复旦考研数学分析试题
数学分析习题集10复旦大学
4 − x2 ，
x −1 ， x0 = 1; x +1 1+ x ⑼ ln ， x0 = 0; 1− x
⑴
⑻ (1+x) ln (1-x), ⑽
e−x , x0 = 0。 1− x
1 , n2 Sn(x) = nx(1 - x)n , x x Sn(x) = ln , n n xn , Sn(x) = 1+ xn Sn(x) = (sin x)n , x2 +
1 n
(ii) x ∈ (1,+∞ ) )； (ii) x ∈ (1,+∞ ) ；
⑽ Sn(x) = (sin x) ,
1. 讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性。
(i) x ∈ (0,1) ， x ∈ (0,+∞ ) ； (i) x ∈ (−∞,+∞ ) ， (i) x ∈ (0,1) ， x ∈ ( −∞,+∞ ) ； x ∈ [0,1] ； (i) x ∈ (0,1) ， (i) x ∈ (0,1) ， x ∈ [0, π ] ； (i) x ∈ [0,1] ，
3n ⎛ x − 1 ⎞ ⑸ ∑ ⎜ ⎟ ; n =1 n ! ⎝ 2 ⎠
∞
n
ln 2 n n 2 ⑹ ∑ n x ; n=2 n
⑻
∞
⑺ ⑼
n! n x ； ∑ n n =1 n
∞
( n !) 2 n x ; ∑ n =1 ( 2n) !
∞
∑ (2n + 1)!!xn =1 ∞来自∞(2n )!!
n
。
2. 设 a＞b＞0，求下列幂级数的收敛域。
习
1. 求下列幂级数的收敛半径与收敛域。
数学分析习题集5复旦大学
习
⒈ 对于
题
5.2
x→a +
lim
f ′( x ) = +∞ 或 − ∞ g ′( x )
⒉
的情况证明 L'Hospital 法则。 求下列极限： ⑴ lim
x→0
e x − e− x ; sin x
⑶ lim π
x→ 2
ln(sin x ) ; ( π − 2 x )2
sin 3 x ; tan 5 x xm − am ; lim n ⑷ x →a x − a n
x →+∞
26． 设 f ( x ) 在 ( a , + ∞ ) 上可导，并且 lim f ′( x ) = 0 ，证明 lim
x →+∞
27．设 f ( x ) 在 [ a , b] 连续，在 ( a, b) 二阶可导，证明存在 η ∈ ( a , b ) ，成立
2
f (x) = 0。 x
a+b ⎛b−a⎞ f (b) + f (a ) − 2 f ( )=⎜ ⎟ f " (η ) 。 2 ⎝ 2 ⎠ b−a ⎡a + b ⎤ （提示：在区间 ⎢ ） )。 , b ⎥ 上考虑函数 g ( x) = f ( x) − f ( x − 2 ⎦ ⎣ 2
⑴ 1） (1 + x) ln (1 + x) < x ；
2 2
1 1 1 1 −1 < − < 。 ln 2 ln(1 + x) x 2 14． 对于每个正整数 n （ n ≥ 2 ） ，证明方程 n x + x n −1 + " + x 2 + x = 1 在 (0,1) 内必有唯一的实根 x n ，并求极限 lim x n 。
复旦数学分析习题1
2. (1) 建立区间 [ a , b ] 与 [ 0, 1 ] 之间的一一对应； (2) 建立区间 ( 0, 1 ) 与 ( −∞,+∞) 之间的一一对应。 解（1） f : [a, b] → [0,1]
x y= x−a ； b−a
（2） f : (0,1) → (−∞,+∞ )
x 1 tan( x − )π = − cot(π x) 。 2
解
12.
一玻璃杯装有汞、水、煤油三种液体，比重分别为13.6，1，0.8 上层煤油液体高度为5厘米， 中层水液体高度 克／厘米 (图1.2.9)， 为4厘米，下层汞液体高度为2厘米，试求压强 P 与液体深度 x 之间 的函数关系。
３
解
⎧78.4 x ⎪ P( x) = ⎨98 x − 98 ⎪1332.8 x − 11211.2 ⎩
。
Байду номын сангаас
8
第一章
习 题
集合与映射
1.1 集合
⒈ 证明由 n 个元素组成的集合 T = { a1，a2 ， ，an } 有 2 n 个子集。 解
k k 由 k 个元素组成的子集的个数为 C n ， ∑ Cn = (1 + 1) n = 2 n 。
k =0 n
⒉ 证明： (1) 任意无限集必包含一个可列子集； (2) 设 A 与 B 都是可列集，证明 A ∪ B 也是可列集。 证（1） 设 T 是一个无限集， 先取 a1 ∈ T 。 由于 T 是无限集， 必存在 a 2 ∈ T ，
（2）令
9.
证明：定义于 ( −∞,+∞) 上的任何函数都可以表示成一个偶函数与一 个奇函数之和。
证
显然
f ( x) + f (− x) f ( x) − f (− x) 是偶函数， 是奇函数，而 2 2 f ( x) + f (− x) f ( x) − f (− x) 。 + f ( x) = 2 2
数学分析习题集7复旦大学
∫
a
0
f ( x)dx +
∫0
b
f −1 ( y )dy ≥ ab
（ a > 0, b > 0 ） 。
lim ∫a | f h ( x ) − f ( x )| dx = 0 。
h→ 0
b
12．设 f ( x ) 和 g ( x ) 在 [a , b] 上都可积，证明不等式 (1) （Schwarz 不等式） ⎡
f ( x) g ( x)dx ⎤ ≤ ∫ f 2 ( x)dx ⋅ ∫ g 2 ( x)dx ； ⎥ a a ⎦
b b
2
2
( x)dx
} + {∫ g ( x)dx}
1 2 b 2 a
1 2
。
lim ∫ [ f ( x)] g ( x)dx
n →∞ a
{
b
} = max f ( x)
7.3
⑵ F(x) =
⑴ 6.
⑵
⎧ − 1, x为有理数, f (x) = ⎨ x为无理数; ⎩1,
x ≠ 0, ⎧ sgn(sin π x ), = ⑷ f (x) ⎨ x = 0. ⎩ 0,
1 在 f ( x)
设 f ( x ) 在 [a , b] 上可积，且在 [a , b] 上满足 | f ( x ) |≥ m > 0 （ m 为常数） ，证明
⑴ lim⎜
n→∞
8.
求下列定积分： ⑴ ⑶ (5)
∫0 cos n xdx ; ∫0 ( a 2 − x 2 ) n dx ;
1 ∫0 x
π 2
π
⑵ ⑷
∫−π sin n x dx ;
∫0 x
e
1 2
数学分析习题集9复旦大学
ln n
2
2n 2 ; ⑵ ∑ 3 n =1 n + 3n ∞ 1 ⑷ ∑ ; n =1 n ! ∞ π⎞ ⎛ ⑹ ∑ ⎜1 − cos ⎟ ; n⎠ n =1 ⎝
⑻ ⑽
∞
1
n
∑(
n =1
∞
n
n − 1) ;
n2 ; ∑ n n =1 2
∞
∑n
n =1 ∞ n =1
∞
2
e −n ;
[2 + (−1) n ]n ; ∑ 2 2 n +1 n =1 ∞ 2 n n! ⑿ ∑ n ; n =1 n
1+ 15. 利用级数的 Cauchy 乘积证明： (1)
1 ∞ (−1) n ⋅∑ = 1； ∑ n! n =0 n ! n =0
∞
(2) ⎜
⎛
∞ ⎞ n ⎞ ⎛ q qn ⎟ = ⎟ ⎜ ∑ ∑ ⎝ n =0 ⎠ ⎝ n =0 ⎠ ∞
∑ (n + 1)q
n =0
∞
n
=
1 (｜q｜＜1 ) 。 (1 − q ) 2
12. 已知任意项级数
14. 利用
1 1 1 + + … + - ln n → γ ( n → ∞ )， 2 3 n ∞ (−1) n +1 其中 γ 是 Euler 常数(见例 2.4.8)，求下述 ∑ 的更序级数的和： n n =1 1 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + + + - + … 。 3 2 5 7 4 9 11 6
(a＞0)。
2. 利用级数收敛的必要条件，证明： (1) lim
n →∞
(2)
复旦考研数学分析试题
09复旦数学分析考研试题一、 数学分析(90)1. 计算(每个6分)（1） 设∑为：2224(3)6(2)(1)36x y z -+-++≤曲面的外侧，求232x dydz ydxdz +∑⎰⎰=_______。
（2） 1320(1)(1)x dx x x ++⎰=_______。
（3）ln x -(0,)+∞上有唯一的零点，A =_______。
（4） ()f x 在原点存在二阶导数，''(0)0f ≠，'()(0)()x f x f f x θ-=，则0lim x x θ→=_______。
（填某个值或不一定存在或无法确定） （5） 1sin 2009k xk k απ∞=∑在(0,)+∞上一致收敛，则α的取值范围为_______。
2. 证明（每个15分）（1）(,)f x y 定义在[,][,]a b c d ⨯上，且(,)f x y 关于x 连续，且对于某一固定的0[,]y c d ∈， 00[,]lim sup |(,)(,)|0y y x a b f x y f x y →∈-=证明：(,)f x y 在[,][,]a b c d ⨯上连续。
（2）21sin()n n n a a a n-=-求证：lim 0n n a →∞= （3）()f x 在(,)-∞+∞上任意有限区间上可积，求证：对任意的,,,,a b c d()()bd d ba c c a dx f x t dt dt f x t dx +=+⎰⎰⎰⎰ （4）()f x 定义在区间(,)ab 上，对任一(,)x a b ∈0()()lim0y f x y f y y→+-> （注：左式可以为+∞），求证：()f x 在(,)a b 上严格单调。
二、 常微分方程（30）已知2(,)3...x y x Φ=+（这个式子都记不清楚了） 和系统[*] 3dx y dt λ=+ ...dy dt = [*]（1）(,)x y C Φ=是[*]的首次积分，确定[*]中λ的值。
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由于对任意的 y∈[c，d]，有下式成立
所以有
即
．
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第 2 部分 多变量微分学
第 14 章 偏导数和全微分
解答题 1．已知
1 确定，且 h（x）具有所需的性质．求
所以对任意的 ε＞0，取 在（0，0）处连续．
，则当
时，有
，故 f（x，y）
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由于当（x，y）≠（0，0）时，
，故
4．讨论
在（0，0）点的连续性和可微性．[武汉大学研] 解：（1）连续性．可以令 x＝ζcosθ，y＝ζsinθ，因为
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故
12．
解：由
又由
得
[上海交通大学研] 得
，于是
13．设 z 由 求 [南京大学研]
解：由
得 ①式两端再对 x 求导得
定义为 x，y 的隐函数，其中 为二次连续可微，
两边对 x 求导 ①
所以 f（x，y）在（0，0）点连续． （2）可微性．由于 从而
选取特殊路径 y＝kx，有 为 1，所以 f（x，y）在（0，0）点不可微．
5． 解：由于
，求 dz．[华东师范大学研]
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，极限不
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故
．
6．函数 数．[天津大学研]
同时
，
．
5．若函数 f（x，y）在 上对 x 连续，且存在 L＞0，对任意的 x、y′有
数学分析习题集4复旦大学
x − cos y = sin y − x ；
e x 2 + y − xy 2 = 0 ；
2 y sin x + x ln y = 0 ；
6． 设所给的函数可导，证明： ⑴ 奇函数的导函数是偶函数；偶函数的导函数是奇函数； ⑵ 周期函数的导函数仍是周期函数。 7．求曲线 xy + ln y = 1 在 M (1,1) 点的切线和法线方程。 8． 对下列参数形式的函数求
x →a + 0 x→a + 0
⑵ 若 lim f ′( x ) = ∞ ，那么能否断定也有 lim f ( x ) = ∞ ？
x→a + 0 x →a + 0
证明 f ( x ) 在 x = 0 处可导的充分必要条件是： 存在在 x = 0 11． 设函数 f ( x ) 满足 f (0) = 0 。 处连续的函数 g ( x ) ，使得 f ( x ) = xg ( x ) ，且此时成立 f ′(0) = g (0) 。
⑷ y = ln( x + x 2 + a 2 ) ；
⑸ ⒊
1 y = ( x x 2 − a 2 − a 2 ln( x + x 2 − a 2 ) . 2
设 f ( x ) 可导，求下列函数的导数：
⑴ ⑶ ⑸
f (3 x 2 ) ；
⑵ ⑷ ⑹
⎛ 1 ⎞ f⎜ ⎟； ⎝ ln x ⎠
arc tan f ( x ) ； sin ( f (sin x )) ；
1 ； x + cos x
f ( x) = x 2 (3 tan x + 2 sec x) ；
f (x) = 2 sin x + x − 2 x ； 3 x2
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09复旦数学分析考研试题
一、 数学分析(90)
1. 计算(每个6分)
（1） 设∑为：222
4(3)6(2)(1)36x y z -+-++≤曲面的外侧，求232x dydz ydxdz +∑
⎰⎰=_______。
（2） 13
20
(1)(1)x dx x x ++⎰=_______。
（3）
ln x -(0,)+∞上有唯一的零点，A =_______。
（4） ()f x 在原点存在二阶导数，''(0)0f ≠，
'()(0)()x f x f f x θ-=，则0lim x x θ→=_______。
（填某个值或不一定存在或无法确定） （5） 1sin 2009k xk k α
π∞=∑在(0,)+∞上一致收敛，则α的取值范围为_______。
2. 证明（每个15分）
（1）(,)f x y 定义在[,][,]a b c d ⨯上，且(,)f x y 关于x 连续，且对于某一固定的0[,]y c d ∈， 00[,]lim sup |(,)(,)|0y y x a b f x y f x y →∈-=
证明：(,)f x y 在[,][,]a b c d ⨯上连续。
（2）21sin()n n n a a a n
-=-
求证：lim 0n n a →∞= （3）()f x 在(,)-∞+∞上任意有限区间上可积，求证：对任意的,,,,a b c d
()()b
d d b
a c c a dx f x t dt dt f x t dx +=+⎰⎰⎰⎰ （4）()f x 定义在区间(,)a
b 上，对任一(,)x a b ∈
0()()lim
0y f x y f y y
→+-> （注：左式可以为+∞），求证：()f x 在(,)a b 上严格单调。
二、 常微分方程（30）
已知2
(,)3...x y x Φ=+（这个式子都记不清楚了） 和系统[*] 3dx y dt λ=+ ...dy dt = [*]
（1）(,)x y C Φ=是[*]的首次积分，确定[*]中λ的值。
（或者是0δ的值，具体不是很清楚） （只要明白首次积分的概念就能做的题目）
（2）证明解对参数的连续性
（3）求系统[*]在0λ>，0δδ<时在李亚普诺夫意义下的稳定性。
三、 实变函数（30）
1. 叙述积分的法杜（Fatou ）引理。
（10分）
2. （20分）{()}n f x 为定义在可测集上的可测函数列，{()}n f x 在勒贝格测度意义下收敛
于()f x
求证：
（1）存在子列{()}k n f x 1()k k n n +<，满足
12k k mE <，1{:|()()|}2k k n k
E x E f x f x =∈-≥ （2）证明上述子列几乎处处收敛于()f x 。
（这个整个是一个定理，分成两步证明了。
Rieze 引理）。