一类拟线性椭圆方程非平凡解的估计
一类拟椭圆边值问题的非平凡解
一类拟椭圆边值问题的非平凡解
杨海欧
【期刊名称】《哈尔滨船舶工程学院学报》
【年(卷),期】1994(015)001
【摘要】利用山路引理，在一定条件下证明了拟椭圆边值问题在空间中有非平凡的广义解．
【总页数】7页(P103-109)
【作者】杨海欧
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O176.3
【相关文献】
1.一类椭圆型方程边值问题拟多重网格预处理迭代法 [J], 李晓旋;郑伟珊;肖奕鑫
2.一类椭圆边值问题非平凡解的存在性 [J], 杨明海;罗庆红
3.一类拟周期系数椭圆型边值问题的双尺度分析 [J], 张晓超;冯永平;郑飞艳
4.一类拟性椭圆型方程在无界区域中非平凡解的存在性 [J], 李园庭
5.一类拟线性椭圆型方程超自然边值问题的非平凡解 [J], 张桂宜
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一类拟线性椭圆型方程的CHOQUARD—PEKAR问题
ｆ ，
Ｉ２・ （ １ － ｕ ｑ
Ｊ （ “ —）ｄｓ 。 ｌ 上 （ ｕ ） ｙ ｙｘ ｃ ｄｙ
其 中 Ｕ ∈Ｋ ， 而 ）∈ ＾ Ｒ ）＋Ｍ ） （ （ 。
Ｉ １ ｕ
（ ）Ｓｂｌ 不等式 ： Ｐ满足 １ｓＰ ＜ｎ 对任何 “∈Ｗ Ｒ ）有 ３ ｏｏｅ ｖ 设 ， （ ，
）≤ ｕ
其 ｇ足件 ＝ 一。 中满条寺 １１ （内不式 ： 何 ６＞’ ｌ ＋ ｌ存 数（ ＞， ４ 插等 对 ’ ０＞’ ＝＇ 常 ｃ）０ 得 ） 任 ｐ 古 总 使
对于形如 一 ｕ ｕ 的非线性场方程在无界 区域 中非平凡解 的存在性 ， Ａ ＝ ） 已有较 完善的结论 引， 讨论广
义极小曲面方程非平凡解的存在性问题也有一些结论 而对如下形式的广义极小曲面方程中带卷积项 “，
的欧拉方程问题则未见有讨论 ：
一
【＋Ｖ 】 （ ＝（ （ ｌ ｌ ＋咖 ÷ １ ） 嚣
第２ 卷 第４ ｌ 期
、 １２ Ｎｏ ４ ｒ． ｌ ０ ．
一
类拟 线 性 椭 圆型 方 程 的 Ｈ Ｑ Ａ Ｄ—Ｐ Ｋ Ｒ问题 Ｃ ＯＵＲ ＥＡ
李 园庭
（ 南昌航 空大学 ， 江西 南 昌 ３ ０ ６ ） ３０ ３
［ 关键词】 拟线性椭 圆型方程 ；Ｈ Ｑ Ａ Ｄ— Ｅ Ａ Ｃ Ｏ Ｕ Ｒ Ｐ Ｋ Ｒ问题 ； 非平凡解 ［ 擅 耍】 讨论 了一类拟线性椭圆型方程的 Ｃ Ｏ Ｕ Ｒ Ｐ Ｋ Ｒ问题在无界区域 中的非平凡解的存在性 ， Ｈ Ｑ Ａ Ｄ— Ｅ Ａ 对于极小 问题
一 一， ｌ ÷ 】
＝ｉｆｌ （ ∈ ’ ｎ｛ 。 ）Ｉ
［ 作者简介 】 李园庭（９２ ， ， １６ 一）男 江西南昌人 ， 南昌航空 大学数学与信 息科学 学院副教授 ， 究方向 ： 分方 程。 研 偏微
一类椭圆型方程弱解梯度的一致估计-论文
1 B , , 且令 2 0
引理 2 , 并运用 Sobolev - Poincaré 不等式 ,可得 : 1 1 ∫ | Dui | pi dx ≤ C( ∫ | Dui| | Br | B r | 2B r| 2B r dx 。 ( 2) 2B r Ω Φ ,取截断函数η ∈ η≤ I c≠ C0∞( 2Br ) , 满足 0 ≤ 1 , 且在 B r 上η = 1 , 记 D = 2B r Ω I , 由引理 2 可
( 7) 在式 5 中 , 取 Φ = ui - Tk ui 为检验函数 ,并运用 Y oung 不等式 , 得到 : α∫ | ui |
≥ k Ai
( x , u i , D ui ) Duidx ≤ C∫ | ui |
≥k| f|
p′ i
dx +ε ∫ | ui |
≥k|
ui| pi dx + k ∫ | ui|
关键词 : 弱解 ; 容量 ;扬 不等 式 ; 全局正则性 中图分类号 :O175. 3 文献标识码 :A 文章编号 :1001 - 9146 (2009) 04 - 0071 - 04
0 引 言
本文讨论拟线性椭圆方程 : - divAp ( x , u , Du) = f ( x) 弱解梯度的一致估计 。关于此类方程已有广 泛的研究 ,如利用 Hardy 不等式构造检验函数 , 得到拟线性椭圆方程 :
1 主要结果
假设Ω是 Rn (n ≥ 3) 中的有界开集 , 且其边界是一致 p - 厚的 , 考虑拟线性椭圆型方程的 Dirichlet 问 题: - div Ap ( x , u , Du ) = f ( x) inΩ
一类椭圆边值问题非平凡解的存在性
本 文 考 虑 如 Ｆ 圆边 值 问题 非 平 凡 解 的 存 在 椭
性：
另 外假 定存 在 ｍ＜ｋ及 常 数 ＞０ 满足 ：
（ ３ ｌ ｕ 璺兰 Ｇ） ｉ ｐ ｍｓ
一 一 ａ－ ￡ ｅ＿
，
∈
—
｛），ａ Ｉ＝∈， ０ （
其 中 ｃ Ｒ 是具 有 光滑 边 界 的有 界 开集 ，
Ｅｘ ｓ ｅ ｅ ｏ ｏ ｒ ｖ ａ ｏ ｕ ｉ ｎｓｆ ｒａ ｃ ａ ｓｏ ｅ ｉ ｎ ａ ｉｔ ｎｃ ｆｎ ｎｔ ｉ ｉ ｌｓ ｌ ｔｏ ｏ ｌ ｓ ｆｓ ｍ ｌ ｅ ｒ ｉ
ｅｌｐｔｃ ｂ ｎｄａ ｙｖａ ｕｅｐｒ ｂｌ ｍ ｓ ｌｉ ｉ ｏｕ ｒ ｌ ｏ ｅ
Ｙ ＮＧ Ｍｉｇｈ ｉ Ｌ Ｏ Ｑｉｇｈ ｇ Ａ ｎ —ａ ， Ｕ ｎ —ｕ ｎ
（ ｏｌ ｅ ｆ ｔｅ ｔ ｓ ｎ ｆｒ ｔ ｎＳ ｉｎｅ Ｘ ｎ ａｇＮｏｍａ Ｕ ｉｅｓｙ Ｘｉ ａｇ４ ４ ０ ， ｈｎ） Ｃ ｌｇ Ｍａｈｍａｉ ｄＩ ｏｍａ ｏ ｃｅｃ， ｉｙ ｎ ｒ ｌ ｎｖ ｒｉ， ｎ ｎ ６ ０ ０ Ｃ ｉａ ｅ ｏ ｃａ ｎ ｉ ｔ ｙ
、０ ． ２ Ｎ ０ ３ ，１ ２ ． Ｓｅ ２０１ ｐ． ０
ｄ ｉ １ ．９ ９ ． ｓ ． ７ — １６２ １ ． ． １ ｏ： ０ ６ ／ｉ ｎ１ ２ ６ ４ ． ００ ０ ３ ｊｓ ６ ０ ３０
一
类 椭 圆边值 问题 非平凡解 的存在 性
杨 明海，罗庆红
（ 信阳师范学院 数 学与信息科学学院，河南 信 阳，６０ ０ ４４ ０）
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｘ ｓｅ ｃ ｆｎ ｎ ｒ ｉｌｓ ｌ ｔ ｎ ｏ ｌ ｓ ｆｓ ｍ ｉ ｎ ａ ｌ ｐ ｉ ｏ ｎ ａ ｙ ｖ ｌ ｅ ｒ ｓ ｎ ｎ ｒ ｂ ｅ ｓ ｏ ｔ ｉ ｅ ｎ ｅ ｓ ｒ ｃ ：Ｅ ｉｔｎ ｅ ｏ ｏ ｔｉ ａ ｏ ｕ ｉ ｓｆ ｒａ ｃ ａ ｓ ｏ ｅ ｌ ｅ ｒｅ ｌ ｔ ｂ ｕ ｄ ｒ ａｕ ｅ ｏ ａ ｔｐ ｏ ｌｍｓ ｉ ｂ ａ ｎ ｄ ｕ ｄ ｒ ｖ ｏ ｉ ｉ ｃ ｇ ｎ ｒ ｌ ｅ Ａｈ ｅ ｅａ ｉ ｄ ｚ ｍａ － ｚ ｒＰａ ｌ ｔ ｐ ｏ ｄ ｔｏ ｓ ｙ ｔ ｅ ｇ ｎ ｒ ｌｚ ｄ ｍｏ ｎ ａ ｎ ｐ ｓ ｌ ｍｍ ａ ｉ ｈ ｒｔｃ ｌ ｐ ｉ ｔ ｔ ｅ ｒ ｄ Ｌａ ｅ — ｕ ｙ ｅ ｃ ｎ ｉｉ ｎ ｂ ｈ ｅ ｅ ａ ｉ ｅ ｕ ｔｉ ａ ｓ ｅ ｎ ｔ ｅ ｃ ｉｉａ ｏ ｎ ｈ ｏ ｙ． Ｋｅ ｒ ｓ ｂ ｕ ｄ ｒ ａ ｕ ｒ ｂ ｅ ｎ ｎ ｒｖ ａ ｓ ｌｔ ｎ ｗｅ ｋ ｓ ｌ ｔ ｎ ｙ ｗｏ ｄ ： ｏ ｎ ａ ｖ ｌ ｅｐ ｏ ｌｍ； ｏ ｔｉ ｉ ｌ ｏ ｕ ｉ ； ａ ｏ ｕ ｉ ｙ ｏ ｏ
一类椭圆方程解的存在性
考 虑 如下 拟线 性椭 圆 Ｄｒｈｅ 边值 问题 ： ｉｃｌ ｉ ｔ
『 一△Ｐ ＝厂 ， ， （ ） ∈力，
∈ Ｍ２ ，
／、 １
Ｉ ０ ：
，
其 中： 。 △ Ｍ＝ｄ （ “ ｉ １ ｖ
‘
一
“， ｃ （ ） Ｎ≥２ 是 一 个 具光 滑 边 界 ａ 的有 界 域 ；１＜ ） Ｐ＜ ＋∞；
Ａｂ ｔ ｃ ：Ｗ ｅ ｉ ｖ ｓｉａ ｅ ｈ ｘ ｓ ｎ ｅｏ ｏ ｔ ｖ ａ ｏ ｕ ｉｎ ｆ ｏ ｕ ｓ ｉ ｅ ｒｅｌ ｔ ｑ ａ ｉｎ ，ｏ ｔｉ ｉ ｇ ｓｒ ｔ ａ ｎ ｅ ｔ ｔｄ ｔ ｅ ｅ ｉ ｅ ｃ ｆ ｎ ｒ ｉｌ ｌ ｔ ｓｏ ｍｅ ｑ ａ ｉ ｎ ａ ｌ ｐ ｉ ｅ ｕ ｔ ｓ ｂ ａｎ ｎ ｇ ｔ ｎ ｉ ｓ ｏ ｓ ｌ ｉ ｃ ｏ
ＷＡ ａ－ｈ ｎ ， Ｉ ｉ ， Ｉ ｈ－ ｎ Ｎ Ｂ ｏｃｅ ｇ Ｌ ａ Ｌ ｉｕ Ｊｎ Ｓ ｊ
（ ｏｌ ｅｏ ｎｏｍ ｔｎＴｃｎｌ ｙ Ｊ ｉ Ａ ｒ ｕ ｕａ ｎｖｒｔ，Ｃ ａｇ ｈｎ１０ １ ， ｈｎ ） Ｃ ｌｇ ｆｒ ａｉ ｅ ｏｏ ， ｉｎ ｇｉ ｌ ｒｌ ｉ ｓｙ ｈ ｎｃｕ ３ １８ Ｃ ｉ ｅ ｆＩ ｏ ｈ ｇ ｌ ｃ ｔ Ｕ ｅｉ ａ
１ ， ｌ Ｃ １＋ ｌｌ ） Ｖ ∈力， Ｖｓ∈２ 存在６ ０ ∈ ０ ， Ｈ） ＞ 和 （， ） 使得ｐ （， ＜ ｛ Ｖ ≤ ， Ａ Ｆｘ ）－ ５ ， ｘ ， ６ 其中Ｆｘ ）＝【 ， ． ｓ Ｉ ｘＩ Ｅ （， ｓ ）
ａ ｎ ｗ ｘｓｅ ｃ ｒ ｓ ｌ ｏ ｕ ｉｎ ｆ ｔ ｅ ｅ ｕ ｔｏ ｓ ｙ ｐ ｙ ｎ ｔ ｅ ｅ ｅ ｉｔ ｎ ｅ ｅ ｕ ｔ ｓ ｌ ｔ ｏ ｈ ｑ ａ ｉｎ ｂ ａ ｐｌｉ ｇ ｈ ｍｏ ｎ ａ ｎ ｏ ｕ ｔ ｉ ｐａ ｓ ｈ ｏ ｅ ｕｎ ｅ ｓ ｍｐ ｏｉ ｓ ｔ ｅ ｒ ｍ ｄ ｒ ａ ｙ ｔｔｃ
一类带梯度项的拟线性椭圆型方程解的结构研究的开题报告
一类带梯度项的拟线性椭圆型方程解的结构研究的
开题报告
题目：一类带梯度项的拟线性椭圆型方程解的结构研究
研究意义和背景：
拟线性椭圆型方程是数学物理学研究中的重要问题之一，其在生物、医学、工程、物理等领域都有广泛的应用。
除了传统的非线性椭圆型方程，还有一类具有梯度项的带有非线性项的拟线性椭圆型方程，对这类
方程的解的结构研究具有重要的理论和实际意义。
然而，这类方程求解
的困难使得其在实际应用中缺少有效的解析方法，因此，研究这类方程
的解的结构，对于深入认识数学物理学的本质和发展数学物理学的新方
法具有重要意义。
研究内容和目的：
本论文拟研究一类带梯度项的拟线性椭圆型方程解的结构问题。
本
论文的主要研究内容包括：(1)针对该类方程解的局部和整体性讨论，研
究解的存在性和唯一性性质；(2)研究方程解的单调性和对称性；(3)探究该类方程解在边界处的行为等问题，分析方程解的稳定性。
通过分析这
些问题，以期对该类方程解的结构性质做出深入的探究，为实际应用中
的问题提供理论支持。
研究方法：
本论文将采用椭圆型偏微分方程理论和深度学习算法的结合，以探
究一类带梯度项的拟线性椭圆型方程解的结构问题。
具体地，将采用变
分法、对称性分析等方法对方程解的局部和整体性进行分析，结合深度
学习算法对方程解的单调性和对称性等性质进行探究。
研究预期结果：
本论文预期得到一类带梯度项的拟线性椭圆型方程解的结构问题的深入探究。
具体地，本论文将得出方程解的存在性和唯一性性质，解的单调性和对称性等性质，方程解在边界处的行为，以及解的稳定性等结论，为实际应用中的问题提供理论支持。
一类拟线性Choquard方程非平凡解的存在性
[4] LIUJQ,WANG Y Q,WANGZQ.SolutionsforQuasilinearSchrödingerEquationsviatheNehariMethod[J]. Comm PartialDifferentialEquations,2004,29(5/6):879-901.
则存在常数 C(N,μ,r,t)>0,使得对任意的u∈Lr(ℝN )和v∈Lt(ℝN ),有
∬ℝ2N u(xx)-·yvμ(y)dxdy ≤ C(N,μ,r,t)‖u‖r‖v‖t.
方 程 (3)对 应 的 能 量 泛 函 为
∫ ∫ J(u)∶=p1 ℝN (1+2p-1 u p) ∇u pdx-21q ℝN (Iμ* u q)u qdx.
Abstract:Weprovedtheexistenceofnontrivial weaksolutionforaclassofquasilinear Choquard equationswithp-Laplacianoperatoras wellastheconvolutiontermsbyusingthe mountainpass lemma. Keywords:Choquardequation;p-Laplacianoperator;mountainpasslemma;nontrivialsolution
2)方 程 (1)中 的 卷 积 项 导 致 紧 性 条 件 不 再 成 立 ,本 文 利 用 一 些 精 细 的 分 析 技 巧 解 决 了 该 问 题 .
一类非局部椭圆方程正解的存在性
一类非局部椭圆方程正解的存在性陈林【摘要】本文研究了一类非局部椭圆方程非平凡弱解的存在性问题.利用Nehari 流形及纤维环映射,获得了该问题正解的存在性条件,推广了该领域的相关结果.【期刊名称】《数学杂志》【年(卷),期】2019(039)002【总页数】11页(P249-259)【关键词】椭圆型方程;Nehari流形;纤维环映射;正解【作者】陈林【作者单位】伊犁师范学院数学与统计分院,新疆伊宁835000【正文语种】中文【中图分类】O175.251 引言椭圆型方程是偏微分方程理论的一个重要组成部分,其解的存在性问题具有很高的学术价值和理论价值,是偏微分方程领域中一个重要的研究课题.文献[1]研究了如下拟线性椭圆边值问题多个正解的存在性,其中是边界光滑的有界区域,函数且满足本文运用Nehari流形和极小-极大原理证明了当Ω是一不可收缩区域且g在¯Ω上恒等于1而f在¯Ω上充分小时,问题(1.1)至少存在三个解,从而进一步证明了对于一般的区域,当f的正部在¯Ω上足够小时,问题(1.1)至少存在两个正解.近年来,对非局部椭圆方程的研究日益受到人们的重视[2–5].本文研究如下一类非局部椭圆方程非平凡弱解的存在性,其中λ>0是实参数,1<p<N(N≥3),1<n<p<m<p∗,0≤a<(N−p)/p,p∗=Np/(N−pd),a≤b<a+1,d=a+1−b>0,h( x),H(x)是在RN上可变号的权函数.文献[6]运用Nehari流形及纤维环映射的方法得到当a=0,p=2时,问题(1.2)在有界区域上至少存在两个正解;文献[7]运用山路引理和Ekeland变分原理证明了当a=0时,问题(1.2)至少存在两个非平凡的弱解.受文献[1,6,7]的启发,我们将运用Nehari流形及纤维环映射证明问题(1.2)在全空间RN上至少存在两个非平凡的弱解.由于所讨论的问题定义区域是全空间RN,从而本文不能得到类似于文献[1]中三个弱解的存在性结果.设是空间的完备化空间,其上的范数定义为而问题(1.2)所使用的函数空间为它是空间关于范数的完备化空间.由文献[8]可知,存在一常数S>0使得其中−∞<a<(N−p)/p,a≤b<a+1,d=a+1−b,p∗=pN/(N−pd).此不等式被称为Ca ff arelli-Kohn-Nirenberg不等式.在证明本文的主要结论时,此不等式将被反复使用.为研究问题的方便,做如下假设:本文的主要结果为定理1.1 若条件(A1)–(A3)成立.则存在正数λ1使当λ∈(0,λ1)时,问题(1.2)至少具有两个正解.2 预备知识定义2.1若u∈X且对于任意的ϕ∈X有成立,则称u为问题(1.2)的一个弱解.显然问题(1.2)具有变分结构.设Iλ(u)是问题(1.2)所对应的Euler泛函,其具体表达式为其中σ=p(τ+1).则Iλ(u)∈C1(X,R)且对于任意的ϕ∈X 有特别地,由于Iλ在X上无界,因此引入Nehari流形其中指的是通常的对偶积.从而u∈Nλ当且仅当从而当u∈Nλ时,有引入纤维环映射φu:t∈ R+7→ Iλ(tu),则易见,u∈Nλ当且仅当(1)=0.更一般地,(t)=0当且仅当tu∈Nλ.将Nλ分成由于当u∈Nλ时,(1)=0,从而引理2.2 Iλ是强制的且在Nλ上有下界.证由Hölder不等式及不等式(1.3),得其中同理其中从而有由于n<p≤σ<m,从而Iλ在Nλ上强制有下界.引理2.3存在λ0>0使得当λ∈(0,λ0)时=∅.证设.假设结论不真,则存在λ ∈(0,λ0)使得从而存在u∈使得将(2.18)及(2.19)式运用于(2.21)式得从而由此可得λ≥λ0,矛盾！因此,存在λ0>0使当λ∈(0,λ0)时=∅.引理2.4假定u0是Iλ在Nλ上的一个局部极小值点.如果u06∈,则u0是Iλ(u)的一个临界点.证设考虑最优化问题:在F(u)=0的条件下求由Lagrange乘子原理知存在µ∈R使得因由于u0∈Nλ,从而然而因此,如果u06∈,则.进而由(2.25)式知µ=0.从而.证毕.由引理2.3,当λ∈(0,λ0)时,.定义引理2.5设则当0<λ<λ1时有(1)<0;(2)存在k0>0,使得≥k0.证(1)设u∈N+λ,则由(2.13)和(2.17)式得从而从而<0.(2)设u∈,则由(2.14)和(2.16)式得从而对于任意u∈,当0<λ<λ1时,存在某常数k0=k0(m,n,p,hα,Hβ,S)>0,使得Iλ(u)≥ k0.证毕.设u∈X且.令则z0(t)=tp−n−1E(t),其中则令E0(t)=0得则E(t)在[0,t∗)单调递增,在(t∗,+∞)单调递减.从而E(t)在t∗处取得最大值.由于E(0)=k(p−n)kukp>0,E(+∞)=−∞,因此存在唯一的tl>t∗>0,使得E(tl)=0且当t∈[0,tl)时函数z(t)递增,当t∈(tl,+∞)时,函数z(t)递减;在tl处取得最大值.特别地,当l=0时,有由E(t0)=E(tl)=0可知t0≤tl.从而引理2.6对于满足的u∈X及0<λ<λ0,有(1)若H(x)|u|ndx≤0,则存在唯一的t−>tl使得t−u∈且有Iλ(t−u)=(2)若H(x)|u|ndx>0,则存在唯一的0<t+<tl<t−使得且证设则(1)若,则存在唯一的t−>tl使得z以及z0(t−)<0.从而Ψ0(t−)=0且有t−u∈Nλ.又,从而易见,且当t∈ [0,t−)时 (t)>0;当t∈ [t−,+∞)时(t)<0.所以Ψ2(t)在t−处取得最大值,即(2)若.由(2.36)式,当λ∈(0,λ0)时有从而由函数z(t)的特性可知存在0<t+<tl<t−使得以及z0(t+)>0>z0(t−).由于Ψ1(t)=tn+1z0(t),从而t+u∈,t−u∈N−λ.由于当t∈ [0,t+)时,<0;当t∈ [t+,tl)时,(t)>0,从而另外,易验证当t∈ [t+,t−)时,(t)>0;当t∈ [t−,+∞)时,(t)<0;当t∈ [0,t+]时,Ψ2(t)≤ 0.又由于t−u∈,从而由引理2.5中的(2)可知Ψ2(t−)>0.从而由Ψ2(t)的单调性可知证毕.对于任意.定义函数则η(0+)=−∞,η(+∞)=0,η(t)在某个t=Tl>0处取得最大值.引理2.7对于每一满足的u∈X,当0<λ< λ1时,有(1)若h(x)|u|mdx≤0,则存在唯一的0<t+<Tl使得t+u∈且有Iλ(t+u)=(2)若,则存在唯一的0<t+<Tl<t− 使得t+u∈,t−u∈且有证由于,从而可应用引理2.6的证明方法得到引理2.7的证明,故在此略去.引理2.8假定(A1)–(A3)成立.若{uk}在X中收敛于u∈X,则存在{uk}的一个子列(不妨仍记为{uk})满足证只证明(2.42),(2.41)式的证明是类似的,在此略去.因为从而对于任意ε>0,存在R0>0使得其中Br={x∈RN:|x|≤r}而.由于{uk}在X中弱收敛于u,则{uk}在X中有界且{uk}在空间中弱收敛于u.进而,由不等式(2.43)推出{uk}在空间中有界.因此,存在的子列(不妨仍记为)使得在中弱收敛于u,在RN中几乎处处收敛于u.从而对于任意k≥1存在与k无关的常数M使得因此对于足够大的k成立,另一方面,由Hölder不等式,当k足够大时,有因此.证毕!3 正解的存在性引理3.1如果0<λ<λ1,则泛函Iλ在上存在一个最小值点且有(1)Iλ(u0)=;(2)u0是问题(1.2)的一个非平凡的非负解.证由引理2.2知Iλ在Nλ上有下界(从而在上有下界),因此存在一个极小化序列使得因为泛函Iλ 是强制的,所以{uk}在X 中有界.不失一般性,可假定{uk}在X中弱收敛于u0.由引理2.5和引理2.8可得,当k→∞时,有由(2.8)式得因此在(3.3)式的两边取极限k→∞,则有.进而由引理2.7,存在唯一的<Tl使得接下来证明{un}在X中强收敛于.假若结论不成立,则有,则对两边当n→∞取极限,再由=0可得,当n充分大时,另一方面,由{un}⊆可知,且当0<t<1时,从而由(3.5)式知>1.因为在上是递减的,所以这与下确界的定义矛盾！故{un}在X中强收敛于.从而即是Iλ在上的一个极小值点.又由于且从而由引理2.4可知是问题(1.2)的非负弱解.再由极值原理(参见文献[9])知引理3.2假定λ∈(0,λ1),则泛函Iλ在上有极小值点使得(1)(2)是问题(1.2)的一个非平凡的非负解.证由引理2.2知Iλ在上是强制的.从而存在一极小化序列{uk}⊆使得由于Iλ强制,从而{uk}在X中有界.因此,存在{uk}的一个子列(不妨仍记为{uk})在X 中弱收敛于元.由引理2.5可知,当u∈时,Iλ(u)>0,因此有进而由(2.9)式得令k→ ∞,由引理2.8得.因此由引理2.6,存在唯一的t0使得接下来证明{uk}在X中强收敛于.假若不然,则有由于uk∈,从而当t≥0时,Iλ(uk)≥Iλ(tuk).因此有这与δ−的定义矛盾！从而{uk}在X中强收敛于.从而类似于引理3.1的讨论可知是问题(1.2)的一个正解.证毕！定理1.1的证明由引理3.1和引理3.2知,当λ∈(0,λ1)时,问题(1.2)有两个非平凡的正解∈和∈.又由于∩=∅,从而和是问题(1.2)的两个不同的正解.定理1.1证毕！参考文献【相关文献】[1]Fan H N,Liu X C.Multiple positive solutions to a class of quasi-linear elliptic equations involving critical Sobolev exponent[J].Monatsh Math.,2014,174:427–447.[2]Figueiredo G M,Morales-Rodrigo C,Santos Júnior J R.Study of a nonlinear Kirchho ffequation with non-homogeneous material[J].J.Math.Anal.Appl.,2014,416:597–608. [3]Aouaoui S.Multiplicity result for some nonlocal anisotropic equation via nonsmooth critical point theory approach[J]pu.,2011,218:532–541.[4]Cheng B.New existence and multiplicity of nontrivial solutions for nonlocal elliptic Kirchho fftype problems[J].J.Math.Anal.Appl.,2012,394:488–495.[5]Wu Y Z,Huang Y S,Liu Z.On a Kirchho fftype problem inRN[J].J.Math.Anal.Appl.,2015,425:548–564.[6]Chen C Y,Kuo Y C,Wu T F.The Nehari manifold for a Kirchho fftype problem involving signchanging weight functions[J].J.Di ff.Equ.,2011,250:1876–1908.[7]Chen C S,Huang J C,Liu L H.Multiple solutions to the nonhomogeneous p-Kirchho ffelliptic equation with concave-convex nonlinearities[J].Appl.Math.Lett.,2013,26:754–759.[8]Ca ff arelli L,Kohn R,Nirenberg L.First order interpolation inequalities withweights[J].Compos.Math.,1984,53:437–477.[9]Struwe M.Variational methods,applications to nonlinear partial differential equations and Hamiltonian systems(3rd ed.)[M].New York:Springer-Verlag,2000.。
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即可 ． 由于 ｝ ｚｌ ≤ Ｉ Ｙ｝ ， ， ｚ— ＋ ｝ Ｉ 故 Ｙ ｐ
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给 出 这个 非平 凡解 的一 个 估 计 ． 关键 词 ： 平 凡 解 ；Ｈａｄ 不 等式 ； 线 性 椭 圆方 程 ；集 中 紧 ； 界 指 数 非 ｒｙ 拟 临
中 图 分 类 号 ： ７ ． ５ ０ １ ５ ２ 文 献 标 志 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１０ — ７ ５ ２ １ ） ４ ０ ７— ３ ０ １ ８ ３ （ ０ １０ — ３ ３ ０
Ｍ 一， Ｌ（ Ｊ ）｛∈ ｝ ｏ ｃ ｎ
其 中 １＜ ｓ ｏ ， ＋ 一 １ ＜ 。 ．
５ Ｓ
Ｊ１）（Ｉ＜ 。， （ｌ ＋。 ｏｘ 厂）ｙ ｝ ｆ， ３ｒ ｄ Ｊ
其 次 引进 一 个重要 结 论． 引理［ 设 ｆ∈ Ｍ ｎ） ｓ 。 （ ， 口＞ Ｎ， 则
ｊ ． 。
ｄ ≤
，
＋
＋
其中 ｄ＝ｄ ｍ（ ， ｉ ） Ｃ— ｌ ｌｓ Ｋ：Ｋ（， ． ａ ｆＩ （ Ｍ ， ａＮ）
定 理 ２的证 明 设 Ｕ是 问题 （ ）的任 意 一个 非平 凡解 ， 据文 献 ［ ］ 可 以表示 为 ２ 根 １，
ｃ一ｊ 等 ｚ ．Fra bibliotek的非 平凡解 的一个估 计． 中 ： 其 ｎ是包 含原 点 的有界 开 区域 ，ｎ光 滑有 界 ； 。 ａ ２ ＝
ｏ ＜（－ ） ，＞４ ＜ Ｎ 。 ＞ｏ Ｔ ２， Ｎ ．
记
一
瓣 叫
．
ｊ ＝ （ “ｄ 一Ｉ）一 ． Ｉ （ ｊＩ ｌ — “ １。 ） ｌ ｌｚ Ｊ 。 ， ｄ 。 Ｉｄ
ｊ ） 应 的 Ｆ ￣ｈ ｔ （ 对 ｒｃ ｅ 导数 是
， ，＝ （ ｊ ）ｎ
收 稿 日期 ； ０ ００一０ ２ １ —９１
一静 －ｕｄ ｎ ］Ｚｄ Ａ） ｚｕｚ ｇ Ｊ ＂ ９， Ｉ－
基 金 项 目ｔ国家 自然 科 学 基 金 资助 项 目（０ ７ ０ ７ ； 东 省 自然 科 学 基 金 资 助 项 目（ ４ ２ ０ ７ １４ １ ４ ） 广 ０００７）
Ｖｏ ． ０ ＮＯ ４ １４ ．
Ｊ ｌ ０ １ ｕｙ２ １
一
类拟 线 性 椭 圆方 程 非 平 凡解 的估计
张 瑞敏
（ 京理 工 大 学 珠 海 学 院 ， 东 珠 海 ５ ９ ８ ） 北 广 １ ０ ５
摘
要 ： 究 了一 类 包 含 ｆ 指 数 的 椭 圆 问 题 ． 用 山 路 引 理 证 明 了 拟 线 性 椭 圆方 程 非 平 凡 解 的 存 在 性 ， 研 临界 利 并
第４ Ｏ卷 第 ４期
２１ ０ １年 ７月
内 蒙 古师 范 大 学 学报 （ 自然 科 学汉 文 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｎ ｅ ｏ ｇ ｌ ｒ ｌＵｎｖ ｒｉｙ （ ｔ ｒ ｌ ｃｅ ｃ ｉｏ ） ｏ ｒ ａ ｆＩ ｎ ｒＭ ｎ ｏ ｉ Ｎｏ ｍａ ｉｅ ｓｔ Ｎａ ｕ ａ ｉｎ ｅＥｄｔ ｎ ａ Ｓ ｉ
作者简介：张瑞敏（ ９ ０ ） 女 ， １ ８ － ， 河南省鹤壁市人 ， 北京理工大学珠海学院讲 师， 主要从事非线性椭圆型方程 的研究 ， Ｂｍａ ； ｔｒ ｈ ｎ ｉ ｍａｈｍ。 ａ ｇ ｌ
＠ １ ６ ｃ ｒ． ２． ｏ ｎ
・３ ４ ・ ７
内蒙 古 师 范 大 学 学 报 （ 自然 科 学 汉 文 版 ）
） ，＞ｉ本 继 文 ［ 的 作给 当 一 时 题１非 ＞ｏ ＇ 文 续 献 ２ 工 ，出 ２ 问 （ 平 ， Ｎ ／ ２ ２ ｏ ］ ）
． Ｕ￣ ｌ 』 Ｕ＋ 一ｍ Ａ＿ ／ ｕ
ｌ一ｏ ｚ∈ａ ， Ｏ
， ｚ ∈
（ ２ ）
是临界 ｓ ｂ ｌｖ 数 ； ｏ 。ｅ 指
０ 引 言
拟线性 偏微 分方 程 问题 主要 来源 于几 何和 物理 学等 问题 中 的数学 模 型． 拟线 性 偏微 分 方程 的非 平凡 解 的存在 性及 相关 问题 至今仍 未完 全解 决 ， 别是 包含 临界 指数 的拟 线性 椭 圆方程 问题 近年来 颇受 关注叫 ． 特 文
献 ［］ 用 Ｈａｄ 等式 和山路几 何研 究 了一类 拟线 性椭 圆方 程 ２利 ｒｙ不
Ａｐ ｕ＝ ［ １
一
。 …
∈
（） １
０，ｚ ∈ ａ２ ． ｆ
非 平凡 解 的存 在 性 ． 中：ｎ 是 包 含 原 点 的有 界 开 区域 ，ｏ 光 滑 有 界 ；１＜ 户＜ Ｎ ， ＝ ｊ 其 ａ 户
是 临 界
ｓ 。Ｖ 数 ｏ 。 １指 ；＜ ＜（ ｂｅ
凡解 的一 个估 计 ， 即关于 问题
第４ Ｏ卷
Ｖ９ Ｈｎ在 ５）， 价 数 ｆｊＶｆ） ∈ ５） Ｈ 中 等 范 ｌ ． ｕ如专 ｕ （． （ 记 ， 一 ． （ｌ ｚ
本 文的结 论 如下 ：
定理 １ ｅ ＜ ≤ 盟 ｇｏ
，
ｏ＜ ＜ ｉ ｔ 成立 ， 中 Ｎ ＞ ４ 则 问题 （）存在 一个 非平 凡解． 其 ， ２
定理 ２ 设 “是 问题 （ ）的一 个非 平凡 解 ， ２ 则
ｌ
（） ≤ ｃ １ ｌ ，，） ｚ Ｉ （ｕ ， ／ｔ ， ｌ ｚ２
￣Ｐ＞ （ ｅ … ， ５ 一
１ 定 理 的证 明
足 理 １的 让 明 见 文 献 Ｌ － ２Ｊ ．
对 问题 （ ）的非平 凡解 做一 个估 计． ２ 首先 引进 Ｍ ｏｒｙ空 间 ： ｒｅ