一轮复习：三角恒等变换
第4节 三角恒等变换--2025高中数学一轮复习课件基础版(新高考新教材)
(3)通过变换,产生分子分母可约分的项,约分求值.
[对点训练
1
A.2
110° 250°
2](1)(2024·广东茂名模拟) 2
的值为(
2
25°- 155°
1
3
3
B.
C.
D.2
2
2
A )
1sin140° 1sin40°
-sin70°cos70°
6
6
6
cos2 (+ )-sin2 (+ )
π
αsin(α+ ),
6
考向 3
给值求角
3
4(2024·湖北襄阳模拟)已知 ≤α≤π,π≤β≤ ,sin
4
2
例
β-α=( C )
3
A. 或
4
4
B.
4
3
C.
4
4
2
2α= ,cos(α+β)=- ,则
5
10
5
D.
4
π
π
4
π
3
解析 因为 ≤ ≤π,所以 ≤2α≤2π.又 sin 2α= >0,则 <2α<π,故 cos 2α=- .
1+cos(2- )
4
2
2
3
1+
π
2
所以 tan (α-4)= 34=7.
14
规律方法
三角函数给值求值问题的基本步骤
(1)先化简所求式子或已知条件;
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数的名及角入手);
(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.
第四讲+简单的三角恒等变换 课件——2025届高三数学一轮复习
【题后反思】(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求 角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时，“所求角”一 般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一 个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系.
(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β， β＝α＋2 β－α－2 β，α＝α＋2 β＋α－2 β，α－2 β＝α＋β2－α2＋β等.
1－cos α 2.
(2)cos α2＝± (3)tan α2＝±
1＋cos α 2.
1－cos 1＋cos
αα＝1＋sicnoαs
α＝1－sincoαs
α .
以上称之为半角公式，符号由α2所在象限决定.
考点一 三角函数式的化简 1.化简：22tcaonsπ44x－－x2scions22π4x＋＋12x＝________.
2025年高考一轮总复习
第三章 三角函数、解三角形
第四讲 简单的三角恒等变换
1.辅助角公式的应用 (1)a sin α＋b cos α＝ a2＋b2sin α· a2a＋b2＋cos α· a2b＋b2， 不妨记 cos φ＝ a2a＋b2，sin φ＝ a2b＋b2， 则 a sin α＋b cos α＝ a2＋b2(sin αcos φ＋cos αsin φ)＝ a2＋b2sin (α＋φ).
答案：B
考向 3 给值求角
[例 3]已知 α，β∈(0，π)，且 tan(α－β)＝21，tan β＝－17，则 2α－β 的值为________.
解析：∵tan α＝tan [(α－β)＋β]＝1t－ant(aαn－(αβ－)＋β)ttaannββ ＝1＋12－12×17 17＝13＞0， ∴0＜α＜π2.
2025年高考数学一轮复习-4.3-三角恒等变换【课件】
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）两角和与差的正弦、余弦公式中的角 ， 是任意角.( )
√
（2）两角和与差的正切公式中的角 ， 是任意角.( )
×
（3）存在实数 ， ，使等式 成立.( )
√
2.（人A必修第一册 例4（1）变条件） ( )
A. B. C. D.
解析：选C.原式 .
√
3.（人A必修第一册 练习 变条件）若 , ,则 的值为( )
A. B. C. D.
解析：选C.因为 ,所以 ,所以 ,则 .故选C.
√
4.若角 的终边在第四象限，且 ，则 __.
解析：由题可知， ,所以 ,则 ,所以 .
5. 的值为_ __.
解析： .
1.公式的常用变形 ， 1 ,1 , .若 ，则 .
2.升幂、降幂公式1 , . , .
【用一用】
1.已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
解析：选C.原式 .故选C.
√2.求值： ____.解析：因为 .所以 .
考点考法：三角函数的恒等变换，主要依据三角函数的有关公式进行适当的化简，属于中档题，三角恒等变换的综合应用是高考的重点，难度中等.核心素养：直观想象、逻辑推理、数学运算
必备知识 自主排查
必备知识 自主排查
01
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
[提醒] 二倍角公式实际就是由两角和公式中令 所得.逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现.
4.3 三角恒等变换
课标要求
考情分析
1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余、正切公式，了解它们的内在联系.3.能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.
2024届新高考一轮复习人教B版 主题二 第四章 第3节 三角恒等变换 课件(38张)
又因为 < <π,所以原式=-cos .
答案:-cos
3.化简:
- +
=
( -) ( +)
( - +)
( -)
·
· ( -)
( -)
解析:原式=
=
=
(3)tan 2α=
.
-
1.常用拆角、拼角技巧:例如,2α=(α+β)+(α-β);α=(α+β)-β=(α-β)+β;
β=
+ -
-
=(α+2β)-(α+β);α-β=(α-γ)+(γ-β);15°=45°-30°; +α=
-( -α)等.
2.辅助角公式
=
- °
×°
- °
= ×tan 30°= × = .
3.
°- °
等于(
°
A.-
C.
B.-1
解析:原式=2×
=2×
D
)
D.1
°-°°
°
(°+°)-°°
三角函数式的求值
给角求值
[例 1] (1)
° °
解析:(1)原式=
=
=
=
-
( °-
=
.
°- °
2025届高三数学一轮复习课件-+简单的三角恒等变换
)
A．π 3
B．5π 12
C．π6
D．π4
解析 ∵0<α<π2，0<β<π2，∴0<α＋β<π，由 cosα＝17，sin(α＋β)＝5143，得 sinα＝473，
cos(α＋β)＝±1114.若 cos(α＋β)＝1114，则 sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋
解析
sinα －
3
cosα
＝
2
12sinα－
3
2
cosα
＝
2sin
α－π3
＝
m
－
1
，
因
为
－
1≤sinα－π3≤1，所以－2≤2sinα－π3≤2，所以－2≤m－1≤2，解得－1≤m≤3，
则 m 的取值范围是[－1，3]．
课堂小结（1分钟）
【通性通法】 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通常是 把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化 后函数的性质．在这个过程中通常利用辅助角公式，将 y＝asinx＋bcosx 转化为 y＝ Asin(x＋φ)或 y＝Acos(x＋φ)的形式，以便研究函数的性质，解题时注意观察角、函 数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．
因为 x∈π4，32π，所以 x－71π2∈－π3，1112π，
所以 sinx－71π2∈－ 23，1，
所以－ 22sinx－71π2∈－ 22， 46，
即函数
f(x)在区间π4，32π上的最大值为
46，最小值为－
2 2.
(2)因为 cosθ＝45，θ∈32π，2π， 所以 sinθ＝－35，所以 sin2θ＝2sinθcosθ＝－2245， cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝1265－295＝275， 所以 f2θ＋π3＝－ 22sin2θ＋π3－71π2 ＝－ 22sin2θ－π4＝－12(sin2θ－cos2θ) ＝12(cos2θ－sin2θ)＝12×275＋2245＝3510.
2025年高考数学一轮复习-5.3.2-简单的三角恒等变换【课件】
因为由二倍角公式可知:cos
因为tan
1+cos
2
2
θ=2cos -1,所以cos =
,因此(3)错误;
2
2
2
sin 2 2sin 2 cos 2
sin
sin 2 2sin 2 cos 2 1−cos
= =
,tan = =
,所以(4)正确.
=
=
2
2
2 cos
π
提醒:以上变换,结合二倍角公式可将2x的三角函数与 ±x的三角函数联系在一起.
4
角度3
给值求角
[例4](1)已知α为锐角,且sin α·( 3-tan 10°)=1,则α= 40°
【解析】由已知得sin α=
=
cos10°
=
sin80°
2sin50° 2sin50°
1
3−tan10°
2sin40°cos40°
考向
高考命题常以角为载体,考查二倍角公式、升幂降幂公式、半角公
考法
式;三角函数求值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.
预测
高考可能单独考查,也可能与三角函数的图象与性质、向量等知识
综合考查,选择题、填空题、解答题中均有可能出现.
必备知识·逐点夯实
知识梳理·归纳
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式
−
(2cos2 −1)2
cos2 2
=
=
π
π
π
4sin( 4 −)cos( 4 −) 2sin( 2 −2)
cos2 2 1
=
= cos
2cos2 2
2023版高考数学一轮总复习4-2三角恒等变换习题
4.2 三角恒等变换基础篇 固本夯基考点 三角恒等变换1.(2022届昆明第一中学检测,4)√3sin15°+sin75°=( ) A.1 B.√2 C.√2+√64D.2答案 B2.(2022届湘豫名校联盟11月联考,4)已知sin 4α-cos 4α=13,α∈(0,π2),则cos (2α+π4)=( )A.4+√26B.4−√26C.-4+√26D.-4-√26答案 D3.(2020课标Ⅲ,9,5分)已知2tanθ-tan (α+π4)=7,则tanθ=( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 答案 D4.(2019课标Ⅱ,10,5分)已知α∈(0,π2),2sin2α=cos2α+1,则sinα=( )A.15 B.√55C.√33D.2√55答案 B5.(2020课标Ⅰ,9,5分)已知α∈(0,π),且3cos2α-8cosα=5,则sinα=( ) A.√53B.23C.13D.√59答案 A6.(2021成都二诊,5)已知sin(α+β)=23,sin(α-β)=13,则tan αtan α的值为( ) A.-13B.13C.-3D.3答案 D7.(2021河南六市二模,7)将射线y=43x(x≥0)按逆时针方向旋转角θ到射线y=-512x(x≤0)的位置,则cosθ=( )A.-1665 B.±1665 C.-5665 D.±56658.(2021江西三校联考一,8)sin (π6+α)=√24,则sin (π6-2α)=( )A.-34B.34C.√74D.√24 答案 B9.(2022届黑龙江龙东四校联考,14)若cos(α-β)=12,cos(α+β)=35,则tanαtanβ= . 答案 -11110.(2022届河南期中联考,15)已知α∈(π,2π),cosα-3sinα=1,则cos α2= . 答案 -√101011.(2020江苏,8,5分)已知sin 2(π4+α)=23,则sin2α的值是 . 答案 1312.(2018课标Ⅱ,15,5分)已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)= . 答案 -12综合篇 知能转换考法 三角函数式的化简、求值1.(2021全国甲,9,5分)若α∈(0,π2),tan2α=cos α2−sin α,则tanα=( ) A.√1515 B.√55 C.√53 D.√153答案 A2.(2022届广西柳州铁一中“韬智杯”大联考,7)已知sin (α+π3)=13,则sin (2α+π6)的值为 ( )A.79 B.13 C.-13 D.-79 答案 D3.(2022届湖南名校10月联考,8)若α∈(π2,π),√2cos2α+sin (2021π4-α)=0,则tan2α=( ) A.3√77B.√74C.±3√77D.±√744.(2020河南名校联盟质检,9)若cos (α+π3)=-13(0<α<π2),则sin (2α+5π12)的值为( ) A.7√2+825B.7√2-818C.-17√250D.7√2-85答案 B5.(2021甘肃永昌一中期末,7)公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割比约为0.618,这一数值也可以表示为m=2sin18°,若m 2+n=4,则α√α2cos 227°−1=( )A.8B.4C.2D.1 答案 C6.(2019江苏,13,5分)已知tan αtan (α+π4)=-23,则sin (2α+π4)的值是 .答案√2107.(2020合肥八校联考一,16)已知角α∈(π,32π),β∈(0,π2),且满足tanα=1+sin αcos α,则β=(用α表示). 答案 2α-52π8.(2018江苏,16,14分)已知α,β为锐角,tanα=43,cos(α+β)=-√55.(1)求cos2α的值; (2)求tan(α-β)的值.解析 (1)因为tanα=43,tanα=sin αcos α,所以sinα=43cosα.因为sin 2α+cos 2α=1,所以cos 2α=925,所以cos2α=2cos 2α-1=-725.(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π).又因为cos(α+β)=-√55,所以sin(α+β)=√1−cos 2(α+β)=2√55,因此tan(α+β)=-2.因为tanα=43,所以tan2α=2tan α1−tan 2α=-247.因此tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]=tan2α-tan(α+α)1+tan2αtan (α+α)=-211.9.(2022届黑龙江八校期中,19)已知向量m=(2,sinα),n=(cosα,-1),其中α∈(0,π2),且m⊥n.(1)求sin2α和cos2α的值; (2)若sin(α-β)=√1010,且β∈(0,π2),求β.解析 (1)∵m⊥n,∴2cosα-sinα=0,即sinα=2cosα,代入cos 2α+sin 2α=1,得5cos 2α=1,又α∈0,π2,则cosα=√55,sinα=2√55,则sin2α=2sinαcosα=2×√55×2√55=45,cos2α=2cos 2α-1=2×(√55)2-1=-35.(2)∵α∈(0,π2),β∈(0,π2),∴α-β∈(-π2,π2).又sin(α-β)=√1010,∴cos(α-β)=√1−sin 2(α-β)=3√1010.∴sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)=2√55×3√1010-√55×√1010=√22.又β∈(0,π2),∴β=π4.应用篇 知行合一应用 三角函数在实际问题中的应用1.(2020河南、江西、湖南三省部分重点中学4月联考,7数学文化)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有一个“引葭赴岸”问题:“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深、葭长各几何?”其意思为“今有水池1丈见方(即CD=10尺),芦苇生长在水的中央,长出水面的部分为1尺.将芦苇向池岸牵引,恰巧与水岸齐接(如图所示).试问水深、芦苇的长度各是多少?”设θ=∠BAC,现有下述四个结论:①水深为12尺;②芦苇长为15尺; ③tan α2=23;④tan (α+π4)=-177. 其中所有正确结论的编号是( ) A.①③ B.①③④C.①④D.②③④答案 B2.(2021陕西渭南一模,9数学成就)我国古代数学家赵爽利用弦图巧妙地证明了勾股定理,弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果内部小正方形的内切圆面积为π4,外部大正方形的外接圆半径为5√22,直角三角形中较大的锐角为α,那么tanα2= ( )A.13B.23C.34D.12答案 D。
2024届新高考一轮总复习人教版 第四章 第3节 第2课时 简单的三角恒等变换 课件(24张)
α22－csoins
2α)·(1＋csoins 2
αα·csoins
2 α) 2
＝cos2α2α－sinα2α2·cos αcos
α2＋sin αsin α
α 2＝2scionsαα·
cos
α 2
α＝sin2 α.
sin 2cos 2
cos αcos 2
cos αcos 2
答案：sin2 α
【思维升华】 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式 子结构与特征．
【考点集训】
1．(2022·全国新高考Ⅱ)若 sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2 2cos (α＋π4)sin β，则( )
A．tan (α－β)＝1
B．tan (α＋β)＝1
C．tan (α－β)＝－1
D．tan (α＋β)＝－1
解析：由已知等式，得 sin αcos β＋sin βcos α＋cos αcos β－sin αsin β＝2
)
A．74π
B．94π
C．54π或74π
D．54π或94π
解析：∵α∈π4，π∴2α∈π2，2π.
∵sin
2α＝
55，∴2α∈π2，π，∴α∈π4，π2，cos
2α＝－2
5
5 .
∵β∈π，32π，∴β－α∈π2，54π，∴cos (β－α)＝－31010，
∴cos (α＋β)＝cos [2α＋(β－α)]＝cos 2αcos (β－α)－sin 2αsin (β－α)
第四章 三角函数
考点 1 三角函数式的化简 【考点集训】
1．(多选)当 3π<α<4π，化简
1＋sin 2
α－
1－sin 2
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专题二：三角恒等变换
一、高考命题分析：
从近几年的高考考查的方向来看，这部分的高考题以选择、解答题出现的机会较多，有时候也以填空题的形式出现，它们经常与三角函数的性质、解三角形及向量联合考查，主要题型有三角函数求值，通过三角式的变换研究三角函数的性质。
二、知识点总结
三、典例分析
题型一给角（式）求值
例题1、（1）
33
cos cos sin sin
510510
ππππ
-（2
）sin
1212
ππ
-
（3）
tan20tan50
tan20tan(50)1
-
--
（4
）tan50tan20tan50tan20
3
--
相除相除
变形公式
用
2
α
换α
跟进练习1.sin 7cos37sin83cos53-
的值是（ ）
A.12-
B.12
2.求值：sin17cos17+
=_________. 3.1cos1522
+
的值_____. 题型二 给值求值（角）
例题2、已知α、β为锐角，且sin α=，11cos()14αβ+=-，求sin β及β的值.
例3、已知向量(cos ,sin )a αα= ，(cos ,sin )b ββ=
，a b -= （1）求cos()αβ-的值；（2）若022ππβα-<<<<，且5
sin 13
β=-，求sin α的值.
跟时练习1.已知3sin()5πα+=-
，1
tan 2
β=，α为第二象限角，则tan()αβ-=___.
2.已知△ABC 中，cos A =
,cos B =C=___________. 3.如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆相交于A ，
B 两点，已知A ，B 。
（1） 求tan()αβ+的值； （2） 求2αβ+的值.
题型三 综合应用
例4、已知函数2()sin cos cos 2.222
x x x
f x =+- （1）将函数()f x 化简成sin()(0,0,[0,2))A x B A ωϕϕϕπ++>>∈的形式，并指出()f x 的周期；
（2）求函数17()[,]12
f x π
π在上的最大值和最小值.
跟时练习1.已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x π
ππ
=-
+-+
（1）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程； （2）求函数()f x 在区间[,]122
ππ
-上的值域.
跟进训练
一、选择题：
1.【2013高考真题】若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，sin 2=
8θ，则sin θ=（ ）
（A ）
35 （B ）45 （C （D ）34
2.【2014辽宁】已知sin cos αα-α∈(0，π)，则tan α=（ ）
(A) -1 (B) (C) (D) 1 3.【2013高考江西】若tan θ+
1
tan θ
=4,则sin2θ=（ ） A ．15 B. 14 C. 13 D. 12
4.【2014高考湖南】函数f （x ）=sinx-cos(x+
6
π
)的值域为（ ）
A ．]
5.【2014高考全国卷】已知α为第二象限角，3
3
cos sin =
+αα，则cos2α=
(A) -
3 （B ）-9 (C) 9 (D)3
6.3sin )x x x ϕ=+，(,)ϕππ∈-，则ϕ的值是（ ）
A.6π
-
B.
6
π C.56π- D.56π
97. 已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则tan 2α的值为（ ）
A. 47-
B. 47
C. 18
D. 18-
8. 13sin ,,22222
ππ
αβαπβπ==<<<<,则sin()αβ+的值为（ ）
B. －1
C.
D. 12-
9.已知α、β都是锐角，4sin 5α=，5
cos()13
αβ+=，则cos β的值为（ ）
A.6365
B.5665
C.3365
- D.4765
10. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于5
4
，则这个三角形底角的正弦值为（ ）
A. 1010
B. 1010-
C. 10
10
3 D. 10103-
11.在ABC 中，已知2cosBsinA=sinC,那么ABC 一定是（ ）
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形 二、填空题
12. 在ABC ∆中，已知tanA ,tanB 是方程2
3720x x -+=的两个实根，则tan C =___.
13. 已知tan 2x =，则
3sin 22cos 2cos 23sin 2x x
x x
+-的值为___________
14、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．
15.【2012高考江苏11】设α为锐角，若4cos 65απ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，则)122sin(π+a 的值为 ．
16.已知α、β(0,
)2
π
∈且3sin 5α=
，cos 10
β=，则αβ+＝___________. 17.已知函数2
2()cos (
)cos ()44f x x x π
π=+-- ，则()12
f π
的值为_________
18.函数f(x)=sin xcos x+3
2
cos 2x,若对任意实数x 都有|f(x)|≤a,则实数a 的取值范围是_____.。