零阶项系数充分大的完全非线性椭圆型方程的边值问题

非线性四阶椭圆边值问题解的存在性与唯一性

定１设、Ｂａ空，非性子Ｊｉｌ义Ｆａｈ间如线算Ｉｉ『为ｎｃ果ｎｌ７
－Ｆ在Ｅ上是单一的，厂：并且－和厂别在Ｅ和－）厂分厂（２若对所有的粕 ∈ ）上是连续的，称－是一个将Ｅ映上－）同胚；则厂厂的（如果（）２的解在Ｅ中唯
非线性四阶椭圆边值问题解的存在性与唯一性
赵静，松年何
（国民航大学理学院，中天津３００）０３０
摘要：别利用全局同胚理论和动力系统理论的一些结论，究了非线性四阶椭圆边值问题解的存在性与唯一性。得分研
（、）（）
任意的Ｙ∈Ｆ非线性方程，）Ｙ＝（）２
曲线，并且边界曲线的主曲率是有界的，
是定义在上的Ｓｂｌ空间凹ｏｏｅｖ， △是ｎ维拉普拉斯算子。
到的结果改进和推广了非线性四阶椭圆边值问题的相应结果。
关键词：阶椭圆方程；值问题；胚；值问题；拓性四边同初延
中图分类号：７．０１７２
文献标识码：Ａ
文章编号：０１５０（０８０・０・４１０・００２０）２０６１０
ＥｘｓｅｅａＵｎｉｕｅｓｏｏｕｉｎｏｉｔｎｃｎｄｑｎｅｓｆＳｌｔｏｓｆｒＮｏｌｎｅｒｎｉａＦｏｔＯｒｒＥｌｉｉｕｎｄａｙＶａｕｅｕｒｈｄｅｌｐｔｃＢｏｒｌＰｒｂｌｍｓｏｅ

非线性椭圆型方程

非线性椭圆型方程
非线性椭圆型方程是一类重要的研究深层数学方程的数学理论。

它的几何表达式是最常见的，可以用来描述多种直线和曲线，在线性代数、几何学、机器学习、计算机图形学、知识工程等多个领域有广泛的应用。

首先，我们来介绍一下什么是非线性椭圆型方程。

非线性椭圆型方程是一种比较复杂的数学模型，它在数学上就是一个椭圆的方程，但是它有比一般椭圆方程更复杂的结构。

它在椭圆方程的基础上，加入了一些非线性的元素，使得它的形式变得更加复杂。

其次，我们来看一下非线性椭圆型方程的几何表示。

一般来说，非线性椭圆型方程的几何表示式为：
F(x,y)=ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0，其中a,b,c,d,e和f是常量。

它们可以映射出各种直线和曲线，比如圆、椭圆、抛物线等。

再次，我们来看一下非线性椭圆型方程的应用。

非线性椭圆型方程有着广泛的应用领域，比如线性代数、几何学、机器学习、计算机图形学、知识工程等。

在线性代数中，它可以用来求解系统方程，或者求解向量空间等问题；在几何学中，它可用来处理各种几何舞台上的问题，如求解相对于其他确定性几何图形的不同类型图形；在机器学习中，它可以用来表达分类问题，建立模型，或者进行参数估计；在计算机图形学中，它可以用来模拟物体的表面，绘制3D图形；在知识工程中，它可以用来处理不同类型的数据，如文本数据、文档数据和语音数据等。

最后，我们来总结一下，非线性椭圆型方程是一种比较复杂的数学模型，其几何表示可以映射出各种直线和曲线，并且有着广泛的应用领域，如线性代数、几何学、机器学习、计算机图形学、知识工程等，可以用来求解系统方程、表达分类问题、模拟物体表面、处理不同类型的数据等。

一类椭圆边值问题非平凡解的存在性

本文考虑如Ｆ圆边值问题非平凡解的存在椭
性：
另外假定存在ｍ＜ｋ及常数＞０满足：
（３ｌｕ璺兰Ｇ）ｉｐｍｓ
一一ａ－￡ｅ＿
，
∈
—
｛），ａＩ＝∈，０（
其中ｃＲ是具有光滑边界的有界开集，
Ｅｘｓｅｅｏｏｒｖａｏｕｉｎｓｆｒａｃａｓｏｅｉｎａｉｔｎｃｆｎｎｔｉｉｌｓｌｔｏｏｌｓｆｓｍｌｅｒｉ
ｅｌｐｔｃｂｎｄａｙｖａｕｅｐｒｂｌｍｓｌｉｉｏｕｒｌｏｅ
ＹＮＧＭｉｇｈｉＬＯＱｉｇｈｇＡｎ —ａ，Ｕｎ —ｕｎ
（ｏｌｅｆｔｅｔｓｎｆｒｔｎＳｉｎｅＸｎａｇＮｏｍａＵｉｅｓｙＸｉａｇ４４０，ｈｎ）ＣｌｇＭａｈｍａｉｄＩｏｍａｏｃｅｃ，ｉｙｎｒｌｎｖｒｉ，ｎｎ６００Ｃｉａｅｏｃａｎｉｔｙ
、０．２Ｎ０３，１２．Ｓｅ２０１ｐ．０
ｄｉ１．９９．ｓ．７ — １６２１．．１ｏ：０６／ｉｎ１２６４．０００３ｊｓ６０３０
一
类椭圆边值问题非平凡解的存在性
杨明海，罗庆红
（信阳师范学院数学与信息科学学院，河南信阳，６００４４０）
Ａｂｔａｔｘｓｅｃｆｎｎｒｉｌｓｌｔｎｏｌｓｆｓｍｉｎａｌｐｉｏｎａｙｖｌｅｒｓｎｎｒｂｅｓｏｔｉｅｎｅｓｒｃ：ＥｉｔｎｅｏｏｔｉａｏｕｉｓｆｒａｃａｓｏｅｌｅｒｅｌｔｂｕｄｒａｕｅｏａｔｐｏｌｍｓｉｂａｎｄｕｄｒｖｏｉｉｃｇｎｒｌｅＡｈｅｅａｉｄｚｍａ－ｚｒＰａｌｔｐｏｄｔｏｓｙｔｅｇｎｒｌｚｄｍｏｎａｎｐｓｌｍｍａｉｈｒｔｃｌｐｉｔｔｅｒｄＬａｅ — ｕｙｅｃｎｉｉｎｂｈｅｅａｉｅｕｔｉａｓｅｎｔｅｃｉｉａｏｎｈｏｙ．Ｋｅｒｓｂｕｄｒａｕｒｂｅｎｎｒｖａｓｌｔｎｗｅｋｓｌｔｎｙｗｏｄ：ｏｎａｖｌｅｐｏｌｍ；ｏｔｉｉｌｏｕｉ；ａｏｕｉｙｏｏ

非线性分数阶p-laplacian方程边值问题的正解

非线性分数阶p-laplacian方程边值问题的正解非线性分数阶p-laplacian方程边值问题的正解非线性分数阶p-laplacian方程边值问题是指求解一个具有非线性分数阶p-laplacian算子的边值问题，其中p是一个正实数，它的形式如下：$$\begin{cases}(-\Delta)^{\frac{p}{2}}u=f(x,u) & \text{in}\\Omega \\ u=g(x) & \text{on}\ \partial\Omega\end{cases}$$其中，$\Omega$是一个有界域，$f(x,u)$是一个非线性函数，$g(x)$是边界条件，$(-\Delta)^{\frac{p}{2}}u$是p-laplacian算子，它的定义为：$$(-\Delta)^{\frac{p}{2}}u=\nabla\cdot(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)$$求解非线性分数阶p-laplacian方程边值问题的正解，可以采用函数空间的方法，即将问题转化为一个有界线性系统，然后求解该系统的解。

首先，我们将上述问题转化为一个有界线性系统，即：$$\begin{cases}Au=F & \text{in}\ \Omega \\ u=g & \text{on}\\partial\Omega\end{cases}$$其中，$A$是一个线性算子，它的定义为：$$Au=(-\Delta)^{\frac{p}{2}}u-f(x,u)$$$F$是一个函数，它的定义为：$$F=-f(x,g)$$接下来，我们可以采用Galerkin方法求解上述线性系统，即：$$Au_n=F_n$$其中，$u_n$是一个有限维的函数空间，它的定义为：$$u_n=\sum_{i=1}^{n}c_i\phi_i$$其中，$\phi_i$是一组基函数，$c_i$是一组系数，它们的定义为：$$c_i=\int_{\Omega}u\phi_i\,dx$$最后，我们可以将上述线性系统转化为一个矩阵形式，即：$$A_{ij}c_j=F_i$$其中，$A_{ij}$是一个矩阵，它的定义为：$$A_{ij}=\int_{\Omega}\phi_iA\phi_j\,dx$$最后，我们可以采用数值方法求解上述矩阵形式，从而得到非线性分数阶p-laplacian方程边值问题的正解。

几何中完全非线性椭圆偏微分方程的斜边值问题

几何中完全非线性椭圆偏微分方程的斜边值问题
完全非线性椭圆偏微分方程的斜边值问题（Elliptic Boundary Value Problem,EBVP）是指给定一组椭圆偏微分方程与与之相对应的斜边式的边值问题，求其满足原问题的解。

完全非线性椭圆偏微分方程的斜边值问题可以定义为：给定椭圆偏微分方程utt + f (u, ux, uxx) = 0，给定斜边式u(x,0) = φ(x)，uxt(x,0) = ψ(x)，求解u(x,t) 使其满足这一问题。

解答：
由椭圆偏微分方程及其斜边式的边值条件，可以建立一组完全非线性的非线性方程组，使其满足椭圆偏微分方程和斜边式的边值条件，然后利用定性理论来解决这一问题。

最终可以通过极值方法、Hausdorff方法、双缓存法或其他数值方法来求解解析解。

几类分数阶Langevin方程边值问题解的存在性

几类分数阶Langevin方程边值问题解的存在性几类分数阶Langevin方程边值问题解的存在性引言在物理学和应用数学领域中，Langevin方程是描述随机过程的一种常用模型。

经典的Langevin方程是一阶常微分方程，其中随机项是用高斯白噪声描述的。

然而，在实际应用中，一些随机过程无法仅用高斯白噪声来描述，而需要引入分数阶导数来描述其随机性质。

因此，研究分数阶Langevin方程及其边值问题的存在性成为一个重要的课题。

本文将重点探讨几类分数阶Langevin方程边值问题解的存在性。

首先，我们将介绍分数阶导数的定义及其性质，然后给出分数阶Langevin方程的基本形式。

接下来，我们将讨论三类常见的分数阶Langevin方程边值问题，并证明它们存在解的充分条件。

一、分数阶导数的定义及性质分数阶导数是一种将微分运算推广到分数阶的概念。

它的定义可以通过分式阶的变换来实现。

对于任意实数α，α阶导数定义如下：D^αy(t) = \frac{1}{\Gamma(1-α)} \int_0^t\frac{y'(s)}{(t-s)^α}ds其中，Γ(·)表示伽马函数，y(t)是一个连续函数。

分数阶导数具有很多特殊的性质。

例如，当α为整数时，分数阶导数退化为经典的整数阶导数。

此外，分数阶导数还满足迭代性、幂规律、区间性等性质，这些性质在后续的证明中将起到关键作用。

二、分数阶Langevin方程的基本形式分数阶Langevin方程描述了具有分数阶导数的随机过程。

其一般形式如下：D^αy(t) = Ay(t) + f(t)这里，A是一个线性算子，f(t)是一个给定的随机项。

三、分数阶Langevin方程边值问题的存在性考虑以下三类常见的分数阶Langevin方程边值问题。

1. 类型一：无冻结现象边值问题考虑以下分数阶Langevin方程边值问题：D^αy(t) = Ay(t) + f(t)，y(0) = y(T) = 0其中，A是一个常数，f(t)是满足一定条件的随机项。

破解椭圆中最值问题的常见策略

破解椭圆中最值问题的常见策略有关圆锥曲线的最值问题，在近几年的高考试卷中频频出现，在各种题型中均有考查，其中以解答题为重，在平时的高考复习需有所重视。

圆锥曲线最值问题具有综合性强、涉及知识面广而且常含有变量的一类难题，也是教学中的一个难点。

要解决这类问题往往利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法，将它转化为解不等式或求函数值域，以及利用函数单调性、各种平面几何中最值的思想来解决。

本文通过具体例子，对椭圆中的常见最值问题进行分类破解。

第一类：求离心率的最值问题破解策略之一：建立c b a ,,的不等式或方程例1：若B A ,为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长轴两端点，Q 为椭圆上一点，使0120=∠AQB ，求此椭圆离心率的最小值。

分析：建立c b a ,,之间的关系是解决离心率最值问题常规思路。

此题也就要将角转化为边的思想，但条件又不是与焦点有关，很难使用椭圆的定义。

故考虑使用到角公式转化为坐标形式运用椭圆中y x ,的取值进行求解离心率的最值。

解：不妨设),(),0,(),0,(y x Q a B a A -，则ax yk a x y k BQ AQ -=+=,，利用到角公式及0120=∠AQB 得：0120tan 1=-++--+ax y a x y a x ya x y （a x ±≠），又点A 在椭圆上，故22222y b a a x -=-，消去x ，化简得2232c ab y =又b y ≤即b cab ≤2232 则42223)(4c c a a ≤-，从而转化为关于e 的高次不等式 044324≥-+e e 解得136<≤e 。

故椭圆离心率的最小值为36。

（或2222)ab a b ≤=-，得：03b a <≤，由e =136<≤e ）（注：本题若是选择或填空可利用数形结合求最值）点评：对于此类最值问题关键是如何建立c b a ,,之间的关系。

求解一维变系数椭圆型方程边值问题的RBF-FD格式

求解一维变系数椭圆型方程边值问题的RBF-FD格式王硕; 张新东; 郭非凡【期刊名称】《《河南科学》》【年(卷),期】2019(037)009【总页数】7页(P1390-1396)【关键词】变系数; 椭圆型偏微分方程; 径向基函数; 有限差分【作者】王硕; 张新东; 郭非凡【作者单位】新疆师范大学数学科学学院乌鲁木齐 830017【正文语种】中文【中图分类】O241.82椭圆型偏微分方程在许多物理现象和物理模型中都有着广泛的应用. 如何快速、准确、方便地求解椭圆型偏微分方程成为研究的热点. 关于常系数椭圆型偏微分方程数值解已有很多研究结果［1-6］. 但对于变系数椭圆型偏微分方程来说，其数值求解要相对复杂，如何快速、有效求解变系数椭圆型偏微分方程问题越来越受到关注.关于微分方程数值解法有很多成熟的方法，如有限元［1，7］、有限体积［2］、有限差分［8］等，其中有限差分方法是求解微分方程的常用且有效的方法. 差分方法的优劣主要体现在差分格式的稳定性、收敛性及误差.2000年，Tolstykh提出将径向基函数应用于有限差分法中，开启了径向基函数差分法的相关研究［9-10］. 径向基函数有限差分法可用于求解线性和非线性的偏微分方程［11-14］.由于径向基函数（Radial Basis Function Method，简称RBF）方法在处理分散节点和解决光滑问题时有较高的精度等优点，因此越来越多的研究者将两种方法结合构造径向基函数有限差分法来作为微分方程的高精度差分格式.1 RBF-FD公式的构造及最佳参数的选取1.1 RBF-FD公式给定一组数据为求解区域Rs 内n 个离散节点xi，i=1,2,…,n 的函数值，设任意点x 的函数值u(x)都可以近似表示为如下形式的径向基函数的线性组合，即：其中：Rs 为s维实空间；φ(r)为径向基函数；‖ ‖· 是Rs 上的欧几里得距离；pl(x)为多项式函数. 方程（1）中的系数λj 和αl 由下列拟合插值条件和附加条件决定：方程组（2）式的矩阵向量形式为其中：B=(bij)，bij=φ(‖ xi-xj ‖)；P=(pil)，pil=pl(xi)；λ=(λj)T，α=(αl)T，u=( u (x1),…,u(xn))T，0=(0)d×1，i,j=1,…,n，l=1,…,d.本文主要研究一维插值函数，所以取xi，x ∈ℝ . 插值函数（1）式在节点xi 处的k 阶导数为我们将s(k)(xi) 称为基于径向基函数插值的k 阶有限差分，简记为k 阶RBF-FD.一般有s(k)(xi)≈u(k)(xi). 如果要得到s(k)(xi)的表达式，则需要求解方程组（3）式，这在一般情况下比较困难. 此外，RBF插值的拉格朗日形式（1）～（2）式已经由Fornberg，Wright，Larsson在文献［15］中给出.定理1［15］为满足（2）式，（1）式中的RBF插值由（3）式给出其中，Aj(x)，(j=1,…,n)可由矩阵A 得到，即将矩阵A 的第j 行用如下向量替换：由（4）式可得由（5）式得到的s(k)(xi)可以避免求解方程组（3）式所遇到困难.1.2 基于三等距节点的RBF-FD公式首先给定三节点数据组{ }x1,x2,x3 ，且节点是等距的，h=x2-x1=x3-x2，本文只考虑包含常数项的RBF插值，这里β 为常数函数：其中：本文中取径向基函数为（Multiquadric，MQ函数），ε 为形状参数.根据（4）式，s′(x2)的系数ψ′j(x2)，j=1,2,3 如下：因此，我们有同理我们可以得到1.3 最佳参数ε 的选择假设被插值函数u(x)在包含节点组的区间I上充分光滑，记xε=εh，则ψ′2(x2)，u(x3)-u(x1)，s′(x2)关于ε 和h 的Taylor展开式：由上式我们可以看出，当时，有s″(x2)=u″(x2)+ο(h4).同理，ψ″2(x2)，2u(x2)-u(x1)-u(x3)，s″(x2)关于ε 和h 的Taylor展开式：由上式我们可以看出，当时，有s″(x2)=u″(x2)+ο(h4).2 一维变系数椭圆型方程边值问题的求解2.1 求解一维变系数椭圆型方程边值问题的RBF-FD格式考虑一维变系数椭圆型方程边值问题：其中，p(x)≥p0 ＞0，p0=p(a)，r(x)，q(x)≥0 且适当光滑.首先将（10）式化简为：其中：a(x)=p(x)；b(x)=r(x)-p′(x).将区间a ＜x ＜b 剖成n 等份，节点xi=a+(i-1)h，h=(b-a) n，1 ≤i ≤n+1. 在节点xi 处，利用来近似u″(x)，其中，. 将ε，v和w记作εi，vi 和wi，同时引入记号.根据中心差分公式给出一个逼近u′(xi)达到ο(h4)精度的近似式. 此外将（13）式右端的三阶导数u‴(xi)用具有二阶精度的差分逼近公式替代. 由（11）式可知所以将式（15）代入（13）式右边，并利用中心差分公式，得到利用式（12），（16）得到求解一维变系数椭圆型方程边值问题（11）式的具有四阶精度的RBF-FD方程：且满足边值条件u1=0，un+1=0 . 进一步整理，得其中：将（18）式的矩阵向量形式记为AU=F，其中显然，A 和F 都是U 的函数，即方程组AU=F 是非线性的. 容易验证A 是严格对角占优矩阵，因此可构造如下迭代格式：对其进行求解. 计算结果满足时，迭代终止.2.2 最佳参数ε2 的计算根据前面章节的分析可知最佳参数，而u″(xi)，u(4)(xi)是未知的. 首先对（14）式两边连续求导两次，有将（14）、（15）式代入（20）式得其中：根据RBF-FD公式（9）截断误差，可知所以当时，有s″(x2)=u″(x2)+ο(h4) .差分方程（18）式的迭代求解过程如下.第一步：迭代格式（19）式的初始值选择是利用二阶中心差分格式计算出一组具有二阶精度的近似解作为初始值U0；第二步：根据（22）式，利用Uk，k=0,1,…，计算，再通过计算vi，wi 和γi，从而得到A(Uk)，F(Uk)；第三步：通过A(Uk)，F(Uk)和（19）式计算出Uk+1. 如果满足终止条件，则迭代终止，否则转到第二步.2.3 数值实验及结果分析考虑边值问题其中：f(x)由精确解u=x(1-x)sin x 确定.本文定义如下误差函数为其中：C为常数；p为收敛阶；h为等距节点间的距离.对其取对数有log εr=log C+p log h，以log h 和log εr 为坐标轴，并应用非线性最小二乘Marquardr-Levenberg算法将数据拟合，得到如图1所示的直线.图1 二阶中心差分格式及RBF-FD格式的误差收敛阶Fig.1 Error convergence orders of second order central difference scheme and RBF-FD scheme图1为中心差分格式（23）与RBF-FD格式（17）在不同步长下解的误差收敛阶，可以发现在相同的步长h下，本文构造的RBF-FD格式的近似误差明显小于中心差分格式，并且可以得到RBF-FD格式（17）的四阶收敛性，是中心差分格式（23）的两倍. 数值结果表明，参数最优的RBF-FD格式在求解两点边值问题时，无论是逼近精度还是收敛阶数，均明显优于二阶中心差分格式.【相关文献】［1］胡健伟，汤怀民.偏微分方程数值方法［M］.北京：科学出版社，1999.［2］陆金甫，关治.偏微分方程数值解法［M］.北京：清华大学出版社，2016.［3］章本照，印建安，张宏基.流体力学数值方法［M］.北京：机械工业出版社，2003.［4］李荣华.边值问题的Galerkin有限元法［M］.北京：科学出版社，2005.［5］何跃.一类退化椭圆型方程边值问题的适定性［J］.数学年刊A辑，2007，28（5）：651-666.［6］韩丕功.关于半线性椭圆型方程和方程组的研究（英文）［J］.中国科学院研究生院学报，2009，26（1）：141-143.［7］曾攀.有限元分析及应用［M］.北京：清华大学出版社，2004.［8］ FORNBERG B. Generation of finite difference formulas on arbitrarily spaced grids ［J］. Mathematics of Computation，1988，51（184）：699-706.［9］ CECIL T，QIAN J，OSHER S.Numerical methods for high dimensional Hamilton-Jacobi equations using radial basis functions［J］.Journal of Computational Physics，2004，196（1）：327-347.［10］ BAYONA V，MOSCOSO M，CARRETERO M，et al.RBF-FD formulas and convergence properties［J］.Journal of Computational Physics，2010，229（22）：8281-8295.［11］ KHATTAK A J，ISLAM S L. A comparative study of numerical solutions of a class of KdV equation［J］. Applied Mathematics and Computation，2008，199（2）：425-434. ［12］ ISLAM S L，HAQ S，UDDIN M. A meshfree interpolation method for the numerical solution of the coupled nonlinear partial differential equations［J］.Engineering Analysis with Boundary Elements，2009，33（3）：399-409.［13］ CHEN R，WU Z. Solving partial differential equation by using multiquadric quasi-interpolation［J］. Applied Mathematics and Computation，2007，186（2）：1502-1510. ［14］ KHATTAK A J，TIRMIZI S I A，ISLAM S L.Application of meshfree collocation method to a class of nonlinear partial differential equations［J］.Engineering Analysiswith Boundary Elements，2009，33（5）：661-667.［15］ FORNBERG B，WRIGHT G，LARSSON E.Some observations regarding interpolants in the limit of flat radial basis functions［J］.Computers and Mathematics with Applications，2004，47（1）：37-55.。