复旦大学数学分析
【2019年整理】复旦大学数学分析
第八章 反常积分
§1 反常积分的概念和计算 §2 反常积分的收敛判别法
目 录 （下册）
第九章 数项级数
§1 数项级数的收敛性 §2 上极限与下极限 §3 正项级数 §4 任意项级数 §5 无穷乘积
§1 微分中值定理 §2 L’Hospital法则 §3 Taylor公式和插值多项式 §4 函数的Taylor公式及其应用 §5 应用举例 §6 方程的近似求解
第六章 不定积分
§1 不定积分的概念和运算法则 §2 换元积分法和分部积分法 §3 有理函数的不定积分及其应用
目 录 （上册）
第七章 定积分
学好数学分析，必须做到：
➢通 过 系 统 的 学 习 ， 全 面 掌 握 微 积 分 的 思 想 与 原 理、微积分的核心内容与精髓；
➢加强逻辑思维能力的训练与培养，提高数学推理 与论证的能力；
➢通过严格的训练，具备熟练的运算能力与技巧；
学好数学分析，必须做到：
➢通 过 系 统 的 学 习 ， 全 面 掌 握 微 积 分 的 思 想 与 原 理、微积分的核心内容与精髓；
学好的 学 习 ， 全 面 掌 握 微 积 分 的 思 想 与 原 理、微积分的核心内容与精髓；
学好数学分析，必须做到：
➢通 过 系 统 的 学 习 ， 全 面 掌 握 微 积 分 的 思 想 与 原 理、微积分的核心内容与精髓；
➢加强逻辑思维能力的训练与培养，提高数学推理 与论证的能力；
牛顿的最大贡献在于发现了微分与积分之间的深刻 联系，从而使微积分成为一门学科。
数学分析复旦
数学分析复旦
复旦大学的数学分析课程主要包括以下内容：
1. 实数与数列：实数的完备性和有界性，极限的定义和性质，数列的收敛性和发散性，单调数列和子数列等。
2. 函数的连续性：连续函数的定义和性质，间断点的分类和性质，连续函数的运算和复合等。
3. 导数和微分：导数的定义，可导函数的性质，高阶导数和导数的运算，微分中值定理和Taylor公式等。
4. 不定积分：不定积分的定义和运算，定积分的定义和性质，牛顿—莱布尼茨公式，换元积分法和分部积分法等。
5. 定积分的应用：平均值定理，求曲线的弧长和面积，定积分的物理应用，反常积分等。
6. 数列和级数：数列的极限和收敛性，级数的收敛和发散判别法，绝对收敛和条件收敛等。
7. 函数的一致收敛：一致收敛的概念和性质，一致收敛函数列的运算和判别法，幂级数的一致收敛等。
8. Fourier级数：函数的Fourier级数展开，Fourier级数的收敛性和性质，函数的周期性和Fourier级数的应用等。
以上仅为数学分析课程的基本内容，具体的教学安排和课程进度会根据不同学校和教师的要求有所不同。
《复旦大学数学系 数学分析 第3版 上册 笔记和课后习题 》读书笔记思维导图
和课后习题 》
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本书关键字分析思维导图
第版
习题
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复旦大学 数学系
知识
笔记
内容
真题
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数学分析 教材
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复习
书 参考书目 电子书
极限
命题
升级
目录
01 第一篇 极限论
02
第二篇 单变量微积分 学
本书特别适用于参加研究生入学考试指定考研参考书目为复旦大学数学系《数学分析》（第3版）（上册） 的考生。也可供各大院校学习复旦大学数学系《数学分析》（第3版）（上册）的师生参考。复旦大学数学系主 编的《数学分析》（第3版）是我国高校数学类广泛采用的权威教材之一，也被众多高校（包括科研机构）指定 为考研考博专业课参考书目。为了帮助参加研究生入学考试指定参考书目为复旦大学数学系主编的《数学分析》 （第3版）的考生复习专业课，我们根据该教材的教学大纲和名校考研真题的命题规律精心编写了复旦大学数学 系《数学分析》（第3版）辅导用书（均提供免费下载，免费升级）：1．[3D电子书]复旦大学数学系《数学分析》 （第3版）（上册）笔记和课后习题（含考研真题）详解[免费下载]2．[3D电子书]复旦大学数学系《数学分析》 （第3版）（下册）笔记和课后习题（含考研真题）详解[免费下载]3．[3D电子书]复旦大学数学系《数学分析》 （第3版）（上册）配套题库【名校考研真题+课后习题+章节题库+模拟试题】[免费下载]4．[3D电子书]复旦大 学数学系《数学分析》（第3版）（下册）配套题库【名校考研真题+课后习题+章节题库+模拟试题】[免费下载] 本书是复旦大学数学系主编的《数学分析》（第3版）的配套e书，主要包括以下内容：（1）梳理知识脉络，浓 缩学科精华。本书每章的复习笔记均对该章的重难点进行了整理，并参考了国内名校名师讲授该教材的课堂笔记。 因此，本书的内容几乎浓缩了该教材的所有知识精华。（2）详解课后习题，巩固重点难点。本书参考大量相关 辅导资料，对复旦大学数学系主编的《数学分析》（第3版）的课后思考题进行了详细的分析和解答，并对相关 重要知识点进行了延伸和归纳。（3）精编考研真题，培养解题思路。本书精选详析了部分名校近年来的相关一篇 极限论
数学分析 复旦大学
第一章 集合
1．1 集合
1．2 数集及其确界
第二章 数列极限
2．1 数列极限
2．2 数列极限（续）
2．3 单调数列的极限
2．4 子列
第三章 映射Leabharlann 实函数 3．1 映射 3．2 一元实函数
3．3 函数的几何特性
第四章 函数极限和连续性
4．1 函数极限
4．2 函数极限的性质
4．3 无穷小量、无穷大量和有界量
第五章 连续函数和单调函数
5．1 区间上的连续函数
5．2 区间上连续函数的基本性质
5．3 单调函数的性质
第六章 导数和微分
6．1 导数概念
6．2 求导法则
6．3 高阶导数和其他求导法则
6．4 微分
第七章 微分学基本定理及应用
7．1 微分中值定理
7．2 Taylor展开式及应用
7．3 LHospital法则及应用
第八章 导数的应用
8．1 判别函数的单调性
8．2 寻求极值和最值
8．3 函数的凸性
8．4 函数作图
8．5 向量值函数
第九章 积分
9．1 不定积分
9．2 不定积分的换元法和分部积分法
9．3 定积分
9．4 可积函数类R［a，b］
第二十六章 Lebesgue积分
26．1 可测函数
26．2 若干预备定理
26．3 Lebesgue积分
26．4（L）积分存在的充分必要条件
26．5 三大极限定理
26．6 可测集及其测度
26．7 Fubini定理
练习及习题解答
数学分析复旦
数学分析复旦简介数学分析是数学的一个重要分支，其主要研究实数域上的函数性质、极限、连续性、可微性等。
在复旦大学，数学分析是数学专业的重要课程之一。
本文将介绍数学分析在复旦大学的教学内容、教学方法以及对学生的意义。
教学内容数学分析在复旦大学的教学内容主要包括以下几个方面：1.极限与连续：介绍实数域上的极限概念和连续性概念，包括函数极限、数列极限、函数连续的定义和性质等。
2.导数与微分：讲解函数的导数及其性质，包括导数的定义、导数的计算方法、导数的几何意义等。
同时介绍函数的微分概念和微分的应用。
3.积分与定积分：介绍积分的定义、不定积分及其计算方法、定积分的概念和性质。
讲解积分在几何学和物理学中的应用。
4.级数与级数收敛性：讲解级数及其收敛性的概念和判别法，包括正项级数的判别法、任意项级数的判别法等。
5.函数列与一致收敛性：介绍函数列及其收敛性的概念和判别法，包括一致收敛性的定义和性质。
教学内容涵盖了数学分析的基本概念和重要定理，为学生进一步学习和研究高等数学打下坚实的基础。
教学方法在复旦大学的数学分析课程中，教师采用了多种教学方法，以提高学生的学习兴趣和理解力。
1.授课与讲解：教师通过课堂上的讲授，结合具体的例子和图表，详细阐述数学分析的原理和概念，帮助学生理解和掌握知识点。
2.练习与训练：教师会布置大量的作业和习题，鼓励学生积极参与练习和讨论，提高解题能力和应用能力。
3.讨论和演示：教师会组织学生进行小组讨论，让学生之间相互交流和分享经验。
同时，通过数学软件和仿真实验等方式进行演示，帮助学生直观地理解数学分析中的抽象概念和推理过程。
4.课外拓展：教师会引导学生进行课外拓展，包括参与数学竞赛、阅读相关专业书籍等，提高学生对数学分析的兴趣和深度理解。
教学方法的多样性和灵活性能够满足不同学生的学习需求，提高教学效果和学习成果。
学习意义数学分析作为数学专业的重要课程，对学生具有重要的学习意义和应用价值。
数学分析习题集5复旦大学
习
⒈ 对于
题
5.2
x→a +
lim
f ′( x ) = +∞ 或 − ∞ g ′( x )
⒉
的情况证明 L'Hospital 法则。 求下列极限： ⑴ lim
x→0
e x − e− x ; sin x
⑶ lim π
x→ 2
ln(sin x ) ; ( π − 2 x )2
sin 3 x ; tan 5 x xm − am ; lim n ⑷ x →a x − a n
x →+∞
26． 设 f ( x ) 在 ( a , + ∞ ) 上可导，并且 lim f ′( x ) = 0 ，证明 lim
x →+∞
27．设 f ( x ) 在 [ a , b] 连续，在 ( a, b) 二阶可导，证明存在 η ∈ ( a , b ) ，成立
2
f (x) = 0。 x
a+b ⎛b−a⎞ f (b) + f (a ) − 2 f ( )=⎜ ⎟ f " (η ) 。 2 ⎝ 2 ⎠ b−a ⎡a + b ⎤ （提示：在区间 ⎢ ） )。 , b ⎥ 上考虑函数 g ( x) = f ( x) − f ( x − 2 ⎦ ⎣ 2
⑴ 1） (1 + x) ln (1 + x) < x ；
2 2
1 1 1 1 −1 < − < 。 ln 2 ln(1 + x) x 2 14． 对于每个正整数 n （ n ≥ 2 ） ，证明方程 n x + x n −1 + " + x 2 + x = 1 在 (0,1) 内必有唯一的实根 x n ，并求极限 lim x n 。
数学分析习题集9复旦大学
ln n
2
2n 2 ; ⑵ ∑ 3 n =1 n + 3n ∞ 1 ⑷ ∑ ; n =1 n ! ∞ π⎞ ⎛ ⑹ ∑ ⎜1 − cos ⎟ ; n⎠ n =1 ⎝
⑻ ⑽
∞
1
n
∑(
n =1
∞
n
n − 1) ;
n2 ; ∑ n n =1 2
∞
∑n
n =1 ∞ n =1
∞
2
e −n ;
[2 + (−1) n ]n ; ∑ 2 2 n +1 n =1 ∞ 2 n n! ⑿ ∑ n ; n =1 n
1+ 15. 利用级数的 Cauchy 乘积证明： (1)
1 ∞ (−1) n ⋅∑ = 1； ∑ n! n =0 n ! n =0
∞
(2) ⎜
⎛
∞ ⎞ n ⎞ ⎛ q qn ⎟ = ⎟ ⎜ ∑ ∑ ⎝ n =0 ⎠ ⎝ n =0 ⎠ ∞
∑ (n + 1)q
n =0
∞
n
=
1 (｜q｜＜1 ) 。 (1 − q ) 2
12. 已知任意项级数
14. 利用
1 1 1 + + … + - ln n → γ ( n → ∞ )， 2 3 n ∞ (−1) n +1 其中 γ 是 Euler 常数(见例 2.4.8)，求下述 ∑ 的更序级数的和： n n =1 1 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + + + - + … 。 3 2 5 7 4 9 11 6
(a＞0)。
2. 利用级数收敛的必要条件，证明： (1) lim
n →∞
(2)
复旦大学数学分析第三版答案
复旦大学数学分析第三版答案【篇一：数学分析复旦大学第四版大一期末考试】s=txt>一、填空题（每空1分，共9分） 1.函数()cos1fxx??的定义域为________________2.已知函数sin,1()0,1xxfxx????????，则(1)____,()____4ff???3.函数()sincosfxxx??的周期是_____4.当0x?时，函数tansinxx?对于x的阶数为______5.已知函数()fx在0xx?处可导，则00011()()23lim____hfxhfxhh ???6.曲线1yx?在点(1,1)处的切线方程为______________,法线方程为________________7.函数2()fxx?在区间[0,3]上的平均值为________二、判断题（每小题1.5分，共9分） 1.函数()fxx?与2()gxx?是同一个函数。
（）2.两个奇函数的积仍然是奇函数。
（）3.极限0limxxx?不存在。
（）4.函数1,0()1,0xfxx???????是初等函数，而1,0()0,01,0xgxxx?不是初等函数。
（）5.函数()sinfxxx?在区间[0,]?上满足罗尔中值定理。
（）6.函数()fx在区间[,]ab上可导，则一定连续；反之不成立。
（）三、计算题（64分）1.求出下列各极限（每小题4分，共20分）（1）111lim(...)1223 (1)nnn????????? （2）222111lim(...)12nnnnn????????（3）4213lim22xxx?????（4）210lim(cos)xxx??（5）211lim1xtxedtx???2.求出下列各导数（每小题4分，共16分）()xtxfxedt????（2）cos()(sin)xfxx? (3) sin1cosxttyt???????1）2 （【篇二：复旦数学真题有答案】?a?bc,y?b?ac,z?c?ab，65、已知是不完全相等的任意实数。
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§1 数项级数的收敛性 §2 §3 §4 §5 上极限与下极限 正项级数 任意项级数 无穷乘积
第十章 函数项级数
§1 函数项级数的一致收敛性 §2 §3 §4 §5 一致收敛级数的判别与性质 幂级数 函数的幂级数展开 用多项式逼近连续函数
目
录 （下册） 下册）
第十一章 Euclid空间上的极限和连续 Euclid空间上的极限和连续
学好数学分析，必须做到： 通过系统的学习，全面掌握微积分的思想与原 理、微积分的核心内容与精髓； 加强逻辑思维能力的训练与培养，提高数学推理 与论证的能力； 通过严格的训练，具备熟练的运算能力与技巧； 注重微积分的应用，掌握数学模型的思想与方法， 提高应用微积分这一有力的数学工具分析问题、解 决问题的能力。
学好数学分析，必须做到： 通过系统的学习，全面掌握微积分的思想与原 理、微积分的核心内容与精髓； 加强逻辑思维能力的训练与培养，提高数学推理 与论证的能力；
学好数学分析，必须做到： 通过系统的学习，全面掌握微积分的思想与原 理、微积分的核心内容与精髓； 加强逻辑思维能力的训练与培养，提高数学推理 与论证的能力； 通过严格的训练，具备熟练的运算能力与技巧；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
目
第十五章 含参变量积分
录 （下册） 下册）
§1 含参变量的常义积分 §2 §3 含参变量的反常积分 Euler积分 Euler积分
第十六章 Fourier级数 Fourier级数
函数的Fourier Fourier级数展开 §1 函数的Fourier级数展开 §2 §3 §4 §5 Fourier级数的收敛判别法 Fourier级数的收敛判别法 Fourier级数的性质 Fourier级数的性质 Fourier变换和Fourier积分 Fourier变换和Fourier积分 变换和Fourier 快速Fourier变换 快速Fourier变换 Fourier
前
言
“数学分析”是一门对数学系的学生讲授微积分的 课程。 “数学分析”是数学系最重要的一门基础课，是许 多后继课程如微分几何，微分方程，复变函数，实变函 数与泛函分析，计算方法，概率论与数理统计等课程必 备的基础。 微积分是人类思维最伟大的成果之一，是人类文明 史上一颗光辉灿烂的明珠。
前
言
任何一门学科的产生与发展，都离不开外部世界的 推动。任何科学技术的发展都与时代的发展密切相关。 牛顿的最大贡献在于发现了微分与积分之间的深刻 联系，从而使微积分成为一门学科。
目
§1 微分中值定理 §2 L’Hospital法则 法则
录 （上册） 上册）
第五章 微分中值定理及其应用
§3 Taylor公式和插值多项式 公式和插值多项式 函数的Taylor公式及其应用 §4 函数的 公式及其应用 §5 应用举例 §6 方程的近似求解
第六章 不定积分
§1 不定积分的概念和运算法则 §2 换元积分法和分部积分法 §3 有理函数的不定积分及其应用
教材和参考书
教材：陈纪修，於崇华，金路. 数学分析. 第二版. 北京：高等教育出版 教材 社，2004. 参考书： 参考书 1. 华罗庚. 高等数学引论（第一卷）. 北京：科学出版社，1964. 2. 菲赫金哥尔兹. 微积分学教程. 北京：人民教育出版社，1954. 3. 吉米多维奇.数学分析习题集. 北京：高等教育出版社，1958. 4. 数学分析原理，卢丁著，赵慈庚，蒋铎译. 北京：高等教育出版 社，1979. 5. 陈传璋等. 数学分析. 北京：高等教育出版社，1978. 6. 陈纪修等. 数学分析习题全解指南. 北京：高等教育出版社，2005.
目
第七章 定积分
录 （上册） 上册）
§1 定积分的概念和可积条件 §2 §3 §4 §5 §6 定积分的基本性质 微积分基本定理 定积分在几何计算中的应用 微积分实际应用举例 定积分的数值计算
第八章 反常积分
§1 反常积分的概念和计算 §2 反常积分的收敛判别法
目
第九章 数项级数
录 （下册） 下册）
目
第十三章 重积分
录 （下册） 下册）
§1 有界闭区域上的重积分 §2 §3 §4 §5 重积分的性质与计算 重积分的变量代换 反常重积分 微分形式
第十四章 曲线积分、曲面积分与场论 曲线积分、
§1 第一类曲线积分与第一类曲面积分 §2 §3 §4 §5 第二类曲线积分与第二类曲面积分 Green公式、Gauss公式和Stokes公式 Green公式、Gauss公式和Stokes公式 公式 公式和Stokes 微分形式的外微分 场论初步
前
言
任何一门学科的产生与发展，都离不开外部世界的 推动。任何科学技术的发展都与时代的发展密切相关。 牛顿的最大贡献在于发现了微分与积分之间的深刻 联系，从而使微积分成为一门学科。 科学技术的发展历史告诉我们，人类的任何一个伟 大的发明与创造，都是站在巨人的肩膀上取得的。
学好数学分析，必须做到： 通过系统的学习，全面掌握微积分的思想与原 理、微积分的核心内容与精髓；
目
第一章 集合与映射
§1 集合 §2 映射与函数
录 （上册） 上册）
第二章
数列极限
§1 实数系的连续性 §2 数列极限 §3 无穷大量 §4 收敛准则
目
§1 函数极限 §2 §3 §4 连续函数
录 （上册） 上册）
第三章 函数极限与连续函数
无穷小量与无穷大量的阶 闭区间上的连续函数
第四章 微分
§1 微分和导数 §2 §3 §4 §5 导数的意义和性质 导数的四则运算和反函数求导法则 复合函数求导法则及其应用 高阶导数和高阶微分
陈纪修 王喆 尹志强 邱维元 周渊 高等教育出版社 高等教育电子音像出版社
研制
前
言
“数学分析”是一门对数学系的学生讲授微积分的 课程。
前
言
“数学分析” 是一门对数学系的学生讲授微积分的 课程。 “数学分析”是数学系最重要的一门基础课，是许 多后继课程如微分几何，微分方程，复变函数，实变函 数与泛函分析，计算方法，概率论与数理统计等课程必 备的基础。
Euclid空间上的基本定理 §1 Euclid空间上的基本定理 §2 §3 多元连续函数 连续函数的性质
第十二章 多元函数的微分学
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 偏导数与全微分 多元复合函数的求导法则 中值定理和Taylor公式 中值定理和Taylor公式 Taylor 隐函数 偏导数在几何中的应用 无条件极值 条件极值问题与Lagrange乘数法 条件极值问题与Lagrange乘数法 Lagrange