椭圆型方程非齐次边值问题的变分形式 4..

目录1引言2椭圆型方程非齐次第一边值问题的变分形式2.1建立第一边值条件等价极小位能原理2.2建立第一边值条件等价的虚功原理3椭圆型方程非齐次第二边值问题的变分形式3.1建立第二边值条件的极小位能原理3.2建立第二边值条件的虚功原理4椭圆型方程非齐次第三边值问题的变分形式4.1建立第三边值条件的极小位能原理4.2建立第三边值条件的虚功原理椭圆型方程非齐次边值问题的变分形式1引言很多实际问题的微分方程是通过泛函的变分得到的, 在变分过程中增加了未知函数导数的阶数. 反之某些变分方程的定解问题可通过构造相应的泛函, 使求泛函的极小值与求解微分方程的定解问题等价也就是说, 变分法最终寻求的是极值函数, 它们使得泛函取得极大或极小值. 变分原理在物理学中, 尤其是力学中有着广泛运用, 如著名的虚功原理、极小位能原理、余能原理和哈密顿原理等, 几乎所有的自然定律都能用变分原理的形式予以表达. 在当代变分已成为有限元法的理论基础,是求解边值问题的强力工具.2椭圆型方程第一边值问题的变分形式椭圆型方程第一边值问题：G u G y x f u v k =∈=+∇∇-Γ)2.1(,),(,)(σ, 其中Γ是边界, G 是平面区域).()()(),(),(,0),(,0min ),(),(21y u k y x u k x u k C g G L f G C G c y x k k G∂∂∂∂+∂∂∂∂=∇∇Γ∈∈≥∈>∈=σσ 定义：{}),(,)(),()(221b a I I L f I L f f I H =∈'∈= 在解决第一边值问题的变分形式的过程中, 我们先运用格林第一公式和极小位能原理建立等价的变分形式, 再运用虚功原理建立等价的变分形式.为此我们需要考虑如下结果: 极小位能原理, 虚功原理, 格林第一公式.格林第一公式：G 是xy 平面上的一有界区域，其边界Γ为分段的光滑曲线，n 为曲线Γ的单位外法向量，nu ∂∂是u 沿n 的方向导数，则有: .)()(vds n u dxdy y v y u x v x u xdy vd u GG ⎰⎰⎰Γ∂∂-∂∂∂∂+∂∂∂∂=∆-,),(),,(G y x y x f u ∈=∆- （2.1.3）,0=Γu （2.1.4） 定义：).,(),(21)(u f u u a u J -= 其中∆是Laplace 算符.2222yx ∂∂+∂∂ 极小位能原理: 设)(2*G C u ∈是边值问题(2.1.3)，（2.1.4）的解，则*u 使)(u J 达到极小.,反之，若)()(102*G H G C u ∈使)(u J 达到极小，则*u 是边值问题（2.1.3），（2.1.4）的解. 虚功原理: 设)(2G C u ∈，则u 满足（2.1.3），（2.1.4）的充要条件是：1E H u ∈且对于任意1E H v ∈满足变分方程，0),(),(=-v f v u a .2.1建立第一边值条件等价的极小位能原理（1）极小位能原理： 设)(20G C u ∈为一特定函数，g u =Γ令0u u v -=，则得到（2.1），（2.2）的等价问题： .0)()(00⎪⎩⎪⎨⎧=-∂∂∂∂+==+∇∇-Γv u y u k y f F v v k σσ 构造v 的二次泛函,外内W W J +=∧ dxdy v v v k W G)((212⎰⎰+∇-∇=σ）内 dxdy Fv W G ⎰⎰=-外).,(),)((21)2)((212v F v v v k dxdy Fv v v v k J G -+∇-∇=-+∇-∇=⎰⎰∧σσ 在2C 中，dxdy Fv v F G⎰⎰=),(.21)(21),(),)((212⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+∇∇-=-+∇-∇=∧GG G Fvdxdy dxdy v vdxdy v k v F v v v k J σ .)()()()(22222222⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂-=∇∇-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰G G G G Gdxdy kv y v kv x v dxdy v y v y k v x v x k dxdy v y v k v y v y k v x v k v x v x k vdxdy y v k y x v k x vdxdyv k运用格林第一公式 .)()()(22dxdy y v x v k kvds n v dxdy y kv y v x kv x v dxdy v y v y k v x v x k GG G ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂∂∂+∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂-=Γ .)(),(y uvdxd dxdyy y v y u x v x u k v u a GG ⎰⎰⎰⎰+∂∂∂∂+∂∂∂∂=σ令 则).,(),(21)(v F u v a v J -=∧ 下面回到原问题.)()()()(21)()()()(21)()(21),(),(2100200220000202020dxdy x u k x dxdy fu dxdy uu dxdy u dxdy y u y u x u x u k dxdy y u k x u k dxdy u u u y u k y x u k x f dxdy u u dxdy y u y u k x u x u k v F v v a J G G G G G G G GG ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂---+∂∂∂∂+∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂∂∂+∂∂∂∂+--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=-=∧σσσσ依据极小位能原理：)(**x v v =是下列变分问题的解, )(min )(*v J v J v =∧.变分问题表述为：求1*E H u ∈使).(min )(1*v J v J E H v ∈= (1E H 是所有满足非齐次边值（2.2）的函数类构成)(1I H 的子空间)2.2建立第一边值条件等价的虚功原理对任意的1E H v ∈, 有0),(),(=-v f v u a .证明: 以v 乘（2.1)的两端并在G 上积分，得 []).,(),(()()()()(2222v f v u a dxdy Fv dxdy uv dxdy y v y u x v x u k dxdy Fv dxdy kv y v kv x v dxdy v y v y k v x v x k dxdy Fv vdxdy y v k y x v k x dxdyFv v v v k GG G GG G GG G-=-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂-=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂-=-+∇∇-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰σσ 原问题的变分问题变为：求u ，12E H C u ∈，满足变分方程0),(),(=-v F v u a ，对任意的1E H v ∈.3椭圆型方程的第二边值问题在求椭圆型方程第二边值问题的变分形式时, 我们考虑如下模型poisson 方程. 我们先运用格林第一公式和极小位能原理建立poisson 方程第二边值问题的变分形式 再运用虚功原理建立等价的变分形式.就方程poisson :.),(),,(G y x y x f v ∈=∆- (3.1.1)G 是xy 平面上的一有界区域，其边界Γ为分段的光滑曲线，n 为曲线Γ的单位外法向量.在Γ上u 满足第二边值条件δ=∂∂nu (3.1.2) 3.1建立第二边值条件的极小位能原理 取一特定函数)(20u C u ∈，δ=∂∂nu 0，令0u u v -=，则.0=∂∂n v 先运用极小位能原理和虚功原理导出等价的变分问题，则得到（3.1.1），（3.1.2）的等价问题 ,0F u f v =∆+=∆- (3.1.2).0=∂∂nv (3.1.3) 构造二次泛函:,外内W W J +=∧其中, ,dxdy Fv W G ⎰=外.)(21v d x d y v W G ⎰⎰∆-=内 .)(2121)()(2121)()(21),(),(21),(),(21)(21)(,00000020022222常数常数所以外内+∆-∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂-=+∆---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂=-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂=-=-∆-=+∆-=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΓΓΓΓxdy ud u ds n u xdy d y u y u x u x u u J xdy ud u xdy fud ds auu ds au xdy d y u y u x u x u dxdy y v x v xdy Fvd ds av dxdy y v x v v F v v v F v v dxdy Fv dxdy v v W W v J uu u u u G uG G G其中，.)()(0000xdy ud u ds n u xdy d y u y u x u x u u J uu ⎰⎰⎰⎰⎰∆-∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂=Γ又由格林第一公式知道.)(0000ds n u xdy d y u y u x u x u xdy ud u u u ⎰⎰⎰⎰⎰Γ∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂=∆- (3.1.6) 原问题的变分问题的变分形式为：求)(1*u H u E ∈，使得)(min )(*u J u J n u δ=∂∂= .21)(00⎰⎰⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂=uG fudxdy dxdy y u y u x u x u u J 3.2建立第二边值条件的虚功原理对任意的1E H v ∈,有0),(),(=-v f v u a以v 乘（1.1)的两端并在G 上积分，得[],0)(=-∆-⎰⎰dxdy fv v u G（3.2.1）利用公式（1.2.3）及关于v u ,的边值条件（)()得.)()()(dxdy y v y u x v x u vds n u dxdy y v y u x v x u vdxdy u GG G ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂-∂∂∂∂+∂∂∂∂=∆-Γ定义双线性形式:dxdy yv y u x v x u v u a G ⎰⎰∂∂∂∂+∂∂∂∂=)(),( 则（3.2.1）写成 0),(),(=-v f v u a . 设12),(E H v G C u ∈∈，则由(3.1.6)得到，,)(),(),(dxdy v f u v f v u a G⎰⎰-∆-=-则原问题的变分问题的变分形式还可以表述为：求u ，12)(E H G C u ∈，对任意.0),(),(,1=-∈v f v u a H v E4椭圆型方程的第三边值问题：在求椭圆型方程第三边值问题的变分形式时, 我们考虑如下模型poisson 方程. 我们先运用格林第一公式和极小位能原理建立poisson 方程第三边值问题的变分形式 再运用虚功原理建立等价的变分形式.就.),(),,(G y x y x f u poisson ∈=∇-方程 （4.1.1）G 是xy 平面上的一有界区域，其边界Γ为分段的光滑曲线，n 为曲线Γ的单位外法向量，nu ∂∂是u 沿n 的方向导数.在Γ上u 满足第三边值条件βα=+∂∂Γu n u 0≥α （4.1.2）4.1建立第三边值条件等价的极小位能原理取一特定函数)(20u C u ∈，βα=+∂∂Γ00u n u ，令0u u v -=，则,0=+∂∂Γv nv α 则得到（3.3,1），（3,3,2）的等价问题,0F u f v =∆+=∆- （4.1.3）.0=+∂∂Γv nv α （4.1.4） 常数常数所以+∆--∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂-=+∆---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂=-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂=-=-∆-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΓΓΓΓxdy ud u ds n u xdy d y u y u x u x u u J xdy ud u xdy fud ds auu ds au xdy d y u y u x u x u dxdy y v x v xdy Fvd ds av dxdy y v x v v F v v v F v v v J uu uu u G uG 00000020022222)()(2121)()(2121)()(21),(),(21),(),(21)(,β其中， xdy ud u ds n u xdy d y u y u x u x u u J uu ⎰⎰⎰⎰⎰∆--∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂=Γ0000)()(β 又由格林第一公式知道.)(0000ds n u xdy d y u y u x u x u xdy ud u u u ⎰⎰⎰⎰⎰Γ∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂=∆-原问题的变分问题的变分形式为：求)(1*u H u E ∈，使得)(min )(*u J u J u n u βαγ=+∂∂=.2121)(200⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΓΓ--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂=uds fudxdy dxdy u dxdy y u y u x u x u u J u G βα 4.2建立第三边值条件等价的虚功原理依据虚功原理，对任意的1E H v ∈,有， 0),(),(=-v f v u a证明：以v 乘（4.1.1)的两端并在G 上积分，得[]0)(=-∆-⎰⎰dxdy fv v u G（4.2.1）利用公式（1.2.3）及关于v u ,的边值条件（4.1.2）得 ..)()()(ds uv dxdy y v y u x v x u vds n u dxdy y v y u x v x u vdxdy u G G G ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΓΓ+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂-∂∂∂∂+∂∂∂∂=∆-α (4.1.3) 定义双线性形式:,)()(),(vds u n u dxdy y v y u x v x u v u a G α+∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=⎰⎰⎰Γ则（4.2.1）写成，0),(),(=-v f v u a 设12),(E H v G C u ∈∈，则由(4.1.3)得到 vds u nu dxdy v f u v f v u a G )()(),(),(α+∂∂+-∆-=-⎰⎰⎰Γ. 边值问题的另一变分形式是：求U u ∈，对任意的U v ∈, 使).,(),(v f v u a =结束语经过两个多月的努力，论文终于完成在整个设计过程中，出现过很多的难题，但都在老师和同学的帮助下顺利解决了，在不断的学习过程中我体会到：写论文是一个不断学习的过程，从最初刚写论文时对变分问题的模糊认识到最后能够对该问题有深刻的认识，我体会到实践对于学习的重要性，以前只是明白理论，没有经过实践考察，对知识的理解不够明确，通过这次的做，真正做到理论实践相结合。