第六章 树和二叉树

第六章 树和二叉树
第六章
树和二叉树
熟练掌握二叉树的结构特性 二叉树的结构特性。 1. 熟练掌握二叉树的结构特性。 熟悉二叉树的各种存储结构的特点及适用范围。 存储结构的特点及适用范围 2. 熟悉二叉树的各种存储结构的特点及适用范围。 遍历二叉树是二叉树各种操作的基础 是二叉树各种操作的基础。 3. 遍历二叉树是二叉树各种操作的基础。实现二叉树遍历 的具体算法与所采用的存储结构有关。 的具体算法与所采用的存储结构有关。掌握各种遍历策略的递 归算法，灵活运用遍历算法实现二叉树的其它操作。 归算法，灵活运用遍历算法实现二叉树的其它操作。 理解二叉树线索化 二叉树线索化的实质是建立结点与其在相应序列中 4. 理解二叉树线索化的实质是建立结点与其在相应序列中 的前驱或后继之间的直接联系， 的前驱或后继之间的直接联系，熟练掌握二叉树的线索化过程 以及在中序线索化树上找给定结点的前驱和后继的方法。 以及在中序线索化树上找给定结点的前驱和后继的方法。二叉 树的线索化过程是基于对二叉树进行遍历， 树的线索化过程是基于对二叉树进行遍历，而线索二叉树上的 线索又为相应的遍历提供了方便。 线索又为相应的遍历提供了方便。
性质3: 对于任何一棵二叉树， 度的结点数有n 性质3: 对于任何一棵二叉树，若2度的结点数有n2个， 则叶子数（ 必定为n 则叶子数（n0）必定为n2＋1 （即n0=n2+1） ）
二叉树的定义 二叉树的性质 二叉树的存储结构
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1. 二叉树的定义
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定义： 定义：是n（n≥0）个结点的有限集合，由一个根结点以及两棵互 （ ）个结点的有限集合， 不相交的、分别称为左子树和右子树 左子树和右子树的二叉树组成 不相交的、分别称为左子树和右子树的二叉树组成 。 逻辑结构： 一对二（ ： ） 逻辑结构： 一对二（1：2） 基本特征: 基本特征 每个结点最多只有两棵子树（不存在度大于2的结点）； ① 每个结点最多只有两棵子树（不存在度大于2的结点）； 左子树和右子树次序不能颠倒（有序树）。 ② 左子树和右子树次序不能颠倒（有序树）。 基本形态： 基本形态：
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6.1
树的定义及基本概念
1. 树的定义 由一个或多个(n≥0) 由一个或多个(n≥0)结点组成的有限集合 T=(D,R)，有且仅有一个结点称为根 一个结点称为根（ T=(D,R)，有且仅有一个结点称为根（没有直接前 ），除根结点和终端结点外每个结点有且仅有一 趋），除根结点和终端结点外每个结点有且仅有一 个前趋结点，有多个后继结点。 个前趋结点，有多个后继结点。
本章重点： 本章重点：二叉树的表示和实现
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6.2
二叉树
的树？ 为何要重点研究每结点最多只有两个 “叉” 的树？ 二叉树的结构最简单，规律性最强； 二叉树的结构最简单，规律性最强； 所有树都能转为唯一对应的二叉树，不失一般性。 所有树都能转为唯一对应的二叉树，不失一般性。
1. 2. 3.
a b d f e g h c
3 4 5 6 7 8 c d e f g h f g h
类型描述： 类型描述：
typedef struct node { datatype data; struct node *next; } Childtype; typedef struct { datatype data; Childtype *chil; 11 }Tree; Tree t[100];
性质2: 深度为k的二叉树至多有2 个结点（k>0）。 性质2: 深度为k的二叉树至多有2k-1个结点（k>0）。
提问：深度为k 提问：深度为k时至少有 k 个结点？ 个结点？
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讨论3 二叉树的叶子数和度为2的结点数之间有关系吗？ 讨论3：二叉树的叶子数和度为2的结点数之间有关系吗？
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讨论2：树的顺序存储方案应该怎样制定？ 讨论 ：树的顺序存储方案应该怎样制定？ 顺序存储方案应该怎样制定
可规定为：从上至下、从左至右将树的结点依次存入内存。 可规定为：从上至下、从左至右将树的结点依次存入内存。 将树的结点依次存入内存 重大缺陷：复原困难（不能唯一复原就没有实用价值） 重大缺陷：复原困难（不能唯一复原就没有实用价值）。
1)、 1)、用双亲表示法来存储 思路：用一组连续空间来存储树的结点， 连续空间来存储树的结点 思路：用一组连续空间来存储树的结点，同时在每个 结点中附设一个指示器 附设一个指示器， 结点中附设一个指示器，指示其双亲结点在数组中的 data parents 下标。 下标。
0
类型描述： 类型描述： typedef struct { datatype data; int parent;
性质1: 在二叉树的第i层上至多有2 个结点（i>0）。 性质1: 在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点（i>0）。
提问：第i层上至少有 提问： 1 个结点？ 个结点？
讨论2 深度为k的二叉树，至多有多少个结点？ 讨论2：深度为k的二叉树，至多有多少个结点？ 2k-1
利用二进制性质可轻松求出） （利用二进制性质可轻松求出）
data
parents
Hale Waihona Puke 1 2结点结构n} Ptree;
树结构
Ptree T[max];
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例1: 双亲表示法
A B D H I E F C G
0 1 2 3 4 5 6 7 8
A B C D E F G H I
-1 0 0 1 1 2 2 3 3
缺点：求结点的孩子时需要遍历整个结构。 缺点：求结点的孩子时需要遍历整个结构。
1
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5. 熟悉树的各种存储结构及其特点，掌握树和森 熟悉树的各种存储结构及其特点，掌握树和森 方法。 林与二叉树的转换方法 林与二叉树的转换方法。建立存储结构是进行其它操 作的前提， 作的前提，因此读者应掌握 1 至 2 种建立二叉树和树 的存储结构的方法。 的存储结构的方法。 6. 学会编写实现树的各种操作的算法。 学会编写实现树的各种操作的算法。 7. 了解最优二叉树的特性，掌握建立最优二叉树 了解最优二叉树的特性 最优二叉树的特性， 哈夫曼编码的方法 的方法。 和哈夫曼编码的方法。
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2)、 2)、用孩子表示法来存储 思路：将每个结点的孩子排列起来，形成一个带表头 思路：将每个结点的孩子排列起来，形成一个带表头 孩子排列起来 装父结点）的线性表（ 个结点要设立n个链表）； （装父结点）的线性表（n个结点要设立n个链表）； 再将n个表头用数组存放起来 起来， 再将n个表头用数组存放起来，这样就形成一个混合 结构。 结构。 1 a c b e 例如： 例如： d 2 b
问：具有3个结点的二叉树可能有几种不同形态？普通树呢？ 具有3个结点的二叉树可能有几种不同形态？普通树呢？ 5种/2种 种 种
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2. 二叉树的性质
(3+2)
利用二进制性质可轻松求出） （利用二进制性质可轻松求出）
讨论1 讨论1：第i层的结点数至多是多少？ 2i-1个 层的结点数至多是多少？
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a
c
d f
b e g
c
h
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5. 树的运算
1. 普通树（即多叉树）若不转化为二叉树，则运 普通树（即多叉树）若不转化为二叉树， 算很难实现。 算很难实现。 2. 二叉树的运算仍然是插入、删除、修改、查找、 二叉树的运算仍然是插入、删除、修改、查找、 排序等，但这些操作必须建立在对树结点能够 排序等，但这些操作必须建立在对树结点能够 遍历”的基础上！ “遍历”的基础上！ 遍历——指每个结点都被访问且仅访问一次， 指每个结点都被访问且仅访问一次， （遍历 指每个结点都被访问且仅访问一次 不遗漏不重复）。 不遗漏不重复）
注：树的定义具有递归性，即树中还有树。 树的定义具有递归性，即树中还有树。 递归性
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树的表示法有几种： 树的表示法有几种：
• 树形表示法 • 嵌套集合表示法 • 凹入表表示法 • 广义表表示法
这些表示法的示 意图参见教材 意图参见教材
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树形表示法： 树形表示法： 湖南理工学院
firstchild data nextsibling
指向左孩子
指向右兄弟
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T
例如： 例如：
a b d f e g h
类型描述： 类型描述：
typedef struct node { datatype data; struct node *child, *brother; } TreeNode;
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2. 若干术语（续） 若干术语（
——即树的数据元素 结点 即树的数据元素 结点的度——结点挂接的子树数 结点挂接的子树数
有几个直接后继就是几度， （有几个直接后继就是几度， 亦称“次数” 亦称“次数”）
K B E L F
A C G H M D I J
结点的层次 ——从根到该结点的层数（根结点算第一层） 从根到该结点的层数（ 从根到该结点的层数 根结点算第一层） 终端结点 ——即度为 的结点，即叶子 即度为0的结点 即度为 的结点， 分支结点 ——即度不为 的结点（也称为内部结点） 即度不为0的结点 即度不为 的结点（也称为内部结点） 树的度 ——所有结点度中的最大值（Max{各结点的度 ） 所有结点度中的最大值（ 各结点的度}） 所有结点度中的最大值 各结点的度 树的深度——指所有结点中最大的层数（Max{各结点的层次 ） 指所有结点中最大的层数（ 各结点的层次}） 指所有结点中最大的层数 各结点的层次 (或高度 或高度) 或高度 树的度＝ 树的深度＝ 上图中的结点数＝ 问：上图中的结点数＝13；树的度＝ 3 ；树的深度＝ 4