高数-导数的概念、定义及求法
大一高数知识点导数总结
大一高数知识点导数总结一、导数定义在微积分中，导数是描述函数变化率的一个概念。
对于函数y=f(x)，若x在某一点a处的微分商在极限意义下存在，则称该函数在点a处可导，并记作f'(a)或dy/dx|_(x=a)，其值为函数f(x)在点a处的导数。
二、导数基本规则1. 常数规则：若y=c（c为常数），则dy/dx=0。
2. 幂函数规则：若y=x^n（n为正整数），则dy/dx=nx^(n-1)。
3. 和差规则：若y=u(x)+v(x)，则dy/dx=u'(x)+v'(x)。
4. 积法则：若y=u(x)v(x)，则dy/dx=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)。
5. 商法则：若y=u(x)/v(x)，则dy/dx=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/v(x)^2。
6. 复合函数法则：若y=f(g(x))，则dy/dx=f'(g(x))g'(x)。
三、基本导函数表1. 常数函数f(x)=c的导函数为f'(x)=0。
2. 幂函数f(x)=x^n（n为正整数）的导函数为f'(x)=nx^(n-1)。
3. 指数函数f(x)=a^x（a>0且a≠1）的导函数为f'(x)=a^xln(a)。
4. 对数函数f(x)=logₐ(x)（a>0且a≠1）的导函数为f'(x)=1/(xln(a))。
5. 三角函数：- 正弦函数f(x)=sin(x)的导函数为f'(x)=cos(x)。
- 余弦函数f(x)=cos(x)的导函数为f'(x)=-sin(x)。
- 正切函数f(x)=tan(x)的导函数为f'(x)=sec^2(x)。
6. 反三角函数：- 反正弦函数f(x)=arcsin(x)的导函数为f'(x)=1/√(1-x^2)。
- 反余弦函数f(x)=arccos(x)的导函数为f'(x)=-1/√(1-x^2)。
大一高数求导数方法总结
大一高数求导数方法总结大一高数中比较重要的一个概念就是求导数。
求导数是高数中的一种重要技能，可以实现函数的导数的求解与形式的分析。
求导数的方法通常是用“微分法”也叫“微分算术”，主要能够解决函数的变化问题、最值问题以及曲线和问题分析等。
一、基本知识1. 数定义求导数即求函数在某点处的一阶导数。
一阶导数又叫导数，是函数变化率的大小，它表示随着某点变化，函数值变化的速率。
2. 分法微分法是求解导数的重要方法，它是指当比较函数曲线上两点坐标的极限，能够知道它们的变化率的方法。
3. 数的特征（1）函数和其导数的零点一定会相等，即函数的零点也是其导数的零点；（2）函数和其导数的极值一定相等，即函数的极值也是其导数的极值；（3）函数和其导数的极值点一定相等，即函数的极值点也是其导数的极值点。
二、数学形式的求导1. 一元函数（1）指数函数的导数求法：对于指数函数y=a^x（a>0），一阶导数为：f(x)=a^x ln a；二阶导数为：f(x)=a^x (ln a)^2。
（2）幂函数的导数求法：对于幂函数y=x^n，一阶导数为：f(x)=nx^(n-1)；二阶导数为：f(x)=n(n-1)x^(n-2)。
（3）指数函数和幂函数综合形式的导数求法：对于指数幂函数y=a^xx^n，一阶导数为：f(x)=a^xx^n(lna+nx^-1)；二阶导数为：f(x)=a^xx^n(ln a+nx^-1)^2(-x^-2)。
2. 二元函数（1）一元函数求导求法：当函数f(x,y)只含一元函数，即f(x,y)=f(x)时，只需求f(x)函数的导数。
（2）复合函数求导求法：当函数f(x,y)只含复合函数，即f(x,y)=f(u(x,y))时，只需先求u(x,y)函数的导数，再求f(u(x,y))函数的导数。
（3）参数形式求导求法：当函数f(x,y)只含参数形式，即f(x,y)=f(x+at)时，只需先求f(x)函数的导数，再求t函数的导数，最后求f(x+at)函数的导数。
高中物理课件-高数第二章-导数与微分--课件
例2．已知 f x0 存在，求
lim f x0 ah f x0 bh
h0
h
3、导数的意义
函数 y f x在点x0 处的导数f x0
是因变量 y在点x0处的变化率,它反
映了 在点x0 处因变量随自变量的变
化而变化的快慢程度。
（二）导函数
1、定义：如果函数 y f x 在开区间
四、基本求导法则与导数公式
(一)常数和基本初等函数的导数公式
1. C 0
2. x x1
3. sin x cos x
4. cos x sin x
5. ta n x sec2 x 6. cot x csc2 x
7. sec x sec x tan x 8. csc x csc x cot x
则
k0
lim xx0
f
x f x0 就是曲线C
x x0
在 M0 x0, y0 点处切线的斜率。
二、导数的定义 (一)函数在一点处的导数
1、定义：设函数 y f x在点x0的某个
邻域内有定义,当自变量 x在x0 处取得
增量 x（点 x0
时 , 相应地函数
x 仍在该邻域内）
y 取得增量
chx shx
thx
1 ch2
x
arshx 1 archx 1
1 x2
x2 1
arthx
1
1 x2
例18．求
y cos x2 sin 1 arctan thx x
的导数。
例19．
y sin nxsinn xn为常数，求y
§2-3 高阶导数
（一）二阶导数
1、定义：把 y f x 的导数叫做函数
x xx0 x0
高数-导数的概念及求导法则
解: f x
lim
f x h
f x
x hn
lim
xn
h0
h
h0
h
lim
C
1 n
x
n1
h
C
2 n
x
n
2
h
2
hn
h0
h
lim
h0
nx n1
C
2 n
x
n
2
h
hn1
nxn1
即: ( x n ) nx n1
一般地,当 n 为任意实数 时,上面的公式也成立.
( x ) lim ( x h) x
解: f x lim f x h f x lim loga x h loga x
h0
h
h0
h
lim
h0
1 x
log
a
1
h
h x
1 x
1 ln a
即:
log a x
1x x ln a
特别地: ln x 1
x
例 5. (a x ) a x ln a (a 0,a 1),(e x ) e x .
式极限存在,记为 K ,即:
K
y
lim
x0 x
lim x0
f x0 x
x
f x0
(2). 变速直线运动的瞬时速度问题
设一物体作变速直线运动，运动的位置函数
为 s s(t ) ,求在时刻 t 0的瞬时速度 V (t0 )。
在时刻 t 0 到 t0 t 的时间间隔内,平均速度
V S St0 t St0
若函数 f 在区间 I 内的每一点处都可导(若I包含 端点，则在左端点右可导，右端点处左可导）， 则称函数 f 在区间I上可导。
高数知识点总结大一导数
高数知识点总结大一导数大一导数知识点总结在大一的数学学习中，导数是一个非常重要的概念。
导数是描述函数变化率的工具，它在数学以及其他学科的应用中起着关键的作用。
本文将总结大一导数的知识点，帮助大家理解和掌握导数的概念和基本计算方法。
1. 导数的定义导数描述了函数在某一点上的变化率。
对于函数y=f(x)，在点x处的导数可以用以下极限定义表示：f'(x) = lim┬(△x→0)〖(f(x+△x)-f(x))/△x〗其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
2. 导数的几何意义导数的几何意义是函数在某一点的切线斜率。
在图像上，切线的斜率等于函数导数的值。
3. 导数的基本性质导数具有以下基本性质：- 常数函数的导数为零：如果f(x)=c，那么f'(x)=0，其中c是一个常数。
- 幂函数的导数：对于幂函数f(x)=x^n，其中n是正整数，导数为f'(x)=n*x^(n-1)。
- e^x和ln(x)的导数：e^x的导数为e^x，ln(x)的导数为1/x。
- 三角函数的导数：sin(x)的导数为cos(x)，cos(x)的导数为-sin(x)，tan(x)的导数为sec^2(x)。
- 导数的加法和乘法：(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)，(f*g)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
4. 链式法则链式法则是计算复合函数导数的重要工具。
对于复合函数y=f(g(x))，其导数可以用链式法则表示：(dy)/(dx) = (dy)/(dg) * (dg)/(dx)其中(dy)/(dg)表示f对g的导数，(dg)/(dx)表示g对x的导数。
5. 高阶导数高阶导数是指导数的导数。
对于函数f(x)，如果f的导数f'(x)存在导数，那么f的二阶导数表示为f''(x)，可以通过f''(x) = (f')'(x)来计算。
大一高数笔记导数知识点
大一高数笔记导数知识点导数（Derivative）是微积分学中的重要概念之一，用于描述函数在某一点的变化率。
在大一高数课程中，导数是一个重要的知识点。
本篇文章将详细介绍导数的概念、求导规则以及一些常见的导数函数。
一、导数的概念导数描述了函数在某一点的瞬时变化率，具体地，对于函数f(x)，其在x点处的导数表示为f'(x)或df(x)/dx，即导数等于函数关于自变量x的变化率。
若导数存在，则说明函数在该点是可导的。
导数的几何意义可以理解为函数曲线在该点处的切线斜率。
二、导数的求导规则求导是计算导数的过程，在高数中，我们可以利用一些规则来求导。
下面是常见的求导规则：1. 常数规则：对于常数c，其导数为0，即d/dx(c) = 0。
2. 幂函数规则：对于幂函数f(x) = x^n，其中n为常数，其导数为d/dx(x^n) = nx^(n-1)。
3. 指数函数规则：对于指数函数f(x) = e^x，其导数为d/dx(e^x) = e^x，即指数函数的导数等于其本身。
4. 对数函数规则：对于对数函数f(x) = ln(x)，其导数为d/dx(ln(x)) = 1/x，即对数函数的导数等于自变量的倒数。
5. 和差法则：对于两个函数f(x)和g(x)，其导数之和等于各自的导数之和，即d/dx(f(x) +/- g(x)) = d/dx(f(x)) +/- d/dx(g(x))。
6. 乘法法则：对于两个函数f(x)和g(x)，其导数的乘积等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即d/dx(f(x) * g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
7. 商法则：对于两个函数f(x)和g(x)，其导数的商等于分子函数的导数乘以分母函数减去分子函数乘以分母函数的导数，再除以分母函数的平方，即d/dx(f(x) / g(x)) = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) /g^2(x)。
高数6导数定义、四算
在物理学中，速度可以看作是位移函数对时间的导数，即切线斜率表示了物体在某一时刻的瞬时速度 。
导数定义及表示方法
导数的定义
导数表示函数在某一点的变化率，即函数值的增量与自变量的增量的比值在自 变量增量趋于0时的极限。
导数的表示方法
导数通常用符号f'(x)或y'表示，表示函数f(x)或y=f(x)在x处的导数。同时，导数 也可以通过极限公式、导数表或求导法则来计算和表示。
03
导数运算法则的适用条件
在使用导数四则运算法则时，需要注意其适用条件。只有 当各个函数在相应点处都可导时，才能使用这些法则进行 求导。
拓展延伸：微分概念引入
01
微分的定义
微分是函数改变量的线性部分，即在 一个数集中，当一个数靠近时，函数 在这个数处的极限被称为函数在该处 的微分。微分的中心思想是无穷分割 ，其中微分是函数改变量的线性部分 。
瞬时速度是物体在某一时刻的速度，加速度是速度的 变化率。
瞬时速度和加速度是物理学、工程学等领域中重要的 概念，对于研究物体运动规律具有重要意义。
边际成本和边际收益问题
01
边际成本是增加一单位产量所带来的成本增量，边际
收益是增加一单位销售量所带来的收益增量。
02
利用导数可以求出企业在不同产量或销售量下的边际
高阶导数是指函数对自变量进行多次求导后得到的导数。
高阶导数可以反映函数更细微的变化特征，如凹凸性、拐点等。
对于一些复杂函数，需要利用高阶导数的计算方法来求解其导数。常用的高阶导数 计算方法包括逐次求导法、莱布尼茨公式等。
03 四则运算求导法则
加减运算求导法则
加法运算求导
若函数$u(x)$和$v(x)$在点$x$处可导，则它们的和$u(x) + v(x)$在点$x$处也可 导，且$(u + v)'(x) = u'(x) + v'(x)$。
大一高数基础导数知识点
大一高数基础导数知识点1、导数的定义导数是描述函数变化速率的概念。
对于函数f(x)，在点x处的导数f'(x)表示函数在该点的瞬时变化率。
2、导数的计算方法- 使用极限的定义来计算导数：f'(x) =lim┬(Δx→0)(f(x+Δx)−f(x))/Δx- 使用基本函数的导数规则来计算导数，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
3、常用函数的导数- 常数函数：f(x) = C，导数为f'(x) = 0- 幂函数：f(x) = x^n，导数为f'(x) = nx^(n-1)- 指数函数：f(x) = a^x，导数为f'(x) = a^x * ln(a)- 对数函数：f(x) = log_a(x)，导数为f'(x) = 1/(x *ln(a))- 三角函数：sin(x)的导数是cos(x)，cos(x)的导数是-sin(x)，tan(x)的导数是sec^2(x)等4、导数的基本性质- 导数的和差规则：(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)- 导数的乘法规则：(f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)- 导数的链式法则：(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)5、高阶导数高阶导数是指对一个函数进行多次求导所得到的导数。
如果计算二阶导数，可以直接对一阶导数再次求导。
6、隐函数求导当函数表达式中存在隐含变量时，需要使用隐函数求导法来计算导数。
7、导数的应用导数在实际问题中有广泛的应用，如曲线的切线方程、函数的凹凸性判断、最值问题、速度和加速度等。
8、常见的导数公式- (x^n)' = nx^(n-1) –幂函数求导法则- (sin x)' = cos x –正弦函数求导法则- (cos x)' = -sin x –余弦函数求导法则- (e^x)' = e^x –指数函数求导法则- (ln x)' = 1/x –对数函数求导法则9、导数与微分的关系微分是导数的一种应用，导数描述了函数在某一点的瞬时变化率，而微分描述了函数在整个区间上的变化情况。
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导数的概念
在学习到数的概念之前，我们先来讨论一下物理学中变速直线运动的瞬时速度的问题。
例：设一质点沿x 轴运动时，其位置x是时间t的函数，
，求质点在t0的瞬时速度？我们知道时间从t0有增量△t时，质点的位置有增量
，这就是质点在时间段△t的位移。
因此，在此段时间内质点的平均速度为：
.若质点是匀速运动的则这就是在t0的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不是质点在t0时的瞬时速度。
我们认为当时间段△t无限地接近于0时，此平均速度会无限地接近于质点t0
时的瞬时速度，即：质点在t0时的瞬时速度=
为此就产生了导数的定义，如下：
导数的定义：设函数
在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时，相应地函数有增量
，若△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为
在x0处的导数。
记为：
还可记为：
，
函数
在点x0处存在导数简称函数
在点x0处可导，否则不可导。
若函数
在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数
在区间(a,b)内可导。
这时函数
对于区间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数
的导函数。
注：导数也就是差商的极限
左、右导数
前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的概念。
若极限
存在，我们就称它为函数
在x=x0处的左导数。
若极限
存在，我们就称它为函数
在x=x0处的右导数。
注：函数
在x0处的左右导数存在且相等是函数
在x0处的可导的充分必要条件
函数的和、差求导法则
函数的和差求导法则
法则：两个可导函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数的和(差).用公式可写为：。
其中u、v为可导函数。
例题：已知
，求
解答：
例题：已知
，求
解答：
函数的积商求导法则
常数与函数的积的求导法则
法则：在求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去。
用公式可写成：例题：已知
，求
解答：
函数的积的求导法则
法则：两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数乘第二个因子，加上第一个因子乘第二个因子的导数。
用公式可写成：
例题：已知
，求
解答：
注：若是三个函数相乘，则先把其中的两个看成一项。
函数的商的求导法则
法则：两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母导数乘积减去分母导数与分子导数的乘积，在除以分母导数的平方。
用公式可写成：
例题：已知
，求
解答：
复合函数的求导法则
在学习此法则之前我们先来看一个例子!
例题：求
=?
解答：由于
，故
这个解答正确吗?
这个解答是错误的，正确的解答应该如下：
我们发生错误的原因是
是对自变量x求导，而不是对2x求导。
下面我们给出复合函数的求导法则
复合函数的求导规则
规则：两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数。
用公式表示为：
，其中u为中间变量例题：已知
，求
解答：设
,则
可分解为
,
因此
注：在以后解题中，我们可以中间步骤省去。
例题：已知
，求
解答：
反函数求导法则
根据反函数的定义，函数
为单调连续函数，则它的反函数
,它也是单调连续的.为此我们可给出反函数的求导法则，如下(我们以定理的形式给出)：定理：若
是单调连续的，且
，则它的反函数
在点x可导，且有：
注：通过此定理我们可以发现：反函数的导数等于原函数导数的倒数。
注：这里的反函数是以y为自变量的，我们没有对它作记号变换。
即：
是对y求导，
是对x求导
例题：求
的导数.
解答：此函数的反函数为
，故
则：
例题：求
的导数.
解答：此函数的反函数为
，故
则：
高阶导数
我们知道，在物理学上变速直线运动的速度v(t)是位置函数s(t)对时间t的导数，即：，而加速度a又是速度v对时间t的变化率，即速度v对时间t的导数：
，或。
这种导数的导数
叫做s对t的二阶导数。
下面我们给出它的数学定义：
定义：函数
的导数
仍然是x的函数.我们把
的导数叫做函数
的二阶导数，记作
或
，即：
或
.相应地，把
的导数
叫做函数
的一阶导数.类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数，叫做四阶导数，…，一般地(n-1)阶导数的导数叫做n阶导数.
分别记作：
，
，…，
或
，
，…，
二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。
由此可见，求高阶导数就是多次接连地求导，所以，在求高阶导数时可运用前面所学的求导方法。
例题：已知
，求
解答：因为
=a，故
=0
例题：求对数函数
的n阶导数。
解答：
，
，
，
，
一般地，可得
隐函数及其求导法则
我们知道用解析法表示函数，可以有不同的形式.若函数y可以用含自变量x的算式表示，像y=sinx，y=1+3x 等，这样的函数叫显函数.前面我们所遇到的函数大多都是显函数.
一般地，如果方程F(x,y)=0中，令x在某一区间内任取一值时，相应地总有满足此方程的y值存在，则我们就说方程F(x,y)=0在该区间上确定了x的隐函数y.把一个隐函数化成显函数的形式，叫做隐函数的显化。
注：有些隐函数并不是很容易化为显函数的，那么在求其导数时该如何呢？下面让我们来解决这个问题！
隐函数的求导
若已知F(x,y)=0，求
时，一般按下列步骤进行求解：
a)：若方程F(x,y)=0，能化为
的形式，则用前面我们所学的方法进行求导；
b)：若方程F(x,y)=0，不能化为
的形式，则是方程两边对x进行求导，并把y看成x的函数
，用复合函数求导法则进行。
例题：已知
，求
解答：此方程不易显化，故运用隐函数求导法.两边对x进行求导，
，
，故
=
注：我们对隐函数两边对x进行求导时，一定要把变量y看成x的函数，然后对其利用复合函数求导法则进行求导。
例题：求隐函数
，在x=0处的导数
解答：两边对x求导
，故
，当x=0时，y=0.故。
有些函数在求导数时，若对其直接求导有时很不方便，像对某些幂函数进行求导时，有没有一种比较直观的方法呢？下面我们再来学习一种求导的方法：对数求导法
对数求导法
对数求导的法则：根据隐函数求导的方法，对某一函数先取函数的自然对数，然后在求导。
注：此方法特别适用于幂函数的求导问题。
例题：已知
x＞0，求
此题若对其直接求导比较麻烦，我们可以先对其两边取自然对数，然后再把它看成隐函数进行求导，就比较简便些。
如下
解答：先两边取对数：
，把其看成隐函数，再两边求导
因为
，所以
例题：已知
，求
此题可用复合函数求导法则进行求导，但是比较麻烦，下面我们利用对数求导法进行求导
解答：先两边取对数
再两边求导
因为，所以。