2021年江南十校理科高三一模数学试卷及答案(高清版)
2021届“江南十校”一模联考
数学（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．设集合2{|560}A x x x =-->，集合{|47}B x x =< ，则A B =
A ．(]
67，B ．(]47，C ．()()
14-∞-+∞ ，，D ．()()23-∞+∞ ，，2．已知复数1i z =+，z 是z 的共轭复数，若2i z a b ⋅=+，其中a b ,均为实数，则b 的值为
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．23．已知3sin 5α=，π3π(,)22
α∈，则=α2tan A ．24
7-B ．24
25-C ．24
25D ．24
7
4．2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表
面第一次动态展示国旗．1949年公布的《国旗
制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有
一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个
角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三
颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，
以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，
1OO ，2OO ，3OO ，4OO 分别是大星中心点与
四颗小星中心点的联结线，16α≈ ，则第三颗
小星的一条边AB 所在直线的倾斜角约为
A ．
0B ． 1C ． 2D ．
35．函数||cos ()2x x x f x =的图象大致为
A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知F 为椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点，O 为坐标原点，P 为椭圆C 上一点，若||||OP OF =，120POF ∠= ，则椭圆C 的离心率为
A ．
22B ．3
3C ．12-D 17．现有5名志愿者被分配到3个不同巡查点进行防汛抗洪志愿活动，要求每人只能去一个巡查点，每个巡查点至少有一人，则不同分配方案的总数为
A ．120
B ．150
C ．240
D ．300
8．将数列}13{-n 与}12{+n 的公共项从小到大排列得到数列{}n a ，则{}n a 的第10项为
A ．1210-
B ．1210+
C ．1220-
D ．1
220+9．已知函数|ln |()e x f x =，(1)a f =，
2(log b f =，12(2).c f =，则
A ．b c a >>
B ．c b a >>
C ．c a b >>
D ．b a c
>>10．在△ABC 中，角A B C ,,的对边分别为a b c ,,，sin a c B =，则tan A 的最大值为
A ．1
B ．
45C ．34D ．2
311．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方形1111A B C D 的中心，,,P M N 分别为1DD AB BC ,,的中点，则四面体OPMN 的体积为
A ．125
B ．
65C ．1225D ．62512．已知函数e ()elog (1)x
a f x x a a =->没有零点，则实数a 的取值范围为
A ．(e,)+∞
B ．)+∞
C ．(1,)+∞
D ．1
e
(e ,)+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设)(x f 是定义在R 上周期为2的函数，当]1,1(-∈x 时，22,10,() 01,x x m x f x
x ⎧++-<<⎪= 其中R ∈m .若2
3(161(
f f =，则m 的值是__________.14．已知非零向量a ，b 满足|a ＋b |=|a －b |，且|a |=|b |，则a 和a ＋b 的夹角为__________.
15．在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，2
PA PB AB ==，
若△PBC 和△PCD 的面积分别为1和，则四棱锥P -ABCD 的外接球的表面积为__________.
16．已知12F F ,为双曲线)00(122
22
>>=-b a b y a x ，的左、右焦点，过2F 作倾斜角为 60的直线l
交双曲线右支于A ，B 两点（A 在x 轴上方），则△AF 1F 2的内切圆半径1r 与△BF 1F 2的内切圆半径2r 之比2
1r r 为__________.三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.（12分）
已知S n 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，11n n S a +=-.
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足11222n n n n b S b a +++=+，证明数列{}n n a b +为等差数列，并求其公差.
18．（12分）
如图，在平面四边形ABCD 中，AD AB =，2==CD BC ，且CD BC ⊥.以BD 为折痕把△ABD 和△CBD 向上折起，使点A 到达点E 的位置，点C 到达点F 的位置（E ，F 不重合）.
（1）求证：EF ⊥BD ；
（2）若平面EBD ⊥平面FBD ，点E 在平面ABCD 内的正投影G 为△ABD 的重心，且直线EF 与平面FBD 所成角为60 ，求二面角--A BE D
的余弦值．
19．（12分）
为了调查某地区全体高中生的身高信息（单位：cm ），从该地区随机抽取高中学生100人，其中男生60人，女生40人．调查得到样本数据)60,2,1( =i x i 和)40,2,1( =j y j ，i x 和j y 分别表示第i 个男生和第j 个女生的身高.经计算得10500601∑==i i x ，183840060
12
∑==i i x ，6600401=∑=j j y
，10902004012=∑=j j y
.
（1）请根据以上信息，估算出该地区高中学生身高的平均数z 和方差2s ；
（2）根据以往经验，可以认为该地区高中学生身高X 服从正态分布2(,)N μσ，用z 作为μ的估计值，用2s 作为σ2的估计值.若从该地区高中学生中随机抽取4人，记ξ表示抽取的4人中身高在)4.184171( ，的人数，求ξ的数学期望.
附：（1）数据n t t t ,21,的方差∑∑
==-=-=n i n i i i t n t n t t n s 112222)(1)(1，（2）若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则6827.0)(=+<<-σμσμX P ；7645；9973033；9545022. .σ)μX σP(μ .σ)μX σP(μ≈=+<<-=+<<-.
20．（12分）
已知动圆P 与x 轴相切且与圆22(2)4x y +-=相外切，圆心P 在x 轴的上方，P 点的轨迹为曲线C ．
（1）求C 的方程；
（2）已知(4,2)E ，过点)4,0(作直线交曲线C 于A B ,两点，分别以A B ,为切点作曲线C 的切线相交于D ，当△ABE 的面积1S 与△ABD 的面积2S 之比
12
S S 取最大值时，求直线AB 的方程．
21．（12分）
已知函数2)1ln(2e )(-++=x a x f x .
（1）当2a =-时，讨论)(x f 的单调性；
（2）当[0,π]x ∈时，()sin f x x 恒成立，求a 的取值范围.
(二)选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线1C
的参数方程为1,21x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为π13sin ()44k k k k θρ⎡⎤-++=⎢⎥⎣⎦
.（1）当1k =时，求1C 和2C 的直角坐标方程；
（2）当2k =时，1C 与2C 交于A B ,两点.设P 的直角坐标为(0,1)，求
11||||
PA PB +的值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数|1||2|)(++-=x x x f ．
（1）解不等式2)(+>x x f ；（2）记)(x f 的最小值为m ，正实数a ，b ，c 满足m c b a =++，
2223
a b c ++.。
2020-2021学年安徽省江南十校高三(上)第一次联考数学(理科)试题Word版含解析
2020-2021学年安徽省江南十校高三（上）第一次联考数学（理科）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z=，则|z|为（）A．B．C．D．2．（5分）已知集合A={x|log2（x﹣1）＜1}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（5分）将函数f（x）=sinxcosx﹣1+sin2x的图象经过恰当平移后得到一个偶函数的图象，则这个平移可以是（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位4．（5分）已知直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣2y+1=0截得的弦长为2，则+的最小值为（）A．3 B．+C．2+D．3+25．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其外接球的表面积为（）A．32π B．16π C．64π D．48π6．（5分）已知平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠BAD=60°，=，则•的值为（）A．﹣ B．C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的x值是407，y值是259，那么输出的x值是（）A．2849 B．37 C．74 D．778．（5分）已知实数x，y满足，则z=4x•（）y的最大值为（）A．1 B．2 C．4 D．29．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的标准方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=110．（5分）已知α为第三象限角，tan2α=﹣，则sin α的值为（）A．±B．﹣C．D．﹣11．（5分）一纸盒中有牌面为6，8，10的扑克牌各一张，每次从中取出一张，依次记下牌面上的数字后放回，当三种牌面的牌全部取到时停止取牌，若恰好取5次牌时停止，则不同取法的种数为（）A．60 B．48 C．42 D．3612．（5分）设定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞）都有f[f（x）﹣log2x]=3．若方程f（x）+f′（x）=a有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2+，+∞）C．（3﹣，+∞）D．（3，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知二项式（1﹣3x）n的展开式中，第3项和第5项的二项式系数相等，则这个展开式的第4项为．14．（5分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，bsinA﹣acosB﹣2a=0，则∠B= ．15．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称，且满足f（x+2）=f（﹣x），若当x∈[0，1]时，f（x）=3x﹣1，则f（log10）的值为．16．（5分）一个平面图形由红、黄两种颜色填涂，开始时，红色区域的面积为，黄色区域的面积为．现对图形的颜色格局进行改变，每次改变都把原有红色区域的改涂成黄色，原有黄色区域的改涂成红色，其他不变，经过4次改变后，这个图形中红色区域的面积是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，na n+1=（n+1）a n+n2+n（n∈N*）．（1）求证：数列{}为等差数列；（2）若数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）如图，四边形ABEF为矩形，四边形CEFD为直角梯形，CE∥DF，EF⊥FD，平面ABEF⊥平面CEFD，P为AD的中点，且AB=EC=FD．（1）求证：CD⊥平面ACF；（2）若BE=2AB，求二面角B﹣FC﹣P的余弦值．19．（12分）某市有中型水库1座，小型水库3座，当水库的水位超过警戒水位时就需要泄洪．气象部门预计，今年夏季雨水偏多，中型水库需要泄洪的概率为，小弄水库需要泄洪的概率为，假设每座水库是否泄洪相互独立．（1）求至少有一座水库需要泄洪的概率；（2）设1座中型水库泄洪造成的损失量为2个单位，1座小型水库泄洪造成的损失量为1个单位，设ξ表示这4座水库泄洪所造成的损失量之和，求ξ的分布列及数学期望．20．（12分）已知F1，F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，离心率为，点P在椭圆C上，且点P在x轴上的正投影恰为F1，在y轴上的正投影为点（0，）．（1）求椭圆C的方程；（2）过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点，过点P且平行于直线l的直线交椭圆C于另一点Q，问：四边形PABQ能否成为平行四边形？若能，请求出直线l的方程；若不能，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=，其中t是实数．设A，B为该函数图象上的两点，横坐标分别为x1，x2，且x1＜x2（1）若x2＜0，函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，求x1﹣2x2的最大值；（2）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求t的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线 C2的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0．（1）求曲线C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上一点，Q为曲线 C2上一点，求|PQ|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x+1|．（1）解不等式f（x）＜4；（2）若存在实数x0，使得f（x0）＜log2成立，求实数t的取值范围．2020-2021学年安徽省江南十校高三（上）第一次联考数学（理科）试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z=，则|z|为（）A．B．C．D．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的公式计算．【解答】解：由z==，得|z|=．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．2．（5分）已知集合A={x|log2（x﹣1）＜1}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】分别求出关于集合A、B的不等式，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：∵A={x|log2（x﹣1）＜1}=（1，3），B={x|x2﹣2x﹣3＜0}=（﹣1，3），∴A⊊B，∴“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．3．（5分）将函数f（x）=sinxcosx﹣1+sin2x的图象经过恰当平移后得到一个偶函数的图象，则这个平移可以是（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【分析】利用降幂公式和辅助角公式化简，然后根据三角函数的图象平移得答案．【解答】解：f（x）=sinxcosx﹣1+sin2x=﹣1+=．当把该函数的图象右移个单位，得到函数g（x）==为偶函数．故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系，是基础题．4．（5分）已知直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣2y+1=0截得的弦长为2，则+的最小值为（）A．3 B．+C．2+D．3+2【分析】先求出圆心和半径，由直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣2y+1=0截得的弦长为2，可得直线ax﹣by+2=0经过圆心，可得a+b=2，代入式子再利用基本不等式可求式子的最小值．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣2y+1=0 即（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆心为（﹣1，1），半径为1，∵直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣2y+1=0截得的弦长为2，∴直线ax﹣by+2=0经过圆心，∴﹣a﹣b+2=0，a+b=2，则+=（a+b）（+）=（3++）≥，当且仅当a=b时等号成立，故+的最小值为．故选：B．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，弦长公式以及基本不等式的应用．5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其外接球的表面积为（）A．32π B．16π C．64π D．48π【分析】由题意，直观图为底面是直角三角形，高为4的直棱柱，底面直角三角形的斜边长为4，将直三棱柱扩充为长方体，底面对角线长为4，所以长方体的对角线长为=4，可得外接球的半径，即可求出外接球的表面积．【解答】解：由题意，直观图为底面是直角三角形，高为4的直棱柱，底面直角三角形的斜边长为4，将直三棱柱扩充为长方体，底面对角线长为4，所以长方体的对角线长为=4，∴外接球的半径为2，∴外接球的表面积为=32π．故选：A．【点评】本题考查三视图，考查外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定外接球的半径是关键．6．（5分）已知平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠BAD=60°，=，则•的值为（）A．﹣ B．C．D．【分析】用表示出，再代入平面向量的数量积计算公式计算．【解答】解：=4，=1，=2×1×cos60°=1．∵=，∴．∴=，=．∴=（）•（）=﹣++=﹣+1+=．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算的几何意义，属于中档题．7．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的x值是407，y值是259，那么输出的x值是（）A．2849 B．37 C．74 D．77【分析】根据已知中的程序框图，模拟程序的运行过程，并逐句分析各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=407，y=259第1次循环后，s=148，x=259，y=148；第2次循环后，s=111，x=148，y=111；第3次循环后，s=37，x=111，y=37；第4次循环后，s=74，x=74，y=37；第5次循环后，s=37，x=37，y=37，结束循环，故输出的x的值为37．故选：B．【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用列举法对数据进行管理，属于基础题．8．（5分）已知实数x，y满足，则z=4x•（）y的最大值为（）A．1 B．2 C．4 D．2【分析】z=4x•（）y=22x﹣y，设m=2x﹣y，作出不等式组对应的平面区域求出m的最大值即可．【解答】解：由z=4x•（）y=22x﹣y，设m=2x﹣y，得y=2x﹣m，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=2x﹣m，由平移可知当直线y=2x﹣m，经过点A时，直线y=2x﹣m的截距最小，此时m取得最大值，由，解得，即A（2，2）．代入m=2x﹣y，得m=4﹣2=2，即目标函数m=2x﹣y的最大值为2．则z的最大值为22=4，故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及换元法，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．9．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的标准方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【分析】利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，建立方程组，求出a，b，即可求出该双曲线的标准方程．【解答】解：由题意，，解的b=2，a=2，∴双曲线的标准方程为．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程和离心率的求法，属于中档题．10．（5分）已知α为第三象限角，tan2α=﹣，则sin α的值为（）A．±B．﹣C．D．﹣【分析】由已知利用二倍角的正切函数公式可求tanα=2，利用同角三角函数基本关系式进而可求sin2α的值，结合角的范围，即可得解．【解答】解：∵tan2α==﹣，α为第三象限角，∴解得：tanα=2或﹣（负值舍去），∴sinα=2cosα，又∵sin2α+cos2α=1，∴sin2α=，∵α为第三象限角，∴sinα=﹣．故选：B．【点评】本题主要考查了二倍角的正切函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．11．（5分）一纸盒中有牌面为6，8，10的扑克牌各一张，每次从中取出一张，依次记下牌面上的数字后放回，当三种牌面的牌全部取到时停止取牌，若恰好取5次牌时停止，则不同取法的种数为（）A．60 B．48 C．42 D．36【分析】在前4次中，前两张牌都至少取得1次，在第5次恰好取出最后一种即第三张牌，可以先选出2张牌，在前4次中取到，再用排除法分析得到前4次取牌中，这两张牌，都至少取得1次的情况数目，而第5次恰好取出第第三张牌有1种情况，由分步计数原理可得恰好取5次牌时停止取牌的情况数目．【解答】解：若恰好取5次牌时停止取牌，则在前4次中，前两张牌都至少取得1次，在第5次恰好取出最后一种即第三张牌，在前4次中，只取2张牌，有C32=3种情况，且这张牌都至少取得1次，前4次取牌中，只取这2张牌有24种情况，其中同一张牌的有2种，则前4次取牌有3×（24﹣2）=42种情况，第5次恰好取出第三张牌有1种情况，故恰好取5次牌时停止取牌有42种情况，故选：C．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，涉及排列、组合与分步计数原理的应用，注意本题是有放回抽取．12．（5分）设定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞）都有f[f（x）﹣log2x]=3．若方程f（x）+f′（x）=a有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2+，+∞）C．（3﹣，+∞）D．（3，+∞）【分析】根据题意，由单调函数的性质，可得f（x）﹣log2x为定值，可以设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得t的值，可得f（x）的解析式，对其求导可得f′（x）；将f（x）与f′（x）代入f（x）+f′（x）=a，求出函数的最小值，即可得答案．【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣log2x为定值，设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得，t=2；则f（x）=log2x+2，f′（x）=，将f（x）=log2x+2，f′（x）=，代入f（x）+f′（x）=a，可得log2x+2+=a，设g（x）=log2x+2+，则g′（x）=，∴函数g（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增，∴x=1时，函数取得最小值2+，∵方程f（x）+f′（x）=a有两个不同的实数根，∴a＞2+，故选：B．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系的应用，考查导数知识的运用，关键点和难点是求出f（x）的解析式．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知二项式（1﹣3x）n的展开式中，第3项和第5项的二项式系数相等，则这个展开式的第4项为﹣540x3．【分析】根据第3项和第5项的二项式系数相等，求得 n=6，再利用二项展开式的通项公式求得这个展开式的第4项．【解答】解：二项式（1﹣3x）n的展开式中，∵第3项和第5项的二项式系数相等，∴=，∴n=6，则这个展开式的第4项为•（﹣3x）3=﹣540x3，故答案为：﹣540x3．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14．（5分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，bsinA﹣acosB﹣2a=0，则∠B= ．【分析】利用正弦定理把已知的等式化边为角，由两角和与差的正弦函数公式化简，结合特殊角的三角函数值即可求得B的值．【解答】解：△ABC中，bsinA﹣acosB﹣2a=0，由正弦定理得：sinBsinA﹣sinAcosB﹣2sinA=0，∵sinA≠0，∴sinB﹣cosB=2，即sinB﹣cosB=1，∴sin（B﹣）=1；又0＜B＜π，∴﹣＜B﹣＜，∴B﹣=，∴B=．故答案为：．【点评】本题考查了解三角形，训练了正弦定理的应用，考查了三角函数的两角和与差的正弦函数公式，是基础题目．15．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称，且满足f（x+2）=f（﹣x），若当x∈[0，1]时，f（x）=3x﹣1，则f（log10）的值为．【分析】本题函数解析式只知道一部分，而要求的函数值的自变量不在此区间上，由题设条件知本题中所给的函数具有对称性函数，故可以利用这一性质将要求的函数值转化到区间[0，1）上求解．【解答】解：由题意定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+2）=f（﹣x），∴函数图象关于x=1对称，当x∈[0，1]时，f（x）=3x﹣1，log10=﹣log310∈（﹣3，﹣2）由此f（log10）=f（2﹣log310）=f（log3）=f（﹣log3）===．故答案为：【点评】本题考点抽象函数的应用，函数的值求法，利用函数的性质通过转化来求函数的值，是函数性质综合运用的一道好题．对于本题中恒等式的意义要好好挖掘，做题时要尽可能的从这样的等式中挖掘出信息．16．（5分）一个平面图形由红、黄两种颜色填涂，开始时，红色区域的面积为，黄色区域的面积为．现对图形的颜色格局进行改变，每次改变都把原有红色区域的改涂成黄色，原有黄色区域的改涂成红色，其他不变，经过4次改变后，这个图形中红色区域的面积是．【分析】根据每次改变都把原有红色区域的改涂成黄色，原有黄色区域的改涂成红色，其他不变，即可得出结论．【解答】解：开始时，红色区域的面积为，黄色区域的面积为．1次改变后，这个图形中红色区域的面积是+=，黄色区域的面积是+=12次改变后，这个图形中红色区域的面积是+=2，黄色区域的面积是1+=3次改变后，这个图形中红色区域的面积是2+=，黄色区域的面积是+=4次改变后，这个图形中红色区域的面积是+=，故答案为：．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，na n+1=（n+1）a n+n2+n（n∈N*）．（1）求证：数列{}为等差数列；（2）若数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）由已知得，n∈N*，从而能证明数列{}为等差数列．（2）求出，从而b n===，由此利用裂项求和法能求出数列{b n}的前n项和．【解答】证明：（1）∵数列{a n}满足a1=1，na n+1=（n+1）a n+n2+n（n∈N*），∴，即，n∈N*，又=1，故数列{}为首项为1，公差为1的等差数列．…（4分）解：（2）∵数列{}为首项为1，公差为1的等差数列，∴，∴，∴b n===，∴数列{b n}的前n项和：S n=（1﹣）+（）+…+（]=1﹣=．…（12分）【点评】本题考查数列为等差数列的证明，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．18．（12分）如图，四边形ABEF为矩形，四边形CEFD为直角梯形，CE∥DF，EF⊥FD，平面ABEF⊥平面CEFD，P为AD的中点，且AB=EC=FD．（1）求证：CD⊥平面ACF；（2）若BE=2AB，求二面角B﹣FC﹣P的余弦值．【分析】（1）通过证明AF⊥CD，CD⊥FC．即可证明CD⊥平面ACF．（2）利用空间直角坐标系，通过求解平面的法向量，利用向量的数量积求解即可．【解答】（1）证明：∵AF⊥EF，平面ABEF⊥平面CEFD，平面ABEF∩平面CEFD=EF，∴AF⊥平面CEFD，从而AF⊥CD．设Q为DF的中点，连接CQ．∵四边形CEFD为直角梯形，EC=FD=FQ，EC=AB=EF，∴四边形CEFQ为正方形，△CQD为等腰直角三角形．∴∠FCD=90°，即CD⊥FC．又AF∩CF=F，∴CD⊥平面ACF…（6分）（2）解：以F为坐标原点，FE，FD，FA所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=1，则BE=2，FD=2．∴F（0，0，0），C（1，1，0），B（1，0，2），D（0，2，0），A（0，0，2），P（0，1，1），故=（1，1，0），=（1，0，2），=（0，1，1），设平面SFC的一个法向量=（x1，y1，z1），则，∴，令z1=1，则=（﹣2，2，1）．同理可得，平面FCP的一个法向量=（1，﹣1，1）．∴cos==﹣，由图可知，二面角B﹣FC﹣P的余弦值为：…（12分）【点评】本题考查二面角的平面镜的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．19．（12分）某市有中型水库1座，小型水库3座，当水库的水位超过警戒水位时就需要泄洪．气象部门预计，今年夏季雨水偏多，中型水库需要泄洪的概率为，小弄水库需要泄洪的概率为，假设每座水库是否泄洪相互独立．（1）求至少有一座水库需要泄洪的概率；（2）设1座中型水库泄洪造成的损失量为2个单位，1座小型水库泄洪造成的损失量为1个单位，设ξ表示这4座水库泄洪所造成的损失量之和，求ξ的分布列及数学期望．【分析】（1）利用对立事件概率计算公式能求出至少有一座水库需要泄洪的概率．（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】解：（1）至少有一座水库需要泄洪的概率是1﹣（1﹣）×（1﹣）3=．…（3分）（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5．P（ξ=0）=（1﹣）×（1﹣）3=，P（ξ=1）=（1﹣）×=，P（ξ=2）=×（1﹣）=，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，P（ξ=5）==．故ξ的分布列为：ξ0 1 2 3 4 5P故Eξ=+5×=．…（12分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率公式的合理运用．20．（12分）已知F1，F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，离心率为，点P在椭圆C上，且点P在x轴上的正投影恰为F1，在y轴上的正投影为点（0，）．（1）求椭圆C的方程；（2）过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点，过点P且平行于直线l的直线交椭圆C于另一点Q，问：四边形PABQ能否成为平行四边形？若能，请求出直线l的方程；若不能，请说明理由．【分析】（1）由椭圆的离心率公式及椭圆的性质可知：e==，a=c，b=c，将P（﹣c，），代入椭圆方程，即可求得c，求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）由题意设直线方程，代入椭圆方程，与韦达定理及弦长公式分别求得丨AB丨和丨PQ丨，由平行四边形的性质可知：丨AB丨=丨PQ丨，即可求得k的值．【解答】解：（1）由题可得，由椭圆的离心率公式可知：e==，即a=c，由椭圆的性质可知：b2=a2﹣c2=2c2，将P点坐标（﹣c，），代入椭圆方程：，解得：c=1，∴a=，b=．故椭圆的方程为…（4分）（2）设直线l的方程为y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2）．由得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，由韦达定理可知：x1+x2=﹣，x1•x2=．∴由弦长公式可知丨AB丨=•=，…（8分）∵P（﹣1，）PQ∥AB，∴直线PQ的方程为y﹣=k（x+1）．将PQ的方程代入椭圆方程可知：（2+3k2）x2+6k2（k+）+3（k+）2﹣6=0，∵x P=﹣1，∴x Q=，∴丨PQ丨=•丨x P﹣x Q丨=•，若四边形PABQ成为平行四边形，则丨AB丨=丨PQ丨，∴4=丨4﹣4k丨，解得k=﹣．故符合条件的直线l的方程为y=﹣（x+1），即x+y+1=0…（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及平行四边形性质的综合应用，考查计算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=，其中t是实数．设A，B为该函数图象上的两点，横坐标分别为x1，x2，且x1＜x2（1）若x2＜0，函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，求x1﹣2x2的最大值；（2）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求t的取值范围．【分析】（1）由已知f′（x1）f′（x2）=﹣1，可得（2x1+4）（2x2+4）=﹣1，从而x1﹣2x2=﹣[+2（2+x2）]+2，即可得出x1﹣2x2的最大值；（2）根据函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，得出t=﹣1﹣ln（2x1+3），最后利用导数研究它的单调性和最值，即可得出t的取值范围．【解答】解：（1）当x2＜0时，x1＜0．由已知f′（x1）f′（x2）=﹣1，∴（2x1+4）（2x2+4）=﹣1，故x1==2…（2分）∴x1﹣2x2=﹣[+2（2+x2）]+2，∵2x1+4＜2x2+4，∴2x1+4＜0＜2x2+4，∴x1﹣2x2≤2﹣，当且仅当x2=﹣2时，等号成立，故x1﹣2x2的最大值为2﹣…（5分）（2）由题意得，f′（x1）=f′（x2）=…（6分）∵x1＜x2，∴x1＜0，x2＞0．∴2x1+4=1+=，解得t=﹣1﹣ln（2x1+3），令g（x）=x2﹣1﹣ln（2x+3），﹣＜x＜0，则g′（x）=2x﹣…（8分）∵x＜0，2x+3＞0，∴g′（x）＜0，故g（x）在（﹣，0）内单调递减…（10分）∴当x∈（﹣，0）时，g（x）＞g（0）=﹣1﹣ln3，∴t＞﹣1﹣ln3，即t的取值范围为（﹣1﹣ln3，+∞）…（12分）【点评】本题以函数为载体，考查分段函数的解析式，考查函数的单调性，考查直线的位置关系的处理，注意利用导数求函数的最值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线 C2的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0．（1）求曲线C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上一点，Q为曲线 C2上一点，求|PQ|的最小值．【分析】（1）利用参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程互化的方法，可得曲线C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程；（2）利用参数方法，求|PQ|的最小值．【解答】解：（1）由曲线C1的参数方程为（θ为参数），消去参数θ得，曲线C1的普通方程得+=1．由ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0得，曲线C2的直角坐标方程为x﹣y﹣4=0…（5分）（2）设P（2cosθ，2sinθ），则点P到曲线C2的距离为d==，…（8分）当cos（θ+45°）=1时，d有最小值0，所以|PQ|的最小值为0…（10分）【点评】本题考查参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查点到直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x+1|．（1）解不等式f（x）＜4；（2）若存在实数x0，使得f（x0）＜log2成立，求实数t的取值范围．【分析】（1）把要求得不等式去掉绝对值，化为与之等价的3个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）求得函数f（x）的最小值为，根据题意可得=log22＜log2成立，由此求得实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=|2x﹣1|+|x+1|=，∵不等式f（x）＜4，∴①，或②，或③．解①求得﹣＜x＜﹣1，解②求得﹣1≤x≤，解③求得＜x＜．综上可得，不等式的解集为{x|﹣＜x＜}．（2）若存在实数x0，使得f（x0）＜log2成立，由（1）知函数f（x）的最小值为f（）=，∴=log22＜log2成立，∴＞2，求得t2＞9，∴t＞3，或t＜﹣3．故实数t的取值范围为{t|t＞3，或t＜﹣3}．【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，解绝对值不等式，体现了等价转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2021-2022学年高三一模数学(理)试题及答案
开始结束输出是否,0S S k ==?2>S kS S 2-=2+=k k k2021-2022高三第一次模拟数学试题（理科）考试时间：120分钟 试卷满分：150分第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分. 1.已知集合2{|160}A x x =-<，{5,0,1}B =-，则 A.AB =∅ B ．B A ⊆C ．{0,1}A B =D ．A B ⊆2.复数ii -1)1(2+等于A ．i +1B ．i --1C ．i -1D ．i +-1 3.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出k 的值是6， 则输入的整数0S 的可能值为A.5B.6C.8D.154.已知直线1sin cos :=+θθy x l ,且l OP ⊥于P ,O 为坐标原点, 则点P 的轨迹方程为A ．122=+y xB ．122=-y xC ．1=+y xD ．1=-y x5.函数x e x f xln )(=在点))1(,1(f 处的切线方程是A.)1(2-=x e yB.1-=ex yC.)1(-=x e yD.e x y -= 6.“等式)2sin()sin(βγα=+成立”是“γβα、、成等差数列”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件7.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，21=a ，542,2,a a a +成等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项的和，则=-410S SA.1008B.2016C.2032D.4032 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 A ．90 B ．92 C ．98 D ．104 9.半径为4的球面上有D C B A 、、、四点，AD AC AB 、、两两互相垂直，则ADB ACD ABC ∆∆∆、、面积之和的最大值为A ．8B ．16C ．32 D.6410.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0,0109<>S S ，则993322122,2,2aa a a ，中最大的是A ．12a B ．552aC ．662aD ．992a11.已知函数)()(()(321x x x x x x x f ---=）（其中321x x x <<），)12sin(3)(++=x x x g ，且函数)(x f 的两个极值点为）（，βαβα<．设2,23221xx x x +=+=μλ，则A ．)()()()(μβλαg g g g <<<B ．)()()()(μβαλg g g g <<<C ．)()()()(βμαλg g g g <<<D ．)()()()(βμλαg g g g <<<12.设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线交两渐近线于点B A ,两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若)R OB OA OP ∈+=μλμλ，（，8522=+μλ，则双曲线的离心率为（ ）A ．332B ．553C ．223D ．89第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.若n S 是数列{}n a 的前n 项的和，且762++-=n n S n ，则数列{}n a 的最大项的值为___________.14.设221(32)=⎰-a x x dx ,则二项式261()-ax x展开式中的第4项为___________.15. 已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为AB 的中点．以A 为圆心，AE 为半径，作弧交AD 于点F ，若P 为劣弧EF 上的动点，则PC PD 的最小值为___________.16.已知函数xx a x f 22)(1+=+在]3,21[-上单调递增，则实数a 的取值范围_________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本题满分12分）已知函数))(12(sin 2)62sin(3)(2R x x x x f ∈-+-=ππ（I ）求函数)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求使函数)(x f 取得最大值的x 的集合．18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是菱形，︒=∠60DAB ，,1,==⊥AD PD ABCD PD 平面 点,E F 分别为AB 和PD 中点.(Ⅰ)求证：直线PEC AF 平面//； (Ⅱ)求PC 与平面PAB 所成角的正弦值.19.（本小题满分12分）某网站用“10分制”调查一社区人们的治安满意度．现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的治安满意度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）．（I ）若治安满意度不低于9.5分，则称该人的治安满意度为“极安全”，求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极安全”的概率； （II ）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记X 表示抽到“极安全”的人数，求X 的分布列及数学期望．20.（本小题满分12分）如图，已知直线1:+=my x l 过椭圆1:2222=+by a x C 的右焦点F ，抛物线：y x 342=的焦点为椭圆C 的上顶点，且直线l 交椭圆C 于B A 、两点，点B F A 、、在直线4=x g ：上的射影依次为点E K D 、、．FE BDCAP（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 交y 轴于点M ，且BF MB AF MA 21λλ==，，当m 变化时，探求21λλ+的值是否为定值？若是，求出21λλ+的值，否则，说明理由.21.（本小题满分12分）设x m =和x n =是函数21()ln (2)2f x x x a x =+-+的两个极值点,其中 m n <,a R ∈.(Ⅰ) 求()()f m f n +的取值范围; (Ⅱ) 若12a e e≥+-,求()()f n f m -的最大值.22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 如图所示，已知⊙O 的半径长为4，两条弦BD AC ,相交于点E ，若34=BD ，DE BE >，E为AC 的中点，AE AB 2=.(Ⅰ) 求证：AC 平分BCD ∠； (Ⅱ)求ADB ∠的度数.23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 3cos 2y x （其中θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为01sin cos =+-θρθρ.(Ⅰ) 分别写出曲线1C 与曲线2C 的普通方程；(Ⅱ)若曲线1C 与曲线2C 交于B A ,两点，求线段AB 的长.24.（本小题满分10分） 选修4－5：不等式选讲 已知函数|12|)(-=x x f . (Ⅰ)求不等式2)(<x f 的解集；(Ⅱ)若函数)1()()(-+=x f x f x g 的最小值为a ，且)0,0(>>=+n m a n m ，求nn m m 1222+++的最小值. .ABCDEO2021-2022高三第一次模拟数学（理科）答案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.C2.D3.C4.A5.C6.B7.B8.D9.C 10.B 11.D 12.A 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.12 14.31280-x 15.525- 16.[﹣1，1]三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.(Ⅰ) f(x)=3sin(2x －π6)+1－cos2(x －π12)= 2[32sin2(x －π12)－12 cos2(x －π12)]+1 =2sin[2(x －π12)－π6]+1= 2sin(2x －π3) +1∴ T=2π2=π(Ⅱ)当f(x)取最大值时, sin(2x －π3)=1,有 2x －π3 =2k π+π2即x=k π+ 5π12(k ∈Z)∴所求x 的集合为{x ∈R|x= k π+ 5π12 , (k ∈Z)}.18.解：(Ⅰ)证明：作FM ∥CD 交PC 于M . ∵点F 为PD 中点，∴CD FM 21=. …………2分 ∵21=k ，∴FM AB AE ==21， ∴AEMF 为平行四边形，∴AF ∥EM ， ……4分 ∵AF PEC EM PEC ⊄⊂平面，平面， ∴直线AF //平面PEC . ……………6分 (Ⅱ)60DAB ∠=，DE DC ∴⊥.MFBACDP如图所示，建立坐标系，则P (0,0,1),C (0,1,0),E (32,0,0),A (32，12-，0)，31(,,0)22B ， ∴31,,122AP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1,0AB =. …8分设平面PAB 的一个法向量为(),,n x y z =.∵0n AB ⋅=，0n AP ⋅=，∴⎪⎩⎪⎨⎧==++-02123y z y x ，取1x =，则32z =， ∴平面PAB 的一个法向量为3(1,0,)2n =. …………………………10分 设向量n PC θ与所成角为，∵(0,1,1)PC =-，∴3422cos 14724n PC n PCθ-⋅===-⨯， ∴P C 平面PAB 所成角的正弦值为4214. .…………………………12分 19.FEBACDyz x P20.解：（Ⅰ）易知椭圆右焦点F（1，0），∴c=1，抛物线的焦点坐标，∴∴b2=3 ∴a2=b2+c2=4∴椭圆C的方程（Ⅱ）易知m≠0，且l与y轴交于，设直线l交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）由∴△=（6m）2+36（3m2+4）=144（m2+1）＞0∴又由∴同理∴∵∴所以，当m变化时，λ1+λ2的值为定值；（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知A（x1，y1），B（x2，y2），∴D（4，y1），E（4，y2）方法1）∵当时，==∴点在直线l AE上，同理可证，点也在直线l BD上；∴当m变化时，AE与BD相交于定点方法2）∵=∴k EN =k AN ∴A 、N 、E 三点共线， 同理可得B 、N 、D 也三点共线； ∴当m 变化时，AE 与BD 相交于定点．解:函数()f x 的定义域为(0,)+∞,21(2)1()(2)x a x f x x a x x-++'=+-+=.依题意,方程2(2)10x a x -++=有两个不等的正根m ,n (其中m n <).故2(2)40020a a a ⎧+->⇒>⎨+>⎩, 并且 2,1m n a mn +=+=.所以,221()()ln ()(2)()2f m f n mn m n a m n +=++-++2211[()2](2)()(2)1322m n mn a m n a =+--++=-+-<- 故()()f m f n +的取值范围是(,3)-∞-(Ⅱ)解:当12a e e≥+-时,21(2)2a e e +≥++.若设(1)nt t m =>,则222()11(2)()22m n a m n t e mn t e ++=+==++≥++.于是有 111()(1)0t e t e t e t e te +≥+⇒--≥⇒≥222211()()ln ()(2)()ln ()()()22n n f n f m n m a n m n m n m n m m m -=+--+-=+--+-2222111ln ()ln ()ln ()22211ln ()2n n n m n n m n m m m mn m m n t t t-=--=-=--=-- 构造函数11()ln ()2g t t t t =--(其中t e ≥),则222111(1)()(1)022t g t t t t-'=-+=-<. 所以()g t 在[,)e +∞上单调递减,1()()122e g t g e e≤=-+.故()()f n f m -的最大值是1122e e-+22.（本小题满分10分）解：（1）由E 为AC 的中点，AE AB 2=得AB ACAE AB ==2 又CAB BAE ∠=∠ ABE ∆∴∽ACB ∆ ACB ABE ∠=∠∴ 又ABE ACD ∠=∠ ACB ACD ∠=∠∴故AC 平分BCD ∠………………5分（2）连接OA ，由点A 是弧BAD 的中点，则BD OA ⊥，设垂足为点F ，则点F 为弦BD 的中点，32=BF 连接OB ，则2)32(42222=-=-=BF OB OF ，224=-=-=OF OA AF ，60,2142cos =∠===∠∴AOB OB OF AOB 3021=∠=∠∴AOB ADB ………………10分23.（本小题满分10分）解：（1）曲线1C 134:22=+y x ，………………2分 曲线2C ：01=+-y x ………………4分（2）联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-1340122y x y x ，得08872=-+x x ， 设),(),,(2211y x B y x A ，则78,782121-=-=+x x x x 于是7244)(2112122121=-+⋅=-+=x x x x x x AB . 故线段AB 的长为724.………………10分 24.（本小题满分10分） 解：（1）由2)(<x f 知2|12|<-x ，于是2122<-<-x ，解得2321<<-x ，故不等式2)(<x f 的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,21；……………………3分 （2）由条件得2|)32(12||32||12|)(=---≥-+-=x x x x x g ，当且仅当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,21x 时，其最小值2=a ，即2=+n m …………………6分又()()223212*********+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+n m m n n m n m n m ，…………8分 所以n n m m 1222+++()22321212++≥+++=n m n m 2227+=， 故nn m m 1222+++的最小值为2227+，此时222,224-=-=n m .……10分。
【名师解析】安徽省江南十校新高三摸底联考数学(理)版含解析
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如图， PDCE 为矩形， ABCD 为梯形， 平面 PDCE⊥平面 ABCD ，∠ BAD＝∠ ADC＝ 90°， AB＝ AD＝ 1 CD ＝ 1， 2
PD＝ 2 。
（ I）若 M 为 PA 中点，求证： AC∥平面 MDE；
试题解析：（ I）证明：在矩形 PDCE 中，连结 PC 交 DE 于 N ，则点 N 为 PC 的中点．在 APC 中，点 M 为
PA
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20. （本小题满分 13 分）
以点 F1（－ 1,0）， F2（ 1,0）为焦点的椭圆 C 经过点（ 1， 3 ）。 2
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21. （本小题满分 13 分）
已知数列
，满足
（ I）求证：数列
均为等比数列；
（Ⅱ）求数列 an 的通项公式 an ；
ni （Ⅲ）求证：
a i 1 i
16 9．
【答案】（I）详见试题解析； （Ⅱ） an 2 4n 1 3n 1 n N . ；（Ⅲ）详见试题解析； ．
12 3
i1
4
4
4
n1
2
3
1
1
1
1
1
n
, Sn
2
3
4
4
4
4
4
n
n1． 4
2
3
3
11
1
Sn 1
4
44
4
n
高三数学联考试题理试题_1
2021年“江南十校〞高三联考数学试卷〔理科〕本套试卷分第一卷和第二卷两局部。
满分是150分，考试用时120分钟。
考前须知：1．在答题之前，所有考生必须在试题卷、答题卷规定的地方填写上本人的姓名、座位号。
2．答第一卷时，每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卷上对应题目之答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答第二卷时，必须使用0. 5毫米黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹明晰。
必须在题号所指示的答题区域答题，超出答题区域书写之答案无效，在试题卷、．．．．．．．．．．．．．．．．．．．草稿纸上答题无效．．．．．．．．。
有关参考公式： 2222121[()()()]n S x x x x x x n =-+-++-121()3V S S h =⋅台第一卷〔选择题 满分是50分〕一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
1．i 是虚数单位，复数2332iz i+=-+的虚部是〔 〕A ．0B ．1-C ．1D ．2 2．设集合{}23,log P a =，{}Q ,a b =，假设{}Q=0P，那么Q=P 〔 〕A ．{}3,0B ．{}3,0,1C ．{}3,0,2D ．{}3,0,1,23．设向量a ，b 均为单位向量，且|a ＋b |1=，那么a 与b 夹角为〔 〕A ．3π B ．2πC ．23πD ．34π4．假设点P 〔1，1〕为圆22(3)9x y -+=的弦MN 的中点，那么弦MN 所在直线方程为〔 〕A ．230x y +-=B ．210x y -+=C ．230x y +-=D ．210x y --=5．函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(1)ln f x xf x '=+，那么(1)f '=〔 〕A ．e -B ．1-C ．1D ．e6．函数()f x 是R 上的单调增函数且为奇函数，数列{}n a 是等差数列，3a ＞0，那么135()()()f a f a f a ++的值 〔 〕A ．恒为正数B ．恒为负数C ．恒为0D ．可正可负 7．一组正数1234,,,x x x x 的方差为2222212341(16)4S x x x x =+++-，那么数据122,2,x x ++ 342,2x x ++的平均数为〔 〕A ．2B ．3C ．4D ．6 8．函数()sin cos f x x a x =+的图象的一条对称轴是53x π=，那么函数()sin cos g x a x x =+ 的初相是〔 〕 A ．6π B ．3πC ．56πD ．23π9．一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积是〔 〕 A ．8 B ．203 C ．173 D ．14310．在1，2，3，4，5，6，7的任一排列1234567,,,,,,a a a a a a a 中，使相邻两数都互质的排列方式种数一共有〔 〕 A ．576 B ．720 C ．864 D ．1152第二卷〔非选择题 满分是100分〕二、填空题：本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分。
2021届江淮十校高三联考数学(理)试题及答案
绝密★启用前2021届江淮十校高三联考数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{A x y ==，{}2log 2B y y x ==+，全集U =R ，则下列结论正确的是（） A ．A B A =B ．A B B ⋃=C ．UA BD ．UB A ⊆答案：D【分析】先求出集合A 和集合B ，再依次判断选项的正误. 解：由2230x x -++≥解得312x -≤≤，故312A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭， 2log 22y x =+≥，故{}2B y y =≥，A B ∴⋂=∅，故A 错误；312A B x x ⎧⋃=-≤≤⎨⎩或}2x ≥，故B 错误；{1UA x x =<-或32x ⎫>⎬⎭，则(){}2U A B x x ⋂=≥，故C 错误； 可得UB A ⊆，故D 正确.故选：D ．2．已知函数()f x 及其导函数()'f x ，若存在0x 使得()()00f x f x '=，则称0x 是()f x 的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是（） A ．2()2f x x =+ B ．()ln f x x = C ．()x f x e -= D ．()tan f x x =答案：B【分析】求出函数的导数，解方程()()00f x f x '=即可得解. 解：若0x 是方程()()f x f x '=的解，则0x 是“巧值点”， 选项A ，()2f x x '=，令222+=x x ，得2220x x +=-无解．选项B ，1()f x x '=，令1ln x x=，由图象知有一个根 选项C ，()xf x e -'=-，令x x e e --=-，即0x e -=无解 选项D ，21()cos f x x'=，令21tan cos x x =，即sin 22x =无解，故选：B3．已知3a =，4b =，()()23261b a b a -⋅+=，则a 与b 的夹角为（） A ．6πB ．3π C ．56π D ．23π 答案：D【分析】设平面向量a 与b 的夹角为θ，由平面向量数量积的运算性质可求得a b ⋅的值，可计算出cos θ，结合0θπ≤≤可求得θ的值. 解：设平面向量a 与b 的夹角为θ，()()2223244337461b a b a ba b a a b -⋅+=-⋅-=-⋅=，可得6a b ⋅=-，所以，61cos 342a b a bθ⋅-===-⨯⋅， 0θπ≤≤，因此，23πθ=. 故选：D.4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若5620a a +=，11132S =，则{}n a 的公差为（） A ．2 B ．43C ．4D ．4-答案：C【分析】由等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可求得6a ，再由等差数列的公式即可求得公差. 解：解：()11111611111322a a S a+⨯===，612a ∴=，又5620a a +=，58a ∴=，654d a a ∴=-=.故选：C ．5．函数2cos ()sin x x f x x x+=+在[],ππ-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．答案：A【分析】先判断出函数()f x 的奇偶性，然后根据()1f 的取值范围判断出()f x 的大致图象. 解：()()f x f x =-，()f x ∴为奇函数，又()cos111sin11f +=+，0cos1sin1<<，0(1)1f ∴<<，故选：A ．点评：思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.6．设ΔABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos cos cos c B b A a B +=-，则∠B=（） A ．6πB ．3π C ．56π D ．23π 答案：D【分析】根据正弦定理，结合三角恒等变换化简即可求得. 解：由正弦定理可得：2sinCcosB sinBcosA sinAcosB+=-()2sin sinCcosB A B sinC =-+=-，1223cosB B π=-=. 故选：D点评：此题考查根据正弦定理进行边角互化，根据三角恒等变换化简求解角的大小.7．函数()f x ，()g x 满足：对任意x ∈R ，都有()224()f x x g x -+=，若关于x 的方程()cos 0g x x π+=只有5个根，则这5个根之和为（） A ．5 B ．6C ．8D ．9答案：A【分析】根据题意得出()cos g x x π=-只有五个根，根据数形结合可以直接求解 解：224y x x =-+关于直线1x =对称．()y g x ∴=的图象也关于直线1x =对称，又方程()cos 0g x x π+=只有5个根，得()cos g x x π=-只有五个根，则其中一个根为1x =,另外四个根两两关于1x =对称，设关于对称的根分别为1x 和2x ，3x 和4x ，则1212x x +=和3412x x +=，∴5个根之和为1225+⨯= 故选：A点评：关键点睛：解题的关键在于利用()cos g x x π=-只有五个根，得到其中一个根为1x =,另外四个根两两关于1x =对称，设关于对称的根分别为1x 和2x ，3x 和4x ，则1212x x +=和3412x x +=，进而求解，难度属于基础题 8．已知()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，且恒有[]()ln 1f f x x -=，则“1a >”是“()1f x ax ≤-恒成立”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：B【分析】令()ln t f x x =-，由题可求得1t =，得出()ln 1f x x =+，因为()1f x ax ≤-恒成立等价于ln 2x a x+≥对0x ∀>恒成立，利用导数求出ln 2()x x x ϕ+=的最大值即可判断.解：令()ln t f x x =-，则()ln f x x t =+．()ln 1f t t t ∴=+=()ln 1g t t t =+-是增函数且(1)0g =，1t ∴=()ln 1f x x ∴=+，ln 2()1ln 11x f x ax x ax a x+∴≤-⇔+≤-⇔≥对0x ∀>恒成立． 令ln 2()x x x ϕ+=，2ln 1()x x x ϕ--'=， 当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'>，()ϕx 单调递增；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'<，()ϕx 单调递减；max 1()e x e ϕϕ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，a e ∴≥．1a >是a e ≥的必要不充分条件．故选：B ．点评：关键点睛：本题考查必要不充分条件的判断，解题的关键是求出()ln 1f x x =+，将()1f x ax ≤-恒成立等价于ln 2x a x+≥对0x ∀>恒成立，利用导数求最值. 9．已知OAB ，1OA =，2OB =，1OA OB ⋅=-，过点O 作OD 垂直AB 于点D ，点E 满足12OE ED =，则EO EA ⋅的值为（） A ．328- B ．121-C ．29-D ．221-答案：D【分析】作出图形，由平面向量数量积的定义及余弦定理可得OD =，再由平面向量数量积的运算律即可得解. 解：由题意，作出图形，如图，1OA =，2OB =，1OA OB ⋅=-12cos 2cos 1OA OB AOB AOB ∴⋅=⨯∠=∠=-，1cos 2AOB ∴∠=-， 由()0,AOB π∠∈可得23AOB π∠=， 222cos 7AB OA OB OA OB AOB ∴=+-⋅⋅⋅∠=又113sin 222AOB S OA OB AOB OD AB =⋅⋅⋅∠=⋅⋅=△，则37OD =， ()222232299721EO EA OE ED DA OE OD ∴⋅=-⋅+=-=-⋅=-⨯=-.故选：D ．10．函数()2sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象在[]0,2上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（） A ．[,2]ππB ．9,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．139,122ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．917,88ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭答案：D【分析】设4t x πω=+，因为[]0,2x ∈，所以,244t ππω⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，即函数2sin y t =的图象在,244t ππω⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦上恰有两个最大值点，结合正弦函数的图象可得答案.解：设4t x πω=+，因为[]0,2x ∈，所以,244t ππω⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦函数()2sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象在[]0,2上恰有两个最大值点 即函数2sin y t =的图象在,244t ππω⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦上恰有两个最大值点，如图则59 2,422πππω⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，917,88πωπ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，故选：D．点评：关键点睛：本题考查根据正弦型函数的最值的个数求参数的范围，解答本题的关键是利用换元的思想，设4t xπω=+，将问题转化为函数2siny t=的图象在,244tππω⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦上恰有两个最大值点，属于中档题.11．函数222,3()11,316x ax a xf xax x⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩，数列{}n a满足()na f n=，*n∈N，且为递增数列．则实数a的取值范围是（）A．()0,1B．33,42⎛⎫⎪⎝⎭C．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D．53,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭答案：B【分析】根据分段函数的特征，以及数列在*n N∈是单调递增数列，列式求解. 解：{}n a是单调递增数列，所以0a>，数列{}na是单调递增数列2233321142222316aaa a a⎧<<⎪⎪⇔⇔<<⎨⎪-⋅+<-⎪⎩.故选：B．点评：易错点点睛：本题考查分段函数的单调性和数列单调性的简单综合应用，本地的易错点是1n=和2n=时，数列的单调性，容易和函数222,3y x ax a x=-+<时函数单调性搞混，此时函数单调性和数列单调性的式子是不一样的，需注意这点.12．已知函数2()(2)x x f x e a e x =+--有两个零点，则实数a 取值范围是（） A ．(0,1) B ．(1,)+∞ C ．(),1-∞ D ．(,1)-∞-答案：C【分析】函数2()(2)xx f x ea e x =+--有两个零点,即2x x a e xe -=-++，令()2x x g x e xe -=-++，求出导数，得到()g x 的单调性，从而得到答案.解：令2(2)02xx x x ea e x a e xe -+--=⇒=-++．即2x x a e xe -=-++有两个实数根，设()2xxg x e xe -=-++，即()2xxg x e xe-=-++的图象与y a =有两个交点.则21()(1)x xxxx e g x e x e e---'=-+-= 令2()1xh x x e=--单调递减.又(0)0h =，∴当(,0)x ∈-∞时，()0h x >，则()0g x '>，()g x 单调递增； 当(0,)x ∈+∞时，()0h x <，则()0g x '<，()g x 单调递减.max ()(0)1g x g ∴==．又当x →-∞时，()g x →-∞，当x →+∞时，()g x →-∞1a ∴<，故选：C ．点评：关键点睛：本题考查根据函数的零点个数求参数的范围，解得本题的关键是将问题转化为2x x a e xe -=-++有两个实数根，即()2xxg x e xe -=-++的图象与y a =有两个交点,利用导数研究出()g x 的单调性，属于中档题. 二、填空题13．函数()sin 22f x x x =-的图象向右平移6π个单位长度得到()y g x =的图象．命题1p ：()y g x =的图象关于直线2x π=对称；命题2p ：,03π⎛⎫⎪⎝⎭是()y g x =的一个对称中心．则在命题1q ：12p p ∨，2q ：()12p p ∧⌝，3q ：()()12p p ⌝∧⌝，4q ：()12p p ⌝∨中，是真命题的为________．答案：1q ，4q【分析】首先利用辅助角公式将函数化为()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，由三角函数的图像变化规律求出()g x 的解析式，根据三角函数的性质判断1p 与2p 真假，再由复合命题的真假性判断即可得到答案.解：由()sin 22sin 23f x x x x π⎛⎫=+=-⎪⎝⎭， 则()22sin 22sin 2633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 由()2232x k k Z πππ-=+∈，解得()7212k x k Z ππ=+∈，显然2x π=不是()g x 对称轴，故1p 为假命题. 由()223x k k Z ππ-=∈，解得()23k x k Z ππ=+∈，显然,03π⎛⎫⎪⎝⎭是()g x 对称中心，故2p 为真命题.故1p ⌝为真命题，2p ⌝为假命题，故112:q p p ∨为真命题；()212:q p p ∧⌝为假命题；()()312:q p p ⌝∧⌝为假命题；()412:q p p ⌝∨为真命题；故答案为：1q ，4q点评：关键点睛：本题考查了辅助角公式、三角函数的性质、命题真假的判断以及命题的否定、真假，解题的关键是熟记三角函数的性质以及复合命题真假判断，属于基础题. 14．已知角α的终边经过点(,6)P x --，且3cos 5α=-，则11sin tan αα+=________．答案：12-【分析】由题可判断角α的终边落在第三象限，求出4sin 5α=-，4tan 3α=即可得出.解：点P 的纵坐标为6-，且3cos 05α=-<． ∴角α的终边落在第三象限，4sin 5α∴=-，4tan 3α=115321sin tan 4442αα∴+=-+=-=-. 故答案为：12-.15．已知数列{}n a 满足()2*21232n n n a a aa n +=∈N ，数列{}n b 满足cos 2n n n b a π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1232020b b b b ++++=________．答案：2022245-【分析】由题设可知当2n ≥时，2(1)(1)21212n n n a aa -+--=，两式作比，可求出数列{}n a 的通项公式为，进而求得2cos 2nn n b π⎛⎫= ⎪⎝⎭，由余弦函数的特点可知当n 为奇数时，0n b =；当42n k =+时，2n n b =-；当44n k =+时，2n n b =，再利用等比数列求和公式即得结果. 解：由题设22122n nn a aa +=，当2n ≥时，2(1)(1)21212n n n a aa -+--=． 2(2)n n a n ∴=≥，又12a =满足，2nn a ∴=，*n ∈N ．2cos 2n n n b π⎛⎫∴= ⎪⎝⎭当n 为奇数时，0n b =；当42n k =+时，2n n b =-；当44n k =+时，2nn b =24682020123202022222b b b b ∴++++=-+-+++()2101010112022221(4)44245512⎡⎤----+-⎣⎦===--．故答案为：2022245-点评：易错点睛：本题考查数列求通项与等比数列求和，求数列通项公式常用的方法： （1）由n a 与前n 项和n S 的关系求通项公式，利用1(2)n n n a S S n -=-≥； （2）由n a 与前n 项积n T 的关系求通项公式，利用1(2)nn n a n T T -≥=；用这个方法一定要检验1n =时是否符合，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于中档题.16．已知函数111,22()1(2),262x x f x f x x ⎧--≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，则函数()()1g x xf x =-的零点个数是________． 答案：7【分析】化简得出函数()f x 的表达式，函数()()1g x xf x =-的实数根的个数;即方程1()f x x=的实数根的个数，作出函数()f x 和1yx =的图象，结合函数图象可得出答案.解：当2x ≤时，()31212111122xx f x x x x -⎧⎪≤≤⎪=--=⎨+<⎪⎪⎩当24x <≤时，()12314(2)53424x x f x f x xx -⎧⎪<≤⎪=-=⎨-<≤⎪⎪⎩当46x <≤时，()34518(2)75628x x f x f x xx -⎧⎪<≤⎪=-=⎨-<≤⎪⎪⎩函数()()1g x xf x =-的实数根的个数;即方程1()f x x=的实数根的个数. 在同一坐标系中作出()y f x =与1y x=的图象， 由()()()11112424f f f ===，，，如图，函数()y f x =的图象与1y x =的图象有7个交点.所以函数()()1g x xf x =-的零点个数是：7 故答案为：7点评：关键点睛：本题考查函数的零点个数，解答本题的关键是得出函数函数()f x 的表达式，作出函数()f x 的图象，将问题转化为方程1()f x x=的实数根的个数，即函数()y f x =的图象与1y x=的图象的交点个数，数形结合可解，属于中档题.三、解答题17．已知函数()2()log 41()xf x kx k =++∈R 为偶函数． （1）求k 的值； （2）已知函数()()22f x xx g x m +=+⋅，[0,1]x ∈，若()g x 的最小值为1，求实数m 的值．答案：（1）1k =-；（2）1m =-．【分析】（1）由函数是偶函数根据()()f x f x -=即可求出；（2）令2x t =，则函数化为2()1h t t mt =++，[]1,2t ∈，根据二次函数的性质讨论对称轴范围即可求解.解：解析：（1）显然()f x 定义域为R ，()f x 是偶函数，()()f x f x ∴-=，对x ∀<R恒成立， 即()()22og 41lo l g 41xx kx kx -+-=++对任意x ∈R 恒成立，()()2222412log 41log 41log log 4241x xxx x kx x ---+∴=+-+===-+，1k ∴=-．（2）由（1）知()421xxg x m =+⋅+，[]0,1x ∈，令2x t =，则[]1,2t ∈，原函数变为2()1h t t mt =++，[]1,2t ∈．①当12m-<，即2m >-时，min ()(1)21h t g m ==+=，1m ∴=-符合题意； ②当122m ≤-≤，即42m -≤≤-时，222min ()1112424m m mm h t g ⎛⎫=-=-+=-= ⎪⎝⎭， 0m ∴=（舍去）； ③22m->，即4m <-时，min ()(2)521h t g m ==+=，2m ∴=-（舍去）． 综上：1m =-．点评：关键点睛：本题考查已知函数最值求参数，解题的关键是将函数转化为2()1h t t mt =++，[]1,2t ∈，根据二次函数的性质求解.18．在ABC 中，ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，ABC 为锐角三角形，且满足条件cos sin 3a B A c +=． （1）求A ∠的大小；（2）若2a =，求ABC 周长的取值范围． 答案：（1）3A π=；（2）(2,6⎤+⎦．【分析】（1）利用正弦定理和正弦函数的两角和公式进行求解即可； （2）利用正弦定理，作边化角，则可整理得，周长4sin 26B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，进而可求解 解：解：（1）sin sin a bA B=，且sin sin a B b A =， cos sin a B A c ∴+=，即cos sin a B B c=，即sin cos sin sin A B A B C =． 即sin cos sin sin()sin cos cos sin 3A B A B A B A B A B +=+=+． 即sin sin cos sin 3A B AB =，即tan A = 因为()0,A π∈，3A π∴=．（2）sin sin sin ab cA B C ===，sin 3b B ∴=，c C =， ∴周长2sin 2(sin sin )2sin sin 233333B C B C B B π⎡⎤⎛⎫=++=++=+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，131sin cos sin 2sin cos 24sin cos 232232222B B B B B B B ⎫⎫⎛⎫=+++=++=⋅+⋅+⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，4sin 26B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．又ABC 为锐角三角形，,62B ππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，2,633B πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，sin 6B π⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，∴周长的范围为(2,6⎤⎦．点评：关键点睛：解题关键在于利用正弦定理作边化角，再利用正弦的两角和与差的公式进行化简求解，主要考查学生的运算能力，难度属于中档题19．已知2()3f x x x =-，数列{}n a 前n 项和为n S ，且()n S f n =．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若数列{}n b 满足43nn na b =⨯，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且对于任意*n ∈N ，总存在[]4,6x ∈，使得()n T mf x >成立，求实数m 的取值范围． 答案：（1）24n a n =-；（2）1,108． 【分析】（1）本题首先可根据题意得出23n S n n =-，然后通过1n n n a S S -=-即可求出数列{}n a 的通项公式；（2）本题首先可根据24n a n =-得出223n nn b -=⨯，然后根据1160b =-<、20b =以及当3n ≥时0n b >得出n T 的最小值为16-，再然后将()n T mf x >转化为[]min 1()6mf x ->，最后分为0m ≥、0m <两种情况进行讨论，即可得出结果. 解：（1）因为2()3f x x x =-，()n S f n =，所以23n S n n =-，当2n ≥时，()()21131n S n n -=---，124n n n a S S n -=-=-， 当1n =时，112a S ==-，也满足24n a n =-， 故24n a n =-.（2）因为24n a n =-，43nn na b =⨯， 所以2424323n n nn n b --==⨯⨯，1160b =-<，20b =，当3n ≥时，0n b >， 故12T T =，为n T 的最小值，n T 的最小值为16-，因为对于任意*n ∈N ，总存在[]4,6x ∈，使得()n T mf x >成立，所以[]min 1()6mf x ->， 因为[]4,6x ∈，2239()324f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，所以[]()4,18f x ∈， 当0m ≥时，显然[]min 1()6mf x ->不成立； 当0m <时，[]min 1()6mf x ->，即1186m ->，解得1108m <-，故实数m 的取值范围为1,108. 点评：本题考查数列通项公式的求法以及数列前n 项和的最值的求法，可根据n a 与n S 之间的关系求通项公式，在计算时要注意1n =时是否满足求出的通项公式，考查区间内函数值域的求法，考查计算能力，是难题.20．一根长为L 的铁棒AB 欲水平通过如图所示的走廊（假定通过时贴着内侧的圆弧墙壁，如图），该走廊由宽度为1m 的平行部分和一个半径为2m 的四分之一圆弧转角部分（弧CD 段，圆心为O ）组成．（1）设TOS θ∠=，试将L 表示为θ的函数； （2）求L 的最小值，并说明此最小值的实际意义． 答案：（1）3(sin cos )20,sin cos 2θθπθθθ+-⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ；（2）624；意义是能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为()624m ．【分析】（1）如图，过T 作TM OC ⊥于M ，过B 作BG TM ⊥于G ，利用三角函数，求解即可；（2）设sin cos 24x πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则有21sin cos 2x θθ-=，可得函数(()223264()211x x L x x x x --==∈--，进而利用导数求出最值解：解析：（1）如图，过T 作TM OC ⊥于M ，过B 作BG TM ⊥于G ，2cos OM θ=，32cos BG θ=-，32cos sin BT θθ-=.同理32sin AN θ=-，32sin cos AT θθ-=．32cos 32sin 3(sin cos )20,sin cos sin cos 2L AT BT θθθθπθθθθθ--+-⎛⎫⎛⎫∴=+=+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）设sin cos 24x πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，(2x ⎤∴∈⎦．21sin cos 2x θθ-=，(()223264()211x x L x x x x --∴==∈-- ()()222686()01x x L x x--+'=<-，()L x ∴在(2上单调递减min ()(2)624L x L ∴==．则L 最小值的实际意义是：在拐弯时，铁棒的长度不能超过()624m ，否则铁棒无法通过，也就说能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为()624m ．点评：关键点睛：（1）解题的关键在于作出直角，利用三角函数进行求解（2）解题关键在于，设sin cos 24x πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，得函数(()223264()211x x L x x x x --==∈--，进而利用导数求出最值； 本题难度属于基础题 21．函数21()ln ()2f x x x ax a =++∈R ，23()2x g x e x =+ （1）讨论()f x 在区间(0,2)上极值点个数；（2）若对于0x ∀>，总有()()f x g x ≤，求实数a 的取值范围． 答案：（1）答案见解析；（2）1a e ≤+．【分析】（1）求()f x 的导数()f x '，讨论a 的值得出()f x '的正负情况，判断()f x 的单调性和极值点问题；（2）()()f x g x ≤等价于2ln x e x x ax -+≥，由0x >，利用分离常数法求出a 的表达式，再构造函数求最值即可求出结果.解：解析：（1）由题意得211()x ax f x x a x x++'=++=．设()21x x ax ϕ=++，其24a ∆=-，对称轴方程为2ax =-，()0=1ϕ 若()210x x ax ϕ=++≥在(0,2)恒成立，即1a x x ⎛⎫≥-+⎪⎝⎭当(0,2)x ∈时，12x x+≥（当且仅当1x =时取等号）， 即2a ≥-时，()210x x ax ϕ=++≥在(0,2)恒成立，所以此时()0f x '≥恒成立，此时()f x 在(0,2)单调递增，无极值点，当2a <-时，02ax =->，由()010ϕ=> 若()2520a ϕ=+<，即52a <-，所以方程210x ax ++=在(0,2)上有唯一实根0x此时可得()f x 在()00,x 单调递增，()02x ,单调递减，函数()f x 有一个极值点． 当52a =-时，方程2251102x ax x x ++=-+=在(0,2)上有唯一实数根12x = 此时可得()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，函数()f x 有一个极值点． 若022a<-<，()2520a ϕ=+>且240a ∆=->，即522a -<<-时方程210x ax ++=在(0,2)有两个相异的根1x ，()212x x x <，此时()f x 在()10,x 单调递增，()12,x x 单调递减，()2,2x 单调递增，有两个极值点． 综上：当2a ≥-时，无极值点． 当52a ≤-时，1个极值点． 当522a -<<-时，2个极值点．（2）()()f x g x ≤即2ln xe x x ax -+≥，0x，即2ln (0)x e x xa x x+-≤>恒成立令2ln ()(0)x e x xx x x ϕ+-=>，2(1)ln (1)(1)()x e x x x x x xϕ-+++-'=． 0x，(0,1)x ∴∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ∴单调递减，(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ∴单调递增．min ()(1)1x e ϕϕ∴==+，1a e ∴≤+．点评：关键点睛：本题考查含参数的极值的讨论和根据恒成立求参数范围，解答本题的关键是讨论()210x x ax ϕ=++≥在(0,2)上零点的个数，从而得出函数的单调性，()()f x g x ≤恒成立，即转化为2ln (0)x e x xa x x +-≤>恒成立，进一步转化为求2ln ()(0)x e x xx x xϕ+-=>的最小值，属于中档题.22．若不等式(1)ln 1k x x x -≥+对于[1,)x ∀∈+∞恒成立； （1）求实数k 的取值范围； （2）已知ln ()xf x x=，若()f x m =有两个不同的零点1x ，2x ，且12x x <．求证：123x x e m+>-（其中e 为自然对数的底数） 答案：（1）k 2≤；（2）证明见解析.【分析】（1）令1()ln 1x h x x k x -=-+，求导222122(1)1()(1)(1)k x k x h x x x x x --+'=-=++，然后令2()2(1)1x x k x ϕ=--+，利用二次函数的性质进行求解即可 （2）根据题意，把问题转化，令ln ()xf x x=，21ln ()x f x x -'=，然后，得出()f x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞单调递减，且当x →+∞时，()0f x →，1(1,)x e ∴∈，2(,)x e ∈+∞，进而得出222(3)0mx me x e +-+>①，和211(3)0mx me x e +-+<②，进而利用①-②，可求解解：解析：（1）令1()ln 1x h x x kx -=-+，(1)0h =，222122(1)1()(1)(1)k x k x h x x x x x --+'=-=++ 令2()2(1)1x x k x ϕ=--+，当k 2≤时，(1)420k ϕ=-≥，且对称轴11x k =-≤，所以当1≥x 时，'()0h x ≥，()h x 在[)1,+∞上单调递增，所以()(1)h x h ≥，所以(1)ln 1k x x x -≥+ 当2k >时，(1)420k ϕ=-<，则必存在0x 使得()h x 在()01,x 上单调递减，又(1)0h =，所以不符合题意， 综上：k 2≤（2）()f x m =有两个不同的零点，即1212ln ln x x m x x ==，11ln x mx ∴=，22ln x mx =． 又ln ()xf x x=，21ln ()x f x x -'=， ()f x ∴在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞单调递减，且当x →+∞时，()0f x →， 1(1,)x e ∴∈，2(,)x e ∈+∞．由（1）知，当1≥x 时，2(1)ln 1x x x -≥+， 2x e >，21x e ∴>，22221ln 1x x e x e e⎛⎫- ⎪⎝⎭∴>+，即()2222ln 1x e x x e -->+，又22ln x mx =．()()()22212mx x e x e ∴-+>-，222(3)0mx me x e ∴+-+>① 同理：11121ln 1x e e x e x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，即()11121ln e x x e x -->+，()()()11112mx e x e x -+>-，211(3)0mx me x e ∴+-+<②①-②得()()222121(3)0m x x me x x -+-->，即()()2112(3)0x x m x x me -++->⎡⎤⎣⎦210x x ->，()123m x x me ∴+>-，123x x e m∴+>-，得证． 点评：关键点睛：（1）解题的关键在于令1()ln 1x h x x kx -=-+后，通过导数进行判断()h x 的单调性，进而求解；（2）解题的关键在于利用()f x m =有两个不同的零点，即1212ln ln x x m x x ==，得到11ln x mx =，22ln x mx =，进而设出ln ()x f x x=，进而可求解；本题的难度属于困难。
2021年高三高考模拟数学(理)试题(一)含答案
2021年高三高考模拟数学（理）试题（一）含答案一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1.设是等差数列的前项和，，则的值为( )A. B. C. D.2、如果是二次函数, 且的图象开口向上,顶点坐标为（1,）, 那么曲线上任一点的切线的倾斜角的取值范围是（）A． B． C． D．3、在中，，，是边上的高，则的值等于（）A．0 B． C．4 D．4、已知数列为等比数列，且. ,则=（）A．B. C．D．5、已知等比数列的公比，且成等差数列，则的前8项和为（）A. 127B. 255C. 511D. 10236、已知函数（其中）的部分图象如右图所示，为了得到的图象，则只需将的图象（）A.向右平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D.向左平移个长度单位7、函数的零点个数为（）A. 1B.2C. 3D.48、设集合，集合.若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．9、在△ABC所在平面上有三点P、Q、R，满足→→→→→→→→BCRAQCQA，，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为RBQB++==++CARC（ ）A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．1:510、定义域为的偶函数满足对，有，且当 时，，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是 （ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷 非选择题 （共100分）二、填空题：（本题共5个小题，每小题5分，共25分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）11、已知函数的图象与直线交于点P ，若图象在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为，则＋＋…＋的值为 。
12、由曲线与直线所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是13、在等比数列中，若，则 。
14、在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，则 ．15、设，其中. 若对一切恒成立，则 ① ； ② ；③ 既不是奇函数也不是偶函数；④ 的单调递增区间是；⑤ 存在经过点的直线与函数的图象不相交．以上结论正确的是__________________（写出所有正确结论的编号）．三、解答题（共6个题， 共75分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）16.（本小题满分12分）如图，角为钝角，且，点、分别是在角的两边上不同于点的动点.（1）若=5， =，求的长；（2）设)2sin(,1312cos ,,βααβα+==∠=∠求且AQP APQ 的值.17.（本小题满分12分）某连锁超市有、两家分店，对该超市某种商品一个月30天的销售量进行统计：分店的销售量为200件和300件的天数各有15天；分店的统计结果如下表：（1）根据上面统计结果，求出分店销售量为200件、300件、400件的频率；（2）已知每件该商品的销售利润为1元，表示超市、两分店某天销售该商品的利润之和，若以频率作为概率，且、两分店的销售量相互独立，求的分布列和数学期望.18.（本小题满分12分）如图，为矩形，为梯形，平面平面，，.（1）若为中点，求证：∥平面；（2）求平面与所成锐二面角的大小．19.（本小题满分1分）已知数列中，，且当时，，.记的阶乘！（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列为等差数列；（3）若，求的前n项和.20.（本小题满分13分）已知椭圆：（）的离心率为，连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点M，求点M的轨迹的方程；（3）设O为坐标原点，取上不同于O的点S，以OS为直径作圆与相交另外一点R，求该圆面积的最小值时点S的坐标．21.（本小题满分14分）已知函数，函数是函数的导函数.（1）若，求的单调减区间；（2）若对任意，且，都有，求实数的取值范围；（3）在第（2）问求出的实数的范围内，若存在一个与有关的负数，使得对任意时恒成立，求的最小值及相应的值.高三数学（理）模拟试题一答案DBBCB ABBBB11、-1，12、 13、 14、 15、①②③16. 解：（1）是钝角，，…………………………1分在中，由余弦定理得：所以…………………………4分解得或（舍去负值），所以…………………………6分（2）由…………………………7分在三角形APQ中，又…………………………8分…………………………9分………11分………………………12分17. 解：（1）B分店销售量为200件、300件、400件的频率分别为，和……3分（2）A分店销售量为200件、300件的频率均为，…………4分的可能值为400，500，600，700，且………5分P（=400）=，P（=500）=，P（=600）=，P（=700）=，………9分的分布列为400 500 600 700P……………10分=400+500+600+700=（元）…………………12分18.（1）证明：连结,交与,连结，中，分别为两腰的中点∴……………2分因为面,又面，所以平面……………4分（2）解法一：设平面与所成锐二面角的大小为，以为空间坐标系的原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则…6分设平面的单位法向量为，则可设…………………………7分设面的法向量，应有即：解得：，所以………………………………………10分∴…………………………………………………11分所以平面与所成锐二面角为60°………………………………………12分 解法二：延长CB 、DA 相交于G ，连接PG ，过点D 作DH ⊥PG ，垂足为H ，连结HC ……………………6分∵矩形PDCE 中PD ⊥DC ，而AD ⊥DC ，PD ∩AD =D∴CD ⊥平面P AD ∴CD ⊥PG ，又CD ∩DH =D∴PG ⊥平面CDH ，从而PG ⊥HC ………………8分∴∠DHC 为平面P AD 与平面PBC 所成的锐二面角的平面角 ………………………………………………9分在△中，，可以计算……………….10分在△中， ……………………………11分所以平面与所成锐二面角为60°………………………………………12分19. 解：（1）, ，123(1)(1)(2)n n n n a na n n a n n n a ---==-=--=⋅⋅⋅！ ………………………………………2分又，！ ……………………………………………………3分（2）由两边同时除以得即 …4分∴数列是以为首项，公差为的等差数列 ………………………5分，故 …………………………6分（3）因为12111,22(1)(2)12n n n n n a b n a n n n n -+==--=-⋅++++ ……………8分 记= 1111111111()()()()2334451222n A n n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-=-+++……10分 记的前n 项和为则 ①∴12121222(1)22n n n B n n -=-⋅-⋅-⋅⋅⋅--⋅-⋅ ②由②-①得：………………………………………………………………………………11分∴=…………12分20. 解：（1）解：由，得，再由，解得 ………1分由题意可知，即 ………………………………2分解方程组得 ……………………………………3分所以椭圆C 1的方程是 ……………………………………………3分（2）因为，所以动点到定直线的距离等于它到定点（1，0）的距离，所以动点的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线，…6分所以点的轨迹的方程为 ………………………………………7分（3）因为以为直径的圆与相交于点，所以∠ORS = 90°，即 (8)分设S （，），R （，），＝（-，-），=（，） 所以222221*********()()()()016y y y OR SR x x x y y y y y y -⋅=-+-=+-= 因为，，化简得 …………………………9分所以221222256323264y y y =++≥=， 当且仅当即＝16，y 2＝±4时等号成立. ………………………10分圆的直径|OS|==== 因为≥64，所以当＝64即=±8时，， ……………12分所以所求圆的面积的最小时，点S 的坐标为（16，±8）……………………13分21. 解：（1）当时，， …………………1分由解得 ……………………2分当时函数的单调减区间为； (3)分 （2）易知 X k B 1 . c o m依题意知222121*********()4()2222x x x x ax x ax x a +++-++-=+-- X k B 1 . c o m …………………………………………………………5分因为，所以，即实数的取值范围是 ；………………6分（3）解法一：易知，.显然，由（2）知抛物线的对称轴 ………………7分①当即时，且令解得 ……………………8分此时取较大的根，即 …………………9分， ………………………10分②当即时，且 X k B 1 . c o m令解得 ……………………11分此时取较小的根，即 ………………12分， 当且仅当时取等号 …………13分由于，所以当时，取得最小值 ……………………14分解法二：对任意时，“恒成立”等价于“且”由（2）可知实数的取值范围是故的图象是开口向上，对称轴的抛物线……7分①当时，在区间上单调递增，∴，要使最小，只需要………8分若即时，无解若即时，………………9分解得（舍去）或故（当且仅当时取等号）…………10分②当时，在区间上单调递减，在递增，则，…………………11分要使最小，则即……………………………………………………………12分解得（舍去）或（当且仅当时取等号）……13分综上所述，当时，的最小值为. (14)分234435 8683 蚃Vj27014 6986 榆33180 819C 膜35775 8BBF 访21571 5443 呃24697 6079 恹31926 7CB6 粶7 S36221 8D7D 赽>。
2021版高考数学一模试卷（理科）（含参考答案）
2021版高考数学一模试卷（理科）姓名:________班级:________成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1.（2分）复数的共轭复数是（）A .B .C .D .2.（2分） (2018高一上·黑龙江期末)已知集合，（）A .B .C .D .3.（2分）已知f(x)=log3x，则的大小是（）A .B .C .，那么等于D .两点，直线的长为（）分别在这个4.（2分） (2018高二上·南阳月考)如图，60°的二面角的棱上有二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，则A .B . 7C .D . 95.（2分）已知命题A . p q使得命题，下列命题为真的是（）B .（C .D .6.（2分）(2018·大新模拟)某几何体的三视图如图所示，图中每一个小方格均为正方形，且边长为1，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .7.（2分）(2017·江西模拟)美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一．美索不达米亚人善于计算，他们创造了优良的计数系统，其中开平方算法是最具有代表性的．程序框图如图所示，若输入a，n，ξ的值分别为8，2，0.5，（每次运算都精确到小数点后两位）则输出结果为（）A . 2.81B . 2.82C . 2.83D . 2.848.（2分）过双曲线线交于点B，若的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A，与另一条渐近，则此双曲线的离心率为（）A .B .C . 2D .9.（2分） (2016高一上·佛山期末)设函数f （x）是定义在R 上的奇函数，则下列结论中一定正确的是（）A .函数f（x）+x2是奇函数B .函数f（x）+|x|是偶函数C .函数x2f（x）是奇函数D .函数|x|f（x）是偶函数10.（2分）设（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）50=a0+a1x+a2x2+…+a50x50 ，则a3等于（）A . CB . CC . 2CD . C11.（2分）把函数y=cos（x+正值为（））的图象向右平移φ个单位，所得的图象正好关于y 轴对称，则φ的最小A .B .C .D .12.（2分）若函数y=aex+3x（a∈R，x∈R）有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是（）A .﹣3＜a＜0B . a＞﹣3C . a＜﹣3D .二、填空题 (共4题；共4分)13.（1分）随机变量ξ服从正态分布N（50，σ2），若P（ξ＜40）=0.3，则P（40＜ξ＜60）=________．14.（1分）在x（1+）6的展开式中，含x3项系数是________．（用数字作答）15.（1分）若变量x，y 满足约束条件，则z=3x﹣2y 的最大值为________16.（1分） (2016高二上·上杭期中)已知数列{an}的前n 项和为Sn ， a1=1，2an+1=an ，若对于任意n∈N* ，当t∈[﹣1，1]时，不等式x2+tx+1＞Sn 恒成立，则实数x 的取值范围为________．三、解答题 (共7题；共75分)17.（5分） (2018高一下·大连期末)已知函数零点，为图像的对称轴，且在区间上单调.求的值.，为的18.（15分） (2018高二下·中山月考)某校为了解开展校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分．现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如图所示：等级得分频数不合格[20，40)6[40，60)a合格[60，80)24[80，100]b（1）求a，b，c的值；（2）先用分层抽样的方法从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈，再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)；（3）某评估机构以指标效．若（，其中表示的方差）来评估该校开展安全教育活动的成≥0.7，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案．在(2)的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案．19.（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，AB⊥AD，AB=3，CD=2，PD=AD=5．（1）在PD上确定一点E，使得PB∥平面ACE，并求的值；（2）在（1）条件下，求平面PAB与平面ACE所成锐二面角的余弦值．20.（10分）(2017·惠东模拟)设椭圆C： + =1（a＞b＞0），定义椭圆的“伴随圆”方程为．x2+y2=a2+b2；若抛物线x2=4y的焦点与椭圆C的一个短轴重合，且椭圆C的离心率为（1）求椭圆C的方程和“伴随圆”E的方程；（2）过“伴随圆”E上任意一点P作椭圆C的两条切线PA，PB，A，B为切点，延长PA与“伴随圆”E交于点Q，O 为坐标原点．①证明：PA⊥PB；②若直线OP，OQ的斜率存在，设其分别为k1，k2，试判断k1k2是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由．21.（15分） (2017高三·银川月考)已知函数（1），若（2）设函数（3），求函数处的切线方程，求的单调区间.若存在，使得成立，求的取值范围。
2021年安徽省江南十校高考数学一模试卷(理科)有答案
2021年安徽省江南十校高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合A＝{x|x2−5x−6>0}，集合B＝{x|4<x≤7}，则A∪B＝（）A.(6, 7]B.(4, 7]C.(−∞, −1)∪(4, +∞)D.(−∞, 2)∪(3, +∞)2. 已知复数z＝1+i，是z的共轭复数，若•a＝2+bi，其中a，b均为实数，则b的值为（）A.−2B.−1C.1D.23. 已知sinα＝，α∈（，），则tan2α＝（）A.-B.-C.D.4. 2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗．1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，α≈16∘，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（）A.0∘B.1∘C.2∘D.3∘5. 函数的图象大致为（）A.B.C.D.6. 已知F为椭圆C：＝1(a>b>0)的右焦点，O为坐标原点，P为椭圆C上一点，若|OP|＝|OF|，∠POF＝120∘，则椭圆C的离心率为（）A. B. C.−1 D.−17. 现有5名志愿者被分配到3个不同巡查点进行防汛抗洪志愿活动，要求每人只能去一个巡查点，每个巡查点至少有一人，则不同分配方案的总数为（）A.120B.150C.240D.3008. 将数列{3n−1}与{2n+1}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}的第10项为（）A.210−1B.210+1C.220−1D.220+19. 已知函数f(x)＝e|ln x|，a＝f(1)，b＝f(log2），c＝f(21.2)，则（）A.b>c>aB.c>b>aC.c>a>bD.b>a>c10. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝c sin B，则tan A的最大值为（）A.1B.C.D.11. 在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，O为正方形A1B1C1D1的中心，P，M，N 分别为DD1，AB，BC的中点，则四面体OPMN的体积为（）A. B. C. D.12. 已知函数f(x)＝e log a x−(a>1)没有零点，则实数a的取值范围为（）A.(e, +∞)B.（，+∞)C.(1, +∞)D.（，+∞)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省江淮十校2021届高三第一次联考数学试题理含答案
安徽省江淮十校2021届高三第一次联考数学试题理注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1.设复数z满足以=一3 + 3则虚部是（）A. 3/B. -3iC. 3D. -32.已知函数/（X）是定义在R上的偶函数，且在［0,+s）上单调递增，b = /|^2cos^j,c = /（2°6）的大小关系为（）A. a>b>cB. a >c>bC. b>a>cD. c >\-y + l>03.若实数x，），满足约束条件|x+），+ lW0,则z = x + 2y （）x-l<0A.既有最大值也有最小值B.有最大值，但无最小值C.有最小值，但无最大值D.既无最大值也无最小值7r34.已知函数/（x）=J 在［-6, 6］的图像大致为（）e +eJ K JrA. vr1,产C. 1D. 1 V5.现学校想了解同学们对假期学习方式的满意程度，收集如图1所示的数据则三个数〃 = /（—10g313）,a >b抽取4%的同学进行满意度调查，得到的数据如图2.下列说法错误的是（B.若〃7 = 50,则本次自主学习学生的满意度不低于四成 C 总体中对方式二满意的学生约为300人 D.样本中对方式一满意的学生为24人6.已知某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,则该几何体的表面积为（A. ±3 D. 28 .己知三个不同的平面a 、p 、y,两条不同的直线〃 ？、〃，则下列结论正确的是（ ）A. a Lp y m//a 9 〃 J./7是〃7，九的充分条件B. y 与，，P 所成的锐二而角相等是。
2021-2022年高三一模考试数学理试题含答案
2021-2022年高三一模考试数学理试题含答案数学（理科） xx.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合，集合，则（）（A）（B）（C）（D）2. 在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为2,()xyθθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，则曲线C是（）（A）关于轴对称的图形（B）关于轴对称的图形（C）关于原点对称的图形（D）关于直线对称的图形3. 如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）（A）（B）（C）（D）4. 在平面直角坐标系中，向量＝(1, 2)，＝(2, m) ，若O, A, B三点能构成三角形，则（）（A）（B）（C）（D）5. 执行如图所示的程序框图，若输入的分别为0, 1，则输出的（）（A）4 （B）16 （C）27 （D）366. 设，则“”是“”的（）（A）充分而不必要条件B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件7. 设函数（，，是常数，，），且函数的部分图象如图所示，则有（）（A）（B ） （C ） （D ）8. 如图，在棱长为的正四面体中，点分别在棱,,上，且平面平面，为内一点，记三棱锥的体积为V ，设，对于函数，则（ ）（A ）当时，函数取到最大值 （B ）函数在上是减函数（C ）函数的图象关于直线对称（D ）存在，使得（其中为四面体的体积）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 在复平面内，复数与对应的点关于虚轴对称，且，则____.10．已知等差数列的公差， ，，则____；记的前项和为，则的最小值为____. 11．若圆与双曲线C ：的渐近线相切，则_____；双曲线C 的渐近线方程是____. 12. 一个棱长为4的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积是____.13. 在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A , B , C 三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，且甲不能参加A , B 项目，乙不能参加B , C 项目，那么共有____种不同的选拔志愿者的方案.（用数字作答）14. 一辆赛车在一个周长为3 km 的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系．BB 1C DC 1D 1A 1A侧(左)视图正(主)视图俯视图（图1）（图2）根据图1，有以下四个说法：○1在这第二圈的2.6 km到2.8 km之间，赛车速度逐渐增加；○2在整个跑道中，最长的直线路程不超过0.6 km；○3大约在这第二圈的0.4 km到0.6 km之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶；○4在图2的四条曲线（注：S为初始记录数据位置）中，曲线B最能符合赛车的运动轨迹.其中，所有正确说法的序号是_____.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 设，.（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）求的值.16．（本小题满分13分）某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段，，，，，进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）.（Ⅰ）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”. 已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一全年级中“体育良好”的学生人数；（Ⅱ）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在和的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在的概率；（Ⅲ）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为，且分别在，，三组中，其中．当数据的方差最小时，写出的值.（结论不要求证明）（注：2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中为数据的平均数）17．（本小题满分14分）如图，四边形是梯形，，，四边形为矩形，已知，，，. （Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值； （Ⅲ）设为线段上的一个动点（端点除外），判断直线与直线能否垂直？并说明理由.18．（本小题满分13分）已知函数，且.（Ⅰ）求的值及的单调区间；（Ⅱ）若关于x 的方程存在两不相等个正实数根，证明：．各分数段人数ABCD D 1C 119．（本小题满分14分）已知椭圆：的长轴长为，为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆的方程和离心率；（Ⅱ）设点，动点在轴上，动点在椭圆上，且在y轴的右侧，若，求四边形面积的最小值.20．（本小题满分13分）设数列和的项数均为m，则将数列和的距离定义为.（Ⅰ）给出数列和数列的距离；（Ⅱ）设为满足递推关系的所有数列的集合，和为A中的两个元素，且项数均为m，若，，和的距离小于，求m的最大值；（Ⅲ）记是所有7项数列或的集合，，且中任何两个元素的距离大于或等于3，证明：中的元素个数小于或等于16.答案解析1.【答案】C【解答】解：由，解得∴又∵∴故选：C2.【答案】A【解答】解：由得表示圆心为，半径为的圆所以曲线是关于轴对称的图形．故选：A3.【答案】B【解答】∵是奇函数，为奇函数∴是偶函数．故选：B4.【答案】B【解答】∵,,三点能构成三角形∴与不共线又，∴∴故选：B5.【答案】D【解答】解：由程序框图知，第1次循环，,，．第1次循环，,，．第1次循环，,此时，跳出循环．输出故选：D6.【答案】A【解析】由，得∵是减函数，是减函数∴是减函数又∵ ∴ ∴．即“”等价于“” 又∵∴“”是“”的充分不必要条件． 故选：A7.【答案】D 【解答】解：由函数的图象可知， ∴.∴33π(π)(ππ)()444f f f -=-+=552(π)(ππ)(π)333f f f =-= 771(π)(ππ)(π)666f f f =-= 结合图象知，在即上单调递减，且关于对称． ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴故选：D8.【答案】A 【解答】解：设四棱锥的高为，四棱锥的高为． ∵面平面 ∴, ∵ ∴， ∴， ∴ 即 令22'()2(1)32g x x x x x x =--=-+令，得或 时，，单增, 时，，单减．h'hD 1C 1B 1A 1DBA∴当时，有最大值，即有最大值．故选：A．二、填空题9．【答案】【解答】∵复数与对应的点关于虚轴对称，且，∴，∴2121(1)(1)121(1)(1)2z i i i i iiz i i i．故答案为．10．【答案】；．【解答】设数列的首项为，，，解得，∴；∴，，∴的最小值为．故答案为：；．11．【答案】，．【解答】双曲线的渐近线方程为，即，∵圆与双曲线的渐近线相切，∴，由，解得，故双曲线的渐近线方程为．故答案为：，．12．【答案】【解答】该几何体的直观图如图所示：因此截面为，由题可知，∴中边上的高等于，所以截面面积为故答案为：13．【答案】【解答】若甲、乙二人都参加了，则有种分配方案；若甲、乙二人中只有一个人参加，则有种分配方案；若甲、乙二人都不参加，则有种分配方案；∴共有种分配方案．故答案为：．14．【答案】①④．A【解答】由图看，在到之间，赛车速度从逐渐增加到，①对；从到这段，赛车应该是直道加速到平稳行驶，最长直线路程超过，②错；从到之间，赛车开始最长直线路程行驶，③错；从图看，赛车先直线行驶一小段，然后减速拐弯，然后直线行驶一大段距离，再减速拐弯，再直线行驶一大段，拐弯后行驶一中段距离，曲线最符合，④对．故答案为：①④．15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为，由正弦定理，得. ………………3分由余弦定理及，，………………5分得，所以，解得. ………………7分（Ⅱ）解：由，得.所以. ………………8分即，………………11分所以，所以. ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有人，………………2分所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约有人. ……4分（Ⅱ）解：设“至少有1人体育成绩在”为事件，………………5分由题意，得，因此至少有1人体育成绩在的概率是. ………………9分（Ⅲ）解：, , 的值分别是为, , ；或, , . ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：由为矩形，得，又因为平面，平面，所以平面， ……………… 2分 同理平面， 又因为，所以平面平面, ……………… 3分 又因为平面，所以平面. ……………… 4分 （Ⅱ）解：由平面中，，，得，又因为，， 所以平面， 所以，又因为四边形为矩形，且底面中与相交一点， 所以平面， 因为， 所以平面.过在底面中作，所以两两垂直，以分别为轴、轴和轴，如图建立空间直角坐标系， ……………… 6分则，，，，，， 所以,.设平面的一个法向量为， 由，，得令，得. ………………8分易得平面的法向量.所以cos ,||||⋅<>==m n m n m n . 即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.（Ⅲ）结论：直线与不可能垂直. ………………11分证明：设，， 由，，，， 得，，，，1(33,22,)CP CD DP m λλλ=+=--. ………………12分若，则21(33)0BC CP m λλ⋅=--+=，即， 因为，所以，解得，这与矛盾.所以直线与不可能垂直. ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：对求导，得， ………………2分 所以，解得. ………………3分 故，. 令，得.当变化时，与的变化情况如下表所示：所以函数的单调减区间为，单调增区间为. ………………5分 （Ⅱ）解：方程，即为，设函数. ………………6分 求导，得()e 2(e 2)x x g x x kx x k '=-=-．由，解得，或. ………………7分 所以当变化时，与的变化情况如下表所示：所以函数在单调递减，在上单调递增. ………………9分 由，得.又因为， 所以.不妨设（其中为的两个正实数根）， 因为函数在单调递减，且，，所以. ………………11分 同理根据函数在上单调递增，且， 可得，所以12214||ln 41ln ex x x x -=->-=，即 . ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，椭圆C ：， ………………1分所以，， 故，解得，所以椭圆的方程为. ………………3分 因为，所以离心率. ………………5分 （Ⅱ）解：设线段的中点为，因为，所以， ………………7分 由题意，直线的斜率存在，设点，则点的坐标为，且直线的斜率， ………………8分 所以直线的斜率为，所以直线的方程为：. ………………10分 令，得，则， 由，得，化简，得. ………………11分 所以四边形的面积200023113||3||222y y y --=⨯⨯+⨯⨯………………12分.当且仅当，即时等号成立.所以四边形面积的最小值为. ………………14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，数列和数列的距离为7. ………………2分 （Ⅱ）解：设，其中，且. 由，得，，，， 所以，因此A 中数列的项周期性重复，且每隔4项重复一次. ………………4分所以中，，，，（），所以中，，，，（）. ……………5分 由，得项数m 越大，数列和的距离越大.由， ………………6分 得34564864117||||86420163i i iii i b c b c ⨯==-=-=⨯=∑∑.所以当时，.故m 的最大值为. ………………8分 （Ⅲ）证明：假设中的元素个数大于或等于17个. 因为数列中，或，所以仅由数列前三项组成的数组有且只有8个：，，，，，，，.那么这17个元素（即数列）之中必有三个具有相同的. ………………10分设这三个数列分别为；；，其中，，.因为这三个数列中每两个的距离大于或等于3，所以与中，中至少有3个成立.不妨设.由题意，得中一个等于0，而另一个等于1.又因为或，所以和中必有一个成立，同理，得和中必有一个成立，和中必有一个成立，所以“中至少有两个成立”或“中至少有两个成立”中必有一个成立.所以和中必有一个成立.这与题意矛盾，所以中的元素个数小于或等于16.………………13分34140 855C 蕜22784 5900 夀35648 8B40 譀?Q>cQ40113 9CB1 鲱AT.30652 77BC 瞼e。