位置。 间隙位置。
通过间隙位置进行扩散
3.填隙机制（间接间隙机制）
在填隙机制中， 在填隙机制中，有两 个原子同时易位运动， 个原子同时易位运动， 其中一个是间隙原子， 其中一个是间隙原子， 另一个是处于阵点上 的原子， 的原子，间隙原子将 阵点上的原子挤到间 隙位置上去， 隙位置上去，自已进 入阵点位置。 入阵点位置。
2 n实际
R
=
fR
2 n无规则行走
= r f Γt
D* = Df
表5-3-1
结构类型 金刚石 简单立方结构 体心立方结构 面心立方结构 六方密堆积结构
由空位机理产生的对示踪原子的相关系数
配位数 4 6 8 12 12 相关系数 0.5 0.06531 0.7272 0.7815 fx=fy=0.7812 fz=0.7815
R n = r n = r Γt
2
(7)
D= 1/6 Γa2
Rn = 2.4( Dt )1/ 2
相关效应
当存在相关效应时, 右侧第二项不为零, 当存在相关效应时 , 式 (3) 右侧第二项不为零 , 定量地表示相关效应,就是求实际的<R 用 f 定量地表示相关效应 , 就是求实际的 <R2 实际 > 和完全无规则行走的<R 之比,由式( 和完全无规则行走的<R2无规则走>之比,由式(3)和 可得出: (4)可得出:
D =1/6 a2ZPνexp(-∆Gm／kT)
第四节 扩散系数和扩散激活能
间隙扩散系数和间隙扩散激活能 空位扩散系数和空位扩散激活能
第六章 固体中的扩散
56
但物质在微体积中积存的速率可表示为
( CAdx ) C A dx t t C J A dx A dx t x C J t x
把菲克第一定律代入上式得
C C D t x x
这就是菲克第二定律，或称扩散第二方程。 如果扩散系数D与浓度无关，则上式可写成
扩散体积元示意图
58
同理在y，z方向流进的净物质 增量 分别为：
J y
J y ，点缺陷一 直是在运动中，这种与周围原子处于平衡状态的无
规则行走称作自扩散。
有杂质原子参加的扩散，叫做杂质扩散。
晶体内点缺陷的运动，叫做体扩散。
16
在多晶中，原子的扩散不仅限于体扩散，
而且还包含有物质沿晶面、位错以及晶粒间界
的输运。
当晶粒增大或者温度升高时，体扩散要比
其中，为振动的频率
ε
kT
35
由上式
W e
kT
可知：
间隙原子的运动相对于温度来说，成指数函 数关系，说明原子的运动将随温度的升高而急剧 增大。
36
（2）空位扩散机理
是指以空位为媒介而进
行的扩散。 空位周围相邻的原子跃 入空位，该原子原来占有的 格位就变成了空位，这个新 空位周围的原子再跃入这个 空位。
晶体的具体结构。
52
对于大部分的玻璃或各向同性的多晶陶瓷 材料，可以认为扩散系数D与扩散方向无关。
但在一些存在各向异性的单晶材料中，
扩散系数的变化取决于晶体结构的对称性。
53
菲克第一定律（扩散第一方程）是定量描述
质点扩散的基本方程，若写成三维形式如下。
c c c J D(i j k ) x y z
但物质在微体积中积存的速率可表示为
( CAdx ) C A dx t t C J A dx A dx t x C J t x
把菲克第一定律代入上式得
C C D t x x
这就是菲克第二定律，或称扩散第二方程。 如果扩散系数D与浓度无关，则上式可写成
扩散体积元示意图
58
同理在y，z方向流进的净物质 增量 分别为：
J y
J y ，点缺陷一 直是在运动中，这种与周围原子处于平衡状态的无
规则行走称作自扩散。
有杂质原子参加的扩散，叫做杂质扩散。
晶体内点缺陷的运动，叫做体扩散。
16
在多晶中，原子的扩散不仅限于体扩散，
而且还包含有物质沿晶面、位错以及晶粒间界
的输运。
当晶粒增大或者温度升高时，体扩散要比
其中，为振动的频率
ε
kT
35
由上式
W e
kT
可知：
间隙原子的运动相对于温度来说，成指数函 数关系，说明原子的运动将随温度的升高而急剧 增大。
36
（2）空位扩散机理
是指以空位为媒介而进
行的扩散。 空位周围相邻的原子跃 入空位，该原子原来占有的 格位就变成了空位，这个新 空位周围的原子再跃入这个 空位。
晶体的具体结构。
52
对于大部分的玻璃或各向同性的多晶陶瓷 材料，可以认为扩散系数D与扩散方向无关。
但在一些存在各向异性的单晶材料中，
扩散系数的变化取决于晶体结构的对称性。
53
菲克第一定律（扩散第一方程）是定量描述
质点扩散的基本方程，若写成三维形式如下。
c c c J D(i j k ) x y z
材料中的扩散
上述扩散出现两种 情况：1界面不移动， 2 界面移动
原因：扩散速率不 同，扩散系数不同。
.
8
2 达肯方程 假设（1）组元间的扩散互不干涉
（2）扩散过程中空位浓度保持不变 （3）扩散驱动力为浓度梯度
J i (2 D 11 D 2 ) c x i D ~ c x i,i 1 ,2
1）自扩散 纯物质晶体中的扩散称自扩散。
.
20
对于多元体系，设n为组元i的原子数，则在等温等 压条件下，组元i原子的自由能可用化学位表示：
μi=G/ni 扩散的驱动力为化学位梯度，即
F=-μi /x 负号表示扩散驱动力指向化学位降低的方向。
二 扩散系数
扩散阻力：基体原子对扩散原子的阻力
组元i原子的平均移动速率vi和驱动力之间存在如下关系
原子 N n 1 p .t,N n 2 p 15t
则扩散通量：
J(n 1n 2)p a2p x c D x c
则扩散系数：
D a2 p
.
16
3 原子跃迁的距离
假设：①只允许原子做距离为的越迁；②原子在每 个方向上越迁几率相等。即每次越迁与前一次越迁 无关。
则原子跃迁距离表示为： Rn
（所需能量较高）
环形换位 （所需能量较高。）
特点：以此类机制换位的结果必然是通
过界面流入和流出的原子数目相等，不
可能产生科肯道尔效应
.
13
二、原子热运动与晶体中的扩散
1 原子扩散的阻力 宏观扩散流是由大量原子迁移产生的，而原子迁移
则是其热运动的统计结果。 扩散的阻力：原子推开某些邻近的原子引起瞬间畸变。 即能垒
n a
D p
4 原子扩散的激活能与扩散系数
原因：扩散速率不 同，扩散系数不同。
.
8
2 达肯方程 假设（1）组元间的扩散互不干涉
（2）扩散过程中空位浓度保持不变 （3）扩散驱动力为浓度梯度
J i (2 D 11 D 2 ) c x i D ~ c x i,i 1 ,2
1）自扩散 纯物质晶体中的扩散称自扩散。
.
20
对于多元体系，设n为组元i的原子数，则在等温等 压条件下，组元i原子的自由能可用化学位表示：
μi=G/ni 扩散的驱动力为化学位梯度，即
F=-μi /x 负号表示扩散驱动力指向化学位降低的方向。
二 扩散系数
扩散阻力：基体原子对扩散原子的阻力
组元i原子的平均移动速率vi和驱动力之间存在如下关系
原子 N n 1 p .t,N n 2 p 15t
则扩散通量：
J(n 1n 2)p a2p x c D x c
则扩散系数：
D a2 p
.
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3 原子跃迁的距离
假设：①只允许原子做距离为的越迁；②原子在每 个方向上越迁几率相等。即每次越迁与前一次越迁 无关。
则原子跃迁距离表示为： Rn
（所需能量较高）
环形换位 （所需能量较高。）
特点：以此类机制换位的结果必然是通
过界面流入和流出的原子数目相等，不
可能产生科肯道尔效应
.
13
二、原子热运动与晶体中的扩散
1 原子扩散的阻力 宏观扩散流是由大量原子迁移产生的，而原子迁移
则是其热运动的统计结果。 扩散的阻力：原子推开某些邻近的原子引起瞬间畸变。 即能垒
n a
D p
4 原子扩散的激活能与扩散系数
第六章 扩散
直接应用菲克第二定律解决实际扩散问题，往往很复杂。 但是有两条由菲克第二定律推导出来的结论却十分简单、 有用：
推论 （1）对于同一扩散系统、扩散系数D与 扩散时间t的乘积为一常数。
已知Cu在Al中的扩散系数D， 在500℃和600℃时分别为 4.8×10-14 m2/s和5.3×10-13 m2/s。假如一个工件在600℃ 需要处理10小时，如果在500℃处理，要达到同样的效果 则需要多少小时？ (Dt)500 = (Dt)600
三、扩散的热力学分析
1．扩散驱动力 浓度梯度有关的扩散：顺扩散（高浓度→低浓度），逆扩散 （低浓度→高浓度） 热力学：决定组元扩散流向的是化学位 浓度梯度与化学位梯度一致，顺扩散，成分趋于均匀，如铸 锭均匀化 浓度梯度与化学位梯度不一致，逆扩散，成分区域性不均匀， 如共析分解 i, j 两组元系统，组元的体积浓度为 Ci ， ni 为组元 i 的摩尔 数，M：组元i的摩尔质量。 C i c M n 则Ci=Mni， i i ，则 n i
渗碳层按齿廓分布的渗碳齿轮
1. 概述
实际上，金属的真空冶炼、材料的提纯、 铸件的凝固和成分均匀化、变形金属的回 复再结晶、相变、化学热处理、粉末冶金 或陶瓷材料的烧结等都受扩散影响 原子或分子的迁移现象称为扩散。扩散的 本质是原子依靠热运动从一个位置迁移到 另一个位置。扩散是固体中原子迁移的唯 一方式。 扩散过程是传质过程。它是一个不可逆过 程，也是体系熵增过程。
§2.2 菲克第二定律
考虑如图所示的扩散系统， 扩散物质沿x方向通过横截面 积为A(=ΔyΔz)、长度为Δx的 微元体，假设流入微元体（x 处）和流出微元体（x+Δx处） 的扩散通量分别为Jx和Jx+Δx， 则在Δt时间内微元体中累积 的扩散物质量为
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[例6-4] 钢铁的渗碳问题
某种低碳铁或钢处于甲烷CH4与CO混合气中，在
950C左右保温。渗碳的目的是要使铁的表面形成一
层高碳层，即表面含碳量高于0.25%wt，以便进一步
作热处理。
碳在相铁中的溶解度约为1%wt，因此在铁的表 面，混合气体中的碳含量C0保持为1%wt。
C0 1%wt
已知在950C时，在相铁中的碳扩散系数
一般称式（2），式（3）为菲克第二定律。
c( x , y , z ,t ) t
一维系统：
c c c D x 2 y 2 z 2
2 2 2
( J x ) c c D 2 t x x
2
2 c c 2 c 球对称扩散： D 2 t r r r
图6-5 晶体表面处于扩散质 恒定蒸气压下（C0=const）， 扩散质在晶体内部的浓度分 布曲线
C ( x, t ) C0 erfc(
2
x 2 Dt
)
余误差函数 C C D 2 t x C ( x, t ) t 0, x 0, C ( x, t ) 0 x erfc 1 Dt C0 t 0, C (0, t ) C0 K Dt
图3 扩散过程中溶质原子的分布
由扩散通量的定义，有
C J D x
（1）
上式即菲克第一定律 式中J称为扩散通量常用单位是g/(cm2.s)或 mol/(cm2.s) ； D是同一时刻沿轴的浓度梯度；是比例 系数，称为扩散系数。
图4 溶质原子流动的方向与浓度降低的方向一致
扩散流sion
概
述
定义
扩散是指一个系统由非均化不平衡状态向均 化平衡状态转化而引起粒子迁移的现象。
意义
固体中的扩散是物质输运的基础，材料的制 备和应用中的很多物理化学过程都与扩散有着密
切的联系，如固相反应、烧结、析晶、分相以及
相变等等。因此，无论在理论或应用上，扩散对 材料生产、研究和使用都非常重要。
Sievert定律：
双原子分子气体在固体中的溶解度通常与压力
的平方根成正比， c
K P
[例6-3] 氢气通过金属膜的扩散
扩散一定时间后，金属膜中的浓度分布稳定：
C C
x 0 x
S S
p2 p1
C 稳定扩散，有： C D 0 t x x
如果原子无序地向任意方向跃迁，并且每次跃迁
和前一次跃迁无关，则扩散原子经几次跃迁后净
位移Rn 就相当于图6-8中各跃迁S1 , S 2 的矢量和。
Rn n S
2
2
宏观扩散流是由大量原子迁移所产生的，而 原子迁移则是原子热运动的统计结果。无 论迁移方式如何，原子移位都必须推开邻 近原子以让出通道，由此产生点阵瞬时畸 变。 这种畸变构成扩散阻力，使迁移原子必须 越过一定能垒(ΔGm=G2-G1)，或者说具有 高于G2的自由能才能克服阻力完成迁移。
D 10 m / s
2
11
扩散处理的时间约为 3h（104s）
可以计算出含碳量高于0.25%wt时碳在铁表面渗
透的深度x：
c x 0.25 erfc 0.25 c0 1 2 Dt
查表得：
x erf 0.75 2 Dt
x 0.8 2 Dt
令i、j、k表示x、y、z方向的单位矢量，
c c c J iJ x j J y k J z D(i j k ) x y z
Fick第一定律的数学表达式 描述在稳定扩散条件下 ，扩散物质经过 单位表面积的渗透速率。
讨论：
对于菲克第一定律，有以下三点值得注意：
（1）式（1）是唯象的关系式，其中并不 涉及扩散系统内部原子运动的微观过程。 （2）扩散系数反映了扩散系统的特性，并 不仅仅取决于某一种组元的特性。 （3）式（1）不仅适用于扩散系统的任何 位置，而且适用于扩散过程的任一时刻。
2
13
x *10
第三节 扩散系数
Fick第一、第二定律定量地描述了质点扩 散的宏观行为，在人们认识和掌握扩散 规律过程中起了重要的作用。
Fick定律仅仅是一种现象的描述，它将除 浓度以外的一切影响扩散的因素都包括 在扩散系数之中，而又未能赋予其明确 的物理意义。
3.1 无序扩散系数和自扩散系数
第一节
固体中扩散的基本特点
图6-1 扩散质点的无规行走轨迹
图6-2 间隙原子扩散势场示意图
特点
构成固体的所有质点均束缚在三维周期性势阱中，质
点与质点的相互作用强。故质点的每一步迁移必须从
热涨落中获取足够的能量以克服势阱的能量。因此固 体中明显的质点扩散常开始于较高的温度，但实际上
又往往低于固体的熔点。
C const a x
C ax b
表明金属膜中氢原子的浓度为直线分布，其中积分常数 a、b可由边界条件确定：
a
C1 C 2
S
p1
p2
b C2 S p2
C x
S
p1
p2 x S p2
单位时间透过面积为A的金属膜的氢气量为：
dm dC S JA DA DAa DA dt dx
1858年，菲克（Fick）参照了傅里叶（Fourier） 于1822年建立的导热方程，获得了描述物质从高浓 度区向低浓度区迁移的定量公式。 假设有一单相 固溶体，横截面积为A，浓度C不均匀，在dt时间内， 沿方向通过处截面所迁移的物质的量与处的浓度梯 度成正比： C m At x
dm C J D( ) Adt x
1
0.72 0.28 0.06
0
910-8 3610-8 8110-8
斜率
0
-0.328 -1.27 -2.81
-1.0
lnc
-1.5
1 30 k 4 D * t 85 10 8 0
-2.0
t 3.6 10 s
5
0 20
2
-2.5
-3.0 40 60
8
80
D* 2 10 m / s
Q
x2 C ( x, t ) exp 2 Dt 4 Dt
[例6-5] 扩散系数的测定
将放射性的Au*涂覆在两根金棒之间，然后将它们加 热到920 C，保温100h。
示踪剂Au*沿棒的浓度分布数据
x (m)
c
x2
lnc
0
310-4 610-4 610-4
0.0 -0.5
器壁厚等。
p1 p 2
在实际中，为了减少氢气的渗漏现象，多采用球形容器、 选用氢的扩散系数及溶解度较小的金属，以及尽量增加容
菲克第二定律解决不稳定扩散问题
第一种情况是在整个扩散过程中扩散质 点在晶体表面的浓度C0保持不变；
第二种情况是一定量的扩散物质Q由表面 向内部扩散。
第一种边界条件
1.3
1.4
0.842701 0.880205 0.910314 0.934008 0.952285
第二种边界条件：
一定量的扩散物质Q由表面向内部扩散。
图6-6 定量扩散质Q由晶体表面 （x=0）向内部扩散的过程
t 0, x 0; C( x,0) 0
t0
C ( x)dx Q
2.稳定扩散和不稳定扩散 1）稳定扩散 稳定扩散是指在垂直扩散方向的任一平面 上，单位时间内通过该平面单位面积的粒 子数一定，即任一点的浓度不随时间而变 C 化， t 0, J=const。 2）不稳定扩散 不稳定扩散是指扩散物质在扩散介质中浓 度随时间发生变化。扩散通量与位置有关。
二、 菲克第一定律
晶体中原子或离子依一定方式所堆积成的结构将以一
定的对称性和周期性限制着质点每一步迁移的方向和
自由行程。晶体中的质点扩散往往具有各向异性，其 扩散速率也远低于流体中的情况。
第二节 菲克定律
扩散动力学方程——菲克定律 一、基本概念 1.扩散通量 扩散通量——单位时间内通过单位横截 面的粒子数。用J表示，为矢量（因为扩散 流具有方向性） 量纲：粒子数/（时间.面积） 单位：粒子数/（s.m2）
x 0.5mm
误差函数值表
Z 0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
erfZ Z
erfZ Z erfZ
0.112463 0.222703 0.328627 0.428392
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0.520500 0.603856 0.677801 0.742101 0.796908
1.0
1.1
1.2
P2
r1
r2
P1
用菲克第一定律求解
单位时间内氧气泄漏量：
c J x D x
dG dc 2 4r D dt dr
C2 — 氧气分子在球罐外壁表面的溶解度 C1 —氧气分子在球罐内壁表面的溶解度
上式积分：
P2 P dG C2 C1 C2 C1 1 4D 4Dr1r2 4Dr1r2 K 1 1 dt r r r r 2 1 2 1 r1 r2
三、 菲克第二定律
当扩散处于非稳态，即各点的浓度随时间 而改变时，利用式（1）不容易求出。但通 常的扩散过程大都是非稳态扩散，为便于求 出，还要从物质的平衡关系着手，建立第二 个微分方程式。
（1） 一维扩散 如图5所示，在扩散方向上取体积元 Ax, J x和 J xx 分别表示流入体积元及从体积元流出的扩散通量， 则在Δt时间内，体积元中扩散物质的积累量为