非线性椭圆型方程的nehari流形
非线性临界Kirchhoff型问题的正基态解
2021,41A (3):666-685数学物理学报http: // a ct a 非线性临界Kirchhoff 型问题的正基态解成艺群滕凯民**收稿日期：2020-04-17;修订日期：2020-10-26E-mail: *****************; t *********************基金项目：国家自然科学基金(11501403)、山西省留学回国择优项目(2018)和山西省自然科学基金面上项目(201901D111085)Supported by the NSFC(11501403), the Scientific Activities of Selected Returned Overseas Professionals in Shanxi Province (2018) and the NSF of Shanxi Province(201901D111085)*通讯作者(太原理工大学数学学院 太原030024)摘要：该文研究如下Kirchhoff 型方程(a + b △u + V (x )u = —2 u + s \u \4 u,x e R 3,u e H 1 (R 3),其中a > 0, b> 0,4 <p< 6, V (x ) e L l |c (R 3)是一个给定的非负函数且满足lim V (x ):= 抵•对V (x )给定适当的假设条件，当s 充分小时，证明了基态解的存在性.关键词：Kirchhoff 型方程；临界非线性；基态解.MR(2010)主题分类：35B09; 35J20 中图分类号：O175.2 文献标识码：A 文章编号：1003-3998(2021)03-666-201引言本文研究如下Kirchhoff 型问题(a + b△u + V (x)u = |u |p-2u + s |u |4u, x u > 0, u e H 1 (R 3)(1.1)e R 3,正基态解的存在性，其中a > 0, b> 0,4 <p< 6, s> 0•此外，V (x )是一个非负函数且满足他)：V (x ) e 厶仁(R 3), lim V (x ) = V ^, V (x ) > V 0 > 0 a .e . x e R 3.问题(1.1)与下面方程p 兽-(牛+2L /dudx /(u )(1.2)No.3成艺群等：非线性临界Kirchhoff 型问题的正基态解667对应的稳态相关.1983年，作为经典D'Alembert 波动方程的延伸，Kirchhoff^在研究拉 伸弦的横向振动，特别是考虑到横向振动引起的弦的长度变化时首次提出方程(1.2),其中u 表示变量，且当b 与弦的内在属性相关时，b 是外力，a 是初始应变量，如Young's 模.近年来，采用非线性分析的工具和变分方法，许多学者对下列非线性Kirchhoff 型方程G H X (R 3)|V u |2d x)△u + V (x)u = /(x, u), x G R 3,(1.3)进行了大量的研究，建立了基态解，束缚态解和半经典态解等的存在性和多重性.例如：当 V (x ) := C 时，Xu 和Chen [2]证明了方程(1.3)具有径向基态解，其中/(x, u )满足临界 Berestycki-Lions 型条件.当C = 0时，问题(1.3)可简化为如下方程|V u |2d x)△u = /(x, u ), x G R 3,u G H X (R 3),(1.4)Liu 和Guo [3〕研究了临界增长中具有一般非线性的问题(1.4)的基态解的存在性•当(1.4)式 中 /(x,u ) = g (x )|u |2*-2u + Xh(x)|u|q -^u 时，Li [4]通过 Nehari 法和变分法得到了问题(1.4) 的正基态解的存在性.有关问题(1.4)基态解的更多结果，参看文献[5-7].关于基态解的研究方面，最近，Li 和YeB ]假设V (x )满足以下假设.(i) V (x ) G C (R 3, R )弱可微且满足(V V (x ),x ) G L TO (R 3) U L 3 (R 3)和V (x ) — 2(V V (x ), x ) > 0 a .e . x G R 3;(ii) 对任意的x G R 3,V (x ) < liminf V (y ) := % <十^且其在Lebesgue 正测度的子集 中是严格的；(iii) 存在C > 0使得0= inf u E H 1 (R 3\{0})J r 3 |V u |2 十 V (x )|u |2JR3 |u |2> 0,采用单调性技巧，Pohozaev-Nehari 流形和全局紧性引理证明了当/(x,u ) = |u |p -1u , 2 < p < 5时问题(1.3)正基态解的存在性.Wu [9]利用Pohozaev 流形证明了问题(1.3)存在正 基态解•当/(x,u )在无穷远是次临界且在原点附近是超线性的，V (x )满足与上面⑴和 (ii)相似的一些条件时，Guo [10〕用变分方法证明了问题(1.3)存在正基态解•当/(x,u )= K (x )|u |4u + g (x,u )且V (x )满足渐近周期条件时，作者们在文献[11]中证明了问题(1.3)存 在正基态解•当/(x,u )在无穷远是次临界，在原点是超线性的且满足Berestycki-Lions 条件 和位势V (x )满足与上面(i)-(iii)类似的一些条件时，Liu 和Guo [12]利用Jeanjean 建立的 抽象临界点定理和一个新全局紧性弓I 理证明了问题(1.3)至少存在一个基态解.随后，Tang 和Chen [13〕对位势V (x ) G C (R 3, [0, Q)提出一些更强的条件，他们证明了问题(1.3)存在一 个Nehari-Pohozaev 型的基态解.后来，Chen 和Tang [14〕又证明了问题(1.3)存在一个基 态解，其中/(x,u )满足一般的Berestycki-Lions 假设和位势V (x ) G C (R 3, [0, g ))满足类似 文献[13]的条件.YeW 证明了问题(1.3)存在正基态解，其中/(x,u ) = a (x )f (u ) + u 5且 V (x )在无穷远处满足指数阶衰减•当位势V (x )有一个井位势，Sun 和Wu [16l 得到了一类668数学物理学报Vol.41A 如下Kirchhoff型问题基态解的存在性—(a/|V u|2d x+b)△u+AV(x)u=f(x,u),x e R N,'丿R N)u e H1(r n).关于问题(1.3)基态解的更多结果，参看文献[17-26].受上述文献的启发，本文事■虑具有小临界扰动项的问题(1.1)基态解的存在性.与上述文献相比，我们只需求V(x)e r|c(R3)或V(x)可能在局部区域比％大.这是本文主要结果的新奇之处，其方法是基于约束极小化方法•主要的困难在于非局部项J R b|V u|2d x^u的出现，由于R3的无界性以及带有临界扰动项的非线性而缺乏紧性.此外，由于V(x)非径向对称，故不能将问题限制在径向对称Sobolev空间用(便)中，其中H^R3)j L q(R3)(2<s<6)是紧的.为克服这些困难，必须进行更仔细的分析.特别地，对于序列{u…}c H1(R3)且u…在H1(R3)弱收敛于u,将仔细分析J r3|V u”|2d x和J r3|V u|2d x的不同来恢复紧性.若£=0,则问题(1.1)有一个正基态解，显然，当£趋于0时，对于方程(1.1)来说，我们期望这种结果不会改变.本文将试图证明该现象.本文的主要结果如下.定理1.1假设V(x)满足(旳)和V(x)<a.e.x e R3,(1.5)那么存在£0>0,对任意的£e(0,£o),问题(1.1)有一个正基态解.当位势V(x)不满足(1.5)式时，通过考虑下列极限问题的正基态解—(a+b J|V u|2d x)+V^u=|u|p-2u,x e R3,(1.6)u e H1(R3)证明问题(1.1)的基态解的存在性.事实上根据文献[18,27],在相差平移的情形下，方程(1.6)存在唯一的正的径向对称解，记为w.现陈述如下结果.定理1.2假设V(x)满足(V0),如果存在z e R3满足V(x)|w z|2d x</%w2d x,(1.7)R3其中W z(x):=w(x—z),且w是问题(1.6)的正径向基态解.那么对任意小的£，问题(1.1)存在正的基态解.注意到当V(x)三％时，那么对任意z e R3,(1.7)式成立.此篇论文的结构如下.在第2节，将给出一些符号且回忆了一些学过的知识.在第3节，将给出定理1.1和定理1.2的证明.2准备工作不失一般性，假设％=1.在下文中，将使用以下符号.•H1(R3)是Sobolev空间，其内积和范数如下||训2:=/(a|V u|2+u2)d x.JR3No.3成艺群等：非线性临界Kirchhoff 型问题的正基态解669同时，在这里我们将引入一种等价范数||u||V ：= / (a |V u |2 + V (x )u 2)d x.J r 3予实.上/ (a |V u |2 + u 2)d x < C (a |V u |2 + V (x )u 2)d xJ r 3 — J r 3显然成立.反之,根据(兀)可得，存在R> 0使得当|x | > R 时有V (x ) < 2%,从而有/ (a |V u |2 + V (x )u 2)d x R 3=a |V u |2d x + V (x )u 2d x +V (x )u 2d x J r 3 J\x \>R J\x\<R <a |V u |2d x + 2 / V ^u 2d x 7r 3 J\x \>R+ / ((V (x ))2d x )u 6dx) 3J \x \<R _3 丿< c / (a |V u |2 + u 2)d x.7r 3• D 1，2(R 3)是通常的 Sobolev 空间，其标准范数为 ||u||D ：=(J r 3 |V u |2d x )2.• (O )表示Lebesgue 空间，其中1 < q < g , OC R 3是一个可测集•当O 是R 3的 适当可测子集时，L (O )上的范数为| • |£q (o ).当O = R 3时，其范数为| • |,• c,C i ,C,C i ,…表示一些正常数.问题(1.1)对应的能量泛函是厶:H i (R 3) t R 定义为厶(u )=2(a |V u |2 + V (x )u 2)d x |u |p d x 一； [ |u |6d x.6 J r 3显然, 如下厶G C i (H i (R 3),R )且厶的临界点是问题(1.1)的弱解•问题(1.1)对应的极限方程G H i (R 3),△u + V ^u = |u |p-2u + s |u |4u,x G R 3,(2.1)且其对应的泛函为 —:H i (R 3) t R ,定义如下1 / (a |V u |2 + u 2)d x + -( / |V u |2d x) — - [ |u |p d x —三/ |u |6d x.2 J R34 ' 丿R 3 丿 p J R 3 6 丿R 3与厶具有相同性质的泛函定义如下I (u ) = 1 / (a |V u |2 + V (x )u 2)d x + -( / |V u |2d x) — - [ |u |p d x,2 J r34 ' J r 3 丿 p J r 3I x (u ) = 1 / (a |V u |2 + u 2)d x + [ |V u |2d x) — - [ |u |p d x.2 丿r34 ' J r 3 ) P J r 3定义泛函I ,厶，：和厶心上的Nehari 流形如下N = {u G H 0(R 3)\{0} : I z (u )[u ] = 0}, N = {u G H 0(R 3)\{0} : I ((u )[u ] = 0},N g = {u G H 1(R 3)\{0} : I Q (u )[u ] = 0}, = {u G H 1(R 3)\{0} : I ]；^(u )[u ] = 0}.670数学物理学报Vol.41A 定义m ：= inf Ig 〕 ：= inf /^x . (2.2)N so N e , g 注意到，当£> 0时有m e < m .事实上，设w 满足/g (w ) = m 且存在r e > 0使得r e w e 那么m e < I e ；g (r e w ) < I g (r e w ) < I g (w ) = m. (2.3)弓|理2.1 (i)存在唯一 t u > 0使得t u u eN ,有i (t u u ) = max I (tu ),且u 一 t u 是从H 1(R 3)\{0}到R +的连续映射.若在N g , M 和上分别考虑I g , I 和厶,g ,类似的结论成立.(ii) 对任意的u e M,g ，存在正常数C 〉0使得||训> C> 0,其中C 与£无关.(iii) 对任意的£ e (0,£o ),设u 是约束在M,g 上的厶,g 的极小元，那么存在正常数 C 1 > 0使得|u |p > C 1 > 0,其中C 1与£无关.证 根据标准的讨论，可得⑴成立.(ii)对任意的u e M,g ，由Sobolev 嵌入定理得0 = ||训2 + b |V u |4 — |u |p — £|u |6 > ||u||2 — C 1||u 卩一C 2£||u||6,即||u||2 <C 1||u||p + C 2£||u||6，其中C 1,C 2 > 0与£和U 无关•因此，对任意的£>0,有||训 > C > 0, V u eM ,g(2.4)成立，其中C 是与£和u 无关的正常数.(iii)设u 是厶,g 约束在M,g 上的极小元，可得I £,g (u ) = 4ll u ^2 + 〃4p |u |p + 12£|u |6 = m Q 由上式和(2.3)式可得||u |2 < 4m e + o (1) < 4m. (2.5)从(2.4)式可得||训有正下界，且从(2.5)式可得||训有正上界.因此，利用Sobolev 嵌入定 理，可得C 2|u |p = ||训2 + b ll Vu ll 2 ― £|u |6 > ll u|2 ― c £II 训6 > C 2 ― c 1£ > ~2 > C 1? V £ e (0, £o ),其中C, C 1 > 0与£和u 无关•证毕. I命题2.1下列估计成立a /b 宀3 叫 < 3(2£S +s 6+a 切+桔住s 3+-----------------\ 2S 6 + a S 3 )S a,b , V £ > 0, (2.6)其中s 是最佳Sobolev 常数.证 注意到(2.8)式中的S a ；b 是下列方程解的基态水平lim u (x ) = 0,|x|—>g a + b|V u △u = £|u |4u,x e R 3,(2.7)No.3成艺群等：非线性临界Kirchhoff 型问题的正基态解671即-----------------\ 2S 6 + a S 3 )和=3许+s 6+期)+包汀+2^/r 3 |u |6d x因此，由上式可知a [ |V (tu )|2d x |V (tu )|2d x)—訂 |tu |6d x 2 J r 3 4 ' J r 3 丿 6 J r 3=at 2 / |V u |2d x + 寻4( / |V u |2d x 『3J r 3 12 W r 3 丿a [- 2 -(J r 3 |V u |2d x )2 + \l -2(J r 3 |V u |2d x )4 +4a8 J r 3 |V u |2d x J r 3 |u |6d x =5 |Vu|2dx -----------------------------y ------------------------------------------------------------------------3丿R 3=min (a / |V u |*2d x + -( / |V u |2d x) — - / |u |6d x : u G D 1,2(R 3),I 2 J 4 ' 丿R 3 J 6 丿R 3/ a |V u |2d x + -( [ |V u |2d x) = - / |u |6d x{.7r 3 ' J r 3 丿 7r 3 丿事实上，下列问题R 3(2.8)的正解具有如下形式—△u = |u |4u, u G D 1，2(R 3)x G R 3,(2.9)(3$)1肿 _ (J + |x — x 0|2)2 :事实上，最佳Sobolev 常数S 可通过下式定义血 |V u |2dx _J > 0, x o G R 3.注意到,S = inf ------厂应 .ueD 1,2(R 3)\{0} |u |2 u£D 1.2(R 3)\{0}, u 6 = ^/R 3对任意的u G D X '2(R 3)\{0},存在唯一的t > 0使得tu 满足a [ |V (tu )|2d x + b( [ |V (tu )|2d x) = 8 / |tu |6d x, 丿R 3 '丿R 3 丿 丿R 3inf |V u |2d x.—a [ |V u |2d x = 0,丿R 3(2.10)即通过计算得t 2-(J r 3 |V u |2d x )2 + J -2(J r 3 |V u |2d x )4 十 4«£ J r 3 |V u |2d x J r 3 |u |6d x2^/r 3 |u |6d x ■ -(J r 3 |V u |2d x )2 + j -2(J r 3 |V u |2d x )4 +4处 J r 3 |V u |2d x j R 3 |u |6d x -28 J r 3 |u |6d xJ r 3 |V u |2d x - ” • c 2-I J R 八…I —| +-MJ r 3 |u |6d x ) 3 丿J r 3 |V u |2d x L/ J r 3 |V u |2d x a 68 (J r 3 |u |6d x ) 3VC/r 3 |u |6d x ) 3“ 'I2672数学物理学报Vol.41A\( J r 3 |V "|2dx )2 + -MJ r3 |u |6d x ) 3 丿> S (b S 2 + v b 2S4 + 4a£S ) + 召a / b 宀3/ b 2 十 ab / b 宀33(2£ V 4£2 £ 12(2£+ W J r 3 |V u |2d x 1^2£(J r 3 |u |6d x ) 3护(J r 3 |V u |2d xMJ r 3 |u |6d x )■ s ________________________12 (b S 2 + 7b 2S 4 + 4a£S )J + 4a£ I 2⑵11)另一方面，关于Sobolev 常数S ，设U o 是满足|U o |6 = 1的达到S 的函数，那么存在唯一的 t u o > 0使得t u o U o 满足(2.10)式*因此，通过计算，有|V U o |2d x +12t U 。
非线性椭圆型方程
非线性椭圆型方程
非线性椭圆型方程是一类重要的研究深层数学方程的数学理论。
它的几何表达式是最常见的，可以用来描述多种直线和曲线，在线性代数、几何学、机器学习、计算机图形学、知识工程等多个领域有广泛的应用。
首先，我们来介绍一下什么是非线性椭圆型方程。
非线性椭圆型方程是一种比较复杂的数学模型，它在数学上就是一个椭圆的方程，但是它有比一般椭圆方程更复杂的结构。
它在椭圆方程的基础上，加入了一些非线性的元素，使得它的形式变得更加复杂。
其次，我们来看一下非线性椭圆型方程的几何表示。
一般来说，非线性椭圆型方程的几何表示式为：
F(x,y)=ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0，其中a,b,c,d,e和f是常量。
它们可以映射出各种直线和曲线，比如圆、椭圆、抛物线等。
再次，我们来看一下非线性椭圆型方程的应用。
非线性椭圆型方程有着广泛的应用领域，比如线性代数、几何学、机器学习、计算机图形学、知识工程等。
在线性代数中，它可以用来求解系统方程，或者求解向量空间等问题；在几何学中，它可用来处理各种几何舞台上的问题，如求解相对于其他确定性几何图形的不同类型图形；在机器学习中，它可以用来表达分类问题，建立模型，或者进行参数估计；在计算机图形学中，它可以用来模拟物体的表面，绘制3D图形；在知识工程中，它可以用来处理不同类型的数据，如文本数据、文档数据和语音数据等。
最后，我们来总结一下，非线性椭圆型方程是一种比较复杂的数学模型，其几何表示可以映射出各种直线和曲线，并且有着广泛的应用领域，如线性代数、几何学、机器学习、计算机图形学、知识工程等，可以用来求解系统方程、表达分类问题、模拟物体表面、处理不同类型的数据等。
完全非线性椭圆方程具有渐近性质的整体解
设 ｎ是Ｒ 内的任一有界严格凸区域。假设 ∈Ｃ （ （ ” ２ ）文献［］满足 ９）
Ｆ（ ） ｆ ＞ ｌ ∈ｎ Ｄ２ ＝ ０ ， Ｏ＝０， ∈
由比较原理， ０ 垂≤ 。再 由引理 ３对任一 ｅ ， ， ∈ａ 存在 （） 使得 ｅ∈
让 （ ） （ ， ｚ ＜： ） ｚ∈ｎ＼ ｛）
Ｉ（ ， ∈ 。 ｌ ） ＼ ‘ Ｄ
则 ｗＥＣ （ ） ｏ 在粘 性意 义下满 足
Ｆ（ ） ， ｚ ， ∈Ｒ” Ｄｚ ≥ （ ）
引理 ２ 设 ｆ ￣ 。假设 ｕ ￣ 在粘性意义下满足 ＥＣ （ ） ＥＣ （ ）
Ｆ（ 型 ≥ ） ∈Ｄ Ｄ ） （ ，
则
Ｆ（ ｌ ＝ 厂 ｚ ， ∈Ｄ Ｄ２‘ ） （ ）
ｅ， ｕ ｉ ＜ ｕ
＝
≥ 以（ ｅ （ Ｗａ ） ＝以ｆ 一 １ ｄ ｔＤ ） ．
其 中嘶 是 Ｄ 的特征值 。
由Ｒ 的定 义 可知 ，
Ｉ ｆ Ｉ ｚ２ ｘ ≤Ｒ ￣ ≤Ｒ ／ ，Ｉ Ｉ 。 ／
因此
ｍ
（） ≤
固定 Ｒ ＞ ３ 满 足 Ｒ２
＋
（ ｑａ ｌｄ ＜ ｓ － ） ＂ｓ ＂－ ／
２１ 年 １ ０１ ２月
则 （） 于 口是连续 且单 增 的 ， 当 口 口关 且 一∞ 时 ， ｎ 一ｃ 。而且 ， （） ｘ ３
Ｗａ ） ／ ａ ≤ （ ／ ） Ｉ＋ｆ ｎ １ ∈Ｒ （ － ｌ ） ｆ ２ Ｉ ， ≥口 ， （
当 Ｉ 一 ∞ ， （ 一 （ ／ ） ＋ｃ （ ） Ｉ Ｗａ ） （ ２ Ｉ ． Ｉ ＋ 口 ＋０（ ｌ ） １ 。 ～ 对 ｎ 令 一 （） ≥ｎ ， Ⅱ 且对
考文献 。在文献［］ Ｃ ｆ ｒｌ 与李岩岩研究了 Ｍｏ ｇ －Ａ ｐ ｒ 方程外部区域上具有渐近性质的解的 ６ 中， ａｆ ｅ ｉ ａ ｌ ｎ ｅ ｍ ｅｅ
求解非线性方程的三种新的迭代法
求解非线性方程的三种新的迭代法【摘要】本文介绍了三种新的迭代法用于求解非线性方程，分别是Newton法，拟牛顿法和Levenberg-Marquardt算法。
在首先介绍了非线性方程及其求解的重要性，然后简要介绍了传统的迭代法。
在详细讨论了这三种新的迭代法的原理和应用情况。
在总结了三种新的迭代法的特点和适用范围，并展望了非线性方程求解方法的未来发展方向。
这些新的迭代法为解决复杂的非线性方程提供了新的思路和方法，有望在实际应用中取得更好的效果。
【关键词】非线性方程、求解方法、迭代法、Newton法、拟牛顿法、Levenberg-Marquardt算法、特点、适用范围、未来发展1. 引言1.1 介绍非线性方程及其求解的重要性非线性方程在数学和工程领域中无处不在，其求解具有广泛的应用价值和意义。
非线性方程是指未知数与未知数的各项之间存在着非线性关系的方程，与线性方程相比，非线性方程的求解更加困难。
非线性方程可以描述许多复杂的现实问题，如物理学中的非线性波动方程、工程学中的非线性力学问题等，因此求解非线性方程是科学研究和工程设计中的一个重要任务。
传统的迭代法是求解非线性方程的常用方法之一，其基本思想是通过不断迭代更新初始猜测值，直至满足一定的收敛条件为止。
传统的迭代法在求解复杂的非线性方程时存在收敛速度慢、计算量大等问题，因此需要更加高效和精确的迭代法来解决这些困难。
本文将介绍三种新的迭代法：Newton法、拟牛顿法和Levenberg-Marquardt算法，这些方法在求解非线性方程中具有独特的优势和应用价值。
通过对这些新的迭代法的研究和应用，可以提高非线性方程的求解效率和精度，推动非线性方程求解方法的发展和应用。
1.2 简要介绍传统的迭代法传统的迭代法是解决非线性方程的常见方法之一，它通过不断迭代逼近函数的根，直至满足一定的精度要求。
最常见的传统迭代法包括二分法、试位法和弦截法等。
二分法是一种简单但有效的方法，通过不断缩小根所在的区间来逼近根的位置；试位法则是通过选择一个适当的初始点，然后通过不断调整该点的位置来逼近根；弦截法则是通过连接两个不同点所在的直线，找到直线与横轴的交点，进而更新两个点的位置。
非线性物理2-2(流体的不稳定性、洛伦兹方程、李雅普诺夫指数、埃侬吸引子、洛伦兹吸引子)
2.洛伦兹方程
C1与 C2的稳定性 当 r 继续增加直到 r =13.962时， 两个螺旋线外径会接触合并一起。
rc
( b 3) 24.7368, ( 10, b 8 / 3) - (b 1)
r = rc 时两个平衡点C1与 C2发展成了中心点, 其邻域的相轨 线是椭圆. r > rc 时, C1与C2成了不稳定的焦点. 定态对流失稳，是不稳 定的. 这时将出现一次新分岔－霍夫分岔, 平衡点C1与C2失稳发 展成为奇怪吸引子.
1.李雅普诺夫指数
奇怪吸引子
取 =2.1 ， 并 取 有 较 大 差 别 的 三 个 初 始 值 x01 =0.08 ， x02=0.12, x03=0.16。运算结果如左图，经过五次迭代,三个运算 结果趋于一致，~045.
取 =3.7，取差别很小两个初始值 x01 =0.04，x02=0.05。运 算结果如右图，第二迭代差别就已显示出来,以后虽在第七次 迭代时很接近，但随后又快速分离开来。
x yz0 x y b(r - 1), z r - 1
洛伦兹方程有三个平衡点
若r < 1，只存在一个平衡点x=y=z=0。此平衡点是洛伦兹方 程的不动点，相应于贝纳尔德实验中液体的静止状态。 洛伦兹方程的平衡点随瑞利数 r 的增加而发生分裂，原来 稳定的平衡点变为不平衡状态。
n -1 df ( x ) 1 n, ln n n =0 dx
xn
式中 xn 为第 n 次迭代值。取 n ，得李雅普诺夫指数计算 公式：
1 n -1 df ( x n , ) lim ln n n dx n 0
1.李雅普诺夫指数
洛伦兹的设想
一类高阶非线性薛定谔方程的Weierstrass椭圆函数解
第25卷 第6期2009年3月甘肃科技Gansu Science and Techno logyVol .25 N o .6M ar. 2009一类高阶非线性薛定谔方程的W ei e rstrass 椭圆函数解席国柱,邱 春,吉永林,刘 锋,贾多杰(西北师范大学物理与电子工程学院,甘肃兰州730070)摘 要:采用W e i e rstrass 椭圆函数展开法,研究了五次非线性薛定谔方程,并借助于符号计算机软件M a t he m a tica 求得了含W eierstrass 椭圆函数的新型周期解及对应的Jacobi 椭圆函数解和极限情况下的孤波解。
关键词:高阶非线性薛定谔;W eierstrass 椭圆函数;周期解中图分类号:O 175.24考虑如下形式的高阶非线性薛定谔方程[1]i u z -12u tt + 1|u |2u =i 26u ttt + 324u tttt - 2|q |4q (1)该方程在物理学中特别是非线性光学中有着重要的应用。
在此方程中考虑媒介的非线性效应是瞬时的且不存在共振,所以忽略了一些高阶非线性效应,(如脉冲沿自陡峭效应和自频移效应),其中u 表示光脉冲的缓变包络振幅函数,z 表示脉冲在光纤中的传输距离,t 表示群速坐标系中的延缓时间, 1, 2, 3分别表示二阶,三阶,四阶色散系数, 1, 2为两个非线性系数。
当 2, 3, 2均为零时方程即退化为标准的非线性薛定谔方程[2,3]。
利用扩展的双曲正切函数法[4,5]求解该方程,获得了含W e i e rstrass 椭圆函数的新型周期解以及对应的Jaco b i 椭圆函数解和极限情况下的孤波解。
1 方法简介对于给定的非线性演化方程N (u,u t ,u x ,u tt ,u xx , )=0(2)对它作行波变换u =u ( ), =k (x -ct),其中k 和c 分别是波数和波速,这样(2)式可化为ODE方程P (u,u ',u ", )=0(3)设(3)式有如下形式的W e i e rstrass 椭圆函数解u( )=u[!( ;g 2,g 3)]=a 0+ ni =1[a i (A !+B )i/2+b i (A !+B )-i/2](4)其中nA !0,B,a 0,a i ,b i 为待定常数,n 可由(3)式中最高阶导数项和非线性项平衡来确定,如n 不是一个正整数,做变换u =v n再次平衡最高阶导数项和非线性项即可定出n 。
一类带对流项的奇异非线性椭圆型方程DIRICHLET问题唯一解的渐近行为
−ψ (s) = k(s)g(ψ(s)), ψ(s) > 0, 0 < s < a, ψ(0) = 0.
(1.5)
的局部解.
当 λ > 0, b(x) ≡ 1 时, 问题（1.1）的解的存在性, 见[21], [24], [4], [15], [27] ;
Ghergu 和 Radulescu [6] 在 (g1)-(g4) 下证明了唯一古典解 uλ 具有性质 (II1) 对于任意的 x ∈ Ω, 存在两个依赖于 λ 的正常数 C5 和 C6, 使得 C5d(x) ≤ uλ(x) ≤ C6d(x); (II2) uλ ∈ C1, 1−α(Ω¯ ). 当λ = ±1, b(x) ≡ 1时, Giarrusso 和 Porru [7] 证明了如果 g 满足条件
−ϕ (s) = g(ϕ(s)), ϕ(s) > 0, s ∈ (0, a), ϕ(0) = 0
解在 0 附近的精确渐近行为. 随后应用摄动方法, 构造比较函数, 对 b|∂Ω = 0 的情形, 得到了问题 (1.1) 解在边界附近的精确渐近行为. 结果表明, 在 b|∂Ω = 0 的情形下与 b|∂Ω = ∞ 的情形下, 条件和估计具有本质的不同.
ii
烟台大学学位论文原创性声明和使用授权说明
原创性声明
本人郑重声明：所呈交的学位论文, 是本人在导师的指导下, 独立进行研究工作所 取得的成果. 除文中已经注明引用的内容外, 本论文不含任何其他个人或集体已经发表 或撰写过的作品或成果. 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体, 均已在文中以明确 方式标明. 本声明的法律结果由本人承担.
−ϕ (s) = g(ϕ(s)), ϕ(s) > 0, s ∈ (0, a), ϕ(0) = 0 Then by a perturbation method and constructing comparison functions, we study the exact asymptotic behavior of the unique solution uλ ∈ C2(Ω) ∩ C(Ω¯ ) near the boundary to a singular Dirichlet problem
非线性物理1-2(单摆、庞加莱映射)
x " (t ) Ae
F
i t
x " (t )
F
代入、 以后特解为：
e i e i( t )
x " (t )
( 2 2 )2 4 2 2
cos( t tg1
2 ) 2 2
非齐次线性微分方程的通解 x(t ) x' x"
3. 初识单摆的复杂运动
数值计算结果
3. 初识单摆的复杂运动
数值计算结果
3. 初识单摆的复杂运动
数值计算结果
2 F = 1.093 附近做准周期运动： a.当驱动力继续上升时 , 相轨线偏离闭 合的单周期轨道，复杂化起来。 b.在F = 1.093时相图上，相轨线虽在 [-p,p] 的单摆势谷来回环绕，但始终无 法达到周期重复状态。 c. 在庞加莱截面上，相点处于一条曲 线上，可以认定系统处于准周期状态 （接近正确的周期运动）。 d. 庞加莱截面上的图形与所取截面的 位置(即相角)有关。
驱动力写成指数
d 2x dx 2 i t 2 x Fe dt 2 dt
这是非齐次线性微分方程, 其通解是它的齐次线性方程的通解和 它的一个特解的和 x (t ) x ' (t ) x " (t ) 1. 齐次方程的通解: t x ' ( t ) A e cos( t ) 类似线性阻尼单摆，得： 0
庞加莱映射。
2.庞加莱映射
庞加莱截面与轨线运动
单周期运动，轨线每次重复地运行在原有轨道上，它总是在 截面的同一位置穿过，截面上只留下一个点。两倍周期运动，每 个周期内相轨线两在不同位置穿过，截面上留下两个点；四周期 运动，每个周期内相轨线四次在不同位置穿过，截面上就留下四 个点；推广到无周期运动，截面上将出现留下无穷多点。
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非线性椭圆型方程的nehari流形
首先，让我们先来了解非线性椭圆型方程的定义。
非线性椭圆型方程
是指形式为$-\Delta u=f(u)$的偏微分方程，其中$\Delta$是拉普拉斯算子，$f(u)$是关于未知函数$u$的非线性项。
这类方程的解可以具有多个极小值点，而且其极小值点可能不止一个。
为了解决这个问题，我们需要引入最小极值解的概念。
最小极值解是指在
给定边界条件下，满足一定条件下解的存在性和唯一性的解。
然而，要得
到最小极值解并非易事。
Nehari流形的引入正是为了解决非线性椭圆型方程最小极值解的确
定性问题。
Nehari流形是指在给定边界条件下，满足一定能量条件的函
数的集合。
具体来说，设$H^1_0(\Omega)$是在区域$\Omega$上的
Sobolev空间，定义Nehari流形为：
$$
\mathcal{N}=\{u\in H^1_0(\Omega)\backslash \{0\} \mid
I'(u)u=0\},
$$
其中$I(u)$是与非线性椭圆型方程相关的能量泛函。
Nehari流形的
定义意味着在流形上的每一点，曲线在该点的切向量与其自身的导数正交。
为了更好地理解Nehari流形的性质，我们需要研究其切空间的结构。
Nehari流形上的曲线可以通过切向量的线性组合来表示。
设$v\in
\mathcal{N}$，则$\varphi(t)=u+tv$对应于一个流形上的曲线。
根据曲
线在点$u$处的切向量定义，我们可以得到：
$$
\frac{d}{dt}\bigg，_{t=0}\，\varphi(t)\，
^2=\frac{d}{dt}\bigg，_{t=0}(u+tv,u+tv)=2(u,v).
$$
因此，曲线在点$u$处的切向量为$v$。
我们可以看出，切空间是由与$u$的内积为0的函数$v$组成的，即$\{v\in H^1_0(\Omega)\mid
(u,v)=0\}$。
了解了Nehari流形的切空间后，我们可以通过对切空间进行适当的限制来获得最小极值解的存在性和唯一性。
具体来说，我们需要将切空间限制为与$f(u)$正交的函数的集合，即$\{v\in H^1_0(\Omega)\mid (u,v)=0, (u,f(u))=0\}$。
这样，通过Nehari流形的限制，我们可以得到非线性椭圆型方程的最小极值解。
此外，Nehari流形还可以用于研究非线性椭圆型方程的变分结构。
通过在Nehari流形上定义适当的等价关系，可以构建出变分框架。
这为研究非线性椭圆型方程的解的存在性和唯一性提供了方便。
综上所述，Nehari流形是用于描述非线性椭圆型方程最小极值解的一个重要工具。
通过研究Nehari流形的性质，我们可以得到非线性椭圆型方程解的存在性和唯一性的结果。
希望本文的介绍对读者对Nehari流形的理解有所帮助。