奥数知识点-简单数阵图
数阵图-奥数优秀课件
【经典例题】
例题1 把2~6这五个数分别填入下图的“○”中，使得横行三数之和与竖列三 数之和都等于13。
【经典例题】
例题1 把2~6这五个数分别填入下图的“○”中，使得横行三数之和与竖列三数之和都 等于13。
解析： 横行三数之和与竖列三数的和是 : 13×2=26 各个数的和是：
解析： 横行三数之和与竖列三数的和是 : 13×2=26 各个数的和是：
2+3+4+5+6=20 中间的数是 : 26-20=6 2+5=4+3=7
【经典例题】
例题1 把2~6这五个数分别填入下图的“○”中，使得横行三数之和与竖列三数之和都 等于13。
解析： 横行三数之和与竖列三数的和是 : 13×2=26 各个数的和是：
7个数字总和：（1+7）×7÷2=28
中间数字为：30-28=2
2÷2=1
边上的数字和：10-1=9，
2+7=4+5=3+6
（答案不唯一）
【课堂练习】
练习3： 把3~9这七个数字分别填入下图的各“○”中，使每条线上三个“○”内数的和等
于16.
【课堂练习】
练习3： 把3~9这七个数字分别填入下图的各“○”中，使每条线上三个“○”内数的和等
【思路导航】 设中间两个圆中的数为a、b，则两个大圆的总和是1＋2＋3 ＋……＋10＋a＋b=30×2，即55＋a＋b=60，a＋b=5。在 1——10这十个数中1＋4=5，2＋3=5。 当a和b是1和4时，每个大圆上另外四个数分别是（2，6，8， 9）和（3，5，7，10）；当a和b是2和3时，每个大圆上另 外四个数分别为（1，5，9，10）和（4，6，7，8）。
三年级奥数数阵图与幻方
数阵图与幻方知识框架一、数阵图定义及分类：定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．三、幻方起源：幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．四、幻方定义：幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216。
简单数阵图(修订)
1
4 2 6 3 5
随堂练习1
• 把1—7这七个数分别填入图中的各○内，使每条线段上三 个○内数的和相等。
7 2 1 4 5 3 6
（二）封闭型数阵图（像围墙）
例1：将1—6分别填在图中，使每条边上 三个圆圈内的数的和等于9。 三条线上3
9×3=27 1+2+3+4+5+6=21 3 27-21=6 1+2+3=6
有趣的数阵图
• 数阵图：将一些数按照一定的要求排列成 各种各样的图形。 • 数阵图是一种趣味性很强的填数游戏， 它的形式多样，绚丽奇妙。这里介绍三种 形式的数阵图，即封闭型数阵图、辐射型 数阵图和复合型数阵图。
例1
把1—5 这五个数分别填在左下图中的 方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和 都等于9。
4 3 5 2
12×3=36 1+2+3+4+5+6=21 36-21=15
6
1
所给数中和为15的三个数： 4，5，6
例2：将1—6分别填在与例1相同的图中， 使每条边上三个圆圈内的数的和等于10.
1
6 4
10×3=30 1+2+3+4+5+6=21 30-21=9 1+3+5=9 或 2+3+4=9
所给数 1~6的和
重叠数之和
1~6中和为6的三个数：1，2，3
封闭型数阵图（像围墙）
• 多边形的每条边放同样多的数，使它们的 和都等于一个不变的数。 • 突破关键：确定顶点上的数字，公共的和 • 边数x公和=数和+重叠数和
练习：
1.将1、2、3、4、5、6填在下图中，使 每条边上的三个数的和等于12.
小学奥数第23讲 数阵图(含解题思路)
23、数阵图【方阵】例1 将自然数1至9，分别填在图5.17的方格中，使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等。
（长沙地区小学数学竞赛试题）讲析：中间一格所填的数，在计算时共算了4次，所以可先填中间一格的数。
（l+2+3+……+9）÷3=15，则符合要求的每三数之和为15。
显然，中间一数填“5”。
再将其它数字顺次填入，然后作对角线交换，再通过旋转（如图5.18），便得解答如下。
例2 从1至13这十三个数中挑出十二个数，填到图5.19的小方格中，使每一横行四个数之和相等，使每一竖列三个数之和又相等。
（“新苗杯”小学数学竞赛试题）讲析：据题意，所选的十二个数之和必须既能被 3整除，又能被 4整除，（三行四列）。
所以，能被12整除。
十三个数之和为91，91除以12，商7余7，因此，应去掉7。
每列为（91—7）÷4=21而1至13中，除7之外，共有六个奇数，它们的分布如图5.20所示。
三个奇数和为21的有两种：21=1＋9+11=3＋5+13。
经检验，三个奇数为3、5、13的不合要求，故不难得出答案，如图5.21所示。
例3 十个连续自然数中，9是第三大的数，把这十个数填到图5.22的十个方格中，每格填一个，要求图中三个2×2的正方形中四数之和相等。
那么，这个和数的最小值是______。
（1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：不难得出十个数为:2、3、4、5、6、7、8、9、10、11。
它们的和是65。
在三个2×2的正方形中，中间两个小正方形分别重复了两次。
设中间两个小正方形分别填上a和b，则（65＋a＋b）之和必须是 3的倍数。
所以，（a＋b）之和至少是7。
故，和数的最小值是24。
【其他数阵】例1 如图5.23，横、竖各12个方格，每个方格都有一个数。
已知横行上任意三个相邻数之和为20，竖列上任意三个相邻数之和为21。
图中已填入3、5、8和“×”四个数，那么“×”代表的数是______。
二年级奥数数阵图12
专题五简单数阵图一、辐射型数阵图从一个中心出发，向外作若干条射线，在每条射线上安放同样多个数，使其和是一个不变的数。
突破关键：确定中心数，多算的次数，公共的和数和+中心数×重复次数＝公共的和×线数数和：指所有要填的数字加起来的和中心数：指中间那数字，即重复计算那数字重复次数：中心数多算的次数，一般比线数少1公共的和：指每条直线上几个数的和线数：指算公共和的线条数例1、把1—5 这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。
例2、把1—7这七个数分别填入图中的各○内，使每条线段上三个○内数的和等于10。
例3、在下图圆圈内分别填入数字1~9，使两条直线上五个数的和相等，和是多少？二、封闭型数阵图多边形的每条边放同样多的数，使它们的和都等于一个不变的数。
突破关键：确定顶点上的数字，公共的和数和+重叠数的和＝公共的和×边数数和、公共的和跟辐射型数阵图一样的意思重叠数的和：指数阵图顶角重复算的数全加起来的和边数：指封闭图形的边数例4、把1～6这六个数分别填在下图中三角形三条边的六个○内，使每条边上三个○内数的和等于9。
例5、将2—9这八个数分别填入右图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18。
例6、将1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字分别填入图中的小圆圈中，使三角形每边上四个数的和是17。
练习五1、把2—6 这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于13。
2、在图中填入2—9，使每边3个数的和等于15。
3、将数字1—9分别填在图中的○内使每条线上五个○内数的和等于27。
4、把1、4、7、10、13、16、19七个数填入图中7朵花里，使每条线上三个数的和等于30。
数阵图例3：在下列数阵图中填空，使三边上3个○内数的和为12例4：在下列数阵图中填空，使每条线上三个○内的数和等于13例5：把10、20、30、40、50这五个数填○内，使每条线段上的三个相邻数的和相等例6：把1、2、3、4、5、6、7这七个数填在数阵图中，使每条线上的3个数的和相等例4、把1～6这六个数分别填在下图中三角形三条边的六个○内，使每条边上三个○内数的和等于9。
小学奥数16数阵图
1.10.5数阵图1.10.5.1基础知识数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。
幻方一般均为正方形。
图中纵、横、对角线数字和相等。
数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。
变幻多姿，奇趣迷人。
一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。
数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。
它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。
解数阵问题的一般思路是：1.求出条件中若干已知数字的和。
2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。
3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。
有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。
1.10.5.2辐射型数阵例1 将1～5五个数字，分别填入下图的五个○中，使横、竖线上的三个数字和都是10。
解：已给出的五个数字和是：1＋2＋3＋4＋5＝15题中要求横、竖每条线上数字和都是10，两条线合起来便是20了。
20－15＝5，怎样才能增加5呢？因为中心的一个数是个重复使用数。
只有5连加两次才能使五个数字的和增加5，关键找到了，中心数必须填5。
确定中心数后，按余下的1、2、3、4，分别填在横、竖线的两端，使每条线上数的和是10便可。
例2将1～7七个数字，分别填入图中的各个○内，使每条线上的三个数和相等。
解：图中共有3条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。
设中心数为a，则a被重复使用了2次。
即，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋2a＝28＋2a，28＋2a应能被3整除。
（28＋2a）÷3＝28÷3＋2a÷3其中28÷3＝9…余1，所以2a÷3应余2。
由此，便可推得a只能是1、4、7三数。
当a＝1时，28＋2a＝30 30÷3＝10，其他两数的和是10－1＝9，只要把余下的2、3、4、5、6、7，按和为9分成三组填入两端即可。
小学奥数：数阵图(三).专项练习及答案解析
耳tM 蚱 教学目标1 . 了解数阵图的种类2 .学会一些解决数阵图的解题方法3 .能够解决和数论相关的数阵图问题知识点拨 、数阵图定义及分类:1 .定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图 .2 .数阵是一种由幻方演变而来的数字图 .数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图 ^ 3 .二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点 （或方格）和关键点（或方格）；第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算这些关键点与相关点的 数量关系，得到关键点上所填数的范围； 第三步：运用已经得到的信息进行尝试. 这个步骤并不是对所有数阵题都适用， 很多数阵题 更需要对数学方法的综合运用.例题精讲数阵图与数论【例1】 把0—9这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差数列的各项之和为 55,那么这个等差数列的公差有 能的取值.【考点】数阵图与数论 【难度】3星 【题型】填空【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第 8题【解析】设顶点分别为 A 、B G D E,有45+A +削C +D +E =55,所以A +B +C +D +E =10,所以A 、 R CH E 分别只能是0-4中的一个数字.则除之外的另外5个数（即边上的）为 45-10=35.设所形成的等差数列的首项为 a 1,公差为d .利用求和公式5（a 1 + a 1+4d ） 2=55, 得a 1+2d =11,故大于等于0+1+5=6,且为奇数，只能取 7、9或11,而对 应的公差d 分别为2、1和0.经试验都能填出来所以共有 3中情况，公差分别为2、 1、0.5-1-3-3.数阵图目地蚱_____ 种可【答案】2种可能【例2】将1~ 9填入下图的。
中，使得任意两个相邻的数之和都不是3, 5, 7的倍数.【考点】数阵图与数论【解析】根据题意可知1的两边只能是3与7; 2的两边只能是6与9; 3的两边只能是1、5 或8; 4的两边只能是7与9.可以先将3—1—7--写出来，接下来7的后面只能是4, 4的后面只能是9, 9的后面只能是2, 2的后面只能是6,可得：3—1 — 7—4 -9-2-6--,还剩下5和8两个数.由于6 8 14是7的倍数，所以接下来应该是5,这样可得：3—1—7—4 — 9—2—6 —5 —8—3.检验可知这样的填法符合题意.【答案】3 —1 — 7—4—9—2 — 6 — 5—8—3【例3】在下面8个圆圈中分别填数字1,2,3, 4, 5, 6, 7, 8（1已填出）.从1开始顺时针走1步进入下一个圆圈，这个圆圈中若填n（n<8）o则从这个圆圈开始顺时针走n步进入另一个圆圈.依此下去，走7次恰好不重复地进入每个圆圈，最后进入的一个圆圈中写8 .请给出两种填法.O OO Q 0【考点】数阵图与数论【难度】4星【题型】填空【关键词】走美杯，5年级，决赛，第12题，15分【解析】按顺时针方向：1,2, 5,3, 8, 7,4, 6 或1,5,2 , 4, 8, 6, 7,3 或1,6,2,3 , 8, 5, 7, 4或1,6, 4, 2, 8, 7, 5, 3 （答对任一种给6分，总得分不超过12）由于无论如何填8都是最后一个填写，而填之前，已经走过了28步，因为28 + 8=3余4,即8永远只能在最底下的圆圈里。
二年级奥数数阵图
数阵图1.使用数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9做加法.在每一道题中，同一个数字不能重复出现。
(1)填数，使横行、竖行的三个数 (2)填数，使每条线上的三个数相加都得11. 之和都得15.2.在每个方格中填入适当的数，使每一横行、竖行的和以及两斜行的三个数之和都是18.在空格中填入适当的数，使横行和竖行或每条对角线上的三个数相加都等于15。
3.把3，4，5，6，7这五个数分别填入下面的空格里，使横行、竖行的三个数之和都等于14。
拓展练习（1）把2，3，4，5，6这五个数分别填入圆圈中，使每条线上三个数相加的和都等于12。
（2）把1，2，3，4，5，6分别填入○里，使每一个大椭圆上的四个数之和等于13.例4. 把1，3，5，7，9，11，13这七个数分别填入○里，使每条直线上的三个数相加的和都为17。
简单数阵图例1、把1—5 这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。
例2、把1—7这七个数分别填入图中的各○内，使每条线段上三个○内数的和等于10。
例3、在下图圆圈内分别填入数字1~9，使两条直线上五个数的和相等，和是多少？例4、把1～6这六个数分别填在下图中三角形三条边的六个○内，使每条边上三个○内数的和等于9。
例5、将2—9这八个数分别填入右图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18。
例6、将1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字分别填入图中的小圆圈中，使三角形每边上四个数的和是17。
1、把2—6 这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于13。
2、在图中填入2—9，使每边3个数的和等于15。
3、将数字1—9分别填在图中的○内使每条线上五个○内数的和等于27。
4、把1、4、7、10、13、16、19七个数填入图中7朵花里，使每条线上三个数的和等于30。
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学习必备 精品知识点
简 单 数 阵 图
一、辐射型数阵图
从一个中心出发，向外作若干条射线，在每条射线上安放同样多个数，使其和是一个不变的
数。突破关键：确定中心数，多算的次数，公共的和。先求重叠数。
数总和 + 中心数×重复次数＝公共的和×线数
重叠部分 = 线总和 - 数总和 / 线总和 = 公共的和×线数
数 和：指所有要填的数字加起来的和
中 心 数：指中间那数字，即重复计算那数字（重叠数）
重复次数：中心数多算的次数，一般比线数少1
公共的和：指每条直线上几个数的和
线 数：指算公共和的线条数
例1、把1-5 这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数与竖列三数之和都等于9。 例2、
把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已
填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。
分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以： 总和数=(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9， 重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。 分析与解：与例1不同之处是已知“重叠数”
为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等
于什么数。所以，必须先求出这个“和”。根
据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，
只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一
遍，所以两条直线上的三个数之和都等于
[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。
学习必备 精品知识点
例3、把1~5这五个数填入右图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等 例4、
将1~7这七个自然数填入左下图的七个○内，
使得每条边上的三个数之和都等于10。
分析与解：例1是知道每条直线上的三数之和，不知道重叠数；例2是知道重叠数，不知道两条直线上的三个数之和；本例是这两样什么都不知道。但由例1、例2的分析知道， (1+2+3+4+5)+重叠数=每条直线三数之和×2， 每条直线上三数之和=(15+重叠数)÷2。 因为每条直线上的三数之和是整数，所以重叠数只可能是1，3或5。 若“重叠数”=1，则两条直线上三数之和为8。 若“重叠数”=3，则两条直线上三数之和为9。 若“重叠数”=5，则两条直线上三数之和为10。 分析与解：与例1类似，知道每条边上的三数
之和，但不知道重叠数。因为有3条边，所以
中间的重叠数重叠了两次。于是得到
(1+2+…+7)+重叠数×2=10×3。
重叠数=[10×3-(1+2+…+7)]÷2=1。
剩下的六个数中，两两之和等于9的有2，7；
3，6；4，5。可得右上图的填法。
例5、将 10~20填入左下图的○内，其中15已填好，使得每条边上三个数字之和都相等。 总结：辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠次
数是“直线条数”-1，即m-1。对于辐射型数
阵图，有已知各数之和+重叠数×重叠次数
=直线上各数之和×直线条数。
(1)若已知每条直线上各数之和，则重叠数等
于(直线上各数之和×直线条数-已知各数之
和)÷重叠次数。（如例1、例4）
(2)若已知重叠数，则直线上各数之和等于(已
知各数之和+重叠数×重叠次数)÷直线条数。
如例2、例5。
(3)若重叠数与每条直线上的各数之和都不知
道，则要从重叠数的可能取值分析，如例3。
分析与解：与例2类似，中间○内的15是重
叠数，并且重叠了四次，所以每条边上的三个
数字之和等于[(10+11+…+20)+15×4]÷5=45。
剩下的十个数中，两两之和等于(45-15=)30的
有10，20；11，19；12，18；13，17；14，16。
于是得到右上图的填法。
学习必备 精品知识点
二、封闭型数阵图
多边形的每条边放同样多的数，使它们的和都等于一个不变的数。
突破关键：确定顶点上的数字，公共的和。
数和+重叠数的和＝公共的和×边数
数 和：指所有要填的数字加起来的和
公共的和：指每条直线上几个数的和
重叠数和：指数阵图顶角重复算的数全加起来的和
边 数：指封闭图形的边数
例1、把1~6这六个数分别填在下图中三角形的六个○内，使每条边上三个数的和等于9。 例5、将2~9这八个数分别填入右图的○里，
使每条边上的三个数之和都等于18。
分析：线总和：9×3=27 数总和：1+2+3+4+5+6=21 重叠数=线和-数和=28-21=7=1+2+4 分析：线总和：18×4=72
数总和：2+3+4+5+6+7+8+9=44
重叠数=线和-数和=72-44=28=9+8+7+4
例6、将1、2、3、4、5、6这6个数分别填入
下图中，使两个大圆上4个数的和都等于14
把3、6、9、12、15五个数填在下面○里，使
每条线上三个数的和与正方形四个角上四个
数的和相等。
线总和：14×2=28 数总和：1+2+3+4+5+6=21 重叠数=线和-数和：28-21=7 两个数的和是7的有7=1+6=2+5=3+4 数总和：3+6+9+12+15=45
外围正方形的和=45-重叠数
内部辐射图形每条线公共和=(45+重叠数)÷2
按题意：45-重叠数=(45+重叠数)÷2
重叠数=15
学习必备 精品知识点