二四阶拟线性椭圆方程组的弱解存在性
摘要利用变分方法，讨论了二四阶拟线性椭圆方程组对更一般的f、g在较弱的条件下获得弱解的存在性。
关键词拟线性椭圆方程组变分法弱解
Existence of the Weak Solution for Second and Fourth-Order Quasilinear Elliptic Equations／／ＤｉＦａｎｇ
AbstractＵｓｉｎｇｔｈｅｖａｒｉａｔｉｏｎａｌｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｉｓｐａｐｅｒｄｉｓｃｕｓｓｅｄｔｈｅｗｅａｋｓｏｌｕｔｉｏｎｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｓｅｃｏｎｄａｎｄｆｏｕｒｔｈ－ｏｒｄｅｒｑｕａｓｉｌｉｎｅａｒｅｌｌｉｐｔｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｓｔｏｍｏｒｅｇｅｎｅｒａｌｆ，ｇｕｎｄｅｒｔｈｅｗｅａｋｅｒｃｏｎｄｉｔｉｏｎ．Key wordsｔｈｅｖａｒｉａｔｉｏｎａｌｍｅｔｈｏｄ；ｃａｌｃｕｌｕｓｏｆｖａｒｉａｔｉｏｎｓ；ｗｅａｋｓｏｌｕｔｉｏｎ
Author＇s addressＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＲｅｓｅａｒｃｈＣｅｎｔｅｒ，ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＳａｎ－Ｊｉａｎｇ，２１００１２，Ｎａｎｊｉｎｇ，Ｊｉａｎｇｓｕ，Ｃｈｉｎａ
１引言
设Ω为Ｒｎ的有界开子集，本文考虑二四阶拟线性椭圆方程组问题。
－ｄｉｖ（ｇ
１
（｜荦ｕ｜２）荦ｕ）＝ｆ（ｘ，ｕ，ｖ）在Ω中
△（ｇ
２
（（△ｕ）２）△ｕ）＝ｇ（ｘ，ｕ，ｖ）在Ω中
ｕ｜
坠Ω＝ｖ｜
坠Ω
＝△ｖ｜
坠Ω
＝
荦荦荦荦荦荦荦荦荦
荦荦荦荦０
（１．１）
本文的目的是用变分方法，研究二四阶拟线性椭圆方程组问题（１．１）对更一般的函数ｆ、ｇ，在较弱的条件下获得弱解的存在性。
２基本引理
设Ω奂Ｒｎ为有界开子集。
又设Ｈ：Ω×Ｒ→Ｒ为ｃ１类的，（Ｈｕ，Ｈｖ）＝（ｆ，ｇ）且ｆ，ｇ：Ω×Ｒ→Ｒ为Ｃａｒａｔｈｅｏｄｏｒｙ函数，且满足下列条件：
（ｉ）存在ａ，ｂ≥０和ｆ１，ｇ１缀Ｌｑ（Ω）使
｜ｆ（ｘ，ｓ，ｔ）｜≤ａ（｜ｓ｜２＋｜ｔ｜２）ｒ／２＋ｆ１（ｘ），｜ｇ（ｘ，ｓ，ｔ）｜≤ｂ（｜ｓ｜２＋｜ｔ｜２）ｒ／２＋ｇ１（ｘ），ａ．ｅ．ｘ缀Ω，坌ｓ缀Ｒ，这里１≤ｒ＜（ｎ＋２）／（ｎ－２）（ｎ≥３），ｐ＝ｒ＋１和１／ｐ＋１／ｑ＝１。
（ｉｉ）存在λ缀Ｌ∞（Ω）使
ｌｉｍｓｕｐ｜μ｜→∞２Ｆ（ｘ，ｕ，ｖ）
ｕ＋｜ｖ｜
≤λ（ｘ），
ａ．ｅ．ｘ缀Ω，这里Ｆ（ｘ，ｕ）＝
ｕ
０
乙ｆ（ｘ，ｓ）ｄｓ
设ｇ１，ｇ２缀Ｃ（Ｒ，Ｒ），为连续的非减函数。
又设ｇ１和ｇ２满足下列条件：
（ｉｉｉ）存在α１，α２，β１和β２缀Ｒ使
０＜α１≤ｇ１（ｔ）≤β１，０＜α２≤ｇ２（ｔ）≤β２
在上述条件下，通过方法我们给出问题（１．１）的弱解的存在性定理。
给定的开集Ω奂Ｒｎ。
设Ｖ表示Ｈｉｌｂｅｒｔ空间Ｈ１
０
（Ω）×Ｈ（Ω）
∩Ｈ１
０
（Ω），Ｖ上的范数定义为
｜｜（ｕ，ｖ）｜｜２＝
Ω
乙｜荦ｕ｜２＋（△ｖ）２
乙乙ｄｘ（２．１）
设λｋ（ｋ＝１，２，…）表示为特征值问题
△ｕ＋λｕ＝０在Ω中，
ｕ｜
坠Ω
＝
乙
０
（２．２）的特征值，准ｋ（ｋ＝１，２，…）为相应的特征函数（关于Ｌ２（Ｄ）的内积适当规范化）。
其中每一特征值λｋ依重数重复计数，且０＜λ１＜λ２≤λ３≤…，λｋ→∞，φ１（ｘ）＞０，ｘ缀Ω。
△２ｕ＝μｕ在Ω中，
ｕ｜
坠Ω
＝△ｕ｜
坠Ω
＝
乙
０
（２．３）
有无穷多特征值μ
ｋ
＝λ２
ｋ
，ｋ＝１，２，…，
对应特征函数准ｋ（ｘ）．
｛准ｋ｝构成Ｖ的一组正交基，因此，Ｖ的元素（ｕ，ｖ）能表成
ｕ＝
∞
ｋ＝１
Σａｋ准ｋ，ｖ＝∞
ｋ＝１
Σｂｋφｋ，∞
ｋ＝１
Σａ２ｋ＜∞，∞
ｋ＝１
Σｂ２ｋ＜∞，（２．４）用Ｖ＇表示Ｖ的对偶空间，＜，＞表示Ｖ＇与Ｖ之间的对偶积。
定义映像Ｂｇ：Ｖ→Ｖ＇为
＜Ｂ
ｇ
（ｕ，ｖ），（准，ψ）＞＝
Ω
乙［ｇ１（｜荦ｕ｜２）荦ｕ荦准＋ｇ２（（△ｖ）２）△ｕ△ψ］ｄｘ（２．５）坌（ｕ，ｖ），（准，ψ）缀Ｖ．
定义２．１．称ｕ缀Ｖ为问题（１．１）的弱正解，如果下列等式成立
＜Ｂ
ｇ
（ｕ，ｖ），（准，ψ）＞＝
Ω
乙［ｆ（ｘ，ｕ，ｖ）准＋ｇ（ｘ，ｕ，ｖ）ψ］ｄｘ（２．６）坌（准，ψ）缀Ｖ．
下面是本文得到的主要结果：
定理２．１．设α１≤α２，又设（ｉ），（ｉｉ）和（ｉｉｉ）成立．假定在Ω上λ（ｘ）≤α１λ１（１＋λ１），在Ω的正测子集上λ（ｘ）＜α１λ１（１＋λ１）．则问题（１．１）至少有一个弱解。
定理２．２，设α１≥α２又设（ｉ），（ｉｉ）和（ｉｉｉ）成立．假定在Ω上λ（ｘ）≤α２λ１（１＋λ１），在Ω的正测子集上λ（ｘ）＜α２λ１（１＋λ１）．则问题（１．１）至少有一个弱解。
３定理的证明
设Ω奂Ｒｎ为有界开子集，设Ｖ＝Ｈ１
０
（Ω）×Ｈ（Ω）∩Ｈ１
０
（Ω）。
中图分类号：Ｏ１３文献标识码：Ａ文章编号：１６７２－７８９４（２０１２）３３－０１００－０２１００
＜Ｂ
ｇ（ｕ，ｖ），（准，ψ）＞－
Ω
λ（ｘ）［ｕ２＋ｖ２］ｄｘ≥２ε｜｜（ｕ，ｖ）｜｜２（３．１）
坌（ｕ，ｖ）缀Ｖ．
定理２．１的证明设
Ｇ
１（ｐ２）＝１
ｐ２
０
乙ｇ１（ｓ）ｄｓ，Ｇ２（ｐ２）＝１ｐ２０乙ｇ１（ｓ）ｄｓ，
Ｅ（ｕ，ｖ）＝
Ω
乙［Ｇ１（｜荦ｕ｜２）＋Ｇ２（（△ｖ）２）－Ｈ（ｘ，ｕ，ｖ）］ｄｘ（３．２）坌（ｕ，ｖ）缀Ｖ．
记Ｇ（ｕ，ｖ）＝
Ω
乙［Ｇ１（｜荦ｕ｜２）＋Ｇ２（（△ｖ）２）］ｄｘ，易见Ｇ是凸和弱下半连续的，因此，Ｇ弱下半连续的，由定理２．１的证明，我们知道Ｈ軓是弱连续的，于是Ｅ＝Ｇ－Ｈ軓是弱下半连续的。
由（ｉｉｉ）和引理３．１，存在ε＞０使
Ω
乙［Ｇ１（｜荦ｕ｜２）＋Ｇ２（（△ｖ）２）－λ（ｘ）［ｕ２＋ｖ２］／２］ｄｘ
≥１
２Ω
乙［α１｜荦μ｜２α２（△ｖ）２－λ（ｘ）［ｕ２＋ｖ２］／２］ｄｘ
＝１
２Ω
乙α１（｜荦ｕ｜２＋（α２／α１）（△ｖ）２－λ（ｘ）［ｕ２＋ｖ２］／２α１）ｄｘ≥α１ε｜｜（ｕ，ｖ）｜｜２
坌（ｕ，ｖ）缀Ｖ，因而可得
Ｇ（ｕ，ｖ）－
Ω
乙λ（ｘ）［ｕ２＋ｖ２］／２ｄｘ≥α１ε｜｜（ｕ，ｖ）｜｜２（３．３）坌（ｕ，ｖ）缀Ｖ．由（ｉ）和（ｉｉ），存在函ｆ３缀ＬＩ（Ω）使／２＋ｆ３（ｘ）］ｄｘ．
由引理３．１证明和（３．３），我们得到
Ｅ（ｕ，ｖ）≥α１ε
２
｜｜（ｕ，ｖ）｜｜２－
Ω
乙ｆ３（ｘ）ｄｘ，
于是Ｅ在Ｖ强制．由（ｉ），（ｉｉ）和（ｉｉｉ），Ｅ在Ｖ是连续可微的且Ｅ＇（ｕ，ｖ），（准，ψ
軓軓
）＝
Ω
乙［ｇ１（｜荦ｕ｜２）△ｕ△准＋ｇ２（（△ｖ）２）荦ｕ荦ψ－ｆ（ｘ，
ｕ，ｖ）准－ｇ（ｘ，ｕ，ｖ）ψ］ｄｘ＝＜Ｂｇ（ｕ，ｖ），（准，ψ）＞－
Ω
乙［ｆ（ｘ，ｕ，ｖ）准＋ｇ（ｘ，ｕ，ｖ）ψ］ｄｘ．
坌（ｕ，ｖ），（准，ψ）缀Ｖ于是Ｅ有极小点（ｕ，ｖ），Ｅ＇（ｕ，ｖ）＝０。
即（ｕ，ｖ）是
（１．１）的弱解。
参考文献
［１］ＡｎＹＫ．Ｐｅｒｉｏｄｉｃｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｔｅｌｅｇｒａｐｈｗａｖｅｃｏｕｐｌｅｄｓｙｓｔｅｍａｔｎｏｎｒｅｓｏｎａｎｃｅ［Ｊ］．ＮｏｎｌｉｎｅａｒＡｎａｌｙｓｉｓ，２００１，４６：５２５－５３３．
［２］ＡｎＹＫ．Ｍａｘｉｍｕｍｐｒｉｎｃｉｐｌｅｓｆｏｒａｃｏｕｐｌｅｄｓｙｓｔｅｍｏｆｓｅｃｏｎｄａｎｄｆｏｕｒｔｈｏｒｄｅｒｅｌｌｉｐｔｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｓａｎｄａｎａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ［Ｊ］．２００５：１６１，１２１－１２７．
［３］ＴａｒａｎｔｅｌｌｏＧ．Ａｎｏｔｅｏｎａｓｅｍｉｌｉｎｅａｒｅｌｌｉｐｔｉｃｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ］．Ｄｉｆｆ．Ｉｎｔ－ｅｇｒａｌＥｑｎｓ．，１９９２，５：５６１－５６６．
［４］ＭｉｃｈｅｌｅｔｔｉＡＭ，ＰｉｓｔｏｉａＡ．．Ｍｕｌｔｉｐｌｉｃｉｔｙｒｅｓｕｌｔｓｆｏｒａｆｏｕｒｔｈ－ｏｒｄｅｒｓｅｍ－ｉｌｉｎｅａｒｅｌｌｉｐｔｉｃｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ］．ＮｏｎｌｉｎｅａｒＡｎａｌｙｓｉｓ，１９９８，３１：８９５－９０８．
编辑胡俊龙
１０１。
随机微分方程弱解的稳定性和存在性
随机微分方程弱解的稳定性和存在性
元昌安
【期刊名称】《应用数学》
【年(卷),期】1996(9)4
【摘要】本文研究了驱动项为无穷维Ｂｒｏｗｎ运动的一般Ｉｔ随机微分方程，给出了还问题的解和弱解的存在性关系，证明了在线性增长条件下，方程弱解的稳定性和存在性定理．
【总页数】7页(P409-415)
【关键词】随机微分方程;弱解;稳定性;存在性
【作者】元昌安
【作者单位】广西农大林学院
【正文语种】中文
【中图分类】O211.63
【相关文献】
1.Banach空间中随机微分方程弱解的存在性 [J], 郑权
2.Ito型随机微分方程弱解的存在性 [J], 聂赞坎
3.一类倒向随机微分方程弱解的存在唯一性 [J], 何志坚
4.一类椭圆型随机偏微分方程弱解的存在性 [J], 冉启康
5.多维随机微分方程弱解的存在性 [J], 丁晓东
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
一类四阶两点边值问题解的存在唯一性
一类四阶两点边值问题解的存在唯一性陆静【期刊名称】《许昌学院学报》【年(卷),期】2012(031)002【摘要】A class of fourth-order two-point boundary value problems is discussed and the existence of a u- nique solution for this kind of equations is obtained by using the property of cone and a fixed point theorem of uo- concave operator. The conclusion in related literature is also improved, and an example is given to demonstrate the result as well.%运用锥的性质和u0-凹算子的不动点理论讨论一类四阶两点边值问题,得到了此类问题解的存在唯一性,给出了该类问题正解存在唯一性的充分条件,改进了文献中的相关结论,同时还给出了一个例子作为应用.【总页数】4页(P25-28)【作者】陆静【作者单位】太原理工大学阳泉学院基础部,山西阳泉045000【正文语种】中文【中图分类】O175.8【相关文献】1.一类四阶两点边值问题解的存在唯一性 [J], 姚晓斌2.一类四阶非线性发展方程整体解的存在唯一性 [J], 张媛媛;王宏伟3.一类四阶两点边值问题正解的存在唯一性 [J], 古传运4.一类带有积分边界条件和变号非线性项的四阶p-Laplacian微分方程解的存在唯一性 [J], 李梦菲;刘林丽5.一类四阶常微分方程两点边值问题解的存在唯一性 [J], 张剑虎;刘文斌;蹇玲玲因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
一类椭圆型方程弱解梯度的一致估计-论文
1 B , , 且令 2 0
引理 2 , 并运用 Sobolev - Poincaré 不等式 ,可得 : 1 1 ∫ | Dui | pi dx ≤ C( ∫ | Dui| | Br | B r | 2B r| 2B r dx 。 ( 2) 2B r Ω Φ ,取截断函数η ∈ η≤ I c≠ C0∞( 2Br ) , 满足 0 ≤ 1 , 且在 B r 上η = 1 , 记 D = 2B r Ω I , 由引理 2 可
( 7) 在式 5 中 , 取 Φ = ui - Tk ui 为检验函数 ,并运用 Y oung 不等式 , 得到 : α∫ | ui |
≥ k Ai
( x , u i , D ui ) Duidx ≤ C∫ | ui |
≥k| f|
p′ i
dx +ε ∫ | ui |
≥k|
ui| pi dx + k ∫ | ui|
关键词 : 弱解 ; 容量 ;扬 不等 式 ; 全局正则性 中图分类号 :O175. 3 文献标识码 :A 文章编号 :1001 - 9146 (2009) 04 - 0071 - 04
0 引 言
本文讨论拟线性椭圆方程 : - divAp ( x , u , Du) = f ( x) 弱解梯度的一致估计 。关于此类方程已有广 泛的研究 ,如利用 Hardy 不等式构造检验函数 , 得到拟线性椭圆方程 :
1 主要结果
假设Ω是 Rn (n ≥ 3) 中的有界开集 , 且其边界是一致 p - 厚的 , 考虑拟线性椭圆型方程的 Dirichlet 问 题: - div Ap ( x , u , Du ) = f ( x) inΩ
退化线性椭圆方程非常弱解的存在唯一性
龙源期刊网 退化线性椭圆方程非常弱解的存在唯一性作者：晏华辉顾广泽来源：《湖南大学学报·自然科学版》2014年第07期摘要：定义了在所谓的具有一片平的边界的有界光滑区域内退化线性椭圆的非常弱解的概念，然后利用变法方法与退化椭圆方程的极值原理等证明了该问题非常弱解的存在唯一性结果.关键词：存在性；唯一性；非常弱解；退化椭圆方程中图分类号：O175.25 文献标识码：A他们需要得到上面问题非常弱解的存在唯一性结果.[1]QUITTNER P， REICHEL W. Very weak solutions to elliptic equations with nonlinear Neumann boundary conditions [J]. Calc Var Partial Diff Equ，2008，32（4）： 429-452.[2]BIDAUTVERON M F， PONCE A， VERON L. Boundary singularities of positive solutions of some nonlinear elliptic equations [J]. C R Acad Sci Paris Ser I Math， 2007，344（2）： 83-88.[3]HU B. Nonexistence of a positive solution of the Laplace equation with a nonlinear boundary condition [J]. Differential Integral Equations. 1994，7（2）： 301-313.[4]MCKENNA P J， REICHEL W. A priori bounds for semilinear equations and a new class of critical exponents for Lipschitz domains [J]. J Funct Anal， 2007，244（1）： 220-246.[5]PACARD F. Existence de solutions faibles positive de dans des ouverts bornes de [J]. C R Acad Sci Paris Ser. I Math， 1992，315（7）： 793-798.[6]PACARD F. Existence and convergence of positive weak solutions of in a bounded domains of [J]. Calc Var Partial Diff Equ， 1993， 1（3）： 243-265.[7]QUITTNER P， SOUPLET PH. A priori estimates and existence for elliptic systems via bootstrap in a weighted Lebesgue spaces [J]. Arch Ration Mech Anal， 2004， 174（1）： 49-81.[8]CABRE X， SIRE Y. Nonlinear equations for fractional Laplacians I： regularity，maximum principles， and Hamiltonian estimates [J]. Ann Inst H Poincar＼'{e} Anal NonLin＼'{e}aire， 2014，31（1）： 23-53.。
四阶拟线性椭圆方程解的存在性
， 则嵌入 Ｅ —Ｌ 。 ， ２ ｓ ≤
二、 一 些 结 论 引理 ２ ． １ ．假设 条件（ ｖ ） ， （ ￡ ） 和（ ｆ ２ － ） 成立且 Ｎ ６ ， 泛函 Ｉ ． ｅ Ｃ （ Ｅ ，
Ｐ Ｏ．
因此 Ｖ Ｅ ［ ２ ， ２ ］ 时， 存在常数 ０ 使得 Ｉ ｌ ｕ ｌ ｌ ＜－ ｑ ； Ｉ ｌ ｕ ｌ ｌ Ｅ ， Ｖ ｌ Ｉ Ｅ Ｅ
和
其 中△。 ＝ △（ △） 是双调和算子 ， ＷＣ ｆ Ｒ ， Ｒ ） ， ｆ ￣ Ｃ （ Ｒ Ｒ， Ｒ ） ， Ｎ ６ 。 与Ｖ （ ｘ ） 与 ， ｕ ） 的适 当假 设 下 ， 通 过 扰 动 法 我 们 可 以得 到 上 面 方 程解 的存 在 性 。 对于四阶椭圆方程 已经有许多结论 ，但都是 在一个有界 区 域Ｑ ｃＲ Ｎ ， 在 文献 ［ １ ］ 中利用 山路定理知道 了下述 问题 的存在性 结论 。
自蓉 四 阶 拟 线 性 椭 圆 方 程 解 的 存 在 性
数学教学研究
四 阶 拟 线 性椭 圆方 程 解 的存 在 性
白 蓉
（ 云 南师范 大 学数学 学 院
云 南 昆明 ６ ５ ０ ０ ９ ２ ）
摘 要 关 键词
在 这篇 文章 中 ， 我 们采 用扰动 法研 究定 义在 上 带有拟 线性 项 的四 阶椭 圆方程 四 阶椭 圆方程 拟 线性项 扰动 法
ｆ １ ． ４ １
Ｅ ： ＝ ｛ ｕ ｅ Ｈ ： Ｊ （ （ △ｕ ） ｌ Ｖ ｕ Ｉ ２ ＋ Ｖ （ ｘ ） ｕ ２ ） ｄ ｘ ＜ ｝
Ｅ是希尔伯特空 间， 它上的内积和范数是 ：
ｒ ． ｌ
其中 Ｅ ［ ０ ， １ 】 的参数 。 本 文的 思想 是 当 ０充分 小的 时候 得到 Ｉ 临界 点的存在
一类椭圆方程的弱解的存在性
。
在文 献 ［ ２ ］ ， ｓ Ｈ Ｒ ａ ｓ ｏ ｕ ｌ ｉ 等研究 了一 类具 有 变 权 的（ Ｐ ， ｑ ） 一 拉 普 拉斯 非线 性 椭 圆 系统 正 弱解 的存
在性 ：
ｉ Ｊ （ ） Ｊ ｄ ＝ １ ’ ， ２ ， …
并 且 有
一
ｒ 一△ ； ＝ Ａ ｌ ０ （ ） ／ ＜ ） ＋ ｌ Ｏ ｔ （ ） ｈ （ “ ） ， ∈Ｑ
异椭 圆微 分方 程弱 解 的存在 性 ：
一
存 在一 系列 特征值 ０＜Ａ ＜Ａ ２＜… 一 ＋０ ０ ， 其分
别 对应 的特 征 函数 为 ， ：… ∈ （ Ｑ） ， 满 足
ｒ 一△ （ ） ＝Ａ （ ）
ｄ ｉ ｖ （ ｉ Ｖ ｕ
Ｖ ｕ ） ＝ ｈ
１ 预 备 知 识
引理 １ Ｅ ３ Ｊ 设 ｎ ｃ Ｒ 是 一个 有界 区域 ， 则方 程
ｒ —Ａ ｕ （ ） ＝Ａ Ｕ （ ） ， Ｅ Ｑ ｌ ＝０ ， ∈ａ Ｑ
例 如变分 方 法 ， 拓 扑 度方法 ， 单 调算 子 方法 等等 。 在文 献 ［ １ ］ ， Ｌ Ｉ Ｑ ｉ ｎ ｇ ｗ ｅ ｉ 等研 究 了下 面 一类 奇
文章编号
１ ０ ０ ０ － ５ ２ ６ ９ （ ２ ０ １ ７ ） ０ ５ — ０ ０ ０ １ — ０ ３
ＤＯＩ ： １ ０ ． １ ５ ９ ５ ８ ／ ｊ ． ｃ ｎ ｋ ｉ ． ｇ ｄ ｘ ｂ ｚ ｒ ｂ ． ２ ０ １ ７ ． ０ ５ ． ０ １
一
类 椭 圆方 程 的 弱解 的存 在 性
克 雷边 值条 件 的椭 圆方程 解 的存在 性
＝
＝Ａ Ｊ （ ｘ ） ｖ （ ） ｄ ｘ ， ＝１ ， ２ ， …。
带 p（x）-双调和算子的四阶椭圆型问题的多解性
带 p（x）-双调和算子的四阶椭圆型问题的多解性缪清【摘要】利用极值原理结合山路定理研究了一类带Navier边值条件的四阶椭圆型问题至少存在两个非负、非平凡的弱解。
%Using the minimum principle combined with the mountain pass theorem, wo obtain at least two non-negative,non-trivial weak solutions to a fourth order elliptic problem with a p( x)-biharmonic operator and the Navier boundary conditions.【期刊名称】《淮阴师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)002【总页数】5页(P95-99)【关键词】p( x)-双调和算子;Navier边值条件;多解性;山路定理【作者】缪清【作者单位】云南民族大学数学与计算机科学学院，云南昆明 650500【正文语种】中文【中图分类】O175.6令Ω为RN(N≥1)中的具有光滑边界的有界子集,本文讨论了一类p(x)-双调和方程的多解性,其中为p(x)-双调和算子,参数λ>且存在常数 k>0有a(x)≥k.近年来,双调和问题的解的存在性和多解性引起了许多学者的兴趣[1-4]. 由于p(x)-双调和算子是非齐次的,因此很多适用于p-双调和算子的方法则不能直接应用于p(x)-双调和算子.Yin[1]利用Ricceri’s三临界点定理,推广了Li[2]的结果,研究了p(x)-双调和问题的多解性.Li[3]利用了等价的Ricceri’s三临界点定理,研究了问题带Navier边值条件的p(x)-双调和问题的多解性.Kong[4]应用临界点定理研究当非线性项f(x,u)为b(x)|u|γ(x)-2u-c(x)|u|β(x)-2u时p(x)-双调和问题非平凡解的存在性.Amrouss[5]应用了Ricceri变分原理研究了不同边值条件下p(x)-双调和问题的多解性.本文我们主要考虑问题(1)中当非线性项为时,其中1<r<q<p-,问题(1)的多解性.令Lp(x)(Ω)={u|u为可测的实值函数<∞}.当空间Lp(x)(Ω)赋予如下范数时则(Lp(x)(Ω),|·|p(x))为Banach空间,称之为广义的Lebesgue空间.定义空间Wm,p(x)(Ω),其中α=(α1,…,αn)为多重指标赋予范数‖u‖m,p(x)=∑|α|≤m|Dαu|p(x),则Wm,p(x)(Ω)为可分的自反的Banach空间[6].为在Wm,p(x)(Ω)中的闭包.记定义X中的范数为‖u‖=‖u‖1,p(x)+‖u‖2,p(x),则X是自反的可分的Banach空间.令范数‖u‖a,‖u‖,|Δu|p(x).在X中是等价的[7].为表述方便,记X中的范数为‖u‖a.命题1[5] 令则有(a)若‖u‖a≥1,则有‖‖(b)若‖u‖a≤1,则有‖‖(c)‖u‖a→0⟺ρ(u)→0.命题2[4] 假设且则存在一个连续的紧嵌入X|→Lq(x)(Ω),其中定义1 u∈X称为问题(1)的弱解如果对任意的v∈X满足定义函数Jλ:X→R为其中则函数Jλ∈C1(X,R),且有因此,Jλ的临界点为问题(1)的弱解.如果u∈X为Jλ的临界点,则有因此可以得到u≥0.Jλ:X→R是序列弱下半连续的[5],Φ′:X→X′为型,即,如果且limn→∞(Φ′(un)-Φ′(u))(un-u)≤0,则有un→u.引理1[4] 存在常数λ1>0,使得引理2 函数Jλ是强制的,且有下界.证明因为1<r<q<p-,可以得到则对任意的λ>0,存在常数Cλ使得其中λ1在引理1中给出,因此,对所有的‖u‖>1,有因此Jλ是强制的,且有下界.由引理2可知,存在u1∈X为函数Jλ的全局最小值.接下来的结果将说明当λ>0充分大时,u1≠0.引理3 存在λ*>0,当λ≥λ*时有infu∈XJλ(u)<0.证明令Ω0为Ω的一个紧子集,且|Ω0|>0.选取实数t0>1使得存在函数⊂X,当x∈Ω0时,有u0(x)=t0,且当x∈Ω\Ω0时,有0≤u0(x)≤t0,因此由于因此,存在充分大的λ*>0,使得对任意的λ∈[λ*,∞),有Jλ(u0)<0.进而当λ≥λ*充分大时,有Jλ(u1)<0,u1为问题(1)非负、非平凡弱解.接下来将证明当λ>λ*时,函数Jλ满足山路定理的几何结构,问题存在第二个弱解u2∈X.引理4 存在ρ∈(0,‖u1‖a),常数γ>0,使得u∈X,‖u‖a=ρ有Jλ(u)≥γ.证明令u∈X使得‖u‖a<1,由于tq-tr≤0, t∈[0,1].定义Ω1:{x∈Ω:u(x)>1}.如果x∈Ω\Ω1,则因为则存在使得X连续嵌入到Lα(Ω).因此存在常数C使得|u|α≤C‖u‖a,u∈X.因此可得Jλ(u)=(|Δu|p(x)+a(x)|u|p(x))dx-λF(x,u)dx≥(|Δu|p(x)+a(x)|u|p(x))dx-λF(x,u)dx-λF(x,u)dx≥‖u-λF(x,u)dx≥‖u-λdx≥‖u-‖u=‖因为1<p+<α,因此存在充分小的ρ>0,ρ<‖u1‖a,使得对任意的u∈X,‖u‖a=ρ有Jλ(u)≥γ>0.引理5 函数Jλ满(PS)条件.证明令um⊂X使得其中X*为X的对偶空间.因为函数Jλ是强制的,由式(2)可知,{um}是有界的.因此存在一个子列记为{um}弱收敛到u∈X,因此{um}在Lq(Ω),Lr(Ω)中强收敛到u∈X.由Holder不等式,可得另一方面,由式(2)可知由式(2)～(4)可知由于{um}弱收敛到u∈X,则有由式(5)和式(6),可知因为Φ′:X→X′为型,则可得{um}强收敛到u∈X.因此函数Jλ满足(PS)条件.定理1 假设函数a(x)≥k>0,1<r<q<p-.则存在常数λ*>0,使得对任意的λ>λ*,问题至少存在两个非负、非平凡的弱解.证明由引理2和引理3,问题存在一个非负非平凡的弱解u1.记其中由引理4和引理5知,函数Jλ满足山路定理[8]的条件,且Jλ(u1)<0,‖u1‖a>ρ.则为函数Jλ的临界值,即存在u2∈X使得X.由于).所以u2也为问题的非负、平凡弱解,且u1≠u2.定理得证.【相关文献】[1]Yin H, M Xu. Existence of three solutions for a Navier boundary value problem involving the p(x)-biharmonic opera-tor[J]. Ann Polo Math,2013,109(1): 47-58.[2]Li C, Tang C L. Three solutions for a Navier boundary value problem involving the p-biharmonic[J]. Nonlinear Anal, 2010,72(3-4): 1339-1347.[3]Li L, Ding L, Pan W W. Existence of multiple solutions for a p(x)-biharmonic equation. Electronic Journal of Diff Equat, 2013,139:1-10.[4]Kong L. On a fourth order elliptic problem with a p(x)-biharmonic operator[J]. Applied Math Letters, 2014,27:21-25.[5]Amrouss A R EI, Ourraoui A. Existence of solutions for a boundary problem involvingp(x)-biharmonic operator[J].Bol Soc Paran Mat,2013, 31(1):179-192.[6]Fan X L, Zhao D. On the spacesLp(x)(Ω)and W1,p(x)(Ω)[J]. Math Anal Appl 2001, 263(2): 424-446.[7]Zang A, Fu Y. Interpolation inequalities for derivatives in variable exponent Lebesgue-Sobolev spaces[J]. Nonlinear Anal, 2008, 69(10):3629-3636.[8]Ambrosetti A, Rabinowitz P H. Dual variational methods in critical points theorey and applications[J].J Funct Anal,1973, 14(4):349-381.。
两类拟线性椭圆型方程组解的存在性和结构性研究的开题报告
两类拟线性椭圆型方程组解的存在性和结构性研究的开题报告一、研究背景拟线性椭圆型方程组是数学中的一类重要的非线性偏微分方程，广泛应用于物理、生物、工程等领域的建模和分析。
这类方程的解的存在性和结构性研究一直是数学中的重要问题之一，对于深入理解这类方程的性质和应用具有重要的意义。
二、研究内容本研究计划从两个方面来研究拟线性椭圆型方程组解的存在性和结构性：1. 解的存在性问题我们将考虑一类拟线性椭圆型方程组，研究其解的存在性问题。
我们将使用引理和定理来证明解的存在性，并分析解的性质和性质的重要性。
此外，我们还将探讨不同条件下的解的唯一性和稳定性问题。
2. 解的结构性问题我们将对解的结构进行研究。
我们将研究引理和定理，并分析解的结构性质。
我们还将探讨不同情况下解的结构的不同性质。
三、研究方法为了实现以上两个目标，我们将运用以下方法：1. 基本分析技巧首先，我们将使用基本分析技巧，如变分方法、极小值原理等来研究解的存在性问题。
这些技巧已经在过去的研究中得到了广泛应用，并且被证明是有效的。
2. 先进数学工具其次，我们将运用一些先进的数学工具，如偏微分方程、泛函分析等来探讨解的结构性问题。
三、预期成果我们期望通过本次研究可以得到以下成果：1. 较全面的解题思路首先，我们希望可以得到这类方程组解的存在性和结构性方面的较全面的解题思路，这能够帮助我们更好的理解这类方程特征的本质和规律。
2. 重要性结论我们还希望能够得到一些关于解存在性问题和解的结构性问题的重要性结论，这些结论对于深入理解这类方程组的性质和应用具有很大的意义。
3. 可应用性的研究成果最后，我们的研究成果有可能会提供可应用性的研究成果，如新的解析或数值方法来处理这类方程组。
这将有助于我们更好的应用这类方程组于物理、生物、工程等领域的建模和分析。
四、研究进度安排本研究计划总共分为两个阶段，预计每个阶段需要3个月的时间。
第一阶段：解的存在性问题的研究1. 研究和阅读相关文献，准备相关分析工具（1个月）。
一类特殊椭圆型方程的弱解存在性
记 Ｌ ：＝ ｖ Ｇ （ ，则 有 如 下 引 理 ２ ｖ ＝ ＝Ａ ＋ Ｕ） ： 引理 ２ Ｅ 算 子 Ｌ 的 核 空 间 可 以 表 示 为
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收 稿 日期 ：２ １ － １２ ． ０ １１－２ 基 金 项 目 ：国家 自然 科 学 基 金 项 目 （ １ ７ ０ ５ １０ １ ９ ） ＊通讯 联 系 人 ． ｍａｌ ｊ＠ ｍａｌｃｎ ． ｄ ． ｒ Ｅ ｉ：ｚｚ ｉ ｃ ｕ ｅ ｕ ｃｌ ．
摘 要 ： 用 扰 动 方法 证 明 了如 下 一 类 具 有 特 殊 非 线 性 项 的 椭 圆 型方 程 运
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在 ｇ ｚ ∈Ｌ Ｒ ， ｇ ｚ ≥ ｏ ｌ ｇ ｚ 一 ０ 则 存 在 正 数 ￡， ｅ （ ， ） ， 少 有 一 个 弱 解 （ ） （ ）且 （ ） ， ｉ （ ） ｍ ， 。 当 Ｅ ０￡ 时 至 。
存在．
关 键 词 ： 动 方 法 ； 圆 型方 程 ； 解 扰 椭 弱 中 图 分 类 号 ： ７． Ｏ１ ５ 研 究 如 Ｆ类 型 的 椭 圆 型 方 程
显 然 问 题 （ ）可 以 看 作 问 题 （ ）的 一 个 扰 动 ， １ ２ 问 题 （ ）的 方 程 中不 显 含 ｚ， 而 可 以 在 球 对 称 空 ２ 从
第 ４ ６卷 第 ４ 期 ２１ Ｏ ２年 ８月
华 中师 范 大 学 学 报 （自然 科 学 版 ）
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＨＵＡＺＨ０ＮＧ Ｎ０ＲＭ ＡＬ ＵＮＩ ＶＥＲＳ ＴＹ（ ｔ ｃ． Ｉ Ｎａ ．Ｓ ｉ ）
RN上一类拟线性椭圆型方程弱解的多重性
RN上一类拟线性椭圆型方程弱解的多重性贾高; 陈洁; 郭露倩【期刊名称】《《高校应用数学学报A辑》》【年(卷),期】2014(029)004【总页数】9页(P453-461)【关键词】拟线性椭圆型方程; 不光滑临界点理论; 变分法【作者】贾高; 陈洁; 郭露倩【作者单位】上海理工大学理学院上海200093【正文语种】中文【中图分类】O175.252000年,Gazzola和Radulescu[1]在RN上研究了方程的解的存在性.2010年,Aouaoui[2]在RN上讨论了拟线性椭圆型方程的多解性问题,其中As(x,u)=事实上还有许多学者对半线性或拟线性方程的多解性进行研究,如文献[3-6].本文在RN中,对A(x,s)及f(x,s)在适当的假设之下,研究下列方程弱解的多重性.所谓是(1.1)的弱解,是指下列关系成立根据变分原理,研究(1.1)弱解的存在性等价于寻求如下泛函的临界点其中首先指出,由于被积函数A(x,u)依赖于未知函数u,这使得泛函J在空间中可能不Gateaux可微,而只在(在下文中,将空间简记为HL)中可微.因此运用古典的临界点理论不能解决(1.1)弱解的存在性问题,将利用不光滑临界点理论和山路定理,研究(1.1)弱解的多重性.另外,在本文中主要是依靠条件(f-3)来证明紧性,而在文献[6]中,在得到紧性过程中,条件定义2.1称u为泛函J的临界点,如果即为了得到(PS)c序列(见定义2.4)的紧性,进而证明方程(1.1)具有多重解,假设N≥3,2∗=函数A(x,s)和f(x,s)分别满足:(A-1)A(·,·):RN×R→R,使得(i)对于每个s∈R,A(x,s)关于x是可测的,(ii)对几乎所有的x∈RN,A(x,s)关于s是属于C1;(A-2)存在0＜α＜β＜+∞,使得(A-3)存在使得(f-1)设Carathodary函数f(·,·):RN×R→R,满足:f(x,0)=0,a.e.x∈RN,其中θ与(A-3)中一致;定义2.2[7]设X是完备的度量空间,泛函I:X→R为连续泛函,|dI|(u)表示实数σ的上确界,并称|dI|(u)为I在u处的弱斜率.其中σ＞0满足:存在δ＞0和连续映射H(u,t): B(u,δ)×[0,δ]→X,使得对任意v∈B(u,δ)和任意t∈[0,δ],当d(H(v,t),t)≤t时,有定义2.3[7]设c∈R,称泛函I在水平c满足具体的Palais-Smale条件(简称(CPS)c 条件),如果对任意序列(RN),满足:〈I′(un),v〉≤εn‖v‖,∀v∈HL,其中εn≥0,且则中有强收敛子列.定义2.4[7]设X为完备的距离空间,I:X→R为连续泛函且c∈R.称I在水平c满足Palais-Smale条件(简写(PS)c),如果X中的每一序列{un}满足则{un}存在强收敛子列.本文的主要结果是:定理3.1假设A(x,s)和f(x,s)满足条件(A-1)−(A-3),(f−1)−(f−3).进一步假设A(x,−s)=A(x,s),f(x,−s)=−f(x,s),a.e.x∈RN,∀s∈R.那么存在序列{un}⊂HL是问题(1.1)的弱解,且有J(un)→+∞.为了证明定理3.1,先建立或给出下列命题和引理.命题3.2在满足假设(A-1)−(A-3),(f−1)−(f−3)之下,则泛函J(由(1.2)给出,以下均如此)是连续的,且对每一个有其中|dJ|(u)表示J在u的弱斜率.证容易验证J是连续的,且对每一个u∈和v∈HL,有进一步,函数u｜→〈J′(u),v〉也是连续的.如果sup{〈J′(u),v〉,v∈HL,‖v‖≤1}=0,命题显然成立.否则,考虑σ＞0使得则存在v∈HL,‖v‖≤1,使得利用连续性,存在ζ＞0,使得对每一个ω∈B(u,ζ),成立显然‖H(ω,t)−ω‖=‖tv‖≤t.另一方面,由(3.1)容易得到J(H(ω,t))≤J(ω)−σt,即由弱斜率的定义,对于给定且满足上述条件的σ＞0,则有|dJ|(u)≥σ.再利用σ的任意性,便得到命题3.3设c∈R,如果J满足(CPS)c条件,则J满足(PS)c条件.证设中序列{un}满足注意到,对v∈HL,有|〈J′(un),v〉|≤sup{〈J′(un),v〉,‖v‖≤1}‖v‖.由命题3.2,有|dJ|(un)≥sup{〈J′(un),v〉,‖v‖≤1}.取εn=sup{〈J′(un),v〉,‖v‖≤1},故结论成立. 为了得到本文的结论,还需要下面的几个引理.引理3.4如果是泛函J的临界点,则u∈L∞(RN).证对于k＞1,M＞0,考虑定义在R上的实函数Tk,UM,WM,其中定义s+=max(s,0),s-=max(−s,0).在(2.1)中取测试函数v=UM(u+)∈HL,便有因为因此当M→+∞时,有UM(u+)→Tk(u+)几乎处处成立,和在中有UM(u+)⇀Tk(u+).从而当M→+∞时,有定义如果那么结论成立.在接下来的讨论中,假设由假设(A-2)可得利用[8]的定理5.2知u+∈L∞(RN).将WM(−u-)代替UM(u+),同样方法可以证明u-∈L∞(RN).从而u∈L∞(RN).引理3.5设{un}是中的有界序列且其中{εn}是收敛于0的实数序列,则存在,使得在RN上∇un→∇u几乎处处成立,并且存在子序列(不妨仍记为{un}),有un⇀u在H01(RN)中.进一步成立即u是J的临界点.证因为中有界,则存在使得n→∞时,存在{un}的子序列(仍记为{un})成立中,un→u,a.e.在RN中.进一步,因为{un}满足(3.6),由文献[9]的定理2.1有(可能是子序列)∇un→∇u,a.e.在RN中.下面将用文献[10]中的方法进行分析和讨论.考虑测试函数由(3.13)及上式,可得结合(3.9)及上式,利用Fatou引理,可以得到引理3.8设序列{un}由引理3.5给出,则存在{un}的子列(仍记为{un}),在中强收敛于点u.证由引理3.5知,u是泛函J的临界点,由引理3.4得到u∈L∞(RN).因此,在(3.7)式中取v=u,有根据引理3.5的证明知∇un→∇u,a.e.x∈RN.因此,利用Fatou引理,可以得到运用类似于证明(3.10)的方法可以得到,对于r＞1,成立因为q+1∈[2,2∗),故对给定ε＞0,当r足够大时,对所有n成立进一步,由(f-3)存在R1＞0,使得另外,因为un→u在Lq(B(0,R1))中.再次利用(f-2),对足够大的n,有结合(3.22)-(3.23)及上式,对足够大的n成立由弱收敛的定义,对足够大的n,有综合上述讨论有由(3.21),(3.25),对(3.17)式取上极限,得到另一方面,由Lebesgue控制收敛定理和un⇀u在中,可得由于A(x,un)∇un在L2(RN)上有界,则有A(x,un)∇un⇀A(x,u)∇u在L2(RN),因此由弱收敛的定义,有结合(3.25)-(3.30),得到所以,在中序列{un}强收敛于u.引理3.9对每一个实数c,泛函J满足(CPS)c条件.证设中序列{un}满足(3.6)和(3.18).由引理3.7得,序列{un}在上有界.因此,由引理3.8可以推出结论.证明定理3.1还基于下列基本引理[11].引理3.10设X是无限维Banach空间,I:X→R为连续偶泛函,并且对任意c∈R,I满足(PS)c条件.更进一步假设:(i)存在ρ＞0,α＞I(0)和一个余维数有限的子空间V⊂X,满足:(ii)对于任意有限维子空间W⊂X,存在R＞0,使得则I存在临界点序列{uh}满足定理3.1的证明容易验证泛函J是连续且为偶泛函.进一步,由命题3.3和引理3.9,对于∀c∈R,泛函J满足(PS)c.另一方面,由(1.2),(A-2),(f-1)和(f-2),对,有因此,存在ρ＞0,δ＞0,使得当‖u‖=ρ时,J(u)≥δ.这说明泛函J在V=H10(RN)上满足引理3.10的条件(i).现在考虑的有限维子空间W.设u∈WZ,J(u)≥0.由(A-2),有由(f-1)和(f-2),存在z(x)∈L∞(RN)满足z(x)＞0,a.e.x∈RN和一个正常数C2,使得结合(3.32)-(3.33),有由于W是有限维空间,而W上所有范数等价.注意到也是W中范数,由(3.34)知存在C3＞0,使得‖u‖θ≤C3‖u‖2.因为θ＞2,故集合上有界,说明引理3.10的条件(ii)成立.这样便得到定理3.1的结论.【相关文献】[1]Gazzola F,Radulescu V.A nonsmooth critical point theory approach to some nonlinear elliptic equations in RN[J].Di ff erential and Integral Equations,2000,13(1-3):47-60.[2]Aouaoui S.Multiplicity of solutions for quasilinear elliptic equations in RN[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2010,370(2):639-648.[3]Chen Yu,Li Yongqing.In fi nitely many solutions for a semilinear elliptic equations with sign-changing potential[J].Boundary Value Problems,2009,2009:1-7.[4]Squassina M.Weak solutions to general Euler’s via nonsmooth critical point theory[J]. 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