第二章椭圆型方程的有限差分法.
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有限差分法
两端都要给定边界条件（双程坐标） 。
9
(C) 双曲型方程：适当的边界条件和初始条件，与波动传 播的性质有关 如：一维对流方程
∂u ∂u +c =0 ∂t ∂x u (x ,0) = f (x )
解为 u (x , t ) = f (x − ct ) ，代表一个向右(c > 0 时)或向左 ( c < 0 时)传播的波形。必须在波形传来的一侧提供边界条 件（单程坐标） 。
10
不适定的例子：
utt + u xx = 0 u (x ,0) = u t (x ,0) = 0
拉普拉斯方程＋非闭域边界条件，解为 u (x , t ) ≡ 0 。 然而，若定解条件为 u (x ,0) = 0, ut (x ,0) =
u (x , t ) = 1 sin nx ，解为 n
1 sinh nt sin nx n
(
)
n n um+1 = um −
cτ n n um +1 − um −1 2h
(
)
设计算到第 n 步时的累积误差
n ~n εn = 计算值um − 差分法精确解um m
反之
n ~n um = εn + um m
15
则第 n+1 步的计算值
~n ~ n cτ u n − u n ~ ~ um+1 = um − m +1 m −1 2h cτ n cτ n n n = um − um +1 − um −1 + εn − εm +1 − εn −1 m m 2h 2h n = um+1 + εn +1 m
uin +1 − uin −1 uin+1 − uin +1 − uin −1 − uin−1 −α =0 Lh u = τ h2 ατ 2 ⎛ ∂ 2u ⎞ τ 2 ⎛ ∂ 3u ⎞ Ti = Lh u − Lu (x i , t n ) = 2 ⎜ 2 ⎟ + ⎜ 3 ⎟ − L 截断误差 6 ⎜ ∂t ⎟i h ⎜ ∂t ⎟i ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
椭圆型方程
§1
差分逼近的基本概念
考虑二阶微分方程边值问题
d 2u Lu 2 qu f , a x b, dx u (a) , u (b) , (1.1) (1.2)
其中 q，f 为 [ a , b ] 上的连续函数， q 0, , 为给定常数. 将其分成等分，分点为
称
uh 收敛到边值问题的解 u .
对于差分方程
Lhvi fi , i 1, 2,3,L , N 1,
定义1.3
v0 vN 0 , 如果存在与网格 I h 及右端 fh 无关的常数
数 M 和 h0 , 使 || vh || M || f h ||R ,
0 h h0
称差分方程关于右端稳定.
第二章
椭圆形方程的有限差分法
有限差分法和有限元方法是解偏微分方程的两种主要数值
方法.
有限差分法：从定解问题的微分或积分形式出发，用数值 微商或数值积分导出相应的线性代数方程组. 有限元方法：从定解问题的変分形式出发，用RitzGalerkin 方法导出相应的线性代数方程组，但基函数要按
特定方式选取.
取 x(1) x0 a, x(2) x1 , 得
2
(2.9) (2.10)
W (a) W ( x1 ) 2 qudx
d2 du hi 1 hi dx 2 ( p dx ) 12 i
d 3u 2 p O ( h ) dx 3 i
于是得逼近方程 (2.1)~(2.2) 的差分方程：
ui 1 ui ui ui 1 2 p 1 Lhui pi 1 i h h h h i i 1 i 1 i 2 2 i i 1, 2,, N 1 ui 1 ui qiui fi , hi hi 1 u0 , uN
有限差分法PPT课件
有限差分法在求解导热微分方程中的应用
1
有限差分方法是一种微分方法,广泛用于计算机求解偏微分方程 。
为求解由偏微分方程定解问题所构造的数学模型，有限差分法 是将定解区域（场区）离散化为网格离散节点的集合。并以各离 散点上函数的差商来近似该点的偏导数，使待求的偏微分方程定 解问题转化为一组相应的差分方程。根据差分方程组解出各离散 点处的待求函数值——离散解。
Q c hc (T Ta )
Qr (T4Ta4)
代 入
C pz T t kz 2 T 2 h c T 2T 4 2 h c T a 2T a 4
上 式Leabharlann 边界条件： x=0m ,x=1m, y=1m ； q=0 w/m2
y=1m
； T=300 K
12
（2）利用matlab中的pdetool工具箱，首先绘出空间区域，并以0.1m为 步长对其进行网格划分。 （3）输入已知的参数并设定边界条件
2
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
建立节点物理量的代数方程
设立迭代初值
求解代数方程组 否
收敛？ 是
解的分析
改进初场
3
1. 建立控制方程及定解条件
根据实际问题建立偏微分方程，同时给出边界条件。
2. 区域离散化
理论上可以通过任意的网格划分把求解区域划分成许多求解区域，以网格 线的交点作为需要确定的物理量的空间位置。实际应用中根据边界的形状采用 最简单、最有规律，和边界拟合程度最佳的方法来分割。
建立节点物理量的离散方程节点类型内节点边界节点泰勒级数展开法热平衡法泰勒级数展开法热平衡法热平衡法多运用于非均分网格划分下离散方程的建立其物理概念清晰推导过程简洁我们以二维稳态无内热源矩形均分下的温度场为例先用泰勒级数展开法对内节点由ab两个式子即可推出一阶导数和二阶导数的差分一般取中心差分更为精确一阶导数的中心差分
1
有限差分方法是一种微分方法,广泛用于计算机求解偏微分方程 。
为求解由偏微分方程定解问题所构造的数学模型，有限差分法 是将定解区域（场区）离散化为网格离散节点的集合。并以各离 散点上函数的差商来近似该点的偏导数，使待求的偏微分方程定 解问题转化为一组相应的差分方程。根据差分方程组解出各离散 点处的待求函数值——离散解。
Q c hc (T Ta )
Qr (T4Ta4)
代 入
C pz T t kz 2 T 2 h c T 2T 4 2 h c T a 2T a 4
上 式Leabharlann 边界条件： x=0m ,x=1m, y=1m ； q=0 w/m2
y=1m
； T=300 K
12
（2）利用matlab中的pdetool工具箱，首先绘出空间区域，并以0.1m为 步长对其进行网格划分。 （3）输入已知的参数并设定边界条件
2
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
建立节点物理量的代数方程
设立迭代初值
求解代数方程组 否
收敛？ 是
解的分析
改进初场
3
1. 建立控制方程及定解条件
根据实际问题建立偏微分方程，同时给出边界条件。
2. 区域离散化
理论上可以通过任意的网格划分把求解区域划分成许多求解区域，以网格 线的交点作为需要确定的物理量的空间位置。实际应用中根据边界的形状采用 最简单、最有规律，和边界拟合程度最佳的方法来分割。
建立节点物理量的离散方程节点类型内节点边界节点泰勒级数展开法热平衡法泰勒级数展开法热平衡法热平衡法多运用于非均分网格划分下离散方程的建立其物理概念清晰推导过程简洁我们以二维稳态无内热源矩形均分下的温度场为例先用泰勒级数展开法对内节点由ab两个式子即可推出一阶导数和二阶导数的差分一般取中心差分更为精确一阶导数的中心差分
椭圆型方程差分法
(4)
令
2 1 1 2 1 A 1 1 2 ( N 1)( N 1)
系数矩阵A是不可约对角占优阵 A 0
解存在唯一,或直接求A的特征值。
8
习题：计算矩阵
A=
2 1 1 2 1 1 1 2 ( N 1)( N 1)
x
2． Poisson方程五点差分格式
u f u in
其中
(0, a ) (0, b )
建立目标点： a b y h k x 一方向步长： I 1 ； 一方向步长： J 1
21
得
( xi , y j )
1 i I,1 j J
xi ih, y j jk
返回
2
1） 数值计算是否必要？
T '( x) T '(0) f (u )du
x 0
x
T ( x) T '(0) f ( s )ds du
0
0
u
T '(0) x
T '(0) x
x 0 x
x
x
0
u
0
f ( s)dsdu
s
f ( s )duds
从而得到迭代法：
Mxk 1 Nxk b
xk 1 M 1Nxk M 1b Sxk Tb
(*1)
18
阻尼迭代法 (Damped Iterative Method)
k1 Sxk M1b x k1 (1)xk [M1N(1)I]xk M1b (*2) xk1 x
椭圆型方程
(1.5)
注 此方程组尽管是高阶方程组，但每个方程未知数
最多有3个易于求解.
④ 对方程组 (1.4)～(1.5) 的解分析需要考虑以下几个问题：
(a) 解是否惟一？ (b) 当网格无限加密时，即 h 0 时，差分解 ui
是否收敛到真解 u (xi ) ? (c) 在何种度量下收敛？ (d) 收敛速度如何？ 为了解决如上问题，需要给出如下说明：
于是在 xi 将方程 (1.1) 写成
u (xi1) 2u (xi ) u (xi1) h2
q(xi )
u (xi )
f
(xi )
R
i(u),
(1.3)
其中
R
i(u)
h2 12
d
4u(x) dx4
i
O(h3 ).
舍去 R i(u) 得逼近方程 (1.1) 的差分方程为：
du dx
i
hi1 2
hi
d 2u dx2
i
O(h2
)
(2.3)
p(
x i
1
)
2
u(xi ) u(xi1) hi
p
du dx i1
2
hi2 24
p
d 3u
dx3
i1
2
O(h3)
p
du dx
取 x(1) x0 a, x(2) x1 , 得
2
(2.7) (2.8)
(2.9) (2.10)
W (a) W (x1 ) 2
x1
实验五 椭圆型方程差分解法
实验五 椭圆型方程差分解法一、 实验题目：矩形区域Ω上Laplace 方程的Dirichlet 问题⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===-==∂∂+∂∂====0|4sin |0|)3(|030402222y y x x u xu u y y u y u xu π 4040303030,40≤≤≤≤≤≤≤≤<<<<x x y y y x二、 实验要求：1、建立内点的五点差分格式。
(取h=1)2、建立包括边界点在内的五点差分格式方程组。
3、用逆矩阵法或雅克比迭代迭代法求解方程组。
4、计算结果（保留至小数点后4位）。
5、由计算结果，写出结论。
三、实验步骤1、建立Laplace 方程与边界条件的差分格式（内节点6个，边界点10个）2、建立6个未知量的差分方程组。
41,,1,11,-+-++++=j i j i j i j i ij u u u u u3、建立6个未知量的矩阵方程。
令],,,,,[232221131211u u u u u u u h =，则6个未知量的矩阵方程为g Hu h h =21其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=B I I B I I B H ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=4114114B 4、利用边界条件编制程序计算内节点处的数值解lm u （3,2,1=l 2,1=m ） 四、实验源代码 #include<stdio.h> #include<math.h> #define e 0.000001 void main(){ int i,j,k,flag=1,sum=0;doublea[5][4]={{0,2,2,0},{0.707,0,0,0},{1,0,0,0},{0.707,0,0,0},{0,0,0,0}}; double b[6],c[6]; while(flag) { sum++; flag=0;k=0;for(i=1;i<=3;i++) for(j=1;j<=2;j++) {b[k]=a[i][j];a[i][j]=(a[i-1][j]+a[i+1][j]+a[i][j-1]+a[i][j+1])/4;c[k]=a[i][j];k++;}for(k=0;k<=5;k++)if(fabs(b[k]-c[k])>e)flag=1;}for(k=0;k<=5;k++)printf("%f\n",b[k]);printf("%d",sum);}五、实验结果：.1,63850525.1,u.1[.1,4123]5369.2,.0,53629685h。
第二章椭圆型方程的有限差分法
.
差分方程(1.6)当i 1,2, N 1,时成立，加上边值条件 就得到关于的线性代方数程组：
Lhui
ui1
2ui h2
ui1
qiui
fi ,i
1,2,
N 1,(1.8)
u0 , uN . (1.9)
它的解ui是u(x)于x xi的近似。称(1.8),(1.9)为逼近(1.1) (1.2)的差分方程或差分格。式
立 差 分 方 程 的 稳 定检性验。相 容 条 件 并 不。困我难们 曾
用Taylo展 r 式证明它都满足条相件容，并且估计了截
误 差 的 阶 。 因 此 我主们要的任 务 去 建 立 差式分的格稳
定 性 ， 即 建 立 形 (1.1如7)的 估 计 式 ， 称 之 为差关分于方
程解的先验估计。 .
的解u，由Taylo展 r 式可得
u(xi1)2u(xi )u(xi1) h2
d2u(x) [ dx2 ]i
1h22[h2dux(2x)]o(h3),(1.3)
其中[ ]i表示括号内函xi点 数取值。 于 是 在 可 (1.1)写 将成 方 程
u(xi1)2uh(2xi)u(xi1)q(xi)u(xi)f(xi)Ri(u)(, 其 中 Ri(u)1 h22 [h2du(2 xx)]o(h3), (1.5)
)
u(
xi1
)
q(
xi
)u(
xi
)
f (xi ) Ri (u) fi Ri (u)
与Lhui
ui1
2ui h2
ui1
qiui
fi
相减，得 Lh(u(xi ) ui ). Ri (u)
引进误差
ei u( xi ) ui , 则误差函数 eh( xi ) ei满足下列差分方程；
3第二章-有限差分方法基础
2.1.1 基本方程和定解问题
u t
2u x2
( 0)
求解域： (x, t) [0,1][0, ]
(2.1.1)
初始条件： u(x, 0) f (x)
边界条件： u(0, t) a(t), u(1, t) b(t)
(2.1.2)
方程(2.1.1)和初边条件(2.1.2)构成了一个适定的定解问题。
根据数学分析中的知识，我们知道
2u (x,t) lim u(x x,t) 2u(x,t) u(x x,t)
x2
x0
x2
所以，二阶导数可以近似为
2u
x
2
n
k
un k 1
2ukn x2
ukn
un k 1
2ukn
un k 1
称为二阶中心差分。
容易证明：
un k 1
2ukn
un k 1
t
)
ut
(
x,
t
)
lim
t 0
u(
x,
t
t
)u 2t
(
x,
t
t
)
其中，lim 后面的项称为差商(difference quotient)。 t 0
当t足够小时，可以用差商来近似导数。
即：
u(x,t t) u(x,t)
ut (x,t)
t
u(x,t) u(x,t t)
ut (x,t)
t
u(x,t t) u(x,t t)
The Elements of Computational Fluid Dynamics
第二章 有限差分方法基础
§2.1 有限差分方法概述 §2.2 导数的数值逼近方法 §2.3 差分格式的性质 §2.4 发展方程的稳定性分析
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第二章椭圆型方程的有限差分法
§1 §2 §3 §4 §5 差分逼近的基本概念 一维差分格式 矩形网的差分格式 三角网的差分格式 极值原理
§1差分逼近的基本概念
考虑二阶常微分方程的 边值问题 d 2u Lu 2 qu f a x b, (1.1) dx (1.2) u(a ) , u(b) 其中q, f为[a , b]上的连续函数, q 0;
注意 : 方程(1.8)的个数等于网格内点 x1 , x2 ,, x N 1的 个数,因此它是N 1阶方程组.
以I h表示网格内点x1 , x 2 , , x N 1的集合，I 表示网格内点 和界点x0 a , x N b的集合。定义在I（相应的 I h )上的函 h 数uh ( x i ) ui 称为I（相应的 I h )上的网函数. h 我们对I h上的网函数引进范数 uh uh uh 于是 uh 1
由(1.5)便知，差分算子(1.6)逼近微分算子，且逼近 的 阶是 : Rh ( u) c o( h 2 ), Rh ( u) 0 o( h 2 ), Rh ( u) 1 o( h).
(1.14)
则说差分算子Lh逼近微分算子L，而称(1.14)为相容
定义1.2
称差分解uh收敛到边值问题的解u，如果当h充分时， (1.8), (1.9)的解uh存在，且按某一范数 有 l i m uh u 0.
的解u，由Taylor 展式可得
现在将方程(1.1)在节点xi 离散化，为此，对充分 光滑
u( xi 1 ) 2u( xi ) u( xi 1 ) h2 d 2 u( x ) h2 h2 u( x ) 3 [ ] [ ] o ( h ), (1.3) i 2 2 dx 12 dx 其中[ ]i 表示括号内函数xi 点取值。 于是在可将方程(1.1)写成 u( x i 1 ) 2u( x i ) u( x i 1 ) q( x i )u( x i ) f ( x i ) Ri ( u), ( 2 h h2 h2 u( x ) 3 其中 Ri ( u) [ ] o ( h ), (1.5) 2 12 dx
2 c 2 0 2 1
m ax ui ,
1 i N 1 N 1 i 1
(1.10) (1.11)
2
2 i, 2 0
uh
N
uh 1 ,
(1.12) (1.13)
ui ui 1 h( ), h i 1
定义1.1
设是某一充分光滑函数类 ，Rh ( u)是由截断误差 (1.7)定义的网格函数，若对 任何 ，恒有 li m Rh ( u) 0, 条件.
引进误差 e i u( x i ) ui , 则误差函数e h ( x i ) ei 满足下列差分方程； Lh ei Ri ( u) i 1,2, , N 1, (1.16) e0 e N 0 于是收敛性及收敛速度 的估计问题。 就归结带通过右端Ri ( u（截断误差）估计 ) 误差函数eh的问题.
定义1.3
称差分方程Lh v i f i ( i 1,2, , N 1), v 0 v N 0 关于右端稳定，如果存 在与网格I h及右端f h ( f h ( x i ) f i ) 无关的正常数M和h0，使 v h M f h R , 当0 h h0 , (1.17) 其中 f h R 是右端f h的某一范数，它可以和 相同， 也可以不同，v h ( x i ) v i , i 1,2, , N 1.
不等式(1.17)表明，解vh连续依赖右端f h，即右端 变化小时解的变化也小 。
定理1.1（相容+稳定=收敛）
, 为给定常数。
1 区间的剖分
将区间[a , b]分成n等分，分点为 x j a ih i 0,1,2, N h (b a ) / N .于是我们得到区间I [a , b]的一个 网格剖分，x j 称为网格结点（节点） ，间距h称 为步长。
1 微分方程离散(差分方程）
当h足够小，Ri ( u)是h的二阶无穷小量。若舍 去Ri ( u)， 则得逼近方程(1.1)的差分方程： ui 1 2ui ui 1 Lh ui qi ui f i , (1.6) 2 h 式中qi q( xi ), f i f ( xi ).称Ri ( u)为差分方程(1.6)的截 断误差。
截断误差 Ri ( u) Lh u( x i ) [ Lu]i 起的截断误差， (1.6)式关于h的阶为0( h 2 ). (1.7 )
所以Ri ( u)是用差分算子Lh 代替微分算子L所引
差分方程(1.6)当i 1,2, N 1, 时成立，加上边值条件 就得到关于的线性代数 方程组： ui 1 2ui ui 1 Lh ui qi ui f i , i 1,2, N 1, (1.8) 2 h u0 , uN . (1.9) 它的解ui是u( x )于x x i的近似。称(1.8), (1.9)为逼近(1.1) (1.2)的差分方程或差分格式 。 此格式称为中心差分格 式。
h 0
(1.15)
这里u看成I h网函数。
可将方程(1.4)写成 u( xi 1 ) 2u( xi ) u( xi 1 ) Lh u( xi ) q( xi )u( xi ) 2 h f ( xi ) Ri ( u) f i Ri ( u) ui 1 2ui ui 1 与Lh ui qi ui f i 2 h 相减，得 Lh ( u( xi ) ui ) Ri ( u)
§1 §2 §3 §4 §5 差分逼近的基本概念 一维差分格式 矩形网的差分格式 三角网的差分格式 极值原理
§1差分逼近的基本概念
考虑二阶常微分方程的 边值问题 d 2u Lu 2 qu f a x b, (1.1) dx (1.2) u(a ) , u(b) 其中q, f为[a , b]上的连续函数, q 0;
注意 : 方程(1.8)的个数等于网格内点 x1 , x2 ,, x N 1的 个数,因此它是N 1阶方程组.
以I h表示网格内点x1 , x 2 , , x N 1的集合，I 表示网格内点 和界点x0 a , x N b的集合。定义在I（相应的 I h )上的函 h 数uh ( x i ) ui 称为I（相应的 I h )上的网函数. h 我们对I h上的网函数引进范数 uh uh uh 于是 uh 1
由(1.5)便知，差分算子(1.6)逼近微分算子，且逼近 的 阶是 : Rh ( u) c o( h 2 ), Rh ( u) 0 o( h 2 ), Rh ( u) 1 o( h).
(1.14)
则说差分算子Lh逼近微分算子L，而称(1.14)为相容
定义1.2
称差分解uh收敛到边值问题的解u，如果当h充分时， (1.8), (1.9)的解uh存在，且按某一范数 有 l i m uh u 0.
的解u，由Taylor 展式可得
现在将方程(1.1)在节点xi 离散化，为此，对充分 光滑
u( xi 1 ) 2u( xi ) u( xi 1 ) h2 d 2 u( x ) h2 h2 u( x ) 3 [ ] [ ] o ( h ), (1.3) i 2 2 dx 12 dx 其中[ ]i 表示括号内函数xi 点取值。 于是在可将方程(1.1)写成 u( x i 1 ) 2u( x i ) u( x i 1 ) q( x i )u( x i ) f ( x i ) Ri ( u), ( 2 h h2 h2 u( x ) 3 其中 Ri ( u) [ ] o ( h ), (1.5) 2 12 dx
2 c 2 0 2 1
m ax ui ,
1 i N 1 N 1 i 1
(1.10) (1.11)
2
2 i, 2 0
uh
N
uh 1 ,
(1.12) (1.13)
ui ui 1 h( ), h i 1
定义1.1
设是某一充分光滑函数类 ，Rh ( u)是由截断误差 (1.7)定义的网格函数，若对 任何 ，恒有 li m Rh ( u) 0, 条件.
引进误差 e i u( x i ) ui , 则误差函数e h ( x i ) ei 满足下列差分方程； Lh ei Ri ( u) i 1,2, , N 1, (1.16) e0 e N 0 于是收敛性及收敛速度 的估计问题。 就归结带通过右端Ri ( u（截断误差）估计 ) 误差函数eh的问题.
定义1.3
称差分方程Lh v i f i ( i 1,2, , N 1), v 0 v N 0 关于右端稳定，如果存 在与网格I h及右端f h ( f h ( x i ) f i ) 无关的正常数M和h0，使 v h M f h R , 当0 h h0 , (1.17) 其中 f h R 是右端f h的某一范数，它可以和 相同， 也可以不同，v h ( x i ) v i , i 1,2, , N 1.
不等式(1.17)表明，解vh连续依赖右端f h，即右端 变化小时解的变化也小 。
定理1.1（相容+稳定=收敛）
, 为给定常数。
1 区间的剖分
将区间[a , b]分成n等分，分点为 x j a ih i 0,1,2, N h (b a ) / N .于是我们得到区间I [a , b]的一个 网格剖分，x j 称为网格结点（节点） ，间距h称 为步长。
1 微分方程离散(差分方程）
当h足够小，Ri ( u)是h的二阶无穷小量。若舍 去Ri ( u)， 则得逼近方程(1.1)的差分方程： ui 1 2ui ui 1 Lh ui qi ui f i , (1.6) 2 h 式中qi q( xi ), f i f ( xi ).称Ri ( u)为差分方程(1.6)的截 断误差。
截断误差 Ri ( u) Lh u( x i ) [ Lu]i 起的截断误差， (1.6)式关于h的阶为0( h 2 ). (1.7 )
所以Ri ( u)是用差分算子Lh 代替微分算子L所引
差分方程(1.6)当i 1,2, N 1, 时成立，加上边值条件 就得到关于的线性代数 方程组： ui 1 2ui ui 1 Lh ui qi ui f i , i 1,2, N 1, (1.8) 2 h u0 , uN . (1.9) 它的解ui是u( x )于x x i的近似。称(1.8), (1.9)为逼近(1.1) (1.2)的差分方程或差分格式 。 此格式称为中心差分格 式。
h 0
(1.15)
这里u看成I h网函数。
可将方程(1.4)写成 u( xi 1 ) 2u( xi ) u( xi 1 ) Lh u( xi ) q( xi )u( xi ) 2 h f ( xi ) Ri ( u) f i Ri ( u) ui 1 2ui ui 1 与Lh ui qi ui f i 2 h 相减，得 Lh ( u( xi ) ui ) Ri ( u)