算法分析作业

• ② 证明即使作业有不同的处理时间定理5.3 亦真。这里，假定作业i的效益pi>0，要用 的处理时间ti>0，限期di≥ti.
பைடு நூலகம்
P123-8
• 解：①根据pi的非增排序得到（p7, p3, p4, p6, p2, p1, p5）=(30,20,18,6,5,3,1)，对应的 期限为(2,4,3,1,3,1,2)，按照算法5.4生成的
P123-8
• 证明思想：
– <= – => 位置a,b的作业交换顺序
• 作业ra和rb仍然可以完成任务 • 作业ra和rb之间的作业也能够完成任务
P123-8
证明：显然即使ti>0（di≥ti），如果J中的作业可以 按照的次序而又不违反任何一个期限来处理，
k
即对次序中的任一个作业k，应满足dk ≥
ERT’ -ERT’’ =(fjk+1ljk – fjkljk+1)/(fi1+..+fin)>0，既 有ERT’’ ≤ERT’，显然ERT’’也是最优解。
• 最优解中所有这样类似于反序对的程序互换位 置，每次得到的解不比原来的最优解差，所以 最终变换后得到的解也是最优解，而最终的解 恰是程序按fi/li的非增次序来存放得到的顺序。
• 证： 取{l1 , l2 , l3} = {1，3，4}
– 按l1 ≤ l2 ≤ l3次序得到A={1,4},B={3}，最大值是5 – 若令A={1,3},B={4}，最大值是4.这种方式更优。 – 故命题得证。
• 证明：按照l1 ≥ l2 ≥ … ≥ ln不一定产生最优解
• 证： 取{l1 , l2 , l3 , l4 , l5} = {10，9，8，6，5}
能装的进就将其装入背包。证明这种策略
不一定能得到最优解。
P122-3
• 证明： – 按照pi/wi的非增次序考虑物品放入背包，如 果从大到小连续放入且能装满背包时，显然 为最优解。 – 否则未必是最优解.
P122-3
– 可举例如下： 设n=3，M=6， （p1,p2,p3）=(3,4,8)，（w1,w2,w3）=(1,2,5)
按照pi/wi 的非增序得到 （p1/w1,p2/w2,p3/w3）=(3,2,1.6)， 则其解为（1,1,0），而事实上最优解是
(1,0,1) 。 问题得证。
P122- 6．
• 假定要将长为l1,l2,…,ln的n个程序存入一盘 磁带，程序i被检索的频率是fi。如果程序按 i1,i2,…,in的次序存放，则期望检索时间 （ERT）是:
• 假设该问题的一个最优解是按照j1,j2,…,jn的顺
序存放，并且其期望检索时间是ERT’，我们
只需证明ERT≤ERT’，即可证明按照fi/li的非增 次序存放得到的是最优解。
• 从前向后考察最优解序列：j1,j2,…,jn，若与 i1,i2,…,in相同，命题得证。
• 否则，不妨设程序jk是第一个与其相邻的程序 jk+1存在关系fjk/ljk<fjk+1/ljk+1，交换程序jk和程序 jk+1，得到的期望检索时间记为ERT’’。
w2 3 5 7 14 1
p/w 5 5/3 3 1 6 9/2 3
x 1 2/3 1 • n=7，m=15
11 1
• 根据贪心（x5,x1,x6,x3,x7,x2,x4）=（1,1,1,1,1,2/3,0） 即(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=(1,2/3,1,0,1,1,1 )
• FO(I)=166/3。
j
[ (fij lik)]/ fi
j
k1
• ① 证明按li的非降次序存放程序不一定得到 最小的ERT。
• ② 证明按fi的非增次序存放程序不一定得到 最小的ERT。
• ③ 证明按fi/li的非增次序来存放程序时ERT 取最小值。
P122- 6． ① 证明按li的非降次序存放程
序不一定得到最小的ERT。
P122-3．
• （0/1背包问题）如果将5.3节讨论的背包问
题修改成 极大化 约束条件
n
pixi
1
n
wi xi M 1
xi=0或1 1≤i≤n
• 这种背包问题称为0/1背包问题。它要求物
品或者整件装入背包或者整件不装入。求
解此问题的一种贪心策略是：按pi/wi的非增 次序考虑这些物品，只要正被考虑的物品
t
j1 j
，则J就是一个可行解。
下面证明如果J是可行解， =i1i2…ik使得J中的作业 可以按照di1≤di2≤…≤din 序列排列而又不违反任何 一个期限。
• J是可行解，则必k 存在’=r1r2…rn，使得对任意的
rk，都有
drk
≥
j1
trj
，
• 我们设是按照di1≤di2≤…≤din排列的作业序列。
F(0) F(1) F(2) F(3) F(4)
01234
01234
-1 -1 -1 -1 -1
空
01
34
F(0) F(1) F(2) F(3) F(4)
-1 -2
-1 -1
{7}
01134
2
1
F(0) F(1) F(2) F(3) F(4) 01133
• ① 对于5.3节的作业排序问题证明：当且仅 当子集合J中的作业可以按下述规则处理时 它表示一个可行解；如果J中的作业I还没分 配处理时间，则将它分配在时间片[a-1，a] 处理，其中a是使得1≤r≤di的最大整数r，且 时间片[a-1，a]是空的。
• ② 仿照例5.4的格式，在习题8①所提供的 数据集上执行算法5.5。
为drb≤dra，而显然二者之间的所有作业rt，都有
drb≤drt，又由于’是可行解k ，所以 ，所以作业ra
和rb交换后，仍满足
drt
≥
j1
trj
，
即所有作业可依新产生的排列’’=s1s2…sn的次
序处理而不违反任何一个期限
• 连续使用这种方法，’就可转换成且不违反任何 一个期限，定理得证。
P123-9
P123-9
• 易证如果J中的作业能按上述规则处理，显然J是 可行解；
• 如果J是可行解，根据定理5.3可知，J中的作业根 据时间期限的非降次序排列，得到i1i2…ik …in ， 并且按照这个顺序，可以处理J中所有作业，而对 这一序列中的任意作业ik，如果它的时间期限是dk， 且时间片[dk-1,dk]是空的，则分配之；若时间片 [dk-1，dk]非空，则向前找最大的非空[r-1,r]时间片， 1≤r≤dk。因为J是可行解，所以一定可以找到如此 时间片。故命题得证。
• ERT(I)=2*0.6+(2+1)*0.4=2.4 • ERT(I’)=1*0.4+(1+2)*0.6=2.2
P122 - 6． ③ 证明按fi/li的非增次序来存放程序
时ERT取最小值。
• 假设i1,i2,…,in按照fi/li的非增次序存放，即 fi1/li1≥fi2/li2≥…≥fin/lin，则得到 ERT=[fi1li1+fi2(li1+li2)+…+fik(li1+li2+…+lik)+…+fin (li1+li2+…+lin)]/(fi1+..+fin)
• ERT ’ = [fj1lj1+…+fjk(lj1+lj2+…+l jk-1 +ljk) + fjk+1(lj1+lj2+…+ljk+ljk+1)+…+fjn(lj1+…+ljn)]/(fj1+..+fjn) • ERT ’ ’ = [fj1lj1+…+fjk+1(lj1+lj2+…+l jk-1 +ljk+1) + fjk(lj1+lj2+…+ljk+1+ljk)+…+fjn(lj1+…+ljn)]/(fj1+..+fjn)
– 按l1≥ l2 ≥ l3 ≥ l4 ≥ l5次序得到 A={10,6,5},B={9,8}，最大值是21.
– 若令A={10,9},B={8,6,5}，最大值是19. 这种方式更优。
– 故命题得证。
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• ① 当n=7，（p1 ,…, p7） =(3,5,20,18,1,6,30) 和 (d1,…,d7)=(1,3,4,3,2,1,2)时，算法5.4所生 成的解是什么？
解为：
k
J
D(J(r))，r=1..k
17
2
2 7,3
2,4
3 7,4,3
2,3,4
4 6,7,4,3
1,2,3,4
P123-8
• ② 证明即使作业有不同的处理时间定理5.3 亦真。这里，规定作业i的效益pi>0，要用 的处理时间ti>0，限期di≥ti.(P106)
• 定 J是中理一作5个业.3可:的设行一J解是种,K当排个且序作仅,它业当使的J中得集d的合i1作≤, d业i2=≤可i…1i2以≤…d按iikk是.照J 的次序又不违反任何一个期限的情况下来 处理.
• FO(I)/ FG(I)=166/141
i 1 2 3 4 56 7
p 10 5 15 7 6 18 3
w2 3 5 7 14 1
x 1 1 4/5
11 1
• 物品按wi的非降次序：n=7，m=15
• 根据贪心（x5,x7,x1,x2,x6,x3,x4）=（1,1,1,1,1,4/5,0）