最新冀教版八年级上册数学精品教案设计第十四章 实数
第十四章实数1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念,会用根号表示平方根、算术平方根、立方根.2.会用平方运算求某些非负数的平方根,会用立方运算求某些数的立方根,会用计算器求数的平方根与立方根.3.了解无理数和实数的概念,了解实数与数轴上的点的一一对应关系.4.了解在实数范围,相反数、倒数和绝对值的意义.5.会进行实数大小的比较和实数的近似计算.6.能用有理数估计一个无理数的大致范围.1.类比有理数的有关概念和运算律来学习实数,体现了知识的前后联系以及数系发展的规律.2.让学生感受现实生活中存在无理数,从而认识到学习无理数的必要性.1.通过探究活动,培养学生探求知识的欲望,让学生体验成功的乐趣.2.鼓励学生积极大胆地发表自己的意见,增加学生的自我意识和集体责任感.本章的主要内容是平方根、立方根的概念及其求法,实数的概念及其性质,近似数的概念及其应用.本章通过数的开方引入无理数的概念,进而将数的范围从有理数扩充到实数,并说明实数和数轴上的点一一对应.教材从实际问题出发,用图形拼接的问题引入实数,让学生认识到数系的发展和扩充是现实生活的需要,同时也是数学发展的必然规律.学习本章之后,数的范围扩充到了实数,今后若无特别说明,所研究的数与代数的内容(一元一次不等式、二次根式、函数等)一般都在实数范围内进行.因此,本章内容是学习后继内容的前提和基础,对于发展学生的数感、用数学思想理解和解释现实问题、提高学生的数学素养有着重要的意义.另外,本章是中考的重要内容,常考的考点有求一个非负数的算术平方根、平方根的概念和性质、立方根的意义及运算、比较两个实数的大小、无理数的识别等.题型以填空题、选择题为主,也有与其他知识相综合的解答题,一般难度不大.【重点】1.平方根、算术平方根的意义,立方根的意义.2.无理数的意义以及实数的概念.【难点】1.平方根、算术平方根的概念,二者之间的区别和联系.2.实数的概念.1.概念的形成过程也是一个思考的过程,所以要关注学生对概念的理解和认识,引导学生积极参与探究活动,经历归纳概括、发现新知的过程,逐步提高学生的思维水平.2.关注学生的探究和发现过程,在学生独立思考的基础上,鼓励学生在小组间通过合作与交流的方式解决问题.3.注意知识间的相互联系和区别,实数的概念、运算法则、运算律等,都可以通过类比有理数来获得,这样能较好地体现新旧知识的联系.如实数的绝对值、相反数和倒数等概念都是类比有理数直接得出的.同时,也要注意到它们之间的区别,如无理数是无限不循环小数,而有理数是有限小数或无限循环小数,有理数和数轴上的点不是一一对应的,而实数和数轴上的点是一一对应的等.4.教师在学生活动的过程中,要鼓励学生积极大胆地发表自己的意见,特别是学生与众不同的意见,要有意识地培养学生求异思维的能力和不断创新的欲望.5.在解决实际问题的过程中,如果遇到复杂的计算问题,应允许学生用计算器进行计算.6.在进行实数的大小比较以及用有理数估计无理数的范围等问题中,要控制好问题的难度,不要超出教材的要求.14.1平方根2课时14.2立方根1课时14.3实数3课时14.4近似数1课时14.5用计算器求平方根与立方根1课时回顾与反思1课时14.1平方根1.了解一个数的平方根、算术平方根及开平方的意义.2.会用根号表示一个数的平方根、算术平方根.1.通过探究,了解开平方与平方是互逆运算.2.会利用这个互逆运算关系求某些非负数的平方根和算术平方根.通过学习,体验数学知识来源于实践,是由于生活或生产的需要而产生、发展的.【重点】平方根、算术平方根的概念及求法.【难点】有关平方根、算术平方根的运算以及它们的区别与联系.第课时1.能说出平方根的概念,会用根号表示一个数的平方根.2.知道开平方与平方是互逆运算,会利用这个互逆运算关系求某些非负数的平方根.3.知道±表示的是非负数a的平方根.在学习开平方运算求一个数的平方根的过程中,体会开平方运算与平方运算之间的互逆关系.1.通过探究学习,使学生进一步感受到所学数学知识之间的内在联系.2.培养学生发现问题、归纳结论、应用新知的意识,培养学生学数学、爱数学的良好情感.【重点】平方根、算术平方根的概念及求法.【难点】有关平方根、算术平方根的运算以及它们的区别与联系.【教师准备】课件1~7.【学生准备】平方的相关计算.导入一:我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方的运算,但在现实生活中,有些问题仅运用这五种运算是无法解决的.例如:小明家有一块面积为100 m2的正方形花圃.花圃周围要用护栏围起来,需要护栏多少米?解决这个问题就要运用一种新的运算,这种运算叫做开平方.这节课我们就要学习开平方运算和平方根.[设计意图]新课程数学课堂强调,从学生已有的经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并解释与应用的过程,进而使学生获得对数学理解的同时,在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展.导入二:小明家的新房刚刚装修好,星期天小明的爸爸带着小明去挑选餐桌.他们看中了一款非常漂亮的餐桌,可是不知道边长是多少,正当小明的爸爸犯愁的时候,小明看了看桌子上的标签,得意地说:“我知道了”.几秒之后提问:同学们,你们知道吗?[设计意图]设疑之后,引导学生发现这个问题的本质,即求平方等于100的数是多少.随后,再说几个数让学生们找哪些数的平方等于它们.有了以上的铺垫,解决这一问题对于学生来说就轻而易举了,即可轻松地引入课题.导入三:玲玲家最近喜事不断,家里新购了一套房子,全家欢欢喜喜地搬进新居,爸爸妈妈又增加了工资.条件改善了,为了给玲玲一个好的学习环境,爸爸打算给玲玲买一张桌子供她在家做作业.爸爸问玲玲:“你喜欢长方形桌子还是正方形桌子?”玲玲认为正方形桌子更大,可以多放点书,又可以有足够的位置写字,所以她更喜欢正方形桌子.于是爸爸根据她的要求为她购置了一张正方形桌子,玲玲量了量课桌的边长为100 cm,你能算出这张桌子的周长和面积吗?如果玲玲更直接地告诉爸爸:“我想要一张面积约为125 dm2的正方形桌子”.爸爸能为她购置到满意的桌子吗?计算正方形的面积必须要知道正方形的边长,根据边长求面积是乘方运算,而根据面积求边长又是什么运算呢?这节课我们就来探讨这个问题.[设计意图]好的故事情境,充满了生活气息,让学生感知数学与生活的密切联系,从中体会学习数学的重要性,使学生更能积极地投入到本节的学习之中.活动一:做一做——感知平方根[过渡语]通过导入一我们知道当护栏的边长是10 m时,正方形花圃的面积是100 m2,也就是102=100.下面我们再来看几个问题.思路一【课件1】1.和-的平方等于多少?10和-10的平方等于多少?2.平方等于的数有哪些?平方等于100的数呢?3.满足x2=25的x的值是多少?解:1.,100. 2.,-,10,-10. 3.5,-5.教师说明:因为52=25,所以x=5;又因为(-5)2=25,所以5或-5的平方都等于25.因为5和-5的平方都等于25,我们把5和-5叫做25的平方根.归纳:一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根,也叫做a的二次方根.例如:100的平方根是10与-10.因为(±10)2=100,所以10与-10都是100的平方根.你能说出49,144的平方根吗?(49的平方根是7和-7;144的平方根是12和-12.)[设计意图]使学生初步体会到:(1)互为相反数的两个数的平方相等;(2)初步感受平方与开平方这种互逆关系.【课件2】填写下表:x…-3 --1 0 1 3 …x2……学生填完表格后,引导学生观察:(1)当一个正数和一个负数互为相反数时,它们的平方有什么关系?(2)正数有平方根吗?如果有,有几个?它们有什么关系?(3)0有平方根吗?如果有,它是什么数?(4)负数有平方根吗?学生独自思考,通过具体实例弄懂上述问题,然后总结出:(1)它们的平方相等.(2)一个正数有两个平方根,它们互为相反数.(3)0有一个平方根,是0本身.(4)负数没有平方根.说明:通过具体数的平方根的探究,引导学生总结出正数、0、负数的平方根的情况.教师指出:一个正数a的正的平方根,用符号“”表示,a叫做被开方数.正数a的负的平方根,用符号“-”表示,这两个平方根合起来可以记作“±”.根指数是2时,通常这个2省略不写,如记作,读作“根号a”;±记作±,读作“正、负根号a”.【课件3】观察框图,说一说求一个数的平方运算和求一个数的平方根运算具有怎样的关系.教师指导学生根据框图,明确求一个数的平方运算和求一个数的平方根运算互为逆运算,并举例加以说明,我们把求一个数的平方根的运算,叫做开平方.[设计意图]理解和掌握平方根的性质,认识平方与开平方互为逆运算.思路二说明:导入一中的问题,实际就是要求一个数,这个数的平方等于100,结合以前乘方的知识,我们不难得出102=100.所以护栏的边长是10 m.教师说明:一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根,也叫做a的二次方根.因为52=25,所以5是25的一个平方根.说明:除52=25外,可以由学生多举几个例子,以加深对概念的认识,从具体到抽象,便于学生理解和接受平方根的概念.问1:25的平方根只有一个吗?有没有其他的数,它的平方也是25?学生思考,快速得到:因为(-5)2=25,所以-5也是25的一个平方根.问2:从上述解决问题的过程中,你能总结一下求一个数的平方根的方法吗?(根据平方根的意义,可以利用平方来寻找或检验一个数的平方根)【课件4】求100的平方根.问1:你能按照上述问题解决的方法求出100的平方根吗?问2:你能正确书写解题过程吗?解:∵(10)2=100,(-10)2=100,∴100的平方根为10或-10(也可以写成±10).说明:理解概念的基础上,引导学生思考,由学生口述,教师适时纠正易出现的错误,板书规范解题格式.【课件5】试一试.(1)144的平方根是什么?(2)0.0001的平方根是什么?(3)0的平方根是什么?讨论:通过刚才的“试一试”你能发现什么规律?总结:1.正数的平方根有两个,它们互为相反数.2.0的平方根是0.由以上讨论发现,有时候我们已知一个数要求这个数的二次幂时,只有一个,也有些时候,我们已知某数的二次幂,要求出这个数,发现此时通常可找到两个数,且这两个数互为相反数.[设计意图]进一步巩固有关平方根的概念,在练习中总结平方根的有关性质,培养学生的总结归纳能力.教师引导,学生自己总结出平方根的性质,充分反映了“教师主导,学生主体”的理念.问1:-4有没有平方根?为什么?学生思考得出:一个负数没有平方根,因为任何数的平方都是非负数.结论:1.正数的平方根有两个,它们互为相反数.2.0的平方根只有一个,为0.3.负数没有平方根.(补充:非负数才有平方根.)问2:a有没有平方根?为什么?结合问1:当a≥0时,a有平方根;当a<0时,a没有平方根.[设计意图]引导学生学会用简练的数学语言来表达,促进学生数学思维的发展及数学语言的运用.注:学生刚开始接触平方根时,有两点可能不太习惯:一是正数有两个平方根,即正数进行开平方运算时有两个结果,这与学生过去遇到的运算结果唯一的情况有所不同;另一个是负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算.教学时,可以通过较多实例说明这两点,并在本节以后的教学中继续强化这两点.说明:正数a的两个平方根记为±,其中a叫做被开方数.如4的平方根为±,被开方数是4;0.01的平方根为±.,被开方数是0.01.活动二:例题讲解[过渡语]我们把求一个数平方根的运算,叫做开平方.我们可以借助平方运算来求一个正数的平方根.【课件6】求下列各数的平方根.(1)81;(2);(3)0.04.指导学生利用平方与开平方的互逆关系求各数的平方根.解:(1)因为(±9)2=81,所以81的平方根为±9,即±=±9.(2)因为,所以的平方根为±,即±=±.(3)因为(±0.2)2=0.04,所以0.04的平方根为±0.2,即±.=±0.2.教师规范书写格式.思考:±表示什么意思,这里的a可取什么样的数呢?--又该怎样理解呢?这里的x又可取什么样的数呢?学生讨论回答.【课件7】(补充)下列各数有平方根吗?如果有,求出它的平方根,如果没有,说明理由.-64,0,(-4)2.学生分组讨论,选派一名代表回答.解:-64没有平方根;0的平方根是0;(-4)2的平方根是±4.[知识拓展](1)平方根是一个数,是开平方的结果;而开平方和加、减、乘、除、乘方一样,指的是一种运算,是求平方根的过程.(2)平方和开平方互为逆运算,我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确.(3)平方和开平方之间的关系我们可以这样来理解:①已知底数m和指数2,求幂,是平方运算,即m2=(?);②已知幂a和指数2,求底数,是开平方运算,即(?)2=a.[设计意图]通过例题,让学生掌握平方根的计算方法,强化对平方根性质的理解,进一步掌握正数有两个平方根,它们互为相反数;负数没有平方根;0的平方根是0.平方根的定义一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根,也叫做a的二次方根.表示方法当a为正数时,a的平方根为±.平方根的性质(1)一个正数有两个平方根,它们互为相反数.(2)0只有一个平方根,是0本身.(3)负数没有平方根.1.(2015·黄冈中考)9的平方根是 ()A.±3B.±C.3D.-3解析:9的平方根是±=±3.故选A.2.(2015·威海模拟)(-2)2的平方根是()A.-2B.2C.±2D.4解析:(-2)2=4,4的平方根为±2.故选C.3.下列说法正确的是()A.-81的平方根是±9B.任何数的平方是非负数,因而任何数的平方根也是非负数C.任何一个非负数的平方根都不大于这个数D.2是4的平方根解析:A.由于负数没有平方根,故A选项错误;B.任何数的平方为非负数,正确,但只有非负数才有平方根,且平方根有正负之分(0的平方根为0),故选项B错误;C.任何一个非负数的平方根都不大于这个数,不一定正确,如:当0<a<1时,>a,故选项C错误;D.2的平方是4,所以2是4的平方根,故选项D正确.故选D.4.下列各数中没有平方根的是()A.0B.-82C.-D.-(-3)解析:A.0的平方根是0,故错误;B.-82=-64<0,没有平方根,故正确;C.-,有平方根,故错误;D.-(-3)=3,有平方根,故错误.故选B.5.“4的平方根是±2”翻译成数学语言是()A.=±2B.-=-2C.-=2D.±=±2解析:4的平方根是±2,可以写成±=±2.故选D.6.下列说法正确的是()A.0.25是0.5的一个平方根B.72的平方根是7C.正数有两个平方根,且这两个平方根之和等于0D.负数有一个平方根解析:A.±.=±0.25,故A错误;B.±=±7,故B错误;C.一个正数的平方根互为相反数,互为相反数的两个数的和为0,故C正确;D.负数没有平方根,故D错误.故选C.7.求下列各数的平方根.(1)0;(2);(3).解析:直接进行开平方运算即可.注意0的平方根为0,一个正数的平方根有两个,且互为相反数.解:(1)0的平方根为0.(2)的平方根为±=±.(3)的平方根为±=±.8.一个正数x的平方根是3a-4与8-a,则a和这个正数是多少?解析:根据一个正数有两个平方根,它们互为相反数得出3a-4+8-a=0,求出a的值,即可求出答案.解:根据一个正数有两个平方根,它们互为相反数得3a-4+8-a=0,解得a=-2,即3a-4=-10,则这个正数为(-10)2=100.第1课时活动一:做一做——感知平方根活动二:例题讲解一、教材作业【必做题】1.教材第62页练习第1,2,3题.2.教材第62页习题A组第1,2,3,4题.【选做题】教材第63页习题B组第1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.3的平方根是 ()A.9B.C.-D.±2.以下叙述中错误的是()A.±.=±0.5B.±.=0.5C.0的平方根是0D.1是1的平方根3.的平方根是()A.±B.±C.D.4.若x满足x2=,则x的值为()A. B.- C.± D.±5.下列说法正确的是()A.-4是-16的平方根B.4是(-4)2的平方根C.(-6)2的平方根是-6D.的平方根是±4【能力提升】6.求下列各数的平方根.(1)36;(2);(3)1;(4)1;(5)0.09.7.已知(a-2)2+|b-8|=0,求的平方根.8.求下列各式中的x的值.(1)4(x-1)2=25;(2)9(x2+1)=10.【拓展探究】9.已知x2+2015的一个平方根是,求x2的平方根.10.已知2m+2的平方根是±4,3m+n+1的平方根是±5,求m+3n的平方根.【答案与解析】1.D(解析:∵(±)2=3,∴3的平方根为±.故选D.)2.B(解析:±.表示0.25的平方根,为±0.5,故B错误.故选B.)3.A(解析:∵,∴的平方根是±,∴的平方根是±.故选A.)4.C(解析:∵x2=,∴x=±.故选C.)5.B(解析:A.因为-16<0,所以-16没有平方根,故A选项错误;B.因为(-4)2=16,42=16,所以4是(-4)2的平方根,故B选项正确;C.因为(-6)2=36,所以(-6)2的平方根是±6,故C选项错误;D.因为=4,所以的平方根是±2,故D选项错误.故选B.)6.解:(1)∵(±6)2=36,∴36的平方根是±6,即±=±6. (2)∵,∴的平方根是±,即±=±.(3)∵(±1)2=1,∴1的平方根是±1,即±=±1. (4)∵±2==1,∴1的平方根是±,即±=±.(5)∵(±0.3)2=0.09,∴0.09的平方根是±0.3,即±.=±0.3.7.解:∵(a-2)2+|b-8|=0,∴a=2,b=8,∴,∴±=±.8.解:(1)4(x-1)2=25,开平方得2(x-1)=±5,解得x=3.5或-1.5. (2)9(x2+1)=10,9x2=1,x2=,x=±.9.解:根据题意得x2+2015=2016,即x2=1,则1的平方根为±1.10.解:∵2m+2的平方根是±4,∴2m+2=16,解得m=7.∵3m+n+1的平方根是±5,∴3m+n+1=25,即21+n+1=25,解得n=3,∴m+3n=7+3×3=16,∴m+3n的平方根为±4.本堂课一开始直接从现实生活中提出问题,由问题引入新知识,从而激发学生研究问题、解决问题的欲望.然后在一系列练习中提出问题,直观地得出一个非负数的平方根的特点,加深对概念的理解,其间不断组织学生自主思考、互相交流,培养学生独立思考的能力和团队协作的精神.1.对于平方根性质的得出,教师没有进行适当的归类,在知识的总结上学生感觉到吃力.2.教学的过程中,在求平方根的时候,部分学生书写还不够规范,教师示范不够到位.3.教材中涉及的求平方根的计算题,都是直接能够得到有理数的,没有体现知识的拓展和迁移,知识呈现过于局限.1.对于平方根性质的得出,教师要在设计题型上进行归纳,多举些例子,让学生发现、总结规律.2.在规范书写格式上,教师要通过多媒体展示、个别指导等方式,通过练习,使学生的书写格式做到规范.3.对于平方根的计算,可出几个开平方开不尽的数,如求2的平方根等,使学生认识到2的平方根就是±,不能再进行化简.练习(教材第62页)1.±6±7±11±0.4±0.08±1042.解:(1)±=±5. (2)±=±12. (3)±.=±0.7. (4)±.=±0.9. (5)±=±. (6)±=±.3.解:(1)12是144的平方根. (2)169的负的平方根是-13. (3)±0.3不是0.9的平方根.因为(±0.3)2=0.09≠0.9,所以±0.3不是0.9的平方根.习题(教材第62页)A组1.解:第一行依次填±0.3,±7,±14.第二行依次填25,64,.2.解:(1)正确.因为12=1,所以1是1的平方根. (2)不正确.因为(±1)2=1,所以1的平方根是±1. (3)不正确.因为(-2)2=4,(-2)2的平方根即为4的平方根,所以(-2)2的平方根为±2.(4)不正确.因为-1没有平方根.3.解:(1)±=±15. (2)±=±40. (3)±=±. (4)±.=±0.6. (5)±.=±0.12.4.解:设较大的鱼池的边长为x m,根据题意得x2-602=4500,即x2=8100,因为(±90)2=8100,所以x=±90,又因为x>0,所以x=90.答:这个较大的鱼池的边长为90 m.B组1.解:(1)±=±. (2)±=±140. (3)±(-.)=±1.7. (4)±-=±10-3.2.解:设每块地板砖的边长是x m.根据题意得50x2=18,解得x2=0.36,因为(±0.6)2=0.36,所以x=±0.6,又因为x>0,所以x=0.6.答:每块地板砖的边长为0.6 m.教学时通过情境使学生认识到平方根产生于实际需要,对于开平方这一运算要多与平方运算相联系,从根本上理解开平方运算.让学生体会用平方运算求一个非负数的平方根,用平方运算求平方根是一个逆向思维的过程.对于平方根的性质,要让学生自己去发现规律并用自己的语言加以表述,从而加深对平方根概念的认识.尽量让学生多举一些求平方根的例子,自己总结出“一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;一个负数没有平方根”.求下列各式中的x的值.(1)x2+5=7;(2)2(x-1)2-8=0.〔解析〕(1)根据移项法则把原式化为x2=2的形式,根据平方根的概念解答即可;(2)根据移项法则把原式化为(x-1)2=4的形式,根据平方根的概念解答即可.解:(1)x2+5=7,x2=7-5,x2=2,x1=,x2=-.(2)2(x-1)2-8=0,2(x-1)2=8,(x-1)2=4,x-1=±2,x1=3,x2=-1.(1)正数x的平方根为a+2和2a-8,求x的值;(2)如果a+3与2a-15是m的平方根,求m的值.〔解析〕(1)根据一个正数的平方根互为相反数列式求出a的值,再求(a+2)2即可;(2)这两个平方根互为相反数或相等,分别列式进行求解即可.解:(1)根据题意得a+2+2a-8=0,解得a=2,所以x=(a+2)2=(2+2)2=16.(2)①当a+3与2a-15是同一个平方根时,a+3=2a-15,解得a=18,此时m=(18+3)2=441;②当a+3与2a-15是两个平方根时,a+3+2a-15=0,解得a=4,此时m=(4+3)2=49.如果x<0,y>0,x2=4,y2=9,求x+y的值.〔解析〕根据x<0,y>0,x2=4,y2=9,就可确定x,y的值,进而求解.解:∵x2=4,y2=9,∴x=±2,y=±3,又∵x<0,y>0,∴x=-2,y=3,∴x+y=-2+3=1.第课时1.了解数的算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根.2.理解算术平方根与平方根的联系与区别.1.通过教学过程中学生的参与,培养学生学习的主动性,提高数学表达和运算能力.2.通过举例使学生明确平方根与算术平方根的区别和联系.1.学生通过积极参与教学活动获取新知,通过小组活动发展独立思考和竞争意识.2.通过主动参与使学生勇于面对困难并能够解决困难,发展合作交流意识.【重点】算术平方根的概念和性质.【难点】对算术平方根意义的理解.【教师准备】课件1~6.【学生准备】复习平方根的意义以及平方根的性质.导入一:【课件1】学校要举行美术作品比赛,小欧很高兴,他想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布,画上他自己的得意之作参加比赛,这块正方形画布的边长应取多少?师:怎样算出画布的边长为5 dm的呢?(思考1分钟)【课件2】填表:正方形面积 1 9 16 36正方形边长教师在学生完成的基础上与学生共同总结:已知正方形的面积求边长,本质上就是已知一个正数的平方,求这个正数的问题.那么这个正数与这个正数的平方是什么关系呢?下面我们来共同探讨这个问题.[设计意图]从正方形的面积,引出求一个正数的正的平方根,让学生初步认识算术平方根,为下面的学习做好铺垫.导入二:同学们,2003年10月15日是我们每个中国人值得骄傲的日子.因为这一天,“神舟”五号飞船载人航天飞行取得圆满成功,实现了中华民族千年的飞天梦想(多媒体同时出示“神舟”五号飞船升空时的画面).那么你们知道宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度是在什么范围吗?这时它的速度要大于第一宇宙速度v1(米/秒)而小于第二宇宙速度v2(米/秒).v1,v2的大小满足=gR,v2=2gR,怎样求v1,v2呢?这就要用到算术平方根的概念,也就是本节要学习的内容.[设计意图]“神舟”五号成功发射和安全着陆,标志着我国在攀登世界科技高峰的征程上又迈出具有重大历史意义的一步,是我们伟大祖国的荣耀.此内容有感染力,使学生对本章知识的应用价值有一个感性认识,同时激发学生的好奇心和学习的兴趣.这里的计算实际上是已知幂和指数求底数的问题,是乘方的逆运算,学生以前没有见过,由此引出了本章所要研究的主要内容,以及研究这些内容的大体思路.导入三:【课件3】1.(1)625的平方根是多少?这两个平方根的和是多少?(2)-7和7是哪个数的平方根?(3)正数m的平方根怎样表示?(4)求下列各数的平方根.①64;②0;③(-0.4)2;-;⑤16;⑥(-4)3.2.已知正方形的面积等于a,那么它的边长等于多少?解:设正方形的边长为x,则x2=a,根据平方根的定义,得x=±.因为正方形的边长是正数,所以正方形的边长是.。
2024年冀教版八年级上册教学设计第十四章14.3 实数
第1课时实数的相关概念及分类课时目标1.通过对实际问题的探究,使学生认识到数的扩充的必要性.2.通过经历从有理数扩充到实数的过程,了解无理数和实数,能正确地对实数进行分类,感悟数的扩充.3.通过无理数和有理数的概念特征,能正确地识别无理数,提高辨析的能力.学习重点探索无理数的概念的过程、了解无理数和实数的概念.学习难点对无理数的认识.课时活动设计情境引入如图1所示,在半透明纸上画一个两条直角边都是2 cm的直角三角形ABC,然后剪下这个三角形,再沿斜边上的高CD剪开后,拼成如图2所示的正方形.(1)这个三角形的面积和拼成的正方形的面积是不是相等?面积是多少?(2)如果设正方形的边长为x cm,那么x与这个正方形的面积有怎样的关系?×2×2=2(cm2),所以S正方形=2 cm2.解:(1)相等.因为S△ABC=12(2)根据题意,得x2=2.因为正方形的边长是整数,所以x是2的算术平方根,即x=√2.问题:√2是一个什么样的数呢?设计意图:通过实际问题的探究,前后知识得到了衔接,学生认识到数的扩充的必要性,为本节的学习作铺垫.探究新知 1.初步感知(1)√2是整数吗?-3,-2,-1,0,1,2,3的平方等于2吗?你认为有平方后等于2的整数吗?(2)√2是分数吗?-53,-23,-13,-12,12,13,23,53的平方等于2吗?你认为有平方后等于2的分数吗?(3)√2会是有理数吗?教师引导学生小组交流,使学生认识到:(1)整数的平方是整数,没有平方后等于2的整数. (2)分数的平方是分数,没有平方后等于2的分数.(3)平方后等于2的数既不是整数,也不是分数,所以√2不是以前熟悉的有理数.想一想:√2到底是什么样的数呢? 2.强化认识借助计算机可以得到√2=1.414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569….它是一个无限不循环小数.我们早就认识的圆周率π,它也是一个无限不循环小数: π=3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 1…. 所以√2和π都是无限不循环小数.有理数包括整数和分数两部分,整数和分数都可以代成怎样的小数? (1)整数可以写成小数形式,如-10=-10.0,-1=-1.0,0=0.0,50=50.0. 对于任意给定的一个整数,你能将它写成小数的形式吗?(2)分数可以写成有限小数或无限循环小数,如-1100=-0.01,-35=-0.6,72=3.5,316=0.187 5,-13=-0.333 33…=-0.3·,23=0.666 66…=0.6·,722=0.31818…=0.318··.任意给定一个分数,你能将它写成有限小数或无限循环小数的形式吗?(可以借助计算器计算)(3)有理数是不是总可以写成有限小数或无限循环小数的形式呢? 学生自主交流,讨论上面的问题,教师进行总结.总结:任意有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式,反过来,有限小数或无限循环小数都是有理数.由此可见,无限不循环小数不是有理数.我们把无限不循环小数叫做无理数.在这里要把握无理数的两个本质特征:首先是无限小数,并且是不循环的小数.所以√2,√33,π这些都是无理数.无理数和有理数一样都是有正负的,无理数包括正无理数和负无理数. 我们把有理数和无理数统称为实数.师生一起探究,实数可以怎么分类?学生组内讨论,教师归纳总结. 归纳总结:实数的分类.实数{有理数{整数{正整数0负整数分数{正分数负分数}有限小数或无限循环小数无理数{正无理数负无理数}无限不循环小数实数还可以分为正实数、0、负实数.实数{正实数{正有理数正无理数0负实数{负有理数负无理数设计意图:引导学生认识到有理数可以化成有限小数或无限循环小数的形式,使学生类比有理数的特点,总结出无理数的概念,了解数的扩充的必要性和实数的意义,并明确实数的分类,提高学生对实数的理解.典例精讲例 有下列各数,哪些数是有理数,哪些数是无理数?13,-√83,3.14,π,-√2,√93,0.101 001 000 1…(每两个1之间依次多一个0).解:是有理数的有13,-√83,3.14,是无理数的有π,-√2,√93,0.101 001 000 1…(每两个1之间依次多一个0).设计意图:通过例题探究,充分理解有理数和无理数的区别,能够把新旧知识联系起来,建立起新的知识结构,增强学生探究与归纳能力,提升学生的数学素养.课堂小结学生小组内交流总结. 1.无理数的定义. 2.实数如何分类?设计意图:通过小结,学生梳理本节课的内容,同学互帮互助,解决困惑,充分发挥学生的主体意识,提高学生的语言概括能力和发散思维能力.课堂8分钟.1.教材第71页练习第1,2题,习题A 组第1,2题,第72页习题B 组第1,2题.2.七彩作业.第1课时 实数的相关概念及分类1.无理数的概念.2.实数的分类.实数{有理数{整数{正整数0负整数分数{正分数负分数}有限小数或无限循环小数无理数{正无理数负无理数}无限不循环小数实数还可以分为正实数、0、负实数.实数{正实数{正有理数正无理数0负实数{负有理数负无理数教学反思第2课时 实数的有关性质课时目标1.认识无理数存在的普遍性.2.了解实数的意义,知道实数与数轴上的点是一一对应的.3.理解实数的倒数、相反数、绝对值的意义. 学习重点认识无理数存在的普遍性,知道实数与数轴上的点是一一对应的.学习难点理解实数与数轴上的点一一对应.课时活动设计回顾引入我们知道,任意一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示,那么无理数能不能用数轴上的点来表示呢?设计意图:使学生回顾有理数的知识点,用类比方法引出本节所学的内容.探究新知学生观察思考并回答问题,教师总结补充.1.如图所示,将面积分别为2和3的两个正方形放置在数轴上,使得正方形的一个顶点和原点O重合,一条边恰好落在数轴正方向上,其另一个顶点分别为数轴上的点A和点B.(1)线段OA,OB的长分别是多少?(2)点A,B在数轴上对应的数分别是哪两个数?2.如图所示,设一枚5角硬币的直径为1个单位长度,将这枚硬币放置在平面内一条数轴上,使硬币边缘上的一点P与原点O重合.让这枚硬币沿数轴的正方向无滑动滚动一周,这时点P转到数轴上点P'的位置.(1)线段OP'的长是多少?(2)在数轴上与点P'对应的数是哪个数?实际上,1题中小正方形的边长是√2,所以线段OA的长为√2,与点A对应的数是√2;同理,线段OB的长为√3,与点B对应的数是√3.第2题中线段OP'与的长等于π,与点P'对应的数是π.教师提问:通过以上几个问题,你有什么发现?说说你的看法. 无理数和有理数一样,也可以用数轴上的点来表示.教师归纳:每个有理数或无理数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的点表示的数是有理数或无理数.实数和数轴上的点是一一对应的.解读“一一对应”:每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;数轴上的每一个点都表示一个实数.设计意图:教师引导学生发现实数和数轴上的点是一一对应的.经过观察和思考,加深学生的理解,锻炼学生发现问题的能力和表达能力.新知讲解复习有理数的相反数、绝对值、倒数,类比有理数的有关意义,谈谈实数的相关意义.有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义在实数范围内仍然有意义. 1.相反数:一个实数a 的相反数是-a ;互为相反数的两数的和为0. 2.绝对值:一个正实数的绝对值等于它本身; 一个负实数的绝对值等于它的相反数. 0的绝对值是0.设a 表示一个实数,则|a |={a(a ≥0),-a(a <0).3.倒数:乘积为1的两个实数互为倒数.a 的倒数是1a (a ≠0).总结:实数是由有理数和无理数组成的,任意实数都有绝对值、相反数和倒数(0没有倒数),它们和有理数的绝对值、相反数和倒数的意义是一样的.我们可对实数作如下分类:实数{有理数{正有理数0负有理数无理数{正无理数负无理数 设计意图:回顾有理数的相反数、绝对值、倒数,类比有理数思考实数的相关性质,发展学生的类比思维.巩固训练求下列各数的相反数、倒数、绝对值: (1)-89;(2)√17;(3)-√9;(4)√-33;(5)√8273;(6)-π. 解:(1)-89的相反数是89,倒数是-98,绝对值是89. (2)√17的相反数是-√17,倒数是√17,绝对值是√17.(3)-√9的相反数是3,倒数是-13,绝对值是3. (4)√-33相反数是√33,倒数是-√33,绝对值是√33.(5)√8273的相反数是-23,倒数是32的绝对值是23. (6)-π的相反数是π,倒数是-1π,绝对值是π.设计意图:通过具体实例巩固实数的的相反数、倒数、绝对值.课堂小结组内交流,师生归纳. (1)实数与数轴的关系.(2)有理数的相反数、绝对值、倒数的概念.设计意图:通过小结,学生梳理本节课的内容,同学互帮互助,解决困惑,充分发挥学生的主体意识,提高学生的语言概括能力和发散思维能力.课堂8分钟.1.教材第75页习题A 组第1,2题,习题B 组第1题.2.七彩作业.第2课时实数的有关性质1.实数与数轴的关系:实数和数轴上的点是一一对应的.2.实数的性质:一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.教学反思第3课时比较实数的大小课时目标1.能够对实数进行大小比较,提高学生逻辑思维能力和运算能力.2.能利用有理数估计一个无理数的大致范围,培养学生的数感和运算能力.学习重点实数的大小比较,利用有理数估计一个无理数的大致范围.学习难点利用有理数估计一个无理数的大致范围.课时活动设计回顾引入在七年级,我们学习了有理数的大小比较,请同学们回忆有理数的大小比较的方法,并独立完成以下题目.1.数轴上的点A,B,C,D分别表示什么数?请把点A,B,C,D分别表示的数按照从小到大的顺序排列起来.解:点A表示-4,点B表示-1,点C表示0,点D表示3.从小到大排列是-4<-1<0<3.2.比较大小:6>0;-3<0;2.5>-100;-4>-8.总结:(1)数轴比较法.在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大.(2)法则比较法.正数大于0,0大于负数,正数大于负数.两个负数比较,绝对值大的反而小.思考:现在有理数扩充到了实数,那么两个实数该如何比较大小呢?设计意图:通过实例让学生比较有理数的大小,可以帮助学生回忆有理数大小比较的方法,并且为学习新知识作铺垫,激发学生的学习欲望.探究新知利用数轴比较两个实数的大小两个有理数可以通过数轴来比较大小,那么两个无理数是否也可以通过数轴来比较大小?由两个正方形的面积(3和2)的大小,能不能得到它们边长(√3和√2)的大小?让学生在数轴上表示√3和√2,展示作法.如图,显然点A表示的数是√2,点B表示的数是√3,点B在点A的右边,所以√3>√2.观察数轴上表示√3和√2的两点的位置,思考:(1)√3和√2都位于哪两个整数之间?(2)在整数1和2之间的无理数有多少?学生通过观察明确任何一个无理数都在两个相邻整数之间,便于两个实数进行大小比较.如果将面积分别为a和b(a>b)的两个正方形,按上图所示方式摆放,它们的边长√a和√b的大小关系是怎样的?学生分小组交流、讨论,教师和学生一起总结.总结:一般地,已知两个正数a和b,如果a>b,那么√a>√b;反过来,如果√a>√b,那么a>b.同样地,数轴上的两点,右边的点表示的数大于左边的点表示的数.设计意图:通过类比有理数利用数轴比较大小的方法,让学生自己总结出比较实数大小的方法,提高学生的迁移应用能力.典例精讲例请你根据如图所示的数轴上点的位置,将下列各数用“<”按从小到大的顺序排列起来:-√3,√2,3,√3,0,√5,-√8,-√5.解:-√8<-√5<-√3<0<√2<√3<√5<3.设计意图:通过例题巩固新知,提高学生的应用能力.探究新知两个实数的大小比较,除了利用数轴比较之外,还有没有其他的方法?下面我们共同来研究这个问题.例1比较下列各组数中两个数的大小:(1)22和√7;(2)-√10和-π.3分析:因为√7是无理数,22化成小数后是无限循环小数.可借助计算器进行比3较大小.思考:如果不借助计算器,如何比较呢?请同学们交流讨论,师生共同给出解答过程.当一个正有理数和一个正无理数直观上不好比较时,我们可以通过把它们分别平方,进行有理数的比较,再比较它们的大小.因为这两个数都是正数,我们可以通过比较它们的平方比较出这两个数的大小.我们把这种方法称为“平方法”.总结:已知两个正数a 和b ,如果a >b ,那么a 2>b 2;反过来,如果a 2>b 2,那么a >b. 两个负数相比较,绝对值大的反而小,首先我们应比较它们的绝对值的大小. 注意:1.两个负数相比较,首先应比较它们的绝对值,再根据绝对值大的反而小,比较两个负数的大小.2.对π这样的无限不循环小数,可以找一个和π接近的数做平方去比较.解:(1)因为(223)2=(83)2=649,(√7)2=7=639,而649>639,所以√649>√7.即223>√7.(2)因为(√10)2=10,π2=(3.141 5…)2,而10>3.152>π2,所以√10>π.从而-√10<-π.例2 判断下列各实数在哪两个相邻的整数之间:(1)√5; (2)-√23.分析:(1)因为完全平方数的算术平方根为自然数,所以首先在5的左右两边找距离5最近的完全平方数4和9,然后依据被开方数越大,算术平方根越大,即可找到√5在哪两个相邻的整数之间.(2)这是一个负无理数,我们可以先找-√23的绝对值在哪两个相邻的整数之间,再依据不等式的性质可以得到结论.解:(1)因为4<5<9,所以√4<√5<√9.所以2<√5<3,即√5在2和3之间.(2)因为0<23<1,所以0<23<1.所以0<√23<1.从而-1<-√23<0,即-√23在-1和0之间. 归纳:实数的大小比较常用的方法有(1)平方比较法;(2)数轴法;(3)倒数比较法;(4)估算法;(5)作差法;(6)用计算器计算结果比较法.设计意图:通过例题,学生掌握比较实数的方法,除了利用数轴比较,还可以利用平方法等估计无理数的大小.培养学生对知识的灵活应用,增强学生思维的发散性.典例精讲例 比较下列各组数中两个数的大小:(1)√5和2; (2)√5-1和1; (3)√5-12和0.5.解:(1)因为(√5)2=5,22=4,5>4,所以√5>2.(2)两边都减1,得√5-1>2-1,即√5-1>1.(3)两边都除以2,得√5-12>12,即√5-12>0.5. 设计意图:通过例题,学生掌握利用有理数估计实数大小的方法,熟练掌握比较实数大小的方法,提高学生的数学思维能力与计算能力.课堂小结1.类比有理数的大小比较,扩展到实数的大小比较:“形”上,在数轴上的两点,右边的点表示的数大于左边的点表示的数.“数”上,正数大于0,0大于负数,正数大于负数.两个负数比较,绝对值大的反而小.两个实数的比较,可以采用“平方法”等比较大小.2.用有理数估算一个无理数的大致范围,可以找距离被开方数最近的两个完全平方数,再利用不等式的性质估算出其范围.设计意图:回顾本节课内容,掌握比较无理数大小的几种方法,归纳总结相关知识,提高学生总结归纳能力和综合运用能力.课堂8分钟.1.教材第78页练习第2,3题,习题A 组第1,2,3题.2.七彩作业.教学反思。
最新冀教版八年级数学上册精品教案14.3实数(1)
14.3实数（1）教学目标【知识与能力】1.理解和掌握无理数和实数的概念.2.能正确识别无理数.3.能正确地对实数进行分类.【过程与方法】通过实际问题的探究,使学生认识到数的扩充的必要性.【情感态度价值观】经历从有理数逐步扩充到实数的过程,体会人类对数的认识是不断发展的,认识到数学的发展源于生活实际,又作用于生活实际.教学重难点【教学重点】了解无理数和实数的概念.【教学难点】对无理数的认识.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:1.复习提问:(1)正数的平方根怎样表示?平方根的性质是什么?(2)什么叫做算术平方根?什么样的数有算术平方根?(3)立方根的概念是什么?它有怎样的性质?2.(教材第69页一起探究)如图(1)所示,在半透明纸上画一个两条直角边都是2 cm的直角三角形ABC,然后剪下这个三角形,再沿斜边上的高CD剪开后,拼成如图(2)所示的正方形.这个三角形的面积和拼成的正方形的面积是不是相等的?面积是多少?让学生求出面积,提问:如果设正方形的边长为x cm,那么x与这个正方形的面积有怎样的关系?引导学生说出:x2=2,因为正方形的边长是正数,所以x是2的算术平方根,即.是一个什么样的数呢?[设计意图]通过复习使前后知识衔接,为学习后续知识做铺垫;学生通过动手操作,培养学生的动手能力,学生在回答问题的过程中积极思考,加深对无理数的认识.导入二:几千年来,人们为了寻求圆周率π的精确的近似值付出了巨大的努力,我国南北朝时期伟大的数学家祖冲之,第一个将圆周率π精确到小数点后的第七位,这一记录保持了近一千年.进入电脑时代,圆周率的计算突飞猛进,1999年,日本学者金田安政及合作者在一台日立SR—800计算机上算得的π的值竟然精确到了2061亿多位.现在,计算π的近似值已成为测试计算机运行速度的一个重要指标,那么π到底是一个什么样的数呢?[设计意图]利用圆周率π——这个学生早已熟悉的数,把数进一步扩充,使学生认识到这个数与以前学过的有理数不同,增加神秘感和学生的好奇心,使学生产生浓厚的学习兴趣.导入三:师:随着年龄的增长、学习的深入,我们对数的认识也在不断地更新,请同学们回忆一下,到目前为止,我们已经认识了哪些数?(举一个具体的例子)生:(学生可能说出的数)自然数、整数、分数、正整数、负整数、正分数、负分数、小数、有限小数、无限循环小数、无限不循环小数、偶数、奇数、质数、合数、正数、负数……(让学生大胆地说,一个学生讲完,其他学生补充,教师在黑板上记录)师:不得了,我们已经认识了这么多数,那么这些数与数之间有什么关系,你能不能帮我整理一下,理出一个思路呢?比如:整数(板书),你能把属于整数的都找出来吗?生:正整数、负整数、0、自然数、素数(质数)、合数、奇数、偶数.(在开始记录的数的前方编号①)师:同样,分数(板书),你能把属于分数的都找出来吗?生:正分数、负分数、有限小数、无限循环小数、带分数.(在开始记录的数的前方编号②)师:剩下还有一些数,它们是整数吗?是分数吗?如果学生说到“小数”:首先小数有哪几类?有限小数可以化为分数(如1.3);无限循环小数可以化为分数(如0.);还有没有其他的小数呢?(学生举例:π)它是整数吗?是分数吗?那到底是什么数呢?如果学生说到“无限不循环小数π”,它是整数吗?是分数吗?谁知道π是多少?3.1415926…(追问:后面呢?)课件展示π,尽可能位数多一点,让学生观察其特点(无限、不循环).这样的数,生活中还有吗?我们来玩一个拼图游戏.[设计意图]使学生重新认识以前学过的数,了解数的发展和扩充,逐步深化,最后引出无限不循环小数,即本节课要研究的内容——无理数.二、新知构建：活动一:无理数的初步感知思路一[过渡语]这个数是客观存在的,导入一中直角边长是2的等腰直角三角形的斜边上的高以及边长是1的正方形的对角线长都是.1.大家谈谈——初步感知【课件1】1.是整数吗?-3,-2,-1,0,1,2,3的平方等于2吗?你认为有平方后等于2的整数吗?2.是分数吗?-,-,-,-,,,,的平方等于2吗?你认为有平方后等于2的分数吗?3.会是有理数吗?说明:引导学生在小组内交流,使学生认识到:(1)整数的平方是整数,没有平方后得2的整数.(2)分数的平方是分数,没有平方后等于2的分数.(3)平方后等于2的数既不是整数,也不是分数,所以不是以前熟悉的有理数.想一想:到底是什么样的数呢?2.计算机计算——强化认识让学生用计算机计算,展示计算机计算的结果,学生观察,说出自己的看法.可设置如下问题:(1)小数可以分成几类?学生得出:小数有限小数无限小数无限循环小数无限不循环小数(2)是什么样的小数?(是无限不循环小数)教师展示圆周率π=3.1415926535897932384626433832795028841971….实际上,圆周率π也是一个无限不循环小数.[设计意图]对无理数有个初步的认识,和π都是无限不循环小数,让学生了解它们不是以前学过的有理数,渗透知识的形成过程.思路二(针对导入一)1.活动:请同学们拿出准备好的两个边长为1的小正方形和剪刀,将小正方形沿着对角线剪开,设法重新拼成一个大正方形,大家动手试一试.师:经过同学们的努力,基本都完成了任务,请一位学生把自己拼的图在黑板上展示出来.师:你们知道这个大正方形的面积是多少吗?为什么?生:它的面积为2,因为它是由两个面积为1的小正方形拼成的.师:你知道了这个图形的面积,对这个正方形,你还想知道它的一些什么信息呢?生:边长.师:你知道它的边长是多少吗?如果有学生说出,先表扬(看来你对数学是很有兴趣的,肯钻研),那么是什么数呢?若回答1.414…(后面呢?);若回答无限不循环小数(你怎么知道的呢?).2.为了便于探究这个问题,我们假设拼成的大正方形的边长为x,那么x2=2.探究:(1)x是整数吗?生:因为12=1,22=4,x是1和2之间的数,1<x<2,所以x不可能是整数.(2)x是分数吗?通过EXCEL,让学生寻找是否有这样的一个分数,它的平方正好是2?找不到这样的一个分数,它的平方正好是2(直观感受),x也不是分数.换个角度:如果x是分数,那么两个相同的分数相乘,积一定还是分数,不可能是2的.(3)x是怎样的数?1.5×1.5=2.25,1.41×1.41=1.9881,1.4×1.4=1.96,1.42×1.42=2.0164,1.4<x<1.5,1.41<x<1.42,1.414<x<1.415…探索中,得到1.4<x<1.5,1.41<x<1.42,1.414<x<1.415……由此可以得到:x是一个无限小数,它总介于两个有限小数之间,但永远找不到这样的一个有限小数等于x,同时,这些小数都不是循环小数.按照这种方法探索下去,x的值是1.414213562373095048801688724209698078569….师:你们发现这个数和π有什么共同点吗?生:无限、不循环.[设计意图]通过拼图得到,然后采用逐步逼近的方法,通过计算与类比让学生发现这个数是无限不循环小数,在操作的过程中,着重学生动手能力和计算能力的培养,让学生主动发现问题、研究问题,体现了知识的获取过程.活动二:无理数概念的形成1.形成概念[过渡语]通过刚才的探究和计算,我们已经知道了和π都是无限不循环小数,那么有理数可以化成怎样的小数呢?想一想:(1)什么叫做有理数?(2)整数和分数都可以化成怎样的小数?说明:整数可以写成小数部分是0的小数.如-10=-10.0,-1=-1.0,0=0.0等.师:任何分数都可以化成怎样的小数?让学生把-,-,,,-,,化成小数,并观察其特点.归纳:分数可以写成有限小数或无限循环小数.思考:任意给定一个分数,你能将它写成有限小数或无限循环小数吗?请你利用计算器再计算几个分数.得出结论:有理数总可以写成有限小数或无限循环小数.那么我们思考一下,是不是有理数?为什么?通过前面的学习,学生可以知道=1.41421356…,它是一个无限不循环小数.我们把无限不循环小数叫做无理数.其实,无理数有很多,很多数的平方根和立方根都是无理数,如:=1.732…,=2.23606…,=1.25992…,=2.15443…等都是无限不循环小数,它们都是无理数.[知识拓展](1)判断一个数是不是无理数,一是看它是不是无限小数;二是看它是不是不循环小数,满足“无限”和“不循环”这两个条件,才是无理数.(2)初中阶段所学的无理数主要包含以下几种:①特殊意义的数:如圆周率π及含π的一些数,如2-π等;②开方开不尽的数,如,-,等;③特殊结构的数,如2.01001000100001…(每两个1之间依次多一个0)等.(3)带根号的数不一定是无理数,如=0,=3,它们不是无理数,而是有理数,无理数也不一定带根号,如π.学习了有理数和无理数两个概念后,下面我写几个数,你们来判断一下,它是有理数还是无理数?-3,1.1414,2π,0.1010010001…(每两个1之间依次多一个0),-0.1010010001…(每两个1之间依次多一个0).师:你还能写出一个无理数吗?教师说明:无理数包括正无理数和负无理数,你们可以举出一些实例吗?强调:一般a是一个正无理数,那么-a是一个负无理数.我们把有理数和无理数统称为实数.想一想:有理数与无理数有什么区别?(1)有理数总可以写成有限小数或无限循环小数的形式,而无理数是无限不循环小数.(2)所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成分母是1的分数),而无理数不能化成分数的形式.[设计意图]引导学生认识到有理数可以化成有限小数或无限循环小数的形式,使学生类比有理数的特点,总结出无理数的概念.了解数的扩充的必要性和实数的意义,提高学生对数的理解.2.历史背景[过渡语]实际上,第一个发现无理数的人却被抛进大海,你想知道这其中的故事吗?【课件2】小故事:2500年前,当时的数学家毕达哥拉斯认为“宇宙中存在的数都是有理数”,拥护他的人认为毕达哥拉斯是至高无上的,他所说的一切都是真理.但后来有一位年轻学者希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线的长不能用有理数来表示,这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条,为此希伯索斯被投入大海.他为真理献出了宝贵的生命,但真理是不可战胜的.后来人们正视了希伯索斯的发现,也就是我们前面谈到的x2=2中的x不是有理数.我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的,我们一方面应积极地学习这些知识,另一方面我们也不能死搬教条,要大胆质疑,如不这样,科学就会停滞不前,要向希伯索斯学习,学习他为追求真理而大无畏的精神.[设计意图]通过史实介绍,让学生受到思想教育,培养学生追求真理的精神,从而体现数学课堂中对学生的思想教育.三、课堂小结：有理数:总可以化成有限小数或无限循环小数1.实数无理数:无限不循环小数2.无理数满足的三个条件:(1)首先是小数;(2)其次是小数中的无限小数;(3)并且是无限小数中的不循环小数.。
八年级数学上册第十四章实数14.4近似数教案(新版)冀教版
教学目标【知识与能力】1.了解近似数的概念,体会近似数的意义及在生活中的作用.2.能说出一个近似数的精确度,能按照要求用四舍五入法取一个数的近似数.【过程与方法】通过搜集生活中的数据,感受数的意义,进一步认识近似数,学会取一个数的近似数..【情感态度价值观】通过近似数的获取,体会近似数的意义.教学重难点【教学重点】按要求用四舍五入法取一个数的近似数.【教学难点】按要求取一个数的近似数.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:师:我们生活中会遇到许多与数字有关的内容.内容:(1)初一(4)班有42名同学;(2)每个三角形都有3个内角.这里的42和3都是与实际完全相符的准确数,我们还会遇到这样的内容:(3)我国的领土面积约为960万平方千米;(4)王强的体重约是49千克.960万、49是准确数吗?这里的960万、49都不是准确数,而是由四舍五入得来的与实际数很接近的数.[设计意图]通过实际生活中的例子,让学生初步认识准确数和近似数,体会数学与生活的密切联系.导入二:古诗曰:“一去二三里,烟村四五家,亭台六七座,八九十枝花.”真的是只走二三里路,只看到四五户人家吗?那矗立的亭台楼阁定会鳞次栉比,那怒放的花朵定是满目尽是.有诗曰:“七八个星天外,两三点雨山前”,星空灿烂或细雨纷飞,多么幽雅别致的风景啊!领会诗情词意,怎不叫人感叹数字的奇妙.[设计意图]让学生感受中国古代诗词的美,从中领略诗词所表达出来的意境,从中体会数字在古诗中的应用,从而激发学生的学习热情.导入三:1.从早晨起床到上学,你能从你的生活环境中获得哪些数字的信息?2.生活中,有些数据是准确的,有些是近似的,你能举例说明吗?如:在日常生活和实际生产中,我们接触到很多这样的数,例如:对于参加同一会议的人数有两种不同的报道:一种报道,秘书处宣布,参加今天会议的有513人;另一报道说,约有500人参加了今天的会议.这里的500和513有何不同的意义.[设计意图]从日常生活中的实例入手,让学生搜集自己生活中与数字有关的信息,进一步感受数字的意义.二、新知构建：活动一:认识准确数和近似数思路一1.一起探究——体会近似数活中的应用,体会数学与生活的联系.【课件1】下面是小亮两次测量身高情况的示意图:请你观察这两幅图,读出小亮的身高是多少米?【提出问题】1.根据上面左图读出的数据,小亮的身高是1.63m;根据上面右图读出的数据,小亮的身高是.这两个数据都是准确的吗?2.1.63中的三个数字,哪些数字是准确的,哪个数字不一定准确?对于1.628中的四个数字,哪些数字是准确的,哪个数字不一定准确?经过学生的讨论得出结论:(1)这两个数都不是准确的,1.628比1.63准确些.(2)对1.63来说,“1”和“6”是准确的,“3”不是准确的.对1.628来说,“1”“6”“2”是准确的,“8”不是准确的.教师说明:通常,我们用1.63m来表示小亮的身高就足够了.例如:√2,根据计算要求,一般取1.4,1.414等作为它的近似值.π一般取它的近似值3,3.14,3.1416等.像这样,接近实际的数或在计算中按要求所取的与某个准确数接近的数,我们把它叫做近似数.[设计意图]明确生活中也存在近似数,了解近似数无处不在,以及生活与数学的密切联系.2.大家谈谈——区分准确数与近似数【课件2】在下列问题中,哪些数是准确数,哪些数是近似数?(1)妈妈花10元钱买了2kg香蕉;(2)某教学楼共有5层,每层的楼梯都是28级台阶.经测量,每级台阶的高是12cm,从而教学楼的高度是5×28×0.12=16.8(m).(3)小亮用直尺测量一本数学课本的厚度是1.05cm,由此,他认为10本这样的数学课本摞起来的高度就是10.5cm.学生思考后,教师指名回答.解:(1)10是准确数,2是近似数;(2)5,28是准确数,12,16.8是近似数;(3)10是准确数,1.05,10.5是近似数.说明:由测量产生的数据,一般都有误差,这些数都不是准确数.[设计意图]引导学生认识准确数和近似数,并能正确地加以区分,体会近似数和准确数在实际生活中都有很高的应用价值.思路二1.整体感知【课件3】根据自己已有的生活经验,观察身边熟悉的事物,收集一些数据.(1)我班有名学生,名男生,名女生;(2)我班教室约为平方米;(3)我的体重约为千克,我的身高约为厘米;(4)中国大约有亿人口.在这些数据中,哪些数是与实际相接近的?哪些数是与实际完全符合的?学生填空,使学生明确(1)中的数据都是与实际完全符合的数;(2)(3)(4)中的数据都是与实际非常接近的数.教师说明:接近实际的数或在计算中按要求所取的与某个准确数接近的数,我们把它叫做近似数.而与实际完全符合的数我们把它叫做准确数,即一个也不多,一个也不少.2.举例说明教师提出问题:生活中哪些地方用到近似数?学生纷纷举例:(1)2000年第一次人口普查表明,我国的人口总数为12.9533亿.(2)某词典共1234页.(3)我们年级有197人.上面的数据,哪些是准确的,哪些是近似的?举例说明生活中哪些数据是准确的,哪些数据是近似的.[设计意图]在了解了近似数的概念后,教师提出问题,并提供设计的情境,使学生认识到生活中还有不少情况也用到近似数,有时是因为客观条件无法或难以得到准确数(如我国人口时刻在变化),有时是实际问题不要求得到准确数.3.强化训练【课件4】下列实际问题中出现的数,哪些是准确数?哪些是近似数?(1)七年一班有41名学生;(2)某同学的身高是1.58米;(3)北京市大约有2000万人口;(4)水星的半径是2440000米;(5)一年有12个月;(6)同步练习的销售量达100万册.小组研讨,然后选派代表发言.说明:测量的结果往往都是近似数,如身高、体重、长度等.活动二:按要求取近似值【课件5】将圆周率π按下列要求取近似数.(1)精确到个位;(2)精确到十分位.思考:如何用四舍五入法取近似数?(四舍五入到哪一位,就要看那一位后面的数,然后四舍五入)学生完成后,指导:解:(1)π的十分位(即小数点后面第一位)上是“1”,按四舍五入法应舍去,所以π≈3. (2)π的百分位(即小数点后面第二位)上是“4”,按四舍五入法应舍去,所以π≈3.1.想一想:如果把π精确到百分位、千分位,结果又应该是多少?(指名回答)【课件6】将√5=2.23606797…按要求取近似数.(1)精确到个位;(2)精确到百分位;(3)保留四位小数.指一名学生板演,其他同学独立完成.解:(1)2. (2)2.24. (3)2.2361.想一想:近似数1.8和1.80一样吗?为什么?引导学生讨论:精确度不同,1.8精确到十分位,而1.80精确到百分位,这个0不能舍去. [知识拓展]特殊地,形如a×10n的数以a的末位在原数中所处的数位作为其精确度.如近似数7.8008×103精确到十分位.[设计意图]通过例题,让学生进一步明确取近似值的方法,即“四舍五入法”.认识近似数,可以按要求取它的近似值.三、课堂小结：1.近似数的概念:接近实际的数或在计算中按要求所取的与某个准确数接近的数,我们把它叫做近似数.由测量等过程产生的数据,一般都有误差,这些都不是准确数.2.近似数的精确度:一个近似数精确到的数位,就是它的最后一位数字所在的数位,对于用科学记数法表示的数a×10n和形如a万这样的近似数,所精确到的数位就是a的最后一位数字还原成原数后所在的数位.3.精确度有两层含义:(1)一个近似数四舍五入到哪一位,那么这个近似数就精确到哪一位;(2)由近似数的精确度可推断实际数所在的范围.。
最新冀教版初中数学八年级上册《14.3实数》精品教案 (4)
第14章实数《1平方根》教案学习目标（1）解平方根和算术平方根的概念，了解平方与开平方的关系。
（2）学会平方根、算术平方根的表示法和平方根、算术平方根，并运用以上知识解决实际问题。
（3）学习从特殊到一般的数学思想方法，培养学生从实践到理论，从具体到抽象的辨证唯物主义观点。
教学重点和难点1. 重点：平方根的概念。
2.难点：平方根的概念和平方根的表示方法较为抽象，是本节课的难点。
教学过程一、创设情境，设疑引新（媒体展示）做一做：同学们，你能将手中两个相同的小正方形，剪一剪，拼一拼，拼成一个大正方形吗？如果小正方形的边长是1，那大正方形的边长是多少呢？（设疑之后，引导学生解决这个问题的本质，即求平方等于2的数是什么？）随后，设计以下练习（1）张正方形桌面的边长为1.2m，面积是多少？（2）张正方形桌面的面积为1.44m2，边长是多少m？第二小题即求一个数的平方等于 1.44，这个数是多少？有了以上的铺垫，解决这一问题对于学生来说已是轻而易举，即轻松地引入课题）（数学是人们对客观世界的定性把握和刻画，逐渐抽象、概括，形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。
义务教育阶段的数学课程，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。
）二、自主学习、合作探究1 概念引入由具体问题开始讲解：∵（±1.2）2=1.44∴平方得1.44的数有两个是+1.2，又边长不为负，因此为1.2m于是说：∵（±1.2）2=1.44 ∴ ±1.2叫做1.44的平方根∵ （±2）2=4 ∴±2叫做4的平方根∵ x² = a ∴ x 叫做a 的平方根由学生在总结讨论中下定义，教师板书定义 （略）（这样由具体到抽象，学生易于接受）三、自学反馈1.如图，在左图和右图中的“？”表示的数x x ²在求？的过程中，引导学生明确，左边的数是右边对应的数的平方根，并及时提问“有没有平方得负数的数？为什么？2.平方根的性质和表示学生通过讨论、交流得出平方根的性质：（展示）一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
冀教初中数学八上《14.0第十四章实数》word教案 (1)
17.5 实数的运算〖教学目标〗（－）知识目标1．了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用.2.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则，运算律在实数范围内正确计算.3.正确运用公式);0,0(≥≥⋅=⋅b a b a b a )0,0(>≥=b a b a ba . 4.了解二次根式和最简二次根式的概念.（二）能力目标1．让学生根据现有的条件或式子找出它们的共性，进而发现规律，培养学生的钻研精神和创新能力.2.能用类比的方法去解决问题，找规律，用旧知识去探索新知识.（三）情感目标通过探索规律的过程，培养学生学习的主动性，敢于探索，大胆猜想，和同学积极交流，增强学习数学的兴趣和信心。
时代在进步，科学在发展，只靠在学校积累的知识已远远不能适应时代的要求，因此在校学习期间应培养学生的能力，具备某种能力之后就能应付日新月异的新问题.其中类比的学习方法就是一种学习的能力，本节课旨在让学生通过在有理数范围内的法则，类比地学习在实数范围内的有关计算，重要的是培养这种类比学习的能力，使得学生在以后的学习和工作中能轻松完成任务.〖教学重点〗1.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能在实数范围内正确进行运算.2.发现规律：);0,0(≥≥⋅=⋅b a b a b a )0,0(>≥=b a b a ba .并能用规律进行计算. 〖教学难点〗1.类比的学习方法.2.发现规律的过程.〖教学过程〗一、课前布置自学：阅读课本P114~P115，试着做一做本节练习，提出在自学中发现的问题（鼓励提问）.二、师生互动0a ≥)的式子叫做二次根式说明：1.被开方数大于0；0a ≥)具有非负数的特性.3.性质：一般地)0(≥a a 是a 的算术平方根，于是有)0()(2≥=a a a练习：1.若x 23-有意义，则=x ______2. （06泸州中考）要使二次根式1-x 有意义，字母x 的取值必须满足的条件是（）A. x ≥1B. x ≤1C. x >1D. x <13.（06海淀）已知实数x ，y 满足x y -++=540，求代数式()x y +2006的值。
冀教版八年级上学期数学14
5.引导学生将所学知识运用到实际生活中，培养学生的实践能力和创新精神。
二、学情分析
八年级学生在前期的数学学习中，已经掌握了有理数的概念及其运算规则，具备了一定的数学基础。在此基础上，他们对实数的学习将更加深入和广泛。然而，实数作为数学中的一个重要概念，其包含的无理数部分对学生来说可能较为抽象，理解上存在一定难度。因此，在教学过程中，教师需要关注以下几点：
2.利用多媒体课件、实物模型等教学资源，形象直观地展示实数概念，降低学生的认知难度。
3.采用任务驱动法，设计具有挑战性的任务，引导学生主动探究实数的性质，培养学生的自主学习能力。
4.创设互动式课堂氛围，鼓励学生提问、讨论，让学生在交流中碰撞思维火花，共同突破教学难点。
5.设计分层练习，针对不同层次的学生提供不同难度的题目，使全体学生都能在原有基础上得到提高。
4.针对学生在实数学习中可能遇到的困难，教师应设计丰富的教学活动，帮助学生突破难点，建立完整的实数知识体系。
5.关注学生在实数学习中的兴趣和动机，结合生活实际，激发学生的学习兴趣，提高学生的实践应用能力。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.实数概念的建立：实数包括有理数和无理数，学生对无理数的理解可能较为困难，如何引导学生理解并掌握实数的概念是教学的重点和难点。
5.课后复习：要求学生复习本节课所学内容，为下一节课的学习做好准备。
作业布置注意事项：
1.布置作业时，要注意层次性，使不同水平的学生都能得到适当的训练。
2.作业量要适中，避免给学生造成过重的负担。
3.鼓励学生独立完成作业，培养自主学习能力。
4.教师要及时批改作业，给予学生反馈，指导学生改进学习方法。
冀教版数学八年级上册14.3《实数》教学设计1
冀教版数学八年级上册14.3《实数》教学设计1一. 教材分析冀教版数学八年级上册14.3《实数》是学生在学习了有理数、无理数相关知识的基础上，进一步对实数进行系统地认识和理解。
本节内容主要包括实数的定义、实数的分类、实数的性质等。
通过本节课的学习，使学生掌握实数的概念，了解实数的分类，理解实数的性质，为学生进一步学习函数、几何等知识打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了有理数、无理数的相关知识，对数的运算、性质有一定的了解。
但是，学生对实数的认识还比较模糊，对实数的分类和性质的理解还有待提高。
此外，学生的数学思维能力、逻辑表达能力等方面也有待提高。
三. 教学目标1.了解实数的概念，掌握实数的分类，理解实数的性质。
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.培养学生的数学思维能力、逻辑表达能力。
四. 教学重难点1.实数的定义、分类和性质。
2.实数与实际问题的结合。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法，引导学生主动探究、积极思考，提高学生的数学思维能力和逻辑表达能力。
六. 教学准备1.教材、教案、课件。
2.相关实数的学习资料。
3.投影仪、白板等教学设备。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过引入生活中实际问题，如身高、体重等，引导学生认识到实数在生活中的重要性。
然后，教师提问：“你们已经学习了有理数和无理数，那么，实数与有理数、无理数有什么关系呢？”从而引出本节课的主题——实数。
呈现（15分钟）教师通过课件展示实数的定义、分类和性质，让学生初步了解实数的概念。
接着，教师通过举例说明实数的性质，如实数的大小比较、实数的加减乘除运算等。
在此过程中，教师引导学生积极参与，提问解答，确保学生对实数的理解。
操练（15分钟）教师布置一些有关实数的练习题，让学生独立完成。
题目包括实数的分类、实数的性质等。
完成后，教师选取部分学生的作业进行讲评，指出其中的错误和不足，帮助学生巩固实数知识。
冀教版数学八年级上册14.3《实数》教学设计2
冀教版数学八年级上册14.3《实数》教学设计2一. 教材分析冀教版数学八年级上册14.3《实数》是学生在掌握了有理数和无理数的基础上，进一步对实数进行系统学习。
本节课的内容包括实数的定义、实数的分类、实数的性质等。
通过本节课的学习，使学生能够理解实数的意义，掌握实数的分类和性质，为后续的数学学习打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数和无理数的相关知识，对数的运算也有一定的了解。
但学生在理解实数的本质和实数的分类上可能会存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，用生动形象的例子和生活中的实际问题，帮助学生理解和掌握实数的概念。
三. 教学目标1.理解实数的定义，掌握实数的分类。
2.理解实数的性质，能够运用实数的性质解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.实数的定义和分类。
2.实数的性质及其运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究实数的定义和性质。
2.用生活中的实际问题，帮助学生理解实数的意义。
3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例和数学实例，用于解释实数的概念和性质。
2.准备PPT，用于展示实数的定义、分类和性质。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾有理数和无理数的概念，为新课的学习做好铺垫。
例如：“同学们，你们能举例说明有理数和无理数吗？”呈现（10分钟）教师通过PPT展示实数的定义、分类和性质，同时结合生活实例和数学实例，帮助学生理解实数的概念。
例如：用尺子测量物体长度，涉及到整数、分数和小数；用π表示圆周率，涉及到无理数。
操练（15分钟）教师提出练习题，让学生分组讨论、解答。
例如：判断以下数是有理数还是无理数？并说明理由。
巩固（10分钟）教师引导学生总结实数的性质，并通过实例说明实数的性质在实际问题中的应用。
新冀教版八年级上册初中数学 14-3 实数 教案
14.3 实数第1课时有理数、无理数和实数┃教学过程设计┃第2课时实数的计算和分类思想.【重点难点】重点：实数的分类.难点：实数与数轴上的点一一对应.┃教学过程设计┃教学过程设计意图一、创设情境，导入新课投影显示下面一组对话：小明说：“有理数和数轴上的点是一一对应的.”小丽说：“你说的不对，应是实数和数轴上的点是一一对应的.”同学们，两人到底谁说得对呢？我相信，当你认真学完本节后，答案自然能见分晓.点评：以两人对话的形式引入本节课题，易提高同学们的学习兴趣. 以对话形式引入，吸引学生注意力，提高学生的学习兴趣.二、师生互动，探究新知生：我们设想直径为1个单位长度的圆的周长就是π.若让这个圆从原点沿数轴向右滚动1周，圆上的一点就由原点到O′，OO′的长度就是π，则O′的坐标就是π.因此得出这样的结论：无理数π可以用数轴上的点表示出来.师：非常好！用这种方法我们还可以在数轴上找到与π有关的无理数所对应的点.点评：让学生自己设计方案，寻求问题的答案.师：那么，是否可以在数轴上找出与2对应的点呢？以单位长度1为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示2，与负半轴的交点就表示－2.师：事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数.因此，我们可以猜想一下，数轴上的点与实数的关系是什么？通过探究过程得出无理数也可以在数轴上表示出来，激发学生的学习兴趣和主动性.生：实数包括有理数和无理数，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，任何一个无理数也都可以用数轴上的一个点来表示.数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，总之，数轴上的点表示实数.师：你们总结得非常好！当数的范围从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就一一对应了，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和在有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义是一样的.出示教材74页“大家谈谈”，学生合作完成.师：出示：2的相反数是________，|2|＝________，2的倒数是________；－π的相反数是________，|－π|＝________，π的倒数是________；0的相反数是________，|0|＝________.生独立完成，并归纳总结出如何求一个实数的相反数，以及如何求一个实数的绝对值和倒数.(1)当a为实数时，a的相反数为－a；(2)当a为大于0的实数时，|a|＝a；(3)当a为小于0的实数时，|a|＝－a；(4)当a＝0时，|a|＝0；(5)当a≠0时，a的倒数是1 a .有理数、无理数统称为实数，你能把我们学过的数进行一下分类吗？生1：生2：强调概念的实际背景，帮助学生进一步理解概念，改变生3：无理数也像有理数一样，分为正无理数和负无理数，2是正无理数，－2是负无理数，因此我们将这一组的分类完善为：实数的分类不仅是列出的这两种，还有其他的分类方法，由学生课下完成，课堂学习引申到课外学习. 机械记忆概念的学习习惯.三、运用新知，解决问题 教材74页“练习”.四、课堂小结，提炼观点1.今天的探究学习，你们有哪些收获？2.根据你们对有理数、无理数、实数的理解，你们认为实数还可以怎样分类？3.实数的相反数：若a 表示一个正实数，那么－a 表示一个负实数；a 与－a 互为相反数，0的相反数为0.4.实数的绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.5.实数的倒数：非零实数a 的倒数是1a.五、布置作业，巩固提升 教材75页“习题”A 组、B 组.第3课时实数的大小比较【教学目标】1.会用有理数估计一下无理数的大致范围.2.能够对实数进行大小比较，提高逻辑思维能力和运算能力.3.让学生在实数的大小比较中，体会知识的迁移、类比和扩展.4.通过师生活动，学生自我探究，让学生充分参与到学习过程中来.【重点难点】重点：实数的大小比较.难点：两个无理数的大小比较.教学过程设计意图一、复习导入新知想一想：两个有理数怎样比较大小？有理数可以利用数轴进行比较，在数轴上右边的数总比左边的数大；还可以利用正数大于零，负数小于零，正数大于负数，对于两个正数绝对值大的那个数大，对于两个负数绝对值大的反而小，这些规律进行比较.现在有理数扩展到了实数，那么怎样比较两个实数的大小呢？复习回顾比较有理数大小的方法，进而引出问题怎么比较实数的大小，激发学生的学习兴趣.二、师生互动，探究新知互动一：经历比较无理数的大小，总结出比较实数由两个正方形的面积(3和2)的大小，能不能得到它们的边长(3和2)的大小？让学生在数轴上表示出3和2，展示作法，很容易得到3> 2. 观察数轴上3，2这两点的位置，回答： (1)3和2都位于哪两个整数之间？ (2)在整数1和2之间的无理数有多少？说明：让学生通过观察明确任何一个无理数都在两个相邻的整数之间，便于对两个实数的大小进行比较.任意拿两个面积分别为a 和b (a >b )的正方形，摆放在数轴上，它们的边长a 和b 有怎样的大小关系？(a >b )教师强调：一般地，两个正数a 和b ，如果a >b ，那么a >b ；反过来，如果a >b ，那么a >b .同样的，在数轴上的两个点，右边的数总比左边的数大.说明：两个正数可以用数轴来进行大小比较，从而扩展到任意两个实数的大小比较，即两个负实数、有理数和无理数等. 互动二：在数轴上表示出－3，2，3，3，0，5，－8，－5各点的位置，将各数用“<”按从小到大的顺序排列起来. 教师对±5、－8的表示要做适当的指导.让学生思考：两个实数的比较，除了利用数轴比较之外，还有没有其他的方法呢？ 互动三：例1 (教材76页例1)比较下列各组数中两个数的大小： (1)223和7；(2)－10和－π.先回忆(a )2(a ≥0)的结果是多少？(2)2，－(3)2的结果等于多少？既然我们知道了算术平方根的这一性质，就可以用“平方法”先将两个数平方，再进行比较，你能利用“平方法”比较出它们的大小吗？ 展示做法： (1)因为＝＝649，(7)2＝7＝639，而649>639，所以 大小的方法，提高学生学习的主动性和参与性，活跃课堂教学.。
2024年冀教版八年级上册第十四章 实数第十四章 实数
一、单元学习主题本单元是“数与代数”领域“数与式”主题中的“实数”.二、单元学习内容分析1.课标分析《标准2022》指出初中阶段数与代数领域包括“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题,是学生理解数学符号,以及感悟用数学符号表达事物的性质、关系和规律的关键内容,是学生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用数学的语言表达现实世界的重要载体.本章的主要内容是平方根、立方根的概念及其求法,实数的概念及其性质,近似数的概念及其应用.通过数的开方引入无理数的概念,进而将数的范围从有理数扩充到实数,并说明实数和数轴上的点一一对应.教材从实际问题出发,用图形拼接的问题来引入实数,让学生认识到数系的发展和扩充是现实生活的需要,同时也是数学发展的必然规律.2.本单元教学内容分析冀教版教材八年级上册第十四章“实数”,本章包括五个小节:14.1平方根;14.2立方根;14.3实数;14.4近似数;14.5用计算器求平方根与立方根.本章内容包括平方根、算术平方根和立方根,通过开平方和开立方,学生认识到不同于有理数的数,在此基础上引入无理数,使数的范围由有理数扩充到实数.在实数范围内,不仅能进行加、减、乘、除四则运算,还能对0和任意正数进行开平方运算,对任意实数进行开立方运算.本章教材在初中数学中具有重要的地位,是学习其他内容的理论基础和运算基础(如一元二次方程、解直角三角形、二次根式等).实数与数轴上的点具有一一对应关系:任意一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上任意一点都表示一个实数,这种对应关系使得“数”与“形”紧密结合起来,充分体现了“数形结合”的数学思想,为数学研究带来很大方便.三、单元学情分析本单元内容是冀教版教材数学八年级上册第十四章实数.本章包括平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数、用计算器求平方根与立方根等内容.在此之前学生已学习了加、减、乘、除、乘方五种运算,学习了有理数的概念,具备了学习数的开方和无理数的条件,大部分学生对后继知识的学习有较强的欲望,但也有个别学生由于对有理数的概念理解不透,对无理数的学习信心不足,产生畏难和厌学情绪,教学中要注意及时引导.四、单元学习目标1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根,会用平方运算求百以内整数的平方根,会用立方运算求百以内整数(对应的负整数)的立方根.2.了解无理数和实数的概念,知道实数与数轴上的点一一对应,能求实数的相反数和绝对值.3.了解近似数的概念,能按要求取近似数.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.5.会用计算器求平方根和立方根.五、单元学习内容及学习方法概览六、单元评价与课后作业建议本单元课后作业整体设计体现以下原则:针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的作业,及时反馈学生的学业质量情况.层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.生活性原则:本节课的知识来源于生活,应回归于生活,体现数学的应用的价值.根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.。