天津市2021版九年级上学期数学期中考试试卷C卷
天津市2021版九年级上学期数学期中考试试卷C卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共8题；共8分)
1. （1分） (2019七上·台州期末) 如果 am=an，那么下列等式不一定成立的是（）
A . am－3=an－3
B . m=n
C . 5+am=5+an
D . am= an
2. （1分） (2017九下·钦州港期中) 两个相似多边形一组对应边分别为3 cm，4.5 cm，那么它们的相似比为（）
A .
B .
C .
D .
3. （1分）下列函数关系中，是二次函数的是（）
A . 在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系
B . 当距离一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系
C . 矩形的面积S和矩形的宽x之间的关系
D . 等边三角形的面积S与边长x之间的关系
4. （1分）如图所示的测量旗杆的方法，已知AB是标杆，BC表示AB在太阳光下的影子，叙述错误的是（）
A . 可以利用在同一时刻，不同物体与其影长的比相等来计算旗杆的高
B . 只需测量出标杆和旗杆的影长就可计算出旗杆的高
C . 可以利用△ABC∽△EDB，来计算旗杆的高
D . 需要测量出AB、BC和DB的长，才能计算出旗杆的高
5. （1分）对于反比例函数y=，下列说法不正确的是（）
A . 点（-2，-1）在它的图象上
B . 它的图象在第一、三象限
C . 当x＞0时，y随x的增大而增大
D . 当x＜0时，y随x的增大而减小
6. （1分）已知反比例函数，下列结论不正确的是
A . 图象必经过点(-1，2)
B . y随x的增大而增大
C . 图象在第二、四象限内
D . 若x＞1，则y＞-2
7. （1分）抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的顶点在x轴上方的条件是（）
A . b2-4ac＜0
B . b2-4ac＞0
C . b2-4ac≥0
D . c＞0
8. （1分）如图，Rt△OAB的顶点A（－2，4）在抛物线上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共8题；共8分)
9. （1分） (2017九上·钦南开学考) 若函数y=a（x﹣h）2+k的图象经过原点，最大值为8，且形状与抛物
线y=2x2﹣2x+3相同，则此函数关系式________．
10. （1分） (2016七上·富裕期中) 若|m﹣3|+（n+2）2=0，则m+2n的值为________．
11. （1分） (2016九上·大石桥期中) 将抛物线y=2x2﹣12x+16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是________
12. （1分） (2018九上·东台期末) 已知实数m是关于x的方程x2－3x－1=0的一根，则代数式m2－3m +5值为________．
13. （1分）已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为4：1，则△ABC与△DEF对应边上的高之比为________ ．
14. （1分）当n=________ 时，函数y=2xn﹣1是反比例函数．
15. （1分）(2019·杭州) 如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A'点，D点的对称点为D'点，若∠FPG=90°，△A'EP 的面积为4，△D'PH的面积为1.则矩形ABCD的面积等于________。
16. （1分）如果两个三角形相似，相比为3：5，那么它们的周长之比为________．
三、计算题 (共1题；共2分)
17. （2分） (2015九上·潮州期末) 如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB，求∠APB的度数．
四、解答题 (共11题；共25分)
18. （4分） (2017九上·海淀月考) 已知二次函数．
（1）请你将函数解析式化成的形式，并在直角坐标系中画出的图像．（2）利用（）中的图像结合图像变换表示出方程的根，要求保留画图痕迹，指出方程根的图形意义．
19. （2分）如图所示，D，E是△ABC的边AB，AC上的两点，AE：AC=2：3，且AD=10，AB=15，DE=8，求BC 的长．
20. （1分）如图，二次函数图象过A，B，C三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C 在y轴正半轴上，且AB=OC．
（1）求点C的坐标；
（2）求二次函数的解析式．
21. （2分）(2018·三明模拟) 如图，一次函数y=ax+b的图象经过点A（2，0），与反比例函数的图象在第四象限交于点B(4,n)，△OAB的面积为，求一次函数和反比例函数的表达式.
22. （2分）如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．
（1）求证：AB•AF=CB•CD；
（2）已知AB=15cm，BC=9cm，P是线段DE上的动点．设DP=x cm，梯形BCDP的面积为ycm2 ．
①求y关于x的函数关系式．
②y是否存在最大值？若有求出这个最大值，若不存在请说明理由．
23. （2分） (2019九上·沭阳月考) 等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D.设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S.
（1）求出S关于t的函数关系式；
（2）当点P运动几秒时，S△PCQ=S△ABC？
（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论.
24. （2分）关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2=0．
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．
（2）设x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2=0的两个根，记S= +x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．
25. （2分） (2019九上·西城期中) 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷头，使喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m ，水柱落地处离中心3m ．
（1）在给定的坐标系中画出示意图；
（2）求出水管的长度．
26. （2分） (2019九上·海淀期中) 探究函数的图象与性质．
小娜根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小娜的探究过程，请补充完整：
（1）下表是x与y的几组对应值．
x…023…
y…0m n3…
请直接写出：m=________，n=________；
（2）如图，小娜在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中已经给出的各组对应值为坐标的点，请再描出剩下的两个点，并画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：若方程有三个不同的解，记为x1,x2,x3，且x1<x2<x3. 请直接写出x1+ x2+x3的取值范围.
27. （3分） (2018九上·台州期末) 如图，三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4);
（1）请画出将绕A点逆时针旋转90度得到的图形△AB1C1；
（2）请画出关于原点O成中心对称的图形；
（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请在图上标出点P，并直接写出点P的坐标________
28. （3分） (2016九上·乐至期末) 如图，已知在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点E是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连结BE、CE．
（1）若a=5，si n∠ACB= ，求b．
（2）若a=5，b=10当BE⊥AC时，求出此时AE的长．
（3）设AE=x，试探索点E在线段AD上运动过程中，使得△ABE与△BCE相似时，求a、b应满足什么条件，并求出此时x的值．
参考答案一、选择题 (共8题；共8分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
二、填空题 (共8题；共8分)
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、计算题 (共1题；共2分)
17-1、
四、解答题 (共11题；共25分) 18-1、
18-2、
19-1、
20-1、20-2、
21-1、
22-1、
23-1、
23-2、23-3、
24-1、24-2、25-1、
25-2、26-1、
26-2、26-3、
27-1、27-2、27-3、
28-1、28-2、
28-3、。
2021-2022学年天津市和平区九年级上学期数学期中考试卷及答案
2021-2022学年天津市和平区九年级上学期数学期中考试卷及答案一、选择题1. 下列各点中，在二次函数的图象上的是（ ）23y x =A.B. C. D.(1,3)-(2,12)()2,6-(3,3)【答案】B【解析】 【分析】把点的坐标代入函数解析式进行判断即可．【详解】解：A ．当时，，故点不在函数图象上，不符合题意；1x =23133y =⨯=≠-(1,3)-B ．当时，，故点在函数图象上，不符合题意；2x =23212y =⨯=(2,12)C ．当时，，故点不在函数图象上，不符合题意；2x =-23(2)126y =⨯-=≠()2,6-D ．当时，，故点不在函数图象上，不符合题意； 3x =233183y =⨯=≠(3,3)故选：B ．【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．2.下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（ ）A. （1）（2）B. （1）（3）C. （1）（4）D. （2）（3）【答案】B【解析】 【详解】解：（1）既是轴对称图形，又是中心对称图形；（2）既不是轴对称又不是中心对称图形；（3）既是轴对称图形，又是中心对称图形；（4）是轴对称图形，不是中心对称图形故选：B ．3. 某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降低的百分率为x ，根据题意列出的方程是（ ）A.B. ()2250013200x +=()2250013200x -=C.D. ()2320012500x -=()2320012500x +=【答案】C【解析】【分析】可根据：原售价×（1﹣降低率）＝降低后的售价得出两次降价后的价格，然后2即可列出方程．【详解】解：依题意得：两次降价后的售价为，()2320012500x -=故选：C ．【点睛】本题考查降低率问题，由：原售价×（1﹣降低率）2＝降低后的售价可以列出方程．4. 用配方法解方程，则方程可变形为（ ）23610x x -+=A. B. C. D. 21(3)3x -=21(1)33x -=2(31)1x -= 22(1)3x -=【答案】D【解析】【分析】根据配方法解一元二次方程的一般步骤对选项进行判断即可．【详解】解：，23610x x -+=， 2123x x -=-， 22213x x -+=， ()2213x -=故选D.【点睛】本题考查了配方法，掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．5. 在半径为50的中，弦的长为50，则点O 到的距离为（ ）O AB ABA. 50B.C.D. 25 【答案】B【解析】【分析】由题意为等边三角形，求出等边三角形的高即可．OAB OC 【详解】解：如图，作于C ，OC AB ⊥根据题意：，50OA OB AB ===∴是等边三角形，OAB ∴，60AOB ∠=︒∵，OC AB ⊥∴，30AOC ∠=︒∴，cos30OC OA =⋅︒=即点O 到的距离为， AB 故选：B ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6. 将抛物线y=x 2先向下平移3个单位，再向左平移1个单位，则新的函数解析式为（ ）A. y=（x+1）2+3B. y=（x﹣1）2+3C. y=（x﹣1）2﹣3D. y=（x+1）2﹣3【答案】D【解析】【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出新图象的顶点坐标，然后写出即可．【详解】抛物线y=x 2的顶点坐标为（0，0），向下平移3个单位，再向左平移1个单位后的图象的顶点坐标为（-1，-3），所以，所得图象的解析式为 y=（x+1）2﹣3，故选D ．【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键．7. 如图，四边形的外接圆为⊙，，，，则ABCD O BC CD =35DAC ∠=︒45ACD ∠=︒的度数为（ ）ADB ∠A.B. C. D.55︒60︒65︒70︒【答案】C【解析】 【分析】根据同弧所对的圆周角相等及等边对等角，可得，根据三角形的内角35CDB ∠=︒和可得，利用角的和差运算即可求解．100ADC ∠=︒【详解】解：∵，35DAC ∠=︒∴，35DBC ∠=︒∵，BC CD =∴，35CDB ∠=︒∵，45ACD ∠=︒∴，100ADC ∠=︒∴，65ADB ADC CDB ∠=∠-∠=︒故选：C ．【点睛】本题考查同弧所对的圆周角相等、三角形的内角和、等边对等角，熟练应用几何知识是解题的关键．8. 将二次函数配方为的形式为（ ）2=2+3y x x -()2y x h k =-+A. B. C. D. ()211y x =-+()212y x =-+()223y x =--()221y x =--【答案】B【解析】【分析】利用配方法，把一般式转化为顶点式即可【详解】解：，()2221212y x x x =-++=-+故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的一般式，顶点式，正确利用配方法是解答本题的关键，配方法方法是，先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式．9. 如图，圆内接四边形的对角线，把它的四个内角分成八个角，那么以下ABCD AC BD 结论不一定正确的是（ ）A.B. 27∠=∠58∠=∠C.D.6190∠+∠=︒4256180∠+∠+∠+∠=︒【答案】C【解析】 【分析】根据圆周角定理，三角形内角和定理进行判断即可．【详解】解：A 、∵所对的弧都是弧2,7∠∠BC ∴，选项正确，不符合题意；27∠=∠B 、∵所对的弧都是弧5,8∠∠DC ∴，选项正确，不符合题意；58∠=∠C 、∵不一定是直径BD ∴不一定是直角BAD ∠∴不一定等于，符合题意；61∠+∠90︒D 、∵7654180∠+∠+∠+∠=︒∴ ，选项正确，不符合题意；2654180∠+∠+∠+∠=︒故选C ．【点睛】本题考查了圆的内接四边形，圆周角定理，熟练运用圆周角的定理解决问题是本题的关键．10. 和是等边三角形，且在一条直线上，连接交于点，ABC BDE △,,A B D ,AE CD P 则下列结论中错误的是（ ）A.AC BE B .60APC ∠=︒C. 可以看作是平移而成的BDE △ABC D. 可以看作是绕点顺时针旋转而成的CBD △ABE B 60︒【答案】C【解析】【分析】A 、利用等边三角形的定义可得：，由同位角相等可得：60CAB DBE ∠=∠=︒；AC BE B 、先证明，则，根据外角的性质得：ABE CBD ≌BDC AEB ∠=∠，60APC EBD ∠=∠=︒C 、因为两个等边三角形的边长不确定，所以本选项错误；D 、由B 选项中的全等可得结论．【详解】解：A 、∵和是等边三角形，ABC BDE △∴，60CAB DBE ∠=∠=︒∴，AC BE 选项正确，不符合题意；B 、∵和是等边三角形，ABC BDE △∴，,,60AB BC BE BD ABC DBE ==∠=∠=︒∴，ABC CBE DBE CBE ∠+∠=∠+∠即，ABE CBD ∠=∠∴（SAS ），ABE CBD ≌∴，BDC AEB ∠=∠∴，60APC EAB BDC EAB AEB EBD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒选项正确，不符合题意；C 、∵和是等边三角形，ABC BDE △但边长不一定相等，选项错误，符合题意；D 、∵，且，ABE CBD ≌60EBD ∠=︒∴可以看作是绕点顺时针旋转而成，CBD △ABE B 60︒选项正确，不符合题意；故选C ．【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质，平行线的判定和性质，本题是常考题型，解题的关键是仔细识图，找准全等的三角形．11. 在等边中，D 是边上一点，连接，将绕点B 逆时针旋转，ABC AC BD BCD △60︒得到，连接，若，，有下列结论：①；②BAE ED 5BC =4BD =AE BC ∥；③是等边三角形；④的周长是9．其中，正确结论的个ADE BDC ∠=∠BDE ADE △数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得，，再利用旋转的性60ABC C ∠=∠=︒5AC BC ==质得，，则，根据平行线的判定可对①进60BAE C ∠=∠=︒AE CD =BAE ABC ∠=∠行判断；由绕点B 逆时针旋转得到，那么，BCD △60︒BAE 60DBE ∠=︒，根据等边三角形的判定方法得到为等边三角形，可对③进行判断；4BD BE ==BDE 根据等边三角形的性质得，，然后说明，则60BDE ∠=︒4DE DB ==60BDC ∠>︒，可对②进行判断；最后利用，和三角形周长定义,60ADE ∠<︒AE CD =4DE DB ==可对④进行判断．【详解】解：∵为等边三角形，ABC∴，，60ABC C ∠=∠=︒5AC BC ==∵绕点B 逆时针旋转，得到，BCD △60︒BAE ∴，，60BAE C ∠=∠=︒AE CD =∴，BAE ABC ∠=∠∴，①正确；AE BC ∥∵绕点B 逆时针旋转，得到，BCD △60︒BAE ∴，，60DBE ∠=︒4BD BE ==∴为等边三角形，③正确，BDE ∴，，60BDE ∠=︒4DE DB ==∵，BC BD >∴，即，BDC C ∠>∠60BDC ∠>︒∴，②错误；60ADE ∠<︒∵，，AE CD =4DE DB ==∴的周长，④正确． ADE △549AD AE DE AD CD DE AC DE =++=++=+=+=故选：C ．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了等边三角形的判定与性质，平行线的判定等知识，熟练掌握并运用旋转的性质是关键．12. 已知抛物线y=ax 2+bx+c （0＜2a≤b）与x 轴最多有一个交点．以下四个结论： ①abc＞0；②该抛物线的对称轴在x=﹣1的右侧；③关于x 的方程ax 2+bx+c+1=0无实数根； ④≥2． a b c b++其中，正确结论的个数为（ ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 【答案】C【解析】【分析】由a>0可知抛物线开口向上，再根据抛物线与x 轴最多有一个交点可c>0，由此可判断①，根据抛物线的对称轴公式x=﹣可判断②，由ax 2+bx+c≥0可判断出2b aax 2+bx+c+1≥1＞0，从而可判断③，由题意可得a﹣b+c＞0，继而可得a+b+c≥2b，从而可判断④.【详解】①∵抛物线y=ax 2+bx+c （0＜2a≤b）与x 轴最多有一个交点，∴抛物线与y 轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，故①正确； ②∵0＜2a≤b，∴＞1， 2b a∴﹣＜﹣1， 2b a ∴该抛物线的对称轴在x=﹣1的左侧，故②错误；③由题意可知：对于任意的x ，都有y=ax 2+bx+c≥0，∴ax 2+bx+c+1≥1＞0，即该方程无解，故③正确；④∵抛物线y=ax 2+bx+c （0＜2a≤b）与x 轴最多有一个交点，∴当x=﹣1时，y ＞0，∴a﹣b+c＞0，∴a+b+c≥2b，∵b＞0，∴≥2，故④正确， a b c b++综上所述，正确的结论有3个，故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系.二、填空题13. 点关于原点O 的对称点为______．()3,4【答案】()3,4--【解析】【分析】根据“两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数”解答．【详解】解：点关于原点O 的对称点为．()3,4()3,4--故答案为：．()3,4--【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握两点关于原点对称，横、纵坐标互为相反数是解题关键．14. 抛物线不经过第________象限．2y x 3x 2=++【答案】四【解析】【分析】将抛物线的解析式变形为顶点式，画出其图象，观察图形即可得出结论．【详解】解：抛物线 223132(),24y x x x =++=+-画出该抛物线图象如图所示：观察函数图象可知：抛物线不经过第四象限.2y x 3x 2=++故答案为四.【点睛】考查二次函数的性质，把一般式化为顶点式，画出函数图象是解题的关键.15. 已知函数的图象与轴只有一个交点，则的值为_______．24y x x m =-+x m 【答案】4【解析】【分析】由抛物线与x 轴只有一个交点，得到根的判别式等于0，即可求出m 的值．【详解】∵函数y=x 2-4x+m 的图象与x 轴只有一个交点，∴b 2-4ac=（-4）2-4×1×m=0，解得：m=4，故答案为4【点睛】此题考查了抛物线与x 轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．16. 如图，点D 为AC 上一点，点O 为边AB 上一点，AD ＝DO ．以O 为圆心，OD 长为半径作圆，交AC 于另一点E ，交AB 于点F ，G ，连接EF ．若∠BAC＝22°，则∠EFG＝_ ．【答案】33°【解析】【详解】∵AD=DO，∴∠DOA=∠BAC=22°， ∴∠AEF=∠DOA=11°，12∵∠EFG=∠BAC+∠AEF，∴∠EFG=33°.故答案为33.点睛：此题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质和三角形外角的性质，熟记定理与性质是解题的关键.17. 如图所示，在⊙O 内有折线OABC ，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，则BC 的长为 __．【答案】20【解析】【分析】延长AO 交BC 于D ，根据∠A、∠B 的度数易证得△ABD 是等边三角形，由此可求出OD 、BD 的长；过O 作BC 的垂线，设垂足为E ；在Rt△ODE 中，根据OD 的长及∠ODE 的度数易求得DE 的长，进而可求出BE 的长；由垂径定理知BC=2BE ，由此得解．【详解】解：延长AO 交BC 于D ，作OE⊥BC 于E ；∵∠A=∠B=60°， ∴∠ADB=60°； ∴△ADB 为等边三角形； ∴BD=AD=AB=12； ∴OD=4， 又∵∠ADB=60°， ∴DE=OD=2； 12∴BE=10； ∴BC=2BE=20； 故答案为：20．【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和性质、垂径定理的应用，难度适中，是一道已知条件和图形均比较特殊的中考题．解答的关键是根据已知条件的特点，作出适当的辅助线，构造出等边三角形和直角三角形．18. 已知抛物线y ＝x 2+bx﹣3（b 是常数）经过点A （﹣1，0），（1）求抛物线的解析式_____．（2）P （m ，t ）为抛物线上的一个动点，P 关于原点的对称点为P′，当点P′落在第二象限内，P′A 2取得最小值时，求m 的值_____．【答案】 ①. y ＝x 2﹣2x﹣3 ②.【解析】【分析】（1）首先把A （﹣1，0）代入y ＝x 2+bx﹣3，得出b ＝﹣2，即抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x﹣3；（2）由题意可知P′（﹣m，﹣t）在第二象限，即可判定﹣m＜0，﹣t＞0，即m ＞0，t ＜0，因为抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），可得出﹣4≤t＜0，又根据P 在抛物线上，可得出t ＝m 2﹣2m﹣3，进而得出m 2﹣2m＝t+3，根据两点坐标A （﹣1，0），P′（﹣m，﹣t），即可求出P′A 2＝（﹣m+1）2+（﹣t）2＝m 2﹣2m+1+t 2＝t 2+t+4＝（t+）2+；可判定当t ＝﹣1215412时，P′A 2有最小值，即可求出m【详解】解：（1）把A （﹣1，0）代入y ＝x 2+bx﹣3得：0＝1﹣b﹣3， 解得：b ＝﹣2，即抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x﹣3， 故答案为y ＝x 2﹣2x﹣3；（2）由题意可知P′（﹣m，﹣t）在第二象限， ∴﹣m＜0，﹣t＞0，即m ＞0，t ＜0， ∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）， ∴﹣4≤t＜0， ∵P 在抛物线上， ∴t＝m 2﹣2m﹣3， ∴m 2﹣2m＝t+3，∵A（﹣1，0），P′（﹣m，﹣t），∴P′A 2＝（﹣m+1）2+（﹣t）2＝m 2﹣2m+1+t 2＝t 2+t+4＝（t+）2+； 12154∴当t ＝﹣时，P′A 2有最小值， 12∴﹣＝m 2﹣2m﹣3，解得m 或m ， 12∵m＞0，不合题意，舍去，∴m【点睛】此题主要考查抛物线的性质，熟练掌握即可解题. 三、解答题 19. 解下列方程： （1）； 2 1.53x x +=-（2） 3(1)2(1)x x x -=-【答案】（1）1x =2x =（2）， 11x =223x =【解析】【分析】(1)整理成一般式，再利用公式法求解即可；(2)先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于x 的一元一次方程，分别求解即可得出答案． 【小问1详解】解：，2 1.53x x +=- ，23 1.50x x \++=，，，1a ∴=3b = 1.5c =，2341 1.530\D =-´´=＞则， x ==即，1x =2x =所以，原方程的解为；1x =2x =【小问2详解】解：，31()210()x x x ---= ，1320()()x x \--=则或， 10x -=320x -=解得，， 11x =223x =所以，原方程的解为，． 11x =223x =【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20. 已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）中自变量x 和函数值y 的部分对应值如表： x…32-1- 12-012132…y …54-2- 94-2- 54-074…（1）直接写出此二次函数图象的对称轴与顶点坐标． （2）求该二次函数的解析式．【答案】（1）对称轴为直线；顶点坐标为： 12x =-19(,)24--（2） 22y x x =+-【解析】【分析】（1）根据图象上点的坐标，即可得出图象的对称轴及顶点坐标； （2）设出顶点式，把表格中除顶点外的一点的坐标代入可得a 的值． 【小问1详解】解（1）由表格中的值可知：和的函数值相等，关于对称轴对称，=1x -0x =∴图象的对称轴为直线， 12x =-∴顶点坐标为：； 19(,)24--【小问2详解】 设， 219(24y a x =+-将代入可得：， ()0,2-19244a -=-解得： ，1a =∴二次函数的解析式为：，2219()224y x x x =+-=+-故二次函数的解析式为：．22y x x =+-【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数图象．21. 已知⊙O 的直径为10，点A ，点B ，点C 在⊙O 上，∠CAB 的平分线交⊙O 于点D ．（Ⅰ）如图①，若BC 为⊙O 的直径，AB ＝6，求AC ，BD ，CD 的长； （Ⅱ）如图②，若∠CAB＝60°，求BD 的长．【答案】（Ⅰ）求AC ＝8，BD ＝CD ＝；（Ⅱ）BD ＝5 【解析】【分析】（Ⅰ）利用圆周角定理可以判定△CAB 和△DCB 是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC 的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB 也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD ＝CD ＝ ；（Ⅱ）如图②，连接OB ，OD ．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD 是等边三角形，则BD ＝OB ＝OD ＝5．【详解】解：（Ⅰ）如图①，∵BC 是⊙O 的直径， ∴∠CAB＝∠BDC＝90°．∵在直角△CAB 中，BC ＝10，AB ＝6，∴由勾股定理得到：AC 8==∵AD 平分∠CAB， ∴ ， CDBD =∴CD＝BD ．在直角△BDC 中，BC ＝10，CD 2+BD 2＝BC 2，∴易求BD ＝CD ＝； （Ⅱ）如图②，连接OB ，OD ． ∵AD 平分∠CAB，且∠CAB＝60°， ∴∠DAB＝ ∠CAB＝30°， 12∴∠DOB＝2∠DAB＝60°． 又∵OB＝OD ，∴△OBD 是等边三角形， ∴BD＝OB ＝OD ．∵⊙O 的直径为10，则OB ＝5， ∴BD＝5．【点睛】本题综合考查了圆周角定理，勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题利用了圆的定义、有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形证得△OBD 是等边三角形．22. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 解决方案：设应邀请x 个队参赛、（1）每个队要与其他______个队各赛1场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共______场； （2）根据题意，列出相应方程为______； （3）解这个方程，得______； （4）检验：______；（5）答：比赛组织者应邀请______个队参赛． 【答案】（1）；()1x -()112x x -（2）()11247x x -⨯＝（3）（不符合题意，舍去）， 17x =-28x =（4）将代入原方程，左边＝右边 8x =()881284271⨯⨯⨯-===（5）8 【解析】【分析】设应邀请x 个队参赛，则每个队要与其他个队各赛1场，利用组织比赛的()1x -总场次数＝参赛球队数×（参赛球队数），即可得出关于x 的一元二次方程，解之取1﹣2÷其正值即可得出结论． 【小问1详解】解：设应邀请x 个队参赛、每个队要与其他个队各赛1场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一()1x -场比赛，所以全部比赛共场； ()112x x -故答案为：；； ()1x -()112x x -【小问2详解】根据题意，列出相应方程为； ()11247x x -⨯＝故答案为：； ()11247x x -⨯＝【小问3详解】解这个方程，得x 1＝﹣7（不符合题意，舍去），x 2＝8； 故答案为：（不符合题意，舍去），； 17x =-28x =【小问4详解】检验：将代入原方程，左边＝右边； 8x =()881284271⨯⨯⨯-===故答案为：将代入原方程，左边＝右边； 8x =()881284271⨯⨯⨯-===【小问5详解】答：比赛组织者应邀请8个队参赛． 故答案为：8．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使每星期的利润最大？最大利润是多少？设每件商品涨价x 元，每星期的利润为y 元 （1）分析：根据问题中的数量关系，用含x 的式子填表．原价 每件涨价1元 每件涨价2元… 每件涨价x 元 每件利润（元） 20 21 22 … ______ 每星期销量（件） 300290280…______（2）由以上分析，用含x 的式子表示y ，并求出问题的解． 【答案】（1）20300-10x x +，（2）当定价为每件65使每星期的利润最大，最大利润是6250元 【解析】【分析】（1）根据原价时，每件利润为20元，上涨x 元，则每件利润为元，再利()20x +用每涨价1元，每星期要少卖出10件，即可表示出实际销量； （2）利用每件利润每周销量=总利润进而得出答案． ⨯【小问1详解】分析：根据问题中的数量关系，用含x 的式子填表．原价 每件涨价1元 每件涨价2元 … 每件涨价x 元每件利润（元）202122…20+x每星期销量（件） 300 290 280 … 300-10x故答案为： 20300-10x x +，【小问2详解】由题意可得： ()()2030010y x x +=﹣2101006000x x ++-=，()2=1056250x --+则每件售价为：65元，答：当定价为每件65使每星期的利润最大，最大利润是6250元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确表示出每周的销量是解题关键．24. 问题：（1）如图①，在Rt△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边上一点（不与点B ，C 重合），将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ，连接EC ，则线段BC ，DC ，EC 之间满足的等量关系式为 ；探索：（2）如图②，在Rt△ABC 与Rt△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，将△ADE 绕点A 旋转，使点D 落在BC 边上，试探索线段AD ，BD ，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论； 应用：（3）如图③，在四边形ABCD 中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD ＝9，CD ＝3，求AD 的长．【答案】（1）BC ＝DC ＋EC ；（2）BD 2＋CD 2＝2AD 2；（3）AD ＝6. 【解析】【分析】（1）易证△BAD≌△CAE，即可得到BC ＝DC ＋EC（2）连接CE ，易证△BAD≌△CAE，再得到ED AD ，然后在Rt△ECD 中利用勾股定理即可求得其关系；（3）将线段AD 绕点A 顺时针旋转90°得到AE ，连接CE ，BE ，先证△ABE≌△ACD，再利用在Rt△BED 中，由勾股定理，得DE 2＝BD 2－BE 2，故2AD 2＝BD 2－CD 2，再解出AD 的长即可. 【详解】解：(1)BC ＝DC ＋EC ． ∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.在△BAD和△CAE中，AB ACBAD CAE AD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE，∴BC＝BD＋CD＝EC＋CD．(2)BD2＋CD2＝2AD2.证明如下：连接CE，如解图1所示．∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°.∵∠DAE＝∠CAE＋∠DAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAE.在△BAD和△CAE中，AB ACBAD CAE AD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABC＝45°，∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝90°.∵∠EAD＝90°，AE＝AD，AD．在Rt△ECD中，由勾股定理，得ED2＝CE2＋CD2，∴BD2＋CD2＝2AD2.(3)将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接CE，BE，如解图2所示，则AE＝AD，∠EAD＝90°，∴△EAD是等腰直角三角形，AD，∠AED＝45°.∵∠ABC＝∠ACB＝ADC ＝45°， ∴∠BAC＝90°，AB ＝AC ．同(2)的方法，可证得△ABE≌△ACD， ∴BE＝CD ，∠AEB＝∠ADC＝45°， ∴∠BEC＝∠AEB＋∠AED＝90°.在Rt△BED 中，由勾股定理，得DE 2＝BD 2－BE 2， ∴2AD 2＝BD 2－CD 2. ∵BD＝9，CD ＝3， ∴2AD 2＝92－32＝72， ∴AD＝6(负值已舍去)．【点睛】此题主要考查全等三角形的性质及判定，解题的关键是熟知等腰三角形的性质及勾股定理的应用.25. 如图，抛物线与x 轴交于，两点，与y 轴交于点2y ax bx c =++()2,0A -()6,0B C ．直线l 与抛物线交于A 、D 两点，与y 轴交于点E ，点D 的坐标为．()4,3（1）求抛物线的解析式与直线l 的解析式；（2）若点P 是抛物线上的点且在直线l 上方，连接PA 、PD ，求当面积最大时点P 的PAD 坐标及该面积的最大值；（3）若点Q 是y 轴上的点，且，求点Q 的坐标．45ADQ ∠=︒【答案】（1），；2134y x x =-++112y x =+（2）△PAD 的面积最大值为，P （1，）； 274154（3）（0，）或（0，-9） 133【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式；（2）过点P 作PE y 轴交AD 于E ，设P （n ，），则E （n ，），根据∥2134n n -++112n +，得到PE 的值最大时，△PAD 的面积最大，求出PE 的最()132PAD D A S x x PE PE =⋅-⋅= 大值即可；（3）如图2，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到AT ，则T （-5，6），设DT 交y 轴于Q ，则∠ADQ=45°，作点T 关于AD 的对称点（1，-6），设D 交y 轴于点，则∠AD T 'Q 'Q 'Q '=45°，分别求出直线DT ，直线D 的解析式即可解决问题．T '【小问1详解】解：将点A 、B 、D 的坐标代入，，得2y ax bx c =++，解得，42036601643a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩1413a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩∴抛物线的解析式为； 2134y x x =-++∵直线l 经过点A ，D ，∴设直线l 的解析式y=kx+m ，，得， 2043k m k m -+=⎧⎨+=⎩121k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线l 的解析式为； 112y x =+【小问2详解】如图1，过点P 作PE y 轴交AD 于E ， ∥设P （n ，），则E （n ，）， 2134n n -++112n +∵， ()132PAD D A S x x PE PE =⋅-⋅= ∴PE 的值最大时，△PAD 的面积最大，∵ 2113142PE n n n ⎛⎫=-++-+ ⎪⎝⎭=， ()219144n --+∴当n=1时，PE 的值最大，最大值为， 94此时△PAD 的面积最大值为，P （1，）； 274154【小问3详解】 如图2，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到AT ，则T （-5，6），设DT 交y 轴于Q ，则∠ADQ=45°，∵D（4，3），∴直线DT 的解析式为， 11333y x =-+∴Q（0，）， 133作点T 关于AD 的对称点（1，-6），T '则直线D 的解析式为y=3x-9，T '设D 交y 轴于点，则∠AD =45°，Q 'Q 'Q '∴（0，-9），Q '综上所述，满足条件的点Q 的坐标为（0，）或（0，-9）． 133【点睛】此题考查了二次函数与一次函数的综合，待定系数法求函数解析式，二次函数的最值问题，直线与y 轴的交点，熟练掌握知识点并应用解决问题是解题的关键．。
2021-2022学年天津市红桥区九年级(上)期中数学试卷(附详解)
2021-2022学年天津市红桥区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.下列方程中，是一元二次方程的是()A. 4(x+2)=25B. 2x2+3x−1=0=4C. x+y=0D. 1x+22.下列图形中，可以看作是中心对称图形的是()A. B.C. D.3.一元二次方程3x2−6x=1化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)后，a，b，c的值分别是()A. a=3，b=6，c=1B. a=3，b=−6，c=1C. a=−3，b=−6，c=1D. a=3，b=−6，c=−14.一元二次方程(x+1)2=2可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程为x+1=√2，则另一个一元一次方程为()A. x−1=√2B. x+1=2C. x+1=−√2D. x+1=−25.用配方法解方程x2−8x+1=0时，配方所得的方程为()A. (x−4)2=15B. (x−4)2=17C. (x+4)2=15D. (x−8)2=156.已知关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=−4，x2=7，则原方程可化为()A. (x−4)(x−7)=0B. (x+4)(x+7)=0C. (x−4)(x+7)=0D. (x+4)(x−7)=07.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别为−1和5，则二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是()A. x=−3B. x=−1C. x=2D. x=38.若点A(−1,y1)，B(0,y2)，C(1,y3)都在二次函数y=2x2+x−1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是()A. y1<y2<y3B. y2<y1<y3C. y3<y1<y2D. y3<y2<y19.参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同．设共有x家公司参加商品交易会，则x满足的关系式为()A. 12x(x+1)=45 B. 12x(x−1)=45 C. x(x+1)=45 D. x(x−1)=4510.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，使点A，B，E在一条直线上，点B的对应点为D，点C的对应点为E，连接BD，CE，则下列结论一定正确的是()A. AD=ACB. BC=DEC. ∠AED=∠BECD. BD//AC11.一个直角三角形的两条直角边的和是14cm，面积是24cm2，则其斜边长为()A. 2√7cmB. 10cmC. 8cmD. 4√2cm12.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a<0)与x轴的一个交点为A(x1,0)，−2<x1<−1，其对称轴是直线x=1.有下列结论：①bc>0；②8a+c<0；③5a+b+2c>0．其中，正确结论的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.在平面直角坐标系中，O为原点，将点A(2,0)绕点O逆时针旋转180°得点A′，则点A′的坐标为______．14.二次函数y=2x2−3的最小值是______．15.若关于x的一元二次方程可以配方成(x−2)2−4=0的形式，则该方程的两根之和为______．16.若m≠0，则关于x的一元二次方程mx2+x−3m=0的实数根的个数为______．17.某地区2018年的人均收入为10万元，2020年的人均收入为14.4万元，则人均收入的年平均增长率为______．18.当k−2≤x≤k时，函数y=x2−4x+4(k为常数)的最小值为4，则k的取值是______．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）19.在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A(−3,2)，B(4,1)，C(0,−3).请在图中作出△ABC关于原点对称的△A′B′C′，并写出△A′B′C′各顶点的坐标．20.解下列关于x的方程．(1)x2−5x+1=0；(2)(2x+1)2−25=0．21.已知关于x的一元二次方程3x2−2x−m=0(m为常数)．(1)若x=3是该方程的一个实数根，求m的值；(2)当m=1时，求该方程的实数根；(3)若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．22.已知二次函数y=x2−2x−3的图象为抛物线C．(1)写出抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)当2≤x≤4时，求该二次函数的函数值y的取值范围；(3)将抛物线C先向右平移2个单位长度，得到抛物线C1；再将抛物线C1向下平移1个单位长度，得到抛物线C2.请直接写出抛物线C1，C2对应的函数解析式．23.已知矩形ABCD的周长为20，设AB的长为x，矩形的面积为S．(1)写出S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；(2)当矩形ABCD的面积为24时，求AB的长；(3)当AB的长为多少时，矩形ABCD的面积最大？最大面积是多少？24.如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，得到△ADC，连接OD，OA．(1)求∠ODC的度数；(2)试判断AD与OD的位置关系，并说明理由；(3)若OB=2，OC=3，求AO的长(直接写出结果)．25.已知抛物线y=ax2+bx+5(a为常数，a≠0)交x轴于点A(−1,0)和点B(5,0)，交y轴于点C．(1)求点C的坐标和抛物线的解析式；(2)若点P是抛物线上一点，且PB=PC，求点P的坐标；(3)点Q是抛物线的对称轴l上一点，当QA+QC最小时，求点Q的坐标．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A.是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B.是一元二次方程，故本选项符合题意；C.是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D.是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：B．根据一元二次方程的定义逐个判断即可．本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．2.【答案】C【解析】解：A.不是中心对称图形，故本选项不合题意；B.不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C.是中心对称图形，故本选项符合题意；D.不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后和原图形重合．3.【答案】D【解析】解：∵3x2−6x=1，∴3x2−6x−1=0，∴a=3，b=−6，c=−1，故选：D．先化成一元二次方程的一般形式，再求出a、b、c的值即可．本题考查了一元二次方程的一般形式，能化成一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：找各项系数时，带着前面的符号．4.【答案】C【解析】解：∵(x+1)2=2，∴x+1=±√2，∴x+1=√2或x+1=−√2，故选：C．利用直接开平方法可得出x+1=±√2，即可得出另一个一元一次方程．本题考查了解一元二次方程−直接开平方法：形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．5.【答案】A【解析】解：移项，得x2−8x=−1，配方得，x2−8x+16=−1+16，(x−4)2=15．故选：A．先把常数项移项，然后在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方．本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．6.【答案】D【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=−4，x2=7，∴−4+7=−p，−4×7=q，∴p=−3，q=−28，∴原方程可化为(x+4)(x−7)=0．故选：D．根据根与系数的关系，直接代入计算即可．本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算．7.【答案】C【解析】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是−1和5，则二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴的交点坐标为(−1,0)、(5,0)，根据函数的对称性，函数的对称轴为直线x=−1+52=2，故选：C．一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是−1和5，则二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴的交点坐标为(−1,0)、(5,0)，根据函数的对称性即可求解．本题考查抛物线与x轴的交点与对称轴的关系，若抛物线与x轴交点的坐标为x1和x2，则抛物线的对称轴为x=x1+x22．8.【答案】B【解析】解：∵二次函数y=2x2+x−1，∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：x=−12×2=−14．∵点A(−1,y1)，B(0,y2)，C(1,y3)都在二次函数y=2x2+x−1的图象上，且三点离对称轴的距离按由远到近为：C、A、B，∴y2<y1<y3，故选：B．先求得抛物线开口方向和对称轴．再根据图象上的点距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，甲乙之间互签合同，只能算一份，本题属于不重复记数问题，类似于若干个人，每两个人之间都握手，握手总次数；或者平面内，n个点(没有三点共线)之间连线，所有线段的条数．每家公司都与其他公司鉴定了一份合同，设有x家公司参加，则每个公司要签(x−1)份x(x−1)份．合同，签订合同共有12【解答】解：设有x家公司参加，依题意，得1x(x−1)=45，2故选：B．10.【答案】B【解析】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，∴AC=AE，BC=DE，∠AED=∠ACB，∴B正确，故选：B．根据旋转的性质直接判断．本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转前后对应边相等、对应角相等是解题的关键．11.【答案】B【解析】解：设这个直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，ab=24，即ab=48，根据题意得a+b=14，12∴c2=a2+b2=(a+b)2−2ab=142−2×48=100，开平方，得c=10，即斜边长为10cm．故选：B．ab=24，设这个直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，根据题意得a+b=14，12由c2=a2+b2=(a+b)2−2ab，代值开平方求斜边长．本题考查了二次根式在实际问题中的运用，可通过设直角三角形的三边长，根据题意写出等式，根据勾股定理及式子的变形求斜边长．12.【答案】D【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a<0)与x轴的一个交点为A(x1,0)，−2<x1<−1，其对称轴是直线x=1，∴c>0，=1，∵对称轴直线x=−b2a∴b=−2a>0，∴bc>0，故①正确；∵当x=−2时，y=4a−2b+c<0，b=−2a，∴4a+4a+c<0，即8a+c<0，故②正确；∵b=−2a，∴5a+b+2c=5a−2a+2c=3a+2c=a+2a+c+c=a−b+c+c，∵当x=−1时，y=a−b+c>0，c>0，∴a−b+c+c>0，故③正确．故选：D．由抛物线的开口向下，对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为A(x1,0)，−2<x1<−1，即可判断b>0，c>0，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断即可．本题考查了二次函数的图象与系数的关系，关键是对二次函数性质的掌握和运用．13.【答案】(−2,0)【解析】解：∵将点A(2,0)绕点O逆时针旋转180°得点A′，∴A，A′关于原点对称，∴点A′的坐标为(−2,0)．故答案为：(−2,0)．根据关于原点对称的两点的横坐标，纵坐标互为相反数，可得结论．本题考查坐标与图形变化−旋转，解题的关键是学会利用图象法解决问题．14.【答案】−3【解析】【分析】本题考查了二次函数的最值问题，求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．根据二次函数解析式的特点可知，当x=0时取得最小值−3．【解答】解：二次函数y=2x2−3的顶点坐标是(0,−3)，且抛物线的开口方向是向上，则当x=0时，二次函数y=2x2−3的最小值是−3．故答案为−3．15.【答案】4【解析】解：(x−2)2−4=0，x2−4x+4−4=0，x2−4x=0，则该方程的两根之和为4．故答案为：4．先变形为一元二次方程的一般形式，再根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系可求该方程的两根之和．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：若方程两个根为x1，x2，则x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca．16.【答案】2【解析】解：由题意得，m≠0，Δ=12−4m×(−3m)=12m2+1，∵12m2>0，即Δ>0，故这个一元二次方程总有两个实数根．故答案为：2．根据根的判别式进行判断．本题考查了根的判别式：(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)Δ<0⇔方程没有实数根．17.【答案】20%【解析】解：设人均收入的年平均增长率为x，依题意得：10(1+x)2=14.4，解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(不合题意，舍去)．故答案为：20%．设人均收入的年平均增长率为x，利用2020年的人均收入=2018年的人均收入×(1+人均收入的年平均增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出人均收入的年平均增长率为20%．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．18.【答案】0或6【解析】解：∵二次函数y=x2−4x+4=(x−2)2，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=2，①当2≤k−2时，即k≥4，则x=k−2时，y最小值=(k−2)2−4(k−2)+4=4，解得：k=6或k=2(舍去)，②当k<2时，则x=k时，y最小值=k2−4k+4=4，解得：k=0或4(舍去)，③k−2<2<k时，x=2，y有最小值0，不合题意；综上所述：k的取值是：0或6，故答案为：0或6．分别对①当抛物线的对称轴x=2≤k−2时，②当抛物线的对称轴x=2>k时，③当抛物线的对称轴x=2在区间k−2≤x≤k时，进行分析得出k的取值即可．此题主要考查了二次函数的综合应用以及二次函数最值问题，利用对称轴取值范围进行分析是解决问题的关键．19.【答案】解：如图，△A′B′C′即为所求；△A′B′C′各顶点的坐标分别为：A′(3,−2)，B′(−4,−1)，C′(0,3)．【解析】利用关于原点对称的点的坐标特征写出A′、B′、C′的坐标，然后描点连线即可．本题考查了作图−复杂作图，关于原点对称的点的坐标，找到对应点，顺次连接关于原点对称后的图形是解题关键．20.【答案】解：(1)∵a =1，b =−5，c =1，∴Δ=(−5)2−4×1×1=21>0，∴x =−b±√b 2−4ac 2a=5±√212， ∴x 1=5+√212，x 2=5−√212；(2)∵(2x +1)2=25，∴2x +1=±5，解得x 1=2，x 2=−3．【解析】(1)利用公式法求解即可；(2)利用直接开平方法求解即可．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．21.【答案】解：(1)把x=3代入3x2−2x−m=0，得3×32−2×3−m=0．解得m=21；(2)当m=1时，方程为3x2−2x−1=0．因式分解，得(x−1)(3x+1)=0．于是得x−1=0或3+1=0．；所以x1=1，x2=−13(3)根据题意，得Δ=(−2)2−4×3×(−m)=4+12m>0．．解得m的取值范围是m>−13【解析】(1)把x=3代入方程，列出关于m的新方程，通过解新方程求得m的值；(2)把m=1代入已知方程，利用因式分解法解方程即可；(3)令Δ>0，列出不等式，通过解不等式求解即可．本题主要考查了根的判别式和因式分解法解一元二次方程，一元二次方程ax2+bx+ c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：①当Δ>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ<0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．22.【答案】解：(1)∵y=x2−2x+3=(x−1)2−4，∴抛物线C的开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,−4)．(2)∵y=(x−1)2−4，∴当x>1时，y随x的增大而增大，当x<1时，y随x的增大而减小，当x=2时，y=−3；当x=4时，y=5；∴当2≤x≤4时，二次函数的函数值y的取值范围为−3≤y≤5．(3)∵抛物线C：y=(x−1)2−4向右平移2个单位长度得到抛物线C1，∴C1：y=(x−3)2−4，即y=x2−6x+5，∵将抛物线C1向下平移1个单位长度得到抛物线C2．∴C2：y=(x−3)2−5，即y=x2−6x+4．【解析】(1)把抛物线解析式化为顶点式可求得抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)根据二次函数的性质可得出答案；(3)根据平移规律：上加下减，左加右减，直接写出平移后的解析式．本题考查了二次函数的性质，平移的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．23.【答案】解：(1)∵AB=x，∴BC=10−x．∴S=AB⋅BC=x(10−x)=−x2+10x，即S=−x2+10x，其中0<x<10；(2)由S=24，得−x2+10x=24，解得x1=4，x2=6，∴AB=4或AB=6；(3)S=−x2+10x=−(x−5)2+25．∴当AB=5时，矩形ABCD的面积最大，最大面积是25．【解析】(1)根据矩形的面积公式写出S关于x的函数解析式，由矩形的边长都是正数写出x的取值范围；(2)根据矩形的面积公式列出方程并解答；(3)利用配方法求二次函数的最值．本题考查了二次函数的最值，一元二次方程的应用，掌握矩形的面积、周长公式以及二次函数的性质是本题的关键．24.【答案】解：(1)由旋转的性质得，CD=CO，∠ACD=∠BCO，∴∠ACD+∠ACO=∠BCO+∠ACO，即∠DCO=∠ACB，∵三角形ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠DCO=60°，∴△OCD为等边三角形，∴∠ODC=60°；(2)AD与OD的位置关系是：AD⊥OD，理由如下：由(1)知∠ODC=60°，∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，得到△ADC，∴∠ADC=∠BOC=150°，∴∠ADO =∠ADC −∠ODC =90°，∴AD ⊥OD ；(3)由旋转的性质得，AD =OB =2，∵△OCD 为等边三角形，∴OD =OC =3，在Rt △AOD 中，由勾股定理得：AO =√AD 2+OD 2=√22+32=√13．【解析】(1)根据旋转的性质得到三角形ODC 为等边三角形即可求解；(2)将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转一定的角度，得到△ADC ，可知∠ADC =∠BOC =150°，即得∠ADO =∠ADC −∠ODC =90°，故AD ⊥OD ；(3)在Rt △AOD 中，由勾股定理即可求得AO 的长．本题考查等边三角形中的旋转变换，涉及直角三角形判定、勾股定理等知识，解题的关键是掌握旋转的性质，旋转不改变图形的大小和形状．25.【答案】解：(1)对于y =ax 2+bx +5，当x =0时，y =5，∴C(0,5)，∵抛物线y =ax 2+bx +5(a 为常数，a ≠0)交x 轴于点A(−1,0)和点B(5,0)，∴{a −b +5=025a +5b +5=0， 解得{a =−1b =4， ∴抛物线的解析式为y =−x 2+4x +5；(2)∵B(5,0)，C(0,5)，∴OB =OC ，连接BC ，设BC 的中点为D ，∴D(52,52)， ∴直线OD 的解析式为y =x ，∵PB =PC ，∴点P 在直线OD 上，设P(m,m)，∵点P 是抛物线上一点，∴m =−m 2+4m +5，解得m =3±√292， ∴点P 的坐标为(3+√292,3+√292)或(3−√292,3−√292)；(3)由(1)知，抛物线的对称轴为直线x =2，∵点A 与点B 关于l 对称，点Q 在直线l 上，∴QA =QB ，QA +QC =QB +QC ，∴当B ，C ，Q 三点共线时，QB +QC 最小，即QA +QC 最小，设直线BC 的解析式为y =kx +b ，∴{b =55k +b =5， 解得{k =−1b =5， ∴直线BC 的解析式为y =−x +5，把x =2代入y =−x +5得，y =3，∴Q(2,3)，∴当QA +QC 最小时，求点Q 的坐标(2,3)．【解析】(1)对于y =ax 2+bx +5，当x =0时，y =5，求得C(0,5)，解方程组即可得到结论；(2)根据B(5,0)，C(0,5)，得到OB =OC ，连接BC ，设BC 的中点为D ，求得D(52,52)，得到直线OD 的解析式为y =x ，设P(m,m)，解方程即可得到结论；(3)由(1)知，抛物线的对称轴为直线x =2，根据轴对称的性质得到QA =QB ，QA +QC =QB +QC ，当B ，C ，Q 三点共线时，QB +QC 最小，即QA +QC 最小，求得直线BC 的解析式为y =−x +5，把x =2代入y =−x +5即可得到结论．本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式以及二次函数的性质，轴对称−最短路线问题，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．。
2021-2022学年天津市滨海新区九年级(上)期中数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年天津市滨海新区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.一元二次方程x(x−4)=0的两个根是()A. x1=1，x2=4B. x1=1，x2=−4C. x1=0，x2=4D. x1=0，x2=−43.用配方法解方程x2+2x−1=0，配方后的方程是()A. (x+1)2=2B. (x+1)2=−2C. (x+1)2=0D. (x−1)2=24.对于抛物线y=3(x−6)2−5，下列说法正确的是()A. 开口向上，顶点坐标(−6,−5)B. 开口向上，顶点坐标(6,−5)C. 开口向下，顶点坐标(−6,5)D. 开口向下，顶点坐标(6,5)5.将抛物线y=4x2向下平移2个单位，所得到的新抛物线的解析式为()A. y=4x2+2B. y=4x2−2C. y=4(x+2)2D. y=4(x−2)26.如图，⊙O的直径为10，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，若OC=4，则弦AB的长为()A. 10B. 8C. 6D. 47.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD=140°，则∠BOD的度数为()A. 40°B. 50°C. 80°D. 100°8.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，连接AC，CD，AD，若∠ADC=75°，则∠BAC的度数是()A. 15°B. 25°C. 30°D. 75°9.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AED，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点C的对应点为D，延长DE交BC于点F，则下列结论一定正确的是()A. AC=DEB. AB=EFC. ∠CEF=∠DD. BC⊥DF10.某种植基地2020年蔬菜产量为90吨，预计2022年蔬菜产量达到110吨，求蔬菜产量的年平均增长率．设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为()A. 90(1+x)2=110B. 110(1−x)2=90C. 90(1+2x)=110D. 90(1+x2)=11011.如图，在△ABC中，∠BAC=75°，以点A为旋转中心，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B、C的对应点分别为D、E，连接CE，若CE//AB，则∠CAD的大小是()A. 15°B. 25°C. 35°D. 45°12.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(−3,0)，其对称轴为直线x=−1，结合图象分析下列2结论：①abc<0；②当x<0时，y随x的增大而增大；>0；④3a+c>0；⑤若m，n(m<n)为③4ac−b24a方程a(x+3)(x−2)+3=0的两个根，则m<−3且n>2.其中正确结论的个数是()A. 2个B. 3个C. 4个D. 5二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.点(−4,7)关于原点对称的点的坐标是______．14.若关于x的一元二次方程x2−3x+c=0有两个实数根，则c的取值范围为______．x2+bx−9的图象与x轴只有一个公共点，则此公共点的坐标15.已知二次函数y=−14是______．16.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A，B两点，点A的坐标为(−1,0)，抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为______．17.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B=90°，AD=5，CD=4，则S△OCD的值为______．18.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=8cm，点D为△ABC内一点，∠ACD=15°，CD=3cm，连接AD，将△ACD绕点C按逆时针方向旋转，使CA与CB重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交BC于点F，则BF的长为______cm．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）19.解下列方程：(Ⅰ)x2+6x−7=0(配方法)；(Ⅱ)5x2−4x−1=0(公式法)．20.抛物线y=−x2+2x+3的顶点为P，与y轴的交点为C．x……y=−x2+2x+3……(Ⅰ)抛物线的对称轴是______；顶点P的坐标是______；交点C的坐标是______．(Ⅱ)列表、描点画这条抛物线．21.在△ABC中，∠ACB=120°，将△ABC绕点C顺时针旋转，得△EDC，D，E分别是点B，A的对应点．记旋转角为α．(Ⅰ)如图1，连接AD，若BC=6，AC=8，α=30°，求AD的长；(Ⅱ)如图2，连接BD，若α=60°，求证：BD//AC．22.已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB的平分线交⊙O于点D．(Ⅰ)如图1，若AB是⊙O的直径，AB=6，求AD的长；(Ⅱ)如图2，若∠BAC的平分线交CD于点E，求证：DE=DA．23.商城某种商品平均每天可销售20件，每件获得利润40元，为庆元旦，决定对该商品进行促销活动，经调查发现，该商品每件每降价1元，平均每天可多售出2件．设该商品每件降价x元，请解答下列问题：(Ⅰ)用含x的代数式表示：①降价后每售一件该商品获得利润______元；②降价后平均每天售出______件该商品；(Ⅱ)在此次促销活动中，商城若要获得最大利润，每件该商品应降价多少元？此时每天获得最大利润为多少元？24.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．(Ⅰ)如图，D为BC边上一点(不与点B，C重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC.求证：①△BAD≌△CAE；②BC=DC+EC．(Ⅱ)如图，D为△ABC外一点，且∠ADC=45°，仍将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，ED，BD.①△BAD≌△CAE的结论是否仍然成立？并请你说明理由；②若BD=12，CD=4，求AD的长．x2+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴25.抛物线y=−12交x轴于点D，已知A(−1,0)，C(0,2)．(Ⅰ)求抛物线的解析式；(Ⅱ)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；(Ⅲ)点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当四边形CDBF的面积最大时，求点E的坐标．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、不是中心对称图形，本选项错误；B、不是中心对称图形，本选项错误；C、不是中心对称图形，本选项错误；D、是中心对称图形，本选项正确．故选：D．根据中心对称图形的概念求解即可．本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.【答案】C【解析】解：∵x(x−4)=0，∴x=0或x−4=0，解得x1=0，x2=4，故选：C．先得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．3.【答案】A【解析】解：∵x2+2x−1=0，∴x2+2x=1，∴x2+2x+1=1+1，即(x+1)2=2，故选：A．将常数项移到右边，再两边都加上一次项系数一半的平方，然后写成完全平方式即可．此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【解析】解：∵抛物线y=3(x−6)2−5中，a=3>0，∴抛物线开口向上，顶点坐标为：(6,−5)．故选：B．根据a的符号求得开口方向，根据二次函数的顶点式确定抛物线的顶点坐标，即可求解．本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．5.【答案】B【解析】解：将抛物线y=4x2向下平移2个单位y=4x2−2．故选：B．根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．6.【答案】C【解析】解：连接OA，∵⊙O的直径为10，∴OA=5，在Rt△ACO中，由勾股定理得：AC=√OA2−OC2=√52−42=3，∵OC⊥AB，OC过圆心O，∴AC=BC=3，即AB=3+3=6，故选：C．连接OA，根据勾股定理求出AC，根据垂径定理求出AC=BC，再求出AB即可．本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记垂径定理是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．【解析】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠BCD=140°，∴∠A=40°，⏜，∵圆周角∠A和圆心角∠BOD都对着BCD∠BOD，∴∠A=12∴∠BOD=2×40°=80°，故选：C．根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠BCD=180°，求出∠A=40°，根据圆周角定理得∠BOD，再把∠A=40°代入，即可求出∠BOD．出∠A=12本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理和圆内接四边形的性质等知识点，能熟记圆周角定理是解此题的关键，注意：圆内接四边形的对角互补．8.【答案】A【解析】解：连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠ABC=∠ADC=75°，∴∠BAC=90°−75°=15°，故选：A．连接BC，根据圆周角定理即可得到结论．本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．9.【答案】D【解析】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AED，∴∠D=∠C，∵∠AED=∠CEF，∴∠CFE=∠DAE=90°，∴BC⊥DF，故选：D．由旋转得∠D=∠C，再根据三角形内角和定理即可得出结论．本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转前后对应角相等是解题的关键．10.【答案】A【解析】解：依题意得：90(1+x)2=110．故选：A．利用增长后的产量=增长前的产量×(1+增长率)2，设平均每次增长的百分率为x，根据“从90吨增加到110吨”，即可得出方程．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．11.【答案】D【解析】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，∴AC=AE，∠EAD=∠CAB=75°，∴∠ECA=∠AEC，∵CE//AB，∴∠ECA=∠CAB=75°，∴∠EAC=180°−∠AEC−∠ACE=180°−75°−75°=30°，∴∠CAD=∠EAD−∠EAC=75°−30°=45°，故选：D．由旋转的性质可得AC=AE，再根据平行线的性质，得∠ECA=∠CAB=75°，利用三角形内角和定理求出∠EAC，即可解决问题．本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，由旋转得出AC=AE是解题的关键．12.【答案】C【解析】解：∵抛物线开口向下，∴a<0，∵−b2a =−12，∴a=b<0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c>0，∴abc>0，故①正确；∵抛物线的对称轴为x=−12，a<0，∴当x<−12时，y随x的增大而增大，故②不正确；∵抛物线的顶点在第二象限，∴4ac−b24a>0，故③正确；∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(−3,0)，由9a−3b+c=0，而a=b，∴6a+c=0，又a<0，∴3a+c>0，故④正确；∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(−3,0)，其对称轴为直线x=−12，∴与x轴的另一个交点为(2,0)，∴当y=−3时，相应的x的值应在(−3,0)的左侧和(2,0)的右侧，∴m<−3，n>2，∴若m，n(m<n)为方程a(x+3)(x−2)+3=0的两个根，则m<−3且n>2，故⑤正确；综上所述，正确的结论有：①③④⑤，故选：C．根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及过特殊点时相应a、b、c之间的关系，进行综合判断即可．本题考查二次函数的图象和性质，理解和掌握抛物线的位置与系数a、b、c的关系是正确判断的前提．13.【答案】(4,−7)【解析】解：点(−4,7)关于原点对称的点的坐标是(4,−7)．故答案是：(4,−7)．根据关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数得出答案．此题主要考查了关于原点对称点的性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．14.【答案】c≤94【解析】解：根据题意得Δ=(−3)2−4c≥0，解得c≤94；故答案为：c≤94．根据判别式的意义得到Δ=(−3)2−4c≥0，然后解不等式即可．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．也考查了抛物线与x轴的交点坐标．15.【答案】(−6,0)，(6,0)【解析】解：∵二次函数y=−14x2+bx−9的图象与x轴只有一个公共点，∴Δ=b2−4×(−14)×(−9)=0，解得b=±3，∴−14x2+3x−9=0或−14x2−3x−9=0，解得x=−6或x=6，即此公共点的坐标是(−6,0)或(6,0)．故答案为：(−6,0)或(6,0)．根据判别式的意义Δ=0得到关于b的方程，然后解方程求出b的值，然后解关于x的方程即可．考查了抛物线与x轴的交点坐标，关键是掌握对于二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，Δ=b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数：Δ=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．16.【答案】6【解析】解：∵点A的坐标为(−1,0)，抛物线的对称轴为直线x=2，又2−(−1)=3，∴点B的横坐标为2+3=5，∴B(5,0)．∴AB=5−(−1)=6．故答案为：6．利用抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点的坐标即可求得结论．本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，利用二次函数的对称性解答是解题的关键．17.【答案】5【解析】解：连接AC，∵∠B=90°，∴AC过圆心O(AC是⊙O的直径)，∴∠ADC=90°，∵AD=5，CD=4，OA=OC，∴S△OCD=1S△ADC2=12×12×AD×CD=12×12×5×4=5，故答案为：5．连接AC，根据圆周角定理得出AC过圆心O，求出∠ADC=90°，再根据三角形的面积公式求出答案即可．本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理和直角三角形的面积等知识点，能求出∠ADC=90°和AC过圆心O是解此题的关键．18.【答案】(8−√6)【解析】解：过C作CG⊥DE于点G，∵将△ACD绕点C按逆时针方向旋转，使CA与CB重合，∴CD=CE，∠DCE=90°，∠BCE=∠ACD，∴∠CED=∠CDE=45°，在△CEF中，∠CFD=∠CEF+∠ECF=45°+15°=60°，在Rt△CDG中，∠CDG=45°，∴CG=DG=√2=√2=32√2，在Rt△CFG中，GF=√3=32√2√3=√62，∴CF=2FG=√6，∴BF=BC−CF=(8−√6)cm，故答案为：(8−√6).过C作CG⊥DE于点G，由旋转的性质知△CDE是等腰直角三角形，从而得出∠CFD=60°，再通过解△CDF即可．本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，解三角形等知识，通过解△CDF求出CF的长是解题的关键．19.【答案】(Ⅰ)解：移项，得x2+6x=7，配方，得x2+6x+9=7+9，即(x+3)2=16，∴x1=1，x2=−7；(Ⅱ)解：5x2−4x−1=0，∵a=5，b=−4，c=−1，∴Δ=(−4)2−4×5×(−1)=36>0，∴x=−b±√b2−4ac2a =4±√3610，∴x1=1，x2=−15．【解析】(Ⅰ)移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解；(Ⅱ)先把方程转化为一般式方程，然后利用求根公式进行解题．本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．20.【答案】直线x=1(1,4)(0,3)【解析】解：(Ⅰ)y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，∴该抛物线的对称轴对称轴为直线x=1，顶点P(1,4)，令x=0，则y=3，∴抛物线与y轴的交点C为(0,3)，故答案为直线x=1，(1,4)，(0,3)；(Ⅱ)列表：描点，画出函数的图象如图：．(Ⅰ)把抛物线解析式整理成顶点式解析式，然后写出对称轴和顶点坐标，令x=0，求出与y轴的交点即可；(Ⅱ)列表、描点，然后画出图象即可．本题考查二次函数的性质，二次函数图象，二次函数图象上点的坐标特征，熟记二次函数的性质是解题的关键．21.【答案】(Ⅰ)解：∵∠BCD=α=30°，∠ACB=120°，∴∠ACD=90°，∵△EDC是△ABC旋转得到的，∴△EDC≌△ABC．∴BC=CD=6，在Rt△ADC中，根据勾股定理，得AD=√CD2+CA2=√62+82=10；(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知，BC=CD，又∵∠BCD=α=60°，∴△CBD是等边三角形．∴∠CBD=60°，又∠ACB=120°，∴∠CBD+∠ACB=180°，∴AC//BD．【解析】(I)由旋转30°知∠ACD=90°，再利用勾股定理即可；(II)若α=60°，则△CBD是等边三角形．从而∠CBD=60°，即可解决问题．本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，平行线的判定等知识，熟练掌握旋转前后图形是全等的是解题的关键．22.【答案】(Ⅰ)解：连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CD平分∠ACB，∠ACB=45°，∴∠ACD=12∴∠AOD=90°，即△AOD为等腰直角三角形，∵AB=6，∴OA=OD=3．∴AD=3√2；(Ⅱ)证明：∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠EAB，∵∠BCD=∠BAD，∵∠ACD=∠BCD，∴∠ACD=∠BAD，∴∠ACD+∠CAE=∠BAD+∠EAB，即∠EAD=∠AED，∴DE=DA．【解析】(I)连接OD，易证△DOA是等腰直角三角形，由勾股定理即可求出AD的长；(II)由角平分线的定义结合(Ⅰ)的结论即可得出∠BAD+∠BAE=∠ACE+∠CAE，再根据三角形外角的性质即可得出∠EAD=∠DEA，由此即可证出AD=DE．本题考查了三角形外接圆与外心、圆周角定理以及角平分线的定义，熟练掌握和圆有关的性质是解题的关键．23.【答案】(40−x)(20+2x)【解析】解：(Ⅰ)①降价后每售一件该商品获得利润(40−x)元，降价后平均每天售出(20+2x)件该商品，故答案为：①40−x；②20+2x；(Ⅱ)设每天获得的利润为y元，根据题意，得：y=(40−x)(20+2x)=−2x2+60x+800=−2(x−15)2+1250．其中0≤x≤40，∵−2<0，∴y有最大值，∴当x=15时，y有最大值为1250．答：每件该商品应降价15元，获得最大利润为1250元．(Ⅰ)①用原来价格减去降低的价格即可；②用原销售量加上因降价而增加的销售量即可；(Ⅱ)设每天获得的利润为y元，根据“每天获得的利润=每件的利润×每天的销售量”列出函数解析式，配方成顶点式，再根据二次函数的性质求解即可．本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出函数解析式，也要求对二次函数的性质熟练掌握．24.【答案】(Ⅰ)①证明：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE．在△BAD和△CAE中，{AB=AC∠BAD=∠CAE AD=AE，∴△BAD≌△CAE(SAS)；②由①知△BAD≌△CAE，∴BD=CE．∴BC=DC+BD=DC+EC．(Ⅱ)①结论仍然成立．理由：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD．即∠BAD=∠CAE．在△BAD和△CAE中，{AB=AC∠BAD=∠CAE AD=AE，∴△BAD≌△CAE(SAS)；②由①知△BAD≌△CAE，∴CE=BD=12．∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，∴AD=AE，∠DAE=90°，∴∠EDA=45°．∵∠ADC=45°，∴∠EDC=∠EDA+∠ADC=90°．在Rt△ECD中，CD=4，∴DE=√CE2−CD2=8√2，在Rt△DAE中，由勾股定理得：AD2+AE2=DE2，∴AD2+AD2=(8√2)2，∴AD=8．【解析】(Ⅰ)①判断出∠BAD=∠CAE，即可得出结论；②由①知△BAD≌△CAE，得出BD=CE，即可得出结论；(Ⅱ)①结论仍然成立．理由同(Ⅰ)的方法；②由①知△BAD≌△CAE，得出CE=BD=12，再判断出∠EDC=90°，利用勾股定理求出DE=8√2，即可求出答案．此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，判断出∠EDC=90°是解本题的关键．25.【答案】解：(Ⅰ)∵抛物线y =−12x 2+mx +n 经过A(−1,0)，C(0,2)． ∴{−12−m +n =0n =2， 解得{m =32n =2， ∴抛物线的解析式为y =−12x 2+32x +2．(Ⅱ)∵y =−12x 2+32x +2=−12(x −32)2+258，∴抛物线的对称轴是直线x =32．∴OD =32． ∵C(0,2)，∴OC =2．在Rt △OCD 中，由勾股定理，得CD =52．∵△CDP 是以CD 为腰的等腰三角形，∴CP 1=DP 2=DP 3=CD.作CH ⊥对称轴于点H ，如图1，∴HP 1=HD =2．∴DP 1=4．∴P 1(32,4)，P 2(32,52)，P 3(32,−52). (Ⅲ)当y =0时，由−12x 2+32x +2=0，解得x 1=−1，x 2=4，∴B(4,0)．设直线BC 的解析式为y =kx +b ，得{b =24k +b =0，解得{k=−12b=2，∴直线BC的解析式为y=−12x+2，如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E(a,−12a+2)，F(a,−12a2+32a+2)，∴EF=−12a2+32a+2−(−12a+2)=−12a2+2a，∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=12DB⋅OC+12EF⋅CM+12EF⋅BN=12×52×2+12a(−12a2+2a)+12(4−a)(−12a2+2a)=−a2+4a+52=−(a−2)2+132，∴根据题意0≤a≤4，∴当a=2时，S四边形CDBF的最大值为132，此时点E(2,1)．【解析】(Ⅰ)直接根据待定系数法进行求解即可；(Ⅱ)由二次函数的性质得OC=3，然后根据勾股定理和等腰三角形的性质得CP1=DP2=CP3=CD，作CH⊥对称轴于H，即可得到答案；(Ⅲ)首先得点B(3,0)，待定系数法得直线BC的解析式为：y=−x+3，过点C作CM⊥EF 于M，设E(a,−a+3)，F(a,−a2+2a+3)，利用面积公式可得答案．本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数的解析式；理解坐标与图形性质；灵活应用三角形的面积公式；学会运用分类讨论的思想解决数学问题．。
2020-2021天津市九年级数学上期中试题(及答案)
2020-2021天津市九年级数学上期中试题(及答案)一、选择题1．如图A，B，C是上的三个点，若，则等于（）A．50°B．80°C．100°D．130°2．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D，若∠A=25°，则∠D的度数是（）A．25°B．40°C．50°D．65°3．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，0)，对称轴为直线l.则下列结论：①abc＞0；②a－b＋c＝0；③2a＋c＜0；④a＋b＜0.其中所有正确的结论是()A．①③B．②③C．②④D．②③④4．抛物线y=﹣（x+2）2﹣3向右平移了3个单位，那么平移后抛物线的顶点坐标是（）A．（﹣5，﹣3） B．（﹣2，0） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）5．下列事件中，属于必然事件的是（）A．三角形的外心到三边的距离相等B．某射击运动员射击一次，命中靶心C．任意画一个三角形，其内角和是 180°D．抛一枚硬币，落地后正面朝上6．书架上放着三本小说和两本散文，小明从中随机抽取两本，两本都是小说的概率是（）A ．310B ．925C ．425D ．110 7．已知()222226x y y x +-=+，则22x y +的值是（ ） A ．－2B ．3C ．－2或3D ．－2且3 8．抛物线y ＝2(x －3)2＋4的顶点坐标是( ) A ．(3，4) B ．(－3，4)C ．(3，－4)D ．(2，4) 9．将函数y=kx 2与y=kx+k 的图象画在同一个直角坐标系中，可能的是（ ） A ． B ． C ． D ．10．设a b ，是方程220190x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ） A ．2017 B ．2018 C ．2019 D ．202011．有两个一元二次方程2:0M ax bx c ++=，2:0N cx bx a ++=，其中，0ac ≠，a c ≠，下列四个结论中错误的是（ ）A ．如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数B ．如果4是方程M 的一个根，那么14是方程N 的另一个根 C ．如果方程M 有两根符号相同，那么方程N 的两符号也相同D ．如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是1x =12．如图，弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在弧AMB 上，则∠C 的度数是（ ）A ．30ºB ．35ºC ．25ºD ．60º二、填空题13．如图，边长为3的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG ，EF 交AD 于点H ，那么DH 的长是______．14．关于x 的方程ax²-（3a+1）x+2(a+1)=0有两个不相等的实数根x 1,x 2,且x 1-x 1x 2+x 2=1-a ，则a=15．如图，Rt ABC ∆中，已知90C =o ∠，55B ∠=o ，点D 在边BC 上，2BD CD =．把线段BD 绕着点D 逆时针旋转α（0180α<<o o ）度后，如果点B 恰好落在Rt ABC ∆的边上，那么α=__________．16．女生小琳所在班级共有40名学生，其中女生占60%.现学校组织部分女生去市三女中参观，需要从小琳所在班级的女生当中随机抽取一名女生参加，那么小琳被抽到的概率是 ．17．小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是____________．18．若抛物线的顶点坐标为(2,9)，且它在x 轴截得的线段长为6，则该抛物线的表达式为________．19．在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，现从中任意抽取1个进行检测，抽到合格产品的概率是 ．20．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若直角边AC ＝5，BC ＝12，则此三角形的内切圆半径为________．三、解答题21．2021年我省开始实施“ 3+1+2”高考新方案，其中语文、数学、外语三门为统考科目（ 必考）， 物理和历史两个科目中任选 1门，另外在思想政治、地理、化学、生物四门科目中任选 2门，共计6门科目，总分750 分， 假设小丽在选择科目时不考虑主观性． （1）小丽选到物理的概率为 ；（2）请用“画树状图”或“列表”的方法分析小丽在思想政治、 地理、 化学、生物四门科目中任选 2门选到化学、生物的概率．22．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，把△ABC 绕A 点沿顺时针方向旋转得到△ADE ，连接BD ，CE 交于点F ．（1）求证：△AEC ≌△ADB ；（2）若AB ＝2，∠BAC ＝45°，当四边形ADFC 是菱形时，求BF 的长．23．学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（A ：特别好，B ：好，C ：一般，D ：较差）后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图1,2）．请根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，王老师一共调查了 名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，王老师从被调查的A 类和D 类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．24．已知二次函数243y x x =-+.（1）求函数图象的顶点坐标，对称轴和与坐标轴的交点坐标，并画出函数的大致图象. （2）若1122(,),(,)A x y B x y 是函数243y x x =-+图象上的两点，且121x x <<，请比较12y y 、的大小关系（直接写出结果）.25．三辆汽车经过某收费站下高速时，在2个收费通道A ，B 中，可随机选择其中的一个通过．（1）三辆汽车经过此收费站时，都选择A 通道通过的概率是 ；（2）求三辆汽车经过此收费站时，至少有两辆汽车选择B 通道通过的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】试题分析：根据圆周的度数为360°，可知优弧AC 的度数为360°-100°=260°，然后根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求得∠B=130°．故选D考点：圆周角定理2．B解析：B【解析】连接OC ，∵CD 是切线，∴∠OCD=90°，∵OA=OC ，∴∠ACO=∠BAC=25°，∴∠COD=∠ACO+∠BAC=50°，∴∠D=90°-∠COD=40°，故选B.3．D解析：D【解析】【分析】【详解】试题分析：①∵二次函数图象的开口向下，∴a ＜0，∵二次函数图象的对称轴在y 轴右侧， ∴﹣2b a＞0， ∴b ＞0， ∵二次函数的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，∴c ＞0，∴abc ＜0，故①错误；②∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点（﹣1，0），∴a ﹣b+c=0，故②正确；③∵a ﹣b+c=0，∴b=a+c ．由图可知，x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0，∴4a+2（a+c ）+c ＜0，∴6a+3c ＜0，∴2a+c ＜0，故③正确；④∵a ﹣b+c=0，∴c=b ﹣a ．由图可知，x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0，∴4a+2b+b ﹣a ＜0，∴3a+3b ＜0，∴a+b ＜0，故④正确．故选D ．考点：二次函数图象与系数的关系．4．D解析：D【解析】试题分析：原抛物线的顶点坐标为(-2,-3)，向右平移三个单位后顶点纵坐标不变，横坐标加3，所以平移后抛物线的顶点坐标是（1，-3）。
天津市2021年九年级上学期数学期中考试试卷C卷
天津市2021年九年级上学期数学期中考试试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2020八上·丰润期中) 下列国产车标属于轴对称图形的是（）A .B .C .D .2. （2分） (2020九上·上蔡期末) 二次函数的图象的顶点坐标是（）A .B .C .D .3. （2分）方程2x2﹣4x+1=0化成（x+m）2=n（n≥0）的形式是（）A . （x﹣1）2=B . （2x﹣1）2=C . （x﹣1）2=0D . （x﹣2）2=34. （2分）如图，在方格纸上上建立的平面直角坐标系中，将OA绕原点O按顺时针方向旋转180°得到OA′，则点A′的坐标为（）A . (3，1)B . (3,-1)C . (1,-3)D . (1,3)5. （2分）如图：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，过D作DF⊥BC于F，若AD＝2，BC＝4，DF＝2，则DC的长为（）A . 1B .C . 2D .6. （2分） (2020九上·慈溪期末) 在平面直角坐标系中，把抛物线y=2x2绕原点旋转180°，再向右平移1个单位，向下平移2个单位，所得的抛物线的函数表达式为（）A . y=2(x﹣1)2﹣2B . y=2(x+1)2﹣2C . y=﹣2(x﹣1)2﹣2D . y=﹣2(x+1)2﹣27. （2分）(2019·武昌模拟) 如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B等于（）A . 30°B . 35°C . 40°D . 50°8. （2分） (2020八下·滨海期末) 如图，由于受台风的影响，一颗大树在离地面6 m处折断，顶端落在离树干底部8 m处，则这棵树在折断前的高度是（）A . 8mB . 10mC . 16mD . 18m9. （2分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x=-．下列结论中，正确的是（）A . abc＞0B . a+b=0C . 2b+c＞0D . 4a+c＜2b10. （2分）(2019·武汉模拟) 如图，⊙O内切于正方形ABCD，边AD，CD分别与⊙O切于点E，F，点M、N 分别在线段DE，DF上，且MN与⊙O相切，若△MBN的面积为8，则⊙O的半径为（）A .B . 2C .D . 2二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分） (2015九上·黄陂期中) 二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象的顶点坐标是________．12. （1分） (2019九上·江北期中) 在平面直角坐标系中，点A（﹣2，﹣3）关于原点对称的点A′的坐标是________.13. （1分） (2020九上·乾安期中) 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人?设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为________．14. （1分） (2016九上·遵义期中) 抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点坐标为________15. （1分） (2020八下·镇海期末) 如图，菱形的边长是4，，点E，F分别是，边上的动点（不与点A，B，C重合），且，若，，与相交于点G，当为等腰三角形时，的长为________.16. （1分） (2020九上·龙岩期末) 如图是二次函数y＝ax2﹣bx＋c的图象，由图象可知，不等式ax2﹣bx ＋c＜0的解集是________．三、解答题 (共8题；共72分)17. （5分） (2019九上·潮南期中) 解方程：18. （7分）如图，在⊙O中，=，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．19. （10分）(2018·徐汇模拟) 已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣6）、B（4，﹣6）、C（6，0）三点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）分别联结AC、BC，求tan∠ACB．20. （3分） (2019八下·太原期中) 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，-4），B（3，-3），C（1，-1）．（1）将△ABC先向上平移5个单位，再向左平移3个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；（2）写出△A1B1C1各顶点的坐标；（3）若△ABC内有一点P（a，b），请写出平移后得到的对应点P1的坐标．21. （10分）如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF．（1）求证：四边形BDEF为平行四边形；（2）当∠C＝45°，BD＝2时，求D，F两点间的距离．22. （15分）(2017·抚顺) 某商场对某种商品进行销售，第x天的销售单价为m元/件，日销售量为n件，其中m，n分别是x（1≤x≤30，且x为整数）的一次函数，销售情况如表：销售第x天第1天第2天第3天第4天 (30)销售单价m（元/件）49484746 (20)日销售量n（件）45505560 (190)（1）观察表中数据，分别直接写出m与x，n与x的函数关系式：________，________；（2）求商场销售该商品第几天时该商品的日销售额恰好为3600元？（3）销售商品的第15天为儿童节，请问：在儿童节前（不包括儿童节当天）销售该商品第几天时该商品的日销售额最多？商场决定将这天该商品的日销售额捐献给儿童福利院，试求出商场可捐款多少元？23. （7分）(2019·荆州模拟) 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，过点A作轴，垂足为点A，过点C作轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B．（1）线段AB，BC，AC的长分别为 ________， ________， ________；（2）折叠图1中的，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，如图2．请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择哪题A：求线段AD的长；在y轴上，是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．B：求线段DE的长；在坐标平面内，是否存在点除点B外，使得以点A，P，C为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．24. （15分）(2018·宁波模拟) 抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（，0），且与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求∠ACB的度数；（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共6题；共6分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共8题；共72分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、答案：22-3、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：。
天津市红桥区2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试卷及答案
天津市红桥区2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．4（x＋2）＝25B．2x2＋3x－1＝0C．x＋y＝0D．12x＝42．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．一元二次方程3x2－6x＝1化为－般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）后，a，b，c的值分别是（）A．a＝3，b＝6，c＝1B．a＝3，b＝－6，c＝1C．a＝－3，b＝－6，c＝1D．a＝3，b＝－6，c＝－14．一元二次方程（x＋1）2＝2可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程为x＋1）A．x－1B．x＋1＝2C．x＋1D．x＋1＝－2 5．用配方法解方程x2－8x＋1＝0时，配方所得的方程为（）A．（x－4）2＝15B．（x－4）2＝17C．（x＋4）2＝15D．（x－8）2＝15 6．已知关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根分别为x1＝－4，x2＝7，则原方程可化为（）A．（x－4）（x－7）＝0B．（x＋4）（x＋7）＝0C．（x－4）（x＋7）＝0D．（x＋4）（x－7）＝07．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根分别为－1和5，则二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴是（）A．x＝－3B．x＝－1C．x＝2D．x＝38．若点A（－1，y1），B（0，y2），C（1，y3）都在二次函数y＝2x2＋x－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＞＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y19．参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共同签订了45份合同．设共有x 家公司参加商品交易会，则x 满足的关系式为（ ）A ．12x (x ＋1)＝45B ．12x (x －1)＝45 C ．x (x ＋1)＝45 D ．x (x －1)＝45 10．如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△ADE ，使点A ，B ，E 在一条直线上，点B 的对应点为D ，点C 的对应点为E ，连接BD ，CE ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．AD ＝ACB ．BC ＝DE C ．△AED ＝△BEC D ．BD △AC 11．一个直角三角形的两直角边之和为14cm ，面积是24cm 2，则斜边的长度为（ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm12．抛物线2(0)y x bx c a α=++<的对称轴是直线1x =，与x 轴的一个交点为()1,0A x ，121x -<<-，下列结论：△0bc >；△80a c +<；△520a b c ++>，其中正确结论的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题13．在平面直角坐标系中，O 为原点，将点A （2，0）绕点O 逆时针旋转180°得点A ′，则点A ′的坐标为____．14．二次函数223y x =-的最小值是_______．15．若关于x 的一元二次方程可以配方成（x －2）2－4＝0的形式，则该方程的两根之和为____．16．若m ≠0，则关于x 的一元二次方程mx 2＋x －3m ＝0的实数根的个数为____． 17．某地区2018年的人均收入为10万元，2020年的人均收入为14.4万元，则人均收入的年平均增长率为____．18．当k －2≤x ≤k 时，函数y ＝x 2－4x ＋4（k 为常数）的最小值为4，则k 的值是____．三、解答题19．在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（－3，2），B（4，1），C （0，－3）．请在图中作出△ABC关于原点对称的△A′B′C′，并写出△A′B′C′各顶点的坐标．20．解下列关于x的方程．(1)x2－5x＋1＝0；(2)（2x＋1）2－25＝0．21．已知关于x的一元二次方程3x2﹣2x﹣m＝0（m为常数）．（1）若x＝3是该方程的一个实数根，求m的值；（2）当m＝1时，求该方程的实数根；（3）若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．22．已知二次函数y＝x2－2x－3的图象为抛物线C．(1)写出抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)当2≤x≤4时，求该二次函数的函数值y的取值范围；(3)将抛物线C先向右平移2个单位长度，得到抛物线C1；再将抛物线C1向下平移1个单位长度，得到抛物线C2，请直接写出抛物线C1，C2对应的函数解析式．23．已知矩形ABCD的周长为20，设AB的长为x，矩形的面积为S．(1)写出S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；(2)当矩形ABCD的面积为24时，求AB的长；(3)当AB的长为多少时，矩形ABCD的面积最大？最大面积是多少？24．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，△BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，得到△ADC，连接OD，OA．(1)求△ODC的度数；(2)试判断AD与OD的位置关系，并说明理由；(3)若OB＝2，OC＝3，求AO的长（直接写出结果）．25．已知抛物线y＝ax2＋bx＋5（a为常数，a≠0）交x轴于点A（－1，0）和点B （5，0），交y轴于点C．(1)求点C的坐标和抛物线的解析式；(2)若点P是抛物线上一点，且PB＝PC，求点P的坐标；(3)点Q是抛物线的对称轴l上一点，当QA＋QC最小时，求点Q的坐标．参考答案：1．B【解析】【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程，根据定义解答．【详解】解：A. 4（x＋2）＝25不符合定义，故该项不符合题意；B. 2x2＋3x－1＝0符合定义，故该项不符合题意；C. x＋y＝0不符合定义，故该项不符合题意；D.12x+＝4不符合定义，故该项不符合题意；故选：B．【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟记定义是解题的关键．2．C【解析】【分析】根据识别一个图形是否是中心对称图形，就是看是否存在一点，使图形绕着这个点旋转180︒后能与原图形重合，逐项判断即可．【详解】A．不是中心对称图形，不符合题意；B．不是中心对称图形，不符合题意；C．是中心对称图形，符合题意；D．不是中心对称图形，不符合题意；故选C．【点睛】本题考查识别中心对称图形．掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．3．D【解析】【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再求出a 、b 、c 的值即可．【详解】解：2361x x -=，23610x x ∴--=，3a ∴=，6b =-，1c =-，故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是能化成一元二次方程的一般形式，注意：找各项系数时，带着前面的符号．4．C【解析】【分析】根据直接开方法解一元二次方程的方法选择即可．【详解】解：（x ＋1）2＝2，两边开方得，x ＋1＝，可转化为一元一次方程为x ＋1x ＋1＝故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练掌握直接开方法解一元二次方程． 5．A【解析】【分析】先把常数项移项，然后在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方．【详解】解：移项，得281x x -=-，配方得，2816116x x -+=-+，2(4)15x -=．故选：A ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．6．D【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，直接代入计算即可．【详解】 解：关于x 的一元二次方程20x px q ++=的两根分别为14x =-，27x =，47p ∴-+=-，47q -⨯=，3p ∴=-，28q =-，∴原方程可化为(4)(7)0x x +-=．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算．7．C【解析】【分析】一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是1-和5，则二次函数2y ax bx c =++图象与x 轴的交点坐标为(1,0)-、(5,0)，根据函数的对称性即可求解．【详解】 解：一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是1-和5，则二次函数2y ax bx c =++图象与x 轴的交点坐标为(1,0)-、(5,0)， 根据函数的对称性，函数的对称轴为直线1522x -+==， 故选：C ．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点与对称轴的关系，解题的关键是掌握若抛物线与x 轴交点的横坐标为1x 和2x ，则抛物线的对称轴为122x x x +=． 8．B【解析】【分析】由题意可知函数图象的对称轴、增减性；根据对称将A 转化到对称轴的右侧，得到A '的坐标表示，然后比较A B C '、、三点横坐标的大小，进而判断三点纵坐标的大小即可．【详解】解：由221y x x =+-知该函数图象开口向上，对称轴是直线14x =-，在对称轴的右侧，y 随x 的增加而增大△点A 对称的点A '的坐标为112y ⎛⎫ ⎪⎝⎭， △1012<< △213y y y <<故选B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于掌握该函数图象与性质．9．B【解析】【详解】分析: 每家公司都与其他公司鉴定了一份合同，设有x 家公司参加，则每个公司要签（x-1）份合同，签订合同共有12x （x-1）份.详解: 设有x 家公司参加，依题意，得12x （x-1）=45，故选B.点睛: 考查了由实际问题抽象出一元二次方程，甲乙之间互签合同，只能算一份，本题属于不重复记数问题，类似于若干个人，每两个人之间都握手，握手总次数；或者平面内，n 个点（没有三点共线）之间连线，所有线段的条数.10．B【解析】【分析】根据旋转的性质得到AB=AD ，BC=DE ，AE=AC ，△AED =△ACB ，△DAB =△BAC ，判断A 错误，B 正确，C 错误；证明△DAB 是等腰三角形，得到△ADB =△ABD ，由此推出△ABD 不一定等于△BAC ，判断D 不一定成立【详解】解：将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△ADE ，△AB=AD ，BC=DE ，AE=AC ，△AED =△ACB ，△DAB =△BAC ，故A 错误，B 正确，C 错误；△AB=AD ，△△DAB 是等腰三角形，△ADB =△ABD ， △()11802ABD BAD ∠=︒-∠， △△DAB =△BAC ，在△ABD 中，△ABD 不一定等于△DAB ，△△ABD 不一定等于△BAC ，故D 不一定成立，故选：B【点睛】此题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，准确认识图形，从图形中得出结论是解题的关键11．C【解析】【分析】设两条直角边的长度分别为xcm 和(14-x )cm ，根据题意列出方程求出x 的值，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：设两条直角边的长度分别为xcm 和(14-x )cm面积是24cm 2∴()114242x x -= 21448x x -=214480x x -+=()()680x x --=解得126,8x x ==∴两条直角边的长度分别为6cm 和8cm∴斜边的长度10cm故选：C ．【点睛】此题考查了直角三角形斜边长的问题，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法和勾股定理．12．D【解析】【分析】根据抛物线2(0)y x bx c a α=++<的对称轴是直线1x =，可得2b a =-，可判断出20b a =->，根据题意，作出抛物线2(0)y x bx c a α=++<的图像，0c >，得0bc >，故△正确；当2x =-时，由图像可知，0y <，可判断△；根据121x -<<-，对称轴是1x =，可得当1x =-时，由图像可知，0y >，得到3+a c ＞0，可得：32a c +＞0，所以52320a b c a c ++=+>，可判断△，即可得到答案．【详解】解：△抛物线2(0)y x bx c a α=++<的对称轴是直线1x =， △12b x a=-=， 即2b a =-，△0a <，△20b a =->，△抛物线2(0)y x bx c a α=++<的对称轴是直线1x =，与x 轴的一个交点为()1,0A x ，并且，121x -<<-，则根据题意抛物线2(0)y x bx c a α=++<的函数图像如下图所示，△0c >，△0bc >，故△正确；当2x =-时，由图像可知，0y <，即：420b c α-+<，△4480a c a c α++=+<，故△正确；当1x =时，由图像可知，0y >，△121x -<<-，对称轴是1x =，△当1x =-时，由图像可知，0y >，△a b c -+＞0，即3+a c ＞0，△32a c +＞0，△52320a b c a c ++=+>，故△正确；综上所述，正确的有3个，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用数形结合的思想思考问题．13．()2,0-【解析】由题意易得点A 与点A ′关于原点对称，进而问题可求解．【详解】解：由题意得：点A 与点A ′关于原点对称，△点A （2，0），△()2,0A '-；故答案为()2,0-．【点睛】本题主要考查中心对称图形的性质及点的坐标关于原点对称，熟练掌握中心对称图形的性质及点的坐标关于原点对称是解题的关键．14．-3【解析】【分析】根据二次函数解析式的特点可知，当x=0时取得最小值-1．【详解】解：二次函数y=2x 2-3的顶点坐标是（0，-3），且抛物线的开口方向是向上，则当x=0时，二次函数y=2x 2-3的最小值是-3．故答案是：-3．【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．15．4【解析】【分析】先变形为一元二次方程的一般形式，再根据一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与系数的关系可求该方程的两根之和．【详解】解：（x -2）2-4=0，x 2-4x +4-4=0，则该方程的两根之和为4．故答案为：4．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与系数的关系，解题的关键是掌握若方程两个根为x 1，x 2，则x 1+x 2=b a -，x 1•x 2=c a． 16．2【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：0m ≠()221431120m m m ∴=-⨯-=+>∴实数根的个数为2故答案为：2．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，当Δ大于0时，有两个不同的实根；当Δ等于0时，有两个相同的实根；当Δ小于0时，无实根，正确理解根的判别式是解题的关键． 17．20％【解析】【分析】设人均收入的年平均增长率为x ，利用2020年的人均收入2018=年的人均收入(1⨯+人均收入的年平均增长率）2，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出人均收入的年平均增长率为20%．【详解】解：设人均收入的年平均增长率为x ，依题意得：210(1)14.4x +=，解得：10.220%x ==，2 2.2x =-（不合题意，舍去）．故答案为：20%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．18．0或6##6或0【解析】【分析】先求出函数的顶点坐标，再根据题意分情况讨论即可求解．【详解】△y=x2-4x+4=（x-2）2△顶点坐标为（2,0）△当k≤2时，x=k时，函数y=x2-4x+4的最小值为4故k2-4k+4=4解得k=0或k=4(舍去)当k-2≥2时，x= k-2时，函数y=x2-4x+4的最小值为4故（k-2）2-4（k-2）+4=4解得k=6或k=2(舍去)故答案为6或0．【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是根据题意分情况讨论．19．见解析，(3,2)B'--，(0,3)A'-，(4,1)C'【解析】【分析】利用关于原点对称的点的坐标特征写出A'、B′、C'的坐标，然后描点连线即可．【详解】'''即为所求；解：如图，△A B C△A B C '''各顶点的坐标分别为：(3,2)A '-，(4,1)B '--，(0,3)C '．【点睛】本题考查了作图-复杂作图，关于原点对称的点的坐标，解题的关键是找到对应点，顺次连接关于原点对称后的图形．20．(1)152x =252x = (2)12x =，23x =-【解析】【分析】（1）利用公式法解方程即可得答案；（2）利用直接开平方法解方程即可得答案．(1)x 2－5x ＋1＝0△1a =，5b =-，1c =．△()2245411210b ac ∆=-=--⨯⨯=>．△方程有两个不等的实数根．△x ==，即1x =，2x = (2)（2x ＋1）2－25＝0移项，得()22125x +=，直接开平方得：215x +=±，△12x =，23x =-．【点睛】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．21．（1）21；（2）1211,3x x ==- ；（3）13m >- 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程解的定义，即可求解；（2）利用因式分解法，即可求解；（3）根据一元二次方程根的判别式，即可求解．【详解】解：（1）△x ＝3是该方程的一个实数根，△233230m ⨯-⨯-= ，解得：21m = ；（2）根据题意得：该方程为23210x x --= ，△()()1310x x -+= ， 解得：1211,3x x ==- ；（3）△该方程有两个不相等的实数根，△0∆> ，即()()22430m --⨯⨯-> ， 解得：13m >- ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程解和根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程解和根的判别式，一元二次方程的解法是解题的关键．22．(1)开口向上，对称轴为直线1x =，顶点坐标为()1,4-(2)35y -≤≤(3)265y x x =-+，264y x x =-+【解析】【分析】（1）将二次函数化为顶点式，由此可得答案；（2）分别求出2x =时，4x =时的函数值，根据函数的增减性解答；（3）根据二次函数的平移规律解答．(1)解：△10>，△抛物线C 的开口向上．△()222314y x x x =--=--，△抛物线C 的对称轴为直线1x =，顶点坐标为()1,4-．(2)解：当24x ≤≤时，y 随x 的增大而增大；△当2x =时，3y =-；当4x =时，5y =．△函数值y 的取值范围是35y -≤≤．(3)解：抛物线1C 对应的函数解析式为()2212465y x x x =---=-+；抛物线2C 对应的函数解析式为2265164y x x x x =-+-=-+．【点睛】此题考查了将二次函数化为顶点式，二次函数的性质，利用函数的增减求出函数值的取值范围，二次函数的平移规律，熟记各知识点是解题的关键．23．(1)210S x x =-+，010x <<(2)4AB =或6AB =(3)当5AB =时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积是25【解析】【分析】（1）先根据周长表示出长方形的另一边长，再根据面积=长×宽列出函数关系式； （2）用含x 的等式表示出矩形的面积，列出方程并解答；（3）根据函数的性质用配方法即可得出S 的最大值及对应的x 的值．(1)△AB x =，△10BC x =-．△()21010S AB BC x x x x =⋅=-=-+，其中010x <<．(2)由24S =，得()1024x x -=，即210240x x -+=．解得4x =，或6x =．△4AB =或6AB =．(3)()()210525S x x x =-=--+． △当5AB =时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积是25．【点睛】本题考查了二次函数的最值、一元二次方程的应用及矩形的性质，熟练掌握矩形的周长、面积公式以及二次函数的性质是解答本题的关键．24．(1)60°(2)AD OD ⊥，见解析(3)AO =【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到三角形ODC 为等边三角形即可求解；（2）将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转一定的角度，得到△ADC ，可知△ADC =△BOC =150°，即得△ADO =△ADC -△ODC =90°，故AD △OD ；（3）在Rt △AOD 中，由勾股定理即可求得AO 的长．(1)由旋转的性质得：CD CO =，OCB DCA ∠=∠．△ACO OCB ACO DCO ∠+∠=∠+∠，即ACB DCO ∠=∠．△ABC 为等边三角形，△60ACB ∠=︒．△60DCO ∠=︒．△OCD 为等边三角形，60ODC ∠=︒．(2)AD OD ⊥．由旋转的性质得，150BOC ADC ∠=∠=︒．△60ODC ∠=︒，△90ADO ADC ODC ∠=∠-∠=︒．即AD OD ⊥．(3)由旋转的性质得，AD =OB =2，△△OCD 为等边三角形，△OD =OC =3，在Rt △AOD 中，由勾股定理得：AO【点睛】本题考查等边三角形中的旋转变换，涉及直角三角形判定、勾股定理等知识，解题的关键是掌握旋转的性质，旋转不改变图形的大小和形状．25．(1)()0,5C ，245y x x =-++(2)P ⎝⎭或P ⎝⎭(3)()2,3【解析】【分析】（1）对于25y ax bx =++，当0x =时，5y =，求得(0,5)C ，解方程组即可得到结论； （2）根据(5,0)B ，(0,5)C ，得到OB OC =，连接BC ，设BC 的中点为D ，求得5(2D ，5)2，得到直线OD 的解析式为y x =，设(,)P m m ，解方程即可得到结论； （3）由（1）知，抛物线的对称轴为直线2x =，根据轴对称的性质得到QA QB =，QA QC QB QC +=+，当B ，C ，Q 三点共线时，QB QC +最小，即QA QC +最小，求得直线BC 的解析式为5y x =-+，把2x =代入5y x =-+即可得到结论．(1)解：对于25y ax bx =++，当0x =时，5y =，(0,5)C ∴，抛物线25(y ax bx a =++为常数，0)a ≠交x 轴于点(1,0)A -和点(5,0)B ， ∴5025550a b a b -+=⎧⎨++=⎩， 解得14a b =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为245y x x =-++；(2)解：(5,0)B ，(0,5)C ， OB OC ∴=，连接BC ，设BC 的中点为D ，5(2D ∴，5)2， ∴直线OD 的解析式为y x =， PB PC =，∴点P 在直线OD 上，设(,)P m m ，点P 是抛物线上一点，245m m m ∴=-++，解得m =∴点P 的坐标为或；(3)答案第17页，共17页 解：由（1）知，抛物线的对称轴为直线2x =，点A 与点B 关于l 对称，点Q 在直线l 上，QA QB ∴=，QA QC QB QC +=+，∴当B ，C ，Q 三点共线时，QB QC +最小，即QA QC +最小，设直线BC 的解析式为y kx b =+，∴555b k b =⎧⎨+=⎩， 解得15k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为5y x =-+，把2x =代入5y x =-+得，3y =，(2,3)Q ∴，∴当QA QC +最小时，求点Q 的坐标(2,3)．【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式以及二次函数的性质，轴对称-最短路线问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式．。
天津市河北区2021年九年级上学期《数学》期中试题与参考答案
天津市河北区2021年九年级上学期《数学》期中试卷与参考答案一、选择题本大题共10个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.答案：C解析：A 、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C 、是中心对称图形，故此选项符合题意；D 、不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C ．2. 平面直角坐标系内，与点关于原点对称的点的坐标是（ ）A. B. C. D. 答案：A()3,2P -()3,2-()2,3()2,3-()3,2--解析：与点P （−3，2）关于原点对称的点的坐标是（3，−2），故选：A ．3. 抛物线的顶点坐标为( )A. (-2, 2)B. (2, -2)C. (2, 2)D. (-2, -2)答案：C 解析：∵抛物线y=(x−2)2+2，∴抛物线y=(x−2)2+2的顶点坐标为：(2,2)，故选C.4. 将抛物线向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到的抛物线解析式为（ ）A. B. C. D. 答案：D解析：将抛物线向左平移4个单位，可得： 再把向下平移1个单位得到的抛物线为：故选D ．5. 参加足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛90场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ）A. B. C. D. 2y (x 2)2=-+22y x =()2241y x =-+()2241y x =--()2241y x =++()2241y x =+-22y x =()224,y x =+()224y x =+()224 1.y x =+-x ()11902x x +=()190x x +=()11902x x -=()190x x -=答案：C解析：每个球队都要和除自己以外的球队比一场，∴一共是场，但是其中有重复的，∴实际上是场，可以列式．故选：C ．6. 函数y=ax 2﹣2x+1和y=ax+a （a 是常数，且a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A. B.C. D.答案：C试题分析：选项A 、由一次函数y=ax+a 的图象可得：a ＜0，此时二次函数y=ax 2+bx+c 的图象应该开口向下，故选项错误；选项B 、由一次函数y=ax+a 的图象可得：a ＜0，此时二()1x x -()112x x -()11902x x -=次函数y=ax 2+bx+c 的图象应该开口向下，故选项错误；选项C 、由一次函数y=ax+a 的图象可得：a ＞0，此时二次函数y=ax 2+bx+c 的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，故选项正确；选项D 、由一次函数y=ax+a 的图象可得：a ＜0，此时二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴x=﹣＜0，故选项错误．故选C ．7. 如图，经过圆心，于，若，，则所在圆的半径为（ ）A. B. C. 3 D. 4答案：A解析：如图，连接OD ，设半径为r ，则OM=6-r∵∴MD=CD=2在Rt△MOD 中，OD=r ，OM=6-r ，MD=2∴,即，解得r=．故答案为A ．22a-22a -EM O EM CD ⊥M 4CD =6EM =¼CED 10383EM CD⊥12222OM MD OD +=()22262r r -+=1038. 如图，、、是的切线，切点分别是A 、B 、E ，CD 分别交PA 、于C 、D 两点，若，则的度数（ ）A. 50°B. 60°C. 70°D. 75°答案：B 解析：如图，连接AO ，BO ，OE ，∵PA、PB 是O 的切线，∴∠PAO=∠PBO=90∘，∵，∴，∵PA、PB 、CD 是⊙O 的切线，∴∠ACO=∠ECO，∠DBO=∠DEO，∴∠AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD，PA PB CD O e PB 60APB ∠=︒COD ∠60APB ∠=︒36029060120AOB ∠=︒-⨯︒-︒=︒∴，故选B.9. 如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，过点作的垂线，垂足为点，与交于点．若，，则的长为（ ）A. B. C. 4D. 答案：B 根据正方形性质和已知条件可知BC=CD=5,再由旋转可知DE=BF,设DE=BF=x ，则CE=5-x ，CF=5+x ，然后再证明△ABG∽△CEF，根据相似三角形的性质列方程求出x ，最后求CE 即可．解析：∵，∴BC=BG+GC=2+3=51602COD COE EOD AOB ∠=∠+∠=∠=︒E ABCD CD ADE V A 90︒ABF V EF A EF H BC G 3BG =2CG =CE 54154923BG =2CG =∵正方形∴CD=BC=5设DE=BF=x ，则CE=5-x ，CF=5+x∵AH⊥EF，∠ABG=∠C=90°∴∠HFG+∠AGF=90°，∠BAG+∠AGF=90°∴∠HFG=∠BAG∴△ABG∽△CEF∴ ,即，解得x=∴CE=CD-DE=5-=．故答案为B ．10. 抛物线y ＝ax 2+bx+c 的对称轴是直线x ＝﹣2．抛物线与x 轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有（ ）①4a﹣b＝0；②c≤3a；③关于x 的方程ax 2+bx+c ＝2有两个不相等实数根；④b 2+2b ＞4ac ．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个答案：C ABCDCE BG FC AB =5355x x -=+5454154解析：①因为对称轴为，所以，即，故①正确；②由①知，所以时，；因为抛物线与x 轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，所以时，又因为与关于抛物线的对称轴对称，所以，即，故②错误；③由图可知y ＝ax 2+bx+c 的最大值为3，所以当ax 2+bx+c ＝2时有两个不相等的实数根；故③正确；④由图可知：，即，又且，所以=，所以，即，故④正确；故选：C ．二、填空题本大题共8个小题．11. 若函数是二次函数，则m 的值为______．答案：-3解析：由题意得,解得m=±3且m≠3,所以m=-3，故答案为-3.2x =-22b a-=-40b a -=4b a =1x =-43y a b c a a c c a =-+=-+=-3x =-0y >1x =-3x =-2x =-30c a ->3c a >2434ac b a-=2412b ac a -=-4b a =0a <242b ac b -+12840a a a -+=->2420b ac b -+>224b b ac +>()273m y m x-=-27230m m ⎧-=⎨-≠⎩12. 已知函数，当函数值随的增大而减小时，的取值范围是______．答案：解析：∵函数图像的对称轴为x=1∴当，数值随的增大而减小．故答案为．13. 如图，设A(-2，y 1)、B(1，y 2)、C(2，y 3)是抛物线y=-(x+1)2+m 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为________(用“>”连接)．答案：y 1>y 2>y 3解析：由抛物线的解析式可知，其对称轴为x=-1∵点A 和点B 以及点C 的横坐标分别为-2,1，2∴点C 距离x=-1最远，点A 距离x=-1最近又∵抛物线的开口向下∴y 1＞y 2＞y 3，故答案为：y 1＞y 2＞y 3.14. 如图，将绕点逆时针旋转得到．若落到边上，，则的度数为______．223y x x =--y x x 1x <223y x x =--1x <y x 1x <ABC V A AB C ''△B 'BC 50B ∠=︒CB C ''∠答案：80解析：由旋转的性质可得：AB=AB',∠AB' C'=50°.∵AB=AB'，∴∠B=∠BB'A=50°.∵∠BB'A+∠AB' C'+∠CB' C' =180°.∴∠CB'C'=180°-（∠BB'A+∠AB' C'）=80°．故答案为80°．15. 如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米．水面下降1米时，水面的宽度为_____米．答案：试题分析：建立平面直角坐标系，设横轴x 通过AB ，纵轴y 通过AB 中点O 且通过C 点，则通过画图可得知O 为原点，抛物线以y 轴为对称轴，且经过A ，B 两点，OA 和OB 可求出为AB 的一半2米，抛物线顶点C 坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax 2+2，其中a 可通过代入A 点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x 2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1=﹣0.5x 2+2，解得：x=，所以水面宽度增加到考点：二次函数的应用．16. 如图，已知AB 是半圆O 的直径，弦CD∥AB，CD ＝8．AB ＝10，则CD 与AB 之间的距离是_____．答案：3解析：过点O 作OH⊥CD 于H ，连接OC ，如图，则CH ＝DH ＝CD ＝4，在Rt△OCH 中，OH＝3，所以CD 与AB 之间的距离是3．故答案为3．17. 以为中心点的量角器与直角三角板如图所示摆放，直角顶点在零刻度线所在直线上，且量角器与三角板只有一个公共点，若点的读数为135°，则的度数是______．答案：45解析：∵AB 是⊙O 的切线，∴∠OPB＝90°，∵∠ABC＝90°，∴OP∥BC，∵点的读数为135°，∴∠EOP＝135°∴∠POB＝180°-135°=45°∴∠CBD＝∠POB＝45°，故答案为：．12O ABC B DE P P CBD ∠P 4518. 如图，直线与轴、轴分别相交于、两点，是该直线上的任一点，过点向以为圆心，为半径为作两条切线，切点分别为、，则四边形面积的最小值为______．解析：如图，连接DP ，∵直线y ＝x+1与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，当x ＝0时，y ＝1，当y ＝0时，x ＝﹣2，∴A(﹣2，0)，B(0，1)，∵过点D(3，0)向以P 为圆心，AB 为半径的⊙P 作两条切线，切点分别为E 、F ，∴DE＝DF ，PE⊥DE，∵PE＝PF ，PD ＝PD ，∴△PED≌△PFD(SSS)，∵⊙P ，112y x =+x y A B P ()3,0D P 12AB P e E F PEDF 1212当DP⊥AP 时，DP 最小，此时DP ＝AD•sin∠BAO＝，∵四边形PEDF面积＝2S △PED ＝2×PE×DEDE ，∴四边形PEDF．．三、解答题本大题共6个小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19. 解方程：．答案：，解析：，，=12=210160x x ++=12x =-28x =-210160x x ++=21016x x +=-210251625x x ++=-+，，，20. 如图，已知抛物线y=x 2+bx+c 经过A （﹣1，0）、B （3，0）两点．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）当0＜x ＜3时，求y 的取值范围；答案：(1) y=x 2﹣2x﹣3，顶点坐标为（1，﹣4）．(2) ﹣4≤y＜0．解析：（1）把A （-1，0）、B （3，0）分别代入y=x 2+bx+c 中，得：，解得： ，∴抛物线的解析式为y=x 2-2x-3．∵y=x 2-2x-3=（x-1）2-4，∴顶点坐标为（1，-4）．（2）由图可得当0＜x ＜3时，-4≤y＜0．()259x +=53x +=±12x =-28x =-10930b c b c -+⎧⎨++⎩＝＝23b c -⎧⎨-⎩＝＝21. 如图，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为．（1）求证：平分；（2）若，，试求的半径．答案：（1）证明见解析；（2）5．解析：（1）证明：如图1：连接，∵是切线，∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴，AB O e C O e AD C D AC DAB ∠4CD =8AD =O e OC CD OC CD ⊥AD CD ⊥//AD OC 13∠=∠OA OC =23∠∠=12∠=∠∴平分；（2）解：如图2，作于点，设的半径为．∵，，∴，∴四边形是矩形，∴，，∴，∴，解得，∴的半径是5．22. 某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销意将增加10箱，设每箱牛奶降价x 元（x 为正整数），每月的销量为y 箱．（1）写出y 与x 之间的函数关系式和自变量x 的取值范围；（2）超市要使每月销售牛奶的利润不低于800元，且获得尽可能大的销售量，则每箱牛奶的定价应是多少钱？答案：（1）y ＝60+10x （1≤x≤12，且x 为正整数）；（2）每箱牛奶的定价应是32元钱AC DAB ∠OE AD ⊥E O e x AD CD ⊥OE AD ⊥90OED EDC DCO ∠=∠=∠=︒OEDC 4OE CD ==8AE AD DE x =-=-()22248x x +-=228016x x x -+=5x =O e解析：（1）由题意得：y ＝60+10x ，∵36﹣x≥24∴x≤12∵x 为正整数∴1≤x≤12，且x 为正整数；（2）设每月销售牛奶的利润为w ，则w ＝（36﹣x﹣24）（10x+60）＝﹣10x 2+60x+720＝﹣10（x﹣3）2+810，令w ＝800得：﹣10（x﹣3）2+810＝800，解得：x 1＝2，x 2＝4，∵要使每月销售牛奶的利润不低于800元，且获得尽可能大的销售量，∴x＝4，∵36﹣4＝32＞24（元），∴每箱牛奶的定价应是32元钱．23. 在平面直角坐标系中，己知O 为坐标原点，点，以点A 为旋转中心，把顺时针旋转，得.（Ⅰ）如图①，当旋转后满足轴时，求点C 的坐标.（Ⅱ）如图②，当旋转后点C 恰好落在x 轴正半轴上时，求点D 的坐标.(2,0),(0,4)A B ABO V ACD △//DC x（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边上的一点P 旋转后的对应点为，当取得最小值时，求点P 的坐标（直接写出结果即可）答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）点P 坐标.解析：（Ⅰ）如图①中，作轴于H.∵，∴，∴四边形是矩形，∴，∴，∴（Ⅱ）如图②中，作于K.在中，∵，OB P 'DP AP '+()6,2C (2DCH x ⊥//90CD AH D AHC ∠=∠=︒，90DAH ∠=︒ADCH 24AD OA CH CD OB AH ======，6OH =()6,2C DK AC ⊥Rt ADC V 2,4AD CD ==∴，∵，∴，∴，∴（Ⅲ）如图③中，连接PA 、AP′，作点A 关于y 轴的对称点A′，连接DA′交y 轴于P′，连接AP′．由题意PA=AP′，∴AP′+PD=PA+PD，根据两点之间线段最短，可知当点P 与点P′重合时，PA+PD 的值最小．，∴直线A′D 的解析式为 ，点P坐标AC =1122AD DC AC DK ⋅⋅=⋅⋅DK AK==2OK =2D⎛+⎝A(2,0),D 2'⎛- ⎝ y =⎛ ⎝24. 如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，点，且交轴于另一上点．（1）直接写出点，点，点的坐标及抛物线的解析式；（2）在直线上方的抛物线上有一点，求三角形面积的最大值及此时点的坐标；（3）将线段绕轴上的动点顺时针旋转90°得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求的取值范围（直接写出结果即可）．答案：（1），，，；（2）当时，三角形面积最大，其最大值为2，此时的坐标为；（3）或．解析：（1）令得，∴，令，得，解得：，122y x =+y A x C 214y x bx c =-++A C x B A B C AC M ACM M OA x (),0P m O A ''O A ''m ()0,2A ()2,0B -()4,0C 211242y x x =-++2a =ACM M ()2,234m -≤≤-32m -+≤≤0x =1222y x =-+=()0,2A 0y =1202x -+=4x =∴，把、两点代入得：，解得，∴抛物线的解析式为，令，得，解得：或，∴；（2）过点作轴，与交于点，如图1，设，则，∴，∴当时，三角形面积最大，其最大值为2，此时的坐标为；()4,0C A C 214y x bx c =-++2440c b c =⎧⎨-++=⎩122b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩211242y x x =-++0y =2112042x x -++=4x =2x =-()2,0B -M MN x ⊥AC N 211,242M a a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭1,22N a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()22211111422222422ACM S MN OC a a a a a ⎛⎫=⋅=-+⨯=-+=--+ ⎪⎝⎭△2a =ACM M ()2,2（3）当，若旋转后点落在抛物线上时，如图所示：∵点，∴，解得：（舍去）；当旋转后点落在抛物线上时，如图示：线段与抛物线只有一个公共点，∵点，0m >A '()2,A m m '+()()21122242m m m -++++=1233m m =-+=--O 'O A ''(),O m m '∴，解得：（舍去）；∴当时，若线段与抛物线只有一个公共点，m 的取值范围为；当时，当旋转后点落在抛物线上时，如图示：线段与抛物线只有一个公共点，∵点，∴，解得：（舍去）；若旋转后点落在抛物线上时，如图所示：线段与抛物线只有一个公共点，∵点，∴，解得：（舍去）；211242m m m -++=122,4m m ==-0m >O A ''32m -+≤≤0m <O 'O A ''(),O m m '211242m m m -++=124,2m m =-=A 'O A ''()2,A m m '+()()21122242m m m -++++=1233m m =-=-+∴当时，若线段与抛物线只有一个公共点，m 的取值范围为；综上所述：当或时，线段与抛物线只有一个公共点．0m <O A ''34m --≤≤-34m -≤≤-32m -≤≤O A ''。
天津市2021年九年级上学期数学期中考试试卷C卷
天津市 2021 年九年级上学期数学期中考试试卷 C 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)1. （2 分） (2018 九上·瑶海期中) 下列函数是二次函数的是（ ）A.B.C. D. 2. （2 分） 如图绕中心旋转 180°，所得到的图形是（ ）A. B. C. D. 3. （2 分） (2019 九下·徐州期中) 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B.第 1 页 共 15 页C.D. 4. （2 分） (2016 九下·萧山开学考) 函数的自变量 x 满足 ≤x≤2 时，函数值 y 满足 ≤y≤1，则下列函数①y= x，②y= A . 2个 B . 3个 C . 4个 D . 5个，③y= ，④y=﹣ x+ ，⑤y=（x﹣1）2 ， 符合条件的函数有（ ）5. （2 分） (2019 九上·通州期末) 若点，都在二次函数的图象上，且则 m 的取值范围是A.B.C.D.6. （2 分） (2019 八下·新密期中) 数学兴趣小组在“中学生学习报”中了解到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，用含角的直角三角板做实验，如图，，，分别是 ，的中点，标记点 的位置后，将三角板绕点 逆时针旋转，点 旋转到点 ，在旋转过程中，线段的最大值是（ ）A. B. C.第 2 页 共 15 页D. 7. （2 分） (2016·南充) 抛物线 y=x2+2x+3 的对称轴是（ ） A . 直线 x=1 B . 直线 x=﹣1 C . 直线 x=﹣2 D . 直线 x=2 8. （2 分） 关于 x 的一元二次方程|m|x2﹣2x+1=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（ ） A . ﹣1＜m＜1 B . ﹣1＜m＜1 且 m≠0 C . m＞1 D . m＜1 且 m≠0 9. （2 分） 如图，△ABC，△EFG 均是边长为 2 的等边三角形，点 D 是边 BC、EF 的中点，直线 AG、FC 相交于 点 M．当△EFG 绕点 D 旋转时，线段 BM 长的最小值是（ ）A . 2﹣B . +1C.D . ﹣110. （2 分） (2017 九上·湖州月考) 抛物线 y=ax2+bx+c 上部分点的横坐标 x 纵坐标 y 的对应值如下表，则下列说法中错误的是（ ）.x…-4-3-2-101…y…-37 -21 -9-133…A . 当 x＞1 时 y 随 x 的增大而增大B . 抛物线的对称轴为 x=第 3 页 共 15 页C . 当 x=2 时 y=-1 D . 方程 ax2+bx+c=0 一个负数解 x1 满足-1＜x1＜0二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)11. （1 分） (2016·徐州) 若等腰三角形的顶角为 120°，腰长为 2cm，则它的底边长为________ cm． 12. （1 分） (2018·沾益模拟) 在等腰三角形 ABC 中∠C=90°，BC=2cm。
2021-2022学年天津市河西区九年级上学期数学期中试卷及答案
2021-2022学年天津市河西区九年级上学期数学期中试卷及答案一．选择题1. 在平面直角坐标系中，点（5，2）关于原点对称的点的坐标为（）A. （-2，-5）B. （-5，2）C. （-5，-2）D. （-2，5）【答案】C【解析】【分析】根据横坐标变成相反数，纵坐标也变成相反数确定即可．【详解】∵点（5，2）关于原点对称的点的坐标为（-5，-2），故选C．【点睛】本题考查了坐标系中原点对称问题，熟练掌握对称时坐标的变化规律是解题的关键．2. 以下冬奥会图标中，是中心对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据中心对称图形的定义狐疑判断即可．【详解】∵A不是中心对称图形,∴A不符合题意；∵B不是中心对称图形,∴B不符合题意；∵C是中心对称图形,∴C符合题意；∵D不是中心对称图形,∴D不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了中心对称图形即一个图形绕某点旋转180°后与原图形重合，熟练掌握定义是解题的关键．3. 在抛物线上的点为（ ） 24y x x =-A. （0，4） B. （1，-4）C. （-1，-5）D. （2，-4） 【答案】D 【解析】【分析】把各个点的坐标代入验证即可．【详解】A 、当x=0时，y=x 2-4x=0，因此(0，4)不在抛物线y=x 2-4x 上； B 、当x=1时，y=x 2-4x=1-4×1=1-4=-3，因此(1，-4)不在抛物线y=x 2-4x 上； C 、当x=-1时，y=x 2-4x=1-4×（-1）=5，因此(-1，-5)不在抛物线y=x 2-4x 上； D 、当x=2时，y=x 2-4x=4-2×4=-4，因此(2，-4)在抛物线y=x 2-4x 上． 故选：D ．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是常用的方法． 4. 二次函数的图象不经过的象限为（ ） 24y x =+A. 第一象限、第四象限 B. 第二象限、第四象限C. 第三象限、第四象限D. 第一象限、第三象限、第四象限【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线解析式求抛物线的顶点坐标，开口方向，与轴的交点，可确定抛物线y 的大致位置，判断其不经过的象限． 【详解】解：抛物线 24y x =+顶点坐标为，在轴上， (0,4)y 且开口向上，抛物线不经过第三象限，第四象限；∴故选：C ．【点睛】本题考查了确定抛物线的大致位置，解题的关键是掌握通过求顶点坐标，开口方向，与坐标轴的交点，画出图象判断．5. 如图，在⊙中，半径于点H ，若，则∠ABC 的度数为（ ）O OC AB ⊥40OAB ∠=︒A .20°B. 25°C. 30°D. 40°【答案】B 【解析】【分析】根据垂直求出∠AHO=90°，根据直角三角形的两锐角互余求出∠AOC，根据圆周角定理得出∠ABC=∠AOC，代入求出答案即可．12【详解】解：∵OC⊥AB， ∴∠AHO=90°， ∵∠OAB=40°，∴∠AOC=90°-∠OAB=90°-40°=50°， ∴∠ABC=∠AOC=×50°=25°， 1212故选：B ．【点睛】本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质，能根据圆周角定理得出∠ABC=∠AOC 12是解此题的关键．6. 下列命题错误的是（ ） A. 直径是圆中最长的弦 B. 圆内接平行四边形一定是矩形 C. 圆内接四边形的对角互补 D. 相等的圆心角所对的弧相等【答案】D 【解析】【分析】根据确定圆的性质以及圆周角定理和圆内接四边形的性质分别判断进而得出答案即可．【详解】解：A.通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径．通过直径的定义可知，在一个圆中，圆内最长的线段一定是直径，故此选项正确，不符合题意；B.因为矩形的对角互补，符合圆内接四边形的性质；故圆的内接平行四边形是矩形正确，故此选项正确，不符合题意；C.圆内接四边形的对角互补，故此选项正确，不符合题意；D.在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故此选项错误，符合题意． 故选D ．【点睛】本题考查了确定圆的性质以及圆周角定理和圆内接四边形的性质等知识，熟练利用相关知识是解题关键．7. 方程x 2+x-12=0的两个根为（ ） A. x 1=-2，x 2=6 B. x 1=-6，x 2=2C. x 1=-3，x 2=4D. x 1=-4，x 2=3 【答案】D 【解析】【分析】将x 2+x﹣12分解因式成（x+4）（x﹣3），解x+4=0或x﹣3=0即可得出结论． 【详解】x 2+x﹣12=（x+4）（x﹣3）=0 则x+4=0，或x﹣3=0 解得：x 1=﹣4，x 2=3． 故选D ．【点睛】考点：解一元二次方程-因式分解法8. 如图，在⊙O 中，点A ，B 在圆上，∠AOB=120°，弦AB 的长度为，则半径OA 的长度为（ ）A. B. 4C. D. 【答案】B 【解析】【分析】过点O 作OD⊥AB，垂足为D ，利用垂径定理，三角函数求解即可． 【详解】过点O 作OD⊥AB，垂足为D ，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴AD=BD= 12∵=sin∠AOD= AD OA，故选B ．【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的三线合一，特殊角的三角函数，灵活运用以上知识是解题的关键．9. 将抛物线向上平移2个单位，再向左平移1个单位，则平移后的抛物线解析式为2y x =（ ）A. B. 223y x x =+-223y x x =-+C. D.223y x x =++223y x x =--【答案】C 【解析】【分析】根据平移规律确定解析式，后化成一般式即可．【详解】将抛物线向上平移2个单位，再向左平移1个单位，得到的解析式为:2y x =，2(x +1)2y =+∴化成一般式为； 223y x x =++故选:C ．【点睛】本题考查了二次函数平移，熟练二次函数平移规律左加右减，上加下减是解题的关键．10. 如图，在中，，将绕点C 逆时针旋转得到，点A ，ABC 120BAC ∠=︒ABC DEC B 的对应点分别为D ，E ，连接．当点A ，D ，E 在同一条直线上时，下列结论一定正确的AD 是（ ）A.B.C.D.ABC ADC ∠=∠CB CD =DE DC BC +=AB CD ∥【答案】D 【解析】【分析】由旋转可知，即可求出，由于120EDC BAC ∠=∠=︒60ADC ∠=︒，则可判断，即A 选项错误；由旋转可知，由于60ABC ∠<︒ABC ADC ∠≠∠CB CE =，即推出，即B 选项错误；由三角形三边关系可知，CE CD >CB CD >DE DC CE +>即可推出，即C 选项错误；由旋转可知，再由，DE DC CB +>DC AC =60ADC ∠=︒即可证明为等边三角形，即推出．即可求出ADC 60ACD ∠=︒，即证明 180ACD BAC ∠+∠=︒，即D 选项正确；//AB CD 【详解】由旋转可知， 120EDC BAC ∠=∠=︒∵点A ，D ，E 在同一条直线上， ∴， 18060ADC EDC ∠=︒-∠=︒∵，60ABC ∠<︒∴，故A 选项错误，不符合题意； ABC ADC ∠≠∠由旋转可知， CB CE =∵为钝角， 120EDC ∠=︒∴，CE CD >∴，故B 选项错误，不符合题意； CB CD >∵，DE DC CE +>∴，故C 选项错误，不符合题意； DE DC CB +>由旋转可知， DC AC =∵， 60ADC ∠=︒∴为等边三角形， ADC ∴．60ACD ∠=︒∴，180ACD BAC ∠+∠=︒∴，故D 选项正确，符合题意； //AB CD 故选D ．【点睛】本题考查旋转的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定和性质以及平行线的判定．利用数形结合的思想是解答本题的关键．11. 如图，将等边三角形OAB 放在平面直角坐标系中，A 点坐标（1，0），将△OAB 绕点O 逆时针旋转60°，则旋转后点B 的对应点B ＇的坐标为（ ）A. （）B. （－1，） 1212C. （－D. ，） 3212【答案】A 【解析】【分析】如图，作点B 作BH⊥OA 于H ，设BB′交y 轴于J ．求出点B 的坐标，证明B ，B′关于y 轴对称，即可解决问题．【详解】解：如图，故点B 作BH⊥OA 于H ，设BB′交y 轴于J ．∵A（1，0）， ∴OA=1，∵△AOB 是等边三角形，BH⊥OA，∴OH=AH=OA=，， 1212∴B（， 12∵∠AOB=∠BOB′=60°，∠JOA=90°， ∴∠BOJ=∠JOB′=30°， ∵OB=OB′， ∴BB′⊥OJ， ∴BJ=JB′，∴B，B′关于y 轴对称，∴B′（-）， 12故选：A ．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，旋转变换，轴对称，等边三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．12. 已知二次函数()的图象如图所示，有下列结论：①；②2y ax bx c =++0a ≠0abc >；③；④．其中，正确结论的个数是（ ）240b ac ->0a b c ++>30a c +<A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】①抛物线对称轴位于y 轴的右侧，a ，b 异号，即ab ＜0． 抛物线与y 轴交于负半轴，则c ＜0． 所以abc ＞0． 故①正确．②由抛物线与x 轴有两个交点可得b 2-4ac ＞0． 故②正确．③根据图象知道当x=1时，y=a+b+c ＜0． 故③错误；④抛物线开口方向向下，则a ＞0． 由于对称轴是x=，且=1， 2b a -2ba-所以2a=-b ，当x=-1时，y ＜0，即a-b+c ＜0． 所以2a+a+c ＜0，即3a+c ＜0． 故④正确． 故选C【点睛】主要考查二次函数的图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 二、填空题13. 方程x 2=2的解是_____．【答案】 【解析】【详解】解：直接开平方得：x =故答案为：．14. 若正方形的边长为x ，面积为y ，则y 与x 之间的关系式为_______（）． 0x >【答案】 2y x =【解析】【分析】根据正方形的面积公式列出函数关系式即可; 【详解】y=x 2【点睛】本题考查列函数关系式，掌握正方形的面积公式是得出函数关系式的前提． 15. 抛物线与y 轴的交点坐标为______． 221y x x =++【答案】（0，1） 【解析】【分析】将代入抛物线解析式即可求得抛物线与y 轴的交点坐标． 0x =221y x x =++【详解】解：当时，，0x =1y =∴抛物线与y 轴的交点坐标为， 221y x x =++(0,1)故答案为：（0，1）．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．16. 二次函数（a ，b ，c 是常数）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下2y ax bx c =++表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y…m﹣3﹣4﹣3…则它的顶点坐标为________． 【答案】 (1,4)-【解析】【分析】根据表中数据的对称性即可得出．【详解】解：根据表中：，2,3x y ==-，0,3x y ==-图象关于对称， ∴0212x +==，1,4x y ==- 它的顶点坐标为，∴(1,4)-故答案是：．(1,4)-【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，解题的关键是利用函数的对程序求解． 17. 如图，已知内接于⊙，，，点是⊙上一点．若ABC O AB AC =42BAC ∠=︒D O BD 为⊙的直径，连接，则的大小为_______．O CD ACD ∠【答案】21° 【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得，根据BD 是直径得69ABC ACB ∠=∠=︒，根据同弧所对的圆周角相等得，则，90BCD ∠=︒42BAC BDC ∠=∠=︒48DBC ∠=︒即可得．【详解】解：∵AB=AC， ∴， 11(180)(18042)6922ABC ACB BAC ∠=∠=︒-∠=⨯︒-︒=︒∵BD 是直径， ∴，90BCD ∠=︒∵，42BAC BDC ∠=∠=︒∴， 180180904248DBC BCD BDC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒∴， 694821ACD ABD ABC DBC ∠=∠=∠-∠=︒-︒=︒故答案为：．21︒【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握这些知识点．18. 如图①，，，，为四个等圆的圆心，A ，B ，C ，D 为切点，请你在图中画出1O 2O 3O 4O 一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是__________；如图②，，，，，为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，1O 2O 3O 4O 5O 请你在图中画出一条直线，将这五个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是__________．【答案】 ①. 过与交点O 的任意直线都能将四个圆分成面积相等的两部分 13O O 24O O ②. ，，，为所求4AO 3DO 2EO 1CO 【解析】【分析】利用中心对称图形进行分析即可．【详解】解：，，如图①（提示：答案不唯一，过与交点O 的任意直线都1O 3O 13O O 24O O 能将四个圆分成面积相等的两部分）；，O ，如图②（提示：答案不唯一，如，，，等均可）．5O 4AO 3DO 2EO 1CO【点睛】本题考查了图形的对称中心,可根据所给的圆的圆心组成的图形的形状进行分析．注意：过中心对称图形的中心的任意一条直线都可以把图形的面积等分．三、解答题19. 解方程：（1）2(1)4x -=（2）2224x x -+=【答案】（1）；（2）123,1x x ==-121,1x x =+=+【解析】【分析】（1）直接利用开方法求解即可；（2）利用配方法及直接开方法进行求解．【详解】解：（1）， 2(1)4x -=，12x -=±解得：，123,1x x ==-（2），2224x x -+=，2213x x -+=，2(1)3x -=，11x x -=-=解得：．121,1x x =+=+【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握直接开方法及配方法．20. 已知抛物线与轴有两个不同的交点.224y x x c =-+x (1)求的取值范围；c (2)若抛物线经过点和点，试比较与的大小，并说明224y x x c =-+()2,A m ()3,B n m n 理由.【答案】(1) 的取值范围是； (2). 理由见解析.c 2c <m n <【解析】【分析】（1）由二次函数与x 轴交点情况，可知△＞0；（2）求出抛物线对称轴为直线x=1，由于A （2，m ）和点B （3，n ）都在对称轴的右侧，即可求解；【详解】(1).()2244816 8b ac c c -=--=-由题意，得，240b ac ->∴16 80c ->∴的取值范围是.c 2c <(2). 理由如下:m n <∵抛物线的对称轴为直线，1x =又∵，20a =>∴当时，随的增大而增大.1≥x y x ∵，∴.23<m n <【点睛】本题考查二次函数图象及性质；熟练掌握二次函数对称轴，函数图象的增减性是解题的关键．21. 如图，将绕点顺时针旋转得，点的对应点恰好落在的延ABC B 60︒DBE C E AB 长线上，连接．AC ，DE 相交于点P ．AD （Ⅰ）求证：△ADB 是等边三角形；（Ⅱ）直接写出∠APD 的度数______．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）60°【解析】【分析】（Ⅰ）根据旋转的性质，以及等边三角形的判定方法即可证明；（Ⅱ）根据旋转的性质，以及三角形内角和定理即可求解．【详解】（Ⅰ）证明：∵△ABC 绕点B 顺时针旋转得到，60︒DBE ∴△ABC≌△DBE，∴ BA = BD ，∠ABD=，60︒∴△ADB 是等边三角形；（Ⅱ）解：∵△ABC≌△DBE，∴∠BAC=∠BDE，∵∠AFB=∠DFP，∴∠BAF+∠ABF =∠FDP+∠APD，∴∠APD=∠ABF=60°，故答案为：60°．．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．22. 如图，已知BC 为⊙O 的直径，BC=5，AB=3，点A 点B 点C 在⊙O 上，∠CAB 的平分线交⊙O 于点D ．（Ⅰ）求的长；AC （Ⅱ）求，的长．BD CD【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ） CD BD =【解析】 【分析】（Ⅰ）根据直径所对的圆周角等于直角，进而根据勾股定理即可求得的长；AC （Ⅱ）根据角平分线的定义可得∠CAD=∠BAD，进而可得，，根据勾股 CDDB =CD BD =定理即可求得，的长．BD CD 【详解】解：（Ⅰ）连接OD ，∵为直径，BC ∴．90CAB BDC ∠=∠=︒在中，Rt CAB △．4AC ===（Ⅱ）∵ 平分，AD CAB ∠∴ ∠CAD=∠BAD，C OD B O D ∴∠=∠ CDDB ∴=∴．CD BD =在中，，，Rt BDC 5BC =222CD BD BC +=∴ BD CD ==【点睛】本题考查了直角所对的圆周角等于直角，等弧所对的圆周角相等，等弧和弦的关系，掌握以上知识是解题的关键．23. 如图所示，菱形ABCD 的两条对角线AC ，BD 相交于点O ，AC +BD=10cm ，菱形面积是12cm 2，求菱形ABCD 的周长．【答案】这个菱形的周长为【解析】【分析】设AC=a cm ，BD=b cm ，其中，根据题意得，求出AC=4，BD=6，a b <101122a b a b +=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩运用勾股定理求出菱形的边长即可得到结论．【详解】解：如图，设AC=a cm ，BD=b cm ，其中，， a b <由题意得，， 101122a b a b +=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩解得，，或（舍去） 46a b =⎧⎨=⎩64a b =⎧⎨=⎩∴AC=4，BD=6，∵菱形ABCD 的两条对角线AC ，BD 相交于点O ，∴AO=2，OD=3，AC⊥BD由勾股定理得由于菱形四条边相等，则该菱形的周长为答：这个菱形的周长为【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理，解题的关键是根据题意列方程组与勾股定理解题．24. 如图，在等腰三角形ABC 中，∠BAC<60°，AB=AC ，D 为BC 边的中点，将线段AC 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AE ，连接BE 交AD 于点F ．（Ⅰ）依题意补全图形；（Ⅱ）①当∠BAC=40°时，直接写出∠AFE 的度数________；②当∠BAC=时，求∠AFE 的度数；α（Ⅲ）用等式表示线段AF ，BF ，EF 之间的数量关系（直接写出结果即可）．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）①60°；②60°；（Ⅲ）．+=AF BF EF 【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意画出图形即可；（Ⅱ）①根据旋转的性质，等腰三角形等边对等角，三角形外角的性质可得结果； ②根据①中计算过程得出结论；（Ⅲ）在上取点，使，连接，即可得出，然后得EF M EM BF =AM ABF AEM ∆≅∆出是等边三角形，即可得出结论．AFM △【详解】解：（Ⅰ）依题意补全图形，如图，（Ⅱ）①，为边的中点，AB AC = D BC ； 1202BAD BAC ∴∠=∠=︒线段绕点逆时针旋转得到线段AC A 60 ,AE ,60.AB AE CAE ∴=∠= ∴，4060=100BAE BAC CAE ∠=∠+∠=︒+︒︒ 18010040.2ABE E ︒-︒∴∠=∠==︒，60AFE ABE BAD ∴∠=∠+∠=︒故答案为：；60②解：，为边的中点，AB AC = D BC ； 1.2BAD BAC ∴∠=∠线段绕点逆时针旋转得到线段AC A 60 ,AE ,60.AB AE CAE ∴=∠=.ABE E ∴∠=∠在中，ABE ∆180120,ABE E BAC CAE ∠+∠+∠=-∠= ()160.2ABE E BAC ∴∠+∠+∠= 即60.ABE BAD ∠+∠=60.AFE ABE BAD ∴∠=∠+∠=︒（Ⅲ）.AF BF EF +=证明：如图，在上取点，使，连接，EF M EM BF =AM ∵,,,AB AE ABF AEM BF EM =∠=∠=∴，ABF AEM ∆≅∆，AF AM ∴=是等边三角形，AFM ∴∆，FM AF ∴=．AF BF EF ∴+=【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，根据题意构造全等三角形是解本题的关键．25. 如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，△OAB 是等腰直角三角形，∠OBA=90°，BO=BA ，顶点A （4，0），点B 在第一象限，矩形OCDE 的顶点E （，0），点C 在y 轴的正72-半轴上，点D 在第二象限，射线DC 经过点B ．（Ⅰ）求点的坐标；B （Ⅱ）将矩形沿轴向右平移，得到矩形，点，，，的对应点OCDE x OCDE ''''O C D E 分别为，，，．设，矩形与重叠部分的面积为． O 'C 'D ¢E 'OO t '=O C D E ''''OAB S ①当时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； 0 3.5t <≤t S t②矩形沿轴向右平移的过程中，求面积的最大值（直接写出结果即可）．OCDE x S【答案】（Ⅰ）（2，2）；（Ⅱ）①当时，；当时，02t <≤212s t =2 3.5t <≤；②． 21(4)42s t =--+6316S =【解析】【分析】（1）过点作，分别计算出OH ，BH 即可得解；B BH OA ⊥（2）①分两种情况计算即可；②当时，面积最大，列出关于t 的二次函数计算即742t <<可；【详解】解：（Ⅰ）如图，过点作，垂足为．B BH OA ⊥H 由点，得． 40A ，（）4OA =∵，，BO BA =90OBA ∠=︒∴． 122OH OA ==∴． 122BH OA ==∴点的坐标为．B 22，（）（Ⅱ）①如图所示：当时，02t <≤∵，，OO t '=45BOA ∠=︒∴，O F t '=∴； 212s t =当时，2 3.5t <≤∵，，，OO t '=45BOA ∠=︒4OA =∴，4O A t '=-∴，4O A O F t ''==-∴； 21(4)42s t =--+②如图所示，当时面积最大， 742t <<此时，，， 72OE E M t '==-'4O A O F t ''==-∴， ()2221711563=S S 44222416OAB OE M AFO S S t t t ''⎛⎫⎛⎫--=----=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 重叠∴当时，． 154t =6316S =【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，平移综合，二次函数最值求解，准确计算是解题的关键．。
2020-2021天津市九年级数学上期中试题带答案
2020-2021天津市九年级数学上期中试题带答案一、选择题1．如图，BC 是半圆O 的直径，D ，E 是»BC上两点，连接BD ，CE 并延长交于点A ，连接OD ，OE ，如果40DOE ∠=︒，那么A ∠的度数为（ ）A ．35°B ．40°C ．60°D ．70°2．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ．D ．3．用配方法解方程2410x x -+=，配方后的方程是 ( )A ．2(2)3x +=B ．2(2)3x -=C ．2(2)5x -=D ．2(2)5x +=4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形 （忽略铁丝的粗细），则所得的扇形DAB 的面积为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 6．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，在Rt ABC V 中，90ACB ∠=o ，60B ∠=o ，1BC =，''A B C V 由ABC V 绕点C 顺时针旋转得到，其中点'A 与点A 、点'B 与点B 是对应点，连接'AB ，且A 、'B 、'A在同一条直线上，则'AA的长为（）A．3B．23C．4D．438．如图，直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于A、B两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD．直线y=kx+c与x轴交于点C（点C在点B 的右侧）．则下列命题中正确命题的是（）①abc＞0；②3a+b＞0；③﹣1＜k＜0；④4a+2b+c＜0；⑤a+b＜k．A．①②③B．②③⑤C．②④⑤D．②③④⑤9．100个大小相同的球，用1至100编号，任意摸出一个球，则摸出的编号是质数的概率是（）A．120B．19100C．14D．以上都不对10．函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的个数为A．1 B．2 C．3 D．411．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）A ．（x+1）（x+2）=18B ．x 2﹣3x+16=0C ．（x ﹣1）（x ﹣2）=18D ．x 2+3x+16=0 12．四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ） A ．AB=CD B ．AB=BC C ．AC ⊥BD D ．AC=BD二、填空题13．如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在x 轴上，∠B ＝120°，OA ＝1，将菱形OABC 绕原点顺时针旋转105°至OA 'B ′C '的位置，则点B '的坐标为_____．14．如图，将Rt ABC V 绕直角顶点C 顺时针旋转90o ，得到DEC V ，连接AD ，若25BAC ∠=o ，则BAD ∠=______．15．如图，五边形ABCD 内接于⊙O ，若AC=AD ，∠B+∠E=230°，则∠ACD 的度数是__________．16．小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角尺，他将直尺、光盘和三角尺按图所示方法放置于桌面上，并量出AB ＝3 cm ，则此光盘的直径是________ cm ．17．母线长为2cm，底面圆的半径为1cm的圆锥的侧面积为__________ cm²．18．女生小琳所在班级共有40名学生，其中女生占60%.现学校组织部分女生去市三女中参观，需要从小琳所在班级的女生当中随机抽取一名女生参加，那么小琳被抽到的概率是．19．已知圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥的侧面积为_____ cm²（结果保留π）．20．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交»AB于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作»CD交OB于点D，若OA=2，则阴影部分的面积为 .三、解答题21．因魔幻等与众不同的城市特质，以及抖音等新媒体的传播，重庆已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一．著名“网红打卡地”磁器口在2018年五一长假期间，接待游客达20万人次，预计在2020年五一长假期间，接待游客将达28.8万人次．在磁器口老街，美食无数，一家特色小面店希望在五一长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗．(1)求出2018至2020年五一长假期间游客人次的年平均增长率；(2)为了更好地维护重庆城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元？22．一个不透明的布袋里装有16个只有颜色不同的球,其中红球有x个,白球有2x个,其他均为黄球,现甲从布袋中随机摸出一个球,若是红球则甲同学获胜,甲同学把摸出的球放回并搅匀,由乙同学随机摸出一个球,若为黄球,则乙同学获胜.(1)当x=3时,谁获胜的可能性大?(2)当x 为何值时,游戏对双方是公平的?23．已知：如图，AB 是⊙O 的弦，⊙O 的半径为10，OE 、OF 分别交AB 于点E 、F ，OF 的延长线交⊙O 于点D ，且AE=BF ，∠EOF=60°．（1）求证：△OEF 是等边三角形；（2）当AE=OE 时，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）24．已知二次函数243y x x =-+.（1）求函数图象的顶点坐标，对称轴和与坐标轴的交点坐标，并画出函数的大致图象. （2）若1122(,),(,)A x y B x y 是函数243y x x =-+图象上的两点，且121x x <<，请比较12y y 、的大小关系（直接写出结果）.25．如图，ABO V 与CDO V 关于O 点中心对称，点E 、F 在线段AC 上，且AF=CE ． 求证：FD=BE ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】连接CD ，由圆周角定理得出∠BDC ＝90°，求出∠DCE ＝20°，再由直角三角形两锐角互余求解即可，【详解】解：连接CD ，如图，∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，∵∠DOE＝40°，∴∠DCE＝20°，∴∠A＝90°−∠DCE＝70°，故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．2．B解析：B【解析】由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形”分析可知，上述图形中，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形.故选B.3．B解析：B【解析】【分析】根据配方法可以解答本题．【详解】x2−4x＋1＝0，（x−2）2−4＋1＝0，（x−2）2＝3，故选：B．【点睛】本题考查解一元二次方程−配方法，解答本题的关键是解一元二次方程的方法．4．B解析：B【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选B．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5．D解析：D【解析】【分析】由正方形的边长为3，可得弧BD的弧长为6，然后利用扇形的面积公式：S扇形DAB=1lr2，计算即可．【详解】解：∵正方形的边长为3，∴弧BD的弧长=6，∴S扇形DAB=11lr=22×6×3=9．故选D．【点睛】本题考查扇形面积的计算．6．C解析：C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．7．A解析：A【解析】【分析】先利用互余计算出∠BAC=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2BC=2，接着根据旋转的性质得A′B′=AB=2，B′C=BC=1，A′C=AC，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，于是可判断△CAA′为等腰三角形，所以∠CAA′=∠A′=30°，再利用三角形外角性质计算出∠B′CA=30°，可得B′A=B′C=1，然后利用AA′=AB′+A′B′进行计算．【详解】∵∠ACB=90°，∠B=60°，∴∠BAC=30°，∴AB=2BC=2×1=2，∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C′，∴A′B′=AB=2，B′C=BC=1，A′C=AC，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，∴△CAA′为等腰三角形，∴∠CAA′=∠A′=30°，∵A、B′、A′在同一条直线上，∴∠A′B′C=∠B′AC+∠B′CA，∴∠B′CA=60°-30°=30°，∴B′A=B′C=1，∴AA′=AB′+A′B′=2+1=3．故选：A．【点睛】考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．8．B解析：B【解析】试题解析：∵抛物线开口向上，∴a＞0．∵抛物线对称轴是x=1，∴b＜0且b=-2a．∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0．∴①abc＞0错误；∵b=-2a，∴3a+b=3a-2a=a＞0，∴②3a+b＞0正确；∵b=-2a，∴4a+2b+c=4a-4a+c=c＞0，∴④4a+2b+c＜0错误；∵直线y=kx+c经过一、二、四象限，∴k＜0．∵OA=OD，∴点A的坐标为（c，0）．直线y=kx+c当x=c时，y＞0，∴kc+c＞0可得k＞-1．∴③-1＜k＜0正确；∵直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象有两个交点，∴ax2+bx+c=kx+c，得x1=0，x2=k b a -由图象知x2＞1，∴k ba-＞1∴k＞a+b，∴⑤a+b＜k正确，即正确命题的是②③⑤．故选B．9．C解析：C【解析】解答：在1到100这100个数中，是质数的是：2，3 ，5，7，11，13，17，19，23，29，31 ，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，共25个，所以摸出的编号是质数的概率是2511004=，故选C．点睛: 本题关键是清楚1到100这一范围内有几个质数，特别注意的是1既不是质数，又不是合数.10．B解析：B【解析】分析：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4c＜0；故①错误。