二维椭圆边值问题的差分格式
偏微分方程(椭圆型)数值解2.4-5
ai−1, j
=
⎛ ⎜⎝
Ai
−
1 2
,
j
−
h1 2
Cij
⎞ ⎟⎠
h1−2
,
ai, j+1
=
⎛ ⎜⎝
Ai
∂n q1q2
∂n q2q3
∂n q3m4
• = ∫∫ f ( x, y)dxdy m1
G0
p1
（4.6）
对于后四项仿照公式（4.3）的方法离散化，例如
∫ ∫ ( ) m1q1
∂u ds ≈ ∂n
m1q1 ⋅ p0 p1
u1 − u0
,
( ) q2q1
∂u ds ≈ ∂n
q1q2 ⋅ p0 p2
u2 − u0
考虑矩形网格：h1和h2分别为x和y方向的步长，Gh为网格 节点集合，Gh为网格界点集合，Gh = Gh ∪ Γh 。 总假设Gh是联通
的，即 ∀P, P ∈ Gh 必有一串 Pi ∈Gh (i = 1, 2, L, m −1) 可将 P, P
排列成顺序序列：P, P1, P2 , L, Pm , P 使前后两点互为相邻节点。
G0的面积:
m
q7
(G
=
0)
q1 ，i
⎛ = 12× ⎜⎜⎝
= 1,
1× 2
2,
3 3
L, 6。
h
×
1 2
h
⎞ ⎟⎟⎠
椭圆形方程差分方法
椭圆形方程差分方法
椭圆形方程是一类常见的偏微分方程，其求解可以采用差分方法。
差分方法是指将连续问题离散化为在离散网格上求解的问题，其基本思想是将空间区域分割成若干个小区域，将时间区间分割成若干个小时间段，然后在每个小区域内近似计算方程的解。
对于椭圆形方程，我们可以采用有限差分方法求解。
有限差分方法是一种常用的差分方法，其将微分方程中的导数用差商表示，将连续的微分方程转化为离散的差分方程，然后求解差分方程得到问题的近似解。
具体来说，我们可以将椭圆形方程用一阶中心差分、二阶中心差分、五点差分等不同差分格式离散化，然后使用迭代方法求解差分方程的解。
其中，常用的迭代方法包括Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代、SOR迭代等。
通过不断迭代，我们可以逐渐接近椭圆形方程的解。
- 1 -。
椭圆型方程差分法
(4)
令
2 1 1 2 1 A 1 1 2 ( N 1)( N 1)
系数矩阵A是不可约对角占优阵 A 0
解存在唯一,或直接求A的特征值。
8
习题：计算矩阵
A=
2 1 1 2 1 1 1 2 ( N 1)( N 1)
x
2． Poisson方程五点差分格式
u f u in
其中
(0, a ) (0, b )
建立目标点： a b y h k x 一方向步长： I 1 ； 一方向步长： J 1
21
得
( xi , y j )
1 i I,1 j J
xi ih, y j jk
返回
2
1） 数值计算是否必要？
T '( x) T '(0) f (u )du
x 0
x
T ( x) T '(0) f ( s )ds du
0
0
u
T '(0) x
T '(0) x
x 0 x
x
x
0
u
0
f ( s)dsdu
s
f ( s )duds
从而得到迭代法：
Mxk 1 Nxk b
xk 1 M 1Nxk M 1b Sxk Tb
(*1)
18
阻尼迭代法 (Damped Iterative Method)
k1 Sxk M1b x k1 (1)xk [M1N(1)I]xk M1b (*2) xk1 x
二维抛物型方程初边值问题拟多重网格预处理迭代法
Ｖｏ １ ． ３ ４． Ｎｏ ． ９
Ｓ ｅ ｐ ． ２ ０ １ ３
二 维 抛 物 型 方程 初 边 值 问题 拟 多重 网格 预 处 理 迭代 法
杨艳 南， 白 乙拉
（ 渤海大学 数理学 院， 辽宁 锦州 １ ２ １ ０ １ ３ ）
摘
要： 将 求解二 维椭 圆方程 边值 问题 的拟 多重 网格 预 处理 迭代 法推 广 到二 维抛 物型 方 程
在时间区域［ ０ ， Ｔ ］ 上仍然采用等距离剖分 ， 取时间步长为 ． ｒ ， 因而把时间区域［ ０ ， Ｔ ］ 分为 Ⅳ个 时间层 ， 其中
Ｎ＝［ ７ － ］ ， 则有［ ０， Ｔ ］＝｛ ｔ Ｉ ｔ ＝ ｒ ， ｎ＝１ ， ２ ， … …Ⅳ｝ ． 因此 ， 为采 用 拟 多重 网格 预处 理 迭代 法 ， 在第 ｎ时 间层 上 （ 即时 间变 量 ｔ 取值为 ｔ ） ， 对抛 物 型方 程 （ １ ） 的解 的 空 间 区域 ｎ 进 行 如 下 的 Ｚ （ 起 始 的 网格 层 数 Ｚ 为偶 数 ） 层 旋 转 网格 剖 分 ： 空间 区域 ｎ ＝｛ （ ， Ｙ ｊ ） Ｉ ｘ ＝ｉ ｈ ｆ ， ｙ ＝ ｆ ｝ ， 其中 ｉ √＝１ ， ２ ， …… ， ｎ １ ； １ ＝ ２
第３ ４卷 第 ３期
２ ０ １ ３年 ９月
பைடு நூலகம்
渤 海大 学学 报 （ 自然 科学 版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｂ ｏ ｈ ａ ｉ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
ｐ ｉ ＞ ０ ， 。 （ ， Ｙ ） 为 已知 的初 始条件 函数 ， ｇ ｏ （ ， ｔ ） 、 ｇ 。 （ ｙ ， ｔ ） 、 ｈ 。 （ ， ｔ ） 及ｈ （ ， ｔ ） 为 已知 的边 界条件 函数 ， Ｍ为未 知 函数 ， Ｖ表示梯 度．
中心有限差分格式
中心有限差分格式
中心有限差分格式（Centered Finite Difference Scheme）是一种数值求解偏微分方程的方法。
它将微分方程转化为差分方程，以便在离散的网格点上进行数值计算。
中心有限差分格式具有二阶精度，因此在每个时间步长内都需要计算相邻的三个节点处的值。
具体来说，对于一维问题，中心有限差分格式可以表示为：
Δu(i) = (1/2h^2) [u(i+1) - 2u(i) + u(i-1)]
其中，Δu(i)表示在节点i处的差分，h表示网格步长。
对于二维问题，中心有限差分格式可以表示为：
Δu(i,j) = (1/4h^2) [u(i+1,j) - 2u(i,j) + u(i-1,j)] + (1/4h^2) [u(i,j+1) - 2u(i,j) + u(i,j-1)]
需要注意的是，中心有限差分格式需要计算相邻的三个节点处的值，因此需要提前计算出这些节点的值。
此外，中心有限差分格式在处理边界条件时也需要特别处理，以保证数值计算的精度和稳定性。
总之，中心有限差分格式是一种数值求解偏微分方程的常用方法，具有二阶精度和较高的计算精度和稳定性。
二维泊松方程的差分格式有限差分法
有限差分法（Finite Differential Method）是基于差分原理的一种
数值计算法。其基本思想：将场域离散为许多小网格，应用差分原理，将
求解连续函数的泊松方程的问题转换为求解网格节点上 的差分方程组的
问题。
1. 二维泊松方程的差分格式
二维静电场边值问题：
2
x 2
2
y 2
F
(1)
f (s)
(2)
L
通常将场域分成足够小的正方形网格， 网格线之间的距离为h，节点0,1,2,3,4上
的电位分别用0 ,1,和2 ,表3 示。4
设函数 在x0处可微 , 则沿x方向在 x0处的泰勒公式展开为
x
n (K )
Kn )
0
1 4
(1
2
3
4)
若场域离散为矩形网格, 差分格式为:
1•
2
1 h12
(1
2)
1 h2 2
( 2
4
)
(
1 h12
1 h2 2
)20
F
2.边界条件的离散化处理 ⑴第一类边界条件 给边界离散节点直接赋已知电位值。
⑵对称边界条件 合理减小计算场域, 差分格式为
•
0
1 4
(21
2
4
h2F)
⑶第二类边界条件 边界线与网格线相重合的差分格式:
(3)
将 x 和x1 分x别3 代入式(3),得
1
0
h(
x
)0
1 2!
h
2
(
2
x 2
)0
1 3!
h
3
(
3
x3
第二章椭圆型方程的有限差分法
.
差分方程(1.6)当i 1,2, N 1,时成立，加上边值条件 就得到关于的线性代方数程组：
Lhui
ui1
2ui h2
ui1
qiui
fi ,i
1,2,
N 1,(1.8)
u0 , uN . (1.9)
它的解ui是u(x)于x xi的近似。称(1.8),(1.9)为逼近(1.1) (1.2)的差分方程或差分格。式
立 差 分 方 程 的 稳 定检性验。相 容 条 件 并 不。困我难们 曾
用Taylo展 r 式证明它都满足条相件容，并且估计了截
误 差 的 阶 。 因 此 我主们要的任 务 去 建 立 差式分的格稳
定 性 ， 即 建 立 形 (1.1如7)的 估 计 式 ， 称 之 为差关分于方
程解的先验估计。 .
的解u，由Taylo展 r 式可得
u(xi1)2u(xi )u(xi1) h2
d2u(x) [ dx2 ]i
1h22[h2dux(2x)]o(h3),(1.3)
其中[ ]i表示括号内函xi点 数取值。 于 是 在 可 (1.1)写 将成 方 程
u(xi1)2uh(2xi)u(xi1)q(xi)u(xi)f(xi)Ri(u)(, 其 中 Ri(u)1 h22 [h2du(2 xx)]o(h3), (1.5)
)
u(
xi1
)
q(
xi
)u(
xi
)
f (xi ) Ri (u) fi Ri (u)
与Lhui
ui1
2ui h2
ui1
qiui
fi
相减，得 Lh(u(xi ) ui ). Ri (u)
引进误差
ei u( xi ) ui , 则误差函数 eh( xi ) ei满足下列差分方程；
椭圆型方程的有限差分法
现在假定(xi , y j )为正则内点，沿x, y方向分别
用二阶中心差商代替u
xx
,
u
y
，则得
y
huij
[ui1, j
2uij h12
ui1, j
ui, j1 2uij h22
ui, j1 ]
fij , (3.2)
式中uij表示节点(i, j)上的网函数。若以uh , fh表示网格函数，
ui 1 ]
qiui
fi ,i 1,, N
1,
u0 ,uN ,
(2.10)
(2.9)
有限体积法
考虑守恒型微分方程：
Lu d ( p du ) q(x)u f (x)， (2.13) dx dx
如果把它看作是分布在一根杆上的稳定温度场方 程，则在[a,b]内任一小区间[x(1) , x(2) ]上的热量守 恒律具有形式
其中
Ri
(u)
h2 12
[d
4u(x) dx4
]i
O(h3 ),
(1.5)
当h足够小，Ri (u)是h的二阶无穷小量.
若舍去Ri (u)，则得逼近方程(1.1)的差分方程：
Lhui
ui 1
2ui h2
ui1
qiui
fi , (1.6)
式中qi q(xi ), fi f (xi ).记[Lu]i f (xi )，
x2
,,
xN
的
1
个数,因此它是N 1阶方程组.
§2 一维差分格式
考虑两点边值问题：
Lu d ( p du ) r du qu f a x b, (2.1)
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二维椭圆边值问题的差分格式 一．问题介绍 考虑Poisson方程：
（1） ,),(),,(Gyxyxfu G是xy平面上一有界区域，其边界为分段光滑曲线。在上u满足下列边值条件之一： （2） ),(yxu （第一边值条件），
（3） ),(yxnu（第二边值条件）， （4） ),(yxkunu（第三边值条件）， ),(),,(),,(),,(yxyxyxyxf及),(yxk都是连续函数，k0。本节讨论逼近方程（1）
及相应边值条件的差分格式。
二．区域剖分 取定沿x轴和y轴方向的步长1h和2h，212221)(hhh。作两族与坐标轴平行的直线： ,1ihx ,1,0i
,2jhy ,1,0j
两族直线的交点),(21jhih称为网点或节点，记为),(jiyx或（i, j）。说两个节点),(jiyx和),(jiyx是相邻的，如果
121hyyhxxjjii
或1jjii。
以GyxGjih),(表示所有属于G内部的节点集合，并称如此的节点为内点。以h表示网线ixx或jyy与的交点集合，并称如此的点为界点。令hGhhG，则hG
就是代替域GG的网点集合。若内点),(jiyx的四个相邻点都属于hG，就称为正则内点；否则称为非正则内点。
三．离散格式 1. 五点差分格式
假定),(jiyx为正则内点。沿x，y方向分别用二阶中心差商代替xxu和yyu，则有差分方程： ijhu[21,1,12huuujiijji+221,1,2huuujiijji] = ijf，
式中iju表示节点（i, j）上的函数值。 2. 九点差分格式
利用Taylor展式，将21,1,12huuujiijji和221,1,2huuujiijji在iju处展开，然后相加化简就得到逼近Poisson方程的九点差分格式：
,),(),(121/)()(241212221222122211,11,11,11,11,,11,1jiyyjixxijjijijijijijijijiijijhyxfhyxfhfhhhhuuuuuuuuuu
四．格式稳定性 1. 五点差分格式的收敛阶为)(2hO
2. 九点差分格式的收敛阶为)(4hO 五．数值例子 例1 令u(x , y) = sin(x)sin(y)，区间[0,1] 。 程序结果如下：
输入划分区间的点数n(输入0结束程序)： 5 输入划分区间的点数m(输入0结束程序)： 5 xi yj 准确值u(x,y) 近似值u[i][j] 误差err[i] 0.166667 0.166667 0.250000 0.255791 0.005791 0.166667 0.333333 0.433013 0.443043 0.010030 0.166667 0.500000 0.500000 0.511581 0.011581 0.166667 0.666667 0.433013 0.443043 0.010030 0.166667 0.833333 0.250000 0.255791 0.005791 0.333333 0.166667 0.433013 0.443043 0.010030 0.333333 0.333333 0.750000 0.767372 0.017372 0.333333 0.500000 0.866025 0.886085 0.020060 0.333333 0.666667 0.750000 0.767372 0.017372 0.333333 0.833333 0.433013 0.443043 0.010030 0.500000 0.166667 0.500000 0.511581 0.011581 0.500000 0.333333 0.866025 0.886085 0.020060 0.500000 0.500000 1.000000 1.023163 0.023163 0.500000 0.666667 0.866025 0.886085 0.020060 0.500000 0.833333 0.500000 0.511581 0.011581 0.666667 0.166667 0.433013 0.443043 0.010030 0.666667 0.333333 0.750000 0.767372 0.017372 0.666667 0.500000 0.866025 0.886085 0.020060 0.666667 0.666667 0.750000 0.767372 0.017372 0.666667 0.833333 0.433013 0.443043 0.010030 0.833333 0.166667 0.250000 0.255791 0.005791 0.833333 0.333333 0.433013 0.443043 0.010030 0.833333 0.500000 0.500000 0.511581 0.011581 0.833333 0.666667 0.433013 0.443043 0.010030 0.833333 0.833333 0.250000 0.255791 0.005791 误差与步长的2-范数e[0]：0.000805 n为5和m为5时其最大误差：0.023163
输入划分区间的点数n(输入0结束程序）： 10 输入划分区间的点数m(输入0结束程序)： 10 xi yj 准确值u(x,y) 近似值u[i][j] 误差err[i] 0.090909 0.090909 0.079373 0.079915 0.000542 0.090909 0.181818 0.152316 0.153356 0.001040 0.090909 0.272727 0.212919 0.214372 0.001453 0.090909 0.363636 0.256273 0.258022 0.001749 0.090909 0.454545 0.278865 0.280768 0.001903 0.090909 0.545455 0.278865 0.280768 0.001903 0.090909 0.636364 0.256273 0.258022 0.001749 0.090909 0.727273 0.212919 0.214372 0.001453 0.090909 0.818182 0.152316 0.153356 0.001040 0.090909 0.909091 0.079373 0.079915 0.000542 0.181818 0.090909 0.152316 0.153356 0.001040 0.181818 0.181818 0.292292 0.294287 0.001995 0.181818 0.272727 0.408589 0.411378 0.002789 0.181818 0.363636 0.491784 0.495141 0.003356 0.181818 0.454545 0.535138 0.538790 0.003652 0.181818 0.545455 0.535138 0.538790 0.003652 0.181818 0.636364 0.491784 0.495141 0.003356 0.181818 0.727273 0.408589 0.411378 0.002789 0.181818 0.818182 0.292293 0.294287 0.001995 0.181818 0.909091 0.152316 0.153356 0.001040 0.272727 0.090909 0.212919 0.214372 0.001453 0.272727 0.181818 0.408589 0.411378 0.002789 0.272727 0.272727 0.571157 0.575056 0.003898 0.272727 0.363636 0.687454 0.692146 0.004692 0.272727 0.454545 0.748057 0.753163 0.005106 0.272727 0.545455 0.748057 0.753163 0.005106 0.272727 0.636364 0.687454 0.692146 0.004692 0.272727 0.727273 0.571157 0.575056 0.003898 0.272727 0.818182 0.408589 0.411378 0.002789 0.272727 0.909091 0.212919 0.214372 0.001453 0.363636 0.090909 0.256273 0.258022 0.001749 0.363636 0.181818 0.491784 0.495141 0.003356 0.363636 0.272727 0.687454 0.692146 0.004692 0.363636 0.363636 0.827430 0.833078 0.005647 0.363636 0.454545 0.900373 0.906518 0.006145 0.363636 0.545455 0.900373 0.906518 0.006145 0.363636 0.636364 0.827430 0.833078 0.005647 0.363636 0.727273 0.687454 0.692146 0.004692 0.363636 0.818182 0.491784 0.495141 0.003356 0.363636 0.909091 0.256273 0.258022 0.001749 0.454545 0.090909 0.278865 0.280768 0.001903 0.454545 0.181818 0.535138 0.538790 0.003652 0.454545 0.272727 0.748057 0.753163 0.005106 0.454545 0.363636 0.900373 0.906518 0.006145 0.454545 0.454545 0.979746 0.986433 0.006687 0.454545 0.545455 0.979746 0.986433 0.006687 0.454545 0.636364 0.900373 0.906518 0.006145 0.454545 0.727273 0.748057 0.753163 0.005106 0.454545 0.818182 0.535138 0.538790 0.003652 0.454545 0.909091 0.278865 0.280768 0.001903 0.545455 0.090909 0.278865 0.280768 0.001903 0.545455 0.181818 0.535138 0.538790 0.003652 0.545455 0.272727 0.748057 0.753163 0.005106 0.545455 0.363636 0.900373 0.906518 0.006145 0.545455 0.454545 0.979746 0.986433 0.006687 0.545455 0.545455 0.979746 0.986433 0.006687 0.545455 0.636364 0.900373 0.906518 0.006145 0.545455 0.727273 0.748057 0.753163 0.005106 0.545455 0.818182 0.535138 0.538790 0.003652 0.545455 0.909091 0.278865 0.280768 0.001903 0.636364 0.090909 0.256273 0.258022 0.001749 0.636364 0.181818 0.491784 0.495141 0.003356 0.636364 0.272727 0.687454 0.692146 0.004692 0.636364 0.363636 0.827430 0.833078 0.005647 0.636364 0.454545 0.900373 0.906518 0.006145 0.636364 0.545455 0.900373 0.906518 0.006145 0.636364 0.636364 0.827430 0.833078 0.005647 0.636364 0.727273 0.687454 0.692146 0.004692