江苏省淮安市淮阴中学2019-2020学年高三期中数学试题(教师版)
2020届高三11月联合调研测试数学I 理科―、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡．．．上． 1.全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,3,4}A =，{3,5}B =，则()C A B =_______.【答案】{1,2,4,5} 【解析】 【分析】根据集合的基本运算，先求出A∩B，再求其补集即可．【详解】∵全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，3,4}，B ＝{3，5}，∴A∩B＝{3}， 则∁U （A∩B）＝{1，2，4，5}， 故答案为：{1，2，4，5}．【点睛】本题主要考查了集合的交集和补集的基本运算，属于基础题． 2.已知向量(2,)a m =，(1,2)b =-，且a b ⊥，则实数m 的值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据a b ⊥即可得出220a b m ⋅=-=，从而求出m 的值．详解】解：∵a b ⊥； ∴220a b m ⋅=-=； ∴m ＝1．故答案为：1． 【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算．3.函数ln(1)y x =++的定义域为________． 【答案】(1,2)- 【解析】分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域． 【详解】解：要使函数f （x ）有意义，则1020x x +⎧⎨-⎩＞＞，即12x x -⎧⎨<⎩＞， 解得12x -<<，故函数的定义域为(1,2)-， 故答案为：(1,2)-【点睛】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件． 4.已知单位向量a ，b 的夹角为120，则|2|a b -的值是________．【解析】 【分析】直接利用向量的模以及向量的数量积求解即可． 【详解】解：单位向量a b ，的夹角为120°， 则22124414a b a a b b -=-⋅+=+⨯=【点睛】本题考查向量的数量积以及向量的模的求法，考查转化思想以及计算能力．5.已知等比数列{}n a 满足2124a a +=，235a a =，则该数列的前5项的和为______________.【答案】31 【解析】设11n n a a q-=，235a a =可化为24411a q a q =，得11a =，21422a a =-=，212a q a ==， 55(1)311q q S q-==-6.“a b >”是“22a b >”的________条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”和“既不充分也不必要”） 【答案】充要 【解析】 【分析】由指数函数的单调性结合充分必要条件的判定得答案． 【详解】解：由a ＞b ，利用指数函数的单调性可得2a ＞2b ， 反之，由2a＞2b，可得a ＞b ． ∴“a ＞b ”是“2a ＞2b ”的充要条件． 故答案为：充要．【点睛】本题考查指数函数的单调性，考查充要条件的判定，是基础题．7.设函数()()(sin ,,f x A x A ωϕωϕ=+为参数，且)0,0,0A ωϕπ>><<的部分图象如图所示，则ϕ的值为______.【答案】3π 【解析】 【分析】根据图象首先求得()f x 最小正周期2T ππω==，从而解得2ω=；代入712f A π⎛⎫=-⎪⎝⎭可得到23k πϕπ=+，结合0ϕπ<<即可求得结果.【详解】由图象可得()f x 最小正周期：473126T πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，即2ππω= 2ω∴=又77sin 126f A A ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 73262k ππϕπ∴+=+，k Z ∈ 23k πϕπ∴=+，k Z ∈又0ϕπ<< 3πϕ∴=本题正确结果：3π 【点睛】本题考查根据三角函数图象求解函数解析式的问题，关键是能够通过整体对应的方式确定最值所对应的点，从而得到初相的取值.8.在ABC △中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么tan C =________．【答案】【解析】 【分析】由正弦定理可得a ：b ：c ＝2：3：4，不妨设a ＝2t ，b ＝3t ，c ＝4t ，则由余弦定理可求cos C ，结合范围C ∈（0，π），利用同角三角函数关系式即可求值． 【详解】解：∵sin A ：sin B ：sin C ＝2：3：4， ∴由正弦定理可得：a ：b ：c ＝2：3：4，∴不妨设a ＝2t ，b ＝3t ，c ＝4t ，则cos C 2222224916122234a b c t t t ab t t +-+-===-⨯⨯，∵C ∈（0，π）∴tan C ==故答案为：【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查了比例的性质，同角的三角函数基本关系式的应用，属中档题． 9.已知函数()|4|f x x x =-，则不等式(2)(2)f x f ≤的解集为________．【答案】{|1}x x ≤+【解析】 【分析】可由f （2x ）≤f （2）得出x |x ﹣2|≤1，从而得到2212x x x ⎧-≤⎨≥⎩或2212x x x ⎧-≤⎨⎩＜，解不等式组即可得出原不等式的解集．【详解】解：∵f （x ）＝x |x ﹣4|，∴由f （2x ）≤f （2）得，2x |2x ﹣4|≤4， ∴x |x ﹣2|≤1，∴2212x x x ⎧-≤⎨≥⎩或2212x x x ⎧-≤⎨⎩＜，解得1x ≤，∴f （2x ）≤f （2）的解集为{|1}x x ≤．故答案为：{|1}x x ≤．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法：去绝对值号，一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．10.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对于任意的x R ∈都有()()()f x 4f x f 2+=+，()f 14=，则()()f 3f 10+的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】令2x =-，可以求得()()220f f -==，从而可得()f x 是以4为周期的函数，结合()14f =，即可求得()()310f f +的值【详解】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()()f x f x ∴=-，()()()42f x f x f +=+，令2x =-，可得()()()222f f f =-+， 则()20f -=则()()220f f -==，()()4f x f x ∴+=， ()f x ∴是以4为周期的函数， ()()()10620f f f ∴===()14f =，()()()3114f f f ∴=-==则()()310404f f +=+= 故答案为4【点睛】本题主要考查了抽象函数及其基本性质的应用，重点考查了赋值法，求得()20f =是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题能力，属于中档题。
11.如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，2CD =，4BAD π∠=，若2AB AC AB AD ⋅=⋅，则AD AC ⋅=________．【答案】12 【解析】 【分析】因为2AB AC AB AD ⋅=⋅，根据向量变换得到22AD =AD AC ⋅求出即可． 【详解】解：因为2AB AC AB AD ⋅=⋅，所以AB AC AB AD AB DC AB AD ⋅-⋅=⋅=⋅， 因为AB ∥CD ，CD ＝2，∠BAD 4π=，所以上式化简得：24AB AB AD cosπ=，即22AD =所以()2824AD AC AD AD DC AD AD DC cos π⋅=⋅+=+⋅=+⋅=12．故答案为：12．【点睛】本题考查向量的数量积，向量的加减法，向量的夹角公式的综合运算，中档题．12.在ABC △中，BC =，tan 3tan A B =，则tan 2C B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．【答案】2+ 【解析】【分析】由已知利用正弦定理可得sinA =B ，3sinA sinB cosA cosB =，进而可得cosA =B ，可求sin B 12=，从而求得B 的值，进而可求A ，C ，2C的值，利用两角和的正切函数公式即可求解． 【详解】解：由BC =，利用正弦定理可得sinA =B ，① 由tan A ＝3tan B ，可得3sinA sinBcosA cosB =，② 由②÷①可得cosA 3=B ，③， 由①，③两式平方相加可得sin B 12=， 所以B 6π=或56π， 由tan A ＝3tan B ，知B 56π=应舍去， 所以B 6π=，代入③式可得A 3π=，由三角形内角和定理可得C ＝π﹣A ﹣B 2π=，可得24C π=， 所以tan （B 2C +）1212CtanB tanC tanBtan ++===-2 故答案为：2【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正切函数公式等在解三角形中的综合应用，考查了化归和转化能力以及运算求解能力，属于中档题． 13.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若9362S S S =+，则631S S +取得最小值时，9S 的值为_______．【答案】3【解析】 【分析】因为9362S S S =+，所以q≠1，所以936111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q---=+---，即63(1)(2)0q q --=，得32q =．化简得16311311a q q a S S +-=-+，由基本不等式得其最小值，即可得到9S ． 【详解】由9362S S S =+，得：q≠1，所以936111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q---=+---，化简得：936112(1)q q q -=-+-，即963220q q q --+=，即63(1)(2)0q q --=，得32q =，化简得631S S +＝6131(1)11(1)a q qq a q --+--＝11311a q q a -+≥-， 当11311a q q a -=-，即1a =时，631S S +取得最小值， 所以919(1)1a q S q -==-9(1)1q q --＝3故答案为：3【点睛】本题考查了等比数列的前n 项和公式和通项公式的灵活运用，基本不等式求最小值的条件，属于中档题．14.已知函数()ln f x x x =，2()(12)2g x x a x a =-+++，若不等式()()f x g x ≤的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是_______． 【答案】ln 2104ln 216,23--⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】将问题中的不等式进行参数分离，得到2ln 12,2x x x xa x +-+…构造函数h(x),求导分析h(x)的单调性及极值，结合题意求得满足条件的a 的范围.【详解】由()2ln 122x x x a x a -+++…，可得2ln 122x x x xa x +-+…，设()2ln 122x x x xh x x +-=+，则()()222ln 5222x x x h x x ++-=+'. 令()22ln 522x x x x ϕ=++- (0)x >，则()2250x x xϕ=++>'，所以()x ϕ在()0,∞+上单调递增. 由于()20ϕ<，()30ϕ>，所以()02,3x ∃∈，()00x ϕ=， 所以()h x 在()00,x 单调递减：在()0,x +∞单调递增. 要使不等式()()f x g x …的解集中恰有两个整数，即()a h x …的解集中恰有两个整数， 必须解集中的两个整数为2和3.所以()1a h <，()2a h …，()3a h …，()4a h <， 解得2ln2104ln2163a --≤<. 【点睛】本题考查了利用导数研究其单调性与极值及其函数的性质，考查了方程与不等式的解法及零点存在性定理，考查了构造方法及推理能力与计算能力，属于难题．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.已知a ，b ，c 分别是ABC △内角A ，B ，C 的对边，且满足()22a bc b c -=-． （1）求角A 的大小；（2）若a=3，sinc=2sinB ，求ABC 的面积．【答案】（1）3A π=；（2）2【解析】 【分析】(1)由()22a bc b c -=-可得222b c a bc +-=，由余弦定理可得1cos 2A =，结合范围()0,A π∈，即可求得A 的值；(2)由sin 2sin C B =及正弦定理可得2c b =，又3,3a A π==，由余弦定理可解得,b c 的值，利用三角形面积公式即可得结果.【详解】（1）∵()22b c =a bc --，可得：222b c a =bc +-，∴由余弦定理可得：222b c a 1cos 222bc A bc abc +-===，又∵()0,A π∈，∴3A π=（2）由sin =2sin C B 及正弦定理可得：c=2b ， ∵a=3，3A π=，∴由余弦定理可得：222222a =b c 2bccos =b c bc=3b A +-+-，∴解得：∴11bcsin =22ABCSA =【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数以及三角形面积公式的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.16.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点(1,0)A 和点(1,0)B -，1OC =，且AOC=x ∠，其中O 为坐标原点．（1）若34x π=，设点D 为线段OA 上的动点，求||OC OD +uuu r uuu r 的最小值；（2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，向量m BC =，(1cos ,sin 2cos )n x x x =--，求m n ⋅的最小值及对应的x 值．【答案】（1（2）m n ⋅的最小值为18x π=.【解析】【分析】（1）设D （t ，0）（0≤t ≤1），利用二次函数的性质求得它的最小值．（2）由题意得⋅=m n 1sin （2x 4π+），再利用正弦函数的定义域和值域 求出它的最小值．【详解】解：（I ）设(,0)(01)D t t ≤≤，又22C ⎛- ⎝⎭所以22OC OD t ⎛+=-+ ⎝⎭所以22211||122OC OD t t +=-++=+ 21(01)22t t ⎛⎫=-+≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭所以当2t =时，||OC OD +uuu r uuu r 最小值为2．（II ）由题意得(cos ,sin )C x x ，(cos 1,sin )m BC x x ==+ 则221cos sin 2sin cos 1cos2sin 2m n x x x x x x ⋅=-+-=--124x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52444x πππ≤+≤ 所以当242x ππ+=时，即8x π=时，sin 24x π⎛⎫+⎪⎝⎭取得最大值1所以8x π=时，1224m n x π⎛⎫⋅=-+ ⎪⎝⎭取得最小值1所以m n ⋅的最小值为18x π=【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积的公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．17.一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，AB 1=米，如图所示．小球从A 点出发以5 V 的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，经弹射器以6 V 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．设AOE θ∠=弧度，小球从A 到F 所需时间为T ．（1）试将T 表示为θ的函数()T θ，并写出定义域； （2）当θ满足什么条件时，时间T 最短． 【答案】（1）11()56sin 6T vv v θθθ=++，3,44ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）当2cos 3θ=时，时间T 最短.【解析】 【分析】（1）通过过点O 作OG ⊥BC 于G ，利用OG ＝1、OF 1sin θ=、EF ＝11sin θ+、AE ＝θ及时间、路程与速度之间的关系即得结论；（2）通过（1）求导可知T ′（θ）()()2233230cos cos vsin θθθ+-=-，进而集合函数的单调性即得结论．【详解】试题解析：解：（1）过O 作OG BC ⊥于G ，则1OG =，1sin sin OG OF θθ==，11sin EF θ=+，AE θ=． 所以11()5656sin 6AE EF T v v v v vθθθ=+=++，3,44ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（2）11()56sin 6T vv vθθθ=++，22221cos 6sin 5cos (2cos 3)(3cos 2)()56sin 30sin 30sin T v v v v θθθθθθθθθ'-+-=-==-． 记02cos 3θ=，03,44ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 当θ∈（4π，θ0）时T ′（θ）＜0，即T （θ）在区间（4π，θ0）上单调递减， 当θ∈（θ0，34π）时T ′（θ）＞0，即T （θ）在区间（θ0，34π）上单调递增，∴当cos θ23=时时间T 最短．【点睛】本题考查根据实际问题选择函数类型，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．18.已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体；在定义域内存在实数t ，使得(2)()(2)f t f t f +=+． （1）判断()32f x x =+是否属于集合M ，并说明理由； （2）若2()lg2af x x =+属于集合M ，求实数a 的取值范围； （3）若2()2x f x bx =+，求证：对任意实数b ，都有()f x M ∈．【答案】（1）不属于,理由详见解析；（2）[12-+；（3）详见解析. 【解析】 【分析】（1）利用f （x ）＝3x +2，通过f （t +2）＝f （t ）+f （2）推出方程无解，说明f （x ）＝3x +2不属于集合M ；（2）由()22a f x lg x =+属于集合M ，推出()222622a a a lg lg lg x x =++++有实解，即（a ﹣6）x 2+4ax +6（a ﹣2）＝0有实解，对参数分类讨论，利用判断式求解即可；（3）当f （x ）＝2x +bx 2时，方程f （x +2）＝f （x ）+f （2）⇔3×2x +4bx ﹣4＝0，令g （x ）＝3×2x +4bx ﹣4，则g （x ）在R 上的图象是连续的，当b ≥0时，当b ＜0时，判断函数是否有零点，证明对任意实数b ，都有f （x ）∈M ．【详解】解：（1）当()32f x x =+时，方程(2)()(2)38310f t f t f t t +=+⇔+=+ 此方程无解，所以不存在实数t ，使得(2)()(2)f t f t f +=+， 故()32f x x =+不属于集合M ﹒ （2）由2()lg 2af x x =+，属于集合M ，可得 方程22lglg lg (2)226a a ax x =++++有实解()22(2)262a x x ⎡⎤⇔++=+⎣⎦有实解2(6)46(2)0a x ax a ⇔-++-=有实解， 若6a =时，上述方程有实解；若6a ≠时，有21624(6)(2)0a a a ∆=---≥，解得1212a -≤≤+，故所求a的取值范围是[12-+．（3）当2()2x f x bx =+时，方程(2)()(2)f x f x f +=+⇔2222(2)24432440x+x x b x bx b bx ++=+++⇔⨯+-=，令()3244xg x bx =⨯+-，则()g x 在R 上的图像是连续的，当0b ≥时，(0)10g =-<，(1)240g b =+>，故()g x 在(0,1)内至少有一个零点当0b <时，(0)10g =-<，11320bg b ⎛⎫=⨯> ⎪⎝⎭，故()g x 在1,0b ⎛⎫ ⎪⎝⎭内至少有一个零点故对任意的实数b ，()g x 在R 上都有零点，即方程(2)()(2)f x f x f +=+总有解， 所以对任意实数b ，都有()f x M ∈．【点睛】本题考查抽象函数的应用，函数的零点以及方程根的关系，考查转化思想以及计算能力． 19.已知函数3()3||f x x x a =+-，a ∈R ．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在2x =处的切线方程； （2）当[1,1]x ∈-时，求函数()f x 的最小值；（3）已知0a >，且任意1x ≥有2()(1)15ln f x a f a a x +-+…，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）15190x y --=；（2）分类讨论，详见解析；（3）01a <≤. 【解析】 【分析】（1）当x ＞1时，f （x ）＝x 3+3x ﹣3，f （2）＝11．由f '（x ）＝3x 2+3，得f '（2）＝15．由此利用导数的几何意义能求出y ＝f （x ）在x ＝2处的切线方程；（2）当a ≤﹣1时，得f （x ）＝x 3+3x ﹣3a ，由f '（x ）＝3x 2+3＞0，得到f （x ）min ＝f （﹣1）＝﹣4﹣3a ．当a ≥1时，得f （x ）＝x 3﹣3x +3a ，由f '（x ）＝3x 2﹣3≤0，得到f （x ）min ＝f （1）＝﹣2+3a ．当﹣1＜a ＜1时，f （x ）33331331x x a a x x x a x a ⎧+-=⎨-+-≤⎩，＜＜，＜，由此能求出函数f （x ）的最小值；（3）当a ＞0，且任意x ≥1有f （x +a ）﹣f （1+a ）≥15a 2lnx ，即对任意x ≥1有（x +a ）3+3x ﹣15a 2lnx ﹣（a +1）3﹣3≥0．设g （x ）＝（x +a ）3+3x ﹣15a 2lnx ﹣（a +1）3﹣3，则g （1）＝0，g '（x ）＝3（x +a ）2+3215a x-．设h （x ）＝g '（x ）＝3（x +a ）2+3215a x -，则h '（x ）＝6（x +a ）2215a x+＞0，由此利用导数性质能求出结果．【详解】解：（1）当1x >时，3()33f x x x =+-，(2)11f =．由2()33f x x '=+，得(2)15f '=．所以()y f x =在2x =处的切线方程为15(2)11y x =-+即15190x y --=． （2）①当1a ≤-时，得3()33f x x x a =+-，因为2()330f x x '=+>， 所以()f x 在[1,1]-单调递增，所以min ()(1)43f x f a =-=--． ②当1a ≥时，得3()33f x x x a =-+，因为2()330f x x '=-≤， 所以()f x 在[1,1]-单调递减，所以min ()(1)23f x f a ==-+．③当11a -<<时，3333,1,()33,1,x x a a x f x x x a x a ⎧+-<<=⎨-+-<≤⎩由①②知：函数()f x 在(1,)a -单调递减，(,1)a 单调递增，所以3min ()f x a =，综上，当1a ≤-，min ()43f x a =--；当11a -<<时，3min ()f x a =；当1a ≥时，min ()23f x a =-+．（3）当0a >，且任意1x ≥有2()(1)15ln f x a f a a x +-+≥， 即对任意1x ≥有323()315ln (1)30x a x a x a ++--+-≥． 设323()()315ln (1)3g x x a x a x a =++--+-，则(1)0g =，2215()3()3a g x x a x'=++-．设2215()()3()3a h x g x x a x'==++-，因为0a >，1x ≥，所以2215()6()0a h x x a x'=++>，所以()h x 在[1,)+∞单调递增，所以()(1)h x h ≥，即22()(1)3(1)3156(1)(21)g x g a a a a ''≥=++-=--+， ①当(1)0g '≥即01a <≤时，所以()0g x '≥恒成立，所以()g x 在[1,)+∞单调递增，此时()(1)0g x g ≥=，满足题意． ②当(1)0g '<即1a >时，因为2()121533(1)(41)0g a a a a a '=-+=-->，且()g x '在[1,)+∞单调递增，所以存在唯一的01x >，使得()00g x '=，因此当01x x <<时()0g x '<；当0x x >时()0g x '>； 所以()g x 在()01,x 单调递减，()0,x +∞单调递增． 所以()0(1)0g x g <=，不满足题意． 综上，01a <≤．【点睛】本题考查切线方程、函数的最小值、实数的取值范围的求法，考查导数的几何意义、导数性质、函数最值、函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.给定数列{}n a ，若满足1a a =（0a >且1a ≠），对于任意的*,n m ∈N ，都有m n n m a a a +=，则称数列{}n a 为“指数型数列”．（1）已知数列{}n a 的通项公式为4nn a =，试判断数列{}n a 是不是“指数型数列”；（2）已知数列{}n a 满足112a =，()*1123n n n n a a a a n +-=+∈N ，证明数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，并判断数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由； （3）若数列{}n a 是“指数型数列”，且()*112a a a a +=∈+N ，证明数列{}n a 中任意三项都不能构成等差数列．【答案】（1）是；（2）是，理由详见解析；（3）详见解析. 【解析】【分析】（1）利用指数数列的定义，判断即可； （2）利用a 112=，a n ＝2a n a n +1+3a n +1（n ∈N *），说明数列{1n a +1}是等比数列，然后证明数列{1n a +1}为“指数型数列”；（3）利用反证法，结合n 为偶数以及奇数进行证明即可． 【详解】解：（1）数列{}n a ，444n mn m n m n m a a a ++==⨯=，所以数列{}n b 是“指数型数列”（2）数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是“指数型数列”11111311232131n n n n n n n n a a a a a a a a ++++⎛⎫=+⇒=+⇒+=+ ⎪⎝⎭，所以11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，11111133n n n a a -⎛⎫+=+⨯= ⎪⎝⎭，111113331m n n mn n n m a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++===+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是“指数型数列” （3）若数列{}n a 是“指数型数列”，由定义得：11112nn n mn m n n n a a a a a a a a a a +++⎛⎫=⇒=⇒== ⎪+⎝⎭假设数列{}n a 中存在三项s a ，t a ，u a 成等差数列，不妨设s t u <<则2t s u a a a =+，得：11122222t s ut s u a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⇒=+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理得：2(1)(2)(2)(1)t su s u s u s a a a a ----++=+++（*）若a 为偶数时，右边为偶数，(1)u sa -+为奇数，则左边为奇数，（*）不成立； 若a 为奇数时，右边为偶数，(2)u sa -+为奇数，则左边为奇数，（*）不成立；所以，对任意的*a ∈N ，（*）式不成立．点睛】本题考查指数数列的定义，考查反证法的运用，正确理解与运用新定义是关键．数学II （附加题）解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．21.已知矩阵0123⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，1820⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，求1A B -． 【答案】54220⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】先求出1A -，进而得到1A B -.【详解】易得1312210A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦， 所以1=A B - 312210⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 20=18⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 54220⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查矩阵乘积的求法，考查逆矩阵、矩阵与矩阵相交等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．22.已知矩阵1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，向量53α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，计算5A α． 【答案】371307⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】 令f （λ）1214λλ--==-λ2﹣5λ+6＝0，解得λ＝2或3．分别对应的一个特征向量为21⎡⎤⎢⎥⎣⎦；11⎡⎤⎢⎥⎣⎦．设53⎡⎤=⎢⎥⎣⎦m 21⎡⎤++⎢⎥⎣⎦n 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦．解得m ，n ，即可得出． 【详解】已知矩阵1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，向量53α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，计算5A α．解：因为212()5614f λλλλλ--==-+-，由()0f λ=，得2λ=或3λ=．当2λ=时，对应的一个特征向量为121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；当3λ=时，对应的一个特征向量为211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．设521311m n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解得2,1.m n =⎧⎨=⎩所以55521371221311307A α⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．【点睛】本题考查了矩阵与变换、特征向量，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 23.已知四棱锥P —ABCD 的底面为直角梯形，AB//DC ，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD ，且PA=AD=DC=1，AB=2，M 是PB 的中点。
江苏地区淮安市2020年度高三期中联考数学(理科)试题(解析版)
2019-2020学年江苏省淮安市高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题）1. 全集U ={1,2，3，4，5}，集合A ={1,3，4}，B ={3,5}，则∁U (A ∩B)=______．2. 已知向量a ⃗=(2,m)，b ⃗⃗=(1,−2)，且a ⃗⊥b ⃗⃗，则实数m 的值是______．3. 函数y =ln (x +1)+2√2−x 的定义域为______．4. 已知单位向量a ⃗⃗,b ⃗⃗的夹角为120°，则|a ⃗⃗−2b ⃗⃗|的值是______．5. 已知等比数列{a n }满足a 2+2a 1=4，a 32=a 5，则该数列的前5项和为______． 6. “a >b ”是“2a >2b ”的______条件(从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”选一)7. 设函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A,ω,φ为常数，且A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则φ的值为______．8. 在△ABC 中，如果sin A ：sin B ：sinC =2：3：4，那么tanC =______． 9. 已知函数f(x)=x|x −4|，则不等式f(2x)≤f(2)的解集为______． 10. 已知函数f(x)是定义在上的偶函数，且对于任意的都有f(x +4)=f(x)+f(2)，f(1)=4，则f(3)+f(10)的值为______．11. 如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，CD =2，∠BAD =π4，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=______．12.在△ABC中，BC=√3AC，tanA=3tanB，则tan(B+C)=______．213.已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n.若S9=S3+2S6，则S6+1取得最小值时，S3 S9的值为______．14.已知函数f(x)=xlnx，g(x)=−x2+(a+12)x+2a，若不等式f(x)≤g(x)的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是．二、解答题（本大题共10小题）15.已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且满足(b−c)2=a2−bc．(1)求角A的大小；(2)若a=3，sinC=2sinB，求△ABC的面积．16.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1，且∠AOC=x，其中O为坐标原B(−1,0)，|OC点．，设点D为线段OA上的动点，求|OC⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的最小值；(1)若x=3π4)，向量m⃗⃗⃗⃗=BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗，n⃗⃗=(1−cosx,sinx−2cosx)，求m⃗⃗⃗⃗⋅n⃗⃗的最小值及(2)若x∈(0,π2对应的x值．17.一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O和一个矩形ABCD构成，AB=1米，如图所示．小球从A点出发以5v的速度沿半圆O轨道滚到某点E处后，经弹射器以6v的速度沿与点E切线垂直的方向弹射到落袋区BC内，落点记为F.设∠AOE=θ弧度，小球从A到F所需时间为T．(1)试将T表示为θ的函数T(θ)，并写出定义域；(2)当θ满足什么条件时，时间T最短．18.已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：在定义域内存在实数t，使得f(t+2)=f(t)+f(2)．(1)判断f(x)=3x+2是否属于集合M，并说明理由；属于集合M，求实数a的取值范围；(2)若f(x)=lg ax2+2(3)若f(x)=2x+bx2，求证：对任意实数b，都有f(x)∈M．19.已知函数f(x)=x3+3|x−a|，a∈R(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在x=2处的切线方程；(2)当x∈[−1,1]时，求函数f(x)的最小值；(3)已知a>0，且任意x≥1有f(x+a)−f(1+a)≥15a2lnx，求实数a的取值范围20.给定数列{a n}，若满足a1=a(a>0且a≠1)，对于任意的n，m∈N∗，都有a n+m=a n⋅a m，则称数列{a n}为“指数型数列”．(Ⅰ)已知数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n=5×3n−1，b n=4n，试判断{a n}，{b n}是不是“指数型数列”；(Ⅱ)若数列{a n}满足：a1=12，a n=2a n a n+1+3a n+1(n∈N∗)，判断数列{1a n+1}是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；(Ⅲ)若数列{a n}是“指数型数列”，且a1=a+1a+2(a∈N∗)，证明：数列{a n}中任意三项都不能构成等差数列．21.已知矩阵A=[0123]，B=[2018]，求A−1B22.已知矩阵A=[12−14]，向量a⃗=[53]，计算A5a⃗．23.已知四棱锥P−ABCD的底面为直角梯形，AB//DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=12AB=1，M是PB的中点．(1)求直线AC与PB所成角的余弦值；(2)求面AMC与面PMC所成锐二面角的大小的余弦值．24.直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB=2，AC=4，AA1=2，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λDC⃗⃗⃗⃗⃗⃗．(1)若λ=1，求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；(2)若二面角B1−A1C1−D的大小为60°，求实数λ的值．答案和解析1.【答案】{1,2，4，5}【解析】解：∵A={1,3，4}，B={3,5}，∴A∩B={3}，则∁U(A∩B)={1,2，4，5}，故答案为：{1,2，4，5}根据集合交集，并集定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，结合交集补集的定义是解决本题的关键．2.【答案】1【解析】解：∵a⃗⃗⊥b⃗⃗；∴a⃗⃗⋅b⃗⃗=2−2m=0；∴m=1．故答案为：1．根据a⃗⃗⊥b⃗⃗即可得出a⃗⃗⋅b⃗⃗=2−2m=0，从而求出m的值．考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算．3.【答案】(−1,2)【解析】解：依题意，{x+1>02−x≠02−x≥0，解得−1<x<2，所以y=ln(x+1)+√2−x的定义域为(−1,2)，故答案为：(−1,2)．本题考查了函数的定义域的求法，注意考查计算能力，属于基础题．4.【答案】√7【解析】解：单位向量a⃗⃗,b⃗⃗的夹角为120°，则|a⃗−2b⃗⃗|=√a⃗2−4a⃗⋅b⃗⃗+4b⃗⃗2=√1+4×1+4=√7．2故答案为：√7．直接利用向量的模以及向量的数量积求解即可．本题考查向量的数量积以及向量的模的求法，考查转化思想以及计算能力．5.【答案】31【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2+2a1=4，a32=a5，∴a1(q+2)=4，a12q4=a1q4，联立解得a1=1，q=2，∴数列的前5项的和为1×(1−25)=311−2故答案为：31．由题意可得首项和公比的方程组，解方程组代入求和公式计算可得．本题考查等比数列的求和公式，求出数列的首项和公比是解决问题的关键，属基础题．6.【答案】充要【解析】解：由a>b，利用指数函数的单调性可得2a>2b，反之，由2a>2b，可得a>b．∴“a>b”是“2a>2b”的充要条件．由指数函数的单调性结合充分必要条件的判定得答案．本题考查指数函数的单调性，考查充要条件的判定，是基础题．7.【答案】π3【解析】解：根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数，且A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象，可得34⋅2πω=7π12+π6，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×(−π6)+φ=0，∴φ=π3，故答案为：π3．先由周期求出ω，再由五点法作图求出φ的值．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．8.【答案】−√15【解析】解：∵sinA：sin B：sinC=2：3：4，∴由正弦定理可得：a：b：c=2：3：4，∴不妨设a=2t，b=3t，c=4t，则cosC=a2+b2−c22ab =4t2+9t2−16t22×2t×3t=−14，∵C∈(0,π)∴tanC=−√1cos2C−1=−√15．故答案为：−√15．由正弦定理可得a：b：c=2：3：4，不妨设a=2t，b=3t，c=4t，则由余弦定理可求cos C，结合范围C∈(0,π)，利用同角三角函数关系式即可求值．本题考查正余弦定理的应用，考查了比例的性质，同角的三角函数基本关系式的应用，属中档题．9.【答案】{x|x ≤√2+1}【解析】解：∵f(x)=x|x −4|， ∴由f(2x)≤f(2)得，2x|2x −4|≤4， ∴x|x −2|≤1，∴{x 2−2x ≤1x ≥2或{2x −x 2≤1x <2，解得x ≤√2+1， ∴f(2x)≤f(2)的解集为{x|x ≤√2+1}． 故答案为：{x|x ≤√2+1}．可由f(2x)≤f(2)得出x|x −2|≤1，从而得到{x 2−2x ≤1x ≥2或{2x −x 2≤1x <2，解不等式组即可得出原不等式的解集．本题考查了绝对值不等式的解法：去绝对值号，一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．10.【答案】4【解析】【分析】本题考查了抽象函数的应用问题，也考查了函数的奇偶性与周期性应用问题，是基础题． 由题意令x =−2求得f(2)=0，且f(x)的周期为4，再计算f(3)+f(10)的值． 【解答】解：由f(x +4)=f(x)+f(2)，令x =−2，得f(−2+4)=f(−2)+f(2)； 又f(x)为偶函数，∴f(−2)=f(2)， ∴f(2)=0； ∴f(x +4)=f(x)， ∴f(x)的周期为4；又f(1)=4，f (10)=f (2+2×4)=f (2)=0， f (3)=f (3−4)=f (−1)=f (1)=4， ∴f(3)+f(10)=4+0=4． 故答案为4．11.【答案】12【解析】解：因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 因为AB//CD ，CD =2，∠BAD =π4，所以上式化简得：2|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos π4，即|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2√2， 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=8+2√2⋅2⋅cos π4=12．故答案为：12．因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，根据向量变换得到|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2√2，代入AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗求出即可． 考查向量的数量积，向量的加减法，向量的夹角公式的综合运算，中档题．12.【答案】2+√3【解析】解：由BC =√3AC ，利用正弦定理可得sinA =√3sinB ，① 由tanA =3tanB ，可得sinAcosA =3sinB cosB，②由②÷①可得cosA =√33cosB ，③， 由①，③两式平方相加可得sinB =12， 所以B =π6或5π6， 由tanA =3tanB ，知B =5π6应舍去，所以B =π6，代入③式可得A =π3，由三角形内角和定理可得C =π−A −B =π2，可得C 2=π4， 所以tan (B +C2)=tanB+tanC 21−tanBtanC2=√33+11−√33=2+√3．故答案为：2+√3．由已知利用正弦定理可得sinA =√3sinB ，sinAcosA =3sinBcosB，进而可得cosA =√33cosB ，可求sinB =12，从而求得B 的值，进而可求A ，C ，C 2的值，利用两角和的正切函数公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正切函数公式等在解三角形中的综合应用，考查了化归和转化能力以及运算求解能力，属于中档题．13.【答案】7√33【解析】解：依题意，因为S 9=S 3+2S 6，所以q ≠1，所以a 1(1−q 9)1−q=a 1(1−q 3)1−q+2a 1(1−q 6)1−q，即(q 3−2)(q 3−1)(q 3+1)=0，因为数列{a n }为正项数列，所以q 3=2．当S 6+1S 3取得最小值时，S 6⋅S 3=1，即(a11−q )2⋅(1−q 6)(1−q 3)=1，所以a 11−q =−√33， 所以S 9=a11−q(1−q 9)=−√33×(1−23)=7√33．故填：7√33． 因为S 9=S 3+2S 6，所以q ≠1，所以a 1(1−q 9)1−q=a 1(1−q 3)1−q+2a 1(1−q 6)1−q ，即(q 3−2)(q 3−1)(q 3+1)=0，因为数列{a n }为正项数列，所以q 3=2.当S 6+1S 3取得最小值时，S 6⋅S 3=1，即(a11−q )2⋅(1−q 6)(1−q 3)=1，所以a 11−q =−√33，即可得到S 9．本题考查了等比数列的前n 项和，通项公式和前n 项和公式的灵活运用，基本不等式等．属于中档题．14.【答案】[ln 2−102,2ln 4−163)【解析】【分析】推导出f ′(x)=lnx +1，f(x)在(0,1e )上单调递减，(1e ,+∞)上单调递增，且f(1)=1，f(x)的函数图象开口向下，对称轴为x =6+a2，利用数形结合法求出不等式f(x)≤g(x)的解集中恰有两个整数是2，3，列出不等式组，能求出实数a 的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查换元法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 【解答】解：f ′(x)=lnx +1，故当x ∈(0,1e )时，f ′(x)<0，当x ∈(1e ,+∞)时，f ′(x)>0，∴f(x)在(0,1e )上单调递减，(1e,+∞)上单调递增，且f(1)=1又g(x)的函数图象开口向下，对称轴为x =6+a2，要使不等式f(x)≤g(x)的解集中恰有两个整数，其图象如下：不等式f(x)≤g(x)的解集中恰有两个整数是1，2， ∴{f(1)⩽g(1)f(2)≤g(2)f(3)>g(3)，无解，不等式f(x)≤g(x)的解集中恰有两个整数是2，3，∴，解得ln2−102≤a <2ln 4−163． ∴实数a 的取值范围是[ln 2−102，2ln 4−163). 故答案为：[ln2−102，2ln 4−163). 15.【答案】(本题满分为12分)解：(1)∵(b −c)2=a 2−bc ，可得：b 2+c 2−a 2=bc ， ∴由余弦定理可得：cosA =b 2+c 2−a 22bc=bc 2bc=12，又∵A ∈(0,π)，∴A =π3(2)由sinC =2sinB 及正弦定理可得：c =2b ， ∵a =3，A =π3，∴由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2−2bccosA =b 2+c 2−bc =3b 2， ∴解得：b =√3，c =2√3，∴S △ABC =12bcsinA =12×√3×2√3×√32=3√32【解析】(1)由已知等式可得b 2+c 2−a 2=bc ，由余弦定理可得cosA =12，结合范围A ∈(0,π)，即可求得A 的值．(2)由sinC =2sinB 及正弦定理可得c =2b ，又a =3，A =π3，由余弦定理可解得b ，c 的值，利用三角形面积公式即可得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.【答案】解：(1)设D(t,0)(0≤t ≤1)，由题易知C(−√22,√22)， 所以OC⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−√22+t,√22) 所以|OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2=12−√2t +t 2+12=t 2−√2t +1 =(t −√22)2+12(0≤t ≤1)，所以当t =√22时，|OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|最小，为√22． (2)由题意，得C(cos x ，sin x)， m =BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(cosx +1，sin x)，则m ⋅n =1−cos2x +sin2x −2sin x cos x =1−cos 2x −sin 2x =1−√2sin (2x +π4)，因为x ∈[0,π2]，所以π4≤2x +π4≤5π4，所以当2x +π4=π2，即x =π8时， sin (2x +π4)取得最大值1，所以m ⋅n 的最小值为1−√2，此时x =π8．【解析】(1)设D(t,0)(0≤t ≤1)，利用二次函数的性质求得它的最小值．(2)由题意得m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗=1−√2sin (2x +π4)，再利用正弦函数的定义域和值域求出它的最小值．本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积的公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．17.【答案】解：(1)连接CO 并延长交半圆于M ，则∠AOM =∠COD =π4，故θ≥π4，同理可得θ≤3π4，∴θ∈[π4,3π4].过O 作OG ⊥BC 于G ，则OG =1，∠GOF =|π2−θ|， ∴OF =1cos |π2−θ|=1sin θ，又AE⏜=θ， ∴T(θ)=θ5v +16v +16vsinθ，θ∈[π4,3π4]. (2)T ′(θ)=15v −cosθ6vsin 2θ=6sin 2θ−5cosθ30vsin 2θ=−6cos 2θ−5cosθ+630vsin 2θ，令T ′(θ)=0可得−6cos 2θ−5cosθ+6=0，解得cosθ=23或cosθ=−32(舍)． 设cosθ0=23，θ0∈[π4,3π4]，则当π4≤θ<θ0时，T ′(θ)<0，当θ0<θ≤3π4时，T ′(θ)>0，∴当θ=θ0，T(θ)取得最小值．故cosθ=23时，时间T最短．【解析】(1)求出小球的运动路程，得出T(θ)的解析式；(2)利用导数判断函数单调性，求出函数的最小值对应的cosθ的值即可．本题考查了函数解析式，函数单调性与最值的计算，属于中档题．18.【答案】解：(1)当f(x)=3x+2时，方程f(t+2)=f(t)+f(2)⇔3t+8=3t+ 10…(2分)此方程无解，所以不存在实数t，使得f(t+2)=f(t)+f(2)，故f(x)=3x+2不属于集合M.…(4分)(2)由f(x)=lg ax2+2属于集合M，可得方程lg a(x+2)2+2=lg ax2+2+lg a6有实解⇔a[(x+2)2+2]=6(x2+2)有实解⇔(a−6)x2+4ax+6(a−2)=0有实解，…(7分)若a=6时，上述方程有实解；若a≠6时，有△=16a2−24(a−6)(a−2)≥0，解得12−6√3≤a≤12+6√3，故所求a的取值范围是[12−6√3,12+6√3].…(10分)(3)当f(x)=2x+bx2时，方程f(x+2)=f(x)+f(2)⇔2x+2+b(x+2)2=2x+ bx2+4+4b⇔3×2x+4bx−4=0，…(12分)令g(x)=3×2x+4bx−4，则g(x)在R上的图象是连续的，当b≥0时，g(0)=−1<0，g(1)=2+4b>0，故g(x)在(0,1)内至少有一个零点；当b<0时，g(0)=−1<0，g(1b )=3×21b>0，故g(x)在(1b,0)内至少有一个零点；故对任意的实数b，g(x)在R上都有零点，即方程f(x+2)=f(x)+f(2)总有解，所以对任意实数b，都有f(x)∈M.…(16分)【解析】(1)利用f(x)=3x +2，通过f(t +2)=f(t)+f(2)推出方程无解，说明f(x)=3x +2不属于集合M. (2)由f(x)=lg ax 2+2属于集合M ，推出lg a(x+2)2+2=lg ax 2+2+lg a6有实解，即(a −6)x 2+4ax +6(a −2)=0有实解，若a =6时，若a ≠6时，利用判断式求解即可．(3)当f(x)=2x +bx 2时，方程f(x +2)=f(x)+f(2)⇔3×2x +4bx −4=0，令g(x)=3×2x +4bx −4，则g(x)在R 上的图象是连续的，当b ≥0时，当b <0时，判断函数是否有零点，证明对任意实数b ，都有f(x)∈M ．本题考查抽象函数的应用，函数的零点以及方程根的关系，考查转化思想以及计算能力．19.【答案】解：(1)当x >1时，f(x)=x 3+3x −3，f(2)=11.由，得．所以y =f(x)在x =2处的切线方程为y =15(x −2)+11即15x −y −19=0． (2)①当a ≤−1时，得f(x)=x 3+3x −3a ，因为0'/>，所以f(x)在[−1,1]单调递增，所以f(x)min =f(−1)=−4−3a ．②当a ≥1时，得f(x)=x 3−3x +3a ，因为，所以f(x)在[−1,1]单调递减，所以f(x)min =f(1)=−2+3a ． ③当−1<a <1时，f(x)={x 3+3x −3a,a <x <1x 3−3x +3a,−1<x ≤a 由①②知：函数f(x)在(−1,a)单调递减，(a,1)单调递增， 所以f(x)min =f(a)=a 3．综上，当a ≤−1，f(x)min =−4−3a ； 当−1<a <1时，f(x)min =a 3； 当a ≥1时，f(x)min =−2+3a ．(3)当a >0，且任意x ≥1有f(x +a)−f(1+a)≥15a 2lnx ， 即对任意x ≥1有(x +a)3+3x −15a 2lnx −(a +1)3−3≥0． 设g(x)=(x +a)3+3x −15a 2lnx −(a +1)3−3，则g(1)=0，．设，因为a>0，x≥1，所以0'/>，所以ℎ(x)在[1,+∞)单调递增，所以ℎ(x)≥ℎ(1)，即，1当即0<a≤1时，所以恒成立，所以g(x)在[1,+∞)单调递增，此时g(x)≥g(1)=0，满足题意．2当即a>1时，因为0'/>，且在[1,+∞)单调递增，所以存在唯一的x0>1，使得，因此当1<x<x0时；当x>x0时0'/>；所以g(x)在(1,x0)单调递减，(x,+∞)单调递增．所以g(x0)<g(1)=0，不满足题意．综上，0<a≤1．【解析】(1)当x>1时，f(x)=x3+3x−3，f(2)=11.由，得由此利用导数的几何意义能求出y=f(x)在x=2处的切线方程．(2)当a≤−1时，得f(x)=x3+3x−3a，由0'/>，得到f(x)min= f(−1)=−4−3a.当a≥1时，得f(x)=x3−3x+3a，由，得到f(x)min=f(1)=−2+3a.当−1<a<1时，f(x)={x 3+3x−3a,a<x<1x3−3x+3a,−1<x≤a，由此能求出函数f(x)的最小值．(3)当a>0，且任意x≥1有f(x+a)−f(1+a)≥15a2lnx，即对任意x≥1有(x+a)3+3x−15a2lnx−(a+1)3−3≥0.设g(x)=(x+a)3+3x−15a2lnx−(a+1)3−3，则g(1)=0，设，则0'/>，由此利用导数性质能求出结果．本题考查切线方程、函数的最小值、实数的取值范围的求法，考查导数的几何意义、导数性质、函数最值、函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】(Ⅰ)解：对于数列{a n}，a n+m=a n⋅a m=53×(5×3n+m−1)≠a n，所以{a n}不是指数型数列．对于数列{b n}，对任意n，m∈N∗，因为b n+m=4n+m=4n⋅4m=b n⋅b m，所以{b n}是指数型数列．(Ⅱ)证明：由题意，{1a n+1}，是“指数型数列”，a n=2a n a n+1+3a n+1，⇒1a n+1=3a n+2⇒1a n+1+1=3(1a n+1)，所以数列{1a n +1}是等比数列，1a n+1=(1a n+1)×3n−1=3n，(1 a n +1)(1a m+1)=3n⋅3m=3m+n=(1a n+m+1)，数列{1a n+1}是“指数型数列”．(Ⅲ)证明：因为数列{a n}是指数数列，故对于任意的n，m∈N∗，有a n+m=a n⋅a m，⇒a n+1=a n⋅a1⇒a n=a1n=(a+1a+2)n，假设数列{a n}中存在三项a u，a v，a w构成等差数列，不妨设u<v<w，则由2a v=a u+a w，得2(a+1a+2)v=(a+1a+2)u+(a+1a+2)w，所以2(a+2)w−v(a+1)v−u=(a+2)w−u+(a+1)w−u，当t为偶数时，2(a+2)w−v(a+1)v−u是偶数，而(a+2)w−u是偶数，(a+1)w−u是奇数，故2(a+2)w−v(a+1)v−u=(a+2)w−u+(a+1)w−u不能成立；当t为奇数时，2(a+2)w−v(a+1)v−u是偶数，而(a+2)w−u是奇数，(a+1)w−u是偶数，故2(a+2)w−v(a+1)v−u=(a+2)w−u+(a+1)w−u也不能成立．所以，对任意a∈N∗，2(a+2)w−v(a+1)v−u=(a+2)w−u+(a+1)w−u不能成立，即数列{a n }的任意三项都不成构成等差数列．【解析】(Ⅰ)利用指数数列的定义，判断即可；(Ⅱ)利用a 1=12，a n =2a n a n+1+3a n+1(n ∈N ∗)，说明数列{1a n +1}是等比数列，然后证明数列{1a n +1}为“指数型数列”； (Ⅲ)利用反证法，结合n 为偶数以及奇数进行证明即可．本题考查指数数列的定义，考查反证法的运用，正确理解与运用新定义是关键． 21.【答案】解：设A −1=[a b c d ]，∵AA −1=[1001]，∴{c =1d =02a +3c =02b +3d =1，即{ a =−32b =12c =1d =0， ∴A −1=[−321210]， ∴A −1B =[−52420]．【解析】根据矩阵乘法法则计算．本题考查了矩阵乘法计算，属于基础题．22.【答案】解：∵f(λ)=∣∣∣λ−1−21λ−4∣∣∣=λ2−5λ+6， 由f(λ)=0，解得λ=2或3．当λ=2时，对应的一个特征向量为α1=[12]；当λ=3时，对应的一个特征向量为α2=[11]．设[35]=m[12]+n[11]，解得{m =2n =1． ∴A 5a ⃗=2×25[12]+1×35[11]=[371307]．【解析】令f(λ)=∣∣∣λ−1−21λ−4∣∣∣=λ2−5λ+6=0，解得λ=2或3.分别对应的一个特征向量为[12]；[11].设[35]=m[12]+n[11].解得m ，n ，即可得出．本题考查了矩阵与变换、特征向量，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 23.【答案】解：因为PA ⊥PD ，PA ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点AD 为x 轴，AB 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，不妨设AD =1，则各点坐标为A(0,0，0)B(0，2，0)，C(1,1，0)，D(1,0，0)，P(0,0，1)，M(0,1，12)(1)因AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1,0),PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2,−1)， 故|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√2,|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√5,AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2，所以cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗>=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC |⋅|PB |=√105． (2)由题得：平面PMC 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗⃗=(x 1,y 1,z 1)，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,−12),PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,−1,1)所以{n 1⃗⃗⃗⃗⃗⋅PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=y 1−z 12=0n 1⃗⃗⃗⃗⃗⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−x 1−y 1+z 1=0解得：n 1⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1,2)同理设平面AMC 的法向量为n 2⃗⃗⃗⃗⃗=(x 2,y 2,z 2)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,12),AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1,0)所以{n 2⃗⃗⃗⃗⃗⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=y 2+z 22=0n 2⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=x 2+y 2=0解得：n 2⃗⃗⃗⃗⃗=(1,−1,2)故cos <n 1⃗⃗⃗⃗⃗,n 2⃗⃗⃗⃗⃗>=n 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=23， 即所求锐二面角的余弦值为23．【解析】(1)分别求出两条直线所在的向量，利用向量的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为两条直线的夹角．(2)根据题意分别求出两个平面的法向量，利用向量的有关运算求出两个向量的夹角的余弦值，然后再转化为二面角的平面角的余弦值．解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，有利于建立空间直角坐标系，利用向量的有关运算解决空间角与空间距离等问题．24.【答案】解：(1)分别以AB ，AC ，AA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．则A(0,0，0)，B(2,0，0)，C(0,4，0)，A 1(0,0，2)，B 1(2,0，2)，C 1(0,4，2)，…(2分)当λ=1时，D 为BC 的中点，∴D(1,2，0)，DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,−2,2)，A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,4，0)，A 1D⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,2，−2)， 设平面A 1C 1D 的法向量为n⃗⃗=(x,y ，z)， 则{n ⃗⃗⋅A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4y =0n ⃗⃗⋅A 1D⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=x +2y −2z =0，取x =2， 得n⃗⃗=(2,0，1)， 又cos <DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,n ⃗⃗>=DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗|DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|n ⃗⃗|=43√5=4√515， ∴直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值为4√515.…(6分) (2)∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λDC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，∴D(2λ+1,4λλ+1,0)， ∴A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,4，0)，A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2λ+1,4λλ+1,−2)，设平面A 1C 1D 的法向量为n⃗⃗=(x,y ，z)， 则{n ⃗⃗⋅A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4y =0n ⃗⃗⋅A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2λ+1x +4λλ+1y −2z =0，取z =1，得n⃗⃗=(λ+1,0，1).…(8分) 又平面A 1B 1C 1的一个法向量为m⃗⃗⃗=(0,0，1)， ∵二面角B 1−A 1C 1−D 的大小为60°，∴|cos <m ⃗⃗⃗,n ⃗⃗>|=|m ⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗⃗|⋅|n ⃗⃗||=√(λ+1)2+1=12， 解得λ=√3−1或λ=−√3−1(不合题意，舍去)，∴实数λ的值为√3−1.…(10分)【解析】(1)分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值．(2)求出平面A1C1D的法向量和平面A1B1C1的一个法向量，利用向量法能求出实数λ的值．本题考查线面角的正弦值的求法，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．。
江苏省淮安市淮阴中学2019-2020学年高三期中数学试题(教师版)
2020届高三11月联合调研测试数学I 理科―、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡．．．上． 1.全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,3,4}A =，{3,5}B =，则()C A B =_______.【答案】{1,2,4,5} 【解析】 【分析】根据集合的基本运算，先求出A∩B，再求其补集即可．【详解】∵全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，3,4}，B ＝{3，5}，∴A∩B＝{3}， 则∁U （A∩B）＝{1，2，4，5}， 故答案为：{1，2，4，5}．【点睛】本题主要考查了集合的交集和补集的基本运算，属于基础题． 2.已知向量(2,)a m =，(1,2)b =-，且a b ⊥，则实数m 的值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据a b ⊥即可得出220a b m ⋅=-=，从而求出m 的值．详解】解：∵a b ⊥； ∴220a b m ⋅=-=； ∴m ＝1．故答案为：1． 【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算．3.函数ln(1)y x =++的定义域为________． 【答案】(1,2)- 【解析】分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域． 【详解】解：要使函数f （x ）有意义，则1020x x +⎧⎨-⎩＞＞，即12x x -⎧⎨<⎩＞， 解得12x -<<，故函数的定义域为(1,2)-， 故答案为：(1,2)-【点睛】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件． 4.已知单位向量a ，b 的夹角为120，则|2|a b -的值是________．【解析】 【分析】直接利用向量的模以及向量的数量积求解即可． 【详解】解：单位向量a b ，的夹角为120°， 则22124414a b a a b b -=-⋅+=+⨯=【点睛】本题考查向量的数量积以及向量的模的求法，考查转化思想以及计算能力．5.已知等比数列{}n a 满足2124a a +=，235a a =，则该数列的前5项的和为______________.【答案】31 【解析】设11n n a a q-=，235a a =可化为24411a q a q =，得11a =，21422a a =-=，212a q a ==， 55(1)311q q S q-==-6.“a b >”是“22a b >”的________条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”和“既不充分也不必要”） 【答案】充要 【解析】 【分析】由指数函数的单调性结合充分必要条件的判定得答案． 【详解】解：由a ＞b ，利用指数函数的单调性可得2a ＞2b ， 反之，由2a＞2b，可得a ＞b ． ∴“a ＞b ”是“2a ＞2b ”的充要条件． 故答案为：充要．【点睛】本题考查指数函数的单调性，考查充要条件的判定，是基础题．7.设函数()()(sin ,,f x A x A ωϕωϕ=+为参数，且)0,0,0A ωϕπ>><<的部分图象如图所示，则ϕ的值为______.【答案】3π 【解析】 【分析】根据图象首先求得()f x 最小正周期2T ππω==，从而解得2ω=；代入712f A π⎛⎫=-⎪⎝⎭可得到23k πϕπ=+，结合0ϕπ<<即可求得结果.【详解】由图象可得()f x 最小正周期：473126T πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，即2ππω= 2ω∴=又77sin 126f A A ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 73262k ππϕπ∴+=+，k Z ∈ 23k πϕπ∴=+，k Z ∈又0ϕπ<< 3πϕ∴=本题正确结果：3π 【点睛】本题考查根据三角函数图象求解函数解析式的问题，关键是能够通过整体对应的方式确定最值所对应的点，从而得到初相的取值.8.在ABC △中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么tan C =________．【答案】【解析】 【分析】由正弦定理可得a ：b ：c ＝2：3：4，不妨设a ＝2t ，b ＝3t ，c ＝4t ，则由余弦定理可求cos C ，结合范围C ∈（0，π），利用同角三角函数关系式即可求值． 【详解】解：∵sin A ：sin B ：sin C ＝2：3：4， ∴由正弦定理可得：a ：b ：c ＝2：3：4，∴不妨设a ＝2t ，b ＝3t ，c ＝4t ，则cos C 2222224916122234a b c t t t ab t t +-+-===-⨯⨯，∵C ∈（0，π）∴tan C ==故答案为：【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查了比例的性质，同角的三角函数基本关系式的应用，属中档题． 9.已知函数()|4|f x x x =-，则不等式(2)(2)f x f ≤的解集为________．【答案】{|1}x x ≤+【解析】 【分析】可由f （2x ）≤f （2）得出x |x ﹣2|≤1，从而得到2212x x x ⎧-≤⎨≥⎩或2212x x x ⎧-≤⎨⎩＜，解不等式组即可得出原不等式的解集．【详解】解：∵f （x ）＝x |x ﹣4|，∴由f （2x ）≤f （2）得，2x |2x ﹣4|≤4， ∴x |x ﹣2|≤1，∴2212x x x ⎧-≤⎨≥⎩或2212x x x ⎧-≤⎨⎩＜，解得1x ≤，∴f （2x ）≤f （2）的解集为{|1}x x ≤．故答案为：{|1}x x ≤．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法：去绝对值号，一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．10.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对于任意的x R ∈都有()()()f x 4f x f 2+=+，()f 14=，则()()f 3f 10+的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】令2x =-，可以求得()()220f f -==，从而可得()f x 是以4为周期的函数，结合()14f =，即可求得()()310f f +的值【详解】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()()f x f x ∴=-，()()()42f x f x f +=+，令2x =-，可得()()()222f f f =-+， 则()20f -=则()()220f f -==，()()4f x f x ∴+=， ()f x ∴是以4为周期的函数， ()()()10620f f f ∴===()14f =，()()()3114f f f ∴=-==则()()310404f f +=+= 故答案为4【点睛】本题主要考查了抽象函数及其基本性质的应用，重点考查了赋值法，求得()20f =是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题能力，属于中档题。
江苏省淮安市2020届高三期中联考数学(理科)试题及参考答案
2020届高三11月联合调研测试 2019.11数学I 理科注意事项1．本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上． 3．作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚．―、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡．．．上． 1．全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,3,4}A =，{3,5}B =，则C ()U A B ⋂=________． 2．已知向量(2,)a m =，(1,2)b =-，且a b ⊥，则实数m 的值是________． 3．函数ln(1)y x =++的定义域为________． 4．已知单位向量a ，b 的夹角为120，则|2|a b -的值是________．5．已知等比数列{}n a 满足2124a a +=，235a a =，则该数列的前5项和为________．6．“a b >”是“22a b>”的________条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”和“既不充分也不必要”）7．设函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ为常数，且0A >，0ω>，0ϕπ<<）的部分图象如图所示，则ϕ的值为________．8．在ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么tan C =________． 9．已知函数()|4|f x x x =-，则不等式(2)(2)f x f ≤的解集为________．10．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对于任意的x ∈R 都有(4)()(2)f x f x f +=+，(1)4f =，则(3)(10)f f +=________．11．如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，2CD =，4BAD π∠=，若2AB AC AB AD ⋅=⋅，则AD AC ⋅=________．12．在ABC中，BC =，tan 3tan A B =，则tan 2C B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．13．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若9362S S S =+，则631S S +取得最小值时，9S 的值为________．14．已知函数()ln f x x x =，2()(12)2g x x a x a =-+++，若不等式()()f x g x ≤的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是________．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知a ，b ，c 分别是ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足22()b c a bc -=-． （1）求角A 的大小；（2）若3a =，sin 2sin C B =，求ABC 的面积． 16．（本小题满分14分）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点(1,0)A 和点(1,0)B -，1OC =，且AOC=x ∠，其中O 为坐标原点．（1）若34x π=，设点D 为线段OA 上的动点，求||OC OD +的最小值； （2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，向量m BC =，(1cos ,sin 2cos )n x x x =--，求m n ⋅的最小值及对应的x 值． 17．（本小题满分14分）一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，1AB =米，如图所示．小球从A 点出发以5 V 的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，经弹射器以6 V 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．设AOE θ∠=弧度，小球从A 到F 所需时间为T ．（1）试将T 表示为θ的函数()T θ，并写出定义域； （2）当θ满足什么条件时，时间T 最短． 18．（本小题满分16分）已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体；在定义域内存在实数t ，使得(2)()(2)f t f t f +=+． （1）判断()32f x x =+是否属于集合M ，并说明理由； （2）若2()lg2af x x =+属于集合M ，求实数a 的取值范围； （3）若2()2xf x bx =+，求证：对任意实数b ，都有()f x M ∈． 19．（本小题满分16分）已知函数3()3||f x x x a =+-，a ∈R ．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在2x =处的切线方程； （2）当[1,1]x ∈-时，求函数()f x 的最小值；（3）已知0a >，且任意1x ≥有2()(1)15ln f x a f a a x +-+…，求实数a 的取值范围． 20．（本小题满分16分）给定数列{}n a ，若满足1a a =（0a >且1a ≠），对于任意的*,n m ∈N ，都有m n n m a a a -=，则称数列{}n a 为“指数型数列”．（1）已知数列{}n a 的通项公式为4nn a =，试判断数列{}n a 是不是“指数型数列”；（2）已知数列{}n a 满足112a =，()*1123n n n n a a a a n +-=+∈N ，证明数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，并判断数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由； （3）若数列{}n a 是“指数型数列”，且()*112a a a a +=∈+N ，证明数列{}n a 中任意三项都不能构成等差数列．数学II （附加题）解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21．（本小题满分10分）已知矩阵0123A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2018B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求1A B -． 22．（本小题满分10分）已知矩阵1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，向量53α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，计算5A α． 23．（本小题满分10分）已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，AB CD ∥，90DAB ︒∠=，PA ⊥底面ABCD ，且112PA AD DC AB ====，M 是PB 的中点．（1）求AC 与PB 所成角的余弦值；（2）求平面AMC 与平面BMC 所成二面角（锐角）的余弦值． 24．（本小题满分10分）直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB =，4AC =，12AA =，BD DC λ=．（1）若1λ=，求直线1DB 与平面11AC D 所成角的正弦值； （2）若二面角111B AC D --的大小为60，求实数λ的值．理科参考答案1．{1,2,4,5} 2．1 3．(1,2)- 45．31 6．充要 7．3π8．9．{|1}x x ≤+ 10．4 11．12 12．2+13．3 14．ln 2104ln 216,23--⎡⎫⎪⎢⎣⎭15．解：（1）∵22()b c a bc -=-，可得：222b c a bc +-=，∴由余弦定理可得：2221cos 222b c a br A bc bc +-==-, 又∵(0,)A π∈，∴3A π=；（2）由sin 2sin C B =及正弦定理可得2c b =，∵3a =，3A π=，∴由余弦定理可得2222222cos 3a b c bc A b c bc b =+-=+-=，∴解得：b =c =，∴11sin 2222ABCSbc A ==⨯=16．解：（I ）设(,0)(01)D t t ≤≤，又22C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭所以,22OC OD t ⎛+=-+ ⎝⎭所以22211||122OC OD t t +=-++=-+ 21(01)22t t ⎛=-+≤≤ ⎝⎭所以当2t =时，||OC OD +最小值为2． （II ）由题意得(cos ,sin )C x x ，(cos 1,sin )m BC x x ==+则221cos sin 2sin cos 1cos2sin 2m n x x x x x x ⋅=-+-=--124x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52444x πππ≤+≤ 所以当242x ππ+=时，即8x π=时，sin 24x π⎛⎫+⎪⎝⎭取得最大值1所以8x π=时，1224m n x π⎛⎫⋅=-+ ⎪⎝⎭取得最小值1-所以m n ⋅的最小值为1-8x π=17．试题解析：解：（1）过O 作OG BC ⊥于G ，则1OG =，1sin sin OG OF θθ==，11sin EF θ=+，AB θ=． 所以11()5656sin 6AE EF T v v v v v θθθ=+=++，3,44ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． （2）11()56sin 6T vv vθθθ=++， 22221cos 6sin 5cos (2cos 3)(3cos 2)()56sin 30sin 30sin T v v v v θθθθθθθθθ'-+-=-==-．记02cos 3θ=，03,44ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故当2cos 3θ=时，时间T 最短． 18．解：（1）当()32f x x =+时，方程(2)()(2)38310f t f t f t t +=+⇔+=+此方程无解，所以不存在实数t ，使得(2)()(2)f t f t f +=+， 故()32f x x =+不属于集合M ﹒ （2）由2()lg 2af x x =+，属于集合M ，可得 方程22lglg lg (2)226a a ax x =++++有实解()22(2)262a x x ⎡⎤⇔++=+⎣⎦有实解2(6)46(2)0a x ax a ⇔-++-=有实解，若6a =时，上述方程有实解；若6a ≠时，有21624(6)(2)0a a a ∆=---≥，解得1212a -≤≤+，故所求a 的取值范围是[12-+．（3）当2()2xf x bx =+时，方程(2)()(2)f x f x f +=+⇔2222(2)24432440x x x b x bx b bx -++=+++⇔⨯+-=，令()3244xg x bx =⨯+-，则()g x 在R 上的图像是连续的，当0b ≥时，(0)10g =-<，(1)240g b =+>，故()g x 在(0,1)内至少有一个零点当0b <时，(0)10g =-<，11320b g b ⎛⎫=⨯> ⎪⎝⎭，故()g x 在1,0b ⎛⎫⎪⎝⎭内至少有一个零点故对任意的实数b ，()g x 在R 上都有零点，即方程(2)()(2)f x f x f +=+总有解， 所以对任意实数b ，都有()f x M ∈．19．解：（1）当1x >时，3()33f x x x =+-，(2)11f =．由2()33f x x '=+，得(2)15f '=．所以()y f x =在2x =处的切线方程为15(2)11y x =-+即15190x y --=． （2）①当1a ≤-时，得3()33f x x x a =+-，因为2()330f x x '=+>， 所以()f x 在[1,1]-单调递增，所以min ()(1)43f x f a =-=--． ②当1a ≥时，得3()33f x x x a =-+，因为2()330f x x '=-≤， 所以()f x 在[1,1]-单调递减，所以min ()(1)23f x f a ==-+．③当11a -<<时，3333,1,()33,1,x x a a x f x x x a x a ⎧+-<<=⎨-+-<≤⎩由①②知：函数()f x 在(1,)a -单调递减，(,1)a 单调递增，所以3min ()()f x f a a ==，综上，当1a ≤-，min ()43f x a =--；当11a -<<时，3min ()f x a =；当1a ≥时，min ()23f x a =-+．（3）当0a >，且任意1x ≥有2()(1)15ln f x a f a a x +-+≥， 即对任意1x ≥有323()315ln (1)30x a x a x a ++--+-≥． 设323()()315ln (1)3g x x a x a x a =++--+-，则(1)0g =，2215()3()3a g x x a x'=++-．设2215()()3()3a h x g x x a x'==++-，因为0a >，1x ≥，所以2215()6()0a h x x a x'=++>，所以()h x 在[1,)+∞单调递增，所以()(1)h x h ≥，即22()(1)3(1)315(1)(21)g x g a a a a ''≥=++-=--+， ①当(1)0g '≥即01a <≤时，所以()0g x '≥恒成立，所以()g x 在[1,)+∞单调递增，此时()(1)0g x g ≥=，满足题意． ②当(1)0g '<即1a >时，因为2()121533(1)(41)0g a a a a a '=-+=-->，且()g x '在[1,)+∞单调递增，所以存在唯一的01x >，使得()00g x '=，因此当01x x <<时()0g x '<；当0x x >时()0g x '>；所以()g x 在()01,x 单调递减，()0,x +∞单调递增． 所以()0(1)0g x g <=，不满足题意． 综上，01a <≤．20．解：（1）数列{}n a ，444n mn m n m n m b b b -+==⨯=，所以数列{}n b 是“指数型数列” （2）数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是“指数坚数列”11111311232131n n n n n n n n a a a a a a a a +-+-⎛⎫=+⇒=+⇒+=+ ⎪⎝⎭， 所以11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列， 11111133n n n a a -⎛⎫+=+⨯= ⎪⎝⎭，111113331m n n m n n n m a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫++===+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是“指数型数列” （III ）若数列{}n a 是“指数型数列”，由定义得：11112nn n mn m n n n a a a a a a a a a a --+⎛⎫=⇒=⇒== ⎪+⎝⎭假设数列{}n a 中存在三项s a ，t a ，u a 成等差数列，不妨设s t u <<则2t s u a a a =+，得：11122222t s ut s u a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⇒=+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理得：2(1)(2)(2)(1)t su s u s u s a a a a ----++=+++（*）若a 为偶数时，右边为偶数，(1)u sa -+为奇数，则左边为奇数，（*）不成立；若a 为奇数时，右边为偶数，(2)u sa -+为奇数，则左边为奇数，（*）不成立；所以，对任意的*a ∈N ，（*）式不成立．数学II （附加题）21．解：∴1312210A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，∴154220A B -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦22．已知矩阵1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，向量53α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，计算5A α． 解：因为212()5614f λλλλλ--==-+-，由()0f λ=，得2λ=或3λ=．当2λ=时，对应的一个特征向量为121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； 当3λ=时，对应的一个特征向量为211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． 设521311m n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解得2,1.m n =⎧⎨=⎩所以55521371221311307A α⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． 23．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(1,0,0)D ，(0,0,1)P ，(0,2,0)B ，(1,1,0)C ，10,1,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （2）因(1,1,0)AC =，(0,2,1)PB =-，∴||2AC =，||5PB =，2AC PB ⋅=，∴10cos ,||||AC PB AC PB AC PB ⋅<>==⋅． （3）设平面AMC 的一个法向量为()111,,n x y z =， 则1n AM ⊥，∴()11111111,,0,1,022n AM x y z y z ⎛⎫⋅=⋅=+= ⎪⎝⎭，又1n AC ⊥，∴()111111,,(1,1,0)0n AC x y z x y ⋅=⋅=+=， 取11x =，得11y =-，12z =，故1(1,1,2)n =-． 同理可得面BMC 的一个法向量为2(1,1,2)n =． ∵1212122cos ,3||||6n n n n n n ⋅<>===，∴平面AMC 与平面BMC 所成二面角（锐角）的余弦值为23． 24．解：分别以AB ，AC ，1AA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,4,0)C ，1(0,0,2)A ，1(2,0,2)B ，1(0,4,2)C（1）当1λ=时，D 为BC 的中点，所以(1,2,0)D ，1(1,2,2)DB =-，11(0,4,0)AC =，1(1,2,2)AD =-，设平面11AC D 的法向量为1(,,)n x y z =则4020y x z =⎧⎨-=⎩，所以取1(2,0,1)n =，又111111cos ,||||3DB n DB n DB n ⋅<>=== 所以直线1DB 与11AC D （2）∵BD DC λ=，∴24,,011D λλλ⎛⎫⎪++⎝⎭，∴11(0,4,0)AC =，124,,211A D λλλ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 设平面11AC D 的法向量为1(,,)n x y z =，则402201y x z λ=⎧⎪⎨-=⎪+⎩， 所以取1(1,0,1)n λ=+．又平面111A B C 的一个法向量为2(0,0,1)n =，由题意得121|cos ,|2n n <>=，12=，解得1λ=-或1λ=（不合题意，舍去）， 所以实数λ1-．。
江苏省淮阴中学教育集团2019-2020学年度第二学期九年级期中测试数学试卷(PDF版无答案)
18．（7
分）先化简：
2a 2 a1
(a
1)
a
a2 1 2 2a
1
，再在﹣1≤aa 的值代入求值．
2x 7 3( x 1)
19．（8
分）解不等式组
5
1(x 2
4)
x
，并将解集在数轴上表示出来，并写出最小整
（2）当∠ABD＝60°，AD＝ 2 3 时，求∠EDB 的正切值．
23．（10 分）某单位在疫情期间用 3000 元购进 A、B 两种口罩 1100 个，购买 A 种口罩与 购买 B 种口罩的费用相同，且 A 种口罩的单价是 B 种口罩单价的 1.2 倍； （1）求 A，B 两种口罩的单价各是多少元？ （2）若计划用不超过 7000 元的资金再次购进 A、B 两种口罩共 2600 个，已知 A、B 两种口罩的进价不变，求 A 种口罩最多能购进多少个？
知 BO＝4，S 菱形 ABCD＝24，则 AH＝（ ▲ ）
A．5
B．9.6
C．6
D．4.8
（第 8 题图）
（第 12 题图）
（第 13 题图）
二、填空题:（本大题共 8 小题，共 24 分,请将答案填写在答题卡上）
9．如果分式
x
1
2
在实数范围内有意义，那么
x
的取值范围是
▲
．
10． 25 的结果是 ▲ ．
B．8×10﹣7
C．80×10﹣9
D．0.8×10﹣7
3．与 2+ 5 最接近的整数是（ ▲ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
淮安市淮阴中学2020届高三期中数学试题卷附答案解析
淮安市淮阴中学2020届高三期中数学试题一、填空题1．全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,3,4}A =，{}3,5B =，则()C AB =_______.2．已知向量(2,)a m =，(1,2)b =-，且a b ⊥，则实数m 的值是________． 3．函数ln(1)y x =++的定义域为________． 4．已知单位向量a ，b 的夹角为120，则|2|a b -的值是________．5．已知等比数列 满足 ， ，则该数列的前5项的和为______________. 6．“a b >”是“22a b >”的________条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”和“既不充分也不必要”） 7．设函数()()(sin ,,f x A x A ωϕωϕ=+为参数，且)0,0,0A ωϕπ>><<的部分图象如图所示，则ϕ的值为______.8．在ABC △中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么tan C =________． 9．已知函数()|4|f x x x =-，则不等式(2)(2)f x f ≤的解集为________．10．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对于任意的x R ∈都有()()()f x 4f x f 2+=+，()f 14=，则()()f 3f 10+的值为______．11．如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，2CD =，4BAD π∠=，若2AB AC AB AD ⋅=⋅，则AD AC ⋅=________．12．在ABC △中，BC =，tan 3tan A B =，则tan 2C B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．13．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若9362S S S =+，则631S S +取得最小值时，9S 的值为_______．14．已知函数()ln f x x x =，2()(12)2g x x a x a =-+++，若不等式()()f x g x ≤的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是_______． 二、解答题15．已知a ，b ，c 分别是ABC △内角A ，B ，C 的对边，且满足()22a bc b c -=-． （1）求角A 的大小；（2）若a=3，sinc=2sinB ，求ABC 的面积．16．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点(1,0)A 和点(1,0)B -，1OC =，且AOC=x ∠，其中O 为坐标原点．（1）若34x π=，设点D 为线段OA 上的动点，求||OC OD +uuu r uuu r 的最小值；（2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，向量m BC =，(1cos ,sin 2cos )n x x x =--，求m n ⋅的最小值及对应的x 值．17．一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，AB 1=米，如图所示．小球从A 点出发以5 V 的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，经弹射器以6 V 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．设AOE θ∠=弧度，小球从A 到F 所需时间为T ．（1）试将T 表示为θ的函数()T θ，并写出定义域； （2）当θ满足什么条件时，时间T 最短．18．已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体；在定义域内存在实数t ，使得(2)()(2)f t f t f +=+． （1）判断()32f x x =+是否属于集合M ，并说明理由； （2）若2()lg2af x x =+属于集合M ，求实数a 的取值范围； （3）若2()2x f x bx =+，求证：对任意实数b ，都有()f x M ∈．19．已知函数3()3||f x x x a =+-，a ∈R ．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在2x =处的切线方程； （2）当[1,1]x ∈-时，求函数()f x 的最小值；（3）已知0a >，且任意1x ≥有2()(1)15ln f x a f a a x +-+…，求实数a 的取值范围．20．给定数列{}n a ，若满足1a a =（0a >且1a ≠），对于任意的*,n m ∈N ，都有m n n m a a a +=，则称数列{}n a 为“指数型数列”．（1）已知数列{}n a 的通项公式为4nn a =，试判断数列{}n a 是不是“指数型数列”；（2）已知数列{}n a 满足112a =，()*1123n n n n a a a a n +-=+∈N ，证明数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，并判断数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由； （3）若数列{}n a 是“指数型数列”，且()*112a a a a +=∈+N ，证明数列{}n a 中任意三项都不能构成等差数列．21．已知矩阵0123⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，1820⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，求1-A B ．22．已知矩阵1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，向量53α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，计算5A α．23．（本小题满分10分）已知四棱锥P —ABCD 的底面为直角梯形，AB//DC ，∠DAB=90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA=AD=DC=1，AB=2，M 是PB 的中点。
江苏省淮阴中学、姜堰中学2020届高三12月联考数学试题(WORD版)及参考答案
淮阴中学、姜堰中学2020 届高三阶段性测试数学试题（ I ） 卷2019.12注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1、本试卷共 4 页， 均为非选择题（ 第 1 题～第 20 题， 共 20 题） .本卷满分为 160 分， 考试时间为 120 分钟.考试结束后， 请将本试卷和答题卡一并交回.2、答题前， 请您务必将自己的姓名、 准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置.3、作答试题， 必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答， 在其他位置 作答一律无效.4、如需作图， 须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、填空题:本题共14小题，每小题 5 分，共计70分，把答案填写在答题卡上相应位置上1.已知集合 A ＝{1，4}， B ＝{1，3，m }，若 A ⊆ B ，则实数 m = ▲ ．2.若复数 z ＝ (2+ i )(3+ ai ) 为纯虚数（ i 为虚数单位） ， 则实数 a ＝ ▲ ．3.一组数据 4， 5， 6， 8， n 的平均数为 7， 则该组数据的方差 S 2为 ▲ ． 4.根据如图所示的伪代码， 可知输出 S 的值为 ▲ ．5.袋中装有大小相同且形状一样的四个球，四个球上分别标有“ 1”、“ 2”、“3” 、 “4” 这四个数.现从中随机选取两个球，则所选的两个球上的数字之和恰好为偶数的概率是 ▲ ．6.函数 y ＝265x x -－的定义域为 ▲ ．7.已知各项都不为0的等差数列{a n }满足 a 2 -2a 62+ a 10 ＝ 0， 则 a 6 的值为 ▲ ． 8.函数 f ( x ) (x ∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式则 ＝ ▲ ．9.当双曲线的离心率最小时， 则双曲线的两条渐近线方程为 ▲ ． 10.如图，圆柱体O 1O 2 内接于球O ，M 点为圆柱的上底面与球O 表面的一个公共点， 若，圆柱O 1O 2 的体积为V 1， 球O 的体积为V 2，则＝ ▲ ．11.已知α ∈（0，2π）且cos2＝35 ， 则= ▲ ．12.如图，已知三角形 ABC 中，AB ＝1，AC ＝ 2 ，若点 M 为线段 BC 的三等分点(靠近 B 点)，则的最小值为 ▲ ．13.在平面直角坐标系 xoy 中， 已知圆C :(x - 2)2 + (y - 2)2 ＝ 20 与 x 轴交于 A 、 B（ 点 A 在点 B 的左侧）， 圆C 的弦 MN 过点T (3，4) ，分别过 M 、 N 作圆C 的切线， 交点为 P ，则线段 AP 的最小值为 ▲ ．14.已知实数 x 1， x 2 满足 x 11x e ＝ e3 ， x 2(ln x 2 - 2) ＝ e 5， 则 x 1x 2 ＝ ▲ ．二、 解答题:本大题共 6 小题， 共计 90 分， 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.15.(本小题满分 14 分)已知向量 a ＝ (1，2) ， b ＝ (sin α，cos α-2sin α)(1)若α＝ π时， 求 a 与 a + b 夹角的余弦值；(2)当α ∈(0，2π) 且 a ⊥ b 时， 若sin β ＝35，β ∈（2π，π）， 求cos(β -α) 的值.16.(本小题满分 14 分)如图，四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD //BC ，AB ⊥AD ，AD ＝2BC ，M 点在线段PD上，且满足MD ＝2PM（1）求证：AB ⊥PD ;（2）求证：PB //平面MAC .17.(本小题满分 14 分)如图，已知扇形OMN 是一个观光区的平面示意图，其中扇形半径为10米，∠MON ＝3π，为了便于游客观光和旅游，提出以下两种设计方案： （1）如图1，拟在观光区内规划一条三角形ABO 形状的道路，道路的一个顶点B 在弧MN 上，另一顶点A 在半径OM 上，且AB //ON ，求∆ABO 周长的最大值；（2）如图2，拟在观光区内规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃ABC 的一个顶点B 在弧MN 上，另两个顶点A 、C 在半径OM 、ON 上，且AB //ON ，AC ⊥ON ，求花圃∆ABC 面积的最大值.18.(本小题满分16分)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，点M (2，1)在椭圆上，O 为坐标原点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知A 、B 为椭圆上不同的两点.①设线段AB 的中点为点T ，证明：直线AB 、OT 的斜率之积为定值； ②若A 、B 两点满足，当∆OAB 的面积最大时，求λ的值.19.(本小题满分16分) 已知函数。
2019-2020学年江苏省淮安市淮阴中学高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年江苏省淮安市淮阴中学高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知A(0, −1)，B(0, 3)，则|AB →|＝（ ） A.2 B.√10 C.4 D.2√102. sin 750∘的值为（ ） A.−√32B.√32C.−12D.123. 已知幂函数f(x)的图象过点(2, 16)，则f(3)＝（ ） A.27 B.81 C.12 D.44. 已知角α的终边经过点p(−2, 4)，则sin α−cos α的值等于（ ） A.3√55 B.−3√35C.15D.−2√335. 下列函数中，即不是奇函数也不是偶函数的是（ ） A.f(x)=|x| B.f(x)=√x −1+√1−x C.f(x)=2x −2−xD.f(x)=tan x6. 将函数y ＝sin 2x 的图象沿x 轴向右平移π6个单位，得到函数y ＝f(x)的图象，则y ＝f(x)是（ ）A.y =sin (2x +π6) B.y =sin (2x +π3) C.y =sin (2x −π6) D.y =sin (2x −π3)7. 函数f(x)＝2x +log 2x −3的零点所在区间（ ） A.(0, 1) B.(1, 2)C.(2, 3)D.(3, 4)8. 函数f(x)＝x ⋅ln |x|的图象可能是( )A. B.C. D.9. 已知函数f(x)=lg(1+|x|)−11+x2，不等式f(x+2)≤f(−1)的解集是（）A.(−∞, −3]B.(−∞, −3]∪[−1, +∞)C.[−3, −1]D.[−3, +∞)10. 若2x+5y≤2−y+5−x，则有（）A.x+y≥0B.x+y≤0C.x−y≤0D.x−y≥0二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）若关于x的一元二次方程(x−2)(x−3)＝m有实数根x1，x2，且x1<x2，则下列结论中正确的说法是（）A.当m＝0时，x1＝2，x2＝3B.m>−14C.当m>0时，2<x1<x2<3D.当m>0时，x1<2<3<x2已知函数f(x)是偶函数，且f(5−x)＝f(5+x)，若g(x)＝f(x)sinπx，ℎ(x)＝f(x)cosπx，则下列说法正确的是（）A.函数y＝g(x)是偶函数B.10是函数f(x)的一个周期C.对任意的x∈R，都有g(x+5)＝g(x−5)D.函数y＝ℎ(x)的图象关于直线x＝5对称三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．）已知向量a→=(12,√32),b→=(12,−√32)，则a→⋅b→=________；a→b→的夹角为________．已知cos(α+π4)=35，且α∈(0,π4)，则sinα＝________．已知函数f(x)=cos(x2+π3)，则f(x)的最小正周期是________；f(x)的对称中心是________．函数f(x)={12x,x ≤02sin (2x +5π6),0<x <π，若方程f(x)＝a 恰有三个不同的解，记为x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围是________(5π3−1,5π3) ．四．解答题：本大题共6题，第17题10分，第18～22题每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知集合A ＝{x|x 2−7x +6<0}，B ＝{x|4−t <x <t}，R 为实数集． (Ⅰ)当t ＝4时，求A ∪B 及A ∩∁R B ； (Ⅱ)若A ∪B ＝A ，求实数t 的取值范围．已知向量a →，b →满足|a →|＝2，|b →|＝1，|a →+2b →|＝|a →−b →| （1）求a →⋅b →的值（2）求向量a →与a →−2b →夹角的余弦值已知α∈(0,π2)，β∈(π2,π)，cos 2β=−79，sin (α+β)=79． （1）求cos β的值；（2）求sin α的值．某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民．为此，当地政府决定将一扇形（如图）荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域（阴影部分）改造为景观绿地（种植各种花草）．已知该扇形OAB 的半径为200米，圆心角∠AOB =60∘，点Q 在OA 上，点M ，N 在OB 上，点P 在弧AB 上，设∠POB =θ．(1)若矩形MNPQ 是正方形，求tan θ的值；(2)为方便市民观赏绿地景观，从P 点处向OA ，OB 修建两条观赏通道PS 和PT （宽度不计），使PS ⊥OA ，PT ⊥OB ，其中PT 依PN 而建，为让市民有更多时间观赏，希望PS +PT 最长，试问：此时点P 应在何处？说明你的理由．已知向量a →=(2sin (ωx +π4)，−√3)，b →=（sin (ωx +π4)，cos (2ωx)）(ω>0)，函数(x)=a →⋅b →−1，f(x)的最小正周期为π． （1）求f(x)的单调增区间；（2）方程f(x)−2n +1＝0；在[0, 7π12]上有且只有一个解，求实数n 的取值范围；（3）是否存在实数m 满足对任意x 1∈[−1, 1]，都存在x 2∈R ，使得4x 1+4−x 1+m(2x 1−2−x 1)+1>f(x 2)成立．若存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由．已知f(e x )＝ax 2−x ，a ∈R ． （1）求f(x)的解析式；（2）求x ∈(0, 1]时，f(x)的值域；（3）设a >0，若ℎ(x)＝[f(x)+1−a]•log x e 对任意的x 1，x 2∈[e −3, e −1]，总有|ℎ(x 1)−ℎ(x 2)|≤a +13恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析2019-2020学年江苏省淮安市淮阴中学高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】B4.【答案】A5.【答案】B6.【答案】D7.【答案】B8.【答案】D9.【答案】C10.【答案】B二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）【答案】A,B,D【答案】B,C,D三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．）【答案】−12,2π3【答案】 √210【答案】4π,(2kπ+π3, 0)，k ∈Z 【答案】 (5π3−1, 5π3)．四．解答题：本大题共6题，第17题10分，第18～22题每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【答案】A ∪B ＝{x|0<x <6}，A ∩∁R B ＝{x|4≤x <6}， （2）由A ∪B ＝A ，得：B ⊆A ，①当4−t ≥t 即t ≤2时，B ＝⌀，满足题意， ②B ≠⌀时，由B ⊆A 得：{4−t <t4−t ≥1t ≤6 ，解得：2<t ≤3， 综合①②得：实数t 的取值范围为：t ≤3， 故答案为：t ≤3 【答案】∵ 向量a →，b →满足|a →|＝2，|b →|＝1，|a →+2b →|＝|a →−b →| ∴ |a →+2b →|2＝|a →−b →|2，即(a →+2b →)2＝(a →−b →)2，即|a →|2+4a →⋅b →+4|b →|2＝|a →|2−2a →⋅b →+|b →|2， 故6a →⋅b →+3＝0， 解得：a →⋅b →=−12；|a →−2b →|2=|a →|2−4a →⋅b →+4|b →|2＝7， ∴ |a →−2b →|=√7a →⋅(a →−2b →)=a →2−2a →⋅b →=2 设向量a →与a →−2b →夹角为θ，则cos θ=a →⋅(a →−2b →)|a →|⋅|a →−2b →|=2√77． 【答案】∵ cos 2β=1+cos 2β2=1+(−79)2=19⋯又∵ β∈(π2,π)，∴ cos β=−13⋯由（1）知：sin β=√1−cos 2β=√1−(−13)2=2√23⋯由α∈(0,π2)、β∈(π2,π)得(α+β)∈(π2,3π2)cos (α+β)=−√1−sin 2(α+β)=−√1−(79)2=−4√29⋯sin α＝sin (α+β−β)＝sin (α+β)cos β−cos (α+β)sin β =79×(−13)−(−4√29)×2√23=13⋯ 【答案】解：(1)在Rt △PON 中，PN =200sin θ，ON =200cos θ， 在Rt △OQM 中，QM =PN =200sin θ， OM =QMtan 60=√3=200√3sin θ3， 所以MN =ON −OM =200cos θ−200√3sin θ3，因为矩形MNPQ 是正方形，∴ MN =PN ， 所以200cos θ−200√3sin θ3=200sin θ，所以(200+200√33)sin θ=200cos θ， 所以tan θ=1+√33=3+√3=3−√32．(2)因为∠POM =θ，所以∠POQ =60∘−θ，∴ PS +PT =200sin θ+200sin (60∘−θ) =200(sin θ+√32cos θ−12sin θ)=200(12sin θ+√32cos θ)=200sin (θ+60∘)，0∘<θ<60∘． 所以θ+60∘=90∘，即θ=30∘时，PS +PT 最大，此时P 是AB ̂的中点． 【答案】函数f(x)=a →⋅b →−1＝2sin 2(ωx +π4)−√3cos (2ωx)−1 ＝sin (2ωx)−√3cos (2ωx)＝2sin (2ωx −π3)∵ f(x)的最小正周期为π，ω>0，∴ 2π2ω=π，∴ ω＝1． 那么f(x)的解析式f(x)＝2sin (2x −π3)令2kπ−π2≤2x −π3≤π2+2kπ，k ∈Z ，得kπ−π12≤x ≤kπ+5π12∴ f(x)的单调增区间为[kπ−π12, kπ+5π12]，k ∈Z ． 方程f(x)−2n +1＝0在[0, 7π12]上有且只有一个解， 转化为函数y ＝f(x)+1与函数y ＝2n 只有一个交点． ∵ x 在[0, 7π12]上，∴ −π3≤(2x −π3)≤5π6那么函数y ＝f(x)+1＝2sin (2x −π3)+1的值域为[1−√3, 3]， 结合图象可知，函数y ＝f(x)+1与函数y ＝2n 只有一个交点． 那么1−√3≤2n <1或2n ＝3， 可得1−√32≤n <12或n =32．由（1）可知f(x)＝2sin (2x −π3)∴ f(x 2)min ＝−2．实数m 满足对任意x 1∈[−1, 1]，都存在x 2∈R ， 使得4x 1+4−x 1+m(2x 1−2−x 1)+1>f(x 2)成立． 即4x 1+4−x 1+m(2x 1−2−x 1)+1>−2成立 令y =4x 1+4−x 1+m(2x 1−2−x 1)+1设2x 1−2−x 1=t ，那么4x 1+4−x 1=(2x 1−2−x 1)2+2＝t 2+2 ∵ x 1∈[−1, 1]， ∴ t ∈[−32, 32]，可得t 2+mt +5>0在t ∈[−32, 32]上成立．令g(t)＝t 2+mt +5>0， 其对称轴t =−m2 ∵ t ∈[−32, 32]上，∴ ①当−m2≤−32时，即m ≥3时，g(t)min ＝g(−32)=294−3m 2>0，解得3≤m <296；②当−32<−m 2<32，即−3<m <3时，g(t)min ＝g(−m2)=5−m 24>0，解得−3<m <3；③当32≤−m2，即m ≤−3时，g(t)min ＝g(32)=294+3m 2>0>0，解得−296<m ≤−3；综上可得，存在m ，可知m 的取值范围是(−296, 296)．【答案】设e x ＝t ，则x ＝ln t >0，所以f(t)＝a(ln t)2−ln t 所以f(x)＝a(ln x)2−ln x(x >0)；设ln x ＝m(m ≤0)，则f(x)＝g(m)＝am 2−m当a ＝0时，f(x)＝g(m)＝−m ，g(m)的值域为[0, +∞) 当a ≠0时，f(x)=g(m)=am 2−m =a(m −12a)2−14a(m ≤0)若a >0，12a >0，g(m)的值域为[0, +∞)若a <0，12a <0，g(m)在(−∞,12a ]上单调递增，在[12a ,0]上单调递减，g(m)的值域为(−∞,−14a]⋯综上，当a ≥0时f(x)的值域为[0, +∞) 当a <0时f(x)的值域为(−∞,−14a]；因为ℎ(x)=a ln x −1+(1−a)ln x对任意x 1,x 2∈[e −3,e −1]总有|ℎ(x 1)−ℎ(x 2)|≤a +13所以ℎ(x)在[e −3, e −1]满足ℎ(x)max −ℎ(x)min ≤a +13⋯ 设ln x ＝s(s ∈[−3, −1])，则ℎ(x)=r(s)=as +1−a s−1，s ∈[−3, −1]当1−a <0即a >1时r(s)在区间[−3, −1]单调递增所以r(−1)−r(−3)≤a +13，即−2−(−83a −43)≤a +13，所以a ≤35（舍）当a ＝1时，r(s)＝s −1，不符合题意 当0<a <1时，则ℎ(x)=r(s)=as +1−a s−1=a(s +1−a as)−1，s ∈[−3, −1]若√1−a a≤1即12≤a <1时，r(s)在区间[−3, −1]单调递增所以r(−1)−r(−3)≤a +13，则12≤a ≤35 若1<√1−a a<3即110<a <12时r(s)在[−3,−√1−a a]递增，在[−√1−a a,−1]递减所以{r(−√1−aa )−r(−3)≤a +13r(−√1−a a )−r(−1)≤a +13 ，得110<a <12若√1−a a≥3即0<a ≤110时r(s)在区间[−3, −1]单调递减所以r(−3)−r(−1)≤a +13，即−83a −43+2≤a +13，得111≤a <110⋯综上所述：111≤a ≤35．。
江苏省淮安市淮阴中学高三(上)期中数学试卷含答案
∴ 푥|푥−2| ≤ 1，
{ { ∴
푥2−2푥 푥 ≥2
≤ 1或
2푥−푥2 푥 <2
≤
1，解得푥
≤
2 +1，
∴ 푓(2푥) ≤ 푓(2)的解集为{푥|푥 ≤ 2 +1}．
故答案为：{푥|푥 ≤ 2 +1}
{ { 可由푓(2푥)
． ≤ 푓(2)得出푥|푥−2|
≤
1，从而得到
푥2−2푥 푥 ≥2
≤ 1或
21. 已知矩阵퐴 = [0 13]，퐵 = [2 08]，求퐴−1퐵
2
1
22. 已知矩阵퐴 = [ 1
−1
24]，向量푎 = [53]，计算퐴5푎．
23. 已知四棱锥푃−퐴퐵퐶퐷的底面为直角梯形，퐴퐵//퐷퐶，∠퐷퐴퐵 = 90°，푃퐴 ⊥ 底面
ABCD，且푃퐴 = 퐴퐷 = 퐷퐶 = 1，퐴퐵 = 2，M 是 PB 的中点． (Ⅰ)求 AC 与 PB 所成角的余弦值； (Ⅱ)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的余弦值的大小．
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19. 已知函数푓(푥) = 푥3 +3|푥−푎|，푎 ∈ 푅
(1)当푎 = 1时，求曲线푦 = 푓(푥)在푥 = 2处的切线方程；
(2)当푥 ∈ [−1,1]时，求函数푓(푥)的最小值； (3)已知푎 > 0，且任意푥 ≥ 1有푓(푥 + 푎)−푓(1 + 푎) ≥ 15푎2푙푛푥，求实数 a 的取值范
3.【答案】(−1,2)
{푥 + 1 > 0
【解析】解：依题意，
2−푥 2−푥
≠0 ≥0
，解得−1 < 푥
< 2，
所以푦 = ln(푥 + 1) + 22−푥的定义域为(−1,2)，
2019年10月江苏省淮阴中学2019～2020学年度第一学期高2021届高2018级高二月考数学试题及答案
（2）∵∠MAN=60°，∴∠MCN=120°，圆心（2,4）到直线 x+2y+m=0的距离 d=
∴
，即
，解得
18．解：（1）由题意知：
或 ，
，∴ .
所以
.由
，解得
，由
，
解得 .所以 在 上单调递增，在
上单调递减.
（2）当 时，
，即
；
当
时，
，即
；
当
时，
，即
；
当 时，
；综上所述，
.
19．解：(1)由点
16．若函数
，且在区间
上的的最大值为
，则实
数 的值为_________.
三、解答题
17．（本题满分 12分）已知圆 C经过 A（3,2），B（1,6）圆心在直线 y=2x上。
（1）求圆 C方程； （2）若直线 x+2y+m=0与圆 C相交于 M、N两点，且∠MAN=600，求 m 的值。
18．已知函数 （1）求 （2）证明：
A．
B．
平行，则 的值等于（ ）
C．3
D．-1
上所有的点均在
）
C．
D．
5．、已知函数 f(x)=x3+bx2+cx+d在区间
上是减函数，那么 b+c （ ）
A．有最大值
B．有最大值
C．有最小值
D．有最小值
6．已知点
在抛物线
直线与 相切于点 ，则
A．1
B．2
的准线上， 为 的焦点，过
的面积为（ ）
C．
4
学 中 阴 淮
江苏省淮阴中学 2019-2020学年度第一学期高二周练二
江苏省淮阴中学2019-2020学年第一学期期末考试高二数学试题(PDF版)
x3
x1
x2
2k
m
m 3
9 k2
k
y3
y1
y2
29 3k m
9 k2
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所以 9x32
y32
9
4k 2
1
k 3
2
9k2 2
m2
49 3k 2 m2
9k2 2
m2
k2
8k
1
1
2 m2
2
2
1 m2
1 2
2
2
所以，当 m
2 时，
SAOB
max
2 2
22．解：（1）由条件知 e c 5 ，由顶点到渐近线的距离 a2
为2
5
得
25 5
=
1(a
>
0, b
>
0)，离心率
e
=
√
5 2
-
顶点到渐近线的距离为
√ 25
5
)2* 求双曲线 C 的方程；
)3* 若关于 x 的不等式 f (2x) − m < 0 恒成立，求实数 m 的取值范围
)4* 设 P 是双曲线 C 上 点，A, B 两点在双曲线 C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若 A# P» =
江苏省淮阴中学 2019 ∼ 2020 学年度第一学期期末考试
高 二 数 学 312:/23