具间断系数拟线性椭圆型方程和方程组的正则性
Carnot群上次椭圆方程组的正则性可控增长条件
N q .6Noe. 20192019 年第六期赣南师范大学学报 Journal of Gannan Normal University -基础数学-Carnoy 群上次椭圆方程组的正则性:可控增长条件”张宗锋，张水金，杨强，廖冬妮十（赣南师范大学数学与计算机科学学院，江西赣州341900）摘 要：本文考虑Carnoy 群上具有VM0系数的拟线性次椭圆方程组，在可控增长条件下，利用改进的A -调和 逼近技巧建立其弱解的Holder 连续性.关键词：Holder 连续性；可控增长条件；Carnoy 群；VM0系数；改进的A-调和逼近技巧中图分类号：0175. 2 文献标志码:A 文章编号：1004 -8334（2219）06 -0001 -061引言和主要结果本文的主要目的是对Camuy 群上的一类具有VM0系数的次椭圆方程组，建立其弱解局部Holder 连续 性，即考虑以下拟线性次椭圆方程组y (,u')X j u ll ) = F a(,u,X u ) , a.e.g e Q,a = 7,2,-・，N ,其中Q 是Carnot 群G 中的一个有界区域,2『e VM0.这里我们用X = （X -…,X »）表示Carnot 群上的水平 梯度,X 的定义在下文中给出.我们称向量值函数“ e HW }2（Q,R N ）是方程组（1.1）的弱解，如果它满足如下积分等式)X ” - X<pde = fF (,2,X u ) 0de V o e C (Q ,).自De Gorgiv 奠基工作［1］发表以来，线性和非线性方程的正则性理论一直被广泛研究,见文献［2-3］. Duzaar 和Steffe 在文献［4］中提出了 A-调和逼近方法，进一步地，文献［-9］研究了具有连续系数椭圆方程 组的弱解正则性，文献［5-8］则研究了非连续系数的椭圆组弱解的正则性.近年来,Camoe 群上次椭圆方程和方程组的正则性研究得到了广泛的关注,见文献［9 - 7 ］及其参考文 献，最近，张水金等人在文献［9］研究了 Camoe 群上一类齐次椭圆方程组弱解的部分正则性,本文将研究带 非齐次项的一类拟线性次椭圆方程组弱解的正则性问题•在可控增长条件下，利用改进的A-调和逼近方法, 建立弱解的HOder 连续性.该方法避免了水平梯度厂-U 估计和反向HOder 不等式的应用，简化证明过程.下面引进VM0空间定义：定义】称一个局部可积函数2 e BM0（Q ）（在Q 中有界平均振荡），如果2 e 比（0）并且对于任意的 0 <s < 8 满足m s （2,q ） = * —、— r 2n ） - 2,p e < + 8 ,其中0(,,) = Q n B (,) 2(n)e = I Q (,p) I - f I 2(n ) 1 切我们称 2 e VM0(Q )当且仅当 M 0(2)= IS m M 5(2,Q) = 0.下 ,给出如下 条件：D0I ：19.13698/j. cnkV cn36 - 1346/c. 2219.26. OH基金项目：国家自然科学基金资助项目（11661006）；江西省研究生创新专项资助项目（YCOH -S385）；赣南师范大学研究生创新专项 资助项目（YCX19A025）；大学生创新训练项目（221719418013）作者简介:张宗锋（1999 -），男，赣南师范大学数学与计算机科学学院2218级研究生，研究方向:偏微分方程.t 通讯作者:廖冬妮（1983 -），女,赣南师范大学数学与计算机科学学院讲师，硕士，研究方向:泛函分析与偏微分方程.2赣南师范大学学报2219年H1存在常数0<入<4使得A I n12三 A即—4I n,V g e Q,u e R N,e R22XN(3)H2A(-,u)在点g处关于"属于一致卩MO空间，且在"处关于g e Q—致连续，即lim甌(!『(•,))= 0,并且存在常数c e［1,8)及有界非减连续凸函数®：［1,8)—［0,1］满足lim®()=0=3(0),使得5—0\A°f((,u)-AA(g,u0)—丨"-"0丨),V u,0e r N,g e O(4) H3(可控增长条件)F(g,u,Xu)满足\F a(g,u,Xu)—Z(I Xu12(1-1/Y+I uI Y~l+\g a\I,(5)其中Y=起，(0>2)，"e Lg,>以及L>0为正常数.本文主要结果如下：定理1在(H1_H3)假设条件下，设u e HW/,(O,R n)是方程组⑴的弱解，则存在一个开集Q°U Q且dim/Q'Q。
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坐标几何学左导教最小偏向角最小模糊圆最小分辨角最简公分母最简根式最简分式最简方程最佳线性无偏估计最佳线性不变估计最佳平方逼近解最佳渐近正态估计最概然值最概然速率最概然分布最短剩余服务时间最大误差最大流最小割定理最大公因式组合原理纵场自由终点变分问题自旋轨道耦合自然资源统计自对偶图形自场准静态过程准经典近似转置矩阵转秩转动算符柱形统计图轴对称图形中心对称图形直线斜率正交向量组正交相似标准形正交归一系正交等价标准形正交补子空间正规偏微分方程组正惯性指数整系数多项式整数剩余类环折线统计图涨落耗散定理增广炬阵增广二次型矩阵约化格罗滕迪克群约当标准形定理原始对偶单纯形法余弦表余数定理余切表有序实数对有限生成阿贝尔群有理向量空间有理矩阵有理标准形有界平均振动函数有界空间因式分解法因式分解定理因式定理异次根式一致最大功效检验一致渐近可略条件一元一次不等式组一元一次不等式一元二次不等式一元多项武一阶线性微分方程一次函数一次二项式幺正算符幺正变换幺正样本平均数佯谬演化算符湮没算符旋转矩阵旋转公式序贯蒙特卡罗方法虚物形式不可判定命题行满秩矩阵信息熵冗余斜二测画法斜称多重线性映射肖维涅舍弃判据小于等于向量减法相似多边形相似对角化相似标准型相合渐近正态估计相关蒙特卡罗方法线性运算线性符号秩统计量线性表示线性表出下三角矩阵狭义相对论希尔伯特乘积公式希尔伯特不变积分五位数五点法无约束最优化方法无穷数列无零因子环无界空间乌伦贝克算子半群沃尔泰拉积分方程魏尔斯特拉斯方程维数公式维诺格拉多夫方法韦达定理微扰理论微分蒙特卡罗方法微分方程解析理论万有泰希米勒空间完全平方数外角平分线图形面积凸多面角投影柱面投影算符统计学正态分布统计学量度离差统计学量度分布同旁内角同解不等式同阶无穷小条形统计图条件蒙特卡罗方法特征子空间索末菲椭圆轨道随机完全区组设计四则计算四元线性方程组四维张量四维速度四维矢量四维时空四维动量四舍五人四次方根四次方程斯密特正交化斯莱特行列式顺序主子式顺序主子矩阵双曲正弦戈登方程矢量叉积矢量叉乘实向量空间实系数多项式实内积空间时空流形时间序列数据分析施密特正交化方法施拉夫利积分表示上三角矩阵三元一次方程组三元一次方程三元一次不定方程三元线性方程组三角化引理热力学第三定律热力学第零定律全等三角形球面三角正弦定律球面三角余弦公式求根公式琼斯矩阵切比雪夫微分方程切比雪夫级数展开齐次线性微分系统谱分解定理平行四边形定则平面直角坐标系平凡子空间偏微分方程数值解庞加莱群庞加莱变换判定定理排序和时间表理论欧氏空间欧氏除法欧氏不变量欧氏变换群欧氏变换欧拉运动学方程欧拉定理欧几里德几何欧几里得距离牛顿莱布尼茨定理拟自反巴拿赫空间拟线性偏微分方程拟对角形拟对角线内接五边形默比乌斯反演公式模型参考适应系统闵可夫斯基坐标系闵可夫斯基几何闵可夫斯基度规幂零指数幂零方阵密度涨落密度算符满秩矩阵满秩二次型麦克斯韦速率分布麦克斯韦速度分布麦克斯韦方程组麦克劳林求和公式马利亚万协方差阵马哈拉诺比斯距离马尔可夫决策规划马尔可夫更新过程孪生素数猜想刘维尔算符刘维尔方程零子空间零化多项式零多项式零次多项式列满秩矩阵量子化泛包络代数两角和公式两角差公式两点间距离连续整数连续相变连续奇数连续偶数连续本征值立方数立方式立方和公式立方和立方差公式立方差李雅普诺夫稳定性朗斯基行列式准则拉普拉斯调和方程拉格朗日展开公式拉格朗日微分方程拉格朗日函数拉格朗日方程拉格朗日等式拉格朗日插值公式拉夫连季耶夫方程克隆涅克尔符号克里斯托费尔公式克里斯托费尔符号克劳修斯不等式克莱姆法则克拉默定理可数希尔伯特空间可数集合可逆马尔可夫过程可积有界集值函数可对易性可对角化科学记数法柯西不等式卡姆克唯一性条件卡拉泰奥多里性质绝对值不等式矩阵多项式九面体解析表达式解集角边角公理交错多重线性映射降秩矩阵降幂排列集团蒙特卡罗方法极小生成集极大线性无关组极大线性无关集基尔霍夫积分定理基础四则混算基本积分公式基本初等函数积化和差积分号积分变量汇合型超几何方程互为余角互为邻补角互为补角互逆命题互逆定理互否命题互补原理恒等自同构和子空间和差化积合同标准型合同变换含时薛定谔方程哈默斯坦积分方程哈密顿算符广义相对性原理广义施勒米希级数广义拉格朗日乘子广义拉盖尔多项式广义矩阵帕德逼近广义狄利克雷问题固定终点变分问题格拉姆矩阵戈尔丁双曲性条件高斯整数环概率图概率流概率幅傅里叶定律复振幅复向量空间复系数多项式复矩阵负因数负分数负方向辐角主值分部积分公式非自治微分方程组非中心威沙特分布非线性自回归模型非线性偏微分方程非线性本征值问题非退化基本可行解非随机化决策函数非交换主理想整环非阿基米德绝对值仿射坐标系仿射子空间方向偏倚抽样方法方均根误差范德瓦耳斯方程反正弦函数反正切函数反余弦函数反余切函数反称型阿达马矩阵二重外积公式二元一次方程组二元一次方程二元一次不等式二元线性方程组二元二次方程组二项式定法二维小波二阶导数二次锥面二次三项式二次曲线轴截距二次齐式二次碰撞概率方法二次根式厄米算符厄米共轭多重线性多项式矩阵多群蒙特卡罗方法多目标非线性规划对应法则对应顶点对易关系对数搜索对偶图形对偶射影平面对换矩阵对称性群对称马尔可夫过程对称多重线性映射对称波函数度量单位定态薛定谔方程典型基矩阵典型埃尔米特内积第一象限角第一类马蒂厄函数第一类勒让德函数第一类汉克尔函数第一类贝塞尔函数第一积分法第四象限角第三象限角第三类贝塞尔函数第二象限角第二类马蒂厄函数第二积分法狄拉克积分低阶无穷小等腰直角三角形等价无穷小等价命题等价集合等价不变量等价标准形等概率假设代数重数代数代入大于等于大数定理达朗贝尔方程凑微分法初等旋转矩阵初等行变换初等拓扑阿贝尔群初等列变换初等反射矩阵乘法结合性质乘法交换性质超自反巴拿赫空间常微分方程数值解差分蒙特卡罗方法不可约张量算符玻耳兹曼统计法玻耳兹曼定律表面增殖因子方法边值关系边角边公理边边边定理比例线段比例定理本征值方程倍法变换保距映射保距同构伴随指数变换方法伴随映射伴随统计估计方法伴随蒙特卡罗方法半自反局部凸空间半开半闭区间半弗雷德霍姆算子巴哈杜尔渐近效率按行按列展开爱因斯坦凝聚爱因斯坦积分爱因斯坦场方程埃尔米特微分方程埃尔米特对称型埃尔米特对称矩阵埃尔米特对称阿诺索夫微分同胚阿贝正弦条件函数概率微分定义域假设指数系数数理统计值域多项式对数积分方差分析公式极小多项式矩阵参数估计计算单位理想最小二乘法定理子集正态分布代数准线奇偶性几何组合基数奇函数数理逻辑自同构算术排列相关系数直线因子分析整环循环群单射平行非欧几何余弦集合数学对偶空间子模分布等价类置信区间偶函数直和期望值代数学回归系数虚数单位向量子式二次曲线原点相似双模周期有效数字开方被乘数代数闭域直径单位矩阵离心率运筹学轨道商群逆映射等比数列等差数列极值期望统计量行列式凸性未知数理想命题定积分几何学线性变换酉矩阵系统抽样模型空集模态逻辑对象特解极限点估计菱形偏相关四元数比例区间指数分布中位数充要条件真值加数钝角三角形变换群分母重心圆柱向量二项式系数逆否命题泛函分析行向量概率论整数子代数半径分配格众数常数方差对偶原理体积正交变换数论多项式环回归分析范数同构差集不定积分赋值应用数学空间酉空间交换环边连通度顶点二项式定理邻接矩阵满射双射极大元微分方程有理根稳定性双曲线数学家线性方程组局部参数闭公式个体变元完全格悖论柱面检验差分表等价关系外积连通图直方图结合代数独立集统计假设次数上边缘样本实矩阵测试函数公分母方程法线常微分方程判别分析微分学最大公因子极大理想棱锥峰度绝对值换元积分法可约表示密切圆色数子范畴估计时间序列论证真子群迭代测度数学模型非交换群下极限单增典型群弱解一元函数小数位区组设计多重共线性迭代法爱因斯坦方程本原多项式天文学最佳一致逼近连续统最速下降法上积分类空间初等变换边心距谓词补图拟合回路线性代数结式协方差规范群勒贝格积分合成列连分数匹配无理数谱半径比较定理割点抛物线分组码网络图商集边界点子格效用函数测度论全空间统计同余关系半直积子样本边覆盖确定性拟凸函数椭圆舍入母线误差似然函数二项分布滤子周长子域李群零空间商模局部收敛正交多项式辛变换公因子序数朗斯基行列式条件不等式结构函数闭包周期群对称多项式临界值指数和乘法骨架复合链群函子导数线性型非线性混合策略样本容量变换关联潜无穷离散谱推出映射析取范式左陪集半群单减欧几里德非标准分析单模幂集相容性卷积覆盖抽象代数开区间平均误差组合数学同伦群拓扑线性空间嵌入整除点函数单位元因子随机过程零点全称量词除环不变因子完全图检验函数无偏估计仿射群单切线亏格积范畴全图均匀分布线性相关微分代数等待时间中心代入消元法虚根单同态数量关系组合分析相似矩阵有理分式经验分布函数位势论闭路小于条件收敛猜想对偶性非线性回归通道上界最小值正交关系闭包运算阿代尔欧几里得空间前束范式差积一阶理论拟凹函数奇置换距离椭圆函数二重积分正则奇点存储容量素域对角优势高斯曲率可行方向同余式多体问题偏微分方程等周问题欧几里得算法完备化随机数互素向量场左理想双曲抛物面特征最大值反演不可能事件子图长度立体角图解法超越数矩形选择函数配对正规化子量词对顶角收缩变分不等式余弦公式运算反交换大圆对称群形式语言四色问题正数广群随机阵三角函数一元运算对称性最大值原理环面齐次多项式不尽根虚轴逆元同态自同态零因子极限点自然对数检验统计量平面曲线次梯度域论特征多项式反射壁变分法复数预层先验概率根式线性规划对称图均差布尔环偏倚傅里叶系数切点右导数生成元前项现代数学变量离散系统分步法黎曼积分张量分析聚合正交系中心矩旋转平行坐标微分拓扑相对补关联矩阵外接圆命题演算矢列式焦点标号图分量逻辑推理子群垂心可定义性相关分析鞍点表示非负整数样本空间范畴四次曲线可靠性一般方程线性无关网络分析正交和十进制初等矩阵零集可判定性无向图奇异值分解超几何分布链式法则幂级数标准分解式超图线性插值标准差积分算子负号均方收敛对数积分条件极值有理数平面图时域离散集自然变换凸多边形立体极小解关系二项式概率函数计算数学递归性开映射连通分支校验位级数解补角辩证法部分和临界点泊松分布公理学命题函数线汇函数论平面三角形周期性范德蒙德行列式邻域因式拓扑学商代数轨道稳定性非线性振动引理完全域底数反函数子簇三角形二重点贝叶斯公式正多边形蒙特卡罗法阶跃干扰原函数对称折线独立性检验耦合映射函数不变子空间聚类分析无序分拆一致性叠加原理随机变量埃尔米特插值调和级数倍数样条子公式标准高代数方程半单元稳健性线性判别函数多面体机器误差扰动理论联结词非线性系统正方形冲激函数平方行秩吸收差错率交互规划恒等式分支合式公式笛卡儿积主部时间尺度乘数生成矩阵三元系零向量事件多项式系数雅可比矩阵洛朗级数重心坐标语法状态方程内面最小元容量谕示法平面正交矩阵多值逻辑拓扑结构控制不可约表示重图目标值平凡子群移位循环码单峰函数组限法向量网格线配方费用函数聚点信源方阵遍历性符号计算熵率符号编码前导交集舍入误差曲线均匀设计直角二次元四面体分类转换平滑射影性质对称差真值表抽样误差区域基点连通度置信水平线性回归对称轴构形公因数基本周期有效位数简单图统计假设检验小数点梅林变换射线四边形近似值种域反射译码支配权平行四边形互信息分数列秩充分统计量多峰分布多维系统代入直角三角形三角学纯粹数学截口最优控制局部域二十面体无穷小约束条件零型张量圆心梯度逻辑运算排队模型全序集随机误差累次积分夹角周期函数切向量消元法正比抽样调查逻辑加法原子公式保密体制周角上控制限裂区设计控制理论偶数约束交换子二重根整群抽样置信限根域库存模型超穷基数状态空间输入联络圈空间平衡设计复流形环同态连通数条件期望恒同映射正规锥四棱柱阻碍类公理系统叉积高阶差分独立交换代数子层混合条件线段平面束正规矩阵对换数学归纳法梯度方向最小公倍数转置单侧检验矩阵表示算术平均数内乘三次曲面极差全域失真常数变易法时变信道切锥参数方程高阶导数级数坐标系编码计数问题等腰梯形逆关系随机集积和式度量空间可达性内摆线实现理论高阶微分捷线出树锐角椭球面子半群映入循环图置换检验阈值被除数排序代数集正则集公开密钥主轴变异系数二进制自然数有限元法有效性组间平方和简单流有限自动机因式分解阶乘凹多边形锥面自由度等距曲线减数仿射坐标隐函数最小距离原理代数余子式洛伦兹变换非标准量词因数不放回抽样自补图补集内积定量非减混循环小数偏回归系数增量投影游程序域加法结合律子关系数列线性方程双格控制变量参数酉变换重言式布尔代数单纯形法投射模振幅结构边缘均方差可实现性填装正交群增广矩阵突发噪声零理想三角扩散旁心定向不动点特征行列式状态自变量根环新息本元白噪声局部最优化八面体动态规划六面体计数函数分式域简单随机抽样食谱问题拐点泊松括号连通性输出样本标准差码字独立试验元素竞赛图初值问题多目标决策图灵机基本空间型函数自由变元线性映射归约剩余次数密度估计量子群总体等边三角形曲率逻辑性待定系数法合数信道平面偏度畸变平均差有理数域信息率算术平均凸包译码器崩溃点被加数线性直积集个体双三次插值过程算术码样本均值边值问题厚度流形零化子推理规则拉回分层切线立方体良态平角抽象性控制器单位根增长性上核布尔方程密集点正根系余切本原元平凡图决策表结点友矩阵拉格朗日乘子残差平方和常表示特征函数可行解仿射变换卷积码移位寄存器伊藤公式归纳定义同调代数插值逼近局部鞅循环排列偏相关系数高阶偏导数动态规划算法张量积软层不等方程细分有向图数量级无限群分子公理典型过程相空间立方减法样本分布和校验连续谱弧度圆周算法自由面复形局部时不等式对偶图同调群自由对象扇形计数七边形斜轴对角线法调和函数泰勒公式余模鲁棒控制流线最优性条件单根包含关系射影空间弧集样本协方差内切圆正割一元关系严格凸中心列百分位数摆线符号检验替换损失函数无后效相对效率二次曲面论题切面横坐标逐步回归尺规作图法合取范式纠错码精度字长适用性真子集似然比间隙代数结构对称矩阵随机编码锐角三角形素端协调系统欧拉变换正则图孙子剩余定理插值偶晶体群六边形系统完全性积分下限伊藤过程最大树射影变换被减数坐标变换数域钝角频数最优性平行六面体正切递归结构一致收敛性最优设计乘方互斥事件分层抽样外推大数定律马蹄子空间中心法一元一次方程初等函数谱估计包含组合概率数字扩域零矩阵上同调群最速上升生成子图实数域决策空间逻辑等价降维法商对策偏导数覆叠空间误差估计商映射有限域广义原子单位全等变换罚函数法绝对误差分裂域进位线性泛函中断过程象限外摆线膨胀对策论十边形权函数狄拉克方程增函数可度量化不变量有限元分析平方根法微分形式相对误差尖点辗转相除法补元递归函数全微分输入流元逻辑谓词演算内点正则表示坐标曲线线性组合斯托克斯公式松弛法合冲余维数密度函数单项式外心带分数三角剖分方向比频率解释支付向量风险函数列向量调和数列无圈图奇点字母码闭项标准元射影平面等腰三角形幻方旅行商问题决策论齐次线性方程组第一范畴带宽主理想线性关系重根坐标轴轨迹局部凸分解准素分解点集回归估计布朗运动强度高阶等差数列分块次优格林公式单变量系统端点内模码率概率译码截断误差边色数相似变换噪声集中控制余割反例分布函数经验过程奇数计算复杂性自动机原子理论哈密顿圈符号差正相关控制论关联系统拟合优度检验逆运算替换定理假设检验复数域半圆内估计参数空间实数证明复分析等价矩阵多重图二元关系内心奇异值定义可逆矩阵仿射平面等距同构元语言统计图最优逼近群码九边形谓词变元相等通常条件线性空间等式哈密顿原理比例内项几何重数完全码信息测度统计表复合矩阵代数式大偏差点覆盖序列平面坐标子系统三次方程样本矩余子式步长概率分布广义线性模型分离点分部积分法数字信息公差直纹曲面验证陪集更新过程加法状态变量特征值初始段纵坐标十二面体画法几何平衡态平移横截性最大似然估计方向弯曲置信概率剪切罚函数对数函数偏微分方程组自由模标准化积分因子多元分析通用函数辛群压力主成分分析回归函数严格凹函数极坐标动力系统变换规则傅里叶变换强连通图线性估计底图发展方程偏差不动点定理根号决策过程解释程序字母表测度空间毕达哥拉斯定理绝对极小值正号记法波函数广义极限完整系相位正弦曲线经验公式百万几何光学现象算图迭代计算机构惯性指数衰减常数累积频率左极限卡积典型相关系数二次收敛齐性输出设备单叶双曲面测地线商层绝对收敛命题变元半连续性幂零推迟势外存储器次极大加密电荷有限点四元组完全积分初始分布张力配置概率测度最小正周期巴拿赫空间极限环非线性泛函分析元件波长语义学射影几何开集统计力学勒让德多项式三垂线定理左平移近似解否定词反三角函数稳定性判据求体积有界变差函数双曲点语义素数角色散处理倍式余角抛物柱面编码器循环小数叶形线圆锥对数正态分布复变函数群代数积分曲线四次方右陪集误差论十一边形二次型外延符号秩检验斜边最小公分母叠加全集特性正则点矩阵群随机函数匈牙利法平均数必然事件正规算子逼近函数切线方程经验曲线点斜式对策配极次对角线线性微分方程位势棱柱必要不充分条件交线时间序列分析泊松比恒等变换爬山法拉格朗日定理入射角原点矩序贯分析减少初态丢番图方程极大化扩展锁相预报下界角放大率后验概率带状矩阵枚举模形式正定二次型统计推断反对数极小曲面位置向量绝对地址行矩阵绝对不等式约定样本方差。
数学中的拟线性方程
数学中的拟线性方程拟线性方程是数学中的一个重要概念，它在各个领域中都有广泛的应用。
本文将介绍拟线性方程的定义、特点以及应用，并通过具体例子进行解析，以帮助读者更好地理解和掌握这个概念。
一、什么是拟线性方程拟线性方程是一类特殊的非线性方程，它与线性方程有一些相似的性质。
它的一般形式可以表示为：f(x) = a(x)g(bx + c) + d其中，f(x)为拟线性方程的左侧，a(x)、g(x)为函数，b、c、d为常数。
拟线性方程的特点在于，当函数g(x)为线性函数时，拟线性方程退化为线性方程。
二、拟线性方程的特点1. 非线性性质：拟线性方程在形式上看似线性，但由于存在函数a(x)和g(x)，使得整个方程的性质是非线性的。
2. 约化为线性方程：当函数g(x)为线性函数时，拟线性方程可以约化为线性方程，即退化为一般形式的线性方程。
3. 弹性的分析方式：拟线性方程的性质灵活多样，可以通过不同的函数a(x)和g(x)的选择，得到不同性质的方程，从而适用于不同的问题和应用场景。
三、拟线性方程的应用1. 物理科学中的应用：拟线性方程广泛应用于物理科学的建模中，例如描述粒子运动的方程、描述材料特性的方程等。
通过选择适当的函数a(x)和g(x)，可以得到符合实际问题的模型，并进行相关的研究和分析。
2. 经济学中的应用：拟线性方程在经济学中也有重要的应用，例如描述市场供求关系、经济增长模型等。
通过使用拟线性方程，可以更好地表示现实经济情况，帮助经济学家进行分析和预测。
3. 生物医学中的应用：生物医学领域常常需要对复杂生物系统进行建模和分析，拟线性方程可以提供一种简便和有效的方法。
例如，用于描述药物在体内的吸收、分布和代谢过程的动力学方程，以及用于预测疾病发展的模型等。
四、拟线性方程的实例分析为了更好地理解拟线性方程的应用和特性，下面将通过一个具体的例子进行分析。
假设有一个拟线性方程如下：f(x) = x^2sin(x) + 3x + 2通过观察这个方程的形式，我们可以看到它包含了一个二次项（x^2）和一个线性项（3x），同时还有一个正弦函数（sin(x)）。
椭圆偏微分方程正则
椭圆偏微分方程正则椭圆偏微分方程是一类常见的偏微分方程，它在数学、物理和工程等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍椭圆偏微分方程的基本概念、性质和求解方法，并通过实例说明其应用价值。
椭圆偏微分方程是指具有椭圆形状的二阶偏微分方程。
一般而言，椭圆偏微分方程由二阶导数项和一阶导数项构成，其中二阶导数项的系数满足某些条件，使得方程的解具有良好的性质。
椭圆偏微分方程的一个经典例子是拉普拉斯方程，它在物理学中描述了静电场和稳定温度分布等问题。
椭圆偏微分方程的一个重要性质是正则性。
正则性要求方程的解在定义域内具有足够多的连续性和光滑性。
具体来说，正则性要求方程的解在定义域内具有足够多的连续可导性，以及满足一定的增长条件。
正则性的要求使得椭圆偏微分方程的解具有唯一性和稳定性，这对于求解实际问题非常重要。
求解椭圆偏微分方程的方法主要有解析解法和数值解法两种。
解析解法是通过数学分析的方法，找到方程的精确解。
这种方法适用于具有简单边界条件和系数的方程，但对于复杂的方程往往无法得到解析解。
数值解法是通过数值计算的方法，近似地求解方程。
常用的数值解法包括有限差分法、有限元法和谱方法等，它们可以处理各种复杂的边界条件和系数，但需要借助计算机进行计算。
下面以一个实际问题为例，说明椭圆偏微分方程的应用。
假设我们要求解一个热传导方程，描述一个矩形板的温度分布。
矩形板的边界被绝热材料包围，上下边界保持恒温，左右边界保持绝热。
我们可以建立如下的椭圆偏微分方程来描述这个问题：∂²T/∂x² + ∂²T/∂y² = 0其中T(x, y)表示温度分布，(x, y)表示矩形板上的坐标。
根据边界条件，我们可以得到上下边界的温度分布为T(x, 0) = T(x, 1) = T0，左右边界的温度分布为T(0, y) = T(1, y) = 0。
利用数值解法，我们可以离散化方程，通过迭代计算得到矩形板上的温度分布。
第七章正则方程
H px x py y pzz L
1 2m
( px2
p
2 y
pz2 )
k 2
(x2
y2
z2)
将H代入正则方程中,得到质点的动力学方程:
x
H px
px m
,
y
H py
py , m
z
H
pz
,
pz m
p x
H x
kx
p y
H y
ky
p z
H z
kz
m x kx 得到质点的运动微分方程 m y ky
1
L dt t
由于 q , p , t 相互独立的, 所以
q
p
H p H
q
( 1,2,, s)
——- 哈 密顿 正 则方 程 ,它 是一阶微分方程,且形式对 称.
和 H L 不是动力学方程 t t
说明如果L不显含时间, H也不显含时间.
q
H p
p
H q
( 1,2,, s)
结合初始条件,得到描述力学 系统运动状态的运动方程:
2s个广义坐标 q , 1,2,s 和广义动量 p , 1,2,s，
统称为正则变量。
由2s个 q , p 组成的2s维空间称为相空间。相空间中 的一个点（相点）代表系统在某时刻的运动状态.在 相空间中, 利用正则方程可对力学系统进行定性的几 何研究,尤其是对非线性系统在解析求解困难时.
正则方程的意义:它结构简单对称,为后续的力学发展 (如泊松括号、正则变换、哈密顿-雅可比方程等理论) 奠定基础；在数学上，正则方程是一阶微分方程，有 利用计算机数学软件对非线性系统的运动作数值计算。
T2
V
in_关于二阶线性椭圆、抛物型方程正则性的若干研究
浙江大学博士学位论文关于二阶线性椭圆、抛物型方程正则性的若干研究姓名：***申请学位级别：博士专业：基础数学指导教师：王斯雷;陈杰诚20010401致谢本人的博十论文能够顺利完成，得益丁许多人的关心、支持和帮助。
值此机会，向他们表示我最诚挚的感谢。
在攻读博士学位的这几年中，导师王斯雷教授对我的影响最大。
他对数学的独到见解和研究中的严谨作风使我在做学问和做人两方面均终身受益，他对我的提携和帮助使我终身难忘。
在此，向王老师表达我深深的谢意。
同时，也要感谢王师母对我的关爱。
导师陈杰诚教授对我的悉心指导和热心帮助使我能顺利完成学业，在此向他表示衷心的感谢。
同样，也要感谢师母徐罕老师对我的关心和帮助。
自从进入浙江大学西溪校区（原杭州大学）以来，骆程教授一赢在学业和生活上关心、帮助我，在此向他表示我真诚的感谢。
感谢浙江大学西溪校区数学系的各位老师和资料室的工作人员对我的帮助。
感谢陶祥兴博士、金小刚博士、刘宗光博士、杨益民博士、贾厚玉博士、金永阳博士和孙永忠、刘晓风、应益明、王梦、郭新伟、章志飞诸学友。
与他们的相处和交流使我受益匪浅，也使我度过了五年的美好时光。
最后，我要感谢我的家人和朋友。
没有他们对我的默默支持和无私帮助，我不能想象我能完成这篇论文。
摘要调和分析（或傅里叶分析）起源于法国科学家Ｊ．Ｆｏｕｒｉｅｒ对热流动的研究．从那时起，经过近两个世纪的发展，调和分析业已成为数学的一个重要分支．无论从概念或方法上，它都广泛地影响着数学的其它分支．数学中很多重要思想的形成都与调和分析的发展过程密切相关．故而，调和分析是研究许多数学分支的重要工具，特别对偏微分方程而言更是如此．众所周知，调和分析中的位势理论，极大函数，球调和函数和算子插值等均为研究偏微分方程的重要工具．本论文主要利用调和分析方法研究二阶线性椭圆、抛物方程的正则性问题．本文共分三章，分别研究二阶散度型椭圆方程，退化二阶散度型椭圆方程和非连续系数二阶椭圆、抛物方程的正则性．第一章研究Ｒ“（ｎ≥３）中有界开集ｎ上的二阶散度型椭圆方程（ａｉｊｕ。
椭圆型方程_中学教育-高中教育
简称椭圆型方程,一类重要的偏微分方程。
早在1900年D.希尔伯特提的著名的23个问题中,就有三个问题(第19、20、23问题)是关于椭圆型方程与变分法的。
八十多年来，椭圆型方程的研究获得了丰硕的成果。
椭圆型方程在流体力学、弹性力学、电磁学、几何学和变分法中都有应用。
拉普拉斯方程是椭圆型方程最典型的特例。
拉普拉斯方程许多定常的物理过程，如稳定的热传导过程、牛顿引力理论及电磁理论中的位势、弹性薄膜的平衡、不可压流体的定常运动等，提出形如(1)的方程，称之为拉普拉斯方程，以及泊松方程(2)式中ρ一般有密度的意义。
容易得到方程(1)和(2)的一些特解。
由于方程是线性的，因此可以由已知的一些特解叠加而得到新的解。
积分也是一种叠加。
通过积分型叠加,便可得到方程(1)的如下的重要解：(3)式中S为一曲面，μ为定义在S上的连续函数。
由(3)确定的函数u在S以外的地方满足方程(1)。
非齐次方程(2)有一个重要的特解，它就是以ρ为密度的体位势：(4)只要ρ在域Ω内有界且连续可微,由(4)确定的函数u在Ω内就满足方程(2)，而在Ω外则满足方程(1)。
在应用上，往往不是求一些特解，而是求满足某些附加条件的解。
例如，第一边值问题（狄利克雷问题）：；第二边值问题（诺伊曼问题）：。
这里Ω为(x,y,z)空间的一个有界域，φ为定义在边界嬠Ω上的已知连续函数，n为嬠Ω的单位外法向量。
这些边值问题的解的惟一性，由调和函数的一个极值性质很容易推出。
拉普拉斯方程的二次连续可微解，称为调和函数。
极值原理域Ω内的调和函数不可能在域内一点取极大值或极小值，除非这个调和函数恒等于常数。
若调和函数的最大值只在某一边界点p上达到，则（假设u在p点可微）。
这些边值问题的解的存在性，也不难证明。
由格林公式可以推得(5)从而有式中，称为拉普拉斯方程关于域Ω的格林函数。
由此引出解第一边值问题的如下方法：先求出G(ξ,η,ξ；x,y,z)，再将所给的边界值代入，得到(6)只要对边界面再加上一些限制,就可以证明由(6)确定的函数u是第一边值问题的解。
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具间断系数拟线性椭圆型方程和方程组的正则性本文研究内容主要由如下四个部分组成:1、建立具VMO间断系数散度型拟线性椭圆方程组弱解的具最优Holder指数的部分Holder连续性估计;2、研究在弱条件下的具退化椭圆的A-调和型方程组弱解梯度的BMO正则性;3、得到定义在Carnot群上的具VMO间断系数的次椭圆方程组弱解梯度在Morrey空间的正则性估计;4、在自然增长条件下,分别研究半线性次椭圆方程和更一般的次椭圆A-调和方程的弱解的具最优Holder指数内部Holder连续性.下面分章节叙述具体内容:第一章简述本研究的选题背景、综述本文相关的文献资料和最新发展动态;同时也给出在正文研究中有关的基本概念和基本事实.第二章分别在可控增长条件和自然增长条件下,研究VMO间断系数的二阶散度型拟线性椭圆方程组弱解具最优Holder指数的部分Holder连续性.采用改进的A-调和逼近技术,建立方程组弱解和某个A-调和函数之间的逼近关系,再结合Caccioppoli不等式,得到在"小能量"下的Holder连续性(部分正则性).与经典的扰动法相比较,该方法避免了反向Holder不等式的使用,并在一定程度上简化了证明.第三章研究一类具弱正则系数的退化椭圆型方程组弱解梯度在全空间上的BMO正则性.基于退化椭圆型方程组弱解梯度的广义Morrey空间估计,建立了弱解梯度在BMO空间的正则性.第四章研究定义于Carnot群上在可控增长条件下具VMO系数的A-调和型次椭圆方程组,当p在2的附近扰动时其弱解梯度在Morrey空间的正则性,由此得到在Q-n<λ<p时弱解具最优Holder指数的Holder连续性.这里需要指出的是,对于一般的p,即使是p-Laplacian,其正则性仍是未知的,文中基于反向Holder 不等式,得到弱解梯度更高的可积性,通过迭代不等式,建立具确切指数的
Holder连续性.第五章研究在自然增长条件下半线性次椭圆方程有界弱解的内
部Holder连续性.通过线性化为线性问题的上下解问题,利用经典的De
Giorgi-Moser-Nash迭代,结合向量场下的Poincare不等式和密度引理,得到Hanack不等式,从而建立方程弱解的内部Holder连续性估计.第六章考虑更一般的A-调和型次椭圆方程在自然增长条件下弱解的内部Holder连续性估计.基于密度引理和De Giorgi-Moser-Nash迭代技巧,证明A-调和型次椭圆方程的有界解的局部Holder连续性.第七章是总结和展望.。