2019届高考数学(文科)江苏版1轮复习练习：第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 3 第3讲

1．(2018·无锡质检)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(5，－3)，则a ·b 的值为________． [解析] 因为a ·b ＝(2，1)·(5，－3)＝10－3＝7. [答案] 72．等边三角形ABC 的边长为1，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，那么a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________． [解析] 由题意知|a |＝|b |＝|c |＝1，且a 与b 的夹角为120°，b 与c 的夹角为120°，c 与a 的夹角也为120°.故a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－32.[答案] －323．已知|a |＝3，|b |＝4，且a 与b 不共线，若向量a ＋k b 与a －k b 垂直，则k ＝________． [解析] 因为(a ＋k b )⊥(a －k b )， 所以(a ＋k b )·(a －k b )＝0， 即|a |2－k 2|b |2＝0.又因为|a |＝3，|b |＝4，所以k 2＝916，即k ＝±34.[答案] ±344．如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM →·AN →的最大值为________．[解析] 由平面向量的数量积的几何意义知，AM →·AN →等于AM →与AN →在AM →方向上的投影之积，所以(AM →·AN →)max ＝AM →·AC →＝⎝⎛⎭⎫12AB →＋AD →·(AB →＋AD →)＝12AB →2＋AD →2＋32AB →·AD →＝9.[答案] 95．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.[解析] 由题意得：c ·a |c ||a |＝c ·b |c ||b |⇒c ·a |a |＝c ·b |b |⇒5m ＋85＝8m ＋2025⇒m ＝2.[答案] 26．(2018·南通市高三第一次调研测试)在△ABC 中，若BC →·BA →＋2AC →·AB →＝CA →·CB →，则sin A sin C的值为________． 解析：由BC →·BA →＋2AC →·AB →＝CA →·CB →，得2bc ×b 2＋c 2－a 22bc ＋ac ×a 2＋c 2－b 22ac ＝ab ×a 2＋b 2－c 22ab ，化简可得a ＝2c .由正弦定理得sin A sin C ＝ac ＝ 2.答案： 27．(2018·南京高三模拟)在凸四边形ABCD 中，BD ＝2，且AC →·BD →＝0，(AB →＋DC →)·(BC →＋AD →)＝5，则四边形ABCD 的面积为________．解析：(AB →＋DC →)·(BC →＋AD →)＝(CB →－CA →＋DC →)·(DC →－DB →＋AD →)＝(DB →＋AC →)·(AC →－DB →)＝AC 2→－DB 2→＝5，即AC 2－BD 2＝5.因为BD ＝2，所以AC ＝3，所以四边形ABCD 的面积为12AC ×BD ＝12×2×3＝3.答案：38．(2018·台州月考)平面向量a ，b 满足|a |＝2，|a ＋b |＝4，且向量a 与向量a ＋b 的夹角为π3，则|b |为________． [解析] 因为向量a 与向量a ＋b 的夹角为π3，所以cos π3＝（a ＋b ）·a |a ＋b |·|a |＝a 2＋a ·b |a ＋b |·|a |＝4＋a ·b 4×2，解得a ·b ＝0，即a ⊥b .所以|a |2＋|b |2＝|a ＋b |2 ，从而解得，|b |＝2 3.[答案] 2 39．在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝6，O 为BC 的垂直平分线上一点，则AO →·BC →＝________． [解析] 取BC 边的中点D ，连结AD ，则AO →·BC →＝(AD →＋DO →)·BC →＝AD →·BC →＋DO →·BC →＝AD →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝12(62－102)＝－32.[答案] －3210．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________．[解析] 法一：以点A 为原点，AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (0，1)，又E 在AB 边上，故设E (t ，0)，t ∈[0，1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1. 因为DC →＝(1，0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1，0)＝t ， 又t ∈[0，1]， 故DE →·DC →的最大值为1.法二：由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，所以DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大即为DC ＝1， 所以(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1. [答案] 1 111.如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →. (1)如果BP →＝2P A →，求x ，y 的值；(2)如果BP →＝3P A →，|OA →|＝4，|OB →|＝2，且OA →与OB →的夹角为60°时，求OP →·AB →的值．[解] (1)由BP →＝2P A →，所以OP →－OB →＝2(－OP →＋OA →)， 即3OP →＝2OA →＋OB →，所以x ＝23，y ＝13.(2)OP →＝OB →＋BP →＝OB →＋34BA →＝OB →＋34(OA →－OB →)＝34OA →＋14OB →，AB →＝OB →－OA →，所以OP →·AB →＝⎝⎛⎭⎫34OA →＋14OB →·(OB →－OA →) ＝－34OA →2＋14OB →2＋12OA →·OB →＝－9.12．已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．[解] (1)证明：因为m ∥n ，所以a sin A ＝b sin B ， 即a ·a 2R ＝b ·b2R ，其中R 是三角形ABC 外接圆的半径，所以a ＝b .所以△ABC 为等腰三角形．(2)由题意可知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0. 所以a ＋b ＝ab .由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 即(ab )2－3ab －4＝0， 所以ab ＝4(舍去ab ＝－1)， 所以S ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.1．已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．解析：a 与b 的夹角为锐角，则a ·b ＞0且a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧3λ2＋4λ＞0，2λ－6λ2≠0，解得λ＜－43或0＜λ＜13或λ＞13，所以λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪⎝⎛⎭⎫0，13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪⎝⎛⎭⎫0，13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 2．(2018·江西省师大附中联考)在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP →·CB →＋CP →·CA →＝________.解析：建立如图所示的直角坐标系，则A (2，0)，B (0，2)，P 1⎝⎛⎭⎫23，43， P 2⎝⎛⎭⎫43，23，所以CP 1→＝⎝⎛⎭⎫23，43，CP 2→＝⎝⎛⎭⎫43，23，CB →＝(0，2)，CA →＝(2，0)，所以CB →＋CA →＝(2，2)． 故CP 1→·CB →＋CP 1→·CA →＝CP 1→·(CB →＋CA →) ＝⎝⎛⎭⎫23，43·(2，2)＝43＋83＝4， CP 2→·CB →＋CP 2→·CA →＝CP 2→·(CB →＋CA →) ＝⎝⎛⎭⎫43，23·(2，2)＝83＋43＝4. 答案：43.如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．解析：因为AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝AD →－34AB →，所以AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋14AB →·⎝⎛⎭⎫AD →－34AB →＝|AD →|2－316|AB →|2－12AD →·AB →＝2，将AB ＝8，AD ＝5代入，解得AD →·AB →＝22.答案：224．(2018·苏锡常镇四市高三调研)在△ABC 中，已知AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，若点P 满足AP →＝AB →＋λAC →，且BP →·CP →＝1，则实数λ的值为________．解析：由题意可得AB →·AC →＝1×2×12＝1，AB →·AP →＝AB →2＋λAB →·AC →＝1＋λ，AP →·AC →＝1＋4λ，AP 2→＝AB 2→＋2λAB →·AC →＋λ2AC 2→＝4λ2＋2λ＋1，又BP →·CP →＝1，则(AP →－AB →)·(AP →－AC →)＝AP 2→－AP →·AC →－AP →·AB →＋AB →·AC →＝1，代入化简得4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝－14或λ＝1.答案：－14或15．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1，2)，又点A (8，0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2.(1)若AB →⊥a ，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →；(2)若向量AC →与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求OA →·OC →.解：(1)由题设知AB →＝(n －8，t )，因为AB →⊥a ，所以8－n ＋2t ＝0.又因为5|OA →|＝|AB →|，所以5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，得t ＝±8. 当t ＝8时，n ＝24；t ＝－8时，n ＝－8， 所以OB →＝(24，8)，或OB →＝(－8，－8)． (2)由题设知AC →＝(k sin θ－8，t )，因为AC →与a 共线，所以t ＝－2k sin θ＋16， t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ＝－2k ⎝⎛⎭⎫sin θ－4k 2＋32k . 因为k >4，所以1>4k>0，所以当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k .由32k ＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，OC →＝(4，8)． 所以OA →·OC →＝(8，0)·(4，8)＝32.6．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m ·n ＝sin 2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求c 边的长． 解：(1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )，对于△ABC ，A ＋B ＝π－C ，0＜C ＜π， 所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以m ·n ＝sin C ，又m ·n ＝sin 2C ， 所以sin 2C ＝sin C ，cos C ＝12，C ＝π3.(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，可得 2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得2c ＝a ＋b . 因为CA →·(AB →－AC →)＝18，所以CA →·CB →＝18， 即ab cos C ＝18，ab ＝36.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝(a＋b)2－3ab，所以c2＝4c2－3×36，c2＝36，所以c＝6.。