【教育学习文章】人教B版高二数学必修五导学案
人教新课标版数学高二必修5导学案 简单的线性规划问题教师版
3.3.2 简单的线性规划问题【教学目标】 1.了解线性规划的意义.2.理解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.3.掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题． 【教学过程】 一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《3.3.2 简单的线性规划问题》课件“情景引入”部分，从配件的生产安排满足不同的条件入手，引出线性规划的概念及基本思路.二、自主学习教材整理1 线性规划中的基本概念 阅读教材P 87～P 88探究，完成下列问题． 线性规划中的基本概念阅读教材P 88例5～P 90例7，完成下列问题． 线性目标函数的最值线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋zb ，它表示斜率为－a b ，在y 轴上的截距是zb的一条直线，当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线． 当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值．三、合作探究问题1类比探究二元一次不等式表示平面区域的方法，画出约束条件(x－a)2＋(y－b)2≤r2的可行域．答案问题2在问题“若x、y满足⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≥6，x≤4，y≤4，求z＝y－1x－1的最大值”中，你能仿照目标函数z＝ax＋by的几何意义来解释z＝y－1x－1的几何意义吗？答案z＝y－1x－1的几何意义是点(x，y)与点(1,1)连线的斜率．探究点1最优解问题命题角度1问题存在唯一最优解例1已知x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y≤8，4x≤16，4y≤12，x≥0，y≥0，该不等式组所表示的平面区域如图，求2x＋3y的最大值．解设区域内任一点P(x，y)，z＝2x＋3y，则y＝－23x＋z3，这是斜率为定值－23，在y轴上的截距为z3的直线，如图．由图可以看出，当直线y ＝－23x ＋z 3经过直线x ＝4与直线x ＋2y －8＝0的交点M (4,2)时，截距z3的值最大，此时2x ＋3y ＝14.名师点评：图解法是解决线性规划问题的有效方法，基本步骤： ①确定线性约束条件，线性目标函数； ②作图——画出可行域；③平移——平移目标函数对应的直线z ＝ax ＋by ，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域或最后离开可行域，确定最优解所对应的点的位置；④求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值． 命题角度2 问题的最优解有多个 例2 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋y 的最大值有无数个最优解，求实数a 的值．解 约束条件所表示的平面区域如图：由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .当a ＝0时，最优解只有一个，过A (1,1)时取得最大值；当a ＞0时，当y ＝－ax ＋z 与x ＋y ＝2重合时，最优解有无数个，此时a ＝1； 当a ＜0时，当y ＝－ax ＋z 与x －y ＝0重合时，最优解有无数个，此时a ＝－1. 综上，a ＝1或a ＝－1.名师点评：当目标函数取最优解时，如果目标函数与平面区域的一段边界(实线)重合，则此边界上所有点均为最优解．探究点2 生活中的线性规划问题例3 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg 的碳水化合物，0.06kg 的蛋白质，0.06kg 的脂肪，1kg 食物A 含有0.105kg 碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg 脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元．为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B各多少kg?将已知数据列成下表：食物/kg碳水化合物/kg蛋白质/kg脂肪/kgA 0.1050.070.14B 0.1050.140.07解设每天食用x kg食物A，y kg食物B，总成本为z，那么⎩⎪⎨⎪⎧0.105x＋0.105y≥0.075，0.07x＋0.14y≥0.06，0.14x＋0.07y≥0.06，x≥0，y≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧7x＋7y≥5，7x＋14y≥6，14x＋7y≥6，x≥0，y≥0.目标函数为z＝28x＋21y.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，把目标函数z＝28x＋21y变形为y＝－43x＋z21，它表示斜率为－43，且随z变化的一组平行直线，z21是直线在y轴上的截距，当截距最小时，z的值最小．如图可见，当直线z＝28x＋21y经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x＋7y＝5，14x＋7y＝6，得M点的坐标为⎝⎛⎭⎫17，47.所以为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A17kg ，食物B 47kg.名师点评：(1)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)在y 轴上的截距zb 是关于z 的正比例函数，其单调性取决于b 的正负．当b >0时，截距z b 越大，z 就越大；当b <0时，截距zb越小，z 就越大．(2)最优解是谁，和目标函数与边界函数的斜率大小有关． 探究点3 非线性目标函数的最值问题 命题角度1 斜率型目标函数例4 已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0.试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值．解 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示， 由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)，故z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率， 因此y ＋1x ＋1的最值是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值，由图可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，又∵B (0,2)，C (1,0)， ∴z max ＝k MB ＝3，z min ＝k MC ＝12.∴z 的最大值为3，最小值为12.变式探究1．把目标函数改为z ＝3y ＋12x ＋1，求z 的取值范围．解 z ＝32·y ＋13x ＋12，其中k ＝y ＋13x ＋12的几何意义为点(x ，y )与点N ⎝⎛⎭⎫－12，－13连线的斜率．由图易知，k NC ≤k ≤k NB ，即29≤k ≤143，∴13≤32k ≤7，∴z 的取值范围是[13，7]． 2．把目标函数改为z ＝2x ＋y ＋1x ＋1，求z 的取值范围．解 z ＝2(x ＋1)＋y －1x ＋1＝y －1x ＋1＋2.设k ＝y －1x ＋1，仿例2解得－12≤k ≤1.∴z ∈[32，3]．命题角度2 两点间距离型目标函数例5 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，试求z ＝x 2＋y 2的最大值和最小值．解 z ＝x 2＋y 2表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形(例2图)知，原点到点A 的距离最大，原点到直线BC 的距离最小． 故z max ＝|OA |2＝13，z min ＝⎝⎛⎭⎫|OB |·|OC ||BC |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2×152＝45. 名师点评：(1)对于形如cx ＋dy ＋fax ＋b的目标函数，可变形为定点到可行域上的动点连线斜率问题．(2)当斜率k 、两点间的距离、点到直线的距离与可行域相结合求最值时，注意数形结合思想方法的灵活运用．四、当堂检测1．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则x ＋2y 的最大值是( )A ．－52B ．0 C.53 D.52答案 C提示：画出可行域如图阴影部分(含边界)．设z ＝x ＋2y ，即y ＝－12x ＋12z ，平行移动直线y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋z2过点B ⎝⎛⎭⎫13，23时，z 取最大值53，所以(x ＋2y )max ＝53. 2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．23 答案 B提示：作出可行域如图阴影部分(含边界)所示．由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7.3．在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－1D ．1 答案 A提示：－1a ＝2－14－1＝13，∴a ＝－3.4．已知实数x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤2，则z ＝2x ＋4y 的最大值为________．答案 8提示：由不等式组表示的可行域，知目标函数z 在点(0,2)处取得最大值8.五、课堂小结：本节课我们学习过哪些知识内容? 提示：1．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： (1)寻找线性约束条件，线性目标函数；(2)作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l ；(3)平移——将直线l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；(4)求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．2．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．3．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．4．对于非线性目标函数，应准确翻译其几何意义，如x2＋y2是点(x，y)到点(0,0)的距离的平方，而非距离．。
人教课标版(B版)高中数学必修5导学案2-数列
2．1数列学习目标知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。
过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
学习重点数列及其有关概念，通项公式及其应用 学习难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 基本知识1． 叫做数列， 叫做这个数列的项.2． 就叫做这个数列的通项公式.3．数列可用图象来表示，在直角坐标系中，以 来表示一个数列，图象是一些 ，它们位于 .4．根椐数列的项数可以把数列分为 和 .根据数列中项与项的大小关系可以把数列分为 、 、 和 . 5． 那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.6．若数列{}n a 的前n 项和记为n S ，即,321n n a a a a S ++++= 则⎪⎩⎪⎨⎧≥==).2(),1(n n a n1．数列的通项公式实际上是一个以正整数集+N 或它的有限子集{}n ,,2,1 为定义域的函数的表达式；2．如果知道了数列的通项公式，那么依次用 ,3,2,1去替代公式中的n 就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项；3．像所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如2的不足近似值，精确到 ,0001.0,001.0,01.0,1.0,1所构成的数列,4142.1,414.1,41.1,4.1,1就没有通项公式.4．有的数列的通项公式，在形式上不一定是唯一的，例如数列：,1,1,1,1,1,1---它可以写成,)1(n n a -=也可以写成⎩⎨⎧-=.,1,,1为偶数为奇数n n a n 还可以写成2)1(+-=n n a 等.这些通项公式，形式上虽然不同，但都表示同一个数列. 5．有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一. 典例精析题型一 根据数列{}n a 的前几项，写出数列的通项公式. 例1 写出下列数列的一个通项公式： （1） ,33,17,9,5,3；（2） ,544,433,322,211； （3） ,777,,7777,777,77,7；（4）.,1337,1126,917,710,1,32 --- 命题意图：寻求规律，写出通项公式.用观察归纳法写出数列的一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律，观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，要能观察出特点，观察出项与项之间的关系、规律.这类问题就是要观察各项与对应的项数之间的联系，利用我们熟知的一些基本数列（如自然数数列、奇偶数列、自然数列的前n 项和数列、自然数的平方数列、简单的指数数列……），建立合理的联想，转换而达到问题的解决.一题一练 分别写出下列数列的一个通项公式，数列的前4项已给出.（1）;,515,414,313,2122222 ----（2）;,201,121,61,21 -- （3）;9999.0,999.0,99.0,9.0 （4）.,4,5,4,5 题型二 数列通项公式的简单应用 例2 已知有穷数列 ,2625,1716,109,54 （1）指出这个数列的一个通项公式；（2）判定0.98是不是这个数列中的项？若是，是第几项？ 命题意图：考察对通项公式的理解及应用方法提升（1）本题中极容易错误地认为122+n n 是数列的通项公式，为避免这样的错误，可验证你所写通项公式是否适合数列的前几项.（2）要判断一个数是否为该数列中的项，可由通项等于这数解出n ，根据n 是否为正整数便可确写这个数是否为数列中的项，也就是说，判定某一数是否是数列中的某一项，其实质就是看方程是否有正整数解.一题一练 已知数列{}n a 的通项公式n n q a =，且.7224=-a a（1）求实数q 的值；（2）判断81-是否为此数列的某一项.题型三 已知n S 求n a例3 已知数列{}n a 的前n 项和n S ，求数列{}n a 的通项公式. （1）;12-=n n S （2）.322++=n n S n命题意图 本题为通过n S 求n a ，因为n n a a a S +++= 21，所以n S 与n a 有关系⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n nn 可求得.n a解 (1)由,12-=n n S 当1=n 时，;112111=-==S a 当2≥n 时， )12(1211---=-=--n n n n n S S a.22211--=-=n n n当1=n 时也适合,12111==-a 所以.21-=n n a（2）由,322++=n n S n 当1=n 时，.611==S a当2≥n 时，[].143)1()1(2)32(221-=+-+--++=-=-n n n n n S S a n n n.)2(14)1(6⎩⎨⎧≥-==∴n n n a n由n S 求n a 时，当1a 不符合1--=n n n S S a 表达式时，通项公式要分段表示. 即⎩⎨⎧≥==2)(11n n f n a a n 的形式.一题一练（1）已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 322-=，求数列通项公式； （2）已知数列⎣⎦n a 的前n 项和35-=n n S ，求数列通项公式题型四 数列的递推公式例4 已知数列{}n a 分别满足下列条件，写出它的前五项，并归纳出各数列的一个通项公式.（1）);12(,011-+==+n a a a n n （2）.22,111+==+n nn a a a a 命题意图 此数列是用递推公式给出的，已知1a 就可递推出,,2 a 依此类推，可求出它的任一项.再根据前5项归纳猜想n a 的一个通项公式.由递推公式，求出数列前5项，再归纳出通项公式，猜想不一定正确，还需严格证明(今后学到)，也可以直接求出. 巩固练习 一、选择题1.下列说法不正确的是（ ）A. 数列可以用图像来表示B. 数列的通项公式不唯一C. 数列的项不能相等D. 数列可以用一群狐立的点表示2.已知数列{}n a 的通项公式为n a n 225-=，下列各数中，不是{}n a 的项的是（ ）A. 1B. -1C. 2D. 33.设数列,,11,22,5,2 则52是这个数列的（ ）A. 第六项B. 第七项C. 第八项D. 第九项4.无穷数列 1,3,6,10,的通项公式为（ ）A. 12+-=n n a nB. 12-+=n n a nC. 22nn a n +=D. 22nn a n -=5.数列{}n a ，其中,,6,31221n n n a a a a a -===++，那么这个数列的第五项为（ ）A. 6B. -3C. -12D. -6二、填空题6.数列{}n a 中，)2(,211≥+==-n n a a a n n ，则=10a .7.在数列 ,55,34,,13,8,5,3,2,1,1x 中，x 的值 .8.已知数列{}n a 通项公式*)(1242N n n n a n ∈--=，则:(1)这个数列的第四项是 ；(2)65是这个数列的第 项； (3)这个数列从第 项起各项为正数. 三、解答题9.写出下列数列的一个通项公式 （1）;,811,271,91,31,1 --（2）;,0,3,0,3（3） ,1716,109,54,21-- （4）;,7777.0,777.0,77.0,7.010.在数列{}n a 中，.66,2171==a a 通项公式n a 是项数n 的一次函数. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）88是否是数列{}n a 中的项.11.已知数列{}n a 的前n 项和)(242*∈+-=N n n n S n .（1）求{}n a 的通项公式； （2）当n 为何值时， n S 达到最大?最大值是多少?12.设数列{}n a 的通项公式为)(2+∈+=N n kn n a n ，若数列{}n a 是单调递增数列，求实数k 的取值范围.锁定高考(2007年广东)已知数列{}n a 的前几项和n n S n 92-=，则其通项=n a ；若它的第k 项满足85<<k a ，则k = .。
人教课标版(B版)高中数学必修5导学案-不等式的实际应用
3.4不等式的实际应用学习目标：1、通过实际问题的情景，让学生掌握不等式的实际应用，掌握解决这类问题的一般步骤，2、让学生经历从实际情景中抽象出不等式模型的过程。
3、通过实例，让学生体验数学与日常生活的联系，感受数学的实用价值，增强学生的应用意识，提高他们的实践能力。
学习重点和难点：重点：不等式的实际应用难点：数学建模【预习达标】1.实际问题中，有许多不等式模型，必须在首先领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，然后适当设 ，将量与量间的关系变成 或不等式组．2.实际问题中的每一个量都有其 ，必须充分注意定义域的变化．3.探究：一个正的真分数的分子与分母同时增加同一个数，分数值变 。
若一个假分数呢？试证明之。
【典例解析】例1.某工厂有一面14m 的旧墙，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126m 2的厂房。
工程条件是：①建1m 新墙的费用为a 元；②修1m 旧墙的费用为4a 元；③用拆去1m 旧墙所得的材料建1m 新墙的费用为2a 元。
现在有两种建设方案：（Ⅰ）利用旧墙的一段Xm(x<14)为矩形厂房的一个边长；（Ⅱ）利用旧墙的矩形厂房的一个边长为Xm(x≥14)。
问如何利用这堵旧墙，才使建墙费用最低？（Ⅰ）（Ⅱ）两个方案哪个更好？例2.有纯农药一桶，倒出8升后用水补满，然后倒出4升再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28％.问桶的容积最大为多少？分析：若桶的容积为x, 倒前纯农药为x 升第一次 ：倒出纯农药8升，纯农药还剩（x-8）升，桶内溶液浓度xx 8- 第二次 ：倒出溶液4升，纯农药还剩［（x-8）—（x x 8-）4］， 中本题的不等关系是：桶中的农药不超过容积的28％解答：学生完成。
例3．某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少51，本年度当地旅游业收入估计万400万元，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41．（1）设n 年内（本年度万第一年）总投入万a n 万元，旅游业总收入万b n 万元，写出a n 、b n 的表达式。
人教新课标版数学高二必修5导学案 3.1不等关系与不等式教师版
3.1不等关系与不等式【教学目标】1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.初步学会作差法比较两实数的大小.3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．【教学过程】一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《3.1不等关系与不等式》课件“问题情景”部分，从生活中鲜活的事例入手，了解不等关系存在的普通性与实际意义，再通过举例说明和互相交流，进一步理解不等式的定义.二、自主学习教材整理1不等关系与不等式阅读教材P72～P73上面第5行，完成下列问题．1．不等符号与不等关系的表示：(1)不等符号有＜，≤，＞，≥，≠；(2)不等关系用不等式来表示．2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换阅读教材P73上面第二自然段～P74，完成下列问题．1．比较两实数a，b大小的依据2．不等式的性质问题1 限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km/h ，用不等式如何表示？提示 v ≤40.问题2 x 2＋1与2x 两式都随x 的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比较x 2＋1与2x 的大小，而且具有说服力吗？提示 作差：x 2＋1－2x ＝(x －1)2≥0，所以x 2＋1≥2x . 问题3 试用作差法证明a >b ，b >c ⇒a >c .提示 a >b ，b >c ⇒a －b >0，b －c >0⇒a －b ＋b －c >0⇒a －c >0⇒a >c . 探究点1 用不等式(组)表示不等关系例1 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？提示 提价后销售的总收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x ≥20.名师点评：数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时：(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系．思维要严密、规范．探究点2 比较大小命题角度1 作差法比较大小例2 已知a ，b 均为正实数．试利用作差法比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小． 提示 ∵a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2)＝(a 3－a 2b )＋(b 3－ab 2) ＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a －b )2(a ＋b )． 当a ＝b 时，a －b ＝0，a 3＋b 3＝a 2b ＋ab 2； 当a ≠b 时，(a －b )2>0，a ＋b >0，a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 综上所述，a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2.名师点评：比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．作差法比较实数的大小的一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式．命题角度2 作商法比较大小例3 若0＜x ＜1，a ＞0且a ≠1，试比较|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小关系． 提示 |log a (1－x )||log a (1＋x )|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log a (1－x )log a (1＋x )＝||log (1＋x )(1－x )，∵0＜x ＜1，∴||log (1＋x )(1－x )＝－log (1＋x )(1－x ) ＝log (1＋x )11－x， ∵1－x 2＝(1＋x )(1－x )＜1，且1－x ＞0， ∴1＋x ＜11－x，∴log (1＋x )11－x ＞1，即|log a (1－x )||log a (1＋x )|＞1，∴|log a (1＋x )|＜|log a (1－x )|.名师点评： 作商法的依据：若b ＞0，则ab ＞1⇔a ＞b .探究点3 不等式的基本性质 例4 已知a >b >0，c <0，求证：c a >cb.提示 因为a >b >0，所以ab >0，1ab >0.于是a ×1ab >b ×1ab ，即1b >1a .由c <0，得c a >cb.名师点评：有关不等式的证明，最基本的依据是不等式的8条基本性质，在解不等式时，对不等式进行有关变形的依据也是8条基本性质．四、当堂检测1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式表示就是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y ≥380，z >45 B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y >380，z ≥45C.⎩⎪⎨⎪⎧x >95，y >380，z >45 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95，y >380，z >45提示 D解析 “不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x ≥95，y >380，z >45.2．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－a D ．a >b >－a >－b提示 C解析 由a ＋b >0，知a >－b ， ∴－a <b <0. 又b <0，∴－b >0， ∴a >－b >b >－a .3．比较(a ＋3)(a －5)与(a ＋2)(a －4)的大小． 提示 ∵(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4) ＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7<0， ∴(a ＋3)(a －5)<(a ＋2)(a －4)．4．某市政府准备投资1800万元兴办一所中学．经调查，班级数量以20至30个为宜，每个初、高中班硬件配置分别需要28万元与58万元，该学校的规模(初、高中班级数量)所满足的条件是什么？提示 设该校有初中班x 个，高中班y 个，则有⎩⎪⎨⎪⎧20≤x ＋y ≤30，28x ＋58y ≤1800.五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容? 提示：1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了． a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b . 2．作差法比较的一般步骤 第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”； 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)； 最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，并注意不等式推导所需条件是否具备．。
【B版】人教课标版高中数学必修五导学案1-数列-新版
§2.1 数列学习目标：了解数列的概念，体会数列是一种特殊函数，能根据数列的前几项写出简单数列的通项公式.类比函数理解数列的几种表示方法（列表、图象、通项公式等），能根据项数多少、数列的性质对数列分类.了解递推公式是给出数列的一种方法.掌握根据递推公式写出数列的前n 项的技巧.会利用一些简单的递推公式求出数列的通项.学习重难点：数列概念；数列的表示方法；递推公式.知识要点1、数列的定义：按照一定 排列的一列数叫数列.数列中的 都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（或首 项），第2项, …,第n 项, …数列的一般形式可以写成： ,,,,,321n a a a a ，其中n a 是数列的 ，叫做数列的 ，我们通常把一般形式的数列简记作 。
2、数列的表示:（1）列举法:将每一项一一列举出来表示数列的方法.（2）图像法:由(n,a n )点构成的一些孤立的点;（3）解析法:用通项公式a n =f(n)（*∈N n ）表示.通项公式：如果数列{n a }中的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，则称此公式为数列的 .数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.思考与讨论:①数列与数集有什么区别？与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质；确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的。
可重复性：数列中的数可以重复。
有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关。
②是否所有的数列都有通项公式？③{n a }与n a 有什么区别？（4）递推公式法:用前n 项的值与它相邻的项之间的关系表示各项. 递推公式也是求数列的一种重要的方法，但并不是所有的数列都有递推公式。
3、数列与函数从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为 （或它的 ）的函数)(n f a n =，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值.数列的 是相应的函数的解析式，它的图像是 。
人教B版高中数学必修5-3.2导学案2-均值不等式
3．2 均值不等式（一）一、学习目标：1．掌握均值定理的推导2．培养学生应用均值定理分析问题、解决问题的能力.二、重点难点：重点：均值定理的推导极其应用难点：均值定理在实际问题中的应用三、学习过程：（一）自学教材，填空1.正数a 、b 的算术平均数为 ；几何平均数为 ．2.均值不等式是 。
其中前者是 ，后者是 ．如何给出几何解释？3.在均值不等式中a 、b 既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证 ；另外等号成立的条件是 ．4.试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件（1）a 2+b 2 （ ）（2）2b a （ ） （3）a b ＋ba （ ）（4）ab≤ （ ） （5）x ＋x 1 (x>0)（6）x ＋x1 (x<0) 5.在用均值不等式求最大值和最小值时，必须注意a+b 或ab 是否为 值，并且还需要注意等号是否成立．（二）典型例题例1.已知a 、b 、c ∈（0，＋∞），且a+b+c=1，求证a 1 +b 1+c1≥9．例2.（1）一个矩形的面积为100m 2。
问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（2）已知矩形的周长为36m 。
问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？（三）课堂训练1.已知a 、b ∈（0，1）且a≠b ，下列各式中最大的是（ ）A ．a 2+b 2B ．2abC ．2a bD ．a +b2.判断下列不等式的证明过程中的正误，并指出错因。
（1）若a 、b ∈R ，则a b ＋ba ≥2b a a b ∙＝2（ ） （2）若x 、y ∈R ＋，则lgx ＋lgy≥2y x lg lg ∙（ ）（3）x ∈R －，则x ＋x4≥－2x x 4∙＝－4（ ） （4）若x ∈R ，则x 2＋x -2≥2x x -∙22＝2（ ）3.x ∈R ，下列不等式恒成立的是（ ）A ．x 2+1≥xB ．112+x <1 C ．lg(x 2+1)≥lg(2x) D ．x 2+4>4x 4.设x>0，则函数y=2－x 4－x 的最大值为 ；此时x 的值是 。
人教B版高中数学必修5-2.3导学案2-等比数列
2.3.1等比数列（1）学习目标1理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质；2. 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；3. 体会等比数列与指数函数的关系.学习过程一、课前准备（预习教材P 48 ~ P 51，找出疑惑之处）复习1：等差数列的定义？复习2：等差数列的通项公式n a = ，等差数列的性质有：二、新课导学※ 学习探究观察：①1，2，4，8，16，…②1，12，14，18，116，… ③1，20，220，320，420，…思考以上四个数列有什么共同特征？新知：1. 等比数列定义：一般地，如果一个数列从第 项起， 一项与它的 一项的 等于 常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示（q ≠0），即：1n n a a -= （q ≠0）2. 等比数列的通项公式：21a a = ；3211()a a q a q q a === ；24311()a a q a q q a === ；… …∴ 11n n a a q a -==⋅ ，等式成立的条件3. 等比数列中任意两项n a 与m a 的关系是：※ 典型例题例1 n n n {a }a =32⨯已知数列的通项公式为，试问这个数列是等比数列吗？小结：关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式11n n a a q -=.例2 已知等比数列的公比为q ，第m 项为a m ，求其第n 项.小结：一个数列是等比数列，只需根据定义，灵活运用性质即可.※ 动手试试练1. 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84％. 这种物质的半衰期为多长(精确到1年)?。
高二数学必修5全册导学案经典
必修五目录第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.2使用举例1.3实习作业解三角形实际使用举例习题第二章数列2.1数列的概念和简单表示法2.2等差数列2.3等差数列的前n项和2.4等比数列2.5等比数列的前n项和第三章不等式3.1不等关系和不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）和简单的线性3.4基本不等式：2a bab+≤不等式练习题第一章 解三角形1.1.1 正弦定理1.在ABC △中，已知3b =，33c =，30B ∠=，解此三角形。
2.在ABC △中，已知∠A =4530B ∠=，C=10,解此三角形。
3．在三角形ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且A,B 为锐角，sin A = 5sin B = 10（1） 求A+B 的值：（2） 若a-b= 2，求a,b,c 得值1. 在ABC △中，已知222sin sin sin A B C +=，求证：ABC △为直角三角形2． 已知ABC △中，60A ∠=，45B ∠=，且三角形一边的长为m ，解此三角1． 正弦定理反映了三角形中各边和它的对角正弦值的比例关系，表示形式为2sin sin sin a b c R A B C===，其中R 是三角形外接圆的半径。
2． 正弦定理的使用（1）如果已知三角形的任意两角和一边，由三角形的内角和定理可以计算出另外一个角，并由三角形的正弦定理计算书另外两边。
（2）如果已知三角形的任意两边和其中一边的对角，使用正弦定理可以计算出另外一边对角的正弦值，进而可以确定这个角（此时特别注意：一定要先判断这个三角形是锐角还是钝角）和三角形其它的边和角。
1．在ABC △中，若2sin sin cos 2A C =，B 则ABC △是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ． 等腰直角三角形3. 在ABC △中，已知30B =，503b =，150c =，那么这个三角形是（ ） Ａ．等边三角形Ｂ．直角三角形 Ｃ．等腰三角形 Ｄ．等腰三角形或直角三角形4. 在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（ ）A ．1:2:3B ．3:2:1C ．32D ．236.ABC △若26120c b B ===，，，则a 等于 （ ）A 6B ．2C 3D 2 7. ．在△ABC 中，若B A 2=，则a 等于 （ ）A ．A b sin 2B ．A b cos 2C ．B b sin 2D ．B b cos 28.若12057A AB BC ∠===，，，则ABC △的面积S = ．9. 在ABC △中，若此三角形有一解，则a b A ，，满足的条件为________1.1.2 余弦定理1.在三角形ABC 中，已知下列条件，解三角形。
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人教B版高二数学必修五导学案
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均值不等式
学案
【预习达标】
⒈正数a、b的算术平均数为
；几何平均数为
．
⒉均值不等式是。
其中前者是
，后者是
．如何给出几何解释？
⒊在均值不等式中a、b既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证
；另外等号成立的条件是
．
⒋试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件）
（1）a2+b2
（2）
（
）
（3）＋
（
）
（4）x＋
（5）x＋
（6）ab≤
（
）
⒌在用均值不等式求最大值和最小值时，必须注意a+b 或ab是否为
值，并且还需要注意等号是否成立．
6．⑴函数f=x的最大值是
；此时x的值为___________________；．
⑵函数f=2x的最大值是
；此时x的值为___________________；
⑶函数f=x的最大值是
；此时x的值为___________________；
⑷函数f=x的最小值是
；此时x的值为___________________。
【典例解析】
例⒈已知a、b、c∈（0，＋∞），且a+b+c=1，求证
++≥9．
例⒉（1）已知x<，求函数y=4x－2+的最大值．
（2）已知x>0，y>0，且
＝1，求x＋y的最小值。
（3）已知a、b为常数，求函数y=2+2的最小值。
【达标练习】
一．
选择题：
⒈下列命题正确的是（）
Ａ．a2+1>2a
Ｂ．│x+│≥2
Ｃ．≤2
Ｄ．sinx+最小值为4．
⒉以下各命题x2+的最小值是1；（2）最小值是2；若a>0,b>0,a+b=1则（a+）的最小值是4，其中正确的个数是（）
Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3
⒊设a>0,b>0则不成立的不等式为（）
Ａ．＋≥2
Ｂ．a2+b2≥2ab
Ｃ．＋≥a＋b
Ｄ．
2+
⒋设a、bR＋，若a+b=2，则的最小值等于（）
Ａ．1 Ｂ．2
Ｃ．3 Ｄ．4
⒌已知ab>0，下列不等式错误的是（）
Ａ．a2+b2≥2ab Ｂ．Ｃ．Ｄ．二．填空题：
⒍若a、b为正数且a+b=4，则ab的最大值是________．
⒎已知x>1.5，则函数y＝2x+的最小值是_________．
⒏已知a、b为常数且0<x<1，则的最小值是_________________________．
三．解答题：
⒐（1）设a=，b=，c=且x≠0，试判断a、b、c的大小。
（2）设c<b<a，设判断与的大小。
⒑在△ABc中∠c=90°，Ac=3，Bc=4，一条直线分△ABc的面积为相等的两个部分，且夹在AB与Bc之间的线段最短，求此线段长。
参考答案：
【预习达标】
．；
2．≥；算术平均数；几何平均数；圆中的相交弦定理的推论（略）。
3．a，b∈R＋；a=b
4．⑴≥2ab（a,b∈R）⑵≥⑶≥2（a、b同号）或≤－2（a、b异号）
⑷≥2⑸≤－2⑹≤（）2（a,b∈R）；
5．定。
6．⑴1，1；⑵2，1；⑶，；⑷－1，－1。
【典例解析】
例1．解析：原式＝（
++）（a+b+c）＝3＋（）＋（）＋（）≥3＋2＋2＋2＝9当且仅当a=b=c=时取等号。
例⒉解析：
（1）∵x<
∴4x-5<0
∴y=4x－2+=++3≤－2＋3＝1当且仅当4x-5＝时即4x-5＝－1，x＝1时等号成立，∴当x＝1时，取最大值是1 （2）解法一、原式＝（x＋y）（
）＝+10≥6＋10＝16当且仅当＝时等号成立，又
＝1∴x=4,y=12时，取得最小值16。
解法二、由
＝1得（x-1）=9为定值，又依题意可知x>1，y>9
∴当且仅当x-1=y-9=3时即x=4，y=12时，取最小值16。
（3）解法一、转化为二次函数求最值问题（略）
解法二、∵≥（∴y=2+2＝y=2+2≥2[]2＝，当且仅当x-a=b-x即x=时，等号成立。
∴当x=时取得最小值。
【双基达标】
一、1．B解析：A中当a=1时不成立；c需要分a、b同号还是异号D中等号成立的条件是sinx=2。
这是不可能的。
实际上│x+│＝│x│＋││≥2
2．c解析：（1）（2）正确，（3）不正确，实际上（a+）＝（a+b）+2+≥1＋2＋2＝5，当且仅当a=b=时等号成立。
3．D解析：A、B显然正确；c中+a≥2b，+b≥2a，∴＋≥a＋b；D中a=b=2时就不成立。
4．B解析：原式＝（）＝（2＋）≥2
5．c解析：c、D必然有一个是错误的，实际上几何平均数≥调和平均数＝
二、6．4解析：∵ab≤＝4
7．7解析：y＝2x+＝y＝（2x－3）+＋3≥7
8．解析：原式＝（）[x+]=a2+b2++≥a2+b2+2ab=。
三、9．解析：（1）a=为算术平均数，b=＝为几何平均数，c=＝为平方平均数。
∵x≠0∴∴c>a>b。
（2）＝≥
0．解析：设直线为EF，交Bc于E，交AB于F，设BF
＝x，BE＝y则S△BEF＝＝＝3∴xy=10∴EF2＝x2+y2-2xycosB=x2+y2-=4，当且仅当时等号成立，此时EF ＝2。