相场法数值模拟 ppt课件
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材料加工中的数值模拟方法-微观组织数值模拟(6)ppt课件
M 1 t 2 2 H g () L (T T m T m )p ()
✓ 纯物质凝固相场模型的建立
温度场控 制方程
相场模型 参数确定
cp T t k TLf h (t)
h()
渐近分析
d0 a1
a1
a2
D
毛细长度
动力学系 数
平衡解分析
界面厚度 界面能
✓ 纯物质凝固相场模型的建立
g()2(12) P()3(62151)0
d d M t2 [ 2 2 W 2 A 1 1 2 ] 3 M T M A L 0 A T M A T 2 1 2
单相二元合金相场模型
自由能的构造 WBM相场模型 KKS相场模型
单相二元合金相场模型
自由能密度构造方法
从纯组元A和B的自由能入手
f,c,T1cfAcfB R m T(1c)ln(1c)clnc
c1c s 1p Lp
f A ( , T ) p ( ) f A L ( T ) ( 1 p ( ) f A S ) ( T ) W A g ( )
从液相和固相的自由能入手
f , c , T 1 c W A c W B g 1 p f S c , T p f L c , T
Interface kinetic coefficient
？？？ 渐近分析
尖锐界面模型
a1
a2
D
T D2T
t L f V n K T n s T n L TTMd~01 ~~
Note the details of a1 and a2 depend on the form of h(φ). See
cp T t JQ L f h (t) cp T t k TLf h (t)
✓ 纯物质凝固相场模型的建立
温度场控 制方程
相场模型 参数确定
cp T t k TLf h (t)
h()
渐近分析
d0 a1
a1
a2
D
毛细长度
动力学系 数
平衡解分析
界面厚度 界面能
✓ 纯物质凝固相场模型的建立
g()2(12) P()3(62151)0
d d M t2 [ 2 2 W 2 A 1 1 2 ] 3 M T M A L 0 A T M A T 2 1 2
单相二元合金相场模型
自由能的构造 WBM相场模型 KKS相场模型
单相二元合金相场模型
自由能密度构造方法
从纯组元A和B的自由能入手
f,c,T1cfAcfB R m T(1c)ln(1c)clnc
c1c s 1p Lp
f A ( , T ) p ( ) f A L ( T ) ( 1 p ( ) f A S ) ( T ) W A g ( )
从液相和固相的自由能入手
f , c , T 1 c W A c W B g 1 p f S c , T p f L c , T
Interface kinetic coefficient
？？？ 渐近分析
尖锐界面模型
a1
a2
D
T D2T
t L f V n K T n s T n L TTMd~01 ~~
Note the details of a1 and a2 depend on the form of h(φ). See
cp T t JQ L f h (t) cp T t k TLf h (t)
数值模拟讲课PPT2
应用软件：
一、数值模拟方法与软件简介
FLAC，MIDAS，PLAXIS，ANSYS，ABAQUS 比较 软件 优点 不足
FLAC MIDAS PLAXIS ANSYS ABAQUS 1.岩土工程方面专业; 2. Fish语言，开放性好; 1.中文界面，建模能力强; 2.可视化能力强； 1.专业定制，精度高; 2.操作简单，上手快； 1.通用软件，资源丰富; 2.参数化语言； 1.非线性计算，界面好; 2.岩土方面高级用户使用； 1.建模能力弱; 2. 界面不友好;
Apply、Fix Initial
Attach face elastic 密度(dengsity) 体积模量(bulk) 剪切模量(shear)
图形绘制及结 果输出
收敛标准 摩尔库伦 材料性质
二、MIDAS、FLAC软件模拟操作
2.6 FLAC 3D 软件操作流程
生成网格单元
30
设置边界条件
定义材料性质 设置初始条件 初始地应力平衡 加载及连续建模 求解 结果输出
建立分析模型：根据工程资料，建立三维模型； 根据组力学参数，定义材料性质； 根据坐标的位置，限制模型的边界； 12种本构模型：1个开挖模型（null空模型）；3个 弹性模型；8个弹塑性模型。 常用模型：空模型、mohr模型、弹性(elastic)模型
加载及连续建模：模拟施工扰动通过模型组的材料 特性以及本构模型的改变来实现，主要表现为材料 的开挖、单元节点载荷变化或压力的增减等。
几何 曲面 建立 平面
16
各线段闭合，才能产生平面
二、MIDAS、FLAC软件模拟操作
2.1 MIDAS中实体模型的建立
几何 生成几何体 扩展
17
①只有在平面基础上才能进行扩展； ②进行扩展时，确定好扩展的方向以及扩展长度。
相场法数值 模拟
四、相场方程 (phase-field equations)
Ginzburg-Landau 方程 f 0 k (r , t ) F Lk k k Lk t k (r , t ) k
Cahn-Hilliard 方程
2、凝固-单相场变量
ϵ 2 * 2 F f 0 ( xB , , T ) (xB ) ( ) dr V 2 2
等温凝固，假设摩尔体积不变，即组成梯度项不考虑 ϵ则=0
均质自由能密度
f 0 ( xB , , T * ) f p ( xB , , T * ) g ( )
图1（a）性能不连续
（b）性能连续
N. Moelans, B. Blanpain , P. Wollants, "An introduction to phase-field modeling of microstructure evolution", CALPHAD -Computer Coupling of Phase Diagrams and Thermochemistry, 32, 268-294, 2008
相场量(phase-fields)
两相
多相
p相，相应的变量 k 在系统中任一点 r
1表示在固相中 0表示在液相中 0 1在固液界面
k 1
p
k
1，k 0, k
三、热力学势函数 (thermodynamic energy functional)
经典热力学
F ( xB ,k ) f 0 ( xB ,k ) 1 xB (r , t ) M M xB (r , t ) Vm t xB (r , t ) xB
材料加工中的数值模拟方法-微观组织数值模拟(4)PPT课件
-0.04
（ -0.06
-0.08
、
-0.10
、
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
c
）
fc A 1 c c 0 2 A 2 c c 0 4
A1 1.0 A2 2.5 c0 0.5
第17页/共42页
F V A 1c c 02 A 2c c 04 1 2 c 2 d V
Fc FvcFcv
第12页/共42页
For a positive DHm, the regular solution model can predict immiscibility in a given phase.
T1
>
T2
> 不混溶区T3
DH m
DGmix TDSm
第13页/共42页
调幅分解（相分离）
第14页/共42页
fih noc m fhoc m L d d x c K 1 d d2c 2x K 2 d d x c 2
Ld dFxc,K1d dF2c2x,K2d d2Fxc2
自由能密度 不会由于x轴 反向而变化， 因此L＝0
F tot aA l fhom cK 1d d2c 2xK2d dx c2d x
2c2A1cc04A2cc03
c r t ,t M 2 c 2 A 1 c c 0 4 A 2 c c 0 3
M为常数
c r t,t M 2 2 c 2 A 1 c c 0 4 A 2 c c 0 3
第18页/共42页
数值求解
Example
F4422c2dv
e Je
c Jc
❖热 力 学
Je MeFe
材料科学-相场模拟简介
编辑ppt
t=1
t=10
t=50
14
相场模拟磁畴生成及畴界演化
相场方法模拟二级相变
编辑ppt
t=55
t=65
t=100
15
相场模拟磁畴生成及畴界演化
相场方法模拟二级相变
编辑ppt
t=300
t=800
t=10000
16
相场模拟磁畴生成及畴界演化
相场方法模拟凝固过程
相场方法模拟凝固现象可得到一般的微观组织形貌演化过程； 相场方法在凝固模拟中的应用包括纯物质的凝固，合金凝固，
编辑ppt
相场方法模拟调幅分解
Fe-Mo合金的调幅分解，进一步耦合弹性应力场
忽略弹性应力 的组织演化
考虑弹性应力 的组织演化
弹性应力对CMo=0.5合金调幅分解的影响（ T=500℃ ）
(a)t=5000；(b)t=10000；(c)t=20000；(d)t=50000
24
编辑ppt
相场模拟的进展
定向凝固过程等等； 除相场动力学方程，还需要考虑传热方程，传质方程和流体力
学方程，以及各项异性问题；
编辑ppt
相场法模拟等轴晶生长 （自适应有限元法）
相场法模拟树枝晶生长 17
编辑ppt
相场方法模拟凝固过程
要从固相和液相的过渡态找出一个序参量作为 过渡态的表征·······
纯物质固液相的区别
18
来推算相图； 在许多实际问题中得到应用。
编辑ppt
相场法模拟纤维状共晶合金凝固[2]
21
[2] M.Apel et al. Journal of Crystal Growth [J] 237-239 2002:154-158.
【大学课件】数值方法 - 数值模拟的基本知识69页PPT
y i 1 y i h f i O ( h 2 f ) （ 長條圖積分：一階準確）
先將 yi 對 xi+(1/2) 這點展開，再將 yi+1 對 xi+(1/2) 這點展開， 兩式結果相減， 保留三項，其餘為餘數，可得 y i 1 y i 0 h f i ( 1 / 2 ) 0 O ( h 3 f )
y i 1 y i h f i 1 2 f i O ( h 3 f ) （梯形法積分：二階準確）
7
差分法之準確度與誤差估算 Taylor series expansion
先將 yi 對 xi+(1/2) 這點展開，再將 yi+1 對 xi+(1/2) 這點展開， 兩式結果相減，保留五項，其餘為餘數，可得
df dx xxi
fi
fi1 fi1 2x
fi
fi1 x
fi
fi
fi
fi1 x
d2 f dx2
xxi
2 fi
fi1 2 fi (x)2
fi1
2 fi
fi2
2 fi1 (x)2
fi
2 fi
fi
2 fi1 (x)2
fi2
d3 f dx3
xxi
3 fi
fi2 2 fi1 2 fi1 fi2 2(x)3
3 fi
fi3 3 fi2 3 fi1 fi (x)3
3 fi
fi 3fi1 3fi2 fi3 (x)3
常用差分符號的定義： f i n jk f( x i x ,y j y ,z k z ,t n t )
先將 yi 對 xi+(1/2) 這點展開，再將 yi+1 對 xi+(1/2) 這點展開， 兩式結果相減， 保留三項，其餘為餘數，可得 y i 1 y i 0 h f i ( 1 / 2 ) 0 O ( h 3 f )
y i 1 y i h f i 1 2 f i O ( h 3 f ) （梯形法積分：二階準確）
7
差分法之準確度與誤差估算 Taylor series expansion
先將 yi 對 xi+(1/2) 這點展開，再將 yi+1 對 xi+(1/2) 這點展開， 兩式結果相減，保留五項，其餘為餘數，可得
df dx xxi
fi
fi1 fi1 2x
fi
fi1 x
fi
fi
fi
fi1 x
d2 f dx2
xxi
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fi1 2 fi (x)2
fi1
2 fi
fi2
2 fi1 (x)2
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2 fi
fi
2 fi1 (x)2
fi2
d3 f dx3
xxi
3 fi
fi2 2 fi1 2 fi1 fi2 2(x)3
3 fi
fi3 3 fi2 3 fi1 fi (x)3
3 fi
fi 3fi1 3fi2 fi3 (x)3
常用差分符號的定義： f i n jk f( x i x ,y j y ,z k z ,t n t )
材料科学相场模拟简介PPT课件
相场法模拟纤维状共晶合金凝固[2]
[2] M.Apel et al. Journal of Crystal Growth [J] 237-239 2002:154-158.
相场方法模拟调幅分解
等温条件下的浓 度-自由能函数
区域内浓度分布 的变化
浓度作为序参量，使用 相场守恒方程Model A
相场方法模拟调幅分解
超导转变问题； He的低温转变过程
···ห้องสมุดไป่ตู้··
二级相变的序参量
朗道自由能-序参量关系
朗道相变理论与序参量
相场动力学模型简述
相场方法用序参量表征两个相之间的 过渡状态，是一种非平衡态计算方法；
相场模拟采用的相场动力学方程即序 参量场的演化方程；
相比于明锐界面模型而言，相场模型 的界面状态是序参量的剧烈变化边界 层，是存在宽度的弥散界面。
相场动力学方程
自由能泛函 Model A 序参量守恒
Model B 序参量不守恒
传输方程
一般的传输现象即热量传 输和溶质扩散，以及流体 力学现象，更广义的传输 包括非平衡热力学的熵流
问题
传质方程
广义守恒方程
非守恒方程
明锐界面与弥散界面
Sharp interface 明锐界面（传统界面）
Diffuse interface 弥散界面（相场界面）
多元序参量场的发展和应用 计算技术的升级 实践中的广泛应用
谢 谢！
要在相场动力学方 程中采用各项异性 因子的方法体现各 项异性，图示为六 次对称，各项异性
因子为
纯物质凝固的各项异性生长
相场方法模拟合金凝固
探索f（c，t，Ф ）方程的形式成为关键； 耦合相场方程，传热方程和扩散方程； 固相和液相的自由能-温度函数f（c，t ）可以用
[2] M.Apel et al. Journal of Crystal Growth [J] 237-239 2002:154-158.
相场方法模拟调幅分解
等温条件下的浓 度-自由能函数
区域内浓度分布 的变化
浓度作为序参量，使用 相场守恒方程Model A
相场方法模拟调幅分解
超导转变问题； He的低温转变过程
···ห้องสมุดไป่ตู้··
二级相变的序参量
朗道自由能-序参量关系
朗道相变理论与序参量
相场动力学模型简述
相场方法用序参量表征两个相之间的 过渡状态，是一种非平衡态计算方法；
相场模拟采用的相场动力学方程即序 参量场的演化方程；
相比于明锐界面模型而言，相场模型 的界面状态是序参量的剧烈变化边界 层，是存在宽度的弥散界面。
相场动力学方程
自由能泛函 Model A 序参量守恒
Model B 序参量不守恒
传输方程
一般的传输现象即热量传 输和溶质扩散，以及流体 力学现象，更广义的传输 包括非平衡热力学的熵流
问题
传质方程
广义守恒方程
非守恒方程
明锐界面与弥散界面
Sharp interface 明锐界面（传统界面）
Diffuse interface 弥散界面（相场界面）
多元序参量场的发展和应用 计算技术的升级 实践中的广泛应用
谢 谢！
要在相场动力学方 程中采用各项异性 因子的方法体现各 项异性，图示为六 次对称，各项异性
因子为
纯物质凝固的各项异性生长
相场方法模拟合金凝固
探索f（c，t，Ф ）方程的形式成为关键； 耦合相场方程，传热方程和扩散方程； 固相和液相的自由能-温度函数f（c，t ）可以用
微观组织数值模拟——相场法与元胞自动机
微观组织的数值模拟——相场法与元胞自动机法相场法和元胞自动机法是材料科学与工程研究中常用的两种数值模拟方法。
相场模型是一种建立在热力学基础上，考虑有序化势与热力学驱动力的综合作用来建立相场方程描述系统演化动力学的模型。
其核心思想是引入一个或多个连续变化的序参量，用弥散界面模型代替传统的尖锐界面来描述界面。
相场法的不足是计算量巨大，可模拟的尺度较小（最大可达几十个微米）。
元胞自动机法是一种用来描述复杂系统在离散空间-时间上演化规律的数学算法。
元胞在某一时间步的状态转变由一定的演化规则来决定，并且这种转变是随时间推移对体系各元胞同步进行的。
元胞的状态受其相邻元胞状态的影响，同时也影响着相邻元胞的状态。
局部之间相互作用，相互影响，通过一定的规则变化而整合成一总体行为。
相场法相场法的起源与发展相场法PFM(Phase Field Method)的提出是针对具有十分复杂的界面结构的问题时，用经典尖锐界面模型去跟踪界面演化，会遭遇到严重的数值困难。
并且真实材料中的相界或晶界实际上并不是严格的零厚度界面，而是具有一定厚度（纳米尺度）的边界层，这层厚度控制材料相变动力学，由此引入一个序参量场Φ来区分两相（如固相和液相），通常称之为相场。
在相场中，Φ在固/液界面的一侧从一个常值逐渐过渡至界面另一侧的某一常值，将这个扩散界面层定义为界面，因此，在相场法中的固/液界面为弥散型界面。
Φ的主要目的是跟踪两相不同的热力学状态，可以不严格地将其理解为结晶程度的度量。
相场模型的想法最初由Langer(1978, 1986)提出的，Collin和Levine (1985)也引入了类似的相场模型(Phase field model)。
Caginalp(1985-1991)分析了这些相场模型，证明它们在界面层厚度趋于零时可以还原为尖锐界面的自由边界模型，这就从数学上证明了Langer 等人相场模型的有效性。
Fix(1983),Kobayashi(1991)等采用相场模型对具体凝固过程进行数值模拟。
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相场模型
该方法自提出 后，迅速成为 微观组织模拟
的热点
优缺点
1.通过相场与温度场、溶质 场及其它外部场的耦合，能 有效地将微观与宏观尺度结 合起来。 2.由于不需要追踪晶界位置 能方便处理晶界上溶质聚集 和第二相析出问题，并能将 晶界能和晶界迁移率的各向 异性方便地考虑进去，还能 够较大程度避免点阵的各向 异性。
多相
p相，相应的变量
在系统中任一点
r
k
p
k 1，k 0, k
k 1
三、热力学势函数 (thermodynamic energy functional)
经典热力学
FF bu lF kin tF e l F fys
相场法-热力学
体积自由能 界面能
弹性应变能 电磁相互作用能
(bulk free energy) (interfacial energy) (elastic strain energy)
假设C组分体系
n x i i n tot
n ci
i
V
xi Vm
iC 1xi 1,iC 1ci nVtotV1m
VcidrV1m Vxidrni
xi 摩尔分数
ci 摩尔浓度
Байду номын сангаас
图2 两种不同组成区域
非保守场(non-conserved variables)
序参量 (order parameters)
均质与非均质体系 Homogeneous versus heterogeneous systems
图5 自由能与浓度的关系
Nele Moelans.Phase field method to simulate microstructural evolution (June 2004)
1、固态相变-对称性降低
反相位结构
立方转变为四方相
(anti-phase domain structure) (cubic to tetragonal transformation)
固相 转变
f0()fdi s AB2C3D4 f0()4(f0)max1 221 44
f
(1,2,3)
1 2
3
A i2
k1
14Bk31i4
相场法数值模拟 phase-field modeling
内容
介绍 (Introduction)
相
场
相场变量(Phase-field variables)
法
数
值
相场方程(Phase field equations)
模
拟
热力学势函数(thermodynamic energy functional)
一、介绍
1.计算量巨大，可模拟的 尺度较小（最大可达几十 个微米）。 2.相场参数不容易确定。
二、相场变量(phase-field variables)
指那些满足局域守恒条件的场变量
保守场 如人们最熟悉的浓度序参量c
非保 守场
指那些不满足局域守恒条件的场变量 如长程序参量η
保守场(conserved variables) 成分变量
图1（a）性能不连续
（b）性能连续
N. Moelans, B. Blanpain , P. Wollants, "An introduction to phase-field modeling of microstructure evolution", CALPHAD -Computer Coupling of Phase Diagrams and Thermochemistry, 32, 268-294, 2008
tot ij
el ij
0 ij
弹性失配能
el ij
0 ij
Elastic el ij
0 ij
misfit
energy
图6 多相结构应变理论
b
c
d
Nele Moelans.Phase field method: from fundamental theories to a phenomenological simulation method (June 2003)
α相扩散到 β相的溶质 扩散方程
尖锐界面
c D2c t
c D2c t
(c,in t c,in)tDcDc r1 r1
(c,in)t(c,in)t
相场法原理
相场法是以GinzburgLandau理论为基础, 用微 分方程来体现扩散、有序 化势和热力学驱动的综合 作用, 它是建立在GinzburgLandau 唯象理论之上的 一种近代方法。
F (xB ,k ) V f (xB ,k , xB , k )
V
f0
(xB
,k
)
ϵ
2
(xB
)2
k
k
2
(k
)
2
dr
ϵ 和 k——梯度能量系数
ϵ F in ( x B , tk ) V f0 ( x B ,k ) 2 ( x B ) 2 k2 k ( k ) 2 d r
基本类型
1.连续相场法：扩散方程 驰豫方程
2.微观相场法：实际是 Cahn-Hilliard 方程的微 观离散格点形式。Khachatuyran 引入微观场, 用于描述由原子占据晶 格位置的几率作为场变 量来描述微结构变化
于志生, 刘平, 龙永强.基于Ginzburg-Landau 理论的相 场法研究进展[J].材料热处理技术,2008,37(16):94~98
1或 1表示有序域 0表示无序域
图3 反相位结构
非保守场(non-conserved variables)
图4 立方结构转化成四方结构有三个等同取向
非保守场(non-conserved variables)
相场量(phase-fields)
两相
1表示在固相中 0表示在液相中 0 1在固液界面
• 相场模型是一种建立在热力学基础上，考 虑有序化势与热力学驱动力的综合作用来 建立相场方程描述系统演化动力学的模型。
核心思想
引入一个或多个连续变化的序参量，用弥散 界面模型代替传统的尖锐界面来描述界面
尖锐界面与弥散界面 sharp-interface versus diffuse-interface
1C
6
3
i2
k1
3
各向异性
Anisotropy
界面能各向异性通过序参量的梯度项引入到自
由能表达式中，如：
ϵ F V f0 ( x B ,k ) 1 2 i,j 3 1i j x r B i x r B j 1 2 k ,l p 1 i,3 j 1i j k r i k l r il d r