【人教A版】2015年秋高中数学必修二：2.2《直线、平面平行的判定及其性质》ppt课件
EG AF .(相似三角形对应线段成比例) BD AC AF 5 20 BD 4 ∴EG= . AC 9 9
∴
[变式演练，深化提高] 1、如图,E、H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、AD 的中点，平面 α 过 EH 分别交 BC、 CD 于 F、G.求证：EH∥FG.
问题1: （1）回忆空间两平面的位置关系. （2）欲证线面平行可转化为线线平行和相交；面面平行可转化为线面平行。
问题2：如何用三种语言描述平面与平面平行的判定定理？
1、两个平面平行的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 以上是两个平面平行的文字语言， 另外面面平行的判定定理的符号语言为： 若 a α，b α，a∩b=A,且 a∥α,b∥β，则 α∥β. 图形语言为：如图,
已知：如图 10,a∥α,a∥β,α∩β=b， 求证：a∥b. 证明：如图，过 a 作平面 γ、δ，使得 γ∩α=c，δ∩β=d，那么有
点评：本题证明过程，实际上就是不断交替使用线面平行的判定定理、性 质定理及公理4的过程.这是证明线线平行的一种典型的思路.
3、如图，平面 EFGH 分别平行于 CD、AB，E、F、G、H 分别在 BD、BC、AC、AD 上， 且 CD=a，AB=b，CD⊥AB.
问题4：如何判定直线和平面平行？
1、直线与平面平行的判定定理： 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. 进一步指出线面平行判定定理的符号语言和图形语言。
符号语言为：
.
图形语言为：如图.
问题5：如何证明直线与平面平行的判定定理？
证明：∵a∥b，∴a、b 确定一个平面，设为 β. ∴a β，b β. ∵a α，a β，∴α 和 β 是两个不同平面. ∵b α 且 b β， ∴α∩β=b.假设 a 与 α 有公共点 P, 则 P∈α∩β=b，即点 P 是 a 与 b 的公共点，这与已知 a∥b 矛盾. ∴假设错误.故 a∥α.
[变式演练，深化提高] 1、如图,在正方体 ABCD—EFGH 中，M、N、P、Q、R 分别是 EH、EF、BC、CD、AD 的 中点，求证：平面 MNA∥平面 PQG.
证 明 ： ∵M 、 N 、 P 、 Q 、 R 分 别 是 EH 、 EF 、 BC 、 CD 、 AD 的 中 点 ， ∴MN∥HF,PQ∥BD.∵BD∥HF, ∴MN∥PQ. ∵PR∥GH,PR=GH;MH∥AR,MH=AR,∴四边形 RPGH 为平行四边形，四边形 ARHM 为平 行四边形. ∴AM∥RH,RH∥PG.∴AM∥PG. ∵MN∥PQ,MN 平面 PQG,PQ 平面 PQG,∴MN∥平面 PQG. 同理可证，AM∥平面 PQG.又直线 AM 与直线 MN 相交， ∴平面 MNA∥平面 PQG.
证法二：连接 AD1,AB1,在△ AB1D1 中,显然 P,Q 分别是 AD1,D1B1 的中点,
1 AB1 . 2 ∵PQ 面 AA1B1B,AB1 面 AA1B1B,
∴PQ∥AB1,且 PQ= ∴PQ∥面 AA1B1B.
(2)解:方法一:PQ=MN=
A1 M 2 A1 N 2
2 a. 2
方法二：PQ=
1 2 AB1 a. 2 2
[变式演练，深化提高] 1、如图在△ ABC 所在平面外有一点 P，M、N 分别是 PC 和 AC 上的点，过 MN 作平面平 行于 BC，画出这个平面与其他各面的交线，并说明画法.
证明：如图,
.
所以,BC∥平面 MNEF.
2、已知M、N分别是△ADB和△ADC的重心，A点不在平面α内，B、D 、C在平面α内，求证：MN∥α.
2.2.1 直线与平面平行的判定
观察长方体，你能发现长方体 ABCD—A′B′C′D′中，线段 A′B 所在的直线与长方体 ABCD—A′B′C′D′的侧面 C′D′DC 所在平面的位置关系吗？
问题1：空间直线和平面有哪些位置关系？
直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.
问题2：直线a在平面α外，是不是能够断定a∥α呢？ 不能！直线a在平面α外包含两种情形：一是a与α相交，二是a与α平行 ， 因此，由直线a在平面α外，不能断定a∥α. 问题3：若平面外一条直线平行平面内一条直线，那么平面外的直线与平 面的位置关系可能相交吗？ 不可能相交，则该直线与平面平行.
[反思小结，观点提炼]
[作业精选，巩固提高] 课本习题 2.2 A 组 7、8.
2.2.3 直线与平面平行的性质
观察长方体，可以发现长方体 ABCD—A′B′C′D′中，线段 A′B 所在的直线与长方体 ABCD—A′B′C′D′的侧面 C′D′DC 所在平面平行， 你能在侧面 C′D′DC 所在平面内作一条直线 与 A′B 平行吗？
证明：如图,连接 AM、AN 并延长分别交 BD、CD 于 P、Q，连接 PQ.
∵M、N 分别是△ ADB、△ ADC 的重心， ∴
AM AN =2.∴MN∥PQ. MP NQ
又 PQ α，MN α,∴MN∥α.
[反思小结，观点提炼] 请同学们总结下本节课所学习内容： 知识总结：利用线面平行的判定定理证明线面平行.
直线和平面平行的判定定理的内容
文字语言：
符号语言： 图形语言： 方法总结：利用平面几何中的平行线截比例线段定理，三角形的中位线性 质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化.
[作业精选，巩固提高] 课本习题 2.2 A 组 3、4.
2.2.2 平面与平面平行的判定
[设计问题，创设情境] 大家都见过蜻蜓和直升飞机在天空飞翔，蜻蜓的翅膀可以看作两条平行 直线，当蜻蜓的翅膀与地面平行时，蜻蜓所在的平面是否与地面平行？直 升飞机的所有螺旋桨与地面平行时，能否判定螺旋桨所在的平面与地面平 行？由此请大家探究两平面平行的条件.
例 1 已知正方体 ABCD—A1B1C1D1，如图,求证：平面 AB1D1∥平面 BDC1.
证明：∵ABCD—A1B1C1D1 为正方体， ∴D1C1∥A1B1,D1C1=A1B1. 又∵AB∥A1B1,AB=A1B1, ∴D1C1∥AB,D1C1=AB. ∴四边形 ABC1D1 为平行四边形. ∴AD1∥BC1. 又 AD1 平面 AB1D1，BC1 平面 AB1D1， ∴BC1∥平面 AB1D1. 同理，BD∥平面 AB1D1. 又 BD∩BC1=B，∴平面 AB1D1∥平面 BDC1.
证明：连接 EH. ∵E、H 分别是 AB、AD 的中点, ∴EH∥BD. 又 BD 面 BCD，EH 面 BCD, ∴EH∥面 BCD. 又 EH α、α∩面 BCD=FG, ∴EH∥FG. 点评：见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线，则直线与交线平行.
2 、求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个相 交平面的交线平行.
求证：AC∥平面 EFG，BD∥平面 EFG.
证明：连接 AC、BD、EF、FG、EG. 在△ ABC 中， ∵E、F 分别是 AB、BC 的中点,∴AC∥EF. 又 EF 面 EFG，AC 面 EFG, ∴AC∥面 EFG. 同理可证 BD∥面 EFG.
例 3、设 P、Q 是边长为 a 的正方体 AC1 的面 AA1D1D、面 A1B1C1D1 的中心,如图, （1）证明 PQ∥平面 AA1B1B； （2）求线段 PQ 的长.
1.直线和平面平行的性质定理 文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么 这条直线和交线平行. 符号语言：
图形语言：如图
问题4：如何证明直线与平面平行的性质定理？
已知 a∥α，a β，α∩β=b.求证：a∥b. 证明：
问题5:应用线面平行的性质定理的关键是什么？ 过这条直线作一个平面.教师进一步总结出应用线面平行性质定理的要诀 ：“见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线”.
例 3、如图，a∥α,A 是 α 另一侧的点，B、C、D∈a，线段 AB、AC、AD 交 α 于 E、F、G 点，若 BD=4，CF=4，AF=5，求 EG.
解：A a，∴A、a 确定一个平面，设为 β. ∵B∈a，∴B∈β. 又 A∈β，∴AB β. 同理 AC β，AD β. ∵点 A 与直线 a 在 α 的异侧, ∴β 与 α 相交. ∴面 ABD 与面 α 相交，交线为 EG. ∵BD∥α，BD 面 BAD，面 BAD∩α=EG, ∴BD∥EG. ∴△AEG∽△ABD.
(1)证法一：取 AA1,A1B1 的中点 M,N,连接 MN,NQ,MP, ∵MP∥AD,MP=
1 1 AD ,NQ∥A1D1,NQ= A1 D1 , 2 2
∴MP∥ND 且 MP=ND. ∴四边形 PQNM 为平行四边形. ∴PQ∥MN. ∵MN 面 AA1B1B,PQ 面 AA1B1B, ∴PQ∥面 AA1B1B.
（1）求证：EFGH 是矩形； （2）设 DE=m,EB=n,求矩形 EFGH 的面积.
(1)证明：∵CD∥平面 EFGH，而平面 EFGH∩平面 BCD=EF, ∴CD∥EF.同理 HG∥CD,∴EF∥HG. 同理 HE∥GF，∴四边形 EFGH 为平行四边形. 由 CD∥EF，HE∥AB，∴∠HEF 为 CD 和 AB 所成的角. 又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF. ∴四边形 EFGH 为矩形.
例 1、如图所示的一块木料中，棱 BC 平行于面 A′C′.
(1)要经过面 A′C′内的一点 P 和棱 BC 将木料锯开，应怎样画线？ (2)所画的线与面 AC 是什么位置关系？
解： （1）如图，在平面 A′C′内，过点 P 作直线 EF,使 EF∥B′C′，
并分别交棱 A′B′、C′D′于点 E、F.连接 BE、CF. 则 EF、BE、CF 就是应画的线.
例1、求证空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面.
已知空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点. 求证：EF∥面BCD.
人教A版高中数学必修二课件线面平行的判定与性质
直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系？
a
a
b
b
α
α
（2）已知直线a∥平面α，如何在平面α内 找出和直线a平行的一条直线？
思考：
（2）已知直线a∥平面α，如何在平面α内 找出和直线a平行的一条直线？
β
a
b α
因为直线a与平面α内直线b的位置关系不是平行 就是异面，所以只要a与b在一个平面内，就能 保证a//b。
2.寻找平行直线可以通过三角形的中位 线、梯形的中位线、平行线的判定等 来完成.
3.证明的书写三个条件“内”、“外”、 “平行”，缺一不可.
新课引入：
线面平行的判定定理解决了判定线面平行 的问题（即所需条件）；反之，在直线与 平面平行的条件下，会得到什么结论？
思考：
（1）如果一条直线和一个平面平行，那么这条
实例感受
将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封面，封面 边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位 置关系？
A
A
B
B
直线与平面平行
下图中的直线a与平面α平行吗？
a
直线与平面平行
如果平面内有直 线与平面外b 直线平行，那么a直线与平 面的位置a 关系如何？
是否可以保证直线与a 平面平行？
高中数学课件
（金戈铁骑 整
直线和平面有哪些位置关系?
a
α
a a
A
α
α
直线在平面α 内aα
有无数个交点
直线与平面α相交
a∩α=A 有且只有一个交点
直线与平面α 平行
a∥α无交点
引入新课
怎样判定直线与平面平行呢？ 根据定义，判定直线与平面是否平行，只需判定直 线与平面有没有公共点．
人教A版高中数学必修2《2.2直线、平面平行的判定及其性质 2.2.4 平面与平面平行的性质》公开课课件_13
证法二：作 FH∥ AD 交 AB 于 H，连结 HE. ∵ AD∥ BC，∴ FH∥ BC， BC⊂平面 BB′ C′ C. ∴ FH∥平面 BB′ C′ C. BF BH 由 FH∥ AD， 可得 ＝ ， 又 BF＝ B′ E， BD＝ AB′， BD BA B′ E BH ∴ ＝ ， B′ A BA ∴ EH∥ B′ B， B′ B⊂平面 BB′ C′ C.
• • • •
∴EH∥平面BB′C′C，又EH∩FH＝H. ∴平面FHE∥平面BB′C′C，EF⊂平面FHE. ∴EF∥平面BB′C′C. 【规律方法】 本题证法一使用线面平行 的判定定理；证法二利用面面平行的性质 定 理 ， 关 键 就 是 找 到 过 直 线 EF 与 平 面 BB′C′• 要点一:平面与平面平行的性质的应用—— 证线线平行 • 平面与平面平行的性质定理是由面面平行 得到的线线平行，实现面面平行与线线平 行的转化．因此平面与平面平行的性质定 理是用来证明线线平行的．
• 例1 如图，已知α∥β，点P是平面α、β外 的一点(不在α与β之间)，直线PB、PD分别 与α、β相交于点A、B和C、D. • (1)求证：AC∥BD； • (2)已知PA＝4 cm， • AB＝5 cm，PC＝3 cm， • 求PD的长．
• 【解】 相交直线AA′、BB′所在平面和两平 行平面α、β分别相交于AB、A′B′. • 由面面平行的性质定理可得AB∥A′B′. • 同理相交直线BB′、CC′确定的平面和平行平 面α、β分别相交于BC、B′C′，从而BC∥B′C′. • 同理易证AC∥A′C′. • ∴∠BAC与∠B′A′C′的两边对应平行且 方向相反，
解： (1)∵PB∩PD＝P，∴直线 PB 和 PD 确定一个平面 γ， 则 α∩ γ＝ AC， β∩ γ＝ BD.又 α∥ β， ∴ AC∥ BD. PA PC (2)由 (1)得 AC∥ BD，∴ ＝ . AB CD 4 3 15 ∴ ＝ .∴ CD＝ . 5 CD 4 27 ∴ PD＝ PC＋ CD＝ (cm). 4
2.2.2平面与平面平行的判定课件 新人教A版必修2
思考3：三角板的一条边所 在直线与桌面平行，这个三 角板所在平面与桌面平行吗？
A
思考4：三角板的两条边所在直线分别与桌 面平行，三角板所在平面与桌面平行吗？
思考5: 建筑师如何检验屋顶平面与水平面 是否平行？
思考6：一般地，如果平面α内有一条直线 平行于平面β，那么平面α与平面β一定平 行吗？如果平面α内有两条直线平行于平面 β，那么平面α与平面β一定平行吗？
定理 一个平面内的两条相交直线与另一 个平面平行，则这两个平面平行.
思考4:上述定理通常称为平面与平面平行的 判定定理，该定理用符号语言可怎样表述？
b a P
α
β
a , b , a b P,且 a // , b // //
思考5:在直线与平面平行的判定定理中， “a∥α ,b∥β ” ，可用什么条件替代？ 由此可得什么推论？ 推论 如果一个平 面内有两条相交直 线分别平行于另一 个平面内的两条直 线，那么这两个平 面平行.
N B
作业： P58练习：1， 3（做书上），2. P62习题2.2A组：7，8.
a α b
β
理论迁移
1 5730 p 2
t
例1 在正方体ABCD-A′B′C′D′中. 求证：平面AB′D′∥平面BC′D.
D′
A′ B′
C′
D
A B
C
例2 在三棱锥P-ABC中，点D、E、F分别 是△PAB、△PBC、△PAC的重心，求证： 平面DEF//平面ABC.
P F A D M E C
α β
知识探究(二):平面与平面平行的判定定理 思考1:对于平面α 、β ，你猜想在什么条件 下可保证平面α 与平面β 平行？ 思考2:设a，b是平面α 内的两条相交直线，且 a//β ，b//β . 在此条 件下，若α ∩β =l ，则 直线a、b与直线l 的位置 关系如何？
高中数学人教A版必修2教案-2.2_直线、平面平行的判定及其性质_教学设计_教案
教学准备1. 教学目标了解并且学会运用基本的性质定理2. 教学重点/难点了解并且学会运用基本的性质定理3. 教学用具4. 标签教学过程一．教学过程设计（一）复习回顾：提问1：直线与平面有几种位置关系？分别是什么？补充说明：我们把直线与平面相交或平行的位置关系统称为直线在平面外，用符号表示为提问2：用符号表示下列图形.（二）情境创设,直观感受教师利用多媒体播放视频：“2014亚运会山东跳高选手张国伟的精彩表现”提问：回看视频中的一个截图（教师展示截图），观察横杆所在直线与地面什么关系？说明：如何判定这种关系？这就是今天我们所要研究的问题.(三) 探索研究, 归纳结论1. 提问：想一想，根据我们已有的知识，如何判定一条直线与一个平面平行呢？2.教师取出预先准备好的“门”的模型,学生演示，教师提问：(1)慢慢打开门，在每一个位置，吗？为什么？（2）关上门，观察吗？为什么？3.教师取出预先准备好的“跳高架”的模型，让学生验证刚才的结论.教师引导学生结合上面的直观感知，层层递进，逐步探索，体会数学结论的发现过程.在此基础上提出合理猜想（四）提升总结，形成经验教师引导学生将猜想规范化，形成经验性结论，并分别用文字语言、图形语言和符号语言加以描述.直线与平面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线和这个平面平行.2.巩固深化练习：如图,四棱锥A—DBCE中,O为底面正方形DBCE对角线的交点,F为AE的中点.，求证:AB//平面DCF.教师点评，规范步骤，强调判定定理三条件，缺一不可.3.小组协作合作探究：如图，正方体中，P 是棱A1B1的中点，过点 P 在正方体表面画一条直线使之与截面A1BCD1平行.教师引导小组讨论，并进行各小组指导，最后汇总点评，总结关键点.4.前后回应教师展示“情境创设”视频截图提问：如何用线面平行的判定定理证明横杆所在直线与地面平行？教师引导学生体会数学在生活中的作用.3.如图，在正方体中，E为的中点，试判断与平面AEC的位置关系，并说明理由.(七)课堂小结提问：通过这一节课，你学到了什么？教师总结： (幻灯片展示)线面平行三条件证题步骤要规范平行中位两策略线线平行是关键。
人教A版高中数学必修二 2.2.3直线与平面平行的性质课件
求证： b//
a
b
c
2.如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一 条,那么它们的交线和这两条直线平行。
已知：a // b, a ,b , c. c
求证：c // a // b
证明： a // b
a
b
b a //
α
β
a a
F
A'
P E
C'
B'
D
C
A
B
线面平行 线线平行 线面平行
课堂小结
小试牛刀
1．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( ) A．α内的所有直线都与直线a异面 B．α内不存在与a平行的直线 C．α内的直线都与a相交 D．直线a与平面α有公共点 2．直线m∥平面α，P∈α，过点P平行于m的直线( ) A．只有一条，不在平面α内 B．有无数条，不一定在α内 C．只有一条，且在平面α内 D．有无数条，一定在α内
过点P作直线EF//B'C'，分别交 D'
F
棱A'B'、C'D'于点E、F， A'
P E
C'
连结BE、CF，
BE、CF为应画的线．
如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A'C'． ⑴要经过面内的一点P和棱BC将木料锯开，应 怎样画线？
⑵所画的线与平面AC是什么位置关系？
解：⑵
D'
线面平行的判定定理解决了判定线面平行的 问题（即所需条件）；反之，在直线与平面平行 的条件下，会得到什么结论？
问题讨论
（1）如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线 和这个平面内的直线有怎样的位置关系？
人教A版必修二立体几何 直线、平面平行的判定及其性质——解答题篇常规运用
一、直线与平面平行1．判定定理2(1)证线面平行①若a∥α，a∥b，b⊄α，则b∥α．②若a∥α，α∥β，a⊄β，则a∥β．(2)线面平行的性质①若a∥α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b．②若a∥α，a⊥β，则α⊥β．二、平面与平面平行1．判定定理2平面与平面平行的几个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等． (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． (5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．(6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．一、直线与平面平行的判定1．(2015·海淀模拟)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，P A ＝PB ，且侧面P AB ⊥平面ABCD ，点E 是棱AB 的中点．(1)求证：CD ∥平面P AB ；【证明】(1)因为底面ABCD 是菱形，所以CD ∥AB ．又因为CD ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ，所以CD ∥平面P AB ．2．(2015·南京检测)如图，在正三棱锥ABC -A 1B 1C 1中，E ，F 分别为BB 1，AC 的中点．(1)求证：BF ∥平面A 1EC ；【证明】(1)连接AC 1交A 1C 于点O ，连接OE ，OF ，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为平行四边形，所以OA ＝OC 1． 又因为F 为AC 中点，所以OF ∥CC 1且OF ＝12CC 1．因为E 为BB 1中点，所以BE ∥CC 1且BE ＝12CC 1．所以BE ∥OF 且BE ＝OF ，所以四边形BEOF 是平行四边形，所以BF ∥OE ． 又BF ⊄平面A 1EC ，OE ⊂平面A 1EC ， 所以BF ∥平面A 1EC ．3．(2014·安徽高考)如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217 ．点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH．(1)证明：GH∥EF；【证明】(1)因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC．同理可证EF∥BC，因此GH∥EF．三、平面与平面平行的判定4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面PMN∥平面A1BD．D1，B1C．∵P，N分别是D1C1，B1C1的中点，【证明】如图，连接B∴PN∥B1D1．又B1D1∥BD，∴PN∥BD．又PN⊄平面A1BD，BD⊂平面A1BD；∴PN∥平面A1BD．同理MN∥平面A1BD，又PN∩MN＝N，∴平面PMN∥平面A1BD．5．(2015·西城模拟)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，BF＝3，G和H分别是CE和CF的中点．(2)求证：平面BDGH∥平面AEF；【证明】(2)在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GH∥EF，又因为GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以GH∥平面AEF．设AC∩BD＝O，连接OH，在△ACF中，因为OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF，又因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，所以OH∥平面AEF．又因为OH∩GH＝H，OH，GH⊂平面BDGH，所以平面BDGH∥平面AEF．6．(2015·南通模拟)如图所示，斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，D 1分别为AC ，A 1C 1上的点且平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，试求ADDC的值【解】由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O得BC 1∥D 1O ，∴A 1D 1D 1C 1＝A 1OOB． 又A 1D 1D 1C 1＝DC AD ，A 1OOB ＝1， ∴DC AD ＝1即ADDC＝1．[思想方法]1．对线面平行，面面平行的认识一般按照“定义—判定定理—性质定理—应用”的顺序．其中定义中的条件和结论是相互充要的，它既可以作为判定线面平行和面面平行的方法，又可以作为线面平行和面面平行的性质来应用．2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，其转化关系为在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．[易错防范]1．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．2．线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断．3．解题时注意符号语言的规范应用．(2015·南通模拟)如图所示，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的中点．(1)证明AD1∥平面BDC1．(2)证明BD∥平面AB1D1．【证明】(1)∵D1，D分别为A1C1与AC的中点，四边形ACC1A1为平行四边形，∴C1D1∥DA，且C1D1＝DA；∴四边形ADC1D1为平行四边形，∴AD1∥C1D，又AD1⊄平面BDC1，C1D⊂平面BDC1，∴AD1∥平面BDC1．(2)连接D1D，∵BB1∥平面ACC1A1，BB1⊂平面BB1D1D，平面ACC1A1∩平面BB1D1D＝D1D，∴BB1∥D1D，又D1，D分别为A1C1AC中点，∴BB1＝DD1，故四边形BDD1B1为平行四边形，∴BD∥B1D1，又BD⊄平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1∴BD∥平面AB1D1．1．(2012·北京高考)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2．(1)求证：DE∥平面A1CB；【证明】(1)因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC．又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB所以DE∥平面A1CB．2．如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB ＝AA1＝2．(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；【证明】(1)由题设知，BB1∥DD1，且BB1＝DD1；∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1．又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1．∵A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1＝B1C1＝BC；∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C．又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1∴A1B∥平面CD1B1．又∵BD∩A1B＝B，BD、A1B⊂平面A1BD∴平面A1BD∥平面CD1B1．3．如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．(1)求证：BE∥平面DMF；(2)求证：平面BDE∥平面MNG．【证明】(1)连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF．(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG．又M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又MN⊂平面MNG，BD⊄平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，所以平面BDE∥平面MNG．4．(2014·长沙模拟)一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中M ，N 分别是AF ，BC 的中点)．(1)求证：MN ∥平面CDEF ；【证明】(1)由三视图可知：AB ＝BC ＝BF ＝2，DE ＝CF ＝22，∠CBF ＝π2．取BF 的中点G ，连接MG ，NG ，由M ，N 分别为AF ，BC 的中点， 得NG ∥CF ，MG ∥AB ∥EF ，又NG ⊄平面CDEF ，CF ⊂平面CDEF ；∴NG ∥平面CDEF ；同理MG ∥平面CDEF ； 又NG ∩MG ＝G ，NG 、MG ⊂平面MNG ∴平面MNG ∥平面CDEF ， 又MN ⊂平面MNG ， ∴MN ∥平面CDEF ．5．(2014·四川高考)在如图所示的多面体中，四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都为矩形．(2)设D ，E 分别是线段BC ，CC 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线DE ∥平面A 1MC ？请证明你的结论．【证明】(2)取线段AB 的中点M ，连接A 1M ，MC ，A 1C ，AC 1，设O 为A 1C ，AC 1的交点．由已知，O 为AC 1的中点． 连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线，所以，MD ∥AC ，且MD ＝12AC ；OE ∥AC ，且OE ＝12AC ；因此MD ∥OE ，且MD ＝OE ；连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形，则DE ∥MO ． 因为直线DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC ， 所以直线DE ∥平面A 1MC ．即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点)，使直线DE ∥平面A 1MC ．1．(2014·江苏高考)如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知P A⊥AC，P A＝6，BC＝8，DF＝5．求证：(1)直线P A∥平面DEF；【证明】(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥P A．又因为P A⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，所以直线P A∥平面DEF．2．(2015·江苏卷)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E．求证：(1)DE∥平面AA1C1C；【证明】(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC．(三角形的中位线)又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C．(直线与平面的平行的判定定理)3．如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面A′ACC′；【证明】(1)连接AB′，AC′，如图，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′中点．又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′因此MN∥平面A′ACC′．4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．(2)求证：C1F∥平面ABE；【证明】(2)取AB 中点G ，连接EG ，FG ．因为E ，F 分别为是A 1C 1，BC 的中点， 所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC ．因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1， 所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1． 所以四边形FGEC 1为平行四边形． 所以C 1F ∥EG ．又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ， 所以C 1F ∥平面ABE ．5．(2014·山东高考)如图，四棱锥P -ABCD 中， AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．(1)求证：AP ∥平面BEF ；【证明】(1)设AC ∩BE ＝O ，连接OF ，EC ．由于E 为AD 的中点，AB ＝BC ＝12AD ，AD ∥BC ，所以AE ∥BC ，AE ＝AB ＝BC ， 因此四边形ABCE 为菱形， 所以O 为AC 的中点． 又F 为PC 的中点，因此在△P AC 中，可得AP ∥OF ． 又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ． 所以AP ∥平面BEF ．6．如图，已知四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，且AB ∥CD ，O 是AB 中点，PO ＝CD ＝DA ＝12AB ＝4，M 是P A 中点．(1)证明：平面PBC ∥平面ODM ；【证明】(1)由题意，CD ∥BO ，CD ＝BO ，∴四边形OBCD 为平行四边形，∴BC ∥OD ． 又∵AO ＝OB ，AM ＝MP ，∴OM ∥PB ． 又OM ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ， ∴OM ∥平面PBC ．同理，OD ∥平面PBC ，又OM ∩OD ＝O ， ∴平面PBC ∥平面ODM ．7．如图所示，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，AB＝2，P A＝22，M是P A的中点．(1)求证：平面PCD∥平面MBE；【证明】(1)连接AD交BE于点G，连接MG，则点G是正六边形的中心，所以G是线段AD的中点．因为M是P A的中点，所以MG∥PD．因为PD⊄平面MBE，MG⊂平面MBE，所以PD∥平面MBE．因为DC∥BE，DC⊄平面MBE，BE⊂平面MBE，所以DC∥平面MBE．因为PD∩DC＝D，所以平面PCD∥平面MBE．8．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1．【证明】(1)如图所示，连接SB，∵E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB．又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1．(2)连接SD，∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD．又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1．9．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、M、N分别是B1C1、A1D1、A1B1、BD、B1C的中点，求证：(1)MN ∥平面CDD 1C 1；(2)平面EBD ∥平面FGA ．【证明】(1)连接BC 1，DC 1，∵四边形BCC 1B 1为正方形，N 为B 1C 的中点，∴N 在BC 1上，且N 为BC 1的中点．又∵M 为BD 的中点，∴MN ∥DC 1，且MN ＝12DC 1；又MN ⊄平面CDD 1C 1，DC 1⊂平面CDD 1C 1，∴MN ∥平面CDD 1C 1．(2)连接EF ，B 1D 1，则EF ∥AB ，EF ＝12AB ；∴四边形ABEF 为平行四边形，∴AF ∥BE ．又易知FG ∥B 1D 1，B 1D 1∥BD ，∴FG ∥BD ．又AF ⊄平面EBD ，BE ⊂平面EBD ，∴AF ∥平面EBD ，同理FG ∥平面EBD又∵AF ∩FG ＝F ，AF 、FG ⊂平面FGA∴平面EBD ∥平面FGA ．10．如图所示，四边形EFGH 所在平面为三棱锥A -BCD 的一个截面，四边形EFGH 为平行四边形．(1)求证：AB ∥平面EFGH ，CD ∥平面EFGH ．(2)若AB ＝4，CD ＝6，求四边形EFGH 周长的取值范围．【证明】(1)∵四边形EFGH 为平行四边形，∴EF ∥GH ．∵HG ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ，∴EF ∥平面ABD ．∵EF ⊂平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC ＝AB ，∴EF ∥AB ，∵EF ⊂平面EFGH ，AB ⊄平面EFGH ，∴AB ∥平面EFGH ．同理可得CD ∥平面EFGH ．【解析】(2)设EF ＝x (0＜x ＜4)，四边形EFGH 的周长为l ．由(1)知EF ∥AB ，则CF CB ＝x 4又由(1)同理可得CD ∥FG ，则FG CD ＝BF CB∴FG 6＝BF CB ＝BF －CF CB ＝1－x 4，从而FG ＝6－32x ， ∴四边形EFGH 的周长l ＝2(x ＋6－32x )=12－x ． 又0＜x ＜4，∴8＜l ＜12，即四边形EFGH 周长的取值范围为(8,12)．1．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M 在AD 1上移动，点N 在BD 上移动，D 1M ＝DN ＝a (0＜a ＜2)，连接MN ．(1)证明：对任意a ∈(0，2)，总有MN ∥平面DCC 1D 1；(2)当a 为何值时，MN 的长最小？【证明】(1)作MP ∥AD ，交DD 1于P ，作NQ ∥BC ，交DC 于Q ，连接PQ ；由题意得MP ∥NQ ，且MP ＝NQ ，则四边形MNQP 为平行四边形．∴MN ∥PQ ．又PQ ⊂平面DCC 1D 1，MN 平面DCC 1D 1, ∴MN ∥平面DCC 1D 1．(2)由(1)知四边形MNQP 为平行四边形，∴MN ＝PQ ， 由已知D 1M ＝DN ＝a ，DD 1＝AD ＝DC ＝1， ∴AD 1＝BD ＝2，∴D 1P ∶1＝a ∶2，DQ ∶1＝a ∶2，即D 1P ＝DQ ＝a 2． ∴MN ＝PQ ＝(1－D 1P )2＋DQ 2＝(1－a 2)2＋( a 2)2＝(a －22)2＋12(0＜a ＜2)， 故当a ＝22时，MN 的长有最小值22． 即当M 、N 分别移动到AD 1，BD 的中点时，MN 的长最小，此时MN 的长为22．。
人教课标版高中数学必修2知识归纳：直线、平面平行的判定及其性质
2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
1.判定定理的符号表示为：.
2.证明线面平行的根本问题是要在平面内找一直线与已知直线平行，此时常用中位线定理、成比例线段、射影法、平行移动、补形等方法，具体用何种方法要视条件而定.
2.2.2 平面与平面平行的判定
1.面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为：
.
2.垂直于同一条直线的两个平面平行.
3.平面α上有不在同一直线上的三点到平面β的距离相等，则α与β的位置关系是平行或相交.
2.2.3 直线与平面平行的性质
1.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.
即：.
2.直线和平面平行的判定定理及性质定理在解题时往往交替使用．证线面平行往往转化为证线线平行，而证线线平行又将转化为证线面平行．循环往复直至证得结论为止.
2.2.4 平面与平面平行的性质
1.面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.用符号语言表示为：.
2. 其它性质：
①；
②；
③夹在平行平面间的平行线段相等.。
高中数学人教A版必修二：2.2.3 直线与平面平行的性质 课件
自主探究
思考：如果一条直线与一个平面平行，那么这条 直线与这个平面内的直线有哪些位置关系？
a
b α
a
b
α
自主探究
探究：这条线与面里的哪些线平行。
问题1：直线C1D1与面AC的哪些线平行？
D1
C1
A1
B1
D A
C B
自主探究
问题2：直线C1D1与这些线是什么位置关系？ (共面且平行)
D1
C1
A1
平面的交线与该直线平行。
∩
m ∥α
mβ
m ∥n
β
m
α ∩β = n
n
α
简记为： “线面平行，则线线平行”。 作 用： 判定直线与直线平行的重要依据。
关 键： 寻找平面与平面的交线。
定理证明
教学运用
例A11B.1C有1D一1内块一木点料P，和棱棱BBCC平锯行开于木面料A，1B1C1D1，要经过面 （1）应该怎样画线？
（2）所画的线与平面AC有怎样的关系?
Байду номын сангаас
D'
F
A'
P E
C'
B'
D
C
A
B
教学运用
例2. 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面， 求证：另一条也平行于这个平面。
小结
通过本节课的学习，领会一种思想和一种方法：
1. 转化与化归的数学思想
即线线平行与线面平行之间的相互转化，亦即空间问题与 平面问题之间的相互转化，这是解决立体几何问题的重要思想 方法．直线与平面平行的判定定理和性质定理转化的关系如下：
判定
线线平行
定理
性质
人教A版高中数学必修二《直线与平面平行的判定》PPT
• 观察：将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，封面 边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关 系？
A
A
三、讲解新课
直线与平面平行的判定定理：若平面外一条直线与此 平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
符号语言：
a b
b//a
a //
图形语言： a b
简述为：线线平行线面平行
四、例题剖析，应用巩固
例1.空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的
中点，试判断EF与平面BCD的位置关系，并予
以证明.
A
EF
D
C
B
解后反思：通过本题的解答，你可以总结出什么解题 思想和方法？
反思1：要证明直线与平面平行可以运用判定定理；
线线平行
线面平行
反思2：能够运用定理的条 a
件是要满足六个字，
b
“面外、面内、平行”。 a//b
（1）与AB平行的平面是 平面
平面
；
（2）与 AA平行的平面是平面
（3）与AD平行的平面是 平面
平面
；
平面
；
D A
D A
C B
C
B
六、课堂小结 1．证明直线与平面平行的方法：
（1）利用定义；直线与平面有没有公共点
（2）利用判定定理．
线线平行
线面平行
2.数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
a //
反思3:运用定理的关键是找平行线。找平行线又经 常会用到三角形中位线定理。
反思4：数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
五、堂堂清
如图，四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB， BC，CD，AD的中点.试指出图中满足线面平行位
人教版数学高一-2.2直线、平面平行的判定及其性质 教案(新人教A版必修2)
§2.2.1 直线与平面平行的判定一、教学目标： 1、知能目标（1）理解并掌握直线与平面平行的判定定理；（2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力； 2、情感目标（1）让学生在发现中学习，增强学习的积极性； （2）让学生了解空间与平面互相转换的数学思想。
二、教学重点、难点重点、难点：直线与平面平行的判定定理及应用。
三、学法与教学用具1、学法：学生借助实例，通过观察、思考、交流、讨论等，理解判定定理。
2、教学用具：多媒体 四、教学思想 （一）课题导入引导学生观察身边的实物，如教材第55页观察题：封面所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？如何去确定这种关系呢？这就是我们本节课所要学习的内容。
（二）研探新知 1、投影问题直线a 与平面α平行吗？若α内有直线b 与a 平行， 那么α与a 的位置关系如何？ 是否可以保证直线a 与平面α平行？学生思考后，师生共同探讨，得出以下结论 直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：a αb β => a ∥α a ∥b2、例1 引导学生思考后，师生共同完成该例是判定定理的应用，让学生掌握将空间问题转化为平面问题的化归思想。
αaα a b（三）自主学习、发展思维练习：教材第61页 1、2题让学生独立完成，教师检查、指导、讲评。
（四）归纳整理1、同学们在运用该判定定理时应注意什么？2、在解决空间几何问题时，常将之转换为平面几何问题。
（五）作业1、教材第67页习题2.2 A组第3题；2、预习：如何判定两个平面平行？§2.2.2 平面与平面平行的判定一、教学目标：1、知能目标理解并掌握两平面平行的判定定理。
2、情感目标进一步培养学生空间问题平面化的思想。
二、教学重点、难点重点：两个平面平行的判定。
难点：判定定理、例题的证明。
三、学法与教学用具1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考、探讨，教师予以启发，得出两平面平行的判定。