2019年中考数学复习专题精品导学案：第23讲-圆的有关概念及性质(含答案)
数学精品复习资料中考数学专题复习第二十三讲圆的有关概念及性质【基础知识回顾】一、圆的定义及性质：1、圆的定义：⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段OA叫做⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合【名师提醒：1、在一个圆中，圆←决定圆的半径决定圆的2、直径是圆中的弦，弦不一定是锥】2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类3、圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴的直线都是它的对称轴⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是【名师提醒：圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】二、垂径定理及推论：1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的2、推论：平分弦（）的直径，并且平分弦所对的【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线3、垂径定理常用作计算，在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个】三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角2、定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】四、圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是900的圆周角所对的弦是【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有个，它们的关系是2、作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线】五、圆内接四边形：定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做这个圆叫做性质：圆内接四边形的对角【名师提醒：圆内接平行四边形是圆内接梯形是】考点一：垂径定理例1 （2012•绍兴）如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别是：甲：1、作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点，2、连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形乙：1、以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点．2、连接AB，BC，CA．△ABC即为所求的三角形．对于甲、乙两人的作法，可判断（）A．甲、乙均正确B．甲、乙均错误C．甲正确、乙错误D．甲错误，乙正确考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．专题：计算题．分析：由甲的思路画出相应的图形，连接OB，由BC为OD的垂直平分线，得到OE=DE，且BC与OD垂直，可得出OE为OD的一半，即为OB的一半，在直角三角形BOE中，根据一直角边等于斜边的一半可得出此直角边所对的角为30°，得到∠OBE为30°，利用直角三角形的两锐角互余得到∠BOE为60°，再由∠BOE为三角形AOB的外角，且OA=OB，利用等边对等角及外角性质得到∠ABO也为30°，可得出∠ABC为60°，同理得到∠ACB 也为60°，利用三角形的内角和定理得到∠BAC为60°，即三角形ABC三内角相等，进而确定三角形ABC为等边三角形；由乙的思路画出相应的图形，连接OB，BD，由BD=OD，且OB=OD，等量代换可得出三角形OBD三边相等，即为等边三角形，的长∠BOE=∠DBO=60°，由BC垂直平分OD，根据三线合一得到BE为角平分线，可得出∠OBE为30°，又∠BOE为三角形ABO的外角，且OA=OB，利用等边对等角及外角的性质得到∠ABO也为30°，可得出∠ABC为60°，同理得到∠ACB也为60°，利用三角形的内角和定理得到∠BAC为60°，即三角形ABC三内角相等，进而确定三角形ABC为等边三角形，进而得出两人的作法都正确．解答：解：根据甲的思路，作出图形如下：根据乙的思路，作图如下：A．B．C．8 D．12 AOP=90°BC=4中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．对应训练例3 （2012•深圳）如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内OB上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（）A．6 B．5 C．3 D．A．115°B．l05°C．100°D．95°考点：圆内接四边形的性质．专题：计算题．分析：根据圆内接四边形的对角互补得到∠BAD+∠BCD=180°，而∠BCD与∠DEC为邻补角，得到∠DCE=∠BAD=105°．解答：解：∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°，而∠BCD+∠DCE=180°，∴∠DCE=∠BAD ，而∠BAD=105°，∴∠DCE=105°．故选B ．点评：本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了邻补角的定义以及等角的补角相等．【聚焦山东中考】1．（2012•泰安）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不成立的是（ ）A ．CM=DMB ． CB DB =C ．∠ACD=∠ADCD ．OM=MD考点：垂径定理．专题：计算题．分析：由直径AB 垂直于弦CD ，利用垂径定理得到M 为CD 的中点，B 为劣弧CD 的中点，可得出A 和B 选项成立，再由AM 为公共边，一对直角相等，CM=DM ，利用SAS 可得出三角形ACM 与三角形ADM 全等，根据全等三角形的对应角相等可得出选项C 成立，而OM 不一定等于MD ，得出选项D 不成立．解答：解：∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，∴M 为CD 的中点，即CM=DM ，选项A 成立；B 为CD 的中点，即CB DB =，选项B 成立；在△ACM 和△ADM 中，∵90AM AM AMC AMD CM DM =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ACM≌△ADM（SAS），∴∠ACD=∠ADC，选项C成立；而OM与MD不一定相等，选项D不成立．故选D点评：此题考查了垂径定理，以及全等三角形的判定与性质，垂径定理为：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．2．（2012•东营）某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1），若不计木条的厚度，其俯视图如图2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是cm．2．30考点：垂径定理的应用；勾股定理．分析：当圆柱形饮水桶的底面半径最大时，圆外接于△ABC；连接外心与B点，可通过勾股定理即可求出圆的半径．解答：解：连接OB，如图，当⊙O为△ABC的外接圆时圆柱形饮水桶的底面半径的最大．∵AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，∴O点在AD上，BD=24cm；在Rt△0BD中，设半径为r，则OB=r，OD=48-r，∴r2=（48-r）2+242，解得r=30．即圆柱形饮水桶的底面半径的最大值为30cm．故答案为：30．点评：此题考查把实物图转化为几何图形的能力以及勾股定理，垂径定理的讨论和勾股定理．3．（2012•泰安）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧AB上一点（不与A，点评：此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数的定义和圆周角定理，根据已知构造直角三角形ABD是解题关键．4．（2012•青岛）如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOC=60°，则∠ABC的度数是．4.150°分析：首先在优弧ADC上取点D，连接AD，CD，由圆周角定理，即可求得∠ADC的度数，又由圆的内接四边形的性质，即可求得答案．解答：解：在优弧ADC上取点D，连接AD，CD，∴∠ABC=180°-∠ADC=180°-30°=150°．故答案为：150°．点评：此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法．【备考真题过关】一、选择题1．（2012•无锡）如图，以M（-5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点，P是⊙M上异于A、B的一动点，直线PA、PB分别交y轴于C、D，以CD为直径的⊙N与x 轴交于E、F，则EF的长（）A．等于B．等于C．等于6 D．随P点位置的变化而变化考点：垂径定理；勾股定理；相似三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：连接NE，设圆N半径为r，ON=x，则OD=r-x，OC=r+x，证△OBD∽△OCA，推出OC：OB=OA：OD，即（r+x）：1=9：（r-x），求出r2-x2=9，根据垂径定理和勾股定理即可求出答案．解答：解：连接NE，设圆N半径为r，ON=x，则OD=r-x，OC=r+x，∵以M（-5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点，∴OA=4+5=9，0B=5-4=1，∵AB是⊙M的直径，∴∠APB=90°（直径所对的圆周角是直角），∵∠BOD=90°，∴∠PAB+∠PBA=90°，∠ODB+∠OBD=90°，∵∠PBA=∠OBD，∴∠PAB=∠ODB，∵∠APB=∠BOD=90°，∴△OBD∽△OCA，2．（2012•陕西）如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（）A．3 B．4 C．D．3．（2012•黄冈）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O 的直径为（）A．8 B．10 C．16 D．20=x2．4．（2012•河北）如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是弦（不是直径），AB ⊥CD 于点E ，则下列结论正确的是（ ）A ．AE ＞BEB ． AD BC = C ．∠D=12∠AECD ．△ADE ∽△CBEA ．45°B ．35°C ．25°D ．20°6．（2012•云南）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，连接AD、BC．若∠BAD=60°，则∠BCD 的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°考点：圆周角定理．分析：由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BCD的度数．解答：解：∵∠BAD与∠BCD是BD对的圆周角，∴∠BCD=∠BAD=60°．故选C．点评：此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用，注意数形结合思想的应用．7．（2012•襄阳）△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．100°D．80°或100°点评：此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用，注意别漏解．8．（2012•泸州）如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B=60°，∠BOD=100°，则∠C 的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°点评：此题考查了圆周角定理与三角形的内角和定理．此题难度不大，注意掌握在同圆或二、填空题9．（2012•朝阳）如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB，垂足为E，已知CD=6，AE=1，则⊙0的半径为．9．5考点：垂径定理；勾股定理．分析：连接OD，由垂径定理得求出DE，设⊙O的半径是R，由勾股定理得出R2=（R-1）2+32，求出R即可．解答：解：连接OD，∵AB⊥CD，AB是直径，∴由垂径定理得：DE=CE=3，设⊙O的半径是R，在Rt△ODE中，由勾股定理得：OD2=OE2+DE2，即R2=（R-1）2+32，解得：R=5，故答案为：5．点评：本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，用了方程思想，题目比较好，难度适中．12．90°考点：圆周角定理．分析：由在⊙O中，C在圆周上，∠ACB=45°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠AOB的度数．解答：解：∵在⊙O中，C在圆周上，∠ACB=45°，∴∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°．故答案为：90°．点评：此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用，注意数形结合思想的应用．13．（2012•玉林）如图，矩形OABC内接于扇形MON，当CN=CO时，∠NMB的度数是．13．30°考点：圆周角定理；含30度角的直角三角形；矩形的性质．分析：首先连接OB，由矩形的性质可得△BOC是直角三角形，又由OB=ON=2OC，∠BOC 的度数，又由圆周角定理求得∠NMB的度数．解答：解：连接OB，14．（2012•义乌市）如图，已知点A（0，2）、B（2作平行于x轴的射线，点P是射线上的动点，连接AP，以AP为边在其左侧作等边△APQ，连接PB、BA．若四边形ABPQ为梯形，则：（1）当AB为梯形的底时，点P的横坐标是；（2）当AB为梯形的腰时，点P的横坐标是．14．（12）0或考点：圆周角定理；等边三角形的性质；梯形；解直角三角形．专题：几何综合题．分析：首先根据题意画出符合题意的图形，（1）当AB为梯形的底时，PQ∥AB，可得Q 在CP上，由△APQ是等边三角形，CP∥x轴，即可求得答案；（2）当AB为梯形的腰时，AQ∥BP，易得四边形ABPC是平行四边形，即可求得CP的长，继而可求得点P的横坐标．解答：解：（1）如图1：当AB为梯形的底时，PQ∥AB，∴Q在CP上，∵△APQ是等边三角形，CP∥x轴，∴AC垂直平分PQ，∵A（0，2），C（0，4），∴AC=2，（2）如图2，当AB为梯形的腰时，AQ∥BP，∴Q在y轴上，∴BP∥y轴，∵CP∥x轴，∴四边形ABPC是平行四边形，如图3，当C与P重合时，∵A（0，2）、B（2∴∠APC=60°，∵△APQ是等边三角形，∴∠PAQ=60°，∴∠ACB=∠PAQ，∴AQ∥BP，∴当C与P重合时，四边形ABPQ以AB为要的梯形，此时点P的横坐标为0；15.30°考点：圆周角定理；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：由圆周角定理、特殊角的三角函数值求得∠CAB=30°；然后根据直角三角形的两个锐角互余的性质、等腰三角形的性质、对顶角相等求得∠EOD=∠COB=60°；最后在直角三角形ODE中求得∠D的度数．解答：解：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）；三、解答题答：U型槽的横截面积约为19．（2012•长沙）如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）求圆心O到BC的距离OD．考点：圆周角定理；等边三角形的判定；垂径定理；解直角三角形．专题：探究型．分析：（1）先根据圆周角定理得出∠ABC的度数，再直接根据三角形的内角和定理进行解答即可；（2）连接OB，由等边三角形的性质可知，∠OBD=30°，根据OB=8利用直角三角形的性质即可得出结论．解答：解：（1）在△ABC中，∵∠BAC=∠APC=60°，又∵∠APC=∠ABC，∴∠ABC=60°，∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-60°-60°=60°，∴△ABC是等边三角形；（2）∵△ABC为等边三角形，⊙O为其外接圆，∴O为△ABC的外心，20．（2012•大庆）如图△ABC中，BC=3，以BC为直径的⊙O交AC于点D，若D是AC 中点，∠ABC=120°．（1）求∠ACB的大小；（2）求点A到直线BC的距离．考点：圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．分析：（1）根据垂直平分线的性质得出AB=BC，进而得出∠A=∠C=30°即可；（2）根据BC=3，∠ACB=30°，∠BDC=90°，得出CD的长，进而求出AE的长度即可．解答：解：（1）连接BD，∵以BC为直径的⊙O交AC于点D，∴∠BDC=90°，∵D是AC中点，∴BD是AC的垂直平分线，∴AB=BC，∴∠A=∠C，∵∠ABC=120°，OB=2 2的性质的应用，主要考查学生能否运用性质进行推理，题目综合性比较强，是一道比较好的题目．。
《圆》整理和复习(导学案)
5.培养学生的团队协作能力，通过小组讨论、合作探究，加深对圆的知识点的理解和应用。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-圆的基本概念：圆心、半径、直径、周长、面积的定义及其相互关系；
-圆的性质：半径相等、直径垂直、弧相等、圆心角相等的特点及其应用；
《圆》整理和复习（导学案）
一、教学内容
《圆》整理和复习（导学案）
1.圆的基本概念：圆心、半径、直径、周长、面积；
2.圆的性质：半径相等、直径垂直、弧相等、圆心角相等；
3.圆的方程：圆的相交、相离；
5.圆与圆的关系：相切、相交、相离；
6.圆的切线、割线；
7.圆的扇形、圆心角、圆周角；
举例解释：
-通过实际测量和计算，让学生掌握圆的周长和面积的计算方法，并理解其在生活中的应用，如计算车轮的行驶距离；
-通过几何作图，让学生直观感受圆的性质，如半径相等、圆心角相等，并应用于解决实际问题，如设计等分圆的图形。
2.教学难点
-圆的方程推导：理解圆的标准方程和一般方程的推导过程，尤其是从标准方程到一般方程的转换；
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解圆的基本概念。圆是由一组等距离于圆心的点组成的几何图形。它是平面几何中最重要的图形之一，具有许多独特的性质和应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了圆在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题，如计算车轮的周长和面积。
-在计算扇形、圆心角、圆周角时，通过实际案例和公式推导，使学生能够熟练掌握计算方法，并应用于实际测量和设计问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
2019届百色市中考《第23课时：圆的有关概念及性质》复习课件
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新课标人教版《数学》九年级上册 圆的概念和性质的复习导学案
圆的概念和性质的复习导学案一、圆的有关概念和性质考点一圆的有关概念和性质1.圆的定义动态：在同一平面内,一条线段OA绕着它固定的一个端点O旋转____,另一个端点A所形成的封闭图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径.静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r 的点的集合.2.圆的有关的概念3.圆的性质(1)圆的对称性:圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,任意一条____所在的直线都是它的对称轴,圆心是它的对称中心.(2)圆的确定:不在同一直线上的____个点确定一个圆.三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点,叫做三角形的______.（3）圆的旋转不变性：圆绕圆心任意旋转一个角度都和自身重合.考点二垂径定理及其推论(高频)考点三圆心角、弧、弦之间的关系1.圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.2.定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的____相等,所对的____相等. 推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中,有一组量相等,那么其余的各组量也都____ .考点四圆周角定理及其推论(高频)考点五圆与多边形1.圆的内接多边形(1)如果一个多边形的每一个顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做这个圆的__________,这个圆叫做这个多边形的__________.(2)圆内接四边形的性质:圆的内接四边形的对角_____.2.正多边形与圆(见第24课时)二、例题教学命题点1圆周角定理及其推论例1.(2019·安徽,10,4分)如图,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4.P是△ABC内部的一个动点,且满足∠P AB=∠PBC.则线段CP长的最小值为( ) A.32B.2C.81313D.121313例2.(2019·安徽,19,10分)如图,在⊙O中,半径OC与弦AB垂直,垂足为E,以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F,D是CF延长线与⊙O的交点.若OE=4,OF=6,求⊙O的半径和CD的长.例3.(2019·安徽,13,5分)如图,点A,B,C,D在⊙O上,O点在∠D的内部,四边形OABC为平行四边形,则∠OAD+∠OCD=_____°.命题点4圆的性质例4.(2019·安徽,20,10分)在⊙O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在⊙O上,且OP⊥PQ.(1)如图1,当PQ∥AB时,求PQ的长度;(2)如图2,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.三、巩固练习考法1圆周角定理及其推论1.(2019·四川乐山)如图,C,D是以线段AB为直径的⊙O上两点,若CA=CD,且∠ACD=40°,则∠CAB=()A.10°B.20°C.30°D.40°考法2垂径定理及其推论2.（1）(2019·湖南长沙)如图,在⊙O中,弦AB=6,圆心O到AB的距离OC=2,则⊙O的半径长为____.（2）(2019·江苏宿迁)如图,在△ABC中,已知∠ACB=130°,∠BAC=20°,BC=2,以点C为圆心,CB为半径的圆交AB于点D,则BD的长为____.考法3圆心角、弧、弦之间的关系3.(2019·山东济宁)如图,在⊙O中, 弧AB=弧AC,∠AOB=40°,则∠ADC的度数是( )A.40°B.30°C.20°D.15°考法4圆内接四边形4.(2019·宁夏)已知△ABC,以AB为直径的⊙O分别交AC于D,BC于E,连接ED,若ED=EC.(1)求证:AB=AC;课后作业：1.(2019·海南)如图,AB是⊙O的直径,AC,BC是⊙O的弦,直径DE⊥AC于点P,若点D在优弧ABC上,AB=8,BC=3,则DP=_____.2.(2019·广西南宁)如图,点A,B,C,P在⊙O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,∠DCE=40°,则∠P的度数为( )A.140°B.70°C.60°D.40°3.(2019·浙江舟山改编)把一张圆形纸片按照如图所示的方式折叠两次后展开,图中的虚线表示折痕,则∠BOC的度数是( )A.120°B.135°C.150°D.165°4.(2019·甘肃兰州)如图,四边形ABCD内接于⊙O,四边形ABCO是平行四边形,则∠ADC=()A.45°B.50°C.60°D.75°∠ABC=105°,∠BAC=25°,则∠E的度数为( )A.45°B.50°C.55°D.60°6.(2019·湖南岳阳)如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,已知∠BCD=110°,则∠BAD=____°.。
河南省2019年中考数学总复习 第一部分 教材考点全解 第六章 圆 第23讲 与圆有关的计算课件
考点三 圆柱、圆锥的有关计算
1．圆柱：侧面展开图为矩形，设r为底面圆半径，h为高． (1)S圆柱侧＝2πrh； (2)S圆柱全＝2πrh＋2πr2； (3)S底面圆＝πr2； (4)C底面圆＝2πr.
多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的
中心角
_____________.
3．正多边形都是轴对称图形．一个正 n 边形共有_n____条对 称轴，每条对称轴都通过正 n 边形的__中__心__；边数为 _偶__数___的正多边形还是中心对称图形，它的对称中心是正 多边形的_中__心___.
命题点1 弧长与扇形面积的计算(仅2013年考查) 命题点2 阴影部分面积的计算(8年7考)
1．__各___边___相等，__各__角__也相等的多边形叫做正多边形．任 何正多边形都有一个外接圆与一个内切圆，这两个圆是同 心圆．
2．把圆分成 n(n≥3)等份，依次连接各分点所得的多边形是
这个圆的内接正 n 边形，这个圆叫做正 n 边形的
__外__接__圆___；正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的 ___中___心___，外接圆的半径叫做正多边形的__半__径___，正多 边形的中心到其一边的距离叫做正多边形的_边__心__距__，正
针旋转 60°，点 O，B 的对应点分别为
O′，B′，连接 BB′，则图中阴影部
分的面积是( C )
2π A. 3
B．2 3－π3
C．2 3－23π
D．4 3－23π
( (
3．(2016·河南 14 题)如图，在扇形 AOB 中，∠AOB＝90°，
2019版中考数学专题复习 专题六 圆(23)第1课时 圆的有关性质教案
2019版中考数学专题复习专题六圆（23）第1课时圆的有关性质教案二、【教学流程】顾（1）如果AB=CD，那么 _______,_______.（2）如果AB CD=那么 _________,______. (3）如果∠AOB=∠COD，那么 ________,______.（4）如果AB=CD,OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,OE与OF 相等吗？为什么？第2题图第3题图综合运用【自主探究】例（1）如图，AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，OD是半径，且OD//AC。
求证：CD=BD组一：连接OC，ODAC//CODACOBODA∠=∠∠=∠∴,OCOA=∴ACOA∠=∠DOBCOD∠=∠∴BDCD=∴师：这是通过证圆心角相等，得到弦相等.还有其他证明方法吗？组二：连接AD，ODAC//，OA=OD∠=∠∴CAD OADODA∠=∴弧CD=弧BD∴CD=BD（学生分组交流，一会后学生汇报成果.）从不同的方法中进行知识整合ADCBOEFMNBAC·O师：由圆周角相等，我们可以得到弧相等（或圆心角相等），从而得到弦相等.这种证法利用了圆心角、圆周角与弧的关系.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于所对圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.这样，证弦相等，又多了两条途径：可以考虑去证弧相等，也可以考虑去证圆周角相等.师：还有其他方法吗？组三：连接BC，AB是直径090=∠∴ACBAC//OD ODBC⊥∴由垂径定理可以得到弧CD=弧BD ∴CD=BD师：这就利用了垂径定理的基本图形.垂径定理及逆定理体现了直径、弧、弦三种量之间的关系：直径垂直弦、直径平分弦、直径平分弧，这三个结论中，只要有一个成立，则另两个也同时成立.但要注意，若条件是直径平分弦，则这条弦必须不是直径，另两个结论才会成立.垂径定理及逆定理体现的是圆的轴对称性.（边总结，边在黑板上抽离基本图形）（同时在黑板上画出这个基本图形）从不同的方法中进行知识整合而在圆中，要构造直角，大家要想到直径所对的圆周角是直角；而090的圆周角所对的弦是直径。
人教版九年级下册数学中考综合复习：第23讲《圆的基本性质》
第23讲《圆的基本性质》要点梳理知识点1：主要概念1.圆:平面上到____的距离等于____的所有点组成的图形叫做圆.____叫做圆心,____叫做半径,以O为圆心的圆记作⊙O.2.弧和弦:圆上任意两点间的部分叫做___,连接圆上任意两点的线段叫做___,经过圆心的弦叫做直径,直径是最长的___.3.圆心角:顶点在____,角的两边与圆相交的角叫做圆心角.4.圆周角:顶点在____,角的两边与圆相交的角叫做圆周角.5.等弧:在__________中，能够完全____的弧叫做等弧．知识点2：圆的有关性质1.圆的对称性：①圆是______图形，其对称轴是________________．②圆是________图形，对称中心是_____．③旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．知识点3：垂径定理及推论1.垂径定理：垂直于弦的直径_______，并且____________________．2.垂径定理的推论：①平分弦(不是直径)的直径_________，并且_____________________；②弦的垂直平分线_______，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．知识点4：弦、弧、圆心角的关系定理及推论①弦、弧、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_____，所对的弦______．②推论：在同圆或等圆中，如果两个______、______、_______、__________中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．知识点5：圆周角定理及推论1.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的________．2.圆周角定理的推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧______．②半圆(或直径)所对的圆周角是_____；90°的圆周角所对的弦是_____．知识点6：点和圆的位置关系①点P在圆上⇔_______；②点P在圆内⇔______；③点P在圆外⇔_______．知识点7：过三点的圆①经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆．②经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心；三角形的外心是三边___________的交点，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在斜边中点处；钝角三角形的外心在三角形的外部．知识点8：圆内接四边形圆内接四边形的对角________常见的辅助线(1)有关弦的问题，如图1，常作其弦心距，构造以半径、弦的一半、弦心距为边的直角三角形，利用勾股定理知识求解；(2)有关直径的问题，如图2，常通过辅助线构造直径所对的圆周角是直角来进行证明或计算．(3)有等弧或证弧相等时，如图3，常连等弧所对的弦或作等(同)弧所对的圆周(心)角．图1 图2 图3命题点1：垂径定理1.(泸州)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E。
[初三数学]第23讲 圆的性质
中考步步高
课
对
前
接
必
中
读
考
圆的问题不算难，常把半径直径连；
易
网
错
络
有弦可作弦心距，它定垂直平分弦；
防
构
范
建
直径是圆最大弦，直圆周角立上边；
课
考
直径垂直平分弦，垂径相似在心间；
时 跟
点
踪
梳 理
圆周角、圆心角，细找关系把线连；
检 测
同弧圆周角相等，证题用它最多见.
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中考步步高
课
对
前
接
必
中考步步高
课 【例题1】 (2011·山东济宁改
对
前
必
编)如图，AD为△ABC外接
接 中
读
考
圆的直径，AD⊥BC，垂足
易
网 络
为点F，连接BD、CD.求证：
错 防
构 建
BD＝CD.
范
课
时
考
跟
点
踪
梳 理
检
分析 根据垂径定理和同圆或等圆中等弧对等弦证明． 测
证明 ∵AD 为直径，AD⊥BC，∴
，
∴BD＝CD.
建
3．连接圆上任意两点的线段叫做_弦_，经过圆心的弦
课
考
叫做_直__径__．
时 跟
点
踪
梳 理
4．圆上任意两点间的部分叫做_弧_，大于半圆的弧叫
检 测
做_优__弧__，小于半圆的弧叫做_劣__弧__．
5．从圆心到弦的距离叫做_弦__心__距__．
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课
对
前
接
2019版中考数学总复习 圆的有关性质教案
2019版中考数学总复习圆的有关性质教案教学目标:知识目标：（1）理解圆、等圆、等弧等概念及圆的对称性，掌握点和圆的位置关系；（2）掌握垂径定理及其逆定理和圆心角，弧，弦，弦心距及圆周角之间的主要关系；掌握圆周角定理并会用它们进行计算；（3）掌握圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角的性质。
（4）会用尺规作三角形的外接圆；了解三角形的外心的概念.能力目标：通过知识点和典型题的讲练，使学生熟练掌握本节课的知识点，再用题图变形与题组训练来培养学生综合运用知识的能力以及思维的灵活性和广阔性。
情感目标：通过题图变形与题组训练来激发学生学习数学的兴趣；同时将课本的题目与中考题结合在教学当中以进一步向学生强调“依纲靠本”的复习指导思想，强化学生的中考意识。
知识结构圆⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧---⎩⎨⎧圆周角定理的弧的概念距的关系圆心角、弦、弧、弦心旋转不变性垂径定理轴对称性质点的轨迹不在同一直线上的三点定义1圆内接四边形及性质重点、热点垂径定理及推论；圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理. 运用圆内接四边形的性质解有关计算和证明题.【典型例析】例1.（1）[2002.广西] 如图7.1-1.OE、OF分别是⊙O的弦AB、CD的弦心距，若OE=OF，则（只需写出一个正确的结论）.（2）[2002. 广西] 如图7.1-2.已知，AB为⊙O的直径，D为弦AC的中点，BC=6cm,则OD= .[特色] 以上几道中考题均为直接运用圆的有关性质解题.[解答]（1）AB=CD或 AB=CD或AD＝BC,直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理.（2）由三角形的中位线定理知OD=21BC[拓展]复习中要加强对圆的有关性质的理解、运用.例 2.（1）[2002.大连市]下列命题中真命题是（）.A.平分弦的直径垂直于弦B.圆的半径垂直于圆的切线 C.到圆心的距离大于半径的点在圆内 D.等弧所对的圆心角相等（2）[2002.河北] 如图7.1-3.AB是⊙O的直径，CD是⊙O弦，若AB=10cm,CD=8cm，那么A、B两点到直线CD的距离之和为（）.A.12cmB.10cmC.8cmD.6cm(3)[2002.武汉市] 已知如图7.1-4圆心角∠BOC=100 ，则圆周角∠BAC的度数是（）.A. 50B.100C.130D.200[特色]着眼于基本知识的考查和辨析思维的评价.[解答] （1） D （考查对基本性质的理解）.(2) D (过O作OM⊥CD，连结OC，由垂径定理得CM=21CD=4，由勾股定理得OM=3，而AB两点到CD的距离和等于OM的2倍)(3) A (由圆周角定理可得)[拓展] 第（2）题中，涉及圆的弦一般作弦心距.例3.[2002.广西南宁市]圆内接四边形A BCD，∠A、∠B、∠C的度数的比是1∶2∶3，则这个四边形的最大角是 .[特色]运用圆内接四边形的性质进行简单计算. [解答]设A=x，则∠B=2x,∠C=3x . ∵∠A+∠C=180 ，∴x+3x=180 ，∴ x=45 .∴∠A=45 ，∠B=90 ，∠C=135 ，∠ D=90 .∴最大角为135 .[拓展]此题着眼于基本性质、基本方法的考查.设未知数，列方程求解是解此类题的基本方法.例4. [2002.陕西] 已知，如图7.1-5 B C为半圆O的直径，F是半圆上异于BC的点，A是BF 的中点，AD⊥BC于点D，BF交AD于点E. （1）求证：BE•BF=BD•BC（2）试比较线段BD与AE的大小，并说明道理.[特色] 此题是教材中的习题变形而来，它立意于考查分析、观察、比较、归纳等能力.[解答] （1）连结FC，则BF⊥FC.在△BDF和△BCF中，∵∠BFC=∠EDB=90 ，∠FBC=∠EBD，∴△BDE∽△BFC，∴BE∶BC=BD∶BF.即 BF•BE=BD•BC.（2） AE>BD , 连结AC、AB 则∠BAC=90 .∵AF AB=, ∴∠1=∠2.又∵∠2+∠ABC=90 ，∠3+∠ABD=90 ，∴∠2=∠3，∠1=∠3，∴AE=BE.在Rt△EBD中， BE>BD，∴AE>BD.[拓展] 若AC交BE于G，请想一想，在什么情况下线段BE、BG、FG有相等关系？例 5.[2001.吉林省]如图7.4-1，矩形ABCD，AD=8，DC=6，在对角线AC上取一点O，以OC为半径的圆切AD于E，交BC于F，交CD于G.（1）求⊙O的半径R；（2）设∠BFE=α，∠GED=β，请写出α、β、90 三者之间的关系式（只需写出一个），并证明你的结论.[特色]此题第二问设计为开放性问题，它立意考查学生分析、观察、比较、归纳能力.[解答] （1）连结OE，则OE⊥AD.∵四边形是矩形，∴∠D=90 ,OE∥CD,∴AC=22DCAD+=2268+=10.∵△AOE∽△ACD，∴ OE∶CD=AO∶AC，∴ R∶6=(10-R) ∶10，解之得： R=415.（2）∵四边形是圆的内接四边形，∴∠EFB=∠EGC，∵∠EGC=90 +β，∴α =90 +β或∵β<90 ，α =∠EGC>90 ，∴β < 90 < α.[拓展]比较角的大小时，要善于发现角与角之间的关系，判断角是锐角还是直角、钝角.[中考动态前瞻]本节考查的题型常以填空、选择、解答题的形式出现，重点考查对圆的基本慨念、基本性质的理解及运用.特别是垂径定理及推论、圆周角定理及推论的运用是考查的重点内容. 对圆内接四边形的性质进行考查，主要以填空题、选择题、计算题、证明题的形式出现，利用圆内接四边形的性质主要是得到角相等或互补.一般不会考较复杂的计算、证明.欢迎您的下载，资料仅供参考！。
中考数学 专题23 圆(知识点串讲)(解析版)
专题23 圆考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一与圆有关的概念圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，⑶其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆．弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．⏜，读作弧AB．在同圆或等弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB圆中，能够重合的弧叫做等弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧， 小于半圆的弧叫做劣弧．弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距． 弦心距、半径、弦长的关系：（考点）圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角．圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 三角形的外接圆1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 2）三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.3）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.圆内接四边形概念：如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形。
云南省中考数学一轮复习《第23讲：圆的相关概念及性质》第23讲 真题
云南省中考数学一轮复习《第23讲：圆的相关概念及性质》
云南省中考数学一轮复习《第23讲：圆的相关概念及性质》 云南省中考数学一轮复习《第23讲：圆的相关概念及性质》
第一部分 第六章 第23讲
命题点1 圆周角定理及其推论
1．(2015·云南13题3分)如图，点A ，B ，C 是⊙O 上的点，OA ＝AB ，则∠C 的度数为__30°
__.
2．(2015·曲靖12题3分)如图，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，
连接AC ，BD ．若AC ＝2，则cos D ＝__
13
__.
3．(2017·云南14题4分)如图，B ，C 是⊙A 上的两点，AB 的垂直平分线与⊙A 交于E ，F 两点，与线段AC 交于D 点．若∠BFC ＝20°，则∠DBC
＝( A )
A ．30°
B ．29°
C ．28°
D ．20°
命题点2 圆内接四边形的性质
4．(2018·曲靖10题3分)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为BC 延长线上一点．若∠A ＝n °，则∠DCE
＝__n °__.。