椭圆型方程的差分方法
关于解二维椭圆型高精度差分方程的交替方向迭代法
关于解二维椭圆型高精度差分方程的交替方向迭代法交替方向迭代法是一种常用于解二维椭圆型差分方程的方法。
在许多实际应用中，需要对这种方程进行高精度的求解。
交替方向迭代法可以有效地解决这个问题，并且在计算效率和内存利用方面都具有优势。
交替方向迭代法的基本思想是将二维椭圆型差分方程化为两个一维的差分方程，然后分别对其进行迭代求解。
具体地，将二维椭圆型差分方程表示为：$-\frac{\partial^2 u}{\partial 某^2}-\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=f(某,y)$。
其中，$u(某,y)$是要求解的未知函数，$f(某,y)$是已知的函数。
接下来，我们可以将上式分别用某轴和y轴方向进行差分，得到两个一维的差分方程：$-\frac{u_{i-1,j}-2u_{i,j}+u_{i+1,j}}{\Delta 某^2}-\frac{u_{i,j-1}-2u_{i,j}+u_{i,j+1}}{\Delta y^2}=f_{i,j}$。
$-\frac{u_{i-1,j}-2u_{i,j}+u_{i+1,j}}{\Delta 某^2}-\frac{u_{i,j-1}-2u_{i,j}+u_{i,j+1}}{\Delta y^2}=f_{i,j}$。
其中，$u_{i,j}$表示在坐标$(i,j)$处的未知函数值，$\Delta 某$和$\Delta y$分别表示在某轴和y轴方向的差分间隔。
接下来就是交替方向迭代法的核心部分。
首先，我们需要对第一个方程中的某方向进行求解，可以通过迭代求解来不断逼近最终的解。
假设我们用$u^{k}_{i,j}$表示在第k次迭代时，在坐标$(i,j)$处的近似解。
那么对于每个坐标$(i,j)$，我们可以通过以下公式来更新近似解：$u^{k+1}_{i,j}=\frac{1}{2}(\frac{u^{k}_{i-1,j}+u^{k}_{i+1,j}}{\Delta 某^2}+\frac{u^{k}_{i,j-1}+u^{k+1}_{i,j+1}}{\Delta y^2}-f_{i,j})$。
椭圆型方程
(1.5)
注 此方程组尽管是高阶方程组，但每个方程未知数
最多有3个易于求解.
④ 对方程组 (1.4)～(1.5) 的解分析需要考虑以下几个问题：
(a) 解是否惟一？ (b) 当网格无限加密时，即 h 0 时，差分解 ui
是否收敛到真解 u (xi ) ? (c) 在何种度量下收敛？ (d) 收敛速度如何？ 为了解决如上问题，需要给出如下说明：
于是在 xi 将方程 (1.1) 写成
u (xi1) 2u (xi ) u (xi1) h2
q(xi )
u (xi )
f
(xi )
R
i(u),
(1.3)
其中
R
i(u)
h2 12
d
4u(x) dx4
i
O(h3 ).
舍去 R i(u) 得逼近方程 (1.1) 的差分方程为：
du dx
i
hi1 2
hi
d 2u dx2
i
O(h2
)
(2.3)
p(
x i
1
)
2
u(xi ) u(xi1) hi
p
du dx i1
2
hi2 24
p
d 3u
dx3
i1
2
O(h3)
p
du dx
取 x(1) x0 a, x(2) x1 , 得
2
(2.7) (2.8)
(2.9) (2.10)
W (a) W (x1 ) 2
x1
偏微分方程数值解法(1)
第十章 偏微分方程数值解法一、 典型的偏微分方程介绍 1．椭圆型方程 科学技术中经常遇到一些重要的、典型的偏微分方程。
在研究有热源稳定状态下的热传导，有固定外力作用下薄膜的平衡问题时，都会遇到Poisson 方程D y x y x f yux u ∈=∂∂+∂∂),(),(2222（10.1）其中D 表示平面区域。
特别在没有热源或没有外力时，就得到Laplace 方程02222=∂∂+∂∂y ux u （10.2）此外，当研究不可压缩理想流体无旋流动的速度势以及静电场的电位等，也会遇到（10.1）或（10.2）类型的方程。
2．抛物型方程 在研究热传导过程、气体扩散现象、电磁场的传播等问题中以及在统计物理、概率论和重子力学中，经常遇到抛物型方程。
这类方程中最简单、最典型的是热传导方程。
L x t xu a t u <<>=∂∂-∂∂0,0,022（10.3）其中a 是常数。
它表示长度为L 的细杆内，物体温度分布的规律。
3．双曲型方程 在研究波的传播、物体的振动时，常遇到双曲型方程。
这类方程中最简单、最典型的是波动方程L x t xu a t u <<>=∂∂-∂∂0,0,022222（10.4）它表示长度为L 的弦振动的规律。
二、定解问题偏微分方程（10.1）~（10.4）是描述物理过程的普遍规律的。
要使它们刻划某一特定的物理过程，必须给出附加条件。
把决定方程唯一解所必须给定的初始条件和边界条件叫做定解条件。
定解条件由实际问题提出。
对方程（10.3）来说，初始条件的提法应为)()0,(x f x u =，其中f (x )为已知函数，它表示物体在初始状态下温度分布是已知的。
边界条件的提法应为物体在端点的温度分布为已知，即⎩⎨⎧≥==0)(),()(),0(t t t L u t t u ψϕ （10.5）其中ϕ（t ）和ψ（t ）为已知函数。
对（10.4）来说，边界条件的提法和（10.5）形式一样，它表示弦在两端振动规律为已知。
实验五 椭圆型方程差分解法
实验五 椭圆型方程差分解法一、 实验题目：矩形区域Ω上Laplace 方程的Dirichlet 问题⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===-==∂∂+∂∂====0|4sin |0|)3(|030402222y y x x u xu u y y u y u xu π 4040303030,40≤≤≤≤≤≤≤≤<<<<x x y y y x二、 实验要求：1、建立内点的五点差分格式。
(取h=1)2、建立包括边界点在内的五点差分格式方程组。
3、用逆矩阵法或雅克比迭代迭代法求解方程组。
4、计算结果（保留至小数点后4位）。
5、由计算结果，写出结论。
三、实验步骤1、建立Laplace 方程与边界条件的差分格式（内节点6个，边界点10个）2、建立6个未知量的差分方程组。
41,,1,11,-+-++++=j i j i j i j i ij u u u u u3、建立6个未知量的矩阵方程。
令],,,,,[232221131211u u u u u u u h =，则6个未知量的矩阵方程为g Hu h h =21其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=B I I B I I B H ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=4114114B 4、利用边界条件编制程序计算内节点处的数值解lm u （3,2,1=l 2,1=m ） 四、实验源代码 #include<stdio.h> #include<math.h> #define e 0.000001 void main(){ int i,j,k,flag=1,sum=0;doublea[5][4]={{0,2,2,0},{0.707,0,0,0},{1,0,0,0},{0.707,0,0,0},{0,0,0,0}}; double b[6],c[6]; while(flag) { sum++; flag=0;k=0;for(i=1;i<=3;i++) for(j=1;j<=2;j++) {b[k]=a[i][j];a[i][j]=(a[i-1][j]+a[i+1][j]+a[i][j-1]+a[i][j+1])/4;c[k]=a[i][j];k++;}for(k=0;k<=5;k++)if(fabs(b[k]-c[k])>e)flag=1;}for(k=0;k<=5;k++)printf("%f\n",b[k]);printf("%d",sum);}五、实验结果：.1,63850525.1,u.1[.1,4123]5369.2,.0,53629685h。
二阶椭圆型偏微分方程五点差分格式解的收敛性
二阶椭圆型偏微分方程五点差分格式解的收敛性发表时间：2020-08-13T07:07:27.104Z 来源：《学习与科普》2020年6期作者：邢舒雯[导读] 本文旨在五点差分格式的基础上利用极值原理证明该差分格式解存在唯一性、收敛性。
成都理工大学 610059摘要：差分格式作为求解二阶椭圆型偏微分方程中较为普遍的一种方法，研究证明其解存在唯一性以及收敛性在解决实际应用中起到决定性作用。
五点差分格式作为其中最简单的一种方法，在其基础上已知函数满足某些假设条件时，利用极值原理证明解的唯一性和收敛性，并用MTTLAB软件绘出随着差分格式迭代次数的增加解与精确解的误差分析图。
关键词：椭圆型偏微分方程;五点差分方程;极值原理;收敛性引言当今社会高速发展的过程中，越来越多的学科更加紧密的与数学联系起来,在许多领域中的数学模型都需要用偏微分方程来描述。
以应用为目的或以物理、力学等其他学科中的问题为背景的应用偏微分方程研究，不仅是传统应用数学的一个最主要的内容，而且是当代数学中的一个重要组成部分。
它是数学理论与实际应用之间的一座桥梁，研究工作一直非常活跃，研究的领域日益扩大。
大量素材的积累，进一步提出了将偏微分方程系统化和许多实际问题要求解决线性问题。
因此研究椭圆型偏微分方程的边值问题解的收敛性有着重要的实际意义。
本文旨在五点差分格式的基础上利用极值原理证明该差分格式解存在唯一性、收敛性。
1 二阶椭圆型偏微分方程首先介绍一下二阶椭圆型偏微分方程。
二阶椭圆型方程的研究甚早，早在50年代以前对方程的一些基本边值问题的可解性就获得了某些成果，在几十年代的发展中建立了各种解法，例如，泛函方法、差分法、变分法、积分方程法等。
椭圆型边值问题的求解，只在很特殊情况下才能用解析方法，一般情况下实际有效的途径是数值方法，差分法是其中一类.差分法的思想和做法是，把定解区域剖分为网格，在网格结点上以差商代替微商或用某种插值方式，把微分方程化为包含有限.个未知数的差分方程组.差分法直观、简易、能普遍用于各种类型的微分方程和任意形状的区域.因为它包含巨大的运算量,所以只在电子计算机问世之后，才得到广泛的应用与发展。
椭圆型方程的差分方法
通过实验验证理论分析的正确性。
参数调整
根据误差分析结果调整差分方法的参数。
稳定性分析的实例和结果
结果1
通过误差分析和数值实验，验证了差分方 法的数值稳定性和精度。
A 实例1
一维椭圆型方程的差分方法稳定性 分析。
B
C
D
结果2
通过误差分析和数值实验，验证了差分方 法的数值稳定性和精度，并比较了一维和 二维情况下的误差传播特性。
差分方法在椭圆型方程求解中的优势和局限性
优势
差分方法是求解偏微分方程的一种有效 数值方法，特别适用于大规模计算和并 行计算。它能够模拟偏微分方程的解， 并且具有较高的计算效率和精度。
VS
局限性
差分方法在处理边界条件和复杂几何形状 时可能遇到困难，有时需要引入额外的近 似和假设。此外，差分方法对于某些特殊 类型的偏微分方程可能不适用，或者需要 特殊的处理技巧。
04
差分方法的稳定性分析
稳定性分析的基本概念
数值稳定性
差分方法求解偏微分方程时，数值解对初值 和参数的敏感性。
误差传播
差分方法求解过程中误差的累积和扩散现象。
数值解的精度
差分方法得到的数值解与真实解之间的误差 大小。
稳定性分析的方法和步骤
建立数学模型
将偏微分方程转化为差分方程。
误差分析
计算差分方程的截断误差和全局误差。
差分方法的数学基础
离散化
将连续的函数或过程转换为离散的形式，以便于用数 值方法进行计分方程转化为差分 方程。
稳定性
差分方法的稳定性是指当时间步长趋于无穷小时，差 分方法的解收敛于微分方程的解。
差分方法的实现步骤
建立差分方程
根据微分方程和初边值条件，建立离散化的差 分方程。
课程大纲-西安建筑科技大学研究生院
课程大纲课程编号（理学院）课程名称随机规划学时40基本预备知识 1. 概率统计2. 最优化理论与算法3. 随机过程授课方式讲授、研讨基本要求掌握随机规划模型的类型。
（3TKH 主要类型），了解分布问题中参数LP 及其最优值得表达式，了解Z（3 ）的可测性及其概率分布，掌握简单分布问题的计算方法，了解逼近方法和最优值的数学期望的估计，掌握有补偿的二阶段问题和二阶段问题的数值解法，了解概率约束规划和随机拟次梯度法，了解上图收敛性。
教材及参考书《随机规划》，王全德编著，南京大学出版社，1990 年。
《随机线性规划》，Kall 著，王金德译，南京大学出版社。
讲授的主要内容：（每章后附学时数）1.随机规划的模型（6 学时）1.1分布问题，二阶段有补偿问题，概率约束问题；1.2多阶段有补偿问题和多阶段概率约束计划；1.3各类问题的统一形式与相互关系。
2.分布问题：（6 学时）2.1参数LP；2.2Z（3）的可测性；2.3最优化Z（3 ）的概率分布；2.4简单分布问题的计算方法；2.5逼近方法与最优值的数学期望的估计。
3.有补偿二阶段问题（8 学时）3.1一般有补偿二阶段的问题；3.2具有固定补偿矩阵的情形；3.3具有完备和简单补偿矩阵的二阶段问题。
4.二阶段问题的数值解法（8 学时）4.1具有离散随机变量的二阶段问题的解法；4.2简单补偿问题的解法。
5.概率约束规划（6 学时）可行解集合的特性，约束函数的分析性质，数值解法，逼近方法。
6.随机拟次梯度法（* ）（2 学时）7. 应用举例（2 学时）8. 上图收敛性（2 学时）注：（*）只做了解课程名称学时基本预备知识值代数601. 数学分析2. 线性代数3. 矩阵论4. 计算方法授课方式讲授基本要求1. 知道矩阵计算的基本工具，熟悉Vandermonde、Toeplitz 等方程组的解法及某些迭代法的收敛性，了解多项式加速技巧。
2.掌握不完全分解预先共轭梯度法，广义共轭剩余法，Lanczos 方法，求解特征值问题的同伦方法和分而治之法以及求解Jacobi 矩阵特征值反问题的正交约化法。
第二章椭圆型方程的有限差分法
.
差分方程(1.6)当i 1,2, N 1,时成立，加上边值条件 就得到关于的线性代方数程组：
Lhui
ui1
2ui h2
ui1
qiui
fi ,i
1,2,
N 1,(1.8)
u0 , uN . (1.9)
它的解ui是u(x)于x xi的近似。称(1.8),(1.9)为逼近(1.1) (1.2)的差分方程或差分格。式
立 差 分 方 程 的 稳 定检性验。相 容 条 件 并 不。困我难们 曾
用Taylo展 r 式证明它都满足条相件容，并且估计了截
误 差 的 阶 。 因 此 我主们要的任 务 去 建 立 差式分的格稳
定 性 ， 即 建 立 形 (1.1如7)的 估 计 式 ， 称 之 为差关分于方
程解的先验估计。 .
的解u，由Taylo展 r 式可得
u(xi1)2u(xi )u(xi1) h2
d2u(x) [ dx2 ]i
1h22[h2dux(2x)]o(h3),(1.3)
其中[ ]i表示括号内函xi点 数取值。 于 是 在 可 (1.1)写 将成 方 程
u(xi1)2uh(2xi)u(xi1)q(xi)u(xi)f(xi)Ri(u)(, 其 中 Ri(u)1 h22 [h2du(2 xx)]o(h3), (1.5)
)
u(
xi1
)
q(
xi
)u(
xi
)
f (xi ) Ri (u) fi Ri (u)
与Lhui
ui1
2ui h2
ui1
qiui
fi
相减，得 Lh(u(xi ) ui ). Ri (u)
引进误差
ei u( xi ) ui , 则误差函数 eh( xi ) ei满足下列差分方程；
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第一边值问题，或称Drichlet问题
方程3.1 x, y u f x, y x, y
第二边值问题，或称Neumann问题
方程3.1 u gx, y
n
x, y x, y
第三边值问题，或称Robin问题
其中
方程3.1 x, yu
x,
y u
n
x,
y
x, y x, y
x, y, x, y 0
在四个顶点上，有
4U0,0 2U1,0 2U0,1 4hg0,0
4U0,M 2U1,M 2U0,M 1 4hg0,M 4U M ,0 2U M ,1 2U M 1,0 4hgM ,0 4U M ,M 2U M 1,M 2U M ,M 1 4hgM ,M
（3.15） （3.16） （3.17）
第三章 椭圆型方程的差分方法
• 3.1 正方形区域中的Laplace方程Dirichlet边值问 题的差分模拟
• 3.2 Neumann边值问题的差分模拟 • 3.3 混合边值条件 • 3.4 非矩形区域 • 3.5 极坐标形式的差分格式 • 3.6 矩形区域上的Poisson方程的五点差分逼近的
敛速分析 • 3.7 一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质
先在区域Ω中给定一个正方形网格区域，步长为
h，Mh=1,于是必须确定解的结点为（M 个1)2，结点上
的差分方程的解为
U l,m 0 l, m M
（3.12）
在内点上，Laplace方程由差分方程(3.6)代替：
1
h2
2 x
2 y
Ul,m
0
l, m＝1， 2， , M 1
在x=0上的导数边值条件的差分模拟为
单位正方形中的内部结点上的 (M个1线)2 性方程(3.8)写
成矩阵形式为
AU=K
（3.9）
其中，A是 (M 1阶)2 方阵
B I
I B I
A
I
B
I
I B
I 是(M-1)阶单位方阵；B是(M-1)阶方阵。
4 1
1 4 1
B
1 4 1
1 4
3.2 Neumann边值问题的差分模拟
1
2h U1,m U1,m g0,m
这里 g0,m g0, mh 。
m 1,2,M 1
（3.13）
在五点差分格式(3.12)中令l=0，于是有
2 x
2 y
U0,m
0
即
U1,m 2U0,m U1,m U0,m1 2U0,m U0,m1
代入式(3.13)，则
4U 0,m 2U1,m U 0,m1 U 0,m1 2hg0,m m 1,, M 1
由此，正方形 0 x区, y域1的 方程解Ulm满足线性方程组
AU=2hg
个(M结点1)2上差分 (3.18)
这里A是(M 阶1)2方阵
B 2I
I B I
A
I
B
I
2I B
I是(M+1)阶单位方阵； 是B 如下(M+1)的阶方阵：
4 2
1 4 1
B
1 4 1
2 4
1
h2
U l1,m U l1,m U l,m1 U l,m1 4U l,m
0
它具有截断误差:
1 12
h2
4u x 4
4u y 4
l ,m
我们引进记号◇，有
◇ Ul,m
1 h2
(U l 1,m
Ul1,m
Ul,m1
UБайду номын сангаасl,m1
4U l,m
)
因此差分方程(3.6)即 ◇ 。 Ul,m 0
现在我们考虑Laplace方程Neumann边值问题，即
2u x 2 u n |
2u y 2
gx,
0
y
x, y ; x, y| 0 x 1,0 y 1
(3.10)
表u 示函数u沿着边界的外法线方向导数。在正方
形的n 四 个顶点上法向没有定义，事实上，g(x,y)在那里
将不连续，以后将取平均值作为不连续点上的值的定
3.1 正方形区域中的Laplace方程Dirichlet边 值问题的差分模拟
考虑Laplace方程
2u x 2
2u y 2
0
x, y
(3.3)
设Ω为正方形区域，0<x<1，0<y<1，求方程(3.3)
满足边值条件
的解。
ux, y f x, y x, y
(3.4)
因此Laplace方程的五点差分格式为
义。
Neumann边值问题(3.10)的解存在，仅当
g(x, y)dl＝0
且除了一个任意常数外，解唯一。因为容易看到，如 果u(x,y)是式(3.10)的解，于是， u(x,y)+C(C是一个任 意常数)也是其解。为了唯一性，需要规定u(x,y)在区域 中某一点上的值。
Neumann边值问题的差分模拟
gl,m glh, mh
研究
设 是平面中的具有边界的一个有界区域，本章 考虑如下椭圆型方程的差分解法：
ax,
y 2u
x 2
2bx,
y 2u
xy
cx,
y 2u
y 2
d x,
y,
u,
u x
,
u y
(3.1)
其中，系数a(x,y)，b(x,y)，c(x,y)满足
(3.2)
b2 ac 0 x, y
对应方程(3.1)的定解问题有下面三类：
（3.6） (3.7)
如图3.1所示
在区域Ω的每一内部结点(l,m)上
l 1,, M 1; m 1,, M 1。
建立差分方程，由此在区域Ω内部 (M 个1)2 点上建立 (个M 方1)2 程。
◇ Ul,m 0 l, m 1,, M 1 定义向量
（3.8）
U U1,1,U2,1,,UM1,1;U1,2 ,U2,2 ,,UM1,2;U1,M1,U2,M1,,UM1,M1 T
方程组(3.18)中的向量U和g由以下给出：
U U0,0,U1,0,,UM,0;U0,1,,UM,1;;U0,M ,,UM,M T
g 2g0,0 , g1,0 ,, gM 1,0 ,2gM ,0 ; g0,1,0,,0, gM ,1;
; g0,M 1,0,,0, gM ,M 1;2g0,M , g1,M ,, gM 1,M ,2gM ,M T
（3.14）
同理，在x=1,y=0,y=1时分别有
4U M ,m 2U M 1,m U M ,m1 U M ,m1 2hgM ,m m 1,, M 1 4Ul,0 2Ul,1 Ul1,0 Ul1,0 2hgl,0 l 1,, M 1 4Ul,M 2Ul,M 1 Ul1,M Ul1,M 2hgl,M l 1,, M 1