椭圆型方程新解法
高二数学 第二章 第2节 椭圆(理)知识精讲 人教新课标A版选修21
高二数学 第二章 第2节 椭圆（理）知识精讲 人教新课标A 版选修21一、学习目标：1、知识目标：掌握椭圆的定义、标准方程和几何性质。
2、能力目标：培养学生的解析几何观念；培养学生的观察、概括能力，以及类比的学习方法；培养学生分析问题、解决问题的能力。
二、重点、难点：重点：掌握椭圆的定义、标准方程和几何性质，并会利用椭圆的几何性质解决一些问题。
难点：对椭圆的定义和几何性质的灵活应用，会处理有关椭圆焦点三角形的问题，并能与正余弦定理相结合。
能用坐标法解决简单的直线与椭圆的位置关系等问题。
三、考点分析：本节课我们主要学习熟练掌握椭圆的定义及其两种标准方程，会用待定系数法确定椭圆的方程，以及对椭圆的简单几何性质的运用。
初步掌握用相关点法和直接法求轨迹方程的一般方法，同时掌握一些直线与椭圆的位置关系的运用。
1、对椭圆第一定义的理解在椭圆的第一定义中，平面内动点与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数，当这个常数大于|F 1F 2|时，动点的轨迹是椭圆；当这个常数等于|F 1F 2|时，动点的轨迹是线段F 1F 2；当这个常数小于|F 1F 2|时，动点不存在。
2、椭圆的第二定义：点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个小于1的正常数e ，这个点的轨迹是椭圆。
定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。
注意：（1）定点必须在直线外。
（2）比值必须小于1。
（3）符合椭圆第二定义的动点轨迹肯定是椭圆，但它不一定具有标准方程的形式。
（4）椭圆离心率的两种表示方法：c P F e a P F ==椭圆上任意一点到焦点的距离点到与对应的准线的距离准线方程为：椭圆焦点在x 轴 2a x c =±椭圆焦点在y 轴 ca y 2±=3、椭圆的标准方程椭圆方程图形特征几何性质范围顶点焦点准线对称性长短轴离心率焦半径4、常用的公式及结论：（1）对于给定的椭圆的标准方程，要判断焦点在哪个轴上，只需比较其与2x、2y项分母的大小即可。
解方程新旧解法对比探究
解方程新旧解法对比探究七一小坝小学张天松一、解方程理论依据对比：旧解法：根据四则运算的逆运算,①加数+加数=和;②一个加数=和-另一个加数;③被减数-减数=差;④被减数=减数+差;⑤减数=被减数-差;⑥因数×因数=积;⑦一个因数=积÷另一个因数;⑧被除数÷除数=商;⑨被除数=商×除数;⑩除数=被除数÷商，这实际是用算术的思路求未知数。
新解法：根据等式的基本性质，新教材利用“天平原理”为处理方程提供了一个强有力的智力图像:方程类似于一组天平,方程的等号表示处于平衡状态,用天平平衡的道理,形象直观地帮助学生深化对“相等关系”的理解,让学生明白:在等式的两边同时进行相同的运算,那么平衡就得到维持,即为等式的基本性质:方程两边同时加上或减去相同的数,左右两边仍然相等;方程两边同时乘或除以相同的数(0除外),左右两边仍然相等。
例一：6x+3=5.4旧解法:6x+3=5.4 解: 6x=5.4-3 6x=2.4x=2.4÷8x=0.4 新解法:6x+3=5.4解:6x+3-3=5.4-3 6x=2.46x÷8=2.4÷8 x=0.4解法分析:旧解法中学生须牢记加、减、乘、除四种运算中的数量关系等式,而数量关系等式的总数达10个,记住四种运算中各部分的名称与数量关系等式,对学生来说绝非易事,根据以往经验,许多小学生直至毕业仍为数量关系等式犯糊涂,解方程时算法经常是错误百出。
而新教材中的解法只需记住“同加、同减、同乘、同除”几个字,比旧教材根据逆运算关系解方程,思路更统一,方法更简单。
学生理解得特别好,掌握的程度很高。
利用等式的基本性质解方程的优越性还体现在有利于中小学数学教学的衔接,较为彻底地避免旧教法中同一内容两种思路、两种算理解释的现象。
例二：17-x=15 17-x=15解:x=17-15x=2例三：6÷x=26÷x=2解:x=6÷2x=3 17-x=15解:17-x+x=15+x 17=15+x15+x=1715+x-15=17-15 x=26÷x=2解:6÷x×x=2×x 6=2x2x=62x÷2=6÷2x=3解法分析：旧解法在解a-x=b和a÷x=b这类方程时，我们可以清晰的看到根据四则运算的逆运算，减数=被减数-差、除数=被除数÷商我，们能很轻松的求出方程的解。
高中数学选修1课件：2.1.1椭圆及其标准方程
1.椭圆的定义 平面内与两个定点 F1，F2 的距离的和等于__常__数____(大 于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两___个__定__点_叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做椭圆的__焦__距____．
思考探究 定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于 |F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
特 （4）a、b、c都有特定的意义，
a—椭圆上任意一点P到F1、F2距离和的一半；c—半焦距.
点 有关系式a2 b2 c2成立。
变式演练 加深理解
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是（- 4，0）、（4，0），
椭圆上一点到两焦点距离的和等于10；
（
2
）
两个焦点的坐标分别是（ 新疆 王新敞 奎屯
探究：
|MF1|+ |MF2|＞|F1F2| 椭圆 |MF1|+ |MF2|=|F1F2| 线段 |MF1|+ |MF2|＜|F1F2| 不存在
归纳：椭圆的定义：
平面内与两定点F1、F2的距离之和等于常数 （大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆.
定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离 叫做椭圆的焦距.
y2 49
1的两个焦点，过
F1的直线与椭圆交于A、B两点，则 ABF2的
周长为（ ）
(A)8 6 (B)20 (C)24 (D)28
反思总结 提高素质
标准方程
不
同
图形
点
x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
y
o
x
y2 x2 1(a b 0) a2 b2
y
旦德林双球模型定义后的“椭圆的标准方程”的教学
3
，
1
2
两点，求该椭圆的标准方程.
不能确定焦点的位置， 不妨就分焦点在x、y轴上两
种情况讨论，是很自然的想法，也是很好的方法.
当焦点在x轴上时， 设椭圆的标准方程为 x2 + y2 =1 a2 b2
（a>b>0）.
由题意可知
1 ' ' ' ' ' &
4 a2
=1，
1a2=4，
则
所以椭圆的
' ' ' ' ' (
一形成认知冲突驱动探求欲望7世纪荷兰数学家舒腾的椭圆的画法基于两个焦半径之和等于常数是在把圆压扁变成椭圆之后总结出来的教师用几何画板再现这一历史过程直观地可以看出圆压扁后的曲线上任一点到两个定点f根据椭圆的定义圆压扁后的曲线应当是椭圆但这只是几何直观验证有失严谨性需要从代数意义上的严格证明那么又如何证明呢
成，课堂小结由师生共同完善，这既是对学习主体的充 分尊重，使学生获得亲历知识生长发展的体验，又是培 养学生自我参与意识和探索发现能力、开发学生潜能的 有效方式.
诚然，在数学教学中获得结果，特别是获得准确的 结果是重要的，但从某种意义上说，让学生经历和体验 获取知识的过程要比获得结果更重要.这是因为这种获 取知识的过程，不仅是知识生长、发展的动态延伸，更是 开启智慧、发展智力、培养潜能、提高素质的源泉.正如 一次旅行，不必太在意目的地，重要的是不要错过沿途 的风景！
其一，上文中提到的“以数解形”与“以形助数”就是
从数和形的角度观察事物，提出有数学特点的问题的具
体体现.
其二，整个标准方程的推导化简过程，既是归纳抽
象，又是演绎推理.尤其在教学时不拘泥于教材中的椭
偏微分方程数值解法(1)
第十章 偏微分方程数值解法一、 典型的偏微分方程介绍 1．椭圆型方程 科学技术中经常遇到一些重要的、典型的偏微分方程。
在研究有热源稳定状态下的热传导，有固定外力作用下薄膜的平衡问题时，都会遇到Poisson 方程D y x y x f yux u ∈=∂∂+∂∂),(),(2222（10.1）其中D 表示平面区域。
特别在没有热源或没有外力时，就得到Laplace 方程02222=∂∂+∂∂y ux u （10.2）此外，当研究不可压缩理想流体无旋流动的速度势以及静电场的电位等，也会遇到（10.1）或（10.2）类型的方程。
2．抛物型方程 在研究热传导过程、气体扩散现象、电磁场的传播等问题中以及在统计物理、概率论和重子力学中，经常遇到抛物型方程。
这类方程中最简单、最典型的是热传导方程。
L x t xu a t u <<>=∂∂-∂∂0,0,022（10.3）其中a 是常数。
它表示长度为L 的细杆内，物体温度分布的规律。
3．双曲型方程 在研究波的传播、物体的振动时，常遇到双曲型方程。
这类方程中最简单、最典型的是波动方程L x t xu a t u <<>=∂∂-∂∂0,0,022222（10.4）它表示长度为L 的弦振动的规律。
二、定解问题偏微分方程（10.1）~（10.4）是描述物理过程的普遍规律的。
要使它们刻划某一特定的物理过程，必须给出附加条件。
把决定方程唯一解所必须给定的初始条件和边界条件叫做定解条件。
定解条件由实际问题提出。
对方程（10.3）来说，初始条件的提法应为)()0,(x f x u =，其中f (x )为已知函数，它表示物体在初始状态下温度分布是已知的。
边界条件的提法应为物体在端点的温度分布为已知，即⎩⎨⎧≥==0)(),()(),0(t t t L u t t u ψϕ （10.5）其中ϕ（t ）和ψ（t ）为已知函数。
对（10.4）来说，边界条件的提法和（10.5）形式一样，它表示弦在两端振动规律为已知。
怎么求椭圆的标准方程
怎么求椭圆的标准方程
首先，我们需要了解椭圆的基本定义和性质。
椭圆的定义是一个固定点F到平面上任意一点P到两个定点A、B的距离之和等于常数2a，这个常数2a就是椭圆的长轴长度。
而椭圆的短轴长度则是2b，满足a>b。
椭圆的中心是定点A、B连线的中点O，长轴和短轴的交点是椭圆的焦点。
接下来，我们来求解椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程一般是(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标。
首先，我们需要确定椭圆的中心坐标(h,k)和长短轴的长度a和b。
确定椭圆的中心坐标(h,k)，如果椭圆的中心不是坐标原点，我们可以通过平移坐标系的方法将椭圆的中心移到坐标原点，这样就可以简化问题。
假设椭圆的中心坐标是(h,k)，我们可以将椭圆的方程变形为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1。
确定椭圆的长短轴的长度a和b，椭圆的长轴长度是2a，短轴长度是2b，我们可以通过椭圆的焦点和顶点的坐标来确定a和b的值。
椭圆的焦点坐标可以通过勾股定理和椭圆的定义来求解，然后根据a²=b²+c²来确定a和b的值。
最后，我们将确定的中心坐标(h,k)和长短轴的长度a和b代入标准方程(x-h)²/a ² + (y-k)²/b² = 1中，就可以得到椭圆的标准方程了。
总结一下，求解椭圆的标准方程需要先确定椭圆的中心坐标(h,k)和长短轴的长度a和b，然后代入标准方程中进行计算。
希望本文对大家有所帮助，谢谢阅读！。
一元五次方程的椭圆函数解法
一元五次方程的椭圆函数解法
首先，我们来讨论一元五次方程的一般形式。
一元五次方程的一般形式可以表示为ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f = 0，其中a、b、c、d、e和f为实数系数，且a不等于0。
解决这种方程的一种方法是利用椭圆函数的性质和变换来简化方程的形式，使其变为椭圆函数方程。
其次，我们需要对一元五次方程进行变换，使其变为椭圆函数方程。
这通常涉及到一系列代数变换和替换，以消除方程中的高次项和简化方程的形式。
一旦得到椭圆函数方程，我们就可以利用椭圆函数的性质和特殊的求解技巧来解决方程。
椭圆函数方程的解法涉及到椭圆积分、椭圆函数的周期性质、变换和递归关系等数学工具。
通过适当的变换和代换，我们可以将椭圆函数方程转化为标准的椭圆函数形式，然后利用椭圆函数的性质和求解技巧，找到方程的解。
需要指出的是，一元五次方程的椭圆函数解法相对复杂，需要深厚的数学功底和对椭圆函数理论的深入理解。
因此，对于一般的数学问题，通常会采用更直接和常规的代数方法来解决方程，而椭
圆函数解法往往用于特定的数学和物理问题中。
总之，一元五次方程的椭圆函数解法涉及到代数方程的变换和椭圆函数的性质，需要深入的数学知识和技巧。
对于普通的代数方程求解问题，通常会采用更直接和常规的代数方法来解决。
椭圆的参数方程
椭圆的参数方程一、基本说明1模块：高中数学选修4-42年级：高中二年级3所用教材版本：人民教育出版社4所属的章节：第二讲5学时数： 40分钟二、教学设计1、教学目标：知识与技能：了解椭圆参数方程的推导过程及椭圆参数方程中参数的几何意义；掌握椭圆的参数方程，会用椭圆参数方程解决一些简单的应用问题。
过程与方法：通过学习椭圆的参数方程，进步完善对椭圆的认识，同时使学生更熟悉和掌握坐标法，提高分析问题与解决问题能力，掌握类比的学习方法。
情感态度与价值观：通过利用信息技术激发学生学习数学的热情，感受信息技术在数学中的作用，实现信息技术与数学课程的有机整合，使学生更好地理解数学的本质，主动地探索和研究数学。
2、内容分析：椭圆是学生比较熟悉的曲线，在选修1-1中就已学过椭圆的定义及性质。
这节课主要学习椭圆的参数方程。
它是在学习了圆的参数方程的基础来学习的，它后面将要学习双曲线的参数方程，因此它有承上启下的作用。
本节是以学生熟悉椭圆为载体，进一步学习建立参数方程的基本步骤，加深对参数方程的理解，体会参数法的应用，同时引导学生从不同的角度认识椭圆的几何性质。
这节课的重点是了理解椭圆参数方程的推导过程、椭圆参数方程中参数的几何意义及椭圆参数方程的简单应用3、任务分析：椭圆是学生比较熟悉的曲线，由椭圆的标准方程通过纯粹的代数和三角变换得椭圆的参数方程并不难，难的是参数方程中参数的几何意义。
利用信息技术从参数连续变化形成椭圆的过程中认识参数的几何意义，生动、形象，易于学生接受理解。
在解决问题过程中，用一题多解的形式培养学生的发散思维，通过比较各种解法，从中获取最优解法，体现出本节课参数方程的重要性和优越性。
通过讨论，培养学生团结协作的精神。
4、教学方法和教学策略分析：本节课采用“高中数学新课程与信息技术整合教学的双主教学模式”①，课件制作主要用PPT和几何画板。
注：①湖南省教育科学“十一五”规划课题《高中数学新课程与信息技术整合有效性的研究》中探索的一种教学模式三、教学基本流程四、教学过程设计教学反思:人们对事物的认识是不断加深，层层推进。
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4.特殊函数方法：对于二维泊松方程，我们可以采用复变函数的方法，引入调和函数和调和多项式，使用适当的变换和积分来得到精确解。这种方法的优点在于它可以提供一些有用的分析工具和结论，但是它不适用于大部分非线性问题。
以上这些方法都是对椭圆型方程进行求解的常见方法，对于不同的问题，可以根据具体情况选择合适的方法来求解。
我们可以以二维泊松方程为例，介绍如何使用这些方法来解决椭圆型方程的求解问题：
1.有限元方法：对于二维泊松方程，我们可以采用网格划分的方法将求解域离散化，然后构建稀疏矩阵来解决线性系统。这种方法的优点在于它适用于各种形状的求解域，并且对于非线性方程也能有效求解。但是，计算时间和内存消耗可能会比较大。
2.障碍泛函方法：对于二维泊松方程，我们可以构建一个能量泛函，并通过变分方法求解其最小值。该方法在求解高维些理论保证。但是，它需要一定的数学理论和分析基础。