1.1回归分析的基本思想
ˆi 样本点(xi ,yi)的残差为： e
ˆ a ˆi yi bx ˆ yi y i
例如，编号为6的女大学生，计算随机误差的效应（残差）为：
61 (0.849 165 85.712) 6.627
残差分析与残差图的定义：
在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否 线性相关，是否可以用回归模型来拟合数据。 然后，我们可以通过残差 e1 , e2 , , en 来判断模型拟合的效果，判断原始 数据中是否存在可疑数据，称为残差分析。 表1-4列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。
我们可以用下面的线性回归模型来表示： y=bx+a+e，其中a和b为模型的未知参数， e称为随机误差。
思考：产生随机误差项e的原因是什么？
随机误差e 产生的原因(可以推广到一般）： 1、影响身高y 的因素不只是体重x可能还包括遗传基因、 饮食习惯、度量误差等因素； 2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；
线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项e，因 变量y的值由自变量x和随机误差项e共同确定，即自 变量x只能解释部分y的变化。
在统计中，我们也把自变量x称为解释变量，因 变量y称为预报变量。
在回归模型中，预报变量（因变量）是解释变量 （自变量）与随机误差e共同作用的结果。
我们可以用下面的线性回归模型来表示： y=bx+a+e，其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差。
y i y 4.6 2.6 -0.4 -2.4 -4.4
2 2 2 2 2 2 ˆ ( y y ) 0 0.3 ( 0.4) ( 0.1) 0.2 0.3 i i i 1
5 2 2 2 2 2 2 ( y y ) 4.6 2.6 ( 0.4) 2.4 ( 4.4) 53.2 i i 1
的回归系数
ˆ； ˆ、b a
（２）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
ˆ 1.23, a ˆ 0.08. b
ˆ 1.23x 0.08. y
验证：回归直线过 样本点中心
使用年限为10年时，维修费用是:12.38万元
【案例1】女大学生的身高与体重
例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表
12 10 8 6
xi
14 16
yi
12 10
x
2 i
xi yi
168 160
4 2 0
0
196 256
12 14 16 18 20 22 24
18
20 22
7
5 3
324
400 484
126
100 66
620 5 18 7.4 ˆ b 1.15 2 1660 5 18
编号 身高 /cm 体重/kg 残差
1 165 48
-6.373
2 165 57
2.627
3 157 50
2.419
4 170 54
-4.618
5 175 64
1.137
6 165 61
6.627
7 155
-2.883
8 170 59
0.382
ˆ 6 y6 y ˆ6 61 (0.849 165 85.712) 6.627 e
ˆ 2、回归直线方程：y
ˆ +a ˆ = bx
求回归直线方程采用最小二乘法；
最 小 二 乘 法 ：
ˆ b
( x x)( y y) x y nx y
i 1 i i
n
n
( x x)
i 1 i
n
2
i 1 n
i
i
x
i 1
2 i
nx
2
,
ˆ ˆ y bx a
( x , y ) 称为样本点的中心，回归直线一定过样本点中心。
检测：
假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用 y （万元），有如下的统计资料。
使用年限x 维修费用y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0
若由资料知,y对x呈线性相关关系。试求：
（1）线性回归方程
ˆ a ˆ bx ˆ y
回归分析的基本思想 及初步应用
一、三维目标： 1.知识与技能目标：线性回归方程完善到线性回归模型的必要性 和方法 2.过程与方法目标：回顾复习引出课题，设计问题，引导学生解 决问题 3.情感态度与价值观：深化学生对数学意义的理解，认识数学的 科学价 值与应用价值 二、教学重点与难点 教学重点：回归模型中的数学建模思想及其应用，模型拟合 效果的分析 教学难点：从回归直线方程到回归模型的思维升级，残差变量 的解释和分析
编号
身高/cm 体重/kg
1
165 48
2
3
4
5
6
7
8
165 157 170 175 165 155 170 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报 一名身高为172cm的女大学生的体重。
1、由于问题中要求根 据身高预报体重，因此 选取身高为自变量x， 体重为因变量y．
ˆ 7.4 ( 1.15) 18 ˆ y bx a 5 6 2 28.1 x 18 y 7.4 xi 1660 xi y i 620
i 1
i 1
ˆ 1.15x 28.1 回归方程为 y
ˆi 0 yi y
0.3 -0.4 -0.1 0.2
e是用bx+a预报真实值y的随机误差，它是一个不可观测 的量，由于e=y- (bx+a),所以
ˆ a) ˆ yy ˆ 是e的估计量，称为残差。 ˆ y (bx e
对于样本点 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),, ( xn , yn )
ei yi bxi a(i 1,2,....n) 样本点(xi ,yi)的随机误差为：
2、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系， 因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。
线性回归方程： ˆ 0.849x 85.172 y
3、对于身高为172cm的女大学生，由回归方程可以预报其体重为
y 0.849 172 85.712 60.316(kg )
探究：身高为172cm的女大学生的体重一定60.316kg吗？如果不 是，你能解析一下原因吗？ 答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是60.316kg， 但一般可以认为她的体重在60.316kg左右。 3、从散点图还看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是 在一条直线上，所以不能用一次函数y=bx+a描述它们关系。
练习、在一段时间内，某种商品的价格x和需求量y之 间的一组数据如下：
价格x （元） 需求量y （件） 14 16 18 20 22
12 10
7
5
3
（1）画出数据的散点图
（2）求出y对x的回归直线方程，并计算R2
（3）你认为这个模型能较好地反映价格与需求量之间 的关系吗？请说明理由
解（1）画散点图，如图 （2）从图中可以看出样本点分布在一条 直线附近，因而两个变量间具有较好的 线性关系，故可选用线性回归方程
复习
1、两个变量的关系
不相关
函数关系 线性相关
相关关系 非线性相关
相关关系：对于两个变量，当自变量取值一定时，因 变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系。 注 1）：相关关系是一种不确定性关系,
函数关系是一种确定关系； 2）： 对具有相关关系的两个变量进行统计
分析的方法叫回归分析。
回归分析的内容与步骤：
0
异常点
-1 -2 -3 -4 -5 -6
1
2
3
4
5
6
7
8
编号
2 ( y y ) i i i 1
n
n
称为残差平方和，残差平方和越小，模型的拟合效果越好。
2 ( y y ) 称为总偏差平方和，它为确定的数，它只与样本数据有关。 i i 1
我们还可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是：
施化肥量x 水稻产量y
15
20
25 365
30
35
40
45
330 345
405 445
450 455
y
500 450 400 350
水稻产量
300
0 10
·
·
·
·
· ··
回归直线
散点图
施化肥量
20
30
40
50 x
发现：散点图中各点，从整体上看，大致分布在一 条直线附近。就称这两个变量具有线性相关关系， 这条直线叫回归直线
2 ˆ (y y ) i i i 1 10 2 (y y) i i 1 10
5
R2 1
价格解释了99.4%的需求量的变化， 0.994 因而该模型能够较好地刻画价格与需 求量的关系
课后反思：
我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差， 横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这 样作出的图形称为残差图。
几点说明：
第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是 否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线 残差图 性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。 另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较 合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的 残差 预报精度越高。 8 7 6 5 4 3 2 1
人教版A版高中数学选修1-2课后习题解答
人教版A版高中数学选修1-2课后习题解答高中数学选修1-2课后题答案第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用回归分析是一种统计分析方法，用于探究自变量与因变量之间的关系。
它的基本思想是通过建立数学模型，利用已知数据进行拟合，从而预测或解释未知数据。
回归分析的初步应用包括简单线性回归和多元线性回归。
1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用独立性检验是一种用于检验两个变量之间是否存在关联的方法。
其基本思想是通过观察两个变量之间的频数或频率分布，来判断它们是否相互独立。
独立性检验的初步应用包括卡方检验和Fisher精确检验。
第二章推理证明2.1 合情推理与演绎推理合情推理是指根据已知事实和常识，推断出可能的结论。
演绎推理是指根据已知的前提和逻辑规则，推导出必然的结论。
两种推理方法都有其适用的场合，需要根据具体情况进行选择。
2.2 直接证明与间接证明直接证明是指通过逻辑推理，直接证明所要证明的命题成立。
间接证明是指采用反证法或归谬法，证明所要证明的命题的否定不成立，从而推出所要证明的命题成立。
第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的概念数系的扩充是指在实数系的基础上引入新的数，使得一些原来不可解的方程可以得到解。
复数是指由实部和虚部组成的数，可以表示在平面直角坐标系中的点。
复数的引入扩充了数系，使得一些原本无解的方程可以得到解。
3.2 复数的代数形式的四则运算复数的代数形式是指将复数表示为实部和虚部的和的形式。
复数的四则运算包括加减乘除四种运算，可以通过对实部和虚部分别进行运算来得到结果。
第四章框图4.1 流程图流程图是一种用图形表示算法或过程的方法。
它由各种基本符号和连线构成，用于描述算法或过程的各个步骤及其执行顺序。
流程图可以帮助人们更好地理解算法或过程，从而提高效率。
4.2 结构图结构图是一种用于描述程序结构的图形表示方法。
它包括顺序结构、选择结构和循环结构三种基本结构，可以用来表示程序的控制流程。
1.1回归分析的基本思想及其初步应用53
※高二文科班数学课堂学习单53※班级 姓名 小组1.1 回归分析的基本思想及其初步应用一，学习目标:1、 理解回归分析的基本思想2、 能用线性回归思想分析简单的问题 二，自学导航：p2-p8问题一：2．某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下：次数(x ) 30 33 35 37 39 44 46 50 成绩(y )30 34 37 39 42 46 48 51(1)作出散点图；(2)求出线性回归方程；(3)作出残差图；(4)计算R 2；并说明训练的次数对成绩的影响占百分之几？ (5)试预测该运动员训练47次及55次的成绩． 解：(1)作出该运动员训练次数x 与成绩y 之间的散点图，如图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系．∴b ^＝≈1.041 5，∴a ^＝y －b ^x ＝－0.003 875，∴线性回归方程为y ^＝1.041 5x －0.003 875.(3)残差分析作残差图如图所示，由图可知， ，说明选用的模型比较合适．(4)计算相关指数R 2；并说明残差变量对成绩的影响占百分之几？计算相关指数R 2≈0.985 5.说明了 ． (5)做出预报 由上述分析可知，我们可用回归方程y ^＝1.041 5x －0.003 875作为该运动员成绩的预报值．故预测运动员训练47次和55次的成绩分别为 小结：建立回归模型的基本步骤：问题二：在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表： x 0.25 0.5 1 2 4 y1612521试建立y 与x 之间的回归方程．解：由数值表可作散点图如下图．根据散点图可知y 与x 近似地呈 函数关系，设y ＝k x ，令t ＝1x ，则y ＝kt ，原数据变为： t y1612521由置换后的数值表作散点图如下：由散点图可以看出y 与t 呈近似的 关系． 列表如下： i t i y i t i y i t 2i y 2i 1 4 16 64 16256 2 2 12 24 4 144 3 1 5 5 1 25 4 0.5 2 1 0.25 4 5 0.25 1 0.25 0.625 1 ∑ 7.753694.2521.312 5430所以t ＝1.55，y ＝7.2.所以b ^＝≈4.134 4，a ^＝ 所以y ＝ 所以y 与x 之间的回归方程是y ^＝ 。
1.1回归分析的基本思想及初步应用
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[类题通法] 求线性回归方程的步骤
(1)列表表示 xi，yi，xiyi；
(2)计算－x
－y ，
n
x2i ，
n
xiyi；
i＝1
i＝1
(3)代入公式计算^a，^b的值； (4)写出回归直线方程．
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[活学活用] 某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百 万元)之间有如下对应数据：
Hale Waihona Puke yi 100 200 210 185 155 135 170 205 235
36 39 32 22 18 25
47
xiyi 10 400
39 155
000 900 745 785 090 500
940
121 125
15 125
x ＝159.8， y ＝172，
10
10
x2i ＝265 448，xiyi＝287 640
x
14
16
18
20
22
y
12
10
7
5
3
求y关于x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的 好坏．
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解： x ＝15(14＋16＋18＋20＋22)＝18， y ＝15(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，
5
x2i ＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660，
i＝1
5
xiyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，
返回
[类题通法] 残差分析应注意的问题
利用残差分析研究两个变量间的关系时，首先要根据 散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回 归模型来拟合数据．然后通过图形来分析残差特性，用残 差^e1，^e2，…，^en 来判断原始数据中是否存在可疑数据，用 R2 来刻画模型拟合的效果．
2014年人教A版选修1-2课件 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用
例1. 从某大学中随机选取 8 名女大学生, 其身高和 体重数据如下表所示: 1 2 3 4 5 6 7 8 编号 165 165 157 170 175 165 155 170 身高 64 61 43 59 体重/kg 48 57 50 54 由最小二乘法得 求根据女大学生的身高预报体重的回归方程 , 并预报一名 n n n 1 1 身高为 172 cm 的女大学生的体重 . xi , y = yi . x = x y n x y i i n i =1 n i =1 i = 1 由身高预报体重 解: b= n ,, 则以身高为自变量 x, 体重为 2 2 得 b ≈0.849, x n x 因变量 y , 画出散点图 . i 70 i =1 a= 85.712. 60 由图看出样本点呈条状 a = y bx . 50 分布, 于是得回归直线的方程为 身高和体重有较好的 ˆ40 y = 0.849x 85.712. 30 线性相关关系. ˆ = 60.316. 20 当 x=172 时, y 10 设回归直线为 y=bx+a. 0 ∴ 预计这位大学生的体重大约 60 kg. 150 155 160 165 170 175 180
例1. 从某大学中随机选取 8 名女大学生, 其身高和 体重数据如下表所示: 编号 身高 体重/kg 1 2 3 4 5 6 7 8 165 165 157 170 175 165 155 170 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据女大学生的身高预报体重的回归方程, 并预报一名 身高为 172 cm 的女大学生的体重. 解: 由身高预报体重, 则以身高为自变量 x, 体重为 因变量 y, 画出散点图. 70 60 由图看出样本点呈条状 50 分布, 身高和体重有较好的 40 30 线性相关关系. 20 10 设回归直线为 y=bx+a. 0
1.1回归分析的基本思想及其初步应用
ˆ y
160
（2）从散点图还可以看到，样本点散布在某一条 直线的附近，而不是一条直线上，所以不能用一次 函数ｙ＝ｂｘ＋ａ来描述它们之间的关系。这时我 们用下面的线性回归模型来描述身高和体重的关系： ｙ＝ｂｘ＋ａ+ｅ其中ａ和ｂ为模型的未知参数，e ˆ 是y与 y之间的误差,通常ｅ称为随机误差。
图表标题 80 60 40 20 0 150 160 170 180
模 分 析 拟
y = f(x)
y = f(x)
1、定义： 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随
机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。 1）：相关关系是一种不确定性关系； 注 2）：对具有相关关系的两个变量进行
统计分析的方法叫回归分析。 2、现实生活中存在着大量的相关关系。
如：人的身高与年龄；产品的成本与生产数量；
建立回归模型的基本步骤：
（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变 量是预报变量;
（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察 它们之间的关系（是否存在线性关系）； 是否存在线性关系
（3）由经验确定回归方程的类型（如观察到数据呈线性关 系，则选用线性回归方程y=bx+a）； （4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘 法）； （5）得出结果后分析残差图是否异常（个别数据对应残 差过大，或残差呈现不随机的规律性等），若存在异常， 则检查数据是否有误，或模型是否合适等.
n (xi -x)(yi -y) b= i=1 ˆ = n 2 (xi -x) i=1 ˆ a=y-bx. ˆ
x y
i=1 n
n
i i 2
- nxy - nx
2
x
i=1
回归分析练习题(有答案)
回归分析练习题(有答案)1.1回归分析的基本思想及其初步应用一、选择题1.某同学由某与均值为2，数据y之间的一组数据求得两个变量间的线性回归方程为yb某a，已知：数据某的平y的平均值为3，则()A．回归直线必过点（2，3）B．回归直线一定不过点（2，3）C．点（2，3）在回归直线上方D．点（2，3）在回归直线下方2.在一次试验中，测得(某,y)的四组值分别是A(1,2),B(2,3),C(3,4),D(4,5)，则Y与某之间的回归直线方程为（）A．y某1B．y2某1某2C．yＤ．y某13.在对两个变量某，y进行线性回归分析时，有下列步骤：①对所求出的回归直线方程作出解释；②收集数据(某i、,2，i1yi），…，n；③求线性回归方程；④求未知参数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图如果根据可行性要求能够作出变量某,y具有线性相关结论，则在下列操作中正确的是（）A．①②⑤③④B．③②④⑤①C．②④③①⑤D．②⑤④③①4.下列说法中正确的是（）A．任何两个变量都具有相关关系B．人的知识与其年龄具有相关关系C．散点图中的各点是分散的没有规律D．根据散点图求得的回归直线方程都是有意义的5.给出下列结论：（1）在回归分析中，可用指数系数R的值判断模型的拟合效果，R 越大，模型的拟合效果越好；（2）在回归分析中，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越大，模型的拟合效果越好；（3）在回归分析中，可用相关系数r的值判断模型的拟合效果，r越小，模型的拟合效果越好；（4）在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．以上结论中，正确的有（）个．A．1B．2C．3D．46.已知直线回归方程为A.7.下面的各图中，散点图与相关系数r不符合的是（）22y21.5某，则变量某增加一个单位时（）D.y平均增加1.5个单位B.y平均增加2个单位C.y平均减少1.5个单位y平均减少2个单位8.一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归直线方程为据此可以预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（）A．身高一定是145.83cmB．身高超过146.00cmC．身高低于145.00cmD．身高在145.83cm左右9.在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的()(A)预报变量在某轴上，解释变量在7.19某73.93，yy轴上(B)解释变量在某轴上，预报变量在y轴上(C)可以选择两个变量中任意一个变量在某轴上(D)可以选择两个变量中任意一个变量在10.两个变量22y轴上y与某的回归模型中，通常用R2来刻画回归的效果，则正确的叙述是（）22A.R越小，残差平方和小B.R越大，残差平方和大C.R于残差平方和无关D.R越小，残差平方和大11.两个变量y与某的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果2222最好的模型是()A.模型1的相关指数R为0.98B.模型2的相关指数R为0.80C.模型3的相关指数R为0.50D.模型4的相关指数R为0.2512.在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是()A.总偏差平方和B.残差平方和C.回归平方和D.相关指数R213.工人月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归直线方程为y6090某，下列判断正确的是（）A.劳动生产率为1000元时，工资为50元B.劳动生产率提高1000元时，工资提高150元C.劳动生产率提高1000元时，工资提高90元D.劳动生产率为1000元时，工资为90元14.下列结论正确的是（）①函数关系是一种确定性关系；②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．Ａ．①②15.已知回归直线的斜率的估计值为 1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）Ａ．y1.23某4Ｂ．y1.23某5Ｃ．y1.23某0.08Ｄ．y0.08某1.23二、填空题16.在比较两个模型的拟合效果时，甲、乙两个模型的相关指数R的值分别约为0.96和0.85，则拟合效果好的模型是．17.在回归分析中残差的计算公式为．18.线性回归模型yb某ae（a和b为模型的未知参数）中，e称为．19.若一组观测值（某1,y1）（某2,y2）…（某n,yn）之间满足yi=b某i+a+ei(i=1、2.…n)若ei恒为0，则R为_____2Ｂ．①②③Ｃ．①②④Ｄ．①②③④2三、解答题20.调查某市出租车使用年限某和该年支出维修费用y（万元），得到数据如下：n(某i)(yi)）（2）由（1）中结论预测第10年所支出的维修费用．（bi1 (某i)2i1a21.以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积某的数据：（1）画出数据对应的散点图；（2）求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；（3）据（2）的结果估计当房屋面积为150m时的销售价格.（4）求第2个点的残差。
高中数学选修1-2第一章课后习题解答
新课程标准数学选修1—2第一章课后习题解答第一章统计案例1．1回归分析的基本思想及其初步应用练习（P8）1、画散点图的目的是通过变量的散点图判断两个变量更近似于什么样的函数关系，以确定是否直接用线性回归模型来拟合原始数据.说明：学生在对常用的函数图象比较了解的情况下，通过观察散点图可以判断两个变量的关系更近似于哪种函数.2、分析残差可以帮助我们解决以下两个问题：（1）寻找异常点，就是残差特别大的点，考察相应的样本数据是否有错.（2）分析残差图可以发现模型选择是否合适.说明：分析残差是回归诊断的一部分，可以帮助我们发现样本数据中的错误，分析模型选择是否合适，是否有其他变量需要加入到模型中，模型的假设是否正确等. 本题只要求学生能回答上面两点即可，主要让学生体会残差和残差图可以用于判断模型的拟合效果.3、（1）解释变量和预报变量的关系式线性函数关系.R=.（2）21说明：如果所有的样本点都在一条直线上，建立的线性回归模型一定是该直线，所以每个=+，没有随机误差项，是严样本点的残差均为0，残差平方和也为0，即此时的模型为y bx aR=.格的一次函数关系. 通过计算可得21习题1.1 （P9）1、（1）由表中数据制作的散点图如下：从散点图中可以看出GDP值与年份近似呈线性关系.y表示GDP值，t表示年份. 根据截距和斜率的最小二乘计算公式，得（2）用tˆ14292537.729a≈-，ˆ7191.969b≈从而得线性回归方程ˆ7191.96914292537.729=-.y t残差计算结果见下表.GDP 值与年份线性拟合残差表（年实际GDP 值为117251.9，所以预报与实际相差4275.540-.（4）上面建立的回归方程的20.974R =，说明年份能够解释约97％的GDP 值变化，因此所建立的模型能够很好地刻画GDP 和年份的关系.说明：关于2003年的GDP 值的来源，不同的渠道可能会有所不同.2、说明：本题的结果与具体的数据有关，所以答案不唯一.3、由表中数据得散点图如下：从散点图中可以看出，震级x 与大于或等于该震级的地震数N 之间不呈线性相关关系，随着x 的减少，所考察的地震数N 近似地以指数形式增长. 做变换lg y N =，得到的数据如下表所示.x 和y 的散点图如下：从这个散点图中可以看出x 和y 之间有很强的线性相关性，因此可以用线性回归模型拟合它们之间的关系. 根据截距和斜率的最小二乘计算公式，得ˆ 6.704a≈，ˆ0.741b ≈-， 故线性回归方程为 ˆ0.741 6.704y x =-+. 20.997R ≈，说明x 可以解释y 的99.7％的变化.因此，可以用回归方程 0.741 6.704ˆ10x N-+= 描述x 和N 之间的关系. 1．2独立性检验的基本思想及其初步应用练习（P15）列联表的条形图如图所示.由图及表直观判断，好像“成绩优秀与班级有关系”. 因为2K 的观测值0.653 6.635k ≈<，由教科书中表1-11克重，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，不能认为“成绩与班级有关系”.说明：（1）教师应要求学生画出等高条形图后，从图形上判断两个分类变量之间是否有关系. 这里通过图形的直观感觉的结果可能会出错.（2）本题与例题不同，本题计算得到的2K 的观测值比较小，所以没有理由说明“成绩优秀与班级有关系”. 这与反证法也有类似的地方，在使用反证法证明结论时，假设结论不成立的条件下如果没有推出矛盾，并不能说明结论成立也不能说明结论不成立. 在独立性检验中，没有推出小概率事件发生类似于反证法中没有推出矛盾.习题1.2 （P16）1、假设“服药与患病之间没有关系”，则2K 的值应该比较小；如果2K 的值很大，则说明很可能“服药与患病之间没有关系”. 由列联表中数据可得2K 的观测值 6.110 5.024k ≈>，而由教科书表1-11，得2( 5.024)0.025P K ≥≈，所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为“服药与患病之间有关系”. 又因为服药群体中患病的频率0.182小于没有服药群体中患病的频率0.400，所以“服药与患病之间关系”可以解释为药物对于疾病有预防作用. 因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下，可以认为药物有效.说明：仿照例1，学生很容易完成此题，但希望学生能理解独立性检验在这里的具体含义，即“服药与患病之间关系”可以解释为“药物对于疾病有预防作用”.2、如果“性别与读营养说明之间没有关系”，由题目中所给数据计算，得2K 的观测值为8.416k ≈，而由教科书中表1-11知2(7.879)0.005P K ≥≈，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“性别与读营养说明之间有关系”.3、说明：需要收集数据，所有没有统一答案. 第一步，要求学生收集并整理数据后得到列联表；第二步，类似上面的习题做出判断.4、说明：需要从媒体上收集数据，学生关心的问题不同，收集的数据会不同. 第一步，要求学生收集并整理数据后得到列联表；第二步，类似上面的习题做出判断.第一章 复习参考题A 组（P19）根据散点图，可以认为中国人口总数与年份呈现很强的线性相关关系，因此选用线性回归模型建立回归方程.由最小二乘法的计算公式，得 2095141.503a ≈-，1110.903b ≈，则线性回归方程为 ˆ1110.9032095141.503yx =-. 由2R 的计算公式，得 20.994R ≈，明线性回归模型对数据的拟合效果很好.根据回归方程，，预计2003年末中国人口总数约为129997万人，而实际情况为129227万人，预测误差为770万人；预计2004年末中国人口总数约为131108万人，而实际情况为129988万人，预测误差为1120万人.说明：数据来源为《中国统计年鉴》（2003）. 由于人数为整数，所以预测的数据经过四舍五入的取整运算.2、（1）将销售总额作为横轴，利润作为纵轴，根据表中数据绘制散点图如下：由于散点图中的样本点基本上在一个带形区域内分布，猜想销售总额与利润之间呈现线性相关关系.（2）由最小二乘法的计算公式，得 ˆ1334.5a≈，ˆ0.026b ≈， 则线性回归方程为 ˆ0.0261334.5yx =+ 其残差值计算结果见下表：（3）对于（2）中所建立的线性回归方程，20.457R ≈，说明在线性回归模型中销售总额只能解释利润变化的46％，所以线性回归模型不能很好地刻画销售总额和利润之间的关系. 说明：此题也可以建立对数模型或二次回归模型等，只要计算和分析合理，就算正确.3、由所给数据计算得2K 的观测值为 3.689k ≈，而由教科书中表1-11知2( 2.706)0.10P K ≥=所以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“婴儿的性别与出生的时间有关系”.第一章 复习参考题B 组（P19）1、因为 21(,)()ni i i Q a b y a bx ==--∑21(()())n i i i y bx y bx a y bx ==--+--+∑ 2211()()n n i i i i y bx y bx a y bx ===--++-+∑∑12()()ni i i y bx y bx a y bx =---+-+∑ 并且221()()n i a y bx n a y bx =-+=-+∑，12()()n i i i y bx y bx a y bx =--+-+∑ 1()(())ni i i a y bx y bx ny nbx ==-+--+∑ ()()0a y b x n y n b xn y n b x=-+--+= 所以 221(,)()()ni i i Q a b y bx y bx n a y bx ==--++-+∑.考察上面的等式，等号右边的求和号中不包含a ，而另外一项非负，所以ˆa和ˆb 必然使得等号右边的最后一项达到最小值，即 ˆˆ0ay bx -+=， 即ˆˆy a bx =+. 2、总偏差平方和21()n i i y y =-∑表示总的效应，即因变量的变化效应；残差平方和21ˆ()ni i y y =-∑表示随机误差的效应，即随机误差的变化效应；回归平方和21ˆ()ni yy =-∑表示表示变量的效应，即自变量的变化效应. 等式 222111ˆˆ()()()n n n i ii i i y y y y y y ===-=-+-∑∑∑ 表示因变量的变化总效应等于随机误差的变化效应与自变量的变化效应之和.3、说明：该题主要是考察学生应用回归分析模型解决实际问题的能力，解答应该包括如何获取数据，如何根据散点图寻找合适的模型去拟合数据，以及所得结果的解释三方面的内容.。
1.1回归分析的基本思想及其初步应用
1.1回归分析的基本思想及其初步应用（一）教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.教学重点：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法－相关指数和残差分析.教学难点：解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想. 教学过程： 一、复习准备：1. 提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？2. 复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收集数据→作散点图→求回归直线方程→利用方程进行预报.二、讲授新课： 1. 教学例题：① 例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：编 号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重/kg4857505464614359求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm 的女大学生的体重. （分析思路→教师演示→学生整理）第一步：作散点图第二步：求回归方程第三步：代值计算② 提问：身高为172cm 的女大学生的体重一定是60.316kg 吗？ 不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg 左右. ③ 解释线性回归模型与一次函数的不同事实上，观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重y 和身高x 之间的关系并不能用一次函数10203040506070150155160165170175180身高/cm体重/k gy bx a =+来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体重的关系）. 在数据表中身高为165cm 的3名女大学生的体重分别为48kg 、57kg 和61kg ，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165cm 的3名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果e （即残差变量或随机变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型y bx a e =++，其中残差变量e 中包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型. 因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式.2. 相关系数：相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义.3. 小结：求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同.1.1回归分析的基本思想及其初步应用（二）教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学难点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学过程： 一、复习准备：1．由例1知，预报变量（体重）的值受解释变量（身高）或随机误差的影响.2．为了刻画预报变量（体重）的变化在多大程度上与解释变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？我们引入了评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 二、讲授新课：1. 教学总偏差平方和、残差平方和、回归平方和：（1）总偏差平方和：所有单个样本值与样本均值差的平方和，即21()ni i SST y y ==-∑.残差平方和：回归值与样本值差的平方和，即21()ni i i SSE y y ==-∑.回归平方和：相应回归值与样本均值差的平方和，即21()ni i SSR y y ==-∑.（2）学习要领：①注意i y 、i y 、y 的区别；②预报变量的变化程度可以分解为由解释变量引起的变化程度与残差变量的变化程度之和，即222111()()()nnni i i i i i i y y y y y y ===-=-+-∑∑∑；③当总偏差平方和相对固定时，残差平方和越小，则回归平方和越大，此时模型的拟合效果越好；④对于多个不同的模型，我们还可以引入相关指数22121()1()nii i n ii yy R yy ==-=--∑∑来刻画回归的效果，它表示解释变量对预报变量变化的贡献率. 2R 的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合的效果越好.2. 教学例题：例2 关于x 与Y 有如下数据： x 2 4 5 6 8 y3040605070为了对x 、Y 两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型： 6.517.5y x =+，717y x =+，试比较哪一个模型拟合的效果更好.分析：既可分别求出两种模型下的总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，也可分别求出两种模型下的相关指数，然后再进行比较，从而得出结论. （答案：52211521()155110.8451000()i i i ii y y R yy ==-=-=-=-∑∑，221R =-521521()18010.821000()ii i ii yy yy ==-=-=-∑∑，84.5%＞82%，所以甲选用的模型拟合效果较好.）3. 小结：分清总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，初步了解如何评价两个不同模型拟合效果的好坏.1.1回归分析的基本思想及其初步应用（三）教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法.教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较. 教学过程： 一、复习准备：1. 给出例3：一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关，现收集了7组观测数据列于下表中，试建立y 与x 之间的回归方程.温度/x C2123 25 27 29 32 35 产卵数/y 个 711212466115325（学生描述步骤，教师演示）2. 讨论：观察右图中的散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，即两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接用线性回归方程来建立两个变量之间的关系. 二、讲授新课：1. 探究非线性回归方程的确定：① 如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以选线性回归模型来建模；如果散点图中的点分布在一个曲线状带形区域，就需选择非线性回归模型来建模.② 根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y =2C 1e x C 的周围（其中12,c c是待定的参数），故可用指数函数模型来拟合这两个变量.③ 在上式两边取对数，得21ln ln y c x c =+，再令ln z y =，则21ln z c x c =+，而z 与x 间的关系如下：X 21 23 25 27 29 32 35z1.9462.3983.045 3.1784.190 4.7455.784观察z 与x 的散点图，可以发现变换后样本点分布在一条直线的附近，因此可以用线性回归方程来拟合.④ 利用计算器算得 3.843,0.272a b =-=，z 与x 间的线性回归方程为0.272 3.843z x =-，因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为0.272 3.843x y e -=.⑤ 利用回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图→建模→确定方程”这三个步骤进行. 其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题. 2. 小结：用回归方程探究非线性回归问题的方法、步骤. 三、巩固练习：为了研究某种细菌随时间x 变化，繁殖的个数，收集数据如下：（1（2）试求出预报变量对解释变量的回归方程.（答案：所求非线性回归方程为0.69 1.112ˆy=e x +.） 1.1回归分析的基本思想及其初步应用（四）教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法，了解可用残差分析的方法，比较两种模型的拟合效果. 教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较. 教学过程： 一、复习准备：1. 提问：在例3中，观察散点图，我们选择用指数函数模型来拟合红铃虫的产卵数y 和温度x 间的关系，还可用其它函数模型来拟合吗？t 441529 625 729 841 1024 12252. 讨论：能用二次函数模型234y c x c=+来拟合上述两个变量间的关系吗？（令2t x=，则34y c t c=+，此时y与t间的关系如下：观察y与t的散点图，可以发现样本点并不分布在一条直线的周围，因此不宜用线性回归方程来拟合它，即不宜用二次曲线234y c x c=+来拟合y与x之间的关系. ）小结：也就是说，我们可以通过观察变换后的散点图来判断能否用此种模型来拟合. 事实上，除了观察散点图以外，我们也可先求出函数模型，然后利用残差分析的方法来比较模型的好坏.二、讲授新课：1. 教学残差分析：①残差：样本值与回归值的差叫残差，即i i ie y y=-.②残差分析：通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析.③残差图：以残差为横坐标，以样本编号，或身高数据，或体重估计值等为横坐标，作出的图形称为残差图. 观察残差图，如果残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高.2. 例3中的残差分析：计算两种模型下的残差一般情况下，比较两个模型的残差比较困难（某些样本点上一个模型的残差的绝对值比另一个模型的小，而另一些样本点的情况则相反），故通过比较两个模型的残差的平方和的大小来判断模型的拟合效果. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好.由于两种模型下的残差平方和分别为1450.673和15448.432，故选用指数函数模型的拟合效果远远优于选用二次函数模型. （当然，还可用相关指数刻画回归效果）3. 小结：残差分析的步骤、作用三、巩固练习：y7 11 21 24 66 115 325 0100200300400050010001500ty。
回归分析的基本思想及其初步应用
相关系数
n
(xi - x)(yi - y)
n
__
xiyi n x y
r=
i=1
i1
n
n
(xi - x)2 (yi - y)2
i=1
i=1
n i1
xi2
n
_
x
2
n i1
yi2
n
_
y
2
相关系数的性质
(1)|r|≤1．
(2)|r|越接近于1，相关程度越强；|r|越接近于0， 相关程度越弱．
问题四：结合例1思考：用回归方程预报体重时应注意什么？
1.回归方程只适用于我们所研究的样本的总体。 2.我们建立的回归方程一般都有时间性。 3.样本取值的范围会影响回归方程的适用范围。 4.不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。
涉及到统计的一些思想： 模型适用的总体；模型的时间性； 样本的取值范围对模型的影响；模型预报结果的正确 理解。
相关指数 R 2 0.98
因此y关于x的非线性回
^
y e 归方程为
0.272 x3.489
当x=28 C 时，y ≈44 ，指数回归模型中温度解释了98%的产卵数的变化
最好的模型是哪个?
显然，指数函数模型最好！
yˆ (1) e0.272 x3.849 yˆ (2) 0.367 x2 202.543
21 23 25 27 29 32 35 7 11 21 24 66 115 325
（1）试建立产卵数y与温度x之间的回归方程；并预测温度为28oC时产卵 数目。
（2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？
解：选取气温为解释变量x，产卵数
选变量
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回归分析的基本思想及其初步应用(第1课时)教案及说明
1．1回归分析的基本思想及其初步应用（第1课时）教案教材：人民教育出版社A版必修3授课教师：中卫市第一中学俞清华【教学目标】在《数学③（必修）》之后，学生已经学习了两个变量之间的相关关系，包括画散点图，最小二乘法求回归直线方程等内容.在人教A版选修1-2第一章第一节“回归分析的基本思想及其初步应用”这一节中进一步介绍回归分析的基本思想及其初步应用.这部分内容《教师用书》共计4课时，第一课时：介绍线性回归模型的数学表达式，解释随机误差项产生的原因，使学生能正确理解回归方程的预报结果；第二课时：从相关系数、相关指数和残差分析角度探讨回归模型的拟合效果，以及建立回归模型的基本步骤；第三课时：介绍两个变量非线性相关关系；第四课时：回归分析的应用. 本节课是第一课时的内容.1、知识与技能目标认识随机误差；2、过程与方法目标（1）会使用函数计算器求回归方程；（2）能正确理解回归方程的预报结果.3、情感、态度、价值观通过本节课的学习，加强数学与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相关性，理解处理问题的方法，形成严谨的治学态度和锲而不舍的求学精神.培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力.教学中适当地利用学生合作与交流，使学生在学习的同时，体会与他人合作的重要性.【教学重点】随机误差ｅ的认识【教学难点】随机误差的来源和对预报变量的影响【教学方法】启发式教学法【教学手段】多媒体辅助教学【教学流程】【教学过程设计】．几点注明：1、复习引入时教师做示范——提供5组身高与体重的数据，用Excel展示如何画散点图、用最小二乘法求线性回归方程.随机抽样并列表如下：2、计算机做散点图的步骤如下：（1）进入Excel软件操作界面，在A1,B1分别输入“身高”和“体重”，在A,B 列输入相应的数据.（2）点击“图表向导”图标，进入“图表类型”对话框，选择“标准类型”中的“XY散点图”，单击“下一步”.（3）在“图表向导”中的“图表数据源”对话框中，选择“系列”选项，单击“添加”按钮添加系列1，在“X值”栏中输入身高所在数据区域，在“Y值”栏中输入体重所在数据区域，单击“下一步”.（4）进入“图表向导”中的图表选项对话框，对图表的一些属性进行设置. （5）单击“完成”按钮.注：也可以直接使用我们提供的文件来给学生演示，相对节约课堂时间.3、学生使用函数计算器求回归方程的过程如下：MODE SHIFT CLR =1 13 ， DT 165 49 ，DT17565， DT 165 58 ， DT 157 51 ， DT 170 53 SHIFT CLRSHIFTCLR2==1 (进入回归计算模式)(清除统计存储器)(输入五组数据)所以回归方程为 yˆ0.673x-56.79 (计算参数a) (计算参数b)（学生还会使用更先进的计算器）4、课堂使用的数据如下高二女生前15组数据列表：高二女生中间15组数据列表：高二女生后15组数据列表：课本P2例题1 女大学生8组数据列表：例1.1．1回归分析的基本思想及其初步应用（第1课时）教案说明教材：人民教育出版社A版必修3授课教师：中卫市第一中学俞清华1、设计理念《数学课程标准》明确指出：有效的数学学习活动不能单纯地模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流，可以促进学生自主、全面、可持续的发展，是学生学习数学的重要方式．为使教学真正做到以学生为本，我对教材P2—P3的知识进行了适当地重组和加工，力求给学生提供研究、探讨的时间与空间，让学生充分经历“做数学”的过程，促使学生在自主中求知，在合作中获取，在探究中发展.2、授课内容的数学本质与教学目标定位回归分析，是一种从事物因果关系出发进行预测的方法．操作中，是在掌握大量观察数据的基础上，利用数理统计方法建立因变量与自变量之间的回归关系函数表达式（称回归方程式），预测今后事物发展的趋势．然而，所建立的回归方程与样本点的分布之间还存在有差异，这一差异就是我们本节课学习的主要内容：随机变量．3、学习本课内容的基础以及应用本课内容安排在《数学3（必修）》之后，学生已经学习了两个变量之间的相关关系，包括画散点图，会利用最小二乘法求回归直线方程等内容.以此为基础，进一步讨论一元线性回归模型，分析产生模型中随机误差项的原因，从而让学生了解线性回归模型与函数模型之间的区别与联系，体会统计思维与确定性思维的区别与联系.通过本节课的学习，为后继课程了解偏差平方和分解思想和相关指数的含义、了解相关指数R2和模型拟合的效果之间的关系、了解残差图的作用，体会什么是回归分析、回归分的必要性，都起到铺垫作用．在本节课的教学中，学生使用了函数计算器，教师则利用电脑Excel表格完成对数据的整理，需要学生有一定的动手能力．4、学习本课内容时容易了解与容易误解的地方由于学生对必修3中的线性回归知识已经熟悉，会抽取样本、会画散点图、会利用最小二乘法求出线性回归方程，所以本节课学生容易了解：（1）从散点图看出，样本点呈条状分布，体重与身高具有线性相关关系，因此可以用线性回归方程来近似刻画它们之间的关系．（2）可以发现样本点并不完全落在回归方程上，有随机误差存在.（3）容易理解由一条回归方程预测到的身高172cm的女生体重不是都一样，它只是一个平均值．在学习过程中，相对不易理解的地方有：（1）对于随机误差的来源，学生是能够从样本的个体差异上来理解的，但是对于由用线性回归模型近似真实模型所引起的误差，学生理解还是有一定困难的.（2）随机误差对预报变量的影响，学生从感性上很好理解，当然是随机误差越小越好.但是从理性上认识，怎样从数据上刻画出随机误差是否变小了呢？学生还有困难.5、本节课的教法特点以及预期效果分析5.1 改造创新教师通过分析教材和学生认知规律，创造性地使用教材，做到既重视教材，更重视学生.具体说来有以下改造：（1）创设生活情景.利用学生的“体检经验”设置问题，既没有脱离课本例题1的相关内容，又能激发学生对数学的亲切感，引发学生看个究竟的冲动，兴趣盎然地投入学习.（2）充分体现随机观念.课本上仅仅希望利用8组数据就要学生体会到统计的思想和后继课程中回归分析的必要性，实在是为难学生了．在本课教学设计学生操作时强调“增多数据，加强比较”. 帮助学生体会“不同事件（如课本例1女大学生和高二女生）”，则统计结果不同、“同一事件（如都是高二女生），采样不同结果也不同”的基本事实.（3）教师的作用. 在这节课里，教师在学生操作结束后，利用更多数据的操作，形成一个与学生结果的对比，这一操作与展示为学生创造了新的思维增长点，引领学生进入更深层领悟.5.2 问题性本课教学以问题引导学习活动，通过恰时恰点地提出问题，提好问题，给学生提问的示范，使他们领悟发现和提出问题的艺术，引导他们更加主动和有兴趣地学，逐步培养学生的问题意识，孕育创新精神.例如，在“结果的分析”中的问题4、“预测出的体重值都不同，那么它还有参考价值吗？”目的是让学生充分认识随机误差e的来源和对预报变量的影响，而这一问题的提出，立刻吸引学生细细体会随机观念，同时激发出学生的好奇心，提升深入探求的欲望．5.3 合作、探究的学习方式本节课的合作学习体现在两个方面：除了体现在每个小组内部成员之间，还体现在整堂课的教学结构上．小组成员内部提倡“不同的人作不同的事”，面对不同分组，学生可以自主选择的不同工作，动手带动动脑，遇到小的问题，通过探讨和帮助，能做到“学生的问题由学生自己解决”，促进对某一问题更清晰的认识，还能感受到团结合作的好处与必要.同时，每个小组的劳动成果共同构成课堂教学需要的多条回归方程，组与组之间的合作推动整节课的比较与区分得以实现.5.4教学手段本课积极将数学课程与信息技术进行整合，采用多种技术手段，特点主要体现如下：（1）以PPT 为操作平台，界面活泼，操作简单，能有效支持多种其它技术；（2）教师用Excel图表展示，直观形象，节约时间，帮助学生顺利完成学习内容；（3）学生使用函数计算器动手操作，求出回归方程．本课预期：（1）学生可以很好地复习使用函数计算器求回归方程，虽然在要求学生自己操作前教师有一个示例，但是还是会有一少部分人不会使用，所以在教学前要有一定的思想准备，和必要措施.（2）在分析各个组的预测结果为什么有差异时，由于个体经验不同，对问题的挖掘深度产生不同，这时教师的启发引导可能会十分必要，不能完全由学生漫无目的的“讨论”，使学生活动流于形式.（3）“结果分析”前，由学生展示操作成果，这些结果已经够用来说明问题，教师不要急于参与.在“结果分析”的第4个问题中引入教师利用电脑求出的由45 组数据得到的回归方程，让学生再一次通过比较得到新的思考点——怎样知道自己模拟的回归方程身高变化对体重变化影响有多大呢？这样会使学生自然而然渴望进一步了解相关回归分析的知识，为后继课程做好伏笔.对于体现本节课承上启下的作用，可能更好一些.6 教学反思通过本节课的教学实践，我再次体会到什么是由“关注知识”转向“关注学生”，在教学过程中，注意到了由“给出知识”转向“引起活动”，由“完成教学任务”转向“促进学生发展”，课堂上的真正主人应该是学生．一堂好课，师生一定会有共同的、积极的情感体验．本节课的教学中，知识点均是学生通过探索“发现”的，学生充分经历了探索与发现的过程．教学中没有以练习为主，而是定位在知识形成过程的探索，注重数学的思想性，如统计思想、随机观念、函数思想、数形结合的思想方法等，引导学生体验数学中的理性精神，加强数学形式下的思考和推理。